เครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมคืออะไร เครื่องหมายที่สามของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

สามเหลี่ยมสองรูปจะเท่ากันถ้าสามารถทับซ้อนกันได้ รูปที่ 1 แสดงสามเหลี่ยมเท่ากัน ABC และ A 1 B 1 C 1 สามเหลี่ยมแต่ละรูปเหล่านี้สามารถซ้อนทับกันเพื่อให้เข้ากันได้อย่างสมบูรณ์ นั่นคือจุดยอดและด้านข้างของพวกมันถูกจับคู่เข้าด้วยกัน เป็นที่ชัดเจนว่าในกรณีนี้มุมของสามเหลี่ยมเหล่านี้จะรวมกันเป็นคู่

ดังนั้น ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากัน องค์ประกอบ (เช่น ด้านและมุม) ของรูปสามเหลี่ยมหนึ่งจะเท่ากับองค์ประกอบของอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สังเกตว่า ในรูปสามเหลี่ยมเท่ากันกับด้านเท่ากันตามลำดับ(เช่น ซ้อนทับกันเมื่อซ้อนทับ) นอนมุมเท่ากันและกลับ: ด้านตรงข้ามมุมเท่ากันจะอยู่ด้านเท่ากัน

ตัวอย่างเช่น ในรูปสามเหลี่ยมเท่ากับ ABC และ A 1 B 1 C 1 แสดงในรูปที่ 1 มุมที่เท่ากัน C และ C 1 อยู่กับด้านที่เท่ากัน AB และ A 1 B 1 ตามลำดับ ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 จะแสดงดังนี้: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 ปรากฎว่าความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมสองรูปสามารถสร้างขึ้นได้โดยการเปรียบเทียบองค์ประกอบบางอย่าง

ทฤษฎีบทที่ 1 สัญญาณแรกของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมหากด้านสองด้านและมุมระหว่างทั้งสองข้างของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับสองด้านตามลำดับ และมุมระหว่างพวกมันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากัน (รูปที่ 2)

การพิสูจน์. พิจารณาสามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 ซึ่ง AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (ดูรูปที่ 2) ให้เราพิสูจน์ว่า Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

เนื่องจาก ∠ A \u003d ∠ A 1 จากนั้นสามเหลี่ยม ABC สามารถซ้อนทับบนสามเหลี่ยม A 1 B 1 C 1 เพื่อให้จุดยอด A อยู่ในแนวเดียวกับจุดยอด A 1 และด้าน AB และ AC ทับซ้อนกันตามลำดับบน รังสี A 1 B 1 และ A 1 C หนึ่ง ตั้งแต่ AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 จากนั้นด้าน AB จะถูกรวมเข้ากับด้าน A 1 B 1 และด้าน AC - กับด้าน A 1 C 1; โดยเฉพาะจุด B และ B 1 , C และ C 1 จะตรงกัน ดังนั้นด้าน BC และ B 1 C 1 จะอยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้นสามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 จึงเข้ากันได้อย่างสมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่าพวกมันเท่ากัน

ทฤษฎีบท 2 ได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกันโดยวิธีการทับซ้อน

ทฤษฎีบท 2 เครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมหากด้านและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับด้านตามลำดับและมุมสองมุมที่อยู่ติดกันของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากัน (รูปที่ 34)

ความคิดเห็น จากทฤษฎีบท 2 ทฤษฎีบท 3 ถูกสร้างขึ้น

ทฤษฎีบทที่ 3 ผลรวมของมุมภายในสองมุมใดๆ ของสามเหลี่ยมมีค่าน้อยกว่า 180°

ทฤษฎีบทที่ 4 ต่อจากทฤษฎีบทที่แล้ว

ทฤษฎีบทที่ 4 มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมมีค่ามากกว่ามุมภายในใดๆ ที่ไม่ติดกับมุมนั้น

ทฤษฎีบทที่ 5 เครื่องหมายที่สามของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมถ้าด้านสามด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับสามด้านของอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากับ ()

ตัวอย่าง 1ในรูปสามเหลี่ยม ABC และ DEF (รูปที่ 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 ซม., AC = 18 ซม., DE = 18 ซม., EF = 20 ซม. เปรียบเทียบสามเหลี่ยม ABC และ DEF มุมใดในรูปสามเหลี่ยม DEF เท่ากับมุม B

วิธีการแก้. สามเหลี่ยมเหล่านี้มีค่าเท่ากันในเครื่องหมายแรก มุม F ของสามเหลี่ยม DEF เท่ากับมุม B ของสามเหลี่ยม ABC เนื่องจากมุมเหล่านี้อยู่ตรงข้ามกับด้านเท่ากัน DE และ AC

ตัวอย่างที่ 2ส่วน AB และ CD (รูปที่ 5) ตัดกันที่จุด O ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของแต่ละส่วน เซ็กเมนต์ BD เท่ากับเท่าใดหากเซกเมนต์ AC เท่ากับ 6 ม.

วิธีการแก้. สามเหลี่ยม AOC และ BOD เท่ากัน (ตามเกณฑ์แรก): ∠ AOC = ∠ BOD (แนวตั้ง), AO = OB, CO = OD (ตามเงื่อนไข)
จากความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมเหล่านี้เป็นไปตามความเท่าเทียมกันของด้านของมัน นั่นคือ AC = BD แต่เนื่องจากตามเงื่อนไข AC = 6 m แล้ว BD = 6 m.

บทเรียนวิดีโอ "เครื่องหมายที่สามของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม" มีหลักฐานของทฤษฎีบทซึ่งเป็นสัญญาณของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมสองรูปทั้งสามด้าน ทฤษฎีบทนี้เป็นส่วนสำคัญของเรขาคณิต มักใช้ในการแก้ปัญหาในทางปฏิบัติ การพิสูจน์นั้นขึ้นอยู่กับสัญญาณของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมที่นักเรียนรู้จักแล้ว

การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ซับซ้อน ดังนั้น เพื่อปรับปรุงคุณภาพการศึกษา เพื่อสร้างความสามารถในการพิสูจน์ข้อความทางเรขาคณิต ขอแนะนำให้ใช้ภาพประกอบนี้ ซึ่งจะช่วยให้นักเรียนมุ่งเน้นความสนใจไปที่เนื้อหาที่กำลังศึกษา . นอกจากนี้ ด้วยความช่วยเหลือของแอนิเมชัน การสาธิตด้วยภาพการก่อสร้างและการพิสูจน์ ทำให้สามารถปรับปรุงคุณภาพการศึกษาได้

ในตอนต้นของบทเรียน มีการสาธิตหัวข้อของหัวข้อ และทฤษฎีบทได้รับการกำหนดว่าสามเหลี่ยมจะเท่ากัน ถ้าด้านของสามเหลี่ยมทุกด้านเป็นคู่เท่ากับทุกด้านของสามเหลี่ยมที่สอง ข้อความของทฤษฎีบทจะแสดงบนหน้าจอและนักเรียนสามารถเขียนลงในสมุดบันทึกได้ ต่อไป เราจะพิจารณาข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้

เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท สามเหลี่ยม ΔABC และ ΔA 1 B 1 C 1 ถูกสร้างขึ้น จากเงื่อนไขของทฤษฎีบท ด้านต่างๆ มีค่าเท่ากัน นั่นคือ AB \u003d A 1 B 1 BC \u003d B 1 C 1 และ AC \u003d A 1 C 1 ที่จุดเริ่มต้นของการพิสูจน์ การวางตำแหน่งของสามเหลี่ยม ΔАВС บน ΔА 1 В 1 С 1 นั้นแสดงให้เห็นเพื่อให้จุดยอด A และ A 1 รวมถึง B และ B 1 ของสามเหลี่ยมเหล่านี้อยู่ในแนวเดียวกัน ในกรณีนี้ พีค C และ C 1 ควรอยู่บนด้านตรงข้ามของด้านที่ซ้อนทับ AB และ A 1 B 1 ด้วยโครงสร้างนี้ มีหลายทางเลือกสำหรับการจัดเรียงองค์ประกอบสามเหลี่ยม:

1. บีม C 1 C อยู่ภายในมุม ∠A 1 C 1 B 1
2. บีม C 1 C เกิดขึ้นพร้อมกับด้านหนึ่งของมุม ∠A 1 C 1 B 1
3. รังสี C 1 C อยู่นอกมุม ∠A 1 C 1 B 1

แต่ละกรณีต้องพิจารณาแยกกัน เนื่องจากหลักฐานไม่สามารถเหมือนกันสำหรับทุกกรณี ในกรณีแรกจะพิจารณารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เกิดจากการก่อสร้าง เนื่องจากตามเงื่อนไขในสามเหลี่ยมเหล่านี้ ด้านคือ AC \u003d A 1 C 1 และ BC \u003d B 1 C 1 จากนั้นสามเหลี่ยมที่ได้ ΔB 1 C 1 C และ ΔA 1 C 1 จะเป็นด้านเท่ากันหมด การใช้คุณสมบัติที่ศึกษาของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เราสามารถยืนยันได้ว่ามุม ∠1 และ ∠2 เท่ากัน และ ∠3 และ ∠4 เท่ากัน เนื่องจากมุมเหล่านี้เท่ากัน ผลรวมของ ∠1 และ ∠3 รวมทั้ง ∠2 และ ∠4 จะให้มุมเท่ากัน ดังนั้นมุม ∠С และ ∠С 1 จึงเท่ากัน เมื่อพิสูจน์ความจริงข้อนี้แล้ว เราสามารถพิจารณาสามเหลี่ยม ΔABC และ ΔA 1 B 1 C 1 ซึ่งด้าน BC \u003d B 1 C 1 และ AC \u003d A 1 C 1 ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทและได้รับการพิสูจน์แล้ว ว่ามุมระหว่างพวกมัน ∠C และ ∠C 1 ก็เท่ากัน ดังนั้นสามเหลี่ยมเหล่านี้จะเท่ากันตามเกณฑ์แรกสำหรับความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมซึ่งนักเรียนรู้จักแล้ว

ในกรณีที่สอง เมื่อวางสามเหลี่ยมซ้อนกัน จุด C และ C 1 จะอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวที่ลากผ่านจุด B (B 1) ในผลรวมของสามเหลี่ยมสองรูป ΔABC และ ΔA 1 B 1 C 1 จะได้รูปสามเหลี่ยม ΔCAC 1 ซึ่งทั้งสองข้าง AC = A 1 C 1 ตามเงื่อนไขของทฤษฎีบทจะเท่ากัน ดังนั้น สามเหลี่ยมนี้เป็นหน้าจั่ว ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีด้านเท่ากันมีมุมเท่ากัน ดังนั้นจึงอาจกล่าวได้ว่ามุม ∠С=∠С 1 จากเงื่อนไขของทฤษฎีบทที่ว่า ด้าน BC และ B 1 C 1 มีค่าเท่ากัน ดังนั้น ΔABC และ ΔA 1 B 1 C 1 โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่กล่าวไว้จะเท่ากันตาม สัญญาณแรกของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

การพิสูจน์ในกรณีที่สาม คล้ายกับสองกรณีแรก ใช้เกณฑ์แรกสำหรับความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม รูปทรงเรขาคณิตที่สร้างโดยรูปสามเหลี่ยมที่สง่างาม เมื่อเชื่อมต่อกันด้วยส่วนของจุดยอด C และ C 1 จะถูกแปลงเป็นรูปสามเหลี่ยม ΔB 1 C 1 C สามเหลี่ยมนี้เป็นหน้าจั่ว เนื่องจากด้าน B 1 C 1 และ B 1 C เท่ากัน สภาพ. และด้วยด้านเท่ากันในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุม ∠С และ ∠С 1 ก็เท่ากัน เนื่องจากตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท ด้าน AC \u003d A 1 C 1 เท่ากัน จากนั้นมุมที่พวกมันในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ΔACS 1 ก็เท่ากันเช่นกัน โดยคำนึงถึงความจริงที่ว่ามุม ∠С และ ∠С 1 เท่ากัน และมุม ∠DCAและ ∠DC 1 A เท่ากัน ดังนั้นมุม ∠ACB และ ∠AC 1 B จะเท่ากัน จากข้อเท็จจริงนี้ เพื่อพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม ΔABC และ ΔA 1 B 1 C 1 คุณสามารถใช้เครื่องหมายแรกของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม เนื่องจากสองด้านของสามเหลี่ยมเหล่านี้เท่ากันในแง่ของเงื่อนไข และความเท่าเทียมกันของ มุมระหว่างพวกเขาได้รับการพิสูจน์ในระหว่างการให้เหตุผล

ในตอนท้ายของวิดีโอสอน มีการสาธิตการใช้งานที่สำคัญของเกณฑ์ที่สามสำหรับความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม - ความแข็งแกร่งของรูปทรงเรขาคณิตที่กำหนด ตัวอย่างอธิบายความหมายของข้อความนี้ ตัวอย่างของการออกแบบที่ยืดหยุ่น ให้ระแนงสองอันที่เชื่อมต่อกับตะปู ระแนงเหล่านี้สามารถเคลื่อนย้ายออกจากกันและขยับได้ทุกมุม หากเราติดอีกอันหนึ่งเข้ากับรางซึ่งเชื่อมต่อด้วยปลายรางที่มีอยู่ เราจะได้โครงสร้างที่แข็งแรงซึ่งไม่สามารถเปลี่ยนมุมระหว่างรางได้ เป็นไปไม่ได้ที่จะได้สามเหลี่ยมที่มีด้านที่กำหนดและมุมอื่น ผลสืบเนื่องของทฤษฎีบทนี้มีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างมาก หน้าจอแสดงโครงสร้างทางวิศวกรรมที่ใช้คุณสมบัติของสามเหลี่ยมนี้

บทเรียนวิดีโอ "เครื่องหมายที่สามของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม" ช่วยให้ครูนำเสนอเนื้อหาใหม่ในบทเรียนเรขาคณิตในหัวข้อนี้ได้ง่ายขึ้น นอกจากนี้ บทเรียนวิดีโอยังสามารถใช้สำหรับการเรียนทางไกลในวิชาคณิตศาสตร์ได้สำเร็จ ซึ่งจะช่วยให้นักเรียนเข้าใจความซับซ้อนของการพิสูจน์ด้วยตนเอง

เครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

ถ้าด้านหนึ่งและมุมประชิดสองมุมของสามเหลี่ยมหนึ่งมีค่าเท่ากับด้านหนึ่งและอีกสองมุมที่อยู่ติดกันของอีกรูปหนึ่งสามเหลี่ยมตามลำดับ สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากันทุกประการ

MN=PR N=R M=P

ในการพิสูจน์เครื่องหมายแรก คุณต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าเพียงพอสำหรับสามเหลี่ยมที่จะเท่ากัน พวกมันสามารถรวมกันทั้งหมดได้หรือไม่?

1. เนื่องจาก MN = PR ส่วนเหล่านี้จะถูกรวมเข้าด้วยกันหากจุดสิ้นสุดรวมกัน

2. เนื่องจาก N = R และ M = P ดังนั้นรังสี \(MK\) และ \(NK\) จึงซ้อนทับรังสี \(PT\) และ \(RT\) ตามลำดับ

3. หากรังสีตรงกัน จุดตัดของพวกมัน \(K\) และ \(T\) จะตรงกัน

4. จุดยอดทั้งหมดของสามเหลี่ยมรวมกัน กล่าวคือ Δ MNK และ Δ PRT เข้ากันได้อย่างสมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่าเท่ากัน

เครื่องหมายที่สามของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

ถ้าด้านสามด้านของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับสามด้านของอีกรูปหนึ่งตามลำดับ สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากันทุกประการ

MN = PR KN = TR MK = PT

อีกครั้ง ให้ลองรวมสามเหลี่ยม Δ MNK และ Δ PRT โดยทับซ้อนกัน และตรวจสอบให้แน่ใจว่าด้านเท่ากันทุกประการรับประกันความเสมอภาคของมุมที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมเหล่านี้และพวกมันจะตรงกันทั้งหมด

มารวมกัน ตัวอย่างเช่น ส่วนที่เหมือนกัน \(MK\) และ\(PT\) สมมุติว่าจุด \(N\) และ \(R\) ไม่ตรงกันในกรณีนี้

ให้ \(O\) เป็นจุดกึ่งกลางของกลุ่ม \(NR\) จากข้อมูลนี้ MN = PR , KN = TR สามเหลี่ยม \(MNR\) และ \(KNR\) เป็นหน้าจั่วที่มีฐานร่วมกัน \(NR\)

ดังนั้นค่ามัธยฐาน \(MO\) และ \(KO\) ของพวกมันคือความสูง ดังนั้นพวกมันจึงตั้งฉากกับ \(NR\) เส้น \(MO\) และ \(KO\) ไม่ตรงกัน เนื่องจากจุด \(M\), \(K\), \(O\) ไม่อยู่ในบรรทัดเดียวกัน แต่ผ่านจุด \(O\) ของเส้น \(NR\) เป็นไปได้ที่จะวาดเส้นเดียวในแนวตั้งฉากกับมัน เรามาขัดแย้งกัน

พิสูจน์แล้วว่าจุดยอด \(N\) และ \(R\) ต้องตรงกันด้วย

เครื่องหมายที่สามทำให้เราเรียกสามเหลี่ยมว่าร่างที่แข็งแกร่งมาก มั่นคง บางครั้งพวกเขาบอกว่า สามเหลี่ยม - ร่างแข็ง . หากความยาวของด้านไม่เปลี่ยนแปลง มุมก็ไม่เปลี่ยนแปลงเช่นกัน ตัวอย่างเช่น รูปสี่เหลี่ยมไม่มีคุณสมบัตินี้ ดังนั้นการรองรับและป้อมปราการต่างๆจึงทำเป็นรูปสามเหลี่ยม

แต่ชนิดของความมั่นคง ความมั่นคง และความสมบูรณ์แบบของตัวเลข \ (3 \) คนได้รับการประเมินและเน้นมาเป็นเวลานาน

เทพนิยายพูดถึงมัน

ที่นั่นเราได้พบกับ "หมีสามตัว", "สามลม", "หมูน้อยสามตัว", "สามสหาย", "สามพี่น้อง", "ชายผู้โชคดีสามคน", "ช่างฝีมือสามคน", "เจ้าชายทั้งสาม", "เพื่อนสามคน" "สามฮีโร่" เป็นต้น

มี "สามครั้ง", "สามคำแนะนำ", "สามคำแนะนำ", "การประชุมสามครั้ง", "ความปรารถนาสามข้อ" สำเร็จคุณต้องอดทน "สามวัน", "สามคืน", "สามปี" ไป ผ่าน "สามรัฐ "," สามอาณาจักรใต้ดิน "," สามการทดลอง "," ว่ายน้ำผ่าน "สามทะเล"

ในบรรดารูปหลายเหลี่ยมจำนวนมาก ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเป็นเส้นหักแบบปิดที่ไม่ตัดกัน สามเหลี่ยมคือตัวเลขที่มีมุมน้อยที่สุด กล่าวอีกนัยหนึ่ง นี่คือรูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุด แต่ถึงแม้จะเรียบง่าย แต่ตัวเลขนี้เต็มไปด้วยความลึกลับและการค้นพบที่น่าสนใจมากมายซึ่งครอบคลุมโดยส่วนพิเศษของคณิตศาสตร์ - เรขาคณิต วินัยในโรงเรียนนี้เริ่มสอนตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 และหัวข้อ "สามเหลี่ยม" ได้รับความสนใจเป็นพิเศษที่นี่ เด็ก ๆ ไม่เพียง แต่เรียนรู้กฎเกี่ยวกับรูปเท่านั้น แต่ยังเปรียบเทียบพวกเขาโดยศึกษาเครื่องหมาย 1, 2 และ 3 ของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

การพบกันครั้งแรก

กฎข้อแรกที่นักเรียนเรียนรู้คือผลรวมของค่าของมุมทั้งหมดของรูปสามเหลี่ยมคือ 180 องศา เพื่อยืนยันสิ่งนี้ การวัดจุดยอดแต่ละจุดด้วยความช่วยเหลือของไม้โปรแทรกเตอร์ก็เพียงพอแล้ว และบวกค่าผลลัพธ์ทั้งหมดเข้าด้วยกัน จากค่านี้ ด้วยค่าที่รู้จักสองค่า จึงง่ายต่อการระบุค่าที่สาม ตัวอย่างเช่น: ในรูปสามเหลี่ยมมุมใดมุมหนึ่งคือ 70° และอีกมุมหนึ่งคือ 85° มุมที่สามมีค่าเท่าใด

180 - 85 - 70 = 25.

คำตอบ: 25 °

งานอาจซับซ้อนยิ่งขึ้นหากมีการระบุค่าของมุมเพียงค่าเดียว และค่าที่สองจะพูดเฉพาะโดยมากหรือน้อยเพียงใดเท่านั้น

ในรูปสามเหลี่ยมเพื่อกำหนดคุณลักษณะอย่างใดอย่างหนึ่งสามารถวาดเส้นพิเศษซึ่งแต่ละเส้นมีชื่อของตัวเอง:

• ความสูง - เส้นตั้งฉากที่ลากจากด้านบนไปด้านตรงข้าม
• ความสูงทั้งสามที่วาดพร้อมกันตรงกลางของรูปสร้าง orthocenter ซึ่งขึ้นอยู่กับประเภทของสามเหลี่ยมสามารถเป็นได้ทั้งภายในและภายนอก
• ค่ามัธยฐาน - เส้นเชื่อมด้านบนกับตรงกลางของฝั่งตรงข้าม
• จุดตัดของค่ามัธยฐานคือจุดแรงโน้มถ่วงซึ่งอยู่ภายในร่าง
• bisector - เส้นที่ลากจากจุดยอดไปยังจุดตัดกับด้านตรงข้ามจุดตัดของสามส่วนคือศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้

ความจริงง่ายๆ เกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม

อันที่จริงรูปสามเหลี่ยมนั้นมีรูปร่างและคุณสมบัติเป็นของตัวเอง ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว รูปนี้เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุด แต่มีลักษณะเฉพาะของตัวเอง:

• ตรงข้ามด้านที่ยาวที่สุดมักจะมีมุมที่มีค่ามากกว่าเสมอและในทางกลับกัน
• มุมเท่ากันอยู่กับด้านเท่ากัน ตัวอย่างนี้คือสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
• ผลรวมของมุมภายในเสมอ 180° ซึ่งได้แสดงให้เห็นแล้วด้วยตัวอย่าง
• เมื่อด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมขยายออกไปเกินขอบเขตของมัน มุมภายนอกจะถูกสร้างขึ้น ซึ่งจะเท่ากับผลรวมของมุมที่ไม่ได้อยู่ประชิดมุมเสมอ
• ด้านใดด้านหนึ่งน้อยกว่าผลรวมของอีกสองด้านเสมอ แต่มากกว่าผลต่าง

ประเภทของสามเหลี่ยม

ขั้นต่อไปของความคุ้นเคยคือการกำหนดกลุ่มที่เป็นรูปสามเหลี่ยมที่นำเสนอ เป็นของชนิดใดชนิดหนึ่งขึ้นอยู่กับขนาดของมุมของรูปสามเหลี่ยม

• หน้าจั่ว - มีสองด้านเท่ากันซึ่งเรียกว่าด้านข้างส่วนที่สามในกรณีนี้ทำหน้าที่เป็นฐานของรูป มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมนั้นเท่ากัน และค่ามัธยฐานที่ดึงมาจากจุดยอดคือเส้นแบ่งครึ่งและความสูง
• สามเหลี่ยมปกติหรือด้านเท่าคือรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
• สี่เหลี่ยม: มุมหนึ่งของมันคือ 90° ในกรณีนี้ ด้านตรงข้ามมุมนี้เรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก และอีกสองด้านคือขา
• สามเหลี่ยมเฉียบพลัน - ทุกมุมน้อยกว่า 90°
• ป้าน - หนึ่งในมุมที่มากกว่า 90°

ความเท่าเทียมกันและความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม

ในกระบวนการเรียนรู้ พวกเขาไม่เพียงพิจารณารูปเดียว แต่ยังเปรียบเทียบสามเหลี่ยมสองรูป และหัวข้อที่ดูเรียบง่ายนี้มีกฎเกณฑ์และทฤษฎีมากมาย ซึ่งคุณสามารถพิสูจน์ได้ว่าตัวเลขที่เป็นปัญหานั้นเป็นสามเหลี่ยมที่เท่ากัน สามเหลี่ยมจะเท่ากันถ้าด้านและมุมเท่ากัน ด้วยความเท่าเทียมกันนี้ ถ้าคุณวางตัวเลขสองตัวนี้ทับกัน เส้นของพวกมันทั้งหมดจะมาบรรจบกัน นอกจากนี้ ตัวเลขอาจคล้ายคลึงกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้ใช้กับตัวเลขเกือบเหมือนกันที่มีขนาดแตกต่างกันเท่านั้น ในการที่จะสรุปเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่นำเสนอได้นั้น ต้องปฏิบัติตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

• สองมุมของรูปหนึ่งมีค่าเท่ากับสองมุมของอีกรูปหนึ่ง
• สองด้านของด้านหนึ่งเป็นสัดส่วนกับสองด้านของสามเหลี่ยมที่สอง และมุมที่เกิดจากด้านเท่ากัน
• ทั้งสามด้านของรูปที่สองจะเหมือนกับด้านแรก

แน่นอนสำหรับความเท่าเทียมกันที่เถียงไม่ได้ซึ่งจะไม่ทำให้เกิดข้อสงสัยเพียงเล็กน้อยจำเป็นต้องมีค่าเท่ากันขององค์ประกอบทั้งหมดของตัวเลขทั้งสองอย่างไรก็ตามการใช้ทฤษฎีบทงานนั้นง่ายมากและมีเพียง เงื่อนไขบางประการได้รับอนุญาตให้พิสูจน์ความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม

สัญญาณแรกของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม

ปัญหาในหัวข้อนี้จะได้รับการแก้ไขบนพื้นฐานของการพิสูจน์ทฤษฎีบท ซึ่งฟังดังนี้: "ถ้าด้านของรูปสามเหลี่ยมสองด้านและมุมที่พวกมันก่อตัวมีค่าเท่ากับสองด้านและมุมของสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง ตัวเลขก็คือ เท่ากันทุกประการ"

การพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเกณฑ์แรกสำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมมีเสียงอย่างไร ทุกคนรู้ว่าสองส่วนเท่ากันหากมีความยาวเท่ากัน หรือวงกลมจะเท่ากันหากมีรัศมีเท่ากัน และในกรณีของสามเหลี่ยม มีสัญญาณหลายอย่าง ซึ่งเราสามารถสรุปได้ว่าตัวเลขเหมือนกัน ซึ่งสะดวกมากที่จะใช้ในการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตต่างๆ

ทฤษฎีบท "สัญญาณแรกของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม" อธิบายไว้ข้างต้นอย่างไร แต่นี่คือข้อพิสูจน์:

• สมมติว่าสามเหลี่ยม ABC และ A 1 B 1 C 1 มีด้านเท่ากัน AB และ A 1 B 1 และตามลำดับ BC และ B 1 C 1 และมุมที่เกิดจากด้านเหล่านี้มีค่าเท่ากัน นั่นคือ เท่ากัน. จากนั้น โดยการซ้อน △ ABC บน △ A 1 B 1 C 1 เราได้ความบังเอิญของเส้นตรงและจุดยอดทั้งหมด จากนี้ไปสามเหลี่ยมเหล่านี้เหมือนกันทุกประการซึ่งหมายความว่าพวกมันเท่ากัน

ทฤษฎีบท "เกณฑ์แรกสำหรับความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม" เรียกอีกอย่างว่า "ด้วยสองด้านและมุม" อันที่จริงนี่คือสาระสำคัญของมัน

ทฤษฎีบทคุณลักษณะที่สอง

เครื่องหมายที่สองของความเท่าเทียมกันได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกัน การพิสูจน์อยู่บนพื้นฐานของข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อตัวเลขซ้อนทับกัน พวกมันจะตรงกันในจุดยอดและด้านทั้งหมดโดยสมบูรณ์ และทฤษฎีบทก็มีเสียงดังนี้: "ถ้าด้านหนึ่งและมุมสองมุมในการก่อตัวของมันสัมพันธ์กับด้านและมุมสองมุมของรูปสามเหลี่ยมที่สอง ตัวเลขเหล่านี้จะเหมือนกัน นั่นคือ เท่ากัน"

เครื่องหมายที่สามและหลักฐาน

หากเครื่องหมายความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมทั้ง 2 และ 1 เกี่ยวข้องกับด้านข้างและมุมของรูป เครื่องหมายที่ 3 จะใช้กับด้านข้างเท่านั้น ดังนั้น ทฤษฎีบทจึงมีสูตรดังนี้: "ถ้าด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับสามด้านของรูปสามเหลี่ยมที่สอง แสดงว่าตัวเลขนั้นเหมือนกัน"

เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ เราต้องเจาะลึกคำจำกัดความของความเท่าเทียมกันในรายละเอียดเพิ่มเติม อันที่จริงนิพจน์ "สามเหลี่ยมเท่ากัน" หมายถึงอะไร? อัตลักษณ์บอกว่าถ้าคุณซ้อนร่างหนึ่งเข้ากับอีกร่างหนึ่ง องค์ประกอบทั้งหมดจะตรงกัน สิ่งนี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อด้านและมุมเท่ากัน ในเวลาเดียวกัน มุมที่อยู่ตรงข้ามด้านใดด้านหนึ่ง ซึ่งเท่ากับมุมของอีกสามเหลี่ยมหนึ่ง จะเท่ากับจุดยอดที่สอดคล้องกันของรูปที่สอง ควรสังเกตว่า ณ จุดนี้ หลักฐานสามารถแปลเป็น 1 เกณฑ์สำหรับความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมได้อย่างง่ายดาย หากไม่สังเกตลำดับดังกล่าว ความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมจะเป็นไปไม่ได้ ยกเว้นในกรณีที่รูปนั้นเป็นภาพสะท้อนของรูปแรก

สามเหลี่ยมมุมฉาก

ในโครงสร้างของสามเหลี่ยมดังกล่าว จะมีจุดยอดที่มีมุม 90° เสมอ ดังนั้น ข้อความต่อไปนี้จึงเป็นความจริง:

• สามเหลี่ยมที่มีมุมฉากเท่ากันถ้าขาข้างหนึ่งเหมือนกับขาที่สอง
• ตัวเลขจะเท่ากันหากด้านตรงข้ามมุมฉากและขาข้างหนึ่งเท่ากัน
• สามเหลี่ยมดังกล่าวจะเท่ากันหากขาและมุมแหลมเท่ากัน

เครื่องหมายนี้หมายถึง เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท จะใช้ตัวเลขต่อกัน อันเป็นผลมาจากการที่สามเหลี่ยมพับด้วยขาเพื่อให้เส้นตรงสองเส้นออกมาพร้อมกับด้าน CA และ CA 1

การใช้งานจริง

ในกรณีส่วนใหญ่ ในทางปฏิบัติ จะใช้เครื่องหมายแรกของความเท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม อันที่จริงแล้ว หัวข้อที่ดูเหมือนง่ายของเกรด 7 ในเรขาคณิตและการวัดระนาบนั้นยังใช้ในการคำนวณความยาว เช่น ของสายโทรศัพท์โดยไม่ต้องวัดภูมิประเทศที่จะผ่านไป การใช้ทฤษฎีบทนี้ ทำให้ง่ายต่อการคำนวณที่จำเป็นเพื่อกำหนดความยาวของเกาะที่อยู่กลางแม่น้ำโดยไม่ต้องว่ายข้าม เสริมความแข็งแกร่งของรั้วด้วยการวางแผ่นไม้ในช่วงเพื่อแบ่งออกเป็นสองสามเหลี่ยมเท่า ๆ กันหรือคำนวณองค์ประกอบที่ซับซ้อนของงานช่างไม้หรือเมื่อคำนวณระบบโครงหลังคาระหว่างการก่อสร้าง

สัญญาณแรกของความเท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยมถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในชีวิต "ผู้ใหญ่" ที่แท้จริง แม้ว่าในปีการศึกษา หัวข้อนี้ดูน่าเบื่อและไม่จำเป็นสำหรับหลายๆ คน