I. El producto escalar se anula si y solo si al menos uno de los vectores es cero o si los vectores son perpendiculares. De hecho, si o , o entonces .

Por el contrario, si los vectores multiplicados no son cero, entonces debido a la condición

cuando sigue:

Dado que la dirección del vector nulo es indefinida, el vector nulo puede considerarse perpendicular a cualquier vector. Por lo tanto, la propiedad indicada del producto escalar se puede formular de manera más breve: el producto escalar se anula si y solo si los vectores son perpendiculares.

II. El producto escalar tiene la propiedad de desplazabilidad:

Esta propiedad se sigue directamente de la definición:

porque diferentes designaciones para el mismo ángulo.

tercero La ley distributiva tiene una importancia excepcional. Su aplicación es tan grande como en la aritmética ordinaria o el álgebra, donde se formula de la siguiente manera: para multiplicar la suma, se necesita multiplicar cada término y sumar los productos resultantes, es decir

Obviamente, la multiplicación de números de varios valores en aritmética o polinomios en álgebra se basa en esta propiedad de la multiplicación.

Esta ley tiene el mismo significado fundamental en álgebra vectorial, ya que en base a ella podemos aplicar la regla usual para la multiplicación de polinomios a vectores.

Probemos que para cualesquiera tres vectores A, B, C, la igualdad

Según la segunda definición del producto escalar, expresada por la fórmula, obtenemos:

Aplicando ahora la propiedad 2 de las proyecciones del § 5, encontramos:

QED

IV. El producto escalar tiene la propiedad de combinación con respecto al factor numérico; esta propiedad se expresa mediante la siguiente fórmula:

es decir, para multiplicar el producto escalar de vectores por un número, basta con multiplicar uno de los factores por ese número.

También habrá tareas para una solución independiente, cuyas respuestas podrá ver.

Si en el problema tanto las longitudes de los vectores como el ángulo entre ellos se presentan "en bandeja de plata", entonces la condición del problema y su solución se ven así:

Ejemplo 1 Se dan vectores. Encuentre el producto escalar de vectores si sus longitudes y el ángulo entre ellos están representados por los siguientes valores:

También es válida otra definición, que es completamente equivalente a la definición 1.

Definición 2. El producto escalar de vectores es un número (escalar) igual al producto de la longitud de uno de estos vectores y la proyección de otro vector sobre el eje determinado por el primero de estos vectores. Fórmula según definición 2:

Resolveremos el problema usando esta fórmula después del siguiente punto teórico importante.

Definición del producto escalar de vectores en términos de coordenadas

Se puede obtener el mismo número si los vectores multiplicados están dados por sus coordenadas.

Definición 3. El producto punto de los vectores es el número igual a la suma de los productos por pares de sus respectivas coordenadas.

En la superficie

Si dos vectores y en el plano están definidos por sus dos Coordenadas cartesianas

entonces el producto punto de estos vectores es igual a la suma de los productos por pares de sus respectivas coordenadas:

.

Ejemplo 2 Encuentre el valor numérico de la proyección del vector sobre el eje paralelo al vector.

Solución. Encontramos el producto escalar de vectores sumando los productos por pares de sus coordenadas:

Ahora necesitamos igualar el producto escalar resultante al producto de la longitud del vector y la proyección del vector sobre un eje paralelo al vector (de acuerdo con la fórmula).

Encontramos la longitud del vector como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas:

.

Escribe una ecuación y resuélvela:

Responder. El valor numérico deseado es menos 8.

En el espacio

Si dos vectores y en el espacio están definidos por sus tres coordenadas rectangulares cartesianas

,

entonces el producto escalar de estos vectores también es igual a la suma de los productos por pares de sus respectivas coordenadas, solo que ya hay tres coordenadas:

.

La tarea de encontrar el producto escalar de la manera considerada es después de analizar las propiedades del producto escalar. Porque en la tarea será necesario determinar qué ángulo forman los vectores multiplicados.

Propiedades del Producto Punto de Vectores

Propiedades algebraicas

1. (propiedad conmutativa: el valor de su producto escalar no cambia al cambiar los lugares de los vectores multiplicados).

2. (propiedad asociativa con respecto a un factor numérico: el producto escalar de un vector multiplicado por algún factor y otro vector es igual al producto escalar de estos vectores multiplicado por el mismo factor).

3. (propiedad distributiva con respecto a la suma de vectores: el producto escalar de la suma de dos vectores por el tercer vector es igual a la suma de los productos escalares del primer vector por el tercer vector y del segundo vector por el tercer vector).

4. (cuadrado escalar de un vector mayor que cero) si es un vector distinto de cero, y , si es un vector cero.

Propiedades geométricas

En las definiciones de la operación en estudio, ya hemos tocado el concepto de ángulo entre dos vectores. Es hora de aclarar este concepto.

En la figura de arriba, son visibles dos vectores, que se llevan a un comienzo común. Y lo primero a lo que debe prestar atención: hay dos ángulos entre estos vectores: φ 1 y φ 2 . ¿Cuál de estos ángulos aparece en las definiciones y propiedades del producto escalar de vectores? La suma de los ángulos considerados es 2 π y por lo tanto los cosenos de estos ángulos son iguales. La definición del producto punto incluye solo el coseno del ángulo, no el valor de su expresión. Pero solo se considera una esquina en las propiedades. Y este es el uno de los dos ángulos que no excede π es decir, 180 grados. Este ángulo se muestra en la figura como φ 1 .

1. Dos vectores se llaman ortogonal y el ángulo entre estos vectores es un recto (90 grados o π /2 ) si el producto escalar de estos vectores es cero :

.

La ortogonalidad en álgebra vectorial es la perpendicularidad de dos vectores.

2. Dos vectores distintos de cero forman esquina filosa (de 0 a 90 grados, o lo que es lo mismo, menos π producto escalar es positivo .

3. Dos vectores distintos de cero forman ángulo obtuso (de 90 a 180 grados, o lo que es lo mismo - más π /2 ) si y solo si el producto escalar es negativo .

Ejemplo 3 Los vectores se dan en coordenadas:

.

Calcule los productos punto de todos los pares de vectores dados. ¿Qué ángulo (agudo, recto, obtuso) forman estos pares de vectores?

Solución. Calcularemos sumando los productos de las coordenadas correspondientes.

Obtuvimos un número negativo, por lo que los vectores forman un ángulo obtuso.

Obtuvimos un número positivo, por lo que los vectores forman un ángulo agudo.

Obtuvimos cero, por lo que los vectores forman un ángulo recto.

Obtuvimos un número positivo, por lo que los vectores forman un ángulo agudo.

.

Obtuvimos un número positivo, por lo que los vectores forman un ángulo agudo.

Para la autocomprobación, puede utilizar calculadora en línea Producto punto de vectores y coseno del ángulo entre ellos .

Ejemplo 4 Dadas las longitudes de dos vectores y el ángulo entre ellos:

.

Determine en qué valor del número los vectores y son ortogonales (perpendiculares).

Solución. Multiplicamos los vectores según la regla de la multiplicación de polinomios:

Ahora calculemos cada término:

.

Compongamos una ecuación (igualdad del producto a cero), demos términos semejantes y resolvamos la ecuación:

Respuesta: tenemos el valor λ = 1.8 , en el que los vectores son ortogonales.

Ejemplo 5 Demostrar que el vector ortogonal (perpendicular) a vector

Solución. Para comprobar la ortogonalidad, multiplicamos los vectores y como polinomios, sustituyendo la expresión dada en la condición del problema en su lugar:

.

Para hacer esto, debe multiplicar cada término (término) del primer polinomio por cada término del segundo y agregar los productos resultantes:

.

Como resultado, la fracción adeudada se reduce. Se obtiene el siguiente resultado:

Conclusión: como resultado de la multiplicación, obtuvimos cero, por lo tanto, se demuestra la ortogonalidad (perpendicularidad) de los vectores.

Resuelva el problema usted mismo y luego vea la solución.

Ejemplo 6 Dadas las longitudes de los vectores y , y el ángulo entre estos vectores es π /cuatro . determinar a que valor μ vectores y son mutuamente perpendiculares.

Para la autocomprobación, puede utilizar calculadora en línea Producto punto de vectores y coseno del ángulo entre ellos .

Representación matricial del producto escalar de vectores y el producto de vectores n-dimensionales

A veces, para mayor claridad, es ventajoso representar dos vectores multiplicados en forma de matrices. Luego, el primer vector se representa como una matriz de fila y el segundo, como una matriz de columna:

Entonces el producto escalar de vectores será el producto de estas matrices :

El resultado es el mismo que el obtenido por el método que ya hemos considerado. Obtuvimos un solo número, y el producto de la matriz-fila por la matriz-columna también es un solo número.

En forma matricial, es conveniente representar el producto de vectores n-dimensionales abstractos. Así, el producto de dos vectores cuadridimensionales será el producto de una matriz fila de cuatro elementos por una matriz columna también de cuatro elementos, el producto de dos vectores pentadimensionales será el producto de una matriz fila de cinco elementos por una matriz columna también con cinco elementos, y así sucesivamente.

Ejemplo 7 Hallar productos punto de pares de vectores

,

mediante representación matricial.

Solución. El primer par de vectores. Representamos el primer vector como una matriz fila y el segundo como una matriz columna. Encontramos el producto escalar de estos vectores como el producto de la matriz fila por la matriz columna:

De manera similar, representamos el segundo par y encontramos:

Como puede ver, los resultados son los mismos que para los mismos pares del ejemplo 2.

Ángulo entre dos vectores

La derivación de la fórmula para el coseno del ángulo entre dos vectores es muy bonita y concisa.

Para expresar el producto escalar de vectores

(1)

en forma de coordenadas, primero encontramos el producto escalar de los orts. El producto escalar de un vector consigo mismo es por definición:

Lo que está escrito en la fórmula anterior significa: el producto escalar de un vector consigo mismo es igual al cuadrado de su longitud. El coseno de cero es igual a uno, por lo que el cuadrado de cada orto será igual a uno:

Dado que los vectores

son perpendiculares por pares, entonces los productos por pares de los orts serán iguales a cero:

Ahora realicemos la multiplicación de polinomios vectoriales:

Sustituimos en el lado derecho de la igualdad los valores de los correspondientes productos escalares de los orts:

Obtenemos la fórmula para el coseno del ángulo entre dos vectores:

Ejemplo 8 dados tres puntos A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Encuentra un ángulo.

Solución. Encontramos las coordenadas de los vectores:

,

.

Usando la fórmula para el coseno de un ángulo, obtenemos:

Como consecuencia, .

Para la autocomprobación, puede utilizar calculadora en línea Producto punto de vectores y coseno del ángulo entre ellos .

Ejemplo 9 Dados dos vectores

Encuentra la suma, la diferencia, la longitud, el producto escalar y el ángulo entre ellos.

Producto escalar de vectores

Seguimos tratando con vectores. En la primera lección Vectores para tontos hemos considerado el concepto de vector, acciones con vectores, coordenadas vectoriales y los problemas más simples con vectores. Si llegaste a esta página por primera vez desde un motor de búsqueda, te recomiendo leer el artículo introductorio anterior, porque para asimilar el material, debes guiarte en los términos y la notación que uso, tener conocimientos básicos de vectores. y ser capaz de resolver problemas elementales. Esta lección es una continuación lógica del tema, y ​​en ella analizaré en detalle tareas típicas que usan el producto escalar de vectores. Este es un trabajo MUY IMPORTANTE.. Trate de no omitir los ejemplos, vienen con una bonificación útil: la práctica lo ayudará a consolidar el material cubierto y "obtener su mano" para resolver problemas comunes de geometría analítica.

Sumar vectores, multiplicar un vector por un número…. Sería ingenuo pensar que a los matemáticos no se les ha ocurrido otra cosa. Además de las acciones ya consideradas, existen otras operaciones con vectores, a saber: producto escalar de vectores, producto vectorial de vectores y producto mixto de vectores . El producto escalar de vectores nos es familiar desde la escuela, los otros dos productos están tradicionalmente relacionados con el curso de matemáticas superiores. Los temas son simples, el algoritmo para resolver muchos problemas es estereotipado y comprensible. La única cosa. Hay una cantidad decente de información, por lo que no es deseable tratar de dominar y resolver TODO Y DE UNA VEZ. Esto es especialmente cierto para los tontos, créanme, el autor no quiere sentirse como Chikatilo de las matemáticas. Bueno, tampoco de las matemáticas, por supuesto =) Los alumnos más preparados pueden usar los materiales selectivamente, en cierto sentido, para “adquirir” los conocimientos que faltan, para ti seré un inofensivo Conde Drácula =)

Finalmente, abramos un poco la puerta y echemos un vistazo a lo que sucede cuando dos vectores se encuentran...

Definición del producto escalar de vectores.
Propiedades del producto escalar. Tareas típicas

El concepto de producto punto

primero sobre ángulo entre vectores. Creo que todos entienden intuitivamente cuál es el ángulo entre vectores, pero por si acaso, un poco más. Considere vectores libres distintos de cero y . Si posponemos estos vectores desde un punto arbitrario, obtenemos una imagen que muchos ya han presentado mentalmente:

Lo confieso, aquí describí la situación solo a nivel de comprensión. Si necesita una definición estricta del ángulo entre vectores, consulte el libro de texto, pero para tareas prácticas, en principio, no la necesitamos. También AQUÍ Y MÁS ALLÁ, a veces ignoraré los vectores cero debido a su poca importancia práctica. Hice una reserva específicamente para los visitantes avanzados del sitio, quienes pueden reprocharme el carácter incompleto teórico de algunas de las siguientes declaraciones.

puede tomar valores de 0 a 180 grados (de 0 a radianes) inclusive. Analíticamente, este hecho se escribe como una doble desigualdad: o (en radianes).

En la literatura, el ícono del ángulo a menudo se omite y se escribe simplemente.

Definición: El producto escalar de dos vectores es un NÚMERO igual al producto de las longitudes de estos vectores y el coseno del ángulo entre ellos:

Esa es una definición bastante estricta.

Nos centramos en la información esencial:

Designacion: el producto escalar se denota por o simplemente .

El resultado de la operación es un NÚMERO: Multiplica un vector por un vector para obtener un número. De hecho, si las longitudes de los vectores son números, el coseno del ángulo es un número, entonces su producto también será un número.

Solo un par de ejemplos de calentamiento:

Ejemplo 1

Solución: Usamos la fórmula . En este caso:

Responder:

Los valores del coseno se pueden encontrar en tabla trigonométrica . Recomiendo imprimirlo: se requerirá en casi todas las secciones de la torre y se requerirá muchas veces.

Desde un punto de vista puramente matemático, el producto escalar es adimensional, es decir, el resultado, en este caso, es solo un número y listo. Desde el punto de vista de los problemas de la física, el producto escalar siempre tiene un significado físico determinado, es decir, después del resultado se debe indicar una u otra unidad física. El ejemplo canónico de calcular el trabajo de una fuerza se puede encontrar en cualquier libro de texto (la fórmula es exactamente un producto escalar). El trabajo de una fuerza se mide en julios, por lo tanto, la respuesta se escribirá de manera bastante específica, por ejemplo.

Ejemplo 2

encontrar si , y el ángulo entre los vectores es .

Este es un ejemplo de autodecisión, la respuesta está al final de la lección.

Ángulo entre vectores y valor del producto escalar

En el Ejemplo 1, el producto escalar resultó ser positivo y en el Ejemplo 2 resultó ser negativo. Averigüemos de qué depende el signo del producto escalar. Veamos nuestra fórmula: . Las longitudes de los vectores distintos de cero son siempre positivas: , por lo que el signo solo puede depender del valor del coseno.

Nota: Para una mejor comprensión de la información a continuación, es mejor estudiar el gráfico de coseno en el manual Gráficas y propiedades de funciones . Vea cómo se comporta el coseno en el segmento.

Como ya se señaló, el ángulo entre los vectores puede variar dentro de , y son posibles los siguientes casos:

1) Si esquina entre vectores picante: (de 0 a 90 grados), luego , y el producto escalar será positivo codirigido, entonces el ángulo entre ellos se considera cero y el producto escalar también será positivo. Como , entonces la fórmula se simplifica: .

2) Si esquina entre vectores tonto: (de 90 a 180 grados), luego , y en consecuencia, el producto escalar es negativo: . Caso especial: si los vectores dirigido de manera opuesta, entonces el ángulo entre ellos se considera desplegada: (180 grados). El producto escalar también es negativo, ya que

Las afirmaciones inversas también son verdaderas:

1) Si , entonces el ángulo entre estos vectores es agudo. Alternativamente, los vectores son codireccionales.

2) Si , entonces el ángulo entre estos vectores es obtuso. Alternativamente, los vectores están dirigidos de manera opuesta.

Pero el tercer caso es de particular interés:

3) Si esquina entre vectores directo: (90 grados) entonces y el producto escalar es cero: . Lo contrario también es cierto: si , entonces . La declaración compacta se formula de la siguiente manera: El producto escalar de dos vectores es cero si y solo si los vectores dados son ortogonales. Notación matemática corta:

! Nota : repetir fundamentos de la logica matematica : el icono de consecuencia lógica de doble cara generalmente se lee "si y solo entonces", "si y solo si". Como puede ver, las flechas están dirigidas en ambas direcciones: "de esto sigue esto, y viceversa, de esto sigue esto". Por cierto, ¿cuál es la diferencia con el ícono de seguimiento unidireccional? Reclamaciones de iconos sólo eso que "de esto sigue esto", y no el hecho de que lo contrario es cierto. Por ejemplo: , pero no todos los animales son panteras, por lo que el ícono no se puede usar en este caso. Al mismo tiempo, en lugar del icono pueden utilice un icono de un solo lado. Por ejemplo, al resolver el problema, descubrimos que llegamos a la conclusión de que los vectores son ortogonales: - tal registro será correcto, e incluso más apropiado que .

El tercer caso es de gran importancia práctica., ya que permite comprobar si los vectores son ortogonales o no. Resolveremos este problema en la segunda sección de la lección.

Propiedades del producto punto

Volvamos a la situación cuando dos vectores codirigido. En este caso, el ángulo entre ellos es cero, y la fórmula del producto escalar toma la forma: .

¿Qué sucede si un vector se multiplica por sí mismo? Está claro que el vector está codirigido consigo mismo, por lo que usamos la fórmula simplificada anterior:

el numero se llama cuadrado escalar vector , y se denotan como .

De este modo, el cuadrado escalar de un vector es igual al cuadrado de la longitud del vector dado:

A partir de esta igualdad, puedes obtener una fórmula para calcular la longitud de un vector:

Si bien parece oscuro, las tareas de la lección pondrán todo en su lugar. Para resolver problemas, también necesitamos propiedades del producto escalar.

Para vectores arbitrarios y cualquier número, las siguientes propiedades son verdaderas:

1) - desplazable o conmutativo Ley del producto escalar.

2) - distribución o distributivo Ley del producto escalar. En pocas palabras, puede abrir paréntesis.

3) - combinación o de asociación Ley del producto escalar. La constante se puede sacar del producto escalar.

A menudo, los estudiantes perciben todo tipo de propiedades (¡que también deben probarse!) como basura innecesaria, que solo necesita memorizarse y olvidarse de manera segura inmediatamente después del examen. Parecería que lo importante aquí, todos ya saben desde el primer grado que el producto no cambia por una permutación de los factores:. Debo advertirles, en matemáticas superiores con tal enfoque es fácil estropear las cosas. Así, por ejemplo, la propiedad conmutativa no es válida para matrices algebraicas . no es cierto para producto vectorial de vectores . Por lo tanto, al menos es mejor profundizar en las propiedades que encontrará en el curso de matemáticas superiores para comprender qué se puede y qué no se puede hacer.

Ejemplo 3

.

Solución: Primero, aclaremos la situación con el vector. ¿Que es todo esto? La suma de los vectores y es un vector bien definido, que se denota por . La interpretación geométrica de acciones con vectores se puede encontrar en el artículo. Vectores para tontos . El mismo perejil con un vector es la suma de los vectores y .

Entonces, según la condición, se requiere encontrar el producto escalar. En teoría, es necesario aplicar la fórmula de trabajo , pero el problema es que no conocemos las longitudes de los vectores y el ángulo entre ellos. Pero en la condición, se dan parámetros similares para los vectores, así que iremos por el otro lado:

(1) Sustituimos expresiones de vectores .

(2) Abrimos los paréntesis según la regla de la multiplicación de polinomios, un trabalenguas vulgar se puede encontrar en el artículo Números complejos o Integración de una función fraccionaria-racional . No me repetiré =) Por cierto, la propiedad distributiva del producto escalar nos permite abrir los paréntesis. Tenemos el derecho.

(3) En el primer y último término, escribimos de forma compacta los cuadrados escalares de los vectores: . En el segundo término, usamos la conmutabilidad del producto escalar: .

(4) Aquí hay términos similares: .

(5) En el primer término, usamos la fórmula del cuadrado escalar, que se mencionó no hace mucho. En el último término, respectivamente, funciona lo mismo: . El segundo término se expande de acuerdo con la fórmula estándar .

(6) Sustituir estas condiciones , y CUIDADOSAMENTE realice los cálculos finales.

Responder:

El valor negativo del producto escalar indica el hecho de que el ángulo entre los vectores es obtuso.

La tarea es típica, aquí hay un ejemplo para una solución independiente:

Ejemplo 4

Encuentre el producto escalar de los vectores y , si se sabe que .

Ahora otra tarea común, solo para la nueva fórmula de longitud de vector. Las designaciones aquí se superpondrán un poco, así que para mayor claridad, lo reescribiré con una letra diferente:

Ejemplo 5

Encuentre la longitud del vector si .

Solución será como sigue:

(1) Suministramos la expresión vectorial .

(2) Usamos la fórmula de longitud: , mientras que tenemos una expresión entera como el vector "ve".

(3) Usamos la fórmula de la escuela para el cuadrado de la suma. Presta atención a cómo funciona aquí curiosamente: - de hecho, este es el cuadrado de la diferencia, y, de hecho, es así. Aquellos que lo deseen pueden reordenar los vectores en lugares: - Resultó lo mismo excepto por un reordenamiento de los términos.

(4) Lo que sigue ya es familiar de los dos problemas anteriores.

Responder:

Como estamos hablando de longitud, no olvide indicar la dimensión - "unidades".

Ejemplo 6

Encuentre la longitud del vector si .

Este es un ejemplo de bricolaje. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Seguimos extrayendo cosas útiles del producto escalar. Veamos nuestra fórmula de nuevo. . Por la regla de la proporción, restablecemos las longitudes de los vectores al denominador del lado izquierdo:

Intercambiemos las partes:

¿Cuál es el significado de esta fórmula? Si se conocen las longitudes de dos vectores y su producto escalar, entonces se puede calcular el coseno del ángulo entre estos vectores y, en consecuencia, el ángulo mismo.

¿El producto escalar es un número? Número. ¿Las longitudes de los vectores son números? Números. Entonces una fracción también es un número. Y si se conoce el coseno del ángulo: , luego usando la función inversa es fácil encontrar el ángulo en sí: .

Ejemplo 7

Encuentre el ángulo entre los vectores y , si se sabe que .

Solución: Usamos la fórmula:

En la etapa final de los cálculos, se utilizó una técnica: la eliminación de la irracionalidad en el denominador. Para eliminar la irracionalidad, multipliqué el numerador y el denominador por .

Así que si , después:

Los valores de las funciones trigonométricas inversas se pueden encontrar por tabla trigonométrica . Aunque esto rara vez sucede. En los problemas de geometría analítica, aparece con mucha más frecuencia algún oso torpe, y el valor del ángulo se tiene que encontrar aproximadamente usando una calculadora. De hecho, veremos esta imagen una y otra vez.

Responder:

Nuevamente, no olvide especificar la dimensión: radianes y grados. Personalmente, para "eliminar todas las preguntas" deliberadamente, prefiero indicar ambas (a menos, por supuesto, por condición, que se requiera presentar la respuesta solo en radianes o solo en grados).

Ahora podrá hacer frente a una tarea más difícil por su cuenta:

Ejemplo 7*

Se dan las longitudes de los vectores y el ángulo entre ellos. Encuentra el ángulo entre los vectores , .

La tarea no es tan difícil como de múltiples vías.
Analicemos el algoritmo de solución:

1) De acuerdo con la condición, se requiere encontrar el ángulo entre los vectores y , por lo que debe usar la fórmula .

2) Encontramos el producto escalar (ver Ejemplos No. 3, 4).

3) Encuentra la longitud del vector y la longitud del vector (ver Ejemplos No. 5, 6).

4) El final de la solución coincide con el Ejemplo No. 7: conocemos el número , lo que significa que es fácil encontrar el ángulo en sí:

Solución corta y respuesta al final de la lección.

La segunda sección de la lección está dedicada al mismo producto escalar. coordenadas. Será aún más fácil que en la primera parte.

Producto escalar de vectores,
dado por coordenadas en una base ortonormal

Responder:

No hace falta decir que tratar con coordenadas es mucho más agradable.

Ejemplo 14

Encuentre el producto escalar de vectores y si

Este es un ejemplo de bricolaje. Aquí puede usar la asociatividad de la operación, es decir, no cuente, pero inmediatamente saque el triple del producto escalar y multiplique por el último. Solución y respuesta al final de la lección.

Al final del párrafo, un ejemplo provocativo de cálculo de la longitud de un vector:

Ejemplo 15

Encontrar longitudes de vectores , si

Solución: de nuevo se sugiere el método de la sección anterior: pero hay otra manera:

Encontremos el vector:

Y su longitud según la fórmula trivial :

¡El producto escalar no es relevante aquí en absoluto!

Qué tan fuera de negocio está cuando se calcula la longitud de un vector:
Deténgase. ¿Por qué no aprovechar la propiedad de longitud obvia de un vector? ¿Qué se puede decir acerca de la longitud de un vector? Este vector es 5 veces más largo que el vector. La dirección es opuesta, pero no importa, porque estamos hablando de longitud. Obviamente, la longitud del vector es igual al producto módulo números por longitud de vector:
- el signo del módulo "come" el posible menos del número.

De este modo:

Responder:

La fórmula para el coseno del ángulo entre vectores que están dados por coordenadas

Ahora tenemos información completa para que la fórmula derivada anteriormente para el coseno del ángulo entre vectores expresar en términos de coordenadas vectoriales:

Coseno del ángulo entre vectores planos y, dado en la base ortonormal, se expresa por la formula:
.

Coseno del ángulo entre vectores espaciales, dado en la base ortonormal , se expresa por la formula:

Ejemplo 16

Se dan tres vértices de un triángulo. Encuentra (ángulo del vértice).

Solución: Por condición, el dibujo no es obligatorio, pero aún así:

El ángulo requerido está marcado con un arco verde. Recordamos inmediatamente la designación escolar del ángulo: - especial atención a medio letra - este es el vértice del ángulo que necesitamos. Por brevedad, también podría escribirse de manera simple.

Del dibujo es bastante obvio que el ángulo del triángulo coincide con el ángulo entre los vectores y , en otras palabras: .

Es deseable aprender a realizar el análisis realizado mentalmente.

Encontremos los vectores:

Calculemos el producto escalar:

Y las longitudes de los vectores:

Coseno de un ángulo:

Es este orden de la tarea que recomiendo a los tontos. Los lectores más avanzados pueden escribir los cálculos "en una línea":

Aquí hay un ejemplo de un valor de coseno "malo". El valor resultante no es definitivo, por lo que no tiene mucho sentido deshacerse de la irracionalidad en el denominador.

Encontremos el ángulo:

Si miras el dibujo, el resultado es bastante plausible. Para comprobar el ángulo también se puede medir con un transportador. No dañe el revestimiento del monitor =)

Responder:

En la respuesta, no olvides que preguntó sobre el ángulo del triángulo(y no del ángulo entre los vectores), no olvide indicar la respuesta exacta: y el valor aproximado del ángulo: encontrado con una calculadora.

Aquellos que han disfrutado del proceso pueden calcular los ángulos y asegurarse de que la igualdad canónica sea verdadera.

Ejemplo 17

Un triángulo está dado en el espacio por las coordenadas de sus vértices. Encuentre el ángulo entre los lados y

Este es un ejemplo de bricolaje. Solución completa y respuesta al final de la lección.

Se dedicará un pequeño apartado final a las proyecciones, en el que también está "involucrado" el producto escalar:

Proyección de un vector sobre un vector. Proyección de vectores sobre ejes de coordenadas.
Cosenos directores de vectores

Considere vectores y :

Proyectamos el vector sobre el vector, para esto omitimos desde el principio y el final del vector perpendiculares por vector (líneas punteadas verdes). Imagina que los rayos de luz caen perpendicularmente sobre un vector. Entonces el segmento (línea roja) será la "sombra" del vector. En este caso, la proyección de un vector sobre un vector es la LONGITUD del segmento. Es decir, LA PROYECCIÓN ES UN NÚMERO.

Este NÚMERO se denota de la siguiente manera: , "vector grande" denota un vector QUE LA proyecto, "vector subíndice pequeño" denota el vector SOBRE EL que se proyecta.

La entrada en sí dice así: “la proyección del vector “a” sobre el vector “ser””.

¿Qué sucede si el vector "ser" es "demasiado corto"? Dibujamos una línea recta que contenga el vector "ser". Y el vector "a" ya estará proyectado a la dirección del vector "be", simplemente, en una línea recta que contiene el vector "ser". Lo mismo sucederá si el vector "a" se deja de lado en el trigésimo reino; aún se podrá proyectar fácilmente en la línea que contiene el vector "ser".

Si el ángulo entre vectores picante(como en la imagen), entonces

Si los vectores ortogonal, entonces (la proyección es un punto cuyas dimensiones se supone que son cero).

Si el ángulo entre vectores tonto(en la figura, reordenar mentalmente la flecha del vector), luego (la misma longitud, pero tomada con un signo menos).

Aparte estos vectores desde un punto:

Obviamente, al mover un vector, su proyección no cambia