suma de dos raíces. Reglas para sumar raíces cuadradas

Suma y resta de raíces.- uno de los "bloqueos de tropiezo" más comunes para quienes toman un curso de matemáticas (álgebra) en la escuela secundaria. Sin embargo, aprender a sumar y restar correctamente es muy importante, porque los ejemplos para la suma o diferencia de raíces están incluidos en el programa del Examen Estatal Unificado básico en la disciplina "matemáticas".

Para dominar la solución de tales ejemplos, necesita dos cosas: comprender las reglas y adquirir práctica. Habiendo resuelto una o dos docenas de ejemplos típicos, el estudiante llevará esta habilidad al automatismo y luego no tendrá nada que temer en el examen. Se recomienda empezar a dominar las operaciones aritméticas con sumas, porque sumarlas es un poco más fácil que restarlas.

La forma más fácil de explicar esto es con el ejemplo de una raíz cuadrada. En matemáticas, existe un término bien establecido "cuadrado". "Cuadrado" significa multiplicar un número específico por sí mismo una vez.. Por ejemplo, si elevas al cuadrado 2, obtienes 4. Si elevas al cuadrado 7, obtienes 49. El cuadrado de 9 es 81. Entonces, la raíz cuadrada de 4 es 2, de 49 es 7 y de 81 es 9.

Como regla general, la enseñanza de este tema en matemáticas comienza con raíces cuadradas. Para determinarlo de inmediato, un estudiante de secundaria debe saber la tabla de multiplicar de memoria. Para los que no conocen bien esta tabla, hay que usar pistas. Por lo general, el proceso de extraer la raíz cuadrada de un número se da en forma de tabla en las portadas de muchos cuadernos escolares de matemáticas.

Las raíces son de los siguientes tipos:

• cuadrado;
• cúbico (o el llamado tercer grado);
• cuarto grado;
• quinto grado

Reglas de adición

Para resolver con éxito un ejemplo típico, se debe tener en cuenta que no todos los números raíz se pueden apilar entre sí. Para poder juntarlos, deben ser llevados a un solo patrón. Si esto no es posible, entonces el problema no tiene solución. Tales problemas también se encuentran a menudo en los libros de texto de matemáticas como una especie de trampa para los estudiantes.

No se permite la suma en asignaciones cuando las expresiones radicales difieren entre sí. Esto se puede ilustrar con un ejemplo ilustrativo:

• el estudiante se enfrenta a la tarea: sumar la raíz cuadrada de 4 y de 9;
• un estudiante sin experiencia que no conoce la regla suele escribir: "raíz de 4 + raíz de 9 \u003d raíz de 13".
• es muy fácil probar que esta forma de resolver es incorrecta. Para hacer esto, necesitas encontrar la raíz cuadrada de 13 y verificar si el ejemplo se resuelve correctamente;
• usando una microcalculadora, puede determinar que es aproximadamente 3.6. Ahora queda comprobar la solución;
• raíz de 4=2, y de 9=3;
• La suma de dos y tres es cinco. Por lo tanto, este algoritmo de solución puede considerarse incorrecto.

Si las raíces tienen el mismo grado, pero diferentes expresiones numéricas, se quita entre paréntesis, y la suma de dos expresiones radicales. Por lo tanto, ya se extrae de esta cantidad.

Algoritmo de suma

Para resolver correctamente el problema más simple, es necesario:

1. Determine qué requiere exactamente la adición.
2. Averigüe si es posible sumar valores entre sí, guiado por las reglas existentes en matemáticas.
3. Si no se pueden agregar, debe transformarlos de tal manera que se puedan agregar.
4. Habiendo realizado todas las transformaciones necesarias, es necesario realizar la suma y anotar la respuesta final. La suma se puede hacer mentalmente o con una calculadora, dependiendo de la complejidad del ejemplo.

¿Qué son las raíces similares?

Para resolver correctamente un ejemplo de suma, es necesario, antes que nada, pensar en cómo se puede simplificar. Para hacer esto, necesitas tener un conocimiento básico de lo que es la similitud.

La capacidad de identificar ejemplos similares ayuda a resolver rápidamente el mismo tipo de ejemplos de suma, llevándolos a una forma simplificada. Para simplificar un ejemplo típico de suma, necesita:

1. Encuentre otros similares y asígnelos a un grupo (o varios grupos).
2. Reescriba el ejemplo existente de tal manera que las raíces que tienen el mismo indicador se sigan claramente (esto se llama "agrupación").
3. A continuación, debe volver a escribir la expresión, esta vez de tal manera que las similares (que tienen el mismo indicador y la misma raíz) también se suceden.

Después de eso, un ejemplo simplificado suele ser fácil de resolver.

Para resolver correctamente cualquier ejemplo de suma, debe comprender claramente las reglas básicas de la suma y también saber qué es una raíz y cómo sucede.

A veces, estas tareas parecen muy complicadas a primera vista, pero generalmente se resuelven fácilmente agrupando otras similares. Lo más importante es la práctica, y luego el estudiante comenzará a "hacer clic en las tareas como nueces". La suma de raíces es una de las ramas más importantes de las matemáticas, por lo que los profesores deben dedicar tiempo suficiente para estudiarla.

Video

Este video te ayudará a entender las ecuaciones con raíces cuadradas.

En matemáticas, cualquier acción tiene su propio par opuesto; en esencia, esta es una de las manifestaciones de la ley hegeliana de la dialéctica: "la unidad y la lucha de los opuestos". Una de las acciones en tal "par" tiene como objetivo aumentar el número, y la otra, lo contrario, está disminuyendo. Por ejemplo, la acción opuesta a la suma es la resta y la división corresponde a la multiplicación. Elevar a una potencia también tiene su propio par-opuesto dialéctico. Se trata de la extracción de raíz.

Sacar la raíz de tal o cual grado de un número significa calcular qué número hay que elevar a la potencia correspondiente para llegar a ese número. Los dos grados tienen sus propios nombres separados: el segundo grado se llama "cuadrado" y el tercero, el "cubo". En consecuencia, es agradable llamar a las raíces de estas potencias la raíz cuadrada y la raíz cúbica. Las acciones con raíces cúbicas son un tema para una discusión aparte, pero ahora hablemos de sumar raíces cuadradas.

Comencemos con el hecho de que en algunos casos es más fácil extraer primero las raíces cuadradas y luego sumar los resultados. Supongamos que necesitamos encontrar el valor de tal expresión:

Después de todo, no es nada difícil calcular que la raíz cuadrada de 16 es 4 y de 121 - 11. Por lo tanto,

√16+√121=4+11=15

Sin embargo, este es el caso más simple: aquí estamos hablando de cuadrados completos, es decir, sobre números que se obtienen elevando al cuadrado números enteros. Pero este no es siempre el caso. Por ejemplo, el número 24 no es un cuadrado perfecto (no puedes encontrar un número entero que, elevado a la segunda potencia, dé como resultado 24). Lo mismo se aplica a un número como 54... ¿Qué pasa si necesitamos sumar las raíces cuadradas de estos números?

En este caso, obtendremos en la respuesta no un número, sino otra expresión. Lo máximo que podemos hacer aquí es simplificar la expresión original tanto como sea posible. Para hacer esto, tendrás que sacar los factores de debajo de la raíz cuadrada. Veamos cómo se hace esto usando los números mencionados como ejemplo:

Para empezar, factoricemos 24, de tal manera que uno de ellos pueda tomarse fácilmente como una raíz cuadrada (es decir, para que sea un cuadrado perfecto). Hay tal número, este es 4:

Ahora hagamos lo mismo con el 54. En su composición, este número será el 9:

Así, obtenemos lo siguiente:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Ahora extraigamos las raíces de donde podemos extraerlas: 2*√6+3*√6

Aquí hay un factor común, que podemos sacar entre paréntesis:

(2+3)* √6=5*√6

Este será el resultado de la adición; aquí no se puede extraer nada más.

Es cierto que puede recurrir a la ayuda de una calculadora; sin embargo, el resultado será aproximado y con una gran cantidad de decimales:

√6=2,449489742783178

Redondeando gradualmente hacia arriba, obtenemos aproximadamente 2.5. Si todavía nos gustaría llevar la solución del ejemplo anterior a su conclusión lógica, podemos multiplicar este resultado por 5 y obtenemos 12,5. No se puede obtener un resultado más preciso con tales datos iniciales.

La raíz cuadrada del número x es el número a, que, cuando se multiplica por sí mismo, da el número x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Como con cualquier número, se permite realizar operaciones aritméticas de suma y resta sobre raíces cuadradas.

Instrucción

1. Primero, al sumar raíces cuadradas, intente extraer esas raíces. Esto será válido si los números debajo del signo de la raíz son cuadrados perfectos. Digamos que se da la expresión?4 +?9. El primer número 4 es el cuadrado del número 2. El segundo número 9 es el cuadrado del número 3. Entonces resulta que: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Si no hay cuadrados completos debajo del signo de la raíz, intente transferir el multiplicador del número debajo del signo de la raíz. Digamos, que se dé la expresión ?24 + ?54. Factoriza los números: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. En el número 24 hay un factor 4, el que se puede trasladar del signo de la raíz cuadrada. En el número 54 hay un factor de 9. Así, resulta que: En este ejemplo, como resultado de eliminar el factor del signo raíz, resultó simplificar la expresión dada.

3. Sea la suma de 2 raíces cuadradas el denominador de una fracción, digamos, A / (?a + ?b). E incluso si se enfrenta a la tarea de "deshacerse de la irracionalidad en el denominador". Entonces puedes usar el siguiente método. Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por la expresión ?a -?b. Así, en el denominador, se obtendrá la fórmula para la multiplicación abreviada: (?a + ?b) * (?a - ?b) \u003d a - b. Por analogía, si la diferencia de las raíces está dada en el denominador: ?a - ?b, entonces el numerador y el denominador de la fracción deben multiplicarse por la expresión ?a + ?b. Por ejemplo, digamos 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 - ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 - ?5)) = 4 * (?3 - ? 5) / (-2) = 2 * (?5 - ?3).

4. Considere un ejemplo más difícil de deshacerse de la irracionalidad en el denominador. Sea la fracción 12 / (?2 +?3 +?5). Necesitas multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por la expresión? 2 + ? 3 - ? 5:12 / (? 2 + ? 3 + ? 5) = 12 * (? + ?5) * (?2 + ? 3 - ?5)) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + ?3 - ?5) \u003d 2 *? 3 + 3 *? 2 -? 30.

5. Y finalmente, si solo necesita un valor aproximado, puede calcular las raíces cuadradas en la calculadora. Calcule los valores por separado para el número entero y anótelos con la precisión requerida (digamos, dos decimales). Y luego realice las operaciones aritméticas requeridas, como con los números ordinarios. Digamos, digamos que necesitas encontrar el valor aproximado de la expresión ?7 + ?5 ? 2,65 + 2,24 = 4,89.

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¡Nota!
En ningún caso se pueden sumar raíces cuadradas como números primitivos, es decir ?3 + ?2? ?5!!!

Aviso util
Si factoriza el número para mover el cuadrado de debajo del signo de la raíz, entonces haga la verificación inversa: multiplique todos los factores resultantes y obtenga el número original.

En matemáticas, las raíces pueden ser cuadradas, cúbicas o tener cualquier otro exponente (potencia), que se escribe a la izquierda sobre el signo de la raíz. La expresión bajo el signo de la raíz se llama expresión raíz. La suma de raíces es similar a la suma de los términos de una expresión algebraica, es decir, requiere la definición de raíces similares.

Pasos

Designación de raíz. Una expresión bajo el signo de raíz () significa que es necesario extraer una raíz de cierto grado de esta expresión.

• La raíz se denota con un signo.
• El índice (grado) de la raíz está escrito a la izquierda sobre el signo de la raíz. Por ejemplo, la raíz cúbica de 27 se escribe como: (27)
• Si el exponente (grado) de la raíz está ausente, entonces el exponente se considera igual a 2, es decir, es la raíz cuadrada (o la raíz de segundo grado).
• El número escrito antes del signo de la raíz se llama multiplicador (es decir, este número se multiplica por la raíz), por ejemplo 5 (2)
• Si no hay ningún factor delante de la raíz, entonces es igual a 1 (recuerda que cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo).
• Si está trabajando con raíces por primera vez, tome notas apropiadas sobre el multiplicador y el exponente de la raíz para no confundirse y comprender mejor su propósito.

Recuerda qué raíces se pueden plegar y cuáles no. Así como no puedes sumar diferentes términos de una expresión, como 2a + 2b 4ab, no puedes sumar diferentes raíces.

Identificar y agrupar raíces similares. Las raíces similares son raíces que tienen los mismos exponentes y las mismas expresiones de raíz. Por ejemplo, considere la expresión:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Primero, reescribe la expresión para que las raíces con el mismo exponente estén en serie.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Luego reescribe la expresión para que las raíces con el mismo exponente y la misma expresión de raíz estén en serie.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Simplifica tus raíces. Para hacer esto, descomponga (cuando sea posible) las expresiones radicales en dos factores, uno de los cuales se saca de debajo de la raíz. En este caso, el número generado y el factor raíz se multiplican.

Suma los factores de raíces semejantes. En nuestro ejemplo, hay raíces cuadradas similares de 2 (se pueden sumar) y raíces cuadradas similares de 3 (también se pueden sumar). Una raíz cúbica de 3 no tiene tales raíces.

• No existen reglas generalmente aceptadas para el orden en que se escriben las raíces en una expresión. Por lo tanto, puedes escribir raíces en orden ascendente de sus exponentes y en orden ascendente de expresiones radicales.

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Contenido:

En matemáticas, las raíces pueden ser cuadradas, cúbicas o tener cualquier otro exponente (potencia), que se escribe a la izquierda sobre el signo de la raíz. La expresión bajo el signo de la raíz se llama expresión raíz. La suma de raíces es similar a la suma de los términos de una expresión algebraica, es decir, requiere la definición de raíces similares.

Pasos

Parte 1 Encontrando Raíces

1. 1 Designación de raíz. Una expresión bajo el signo de raíz (√) significa que es necesario extraer una raíz de cierto grado de esta expresión.
   • La raíz se denota con el signo √.
   • El índice (grado) de la raíz está escrito a la izquierda sobre el signo de la raíz. Por ejemplo, la raíz cúbica de 27 se escribe así: 3 √(27)
   • Si el exponente (grado) de la raíz está ausente, entonces el exponente se considera igual a 2, es decir, es la raíz cuadrada (o la raíz de segundo grado).
   • El número escrito antes del signo de la raíz se llama factor (es decir, este número se multiplica por la raíz), por ejemplo 5√ (2)
   • Si no hay ningún factor delante de la raíz, entonces es igual a 1 (recuerda que cualquier número multiplicado por 1 es igual a sí mismo).
   • Si está trabajando con raíces por primera vez, tome notas apropiadas sobre el multiplicador y el exponente de la raíz para no confundirse y comprender mejor su propósito.
2. 2 Recuerda qué raíces se pueden plegar y cuáles no. Así como no puedes sumar diferentes términos de una expresión, por ejemplo, 2a + 2b ≠ 4ab, no puedes sumar diferentes raíces.
   • No puede sumar raíces con diferentes expresiones radicales, por ejemplo, √(2) + √(3) ≠ √(5). Pero puedes sumar los números bajo la misma raíz, como √(2 + 3) = √(5) (la raíz cuadrada de 2 es aproximadamente 1,414, la raíz cuadrada de 3 es aproximadamente 1,732 y la raíz cuadrada de 5 es aproximadamente 2.236).
   • No se pueden sumar raíces con las mismas expresiones de raíz, pero diferentes exponentes, por ejemplo, √ (64) + 3 √ (64) (esta suma no es igual a 5 √ (64), ya que la raíz cuadrada de 64 es 8, la la raíz cúbica de 64 es 4, 8 + 4 = 12, que es mucho más grande que la raíz quinta de 64, que es aproximadamente 2,297).

Parte 2 Simplificando y Agregando Raíces

1. 1 Identificar y agrupar raíces similares. Las raíces similares son raíces que tienen los mismos exponentes y las mismas expresiones de raíz. Por ejemplo, considere la expresión:
   2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
   • Primero, reescribe la expresión para que las raíces con el mismo exponente estén en serie.
     2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
   • Luego reescribe la expresión para que las raíces con el mismo exponente y la misma expresión de raíz estén en serie.
     2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
2. 2 Simplifica tus raíces. Para hacer esto, descomponga (cuando sea posible) las expresiones radicales en dos factores, uno de los cuales se saca de debajo de la raíz. En este caso, el número generado y el factor raíz se multiplican.
   • En el ejemplo anterior, factoriza 50 en 2*25 y el número 32 en 2*16. De 25 y 16, puedes sacar raíces cuadradas (5 y 4 respectivamente) y sacar 5 y 4 de debajo de la raíz, multiplicándolos respectivamente por los factores 2 y 1. Así, obtienes una expresión simplificada: 10√(2) + 4√( 2) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
   • El número 81 se puede factorizar en 3 * 27, y la raíz cúbica de 3 se puede sacar del número 27. Este número 3 se puede sacar de debajo de la raíz. Por lo tanto, obtienes una expresión aún más simplificada: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 √(3)
3. 3 Suma los factores de raíces semejantes. En nuestro ejemplo, hay raíces cuadradas similares de 2 (se pueden sumar) y raíces cuadradas similares de 3 (también se pueden sumar). Una raíz cúbica de 3 no tiene tales raíces.
   • 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
   • 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
   • Expresión simplificada final: 14√(2) + 8√(3) + 3 3 √(3)

• No existen reglas generalmente aceptadas para el orden en que se escriben las raíces en una expresión. Por lo tanto, puedes escribir raíces en orden ascendente de sus exponentes y en orden ascendente de expresiones radicales.