Descomposición de un número en factores primos. Descomposición de números en factores primos, métodos y ejemplos de descomposición

¿Qué significa factorizar? ¿Cómo hacerlo? ¿Qué se puede aprender al descomponer un número en factores primos? Las respuestas a estas preguntas se ilustran con ejemplos concretos.

Definiciones:

Un número primo es un número que tiene exactamente dos divisores distintos.

Un número compuesto es un número que tiene más de dos divisores.

Factorizar un número natural significa representarlo como un producto de números naturales.

Factorizar un número natural en factores primos significa representarlo como un producto de números primos.

Notas:

• En la expansión de un número primo, uno de los factores es igual a uno y el otro es igual a este mismo número.
• No tiene sentido hablar de la descomposición de la unidad en factores.
• Un número compuesto se puede descomponer en factores, cada uno de los cuales es diferente de 1.

Cuando se descomponen números grandes en factores primos, se usa una entrada de columna:

	El número primo más pequeño por el que 216 es divisible es 2. Divide 216 entre 2. Obtenemos 108.
	El número resultante 108 es divisible por 2. Hagamos la división. Obtenemos 54 como resultado.
	Según la prueba de divisibilidad por 2, el número 54 es divisible por 2. Después de dividir, obtenemos 27.
	El número 27 termina con un número impar 7. Eso No es divisible por 2. El siguiente número primo es 3. Divide 27 entre 3. Obtenemos 9. El primo más pequeño El número por el que 9 es divisible es 3. El tres es en sí mismo un número primo, divisible por sí mismo y por uno. Vamos a dividir 3 por nosotros mismos. Como resultado, obtuvimos 1.

• Un número es divisible solo por aquellos números primos que forman parte de su desarrollo.
• Un número es divisible sólo por aquellos números compuestos, cuya descomposición en factores primos está completamente contenida en él.

Considere ejemplos:

Encuentra el cociente de dividir el número a por el número b, si estos números se descomponen en factores primos de la siguiente manera a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Bibliografía

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matemáticas 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
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1. Portal de Internet Matematika-na.ru ().
2. Portal de Internet Math-portal.ru ().

Tareas para el hogar

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matemáticas 6. - M.: Mnemozina, 2012. No. 127, No. 129, No. 141.
2. Otras tareas: No. 133, No. 144.

Esta calculadora en línea descompone números en factores primos enumerando divisores primos. Si el número es grande, use un separador de dígitos para facilitar la presentación.

¡El resultado ya ha sido recibido!

Factorizar un número en factores primos: teoría, algoritmo, ejemplos y soluciones

Una de las formas más sencillas de factorizar un número es comprobar si el número dado es divisible por 2, 3, 5,... etc., es decir comprobar si un número es divisible por una serie de números primos. si el numero norte no es divisible por ningún número primo hasta , entonces este número es primo, porque si el número es compuesto, entonces tiene al menos dos factores y ambos no pueden ser mayores que .

Imaginemos el algoritmo de descomposición de números norte a factores primos. Prepare una tabla de números primos por adelantado. s=. Denote una serie de números primos a través de pags 1 , pags 2 , pags 3 , ...

Algoritmo para descomponer un número en divisores primos:

Ejemplo 1. Descomponer el número 153 en factores primos.

Solución. Nos basta con tener una tabla de números primos hasta , es decir. 2, 3, 5, 7, 11.

Divide 153 por 2. 153 no es divisible por 2 sin resto. A continuación, dividimos 153 por el siguiente elemento de la tabla de números primos, es decir, por 3. 153:3=51. Completar la tabla:

A continuación, comprobamos si el número 17 es divisible por 3. El número 17 no es divisible por 3. Tampoco es divisible por los números 5, 7, 11. El siguiente divisor es mayor . Por lo tanto, 17 es un número primo que solo es divisible por sí mismo: 17:17=1. El procedimiento se ha detenido. completar la tabla:

Seleccionamos aquellos divisores en los que los números 153, 51, 17 se dividieron sin resto, es decir todos los números en el lado derecho de la tabla. Estos son los divisores 3, 3, 17. Ahora el número 153 se puede representar como un producto de números primos: 153=3 3 17.

Ejemplo 2. Descomponer el número 137 en factores primos.

Solución. Calcular . Entonces, debemos verificar la divisibilidad del número 137 entre números primos hasta el 11: 2,3,5,7,11. Dividiendo alternativamente el número 137 entre estos números, encontramos que el número 137 no es divisible por ninguno de los números 2,3,5,7,11. Por lo tanto, 137 es un número primo.

Qué ¿factorización? Es una forma de convertir un ejemplo incómodo y complicado en uno simple y lindo.) ¡Un truco muy poderoso! Ocurre en cada paso tanto en las matemáticas elementales como en las matemáticas superiores.

Tales transformaciones en el lenguaje matemático se denominan transformaciones idénticas de expresiones. Quien no está en el tema, dé un paseo por el enlace. Hay muy poco, simple y útil.) El significado de cualquier transformación idéntica es escribir la expresión en una forma diferente conservando su esencia.

Sentido factorizaciones extremadamente simple y comprensible. Desde el propio título. Puedes olvidar (o no saber) qué es un multiplicador, pero ¿puedes darte cuenta de que esta palabra proviene de la palabra "multiplicar"?) Factorización significa: representar una expresión como una multiplicación de algo por algo. Perdóname las matemáticas y el idioma ruso ...) Y eso es todo.

Por ejemplo, necesita descomponer el número 12. Puede escribir con seguridad:

Así que presentamos el número 12 como una multiplicación de 3 por 4. Tenga en cuenta que los números de la derecha (3 y 4) son completamente diferentes a los de la izquierda (1 y 2). Pero sabemos muy bien que 12 y 3 4 mismo. La esencia del número 12 de la transformación. no ha cambiado

¿Es posible descomponer 12 de otra manera? ¡Fácilmente!

12=3 4=2 6=3 2 2=0.5 24=........

Las opciones de descomposición son infinitas.

Descomponer números en factores es algo útil. Ayuda mucho, por ejemplo, cuando se trata de raíces. Pero la factorización de expresiones algebraicas no es algo que sea útil, es - ¡necesario! Solo por ejemplo:

Simplificar:

Los que no sepan factorizar la expresión, quédense al margen. Quién sabe cómo, simplifica y obtiene:

El efecto es increíble, ¿verdad?) Por cierto, la solución es bastante simple. Lo verás por ti mismo a continuación. O, por ejemplo, tal tarea:

Resuelve la ecuación:

x 5 - x 4 = 0

Decidido en la mente, por cierto. Con la ayuda de la factorización. A continuación resolveremos este ejemplo. Responder: x1 = 0; x2 = 1.

O, lo mismo, pero para los mayores):

Resuelve la ecuación:

En estos ejemplos, he mostrado propósito principal factorizaciones: simplificación de expresiones fraccionarias y solución de algunos tipos de ecuaciones. Recomiendo recordar la regla general:

Si tenemos una terrible expresión fraccionaria frente a nosotros, podemos intentar factorizar el numerador y el denominador. Muy a menudo, la fracción se reduce y simplifica.

Si tenemos una ecuación frente a nosotros, donde a la derecha es cero y a la izquierda, no entiendo qué, puedes intentar factorizar el lado izquierdo. A veces ayuda.)

Métodos básicos de factorización.

Estas son las formas más populares:

4. Descomposición de un trinomio cuadrado.

Estos métodos deben ser recordados. Es en ese orden. Se comprueban ejemplos complejos. para todos los posibles métodos de descomposición. Y es mejor verificar en orden, para no confundirse ... Comencemos en orden).

1. Sacar el factor común fuera de paréntesis.

Manera simple y confiable. ¡No se pone malo de él! Sucede bien o no sucede en absoluto). Por lo tanto, él es el primero. Entendemos.

Todos conocen (¡creo!) la regla:

a(b+c) = ab+ac

O, más generalmente:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Todas las igualdades funcionan tanto de izquierda a derecha como viceversa, de derecha a izquierda. Puedes escribir:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+anuncio+.... = a(b+c+d+.....)

Ese es el punto de poner el factor común fuera de paréntesis.

En el lado izquierdo a - factor común para todos los términos. Multiplicado por todo.) lo correcto es lo mas a ya está fuera de los corchetes.

Consideraremos la aplicación práctica del método con ejemplos. Al principio, la variante es simple, incluso primitiva.) Pero en esta variante voy a marcar (en verde) puntos muy importantes para cualquier factorización.

Multiplicar:

ah+9x

Cual general es el multiplicador en ambos términos? ¡X, por supuesto! Lo sacaremos de paréntesis. lo hacemos Inmediatamente escribimos x fuera de los corchetes:

hacha+9x=x(

Y entre paréntesis escribimos el resultado de la división cada termino en este mismo x. En orden:

Eso es todo. Por supuesto, no es necesario pintar con tanto detalle, esto se hace en la mente. Pero para entender qué es qué, es deseable). Arreglamos en memoria:

Escribimos el factor común fuera de los paréntesis. Entre paréntesis, escribimos los resultados de dividir todos los términos por este factor tan común. En orden.

Aquí hemos ampliado la expresión ah+9x para multiplicadores. Lo convirtió en multiplicar x por (un + 9). Observo que en la expresión original también había una multiplicación, incluso dos: una x y 9 x. Pero no ha sido factorizado!¡Porque además de la multiplicación, esta expresión también contenía la suma, el signo "+"! Y en la expresión x(a+9) nada más que multiplicación!

¿¡Cómo es eso!? - Escucho la voz indignada del pueblo - ¿¡Y entre paréntesis!?)

Sí, hay una adición dentro de los paréntesis. Pero el truco es que mientras no se abren los corchetes, los consideramos como una letra. Y hacemos todas las acciones con paréntesis en su totalidad, como una letra. En este sentido, en la expresión x(a+9) nada más que multiplicación. Este es el punto central de la factorización.

Por cierto, ¿hay alguna forma de comprobar si hicimos todo bien? ¡Fácil! Basta con volver a multiplicar lo que se sacó (x) por paréntesis y ver si resultó original¿expresión? Si funcionó, ¡todo es excelente!)

x(a+9)=ax+9x

Sucedió.)

No hay problema en este ejemplo primitivo. Pero si son varios términos, e incluso con signos distintos... En fin, uno de cada tres alumnos se equivoca). Por lo tanto:

Si es necesario, verifica la factorización por multiplicación inversa.

Multiplicar:

3ax+9x

Estamos buscando un factor común. Bueno, todo está claro con X, se puede soportar. ¿Hay más? general¿factor? ¡Sí! Este es un trío. También puedes escribir la expresión así:

3x+3 3x

Aquí es inmediatamente claro que el factor común será 3x. Aquí lo sacamos:

3ax+3 3x=3x(a+3)

Extendido.

¿Y qué pasa si tomas solo x? Nada especial:

3ax+9x=x(3a+9)

Esto también será una factorización. Pero en este fascinante proceso, se acostumbra exponer todo hasta que se detiene, mientras existe la oportunidad. Aquí entre paréntesis hay una oportunidad de sacar un triple. Obtener:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Lo mismo, solo que con una acción extra.) Recuerda:

Al sacar el factor común entre paréntesis, tratamos de sacar máximo multiplicador común.

¿Seguimos con la diversión?

Factorizando la expresión:

3ax+9x-8a-24

¿Qué sacaremos? ¿Tres, X? No-ee... No puedes. Te recuerdo que solo puedes tomar general multiplicador que es en todo términos de la expresión. por eso el general. No hay tal multiplicador aquí ... ¿Qué, no puedes diseñar? Pues sí, quedamos encantados, cómo... Conoce a:

2. Agrupación.

En realidad, la agrupación difícilmente puede llamarse una forma independiente de factorización. Esta es más bien una forma de salir de un ejemplo complejo). Debe agrupar los términos para que todo funcione. Esto solo se puede mostrar con un ejemplo. Entonces tenemos una expresión:

3ax+9x-8a-24

Se puede ver que hay algunas letras y números comunes. Pero... General no hay multiplicador para estar en todos los términos. No te desanimes y rompemos la expresión en pedazos. Nos agrupamos. De modo que en cada pieza había un factor común, había algo que sacar. ¿Cómo rompemos? Sí, solo paréntesis.

Déjame recordarte que los brackets se pueden colocar en cualquier lugar y de cualquier manera. Si tan solo la esencia del ejemplo no cambió Por ejemplo, puedes hacer esto:

3ax+9x-8a-24=(3ax + 9x) - (8a + 24)

¡Por favor, preste atención a los segundos corchetes! Están precedidos por un signo menos, y 8a y 24 ser positivo! Si, para verificar, abrimos los paréntesis hacia atrás, los signos cambiarán y obtendremos original expresión. Aquellos. la esencia de la expresión entre paréntesis no ha cambiado.

Pero si solo pones entre paréntesis, sin tener en cuenta el cambio de signo, por ejemplo, así:

3ax+9x-8a-24=(3x + 9x) -(8a-24 )

será un error. Bien - ya otro expresión. Expanda los corchetes y todo quedará claro. No puedes decidir más, sí...)

Pero volvamos a la factorización. Mira los primeros paréntesis (3x + 9x) y piensa, ¿es posible soportar algo? Bueno, este ejemplo lo resolvimos arriba, podemos sacarlo 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

Estudiamos los segundos corchetes, ahí puedes sacar los ocho:

(8a+24)=8(a+3)

Toda nuestra expresión será:

(3ax + 9x) - (8a + 24) \u003d 3x (a + 3) -8 (a + 3)

¿Multiplicado? No. La descomposición debe dar como resultado solo multiplicacion, y tenemos un signo menos lo estropea todo. Pero... ¡Ambos términos tienen un factor común! eso (a+3). No en vano dije que los corchetes en su conjunto son, por así decirlo, una letra. Entonces estos corchetes se pueden sacar de los corchetes. Sí, eso es exactamente lo que parece.)

Hacemos lo descrito anteriormente. Escribe el factor común (a+3), en el segundo paréntesis escribimos los resultados de dividir los términos por (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

¡Todo! ¡A la derecha, no hay nada más que multiplicación! ¡Así que la factorización se completó con éxito!) Aquí está:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

Recapitulemos la esencia del grupo.

Si la expresión no general multiplicador para todos términos, dividimos la expresión entre paréntesis para que dentro de los paréntesis el factor común estaba. Vamos a sacarlo y ver qué pasa. Si tenemos suerte, y quedan exactamente las mismas expresiones entre paréntesis, sacamos estos paréntesis de los paréntesis.

Agregaré que la agrupación es un proceso creativo). No siempre funciona la primera vez. Está bien. A veces hay que intercambiar términos, considerar diferentes opciones de agrupación hasta encontrar una buena. ¡Lo principal aquí es no desanimarse!)

Ejemplos.

Ahora, habiéndose enriquecido con el conocimiento, también puede resolver ejemplos complicados.) Al comienzo de la lección, había tres de estos ...

Simplificar:

De hecho, ya hemos resuelto este ejemplo. Imperceptiblemente para mí.) Te recuerdo: si nos dan una fracción terrible, tratamos de descomponer el numerador y el denominador en factores. Otras opciones de simplificación simplemente no

Bueno, aquí no se descompone el denominador, sino el numerador... ¡Ya hemos descompuesto el numerador en el curso de la lección! Como esto:

3ax + 9x-8a-24 \u003d (a + 3) (3x-8)

Escribimos el resultado de la expansión en el numerador de la fracción:

De acuerdo con la regla de reducción de fracciones (la propiedad principal de una fracción), podemos dividir (¡simultáneamente!) El numerador y el denominador por el mismo número o expresión. Fracción de este no cambia. Entonces dividimos el numerador y el denominador por la expresión (3x-8). Y aquí y allá obtenemos unidades. Resultado final de la simplificación:

Destaco en particular: la reducción de una fracción es posible si y solo si en el numerador y denominador, además de multiplicar expresiones no hay nada. Por eso la transformación de la suma (diferencia) en multiplicación tan importante de simplificar. Por supuesto, si las expresiones varios, entonces nada se reducirá. Byvet. Pero la factorización da una oportunidad. Esta posibilidad sin descomposición - simplemente no existe.

Ejemplo de ecuación:

Resuelve la ecuación:

x 5 - x 4 = 0

sacando el factor comun x4 para corchetes. Obtenemos:

x4 (x-1)=0

Suponemos que el producto de los factores es igual a cero entonces y solo entonces cuando cualquiera de ellos es igual a cero. En caso de duda, búscame un par de números distintos de cero que, cuando se multipliquen, den cero). Así que escribimos, primero el primer factor:

Con esta igualdad, el segundo factor no nos molesta. Cualquiera puede ser, de todos modos, al final, cero resultará. ¿Cuál es el número elevado a la cuarta potencia de cero? ¡Solo cero! Y nada más... Por lo tanto:

Descubrimos el primer factor, encontramos una raíz. Vamos a tratar con el segundo factor. Ahora no nos importa el primer multiplicador.):

Aquí encontramos una solución: x1 = 0; x2 = 1. Cualquiera de estas raíces se ajusta a nuestra ecuación.

Una nota muy importante. Tenga en cuenta que hemos resuelto la ecuación ¡poco a poco! Cada factor se puso a cero. independientemente de otros factores. Por cierto, si en tal ecuación no hay dos factores, como los que tenemos, sino tres, cinco, tantos como quieras, decidiremos similar. Pieza por pieza. Por ejemplo:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

El que abre los corchetes, multiplica todo, colgará para siempre de esta ecuación). El estudiante correcto verá de inmediato que no hay nada a la izquierda excepto la multiplicación, a la derecha: cero. Y comenzará (¡en su mente!) a igualar a cero todos los paréntesis en orden. Y obtendrá (¡en 10 segundos!) la solución correcta: x1 = 1; x 2 \u003d -5; x 3 \u003d 3; x4 = -2.

Genial, ¿verdad?) Una solución tan elegante es posible si el lado izquierdo de la ecuación dividir en múltiplos.¿Está clara la pista?)

Bueno, el último ejemplo, para los mayores):

Resuelve la ecuación:

Es algo parecido al anterior, ¿no crees?) Por supuesto. ¡Es hora de recordar que en álgebra de séptimo grado, los senos, los logaritmos y cualquier otra cosa se pueden ocultar debajo de las letras! La factorización funciona en todas las matemáticas.

sacando el factor comun lg4x para corchetes. Obtenemos:

largo 4x=0

Esta es una raíz. Vamos a tratar con el segundo factor.

Aquí está la respuesta final: x1 = 1; x2 = 10.

Espero que te hayas dado cuenta del poder de la factorización para simplificar fracciones y resolver ecuaciones).

En esta lección, nos familiarizamos con la eliminación del factor común y la agrupación. Queda por tratar las fórmulas de la multiplicación abreviada y el trinomio cuadrado.

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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Cualquier número compuesto se puede descomponer en factores primos. Hay varias formas de descomposición. Cualquier método produce el mismo resultado.

¿Cómo descomponer un número en factores primos de la manera más conveniente? Consideremos cómo hacerlo mejor, usando ejemplos específicos.

Ejemplos. 1) Descomponer el número 1400 en factores primos.

1400 es divisible por 2. 2 es un número primo, no es necesario factorizarlo. Obtenemos 700. Lo dividimos entre 2. Obtenemos 350. También dividimos 350 entre 2. El número resultante 175 se puede dividir entre 5. El resultado es z5: volvemos a dividir entre 5. Total: 7. Solo puede ser dividido por 7. Obtuvimos 1, dividiendo terminado.

Un mismo número se puede descomponer en factores primos de forma diferente:

1400 se divide convenientemente por 10. 10 no es un número primo, por lo que debe factorizarse en factores primos: 10=2∙5. El resultado es 140. Lo volvemos a dividir por 10=2∙5. Obtenemos 14. Si 14 se divide por 14, entonces también se debe descomponer en el producto de factores primos: 14=2∙7.

Por lo tanto, nuevamente llegamos a la misma descomposición que en el primer caso, pero más rápido.

Conclusión: al descomponer un número, no es necesario dividirlo solo entre divisores primos. Dividimos por lo que sea más conveniente, por ejemplo, por 10. Solo debemos acordarnos de descomponer los divisores compuestos en factores simples.

2) Descomponer el número 1620 en factores primos.

El número 1620 se divide más convenientemente por 10. Dado que 10 no es un número primo, lo representamos como un producto de factores primos: 10=2∙5. Obtuvimos 162. Es conveniente dividirlo entre 2. El resultado es 81. El número 81 se puede dividir entre 3, pero 9 es más conveniente. Como 9 no es un número primo, lo descomponemos como 9=3∙3. Obtuvimos 9. También lo dividimos por 9 y lo descomponemos en el producto de factores primos.

Muy a menudo, el numerador y el denominador de una fracción son expresiones algebraicas que primero deben descomponerse en factores y luego, al encontrar lo mismo entre ellos, dividir el numerador y el denominador en ellos, es decir, reducir la fracción. Un capítulo completo de un libro de texto sobre álgebra en el 7º grado está dedicado a tareas para factorizar un polinomio. Se puede factorizar 3 formas, así como una combinación de estos métodos.

1. Aplicación de fórmulas de multiplicación abreviada

Como es sabido por multiplicar un polinomio por un polinomio, necesitas multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio y sumar los productos resultantes. Hay al menos 7 (siete) casos comunes de multiplicación de polinomios que se incluyen en el concepto. Por ejemplo,

Tabla 1. Factorización en la 1ª vía

2. Sacando el factor común del paréntesis

Este método se basa en la aplicación de la ley distributiva de la multiplicación. Por ejemplo,

Dividimos cada término de la expresión original por el factor que sacamos, y al mismo tiempo obtenemos la expresión entre paréntesis (es decir, el resultado de dividir lo que había entre lo que sacamos queda entre paréntesis). En primer lugar, necesitas determinar correctamente el multiplicador, que debe ir entre paréntesis.

El polinomio entre paréntesis también puede ser un factor común:

Al realizar la tarea de “factorizar”, se debe tener especial cuidado con los signos al sacar el factor común entre paréntesis. Para cambiar el signo de cada término entre paréntesis (b-a), sacamos el factor común -1 , mientras que cada término del paréntesis se divide por -1: (b - a) = - (a - b) .

En el caso de que la expresión entre paréntesis sea elevada al cuadrado (o a cualquier potencia par), entonces los números dentro de los corchetes se pueden intercambiar completamente gratis, ya que los menos sacados de paréntesis seguirán convirtiéndose en un plus cuando se multipliquen: (b - a) 2 = (a - b) 2, (b - a) 4 = (a - b) 4 y así…

3. Método de agrupación

A veces no todos los términos de la expresión tienen un factor común, sino solo algunos. Entonces puedes intentar términos de grupo entre paréntesis para que se pueda sacar algún factor de cada uno. método de agrupación es doble paréntesis de factores comunes.

4. Usar varios métodos a la vez

A veces es necesario aplicar no una, sino varias formas de factorizar un polinomio en factores a la vez.

Esta es una sinopsis sobre el tema. "Factorización". Elija los siguientes pasos:

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