Redondeando a 1000. Redondear un número al valor fraccionario más cercano

A menudo usamos el redondeo en la vida cotidiana. Si la distancia de la casa a la escuela es de 503 metros. Podemos decir, redondeando el valor, que la distancia de la casa a la escuela es de 500 metros. Es decir, hemos acercado el número 503 al número 500, que es más fácil de percibir. Por ejemplo, una barra de pan pesa 498 gramos, luego redondeando el resultado podemos decir que una barra de pan pesa 500 gramos.

redondeo- esta es la aproximación de un número a un número "más ligero" para la percepción humana.

El resultado del redondeo es aproximado número. El redondeo se indica con el símbolo ≈, dicho símbolo dice "aproximadamente igual".

Puedes escribir 503≈500 o 498≈500.

Tal entrada se lee como "quinientos tres es aproximadamente igual a quinientos" o "cuatrocientos noventa y ocho es aproximadamente igual a quinientos".

Tomemos otro ejemplo:

44 71≈4000 45 71≈5000

43 71≈4000 46 71≈5000

42 71≈4000 47 71≈5000

41 71≈4000 48 71≈5000

40 71≈4000 49 71≈5000

En este ejemplo, los números se han redondeado al lugar de los miles. Si observamos el patrón de redondeo, veremos que en un caso los números se redondean hacia abajo y en el otro hacia arriba. Después del redondeo, todos los demás números después del lugar de los millares fueron reemplazados por ceros.

Reglas de redondeo de números:

1) Si la cifra a redondear es igual a 0, 1, 2, 3, 4, entonces el dígito del dígito al que se va a redondear no cambia, y el resto de números se reemplazan por ceros.

2) Si la cifra a redondear es igual a 5, 6, 7, 8, 9, entonces el dígito del dígito hasta el cual se está redondeando se convierte en 1 más, y los números restantes se reemplazan por ceros.

Por ejemplo:

1) Redondea al lugar de las decenas de 364.

El dígito de las decenas en este ejemplo es el número 6. Después del seis está el número 4. Según la regla del redondeo, el número 4 no cambia el dígito de las decenas. Escribimos cero en lugar de 4. Obtenemos:

36 4 ≈360

2) Redondea al lugar de las centenas de 4781.

El dígito de las centenas en este ejemplo es el número 7. Después del siete está el número 8, que afecta si el dígito de las centenas cambia o no. De acuerdo con la regla del redondeo, el número 8 aumenta el lugar de las centenas en 1, y el resto de los números se reemplazan por ceros. Obtenemos:

47 8 1≈48 00

3) Redondea al lugar de los millares de 215936.

El lugar de los miles en este ejemplo es el número 5. Después del cinco está el número 9, que afecta si el lugar de los miles cambia o no. De acuerdo con la regla del redondeo, el número 9 aumenta el lugar de los millares en 1, y los números restantes se reemplazan por ceros. Obtenemos:

215 9 36≈216 000

4) Redondear a las decenas de miles de 1.302.894.

El dígito de mil en este ejemplo es el número 0. Después del cero, está el número 2, que afecta si el dígito de las decenas de miles cambia o no. De acuerdo con la regla del redondeo, el número 2 no cambia el dígito de las decenas de miles, reemplazamos este dígito y todos los dígitos de los dígitos inferiores con cero. Obtenemos:

130 2 894≈130 0000

Si el valor exacto del número no es importante, entonces el valor del número se redondea y puede realizar operaciones computacionales con valores aproximados. El resultado del cálculo se llama estimación del resultado de las acciones.

Por ejemplo: 598⋅23≈600⋅20≈12000 es comparable a 598⋅23=13754

Se utiliza una estimación del resultado de las acciones para calcular rápidamente la respuesta.

Ejemplos de tareas sobre el redondeo de temas:

Ejemplo 1:
Determine a qué dígito se redondea:
a) 3457987≈3500000 b) 4573426≈4573000 c) 16784≈17000
Recordemos cuáles son los dígitos del número 3457987.

7 - dígito de la unidad,

8 - lugar de las decenas,

9 - lugar de las centenas,

7 - lugar de mil,

5 - dígito de decenas de miles,

4 - dígito de cientos de miles,
3 es el dígito de los millones.
Respuesta: a) 3 4 57 987≈3 5 00 000 dígito de centenas de millar b) 4 573 426 ≈ 4 573 000 dígito de millar c) 16 7 841 ≈17 0 000 dígito de decenas de millar.

Ejemplo #2:
Redondea el número a 5,999,994 lugares: a) decenas b) centenas c) millones.
Respuesta: a) 5,999,994 ≈5,999,990 b) 5,999,99 4≈6,000,000 6,000,000.

Métodos

Diferentes campos pueden usar diferentes métodos de redondeo. En todos estos métodos, los signos "extra" se ponen a cero (se descartan) y el signo que los precede se corrige de acuerdo con alguna regla.

• Redondeo al entero más cercano(Inglés) redondeo) - el redondeo más utilizado, en el que el número se redondea a un número entero, el módulo de la diferencia con el que este número tiene un mínimo. En general, cuando un número en el sistema decimal se redondea al decimal N-ésimo, la regla se puede formular de la siguiente manera:
  • si carácter N+1< 5 , luego se retiene el signo N, y N+1 y todos los subsiguientes se ponen a cero;
  • si N+1 caracteres ≥ 5, luego el signo N-ésimo se incrementa en uno, y N + 1 y todos los siguientes se ponen a cero;
  Por ejemplo: 11,9 → 12; -0,9 → -1; −1,1 → −1; 2.5 → 3.
• Módulo de redondeo a la baja(redondeo a cero, entero Ing. arreglar, truncar, entero) es el redondeo más “sencillo”, ya que tras poner a cero los signos “extra”, se conserva el signo anterior. Por ejemplo, 11,9 → 11; −0,9 → 0; −1,1 → −1).
• Redondeando(redondear a +∞, redondear hacia arriba, ing. techo) - si los signos anulables no son iguales a cero, el signo anterior se incrementa en uno si el número es positivo, o se mantiene si el número es negativo. En la jerga económica - redondeo a favor del vendedor, acreedor(de la persona que recibe el dinero). En particular, 2,6 → 3, −2,6 → −2.
• redondeando hacia abajo(redondear a −∞, redondear hacia abajo, ingl. piso) - si los signos anulables no son iguales a cero, el signo anterior se retiene si el número es positivo, o se incrementa en uno si el número es negativo. En la jerga económica - redondeo a favor del comprador, deudor(la persona que da el dinero). Aquí 2.6 → 2, −2.6 → −3.
• Módulo de redondeo(redondear hacia el infinito, redondear desde cero) es una forma de redondeo relativamente poco utilizada. Si los caracteres anulables no son iguales a cero, el carácter anterior se incrementa en uno.

Opciones de redondeo 0.5 al entero más cercano

Las reglas de redondeo requieren una descripción separada para el caso especial cuando (N+1)th dígito = 5 y los dígitos subsiguientes son cero. Si en todos los demás casos, el redondeo al entero más cercano proporciona un error de redondeo más pequeño, entonces este caso particular se caracteriza por el hecho de que para un solo redondeo es formalmente indiferente si es "hacia arriba" o "hacia abajo"; en ambos casos, se introduce un error de exactamente la mitad del dígito menos significativo. Existen las siguientes variantes de la regla de redondeo al entero más próximo para este caso:

• Redondeo matemático- el redondeo siempre es hacia arriba (el dígito anterior siempre se incrementa en uno).
• Redondeo bancario(Inglés) redondeo bancario) - el redondeo para este caso ocurre al número par más cercano, es decir, 2.5 → 2, 3.5 → 4.
• Redondeo aleatorio- redondeando hacia arriba o hacia abajo al azar, pero con la misma probabilidad (se puede usar en estadísticas).
• redondeo alternativo- El redondeo se produce alternativamente hacia arriba o hacia abajo.

En todos los casos, cuando el (N + 1)-ésimo signo no es igual a 5 o los signos posteriores no son iguales a cero, el redondeo se produce de acuerdo con las reglas habituales: 2,49 → 2; 2.51 → 3.

El redondeo matemático simplemente corresponde formalmente a la regla general de redondeo (ver arriba). Su desventaja es que al redondear una gran cantidad de valores, puede ocurrir acumulación. errores de redondeo. Un ejemplo típico: redondeo a rublos enteros de cantidades monetarias. Entonces, si en el registro de 10,000 líneas hay 100 líneas con montos que contienen el valor de 50 en términos de kopeks (y esta es una estimación muy realista), entonces cuando todas esas líneas se redondean "hacia arriba", la suma de " total” según el registro redondeado será de 50 rublos más que el exacto.

Las otras tres opciones simplemente se inventaron para reducir el error total de la suma al redondear una gran cantidad de valores. El redondeo "al par más cercano" asume que con una gran cantidad de valores redondeados que tienen 0.5 en el resto redondeado, en promedio, la mitad estará a la izquierda y la otra mitad a la derecha del par más cercano, por lo que los errores de redondeo se cancelarán. unos a otros. Estrictamente hablando, esta suposición es cierta solo cuando el conjunto de números que se redondea tiene las propiedades de una serie aleatoria, lo que suele ser cierto en las aplicaciones de contabilidad donde hablamos de precios, montos en cuentas, etc. Si se viola la suposición, el redondeo "a la par" puede conducir a errores sistemáticos. Para tales casos, los siguientes dos métodos funcionan mejor.

Las dos últimas opciones de redondeo aseguran que aproximadamente la mitad de los valores especiales se redondeen en un sentido y la otra mitad en el otro. Pero la implementación de tales métodos en la práctica requiere esfuerzos adicionales para organizar el proceso computacional.

Aplicaciones

El redondeo se utiliza para trabajar con números dentro del número de dígitos que corresponde a la precisión real de los parámetros de cálculo (si estos valores son valores reales medidos de una forma u otra), la precisión de cálculo alcanzable de manera realista, o la precisión deseada del resultado. En el pasado, el redondeo de valores intermedios y el resultado tenían una importancia práctica (porque al calcular en papel o usar dispositivos primitivos como el ábaco, tener en cuenta decimales adicionales puede aumentar seriamente la cantidad de trabajo). Ahora sigue siendo un elemento de la cultura científica y de ingeniería. En las aplicaciones de contabilidad, además, puede ser necesario el uso de redondeo, incluidos los intermedios, para proteger contra errores de cálculo asociados con la capacidad finita de bits de los dispositivos informáticos.

Uso del redondeo cuando se trabaja con números de precisión limitada

Las magnitudes físicas reales se miden siempre con cierta precisión finita, que depende de los instrumentos y métodos de medición y se estima por la máxima desviación relativa o absoluta del valor real desconocido del valor medido, que en representación decimal del valor corresponde a un cierto número de dígitos significativos, o a una cierta posición en la notación de un número, todos los números después (a la derecha) de los cuales son insignificantes (están dentro del error de medición). Los propios parámetros medidos se registran con tal número de caracteres que todas las cifras son fiables, quizás la última dudosa. El error en las operaciones matemáticas con números de precisión limitada se conserva y cambia de acuerdo con las leyes matemáticas conocidas, por lo que cuando aparecen valores intermedios y resultados con una gran cantidad de dígitos en cálculos posteriores, solo una parte de estos dígitos son significativos. Las cifras restantes, al estar presentes en los valores, en realidad no reflejan ninguna realidad física y solo toman tiempo para los cálculos. Como resultado, los valores intermedios y los resultados en cálculos con precisión limitada se redondean al número de decimales que refleja la precisión real de los valores obtenidos. En la práctica, se suele recomendar almacenar un dígito más en valores intermedios para cálculos manuales largos "encadenados". Cuando se usa una computadora, los redondeos intermedios en aplicaciones científicas y técnicas a menudo pierden su significado, y solo se redondea el resultado.

Entonces, por ejemplo, si se da una fuerza de 5815 gf con una precisión de un gramo de fuerza y ​​una longitud de hombro de 1,4 m con una precisión de un centímetro, entonces el momento de la fuerza en kgf según la fórmula, en el caso de un cálculo formal con todos los signos, será igual a: 5,815 kgf 1,4 m = 8,141 kgf m. Sin embargo, si tenemos en cuenta el error de medida, obtenemos que el error relativo límite del primer valor es 1/5815 ≈ 1,7 10 −4 , segundo - 1/140 ≈ 7,1 10 −3 , el error relativo del resultado según la regla de error de la operación de multiplicación (al multiplicar valores aproximados, los errores relativos se suman) será 7,3 10 −3 , que corresponde al error absoluto máximo del resultado ±0.059 kgf m! Es decir, en realidad, teniendo en cuenta el error, el resultado puede ser de 8.082 a 8.200 kgf m, por lo tanto, en el valor calculado de 8.141 kgf m, solo el primer dígito es completamente confiable, ¡incluso el segundo ya es dudoso! Será correcto redondear el resultado del cálculo al primer dígito dudoso, es decir, a las décimas: 8,1 kgf m, o, en su caso, una indicación más precisa del margen de error, presentarlo en forma redondeada a uno o dos decimales con una indicación del error: 8,14 ± 0,06 kgf·m.

Reglas empíricas de la aritmética con redondeo.

En los casos en los que no es necesario tener en cuenta con precisión los errores de cálculo, sino que solo es necesario estimar aproximadamente la cantidad de números exactos como resultado del cálculo mediante la fórmula, puede usar un conjunto de reglas simples para los cálculos redondeados:

1. Todos los valores sin procesar se redondean a la precisión de medición real y se registran con el número apropiado de dígitos significativos, de modo que en notación decimal todos los dígitos sean confiables (se permite que el último dígito sea dudoso). Si es necesario, los valores se registran con ceros significativos a la derecha para que el número real de caracteres confiables se indique en el registro (por ejemplo, si una longitud de 1 m se mide al centímetro más cercano, "1,00 m" es escrito de modo que se pueda ver que dos caracteres son confiables en el registro después del punto decimal), o se indica explícitamente la precisión (por ejemplo, 2500 ± 5 m; aquí solo las decenas son confiables y deben redondearse hacia arriba) .
2. Los valores intermedios se redondean con un dígito "de repuesto".
3. Al sumar y restar, el resultado se redondea al último decimal del menos exacto de los parámetros (por ejemplo, al calcular un valor de 1,00 m + 1,5 m + 0,075 m, el resultado se redondea a décimas de metro, que es decir, a 2,6 m). Al mismo tiempo, se recomienda realizar los cálculos en un orden que evite restar números de magnitud cercana y realizar operaciones con números, si es posible, en orden ascendente de sus módulos.
4. Al multiplicar y dividir, el resultado se redondea al menor número de dígitos significativos que tienen los parámetros (por ejemplo, al calcular la velocidad de movimiento uniforme de un cuerpo a una distancia de 2.5 10 2 m, durante 600 s, el resultado debe ser redondearse a 4,2 m/s, ya que la distancia tiene dos dígitos y el tiempo tres, suponiendo que todos los dígitos de la entrada sean significativos).
5. Al calcular el valor de la función f(x) se requiere estimar el valor del módulo de la derivada de esta función en la vecindad del punto de cálculo. si un (|f"(x)| ≤ 1), entonces el resultado de la función es exacto al mismo lugar decimal que el argumento. De lo contrario, el resultado contiene menos lugares decimales exactos por la cantidad registro 10 (|f"(x)|), redondeado al entero más próximo.

A pesar de la falta de rigor, las reglas anteriores funcionan bastante bien en la práctica, en particular, debido a la probabilidad bastante alta de cancelación mutua de errores, que generalmente no se tiene en cuenta cuando los errores se tienen en cuenta con precisión.

Errores

Muy a menudo hay abusos de números no redondos. Por ejemplo:

• Escriba números que tengan poca precisión, en forma no redondeada. En estadística: si 4 personas de 17 respondieron “sí”, entonces escriben “23,5%” (mientras que “24%” es correcto).
• Los usuarios de punteros a veces piensan así: "el puntero se detuvo entre 5,5 y 6 más cerca de 6, que sea 5,8"; esto también está prohibido (la graduación del dispositivo generalmente corresponde a su precisión real). En este caso, debe decir "5.5" o "6".

ver también

• Procesamiento de observaciones
• Errores de redondeo

notas

Literatura

• Henry S. Warren, Jr. Capítulo 3// Trucos algorítmicos para programadores = Hacker's Delight.- M.: Williams, 2007. - S. 288. - ISBN 0-201-91465-4

Redondear números es la operación matemática más simple. Para poder redondear números correctamente, necesitas conocer tres reglas.

Regla 1

Cuando redondeamos un número a un cierto dígito, debemos deshacernos de todos los dígitos a la derecha de ese dígito.

Por ejemplo, necesitamos redondear el número 7531 a la centena más cercana. Este número es quinientos. A la derecha de esta categoría están los números 3 y 1. Los convertimos en ceros y obtenemos el número 7500. Es decir, redondeando el número 7531 a centenas, obtuvimos 7500.

Al redondear números fraccionarios, todo sucede de la misma manera, solo se pueden descartar los dígitos adicionales. Digamos que necesitamos redondear el número 12.325 a décimas. Para hacer esto, después del punto decimal, debemos dejar un dígito, 3, y descartar todos los números a la derecha. El resultado de redondear el número 12,325 a las décimas es 12,3.

Regla 2

Si a la derecha del dígito restante el dígito descartado es 0, 1, 2, 3 o 4, entonces el dígito que dejamos no cambia.

Esta regla funcionó en los dos ejemplos anteriores.

Entonces, al redondear el número 7531 a centenas, la cifra más cercana a la descartada fue un tres. Por lo tanto, el número que dejamos, 5, no ha cambiado. El resultado del redondeo es 7500.

De manera similar, cuando 12.325 se redondeó a décimas, el dígito que eliminamos después del tres fue un dos. Por lo tanto, el de la derecha de los dígitos restantes (tres) no cambió durante el redondeo. Resultó 12.3.

regla 3

Si el dígito más a la izquierda de los dígitos descartados es 5, 6, 7, 8 o 9, entonces el dígito al que redondeamos se incrementa en uno.

Por ejemplo, necesitas redondear el número 156 a decenas. Hay 5 decenas en este número. El lugar de las unidades del que nos vamos a deshacer es el número 6. Esto significa que debemos aumentar el lugar de las decenas en uno. Por lo tanto, al redondear el número 156 a las decenas, obtenemos 160.

Considere un ejemplo con un número fraccionario. Por ejemplo, vamos a redondear 0,238 a la centésima más cercana. Por la regla 1, debemos descartar el ocho, que está a la derecha del lugar centésimo. Y de acuerdo con la regla 3, tenemos que aumentar los tres en el lugar centésimo por uno. Como resultado, redondeando el número 0,238 a las centésimas, obtenemos 0,24.

Veamos ejemplos de cómo redondear a las décimas de un número usando las reglas de redondeo.

Regla para redondear números a las décimas.

Para redondear un decimal a décimas, debe dejar solo un dígito después del punto decimal y descartar todos los demás dígitos que le siguen.

Si el primero de los dígitos descartados es 0, 1, 2, 3 o 4, entonces el dígito anterior no cambia.

Si el primero de los dígitos descartados es 5, 6, 7, 8 o 9, entonces el dígito anterior se incrementa en uno.

Ejemplos.

Redondeo a décimas:

Para redondear un número a décimas, deja el primer dígito después del punto decimal y descarta el resto. Como el primer dígito descartado es 5, aumentamos el dígito anterior en uno. Dicen: "Veintitrés punto setenta y cinco centésimas es aproximadamente igual a veintitrés punto ocho".

Para redondear este número a décimas, deja solo el primer dígito después del punto decimal, descarta el resto. El primer dígito descartado es 1, por lo que el dígito anterior no cambia. Dicen: "Trescientos cuarenta y ocho punto treinta y un centésimo es aproximadamente igual a trescientos cuarenta y uno punto tres".

Redondeando a décimas, dejamos un dígito después del punto decimal y descartamos el resto. El primero de los dígitos descartados es el 6, lo que significa que aumentamos uno en uno el anterior. Dicen: "Cuarenta y nueve coma novecientos sesenta y dos milésimas es aproximadamente igual a cincuenta coma cero décimas".

Redondeamos a las décimas, así que después de la coma dejamos solo el primero de los dígitos, el resto se descartan. El primero de los dígitos descartados es 4, lo que significa que dejamos el dígito anterior sin cambios. Dicen: "Siete coma veintiocho milésimas es aproximadamente igual a siete coma cero décimas".

Para redondear a décimas, este número deja un dígito después del punto decimal y descarta todos los siguientes. Dado que el primer dígito descartado es 7, por lo tanto, sumamos uno al anterior. Dicen: "Cincuenta y seis coma ocho mil setecientos seis diezmilésimas es aproximadamente igual a cincuenta y seis coma nueve décimas".

Y un par de ejemplos más para redondear a décimas:

Los números fraccionarios en las hojas de cálculo de Excel se pueden mostrar en diversos grados. precisión:

• la mayoría simple método - en la pestaña " hogar» presione los botones « Aumentar la profundidad de bits" o " Reducir la profundidad de bits»;
• hacer clic botón derecho del ratón por celda, en el menú desplegable, seleccione " Formato de celda...”, luego la pestaña “ Número", seleccione el formato" Numérico”, determine cuántos lugares decimales habrá después del punto decimal (se sugieren 2 lugares decimales por defecto);
• haga clic en la celda, en la pestaña " hogar" elegir " Numérico", o ir a " Otros formatos de número...” y configurar allí.

Así es como se ve la fracción 0.129 si cambias el número de lugares decimales en el formato de celda:

Tenga en cuenta que A1, A2, A3 tienen el mismo sentido, sólo cambia la forma de representación. En cálculos posteriores, no se utilizará el valor visible en la pantalla, sino inicial. Para un usuario novato de hojas de cálculo, esto puede ser un poco confuso. Para cambiar realmente el valor, debe usar funciones especiales, hay varias en Excel.

fórmula de redondeo

Una de las funciones de redondeo más utilizadas es REDONDO. Funciona de acuerdo con las reglas matemáticas estándar. Seleccione una celda, haga clic en " Función de inserción", categoría " Matemático", encontramos REDONDO

Definimos los argumentos, hay dos de ellos: ella misma fracción y Monto descargas Hacemos clic en " OK' y mira lo que pasa.

Por ejemplo, la expresión =REDONDO(0.129,1) dará un resultado de 0.1. El número cero de dígitos le permite deshacerse de la parte fraccionaria. Elegir un número negativo de dígitos le permite redondear la parte entera a decenas, centenas, etc. Por ejemplo, la expresión =REDONDO(5,129,-1) dará 10.

Redondear hacia arriba o hacia abajo

Excel proporciona otras herramientas que le permiten trabajar con decimales. Uno de ellos - REDONDEO, da el número más cercano, más módulo. Por ejemplo, la expresión =REDONDEAR(-10,2,0) dará -11. El número de dígitos aquí es 0, lo que significa que obtenemos un valor entero. entero más cercano, mayor en módulo, - solo -11. Ejemplo de uso:

REDONDEAR A LA BAJA similar a la función anterior, pero devuelve el valor más cercano que es menor en valor absoluto. La diferencia en el trabajo de los medios anteriores se puede ver en ejemplos: