ตารางจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 1 ถึง 10000 ตารางจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 1 ถึง 1000

ด้านล่างเป็นตารางจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2 ถึง 10,000 (1229 ชิ้น) ไม่รวมหน่วยขออภัย บางคนรู้สึกว่าไม่รวมยูนิตเพราะ... เธอไม่สามารถอยู่ที่นั่นได้ " จำนวนเฉพาะคือจำนวนที่มีตัวหารสองตัว: ตัวหนึ่งและตัวตัวเลขเอง"และหมายเลข 1 มีตัวหารเพียงตัวเดียว ไม่สามารถใช้กับจำนวนเฉพาะหรือจำนวนเชิงซ้อนได้ (บันทึกอธิบายจาก Olga เมื่อวันที่ 21/09/55)อย่างไรก็ตาม เราจำได้ว่าบางครั้งมีการแนะนำจำนวนเฉพาะดังนี้: " จำนวนเฉพาะคือจำนวนที่หารด้วยตัวมันเองลงตัว"ในกรณีนี้ เห็นได้ชัดว่าจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ

ตารางจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2 ถึง 1,000 ตารางจำนวนเฉพาะตั้งแต่ 2 ถึง 1,000 จะเป็นสีเทา

การให้คะแนนบทความ:

บทความนี้กล่าวถึงแนวคิดของจำนวนเฉพาะและจำนวนเชิงประกอบ ให้คำจำกัดความของตัวเลขดังกล่าวพร้อมตัวอย่าง เราให้ข้อพิสูจน์ว่าจำนวนเฉพาะมีไม่จำกัด และทำรายการในตารางของจำนวนเฉพาะโดยใช้วิธีการของอีราทอสเทนีส หลักฐานจะได้รับว่าตัวเลขเป็นจำนวนเฉพาะหรือประกอบ

Yandex.RTB R-A-339285-1

จำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ - คำจำกัดความและตัวอย่าง

จำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบจัดประเภทเป็นจำนวนเต็มบวก พวกเขาจะต้องมากกว่าหนึ่ง ตัวหารยังแบ่งออกเป็นแบบง่ายและแบบผสม เพื่อให้เข้าใจแนวคิดของจำนวนประกอบ จำเป็นต้องศึกษาแนวคิดของตัวหารและตัวคูณก่อน

คำจำกัดความ 1

จำนวนเฉพาะคือจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 และมีตัวหารบวกสองตัว นั่นคือ ตัวมันเองและ 1

คำจำกัดความ 2

จำนวนผสมเป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 และมีตัวหารบวกอย่างน้อยสามตัว

หนึ่งไม่ใช่จำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ มันมีตัวหารบวกเพียงตัวเดียว ดังนั้นมันจึงแตกต่างจากจำนวนบวกอื่นๆ ทั้งหมด จำนวนเต็มบวกทั้งหมดเรียกว่าเป็นธรรมชาตินั่นคือใช้ในการนับ

คำจำกัดความ 3

จำนวนเฉพาะเป็นจำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารบวกเพียงสองตัว

คำจำกัดความ 4

หมายเลขประกอบเป็นจำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารบวกมากกว่าสองตัว

จำนวนใดๆ ที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนเฉพาะหรือประกอบ จากคุณสมบัติการหาร เราได้ 1 และจำนวน a จะเป็นตัวหารสำหรับจำนวนใดๆ a เสมอ นั่นคือ มันจะหารด้วย 1 ลงตัวและลงตัวด้วย 1 เราให้คำจำกัดความของจำนวนเต็ม

คำจำกัดความ 5

จำนวนธรรมชาติที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะเรียกว่าจำนวนประกอบ

จำนวนเฉพาะ: 2, 3, 11, 17, 131, 523 พวกเขาจะหารด้วยตัวเองและด้วย 1 เท่านั้น ตัวเลขประกอบ: 6, 63, 121, 6697 นั่นคือหมายเลข 6 สามารถแบ่งออกเป็น 2 และ 3 และ 63 เป็น 1, 3, 7, 9, 21, 63 และ 121 เป็น 11, 11 นั่นคือตัวหารจะเป็น 1, 11, 121 หมายเลข 6697 จะแบ่งออกเป็น 37 และ 181 โปรดทราบว่าแนวคิดของจำนวนเฉพาะและจำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างเป็นแนวคิดที่แตกต่างกัน

เพื่อให้ง่ายต่อการใช้จำนวนเฉพาะ คุณต้องใช้ตาราง:

ตารางสำหรับจำนวนธรรมชาติที่มีอยู่ทั้งหมดนั้นไม่สมจริง เนื่องจากมีจำนวนนับไม่ถ้วน เมื่อตัวเลขถึงขนาด 10000 หรือ 1000000000 คุณควรคิดถึงการใช้ตะแกรงของ Eratosthenes

พิจารณาทฤษฎีบทที่อธิบายข้อความสุดท้าย

ทฤษฎีบท 1

ตัวหารบวกที่เล็กที่สุดของจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 ที่ไม่ใช่ 1 คือจำนวนเฉพาะ

หลักฐาน 1

สมมติว่า a เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 b เป็นตัวหารที่ไม่ใช่ตัวเดียวที่น้อยที่สุดของ a เราต้องพิสูจน์ว่า b เป็นจำนวนเฉพาะโดยใช้วิธีขัดแย้งกัน

สมมุติว่า b เป็นจำนวนประกอบ จากตรงนี้เราจะได้ตัวหารของ b ซึ่งต่างจาก 1 และ b ตัวหารดังกล่าวแสดงเป็น ข 1 . จำเป็นต้องมีเงื่อนไข 1< b 1 < b เสร็จเรียบร้อยแล้ว

จะเห็นได้จากเงื่อนไขที่ a หารด้วย b ลงตัว b หารด้วย b 1 ลงตัว ซึ่งหมายความว่าแนวคิดเรื่องการหารลงตัวจะแสดงออกมาดังนี้ a = b qและ b = b 1 q 1 ดังนั้น a = b 1 (q 1 q) โดยที่ q และ คิว 1เป็นจำนวนเต็ม ตามกฎการคูณจำนวนเต็ม เรามีว่าผลคูณของจำนวนเต็มเป็นจำนวนเต็มที่มีความเท่าเทียมกันของรูปแบบ a = b 1 · (q 1 · q) จะเห็นได้ว่า b 1 เป็นตัวหารของ a. อสมการ 1< b 1 < b ไม่ตรงกัน เพราะเราได้ให้ b เป็นตัวหารบวกที่ไม่ใช่ 1 ที่เล็กที่สุดของ a

ทฤษฎีบท 2

มีจำนวนเฉพาะจำนวนมากเป็นอนันต์

หลักฐาน2

สมมติว่าเราใช้จำนวนจำกัดของจำนวนธรรมชาติ n และแสดงเป็น p 1 , p 2 , … , p n ลองพิจารณาตัวแปรในการค้นหาจำนวนเฉพาะที่แตกต่างจากจำนวนที่ระบุ

พิจารณาจำนวน p ซึ่งเท่ากับ p 1 , p 2 , … , p n + 1 . ไม่เท่ากับตัวเลขแต่ละตัวที่สอดคล้องกับจำนวนเฉพาะของรูปแบบ p 1 , p 2 , … , p n จำนวน p เป็นจำนวนเฉพาะ แล้วถือว่าทฤษฎีบทพิสูจน์ได้ ถ้ามันประกอบกันเราต้องใส่สัญกรณ์ p n + 1 และแสดงตัวหารไม่ตรงกันกับ p 1 , p 2 , … , p n ใดๆ

หากไม่เป็นเช่นนั้น ตามคุณสมบัติการหารได้ของผลิตภัณฑ์ p 1 , p 2 , … , p n , เราได้รับว่ามันจะหารด้วย p n + 1 ลงตัว โปรดทราบว่านิพจน์ p n + 1 จำนวน p ถูกหารด้วยผลรวม p 1 , p 2 , … , p n + 1 . เราได้นิพจน์ p n + 1 เทอมที่สองของผลรวมนี้ ซึ่งเท่ากับ 1 จะต้องถูกหาร แต่เป็นไปไม่ได้

จะเห็นได้ว่าจำนวนเฉพาะใด ๆ สามารถพบได้ในจำนวนเฉพาะที่ระบุ ตามมาด้วยจำนวนเฉพาะจำนวนมากนับไม่ถ้วน

เนื่องจากมีจำนวนเฉพาะจำนวนมาก ตารางจึงจำกัดเฉพาะตัวเลข 100, 1,000, 10000 และอื่นๆ

เมื่อรวบรวมตารางจำนวนเฉพาะ เราควรคำนึงถึงความจริงที่ว่างานดังกล่าวต้องมีการตรวจสอบตัวเลขตามลำดับโดยเริ่มจาก 2 ถึง 100 หากไม่มีตัวหาร จะถูกบันทึกไว้ในตาราง หากประกอบด้วยตัวหาร ก็จะไม่ถูกป้อนลงในตาราง

ลองพิจารณาทีละขั้นตอน

หากคุณเริ่มต้นด้วยเลข 2 จะมีตัวหารเพียง 2 ตัว: 2 และ 1 ซึ่งหมายความว่าสามารถป้อนลงในตารางได้ มีเลข 3 ด้วย เลข 4 เป็นแบบประกอบ ควรแยกเป็น 2 และ 2 เลข 5 เป็นจำนวนเฉพาะ ซึ่งหมายความว่าสามารถแก้ไขได้ในตาราง ทำเช่นนี้จนถึงจำนวน 100

วิธีนี้ไม่สะดวกและใช้เวลานาน คุณสามารถสร้างตารางได้ แต่คุณจะต้องใช้เวลามาก จำเป็นต้องใช้เกณฑ์การหารซึ่งจะทำให้กระบวนการหาตัวหารเร็วขึ้น

วิธีการใช้ตะแกรง Eratosthenes ถือว่าสะดวกที่สุด มาดูตารางด้านล่างกัน เริ่มต้นด้วยการเขียนตัวเลข 2, 3, 4, ..., 50

ตอนนี้คุณต้องขีดฆ่าตัวเลขทั้งหมดที่เป็นทวีคูณของ 2 ทำการขีดทับตามลำดับ เราได้รับตารางของแบบฟอร์ม:

มาต่อกันที่การขีดฆ่าตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 5 เราได้รับ:

เราขีดฆ่าตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 7, 11 ในที่สุดตารางก็ดูเหมือน

ให้เราผ่านไปยังสูตรของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบท 3

ตัวหารบวกและไม่ใช่-1 ที่น้อยที่สุดของจำนวนฐาน a ไม่เกิน a โดยที่ a คือรากเลขคณิตของจำนวนที่กำหนด

หลักฐาน 3

จำเป็นต้องแสดงว่า b เป็นตัวหารที่น้อยที่สุดของจำนวนประกอบ a มีจำนวนเต็ม q โดยที่ a = b · q และเรามี b ≤ q นั้น ความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ b > qเพราะผิดเงื่อนไข b ≤ q ทั้งสองข้างของอสมการ b ≤ q ควรคูณด้วยจำนวนบวกใดๆ b ไม่เท่ากับ 1 เราได้ b b ≤ b q โดยที่ b 2 ≤ a และ b ≤ a

จะเห็นได้จากทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วว่าการลบตัวเลขในตารางนำไปสู่ความจริงที่ว่าจำเป็นต้องเริ่มต้นด้วยตัวเลขที่เท่ากับ b 2 และตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน b 2 ≤ a . นั่นคือ ถ้าคุณขีดฆ่าตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 2 กระบวนการจะเริ่มต้นจาก 4 และตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 3 จะเริ่มจาก 9 และต่อเนื่องไปจนถึง 100

การรวบรวมตารางดังกล่าวโดยใช้ทฤษฎีบทของอีราทอสเทนีสกล่าวว่าเมื่อขีดฆ่าจำนวนประกอบทั้งหมด จะมีจำนวนเฉพาะที่ไม่เกิน n ในตัวอย่างที่ n = 50 เรามีว่า n = 50 จากที่นี่เราจะได้ตะแกรงของ Eratosthenes กรองจำนวนประกอบทั้งหมดที่มีค่าไม่เกินค่าของรากของ 50 การค้นหาตัวเลขทำได้โดยการขีดฆ่า

ก่อนแก้ จำเป็นต้องค้นหาว่าจำนวนนั้นเป็นจำนวนเฉพาะหรือประกอบ มักใช้เกณฑ์การแบ่งตัว ลองดูสิ่งนี้ในตัวอย่างด้านล่าง

ตัวอย่าง 1

พิสูจน์ว่า 89898989898989898989 เป็นจำนวนประกอบ

วิธีการแก้

ผลรวมของตัวเลขของตัวเลขที่ระบุคือ 9 8 + 9 9 = 9 17 . ดังนั้นเลข 9 17 จึงหารด้วย 9 ลงตัว ตามเครื่องหมายของการหารด้วย 9 มันตามมาว่าเป็นคอมโพสิต

สัญญาณดังกล่าวไม่สามารถพิสูจน์ความเป็นอันดับหนึ่งของตัวเลขได้ หากจำเป็นต้องมีการตรวจสอบ ควรดำเนินการตามขั้นตอนอื่นๆ วิธีที่เหมาะสมที่สุดคือการแจกแจงตัวเลข ในระหว่างกระบวนการ สามารถค้นหาจำนวนเฉพาะและจำนวนเชิงประกอบได้ นั่นคือ ตัวเลขที่มีค่าไม่ควรเกิน a นั่นคือ จำนวน a จะต้องถูกแยกออกเป็นปัจจัยเฉพาะ หากเป็นจำนวนจริง จะถือว่าจำนวน a เป็นจำนวนเฉพาะ

ตัวอย่าง 2

กำหนดคอมโพสิตหรือจำนวนเฉพาะ 11723

วิธีการแก้

ตอนนี้คุณต้องหาตัวหารทั้งหมดสำหรับหมายเลข 11723 จำเป็นต้องประเมิน 11723

จากที่นี่เราจะเห็นว่า 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 , และ 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

สำหรับการประมาณค่าตัวเลข 11723 ที่แม่นยำยิ่งขึ้น จำเป็นต้องเขียนนิพจน์ 108 2 = 11 664 และ 109 2 = 11 881 , แล้ว 108 2 < 11 723 < 109 2 . จากนี้ไปว่า 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

เมื่อสลายตัวเราจะได้ 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด กระบวนการทั้งหมดนี้สามารถแสดงเป็นการหารด้วยคอลัมน์ นั่นคือหาร 11723 ด้วย 19 ตัวเลข 19 เป็นหนึ่งในปัจจัย เนื่องจากเราหารโดยไม่มีเศษเหลือ ลองอธิบายการหารด้วยคอลัมน์:

มันตามมาว่า 11723 เป็นจำนวนประกอบเพราะนอกจากตัวมันเองแล้ว 1 มันมีตัวหาร 19 .

ตอบ: 11723 เป็นจำนวนประกอบ

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ในบทความนี้เราจะเรียน จำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ. อันดับแรก เราให้คำจำกัดความของจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ และให้ตัวอย่างด้วย หลังจากนั้น เราพิสูจน์ว่ามีจำนวนเฉพาะมากมายนับไม่ถ้วน ต่อไป เราเขียนตารางจำนวนเฉพาะ และพิจารณาวิธีการรวบรวมตารางจำนวนเฉพาะ เราจะพิจารณาวิธีการที่เรียกว่าตะแกรงของ Eratosthenes อย่างระมัดระวังเป็นพิเศษ โดยสรุป เราเน้นประเด็นหลักที่ต้องนำมาพิจารณาเมื่อพิสูจน์ว่าจำนวนที่กำหนดเป็นจำนวนเฉพาะหรือประกอบ

การนำทางหน้า

จำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ - คำจำกัดความและตัวอย่าง

แนวคิดของจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบหมายถึงจำนวนที่มากกว่าหนึ่ง จำนวนเต็มดังกล่าว ขึ้นอยู่กับจำนวนของตัวหารบวก แบ่งออกเป็นจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ กว่าจะเข้าใจ คำจำกัดความของจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ, คุณต้องมีความคิดดีๆ ว่าคืออะไร ตัวหารและตัวคูณ.

คำนิยาม.

จำนวนเฉพาะเป็นจำนวนเต็ม มากกว่า 1 ที่มีตัวหารบวกเพียงสองตัว คือ ตัวมันเอง และ 1

คำนิยาม.

ตัวเลขประกอบเป็นจำนวนเต็มที่มากกว่าหนึ่งตัวที่มีตัวหารบวกอย่างน้อยสามตัว

แยกจากกัน เราสังเกตว่าตัวเลข 1 ใช้ไม่ได้กับจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ หน่วยนี้มีตัวหารบวกเพียงตัวเดียวซึ่งเป็นตัวเลข 1 สิ่งนี้ทำให้เลข 1 แตกต่างจากจำนวนเต็มบวกอื่นๆ ทั้งหมดที่มีตัวหารบวกอย่างน้อยสองตัว

เมื่อพิจารณาว่าจำนวนเต็มบวกคือ และหน่วยนั้นมีตัวหารบวกเพียงตัวเดียว สามารถกำหนดสูตรอื่นๆ ของคำจำกัดความของจำนวนเฉพาะและจำนวนเชิงประกอบได้

คำนิยาม.

จำนวนเฉพาะเป็นจำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารบวกเพียงสองตัว

คำนิยาม.

ตัวเลขประกอบเป็นจำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารบวกมากกว่าสองตัว

โปรดทราบว่าทุกจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 เป็นจำนวนเฉพาะหรือจำนวนประกอบ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ไม่มีจำนวนเต็มเดียวที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะหรือแบบประกอบ ตามมาจาก คุณสมบัติการแบ่งตัวซึ่งบอกว่าตัวเลข 1 และ a เป็นตัวหารของจำนวนเต็ม a ใดๆ เสมอ

จากข้อมูลในย่อหน้าก่อนหน้านี้ เราสามารถให้คำจำกัดความของจำนวนประกอบดังต่อไปนี้

คำนิยาม.

ตัวเลขธรรมชาติที่ไม่ใช่จำนวนเฉพาะเรียกว่า องค์ประกอบ.

มาเอากัน ตัวอย่างจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ.

เป็นตัวอย่างของจำนวนประกอบ เราให้ 6 , 63 , 121 และ 6697 . คำสั่งนี้ยังต้องการคำอธิบาย หมายเลข 6 นอกเหนือจากตัวหารบวก 1 และ 6 ยังมีตัวหาร 2 และ 3 ด้วย เนื่องจาก 6 \u003d 2 3 ดังนั้น 6 จึงเป็นจำนวนประกอบจริงๆ ตัวหารบวกของ 63 คือตัวเลข 1 , 3 , 7 , 9 , 21 และ 63 หมายเลข 121 เท่ากับผลคูณของ 11 11 ดังนั้นตัวหารบวกของมันคือ 1 , 11 และ 121 และหมายเลข 6697 นั้นประกอบกัน เนื่องจากตัวหารบวก นอกเหนือไปจาก 1 และ 6697 ยังเป็นตัวเลข 37 และ 181 ด้วย

โดยสรุปของย่อหน้านี้ ข้าพเจ้าขอเน้นว่าจำนวนเฉพาะและ ตัวเลขที่ค่อนข้างเฉพาะ- มันไกลจากที่เดียวกัน

ตารางเลขเด่น

จำนวนเฉพาะเพื่อความสะดวกในการใช้งานต่อไปจะถูกบันทึกไว้ในตารางซึ่งเรียกว่าตารางของจำนวนเฉพาะ ด้านล่างคือ ตารางเลขเด่นมากถึง 1,000 .

คำถามเชิงตรรกะเกิดขึ้น: “ทำไมเราจึงกรอกตารางจำนวนเฉพาะถึง 1,000 เท่านั้น เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างตารางของจำนวนเฉพาะที่มีอยู่ทั้งหมด”?

มาตอบคำถามนี้ในส่วนแรกกันก่อน สำหรับปัญหาส่วนใหญ่ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเฉพาะ จำนวนเฉพาะไม่เกินพันก็เพียงพอแล้ว ในกรณีอื่นๆ เป็นไปได้มากว่าคุณจะต้องใช้เทคนิคการแก้ปัญหาพิเศษบางอย่าง แม้ว่าแน่นอน เราสามารถจัดตารางจำนวนเฉพาะได้ถึงจำนวนเต็มบวกจำกัดขนาดใหญ่ตามอำเภอใจ ไม่ว่าจะเป็น 10,000 หรือ 1,000,000,000 ในย่อหน้าถัดไป เราจะพูดถึงวิธีการรวบรวมตารางของจำนวนเฉพาะโดยเฉพาะ เราจะวิเคราะห์วิธีการ เรียกว่า.

ทีนี้มาดูความเป็นไปได้ (หรือมากกว่านั้น ความเป็นไปไม่ได้) ของการรวบรวมตารางของจำนวนเฉพาะที่มีอยู่ทั้งหมด เราไม่สามารถสร้างตารางของจำนวนเฉพาะทั้งหมดได้ เนื่องจากมีจำนวนเฉพาะจำนวนนับไม่ถ้วน ข้อความสุดท้ายเป็นทฤษฎีบทที่เราจะพิสูจน์หลังจากทฤษฎีบทเสริมต่อไปนี้

ทฤษฎีบท.

ตัวหารบวกที่เล็กที่สุดของจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 ที่ไม่ใช่ 1 คือจำนวนเฉพาะ

การพิสูจน์.

อนุญาต a เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 และ b คือตัวหารที่ไม่ใช่หนึ่งบวกน้อยที่สุดของ a ให้เราพิสูจน์ว่า b เป็นจำนวนเฉพาะโดยขัดแย้งกัน

สมมติว่า b เป็นจำนวนประกอบ แล้วมีตัวหารของจำนวน b (ขอแสดงว่า b 1 ) ซึ่งแตกต่างจากทั้ง 1 และ b . หากเราพิจารณาด้วยว่าค่าสัมบูรณ์ของตัวหารไม่เกินค่าสัมบูรณ์ของเงินปันผล (เรารู้สิ่งนี้จากคุณสมบัติของตัวหาร) แล้วเงื่อนไข 1

เนื่องจากจำนวน a หารด้วย b ลงตัวด้วยเงื่อนไข และเราบอกว่า b หารด้วย b 1 ลงตัว แนวคิดเรื่องการหารจึงทำให้เราสามารถพูดถึงการมีอยู่ของจำนวนเต็มดังกล่าว q และ q 1 ที่ a=b q และ b=b 1 q 1 ดังนั้น a= b 1 ·(q 1 ·q) จากนั้นผลคูณของจำนวนเต็มสองตัวเป็นจำนวนเต็ม จากนั้นความเท่าเทียมกัน a=b 1 ·(q 1 ·q) จะระบุว่า b 1 เป็นตัวหารของจำนวน a โดยคำนึงถึงความไม่เท่าเทียมกันข้างต้น 1

ตอนนี้เราสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีจำนวนเฉพาะจำนวนมากอย่างอนันต์