Provedite potpunu studiju o funkcijama kalkulatora. Istraživanje funkcija online

Uputa

Pronađite opseg funkcije. Na primjer, funkcija sin(x) je definirana na cijelom intervalu od -∞ do +∞, a funkcija 1/x je definirana od -∞ do +∞, osim točke x = 0.

Definirajte područja kontinuiteta i točke prekida. Obično je funkcija kontinuirana u istoj domeni u kojoj je definirana. Da biste otkrili diskontinuitete, trebate izračunati kada se argument približi izoliranim točkama unutar domene definicije. Na primjer, funkcija 1/x teži beskonačnosti kada je x→0+ i minus beskonačnosti kada je x→0-. To znači da u točki x = 0 ima diskontinuitet druge vrste.
Ako su granice u točki diskontinuiteta konačne, ali ne i jednake, tada se radi o diskontinuitetu prve vrste. Ako su jednaki, tada se funkcija smatra kontinuiranom, iako nije definirana u izoliranoj točki.

Pronađite vertikalne asimptote, ako postoje. Ovdje će vam pomoći izračuni iz prethodnog koraka, budući da je vertikalna asimptota gotovo uvijek u točki diskontinuiteta druge vrste. Međutim, ponekad se iz domene definicije ne isključuju pojedinačne točke, već čitavi intervali točaka, pa se vertikalne asimptote mogu nalaziti na rubovima tih intervala.

Provjerite ima li funkcija posebna svojstva: parno, neparno i periodično.
Funkcija će biti parna ako je za bilo koji x u domeni f(x) = f(-x). Na primjer, cos(x) i x^2 su parne funkcije.

Periodičnost je svojstvo koje kaže da postoji određeni broj T koji se naziva periodom, a koji za bilo koji x f(x) = f(x + T). Na primjer, sve osnovne trigonometrijske funkcije (sinus, kosinus, tangens) su periodične.

Pronađite bodove. Da biste to učinili, izračunajte derivaciju zadane funkcije i pronađite one x vrijednosti gdje ona nestaje. Na primjer, funkcija f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ima derivaciju g(x) = 3x^2 + 18x koja nestaje na x = 0 i x = -6.

Da biste odredili koje su točke ekstrema maksimumi, a koje minimumi, pratite promjenu predznaka derivacije u pronađenim nulama. g(x) mijenja predznak s plusa na x = -6 i natrag s minusa na plus na x = 0. Dakle, funkcija f(x) ima minimum u prvoj točki i minimum u drugoj.

Dakle, također ste pronašli područja monotonosti: f(x) raste monotono na intervalu -∞;-6, monotono opada na -6;0 i ponovno raste na 0;+∞.

Pronađite drugu derivaciju. Njegovi korijeni pokazat će gdje će graf određene funkcije biti konveksan, a gdje konkavan. Na primjer, druga derivacija funkcije f(x) bit će h(x) = 6x + 18. Nestaje na x = -3, mijenjajući predznak iz minusa u plus. Stoga će graf f (x) prije ove točke biti konveksan, nakon nje - konkavan, a sama ova točka bit će točka infleksije.

Funkcija može imati i druge asimptote, osim vertikalnih, ali samo ako njezina domena definicije uključuje . Da biste ih pronašli, izračunajte granicu f(x) kada je x→∞ ili x→-∞. Ako je konačan, tada ste pronašli horizontalnu asimptotu.

Kosa asimptota je pravac oblika kx + b. Da biste pronašli k, izračunajte granicu f(x)/x kao x→∞. Naći b - granicu (f(x) – kx) s istim x→∞.

Nacrtajte funkciju na izračunatim podacima. Označite asimptote, ako postoje. Označite točke ekstrema i vrijednosti funkcije u njima. Za veću točnost grafikona, izračunajte vrijednosti funkcije na još nekoliko međutočaka. Istraživanje završeno.

Jedan od najvažnijih zadataka diferencijalnog računa je razvoj općih primjera proučavanja ponašanja funkcija.

Ako je funkcija y \u003d f (x) neprekidna na intervalu, a njezin izvod je pozitivan ili jednak 0 na intervalu (a, b), tada y \u003d f (x) raste za (f "(x) 0). Ako je funkcija y \u003d f (x) neprekidna na segmentu , a njezina derivacija negativna ili jednaka 0 na intervalu (a,b), tada y=f(x) opada za (f"( x)0)

Intervali u kojima funkcija ne opada niti raste nazivaju se intervali monotonosti funkcije. Priroda monotonosti funkcije može se promijeniti samo u onim točkama njezine domene definicije, u kojima se mijenja predznak prve derivacije. Točke u kojima prva derivacija funkcije nestaje ili se lomi nazivaju se kritične točke.

Teorem 1 (1. dovoljan uvjet za postojanje ekstrema).

Neka je funkcija y=f(x) definirana u točki x 0 i neka postoji susjedstvo δ>0 takvo da je funkcija kontinuirana na segmentu , diferencijabilna na intervalu (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , a njegova derivacija zadržava konstantan predznak na svakom od tih intervala. Tada ako su na x 0 -δ, x 0) i (x 0, x 0 + δ) predznaci derivacije različiti, tada je x 0 točka ekstrema, a ako se podudaraju, onda x 0 nije točka ekstrema . Štoviše, ako pri prolasku kroz točku x0 derivacija promijeni predznak iz plusa u minus (lijevo od x 0 izvodi se f "(x)> 0, tada je x 0 najveća točka; ako derivacija promijeni predznak od minusa do plusa (desno od x 0 se izvršava pomoću f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Točke maksimuma i minimuma nazivaju se točkama ekstrema funkcije, a maksimumi i minimumi funkcije njezinim ekstremnim vrijednostima.

Teorem 2 (nužan kriterij za lokalni ekstrem).

Ako funkcija y=f(x) ima ekstrem u trenutnom x=x 0, tada ili f'(x 0)=0 ili f'(x 0) ne postoji.
U točkama ekstrema diferencijabilne funkcije tangenta na njezin graf je paralelna s osi Ox.

Algoritam za proučavanje funkcije za ekstrem:

1) Pronađite izvod funkcije.
2) Pronađite kritične točke, tj. točke u kojima je funkcija kontinuirana, a derivacija nula ili ne postoji.
3) Razmotrite okolicu svake od točaka i ispitajte predznak derivacije lijevo i desno od te točke.
4) Odredite koordinate ekstremnih točaka, za ovu vrijednost kritičnih točaka zamijenite u ovu funkciju. Koristeći dostatne ekstremne uvjete, izvucite odgovarajuće zaključke.

Primjer 18. Istražite funkciju y=x 3 -9x 2 +24x

Riješenje.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Izjednačavanjem izvoda s nulom nalazimo x 1 =2, x 2 =4. U ovom slučaju, derivat je svugdje definiran; dakle, osim dvije nađene točke, nema drugih kritičnih točaka.
3) Predznak derivacije y "=3(x-2)(x-4) mijenja se ovisno o intervalu kao što je prikazano na slici 1. Prolaskom kroz točku x=2 derivacija mijenja predznak iz plusa u minus, a pri prolasku kroz točku x=4 - iz minusa u plus.
4) U točki x=2 funkcija ima maksimum y max =20, a u točki x=4 - minimum y min =16.

Teorem 3. (2. dovoljan uvjet za postojanje ekstrema).

Neka f "(x 0) i f "" (x 0) postoje u točki x 0. Tada ako je f "" (x 0)> 0, tada je x 0 točka minimuma, a ako je f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Na segmentu funkcija y \u003d f (x) može doseći najmanju (barem) ili najveću (najviše) vrijednost bilo na kritičnim točkama funkcije koje leže u intervalu (a; b), ili na krajevima segmenta.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti kontinuirane funkcije y=f(x) na segmentu:

1) Pronađite f "(x).
2) Pronađite točke u kojima f "(x) = 0 ili f" (x) - ne postoji, i odaberite među njima one koje leže unutar segmenta.
3) Izračunajte vrijednost funkcije y \u003d f (x) u točkama dobivenim u stavku 2), kao i na krajevima segmenta i odaberite najveći i najmanji od njih: oni su, odnosno, najveći ( za najveću) i najmanju (za najmanju) vrijednost funkcije na intervalu .

Primjer 19. Pronađite najveću vrijednost kontinuirane funkcije y=x 3 -3x 2 -45+225 na odsječku .

1) Imamo y "=3x 2 -6x-45 na segmentu
2) Derivacija y" postoji za sve x. Nađimo točke u kojima je y"=0; dobivamo:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2=5
3) Izračunajte vrijednost funkcije u točkama x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Odsječku pripada samo točka x=5. Najveća od pronađenih vrijednosti funkcije je 225, a najmanja je broj 50. Dakle, pri max = 225, pri max = 50.

Ispitivanje funkcije na konveksnosti

Na slici su prikazani grafovi dviju funkcija. Prvi od njih je okrenut s izbočinom prema gore, drugi - s izbočinom prema dolje.

Funkcija y=f(x) je kontinuirana na segmentu i diferencijabilna u intervalu (a;b), naziva se konveksnom gore (dolje) na ovom segmentu, ako za axb njezin graf ne leži više (ne niže) od tangente nacrtana u bilo kojoj točki M 0 (x 0 ;f(x 0)), gdje je axb.

Teorem 4. Neka funkcija y=f(x) ima drugu derivaciju u bilo kojoj unutarnjoj točki x segmenta i neka je kontinuirana na krajevima tog segmenta. Tada ako je nejednakost f""(x)0 zadovoljena na intervalu (a;b), tada je funkcija konveksna prema dolje na segmentu ; ako je nejednakost f""(x)0 zadovoljena na intervalu (a;b), tada je funkcija konveksna prema gore na .

Teorem 5. Ako funkcija y=f(x) ima drugu derivaciju na intervalu (a;b) i ako prolaskom kroz točku x 0 mijenja predznak, tada je M(x 0 ;f(x 0)) točka infleksije.

Pravilo za pronalaženje točaka infleksije:

1) Pronađite točke u kojima f""(x) ne postoji ili nestaje.
2) Ispitajte znak f""(x) lijevo i desno od svake točke pronađene u prvom koraku.
3) Na temelju teorema 4 izvedite zaključak.

Primjer 20. Odredite točke ekstrema i točke infleksije grafa funkcije y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Imamo f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Očito, f"(x)=0 za x 1 =0, x 2 =1. Derivacija pri prolasku kroz točku x=0 mijenja predznak iz minusa u plus, a pri prolasku kroz točku x=1 ne mijenja predznak. To znači da je x=0 točka minimuma (y min =12), a u točki x=1 nema ekstrema. Dalje, nalazimo . Druga derivacija nestaje u točkama x 1 =1, x 2 =1/3. Predznaci druge derivacije se mijenjaju na sljedeći način: Na zraku (-∞;) imamo f""(x)>0, na intervalu (;1) imamo f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Dakle, x= je točka infleksije grafa funkcije (prijelaz iz konveksnosti prema dolje u konveksnost prema gore), a x=1 također je točka infleksije (prijelaz iz konveksnosti prema gore u konveksnost prema dolje). Ako je x=, tada je y= ; ako, tada je x=1, y=13.

Algoritam za pronalaženje asimptote grafa

I. Ako je y=f(x) kao x → a , tada je x=a vertikalna asimptota.
II. Ako je y=f(x) kao x → ∞ ili x → -∞ tada je y=A horizontalna asimptota.
III. Za pronalaženje kose asimptote koristimo sljedeći algoritam:
1) Izračunajte. Ako granica postoji i jednaka je b, tada je y=b horizontalna asimptota; ako , prijeđite na drugi korak.
2) Izračunajte. Ako ta granica ne postoji, tada nema ni asimptote; ako postoji i jednak je k, prijeđite na treći korak.
3) Izračunajte. Ako ta granica ne postoji, tada nema ni asimptote; ako postoji i jednak je b, prijeđite na četvrti korak.
4) Zapišite jednadžbu kose asimptote y=kx+b.

Primjer 21: Pronađite asimptotu za funkciju

1)
2)
3)
4) Jednadžba kose asimptote ima oblik

Shema proučavanja funkcije i konstrukcija njezinog grafikona

I. Pronađite domenu funkcije.
II. Pronađite točke presjeka grafa funkcije s koordinatnim osima.
III. Pronađite asimptote.
IV. Pronađite točke mogućeg ekstrema.
V. Pronađite kritične točke.
VI. Pomoću pomoćnog crteža istražite predznak prve i druge derivacije. Odrediti područja porasta i opadanja funkcije, pronaći smjer konveksnosti grafa, točke ekstrema i točke infleksije.
VII. Izgradite grafikon, uzimajući u obzir istraživanje provedeno u odlomcima 1-6.

Primjer 22: Nacrtajte graf funkcije prema gornjoj shemi

Riješenje.
I. Domena funkcije je skup svih realnih brojeva, osim x=1.
II. Kako jednadžba x 2 +1=0 nema realne korijene, tada graf funkcije nema sjecišnih točaka s osi Ox, već siječe os Oy u točki (0; -1).
III. Razjasnimo pitanje postojanja asimptota. Istražujemo ponašanje funkcije u blizini točke diskontinuiteta x=1. Budući da je y → ∞ za x → -∞, y → +∞ za x → 1+, tada je pravac x=1 okomita asimptota grafa funkcije.
Ako je x → +∞(x → -∞), tada je y → +∞(y → -∞); dakle, graf nema horizontalnu asimptotu. Nadalje, iz postojanja granica

Rješavanjem jednadžbe x 2 -2x-1=0 dobivamo dvije točke mogućeg ekstremuma:
x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2

V. Da bismo pronašli kritične točke, izračunavamo drugu derivaciju:

Budući da f""(x) ne nestaje, nema kritičnih točaka.
VI. Istražujemo predznak prve i druge derivacije. Moguće točke ekstrema koje treba razmotriti: x 1 =1-√2 i x 2 =1+√2, podijeliti područje postojanja funkcije u intervale (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) i (1+√2;+∞).

U svakom od ovih intervala derivat zadržava svoj predznak: u prvom - plus, u drugom - minus, u trećem - plus. Niz znakova prve derivacije bit će napisan na sljedeći način: +, -, +.
Dobijamo da funkcija na (-∞;1-√2) raste, na (1-√2;1+√2) pada, a na (1+√2;+∞) ponovno raste. Točke ekstrema: maksimum na x=1-√2, štoviše f(1-√2)=2-2√2 minimum na x=1+√2, štoviše f(1+√2)=2+2√2. Na (-∞;1) graf je konveksan prema gore, a na (1;+∞) - prema dolje.
VII Napravimo tablicu dobivenih vrijednosti

VIII Na temelju dobivenih podataka gradimo skicu grafa funkcije

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim stranama

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• U slučaju da je potrebno - sukladno zakonu, sudskom nalogu, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - otkriti Vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnost, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog interesa.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.