Cilindar (potiče iz grčkog jezika, od riječi "klizalište", "valjak") je geometrijsko tijelo koje je s vanjske strane ograničeno površinom koja se naziva cilindrična ploha i dvije ravnine. Ove ravnine sijeku površinu figure i međusobno su paralelne.

Cilindrična ploha je ploha koja se dobiva ravnom linijom u prostoru. Ta kretanja su takva da se odabrana točka ove ravne crte pomiče duž krivulje ravnog tipa. Takva ravna crta naziva se generatrisa, a zakrivljena linija naziva se vodilica.

Cilindar se sastoji od para baza i bočne cilindrične površine. Cilindri su nekoliko vrsta:

1. Kružni, ravni cilindar. Za takav cilindar, baza i vodilica su okomite na generatrisu, a postoji

2. Kosi cilindar. On ima kut između generirajuće linije i baze nije ravan.

3. Cilindar drugačijeg oblika. Hiperbolični, eliptični, parabolični i drugi.

Površina cilindra, kao i ukupna površina bilo kojeg cilindra, nalazi se zbrajanjem površina baza ove figure i površine bočne površine.

Formula za izračunavanje ukupne površine cilindra za kružni, ravni cilindar je:

Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).

Područje bočne površine malo je teže pronaći od područja cijelog cilindra; izračunava se množenjem duljine generatrixa s opsegom presjeka koji tvori ravnina koja je okomita na generatrisa.

Podaci o cilindru za kružni, ravni cilindar prepoznati su razvojem ovog objekta.

Razvitak je pravokutnik koji ima visinu h i duljinu P koja je jednaka opsegu baze.

Slijedi da je bočna površina cilindra jednaka površini zamaha i može se izračunati pomoću ove formule:

Ako uzmemo kružni, ravni cilindar, tada za njega:

P = 2p R, i Sb = 2p Rh.

Ako je cilindar nagnut, tada bočna površina treba biti jednaka umnošku duljine njegove generatrise i opsega presjeka koji je okomit na ovu generatrisu.

Nažalost, ne postoji jednostavna formula za izražavanje bočne površine nagnutog cilindra u smislu njegove visine i njegovih osnovnih parametara.

Da biste izračunali cilindar, morate znati nekoliko činjenica. Ako presjek svojom ravninom siječe osnovice, tada je takav presjek uvijek pravokutnik. Ali ti će pravokutnici biti različiti, ovisno o položaju odjeljka. Jedna od stranica osnog presjeka lika, koja je okomita na baze, jednaka je visini, a druga je jednaka promjeru baze valjka. A površina takvog presjeka, odnosno, jednaka je umnošku jedne strane pravokutnika s drugom, okomitom na prvu, ili umnošku visine ove figure s promjerom njezine baze.

Ako je presjek okomit na baze figure, ali ne prolazi kroz os rotacije, tada će površina ovog presjeka biti jednaka proizvodu visine ovog cilindra i određene tetive. Da biste dobili akord, trebate izgraditi krug u podnožju cilindra, nacrtati polumjer i na njemu odvojiti udaljenost na kojoj se nalazi presjek. I iz ove točke morate povući okomice na radijus iz sjecišta s krugom. Sjecišta su povezana sa središtem. A baza trokuta je željena, koja se traži zvuči ovako: "Zbroj kvadrata dviju nogu jednak je hipotenuzi na kvadrat":

C2 = A2 + B2.

Ako presjek ne utječe na bazu cilindra, a sam cilindar je kružni i ravan, tada se površina ovog presjeka nalazi kao površina kruga.

Površina kruga je:

S okruženje = 2p R2.

Da biste pronašli R, morate njegovu duljinu C podijeliti s 2p:

R = C \ 2n, gdje je n pi, matematička konstanta izračunata za rad s kružnim podacima i jednaka je 3,14.

Cilindar je lik koji se sastoji od cilindrične plohe i dva paralelna kruga. Izračunavanje površine cilindra je problem u geometrijskoj grani matematike, koji se vrlo jednostavno rješava. Postoji nekoliko metoda za njegovo rješavanje, koje se kao rezultat uvijek svode na jednu formulu.

Kako pronaći površinu cilindra - pravila izračuna

• Da biste saznali površinu cilindra, trebate dodati dvije osnovne površine s površinom bočne površine: S \u003d S strana + 2 S glavna. U detaljnijoj verziji ova formula izgleda ovako: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Bočna površina danog geometrijskog tijela može se izračunati ako su poznati njegova visina i polumjer kruga koji leži ispod baze. U ovom slučaju možete izraziti radijus iz opsega, ako je zadan. Visina se može pronaći ako je vrijednost generatrixa navedena u uvjetu. U ovom slučaju, generatrix će biti jednaka visini. Formula za bočnu plohu zadanog tijela izgleda ovako: S= 2 π rh.
• Površina baze izračunava se formulom za pronalaženje površine kruga: S osn= π r 2 . U nekim zadacima radijus možda nije zadan, ali je zadan opseg. Ovom se formulom radijus izražava prilično jednostavno. S=2π r, r= S/2π. Također se mora zapamtiti da je radijus pola promjera.
• Prilikom izvođenja svih ovih izračuna, broj π se obično ne prevodi u 3,14159 ... Samo ga trebate dodati pored numeričke vrijednosti koja je dobivena kao rezultat izračuna.
• Nadalje, potrebno je samo pomnožiti pronađenu površinu baze s 2 i dodati dobivenom broju izračunatu površinu bočne površine figure.
• Ako problem pokazuje da cilindar ima aksijalni presjek i da je ovo pravokutnik, tada će rješenje biti malo drugačije. U ovom slučaju, širina pravokutnika bit će promjer kruga koji leži u podnožju tijela. Duljina figure bit će jednaka generatrisi ili visini cilindra. Potrebno je izračunati željene vrijednosti i zamijeniti ih u već poznatu formulu. U ovom slučaju, širina pravokutnika mora se podijeliti s dva da bi se pronašla površina baze. Da bismo pronašli bočnu plohu, duljina se množi s dva radijusa i brojem π.
• Možete izračunati površinu zadanog geometrijskog tijela kroz njegov volumen. Da biste to učinili, trebate izvesti vrijednost koja nedostaje iz formule V=π r 2 h.
• Nema ništa teško u izračunavanju površine cilindra. Vi samo trebate znati formule i moći iz njih izvesti količine potrebne za izračune.

Cilindar je geometrijsko tijelo omeđeno dvjema paralelnim ravninama i cilindričnom plohom. U članku ćemo govoriti o tome kako pronaći površinu cilindra i, koristeći formulu, riješit ćemo na primjer nekoliko problema.

Cilindar ima tri površine: gornju, donju i bočnu površinu.

Gornji i donji dio cilindra su krugovi i lako ih je definirati.

Poznato je da je površina kruga jednaka πr 2 . Stoga će formula za površinu dva kruga (gornji i donji dio cilindra) izgledati kao πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Treća, bočna površina cilindra, je zakrivljena stijenka cilindra. Kako bismo što bolje predstavili ovu plohu, pokušajmo je transformirati da dobije prepoznatljiv oblik. Zamislite da je cilindar obična konzerva koja nema gornji poklopac i dno. Napravimo okomiti rez na bočnoj stijenci od vrha do dna staklenke (korak 1 na slici) i pokušajmo što više otvoriti (ispraviti) dobivenu figuru (korak 2).

Nakon potpunog otkrivanja rezultirajuće staklenke, vidjet ćemo poznatu figuru (Korak 3), ovo je pravokutnik. Površina pravokutnika je lako izračunati. Ali prije toga, vratimo se na trenutak na izvorni cilindar. Vrh izvornog valjka je kružnica, a znamo da se opseg kružnice izračunava po formuli: L = 2πr. Na slici je označen crvenom bojom.

Kada se bočna stijenka cilindra potpuno raširi, vidimo da opseg postaje duljina pravokutnika. Stranice tog pravokutnika bit će opseg (L = 2πr) i visina valjka (h). Površina pravokutnika jednaka je umnošku njegovih stranica - S = duljina x širina = L x h = 2πr x h = 2πrh. Kao rezultat toga, dobili smo formulu za izračunavanje bočne površine cilindra.

Formula za površinu bočne površine cilindra
S strana = 2prh

Puna površina cilindra

Na kraju, ako zbrojimo površinu sve tri površine, dobivamo formulu za ukupnu površinu cilindra. Površina cilindra jednaka je površini vrha cilindra + površini baze cilindra + površini bočne površine cilindra ili S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Ponekad se ovaj izraz piše identičnom formulom 2πr (r + h).

Formula za ukupnu površinu cilindra
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r je polumjer cilindra, h je visina cilindra

Primjeri izračunavanja površine cilindra

Da bismo razumjeli gornje formule, pokušajmo izračunati površinu cilindra pomoću primjera.

1. Polumjer baze cilindra je 2, visina je 3. Odredite površinu bočne površine cilindra.

Ukupna površina računa se po formuli: S strana. = 2prh

S strana = 2 * 3,14 * 2 * 3

S strana = 6,28 * 6

S strana = 37,68

Bočna površina cilindra je 37,68.

2. Kako pronaći površinu valjka ako je visina 4, a polumjer 6?

Ukupna površina izračunava se po formuli: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

To je geometrijsko tijelo omeđeno dvjema paralelnim ravninama i cilindričnom plohom.

Cilindar se sastoji od bočne plohe i dvije baze. Formula za površinu cilindra uključuje zasebni izračun površine baza i bočne površine. Budući da su baze u cilindru jednake, tada će se njegova ukupna površina izračunati po formuli:

Razmotrit ćemo primjer izračuna površine cilindra nakon što znamo sve potrebne formule. Prvo nam je potrebna formula za površinu baze cilindra. Budući da je baza cilindra krug, moramo primijeniti:
Sjećamo se da se u ovim izračunima koristi konstantan broj Π = 3,1415926, koji se izračunava kao omjer opsega kruga i njegovog promjera. Ovaj broj je matematička konstanta. Također ćemo malo kasnije razmotriti primjer izračuna površine baze valjka.

Bočna površina cilindra

Formula za površinu bočne površine cilindra je proizvod duljine baze i njegove visine:

Sada razmotrite problem u kojem trebamo izračunati ukupnu površinu cilindra. Na danoj slici visina je h = 4 cm, r = 2 cm. Nađimo ukupnu površinu cilindra.
Prvo, izračunajmo površinu baza:
Sada razmotrite primjer izračuna bočne površine cilindra. Kada se raširi, to je pravokutnik. Njegova se površina izračunava pomoću gornje formule. Zamijenite sve podatke u njega:
Ukupna površina kruga je zbroj dvostruke površine baze i stranice:

Dakle, koristeći formule za površinu baza i bočnu površinu figure, uspjeli smo pronaći ukupnu površinu cilindra.
Osni presjek valjka je pravokutnik kojemu su stranice jednake visini i promjeru valjka.

Formula za površinu aksijalnog presjeka cilindra proizlazi iz formule za izračun:

Pronađite površinu aksijalnog presjeka okomitog na baze cilindra. Jedna od stranica ovog pravokutnika jednaka je visini valjka, druga je jednaka promjeru osnovnog kruga. Prema tome, površina poprečnog presjeka u ovom će slučaju biti jednaka proizvodu stranica pravokutnika. S=2R*h, gdje je S površina poprečnog presjeka, R polumjer osnovne kružnice, zadan uvjetima zadatka, a h je visina valjka, također zadana uvjetima zadatka.

Ako je presjek okomit na osnovice, ali ne prolazi kroz os rotacije, pravokutnik neće biti jednak promjeru kruga. Treba izračunati. Da biste to učinili, zadatak mora reći na kojoj udaljenosti od osi rotacije prolazi presječna ravnina. Radi lakšeg izračuna, konstruirajte krug baze cilindra, nacrtajte polumjer i na njemu odvojite udaljenost na kojoj se presjek nalazi od središta kruga. Od ove točke povucite do okomica dok se ne presjeku s krugom. Spojite točke sjecišta sa središtem. Morate pronaći akorde. Odredite veličinu polovice tetive koristeći Pitagorin poučak. Bit će jednak kvadratnom korijenu razlike kvadrata polumjera kruga od središta do linije presjeka. a2=R2-b2. Cijeli će akord biti jednak 2a. Izračunajte površinu presjeka koja je jednaka umnošku stranica pravokutnika, odnosno S=2a*h.

Cilindar se može secirati bez prolaska kroz ravninu baze. Ako je presjek okomit na os rotacije, tada će to biti krug. Njegova površina u ovom slučaju jednaka je površini baza, odnosno izračunava se formulom S \u003d πR2.

Koristan savjet

Da biste točnije zamislili odjeljak, napravite crtež i dodatne konstrukcije.

Izvori:

• površina presjeka cilindra

Sječna crta plohe s ravninom pripada i plohi i sekanti. Linija presjeka cilindrične površine sa sekansnom ravninom paralelnom s ravnom generatrisom je ravna linija. Ako je rezna ravnina okomita na os rotacijske površine, presjek će imati kružnicu. Općenito, linija presjeka cilindrične plohe s reznom ravninom je zakrivljena linija.

Trebat će vam

• Olovka, ravnalo, trokut, uzorci, šestari, mjerni instrument.

Uputa

Na frontalnu projekcijsku ravninu P₂ presječna linija se poklapa s projekcijom sekantne ravnine Σ₂ u obliku ravne linije.
Označite točke sjecišta generatrisa valjka s projekcijom Σ₂ 1₂, 2₂ itd. na točke 10₂ i 11₂.

Na ravnini P₁ je kružnica. Točke 1₂ , 2₂ označene na presječnoj ravnini Σ₂ itd. uz pomoć projekcijske linije spojevi će se projicirati na obris ove kružnice. Označite njihove vodoravne projekcije simetrično oko vodoravne osi kruga.

Tako su definirane projekcije željenog presjeka: na ravnini P₂ - pravac (točke 1₂, 2₂ ... 10₂); na ravnini P₁ - krug (točke 1₁, 2₁ ... 10₁).

Po dva konstruirajte prirodnu veličinu presjeka zadanog valjka prednjom projiciranom ravninom Σ. Da biste to učinili, upotrijebite metodu projekcija.

Nacrtaj ravninu P₄ paralelnu s projekcijom ravnine Σ₂. Na ovoj novoj x₂₄ osi označite točku 1₀. Udaljenosti između točaka 1₂ - 2₂, 2₂ - 4₂, itd. iz prednje projekcije presjeka, odvojene na osi x₂₄, nacrtajte tanke linije spoja projekcije okomito na os x₂₄.

U ovoj metodi ravnina P₄ zamijenjena je ravninom P₁, stoga iz horizontalne projekcije prenesite dimenzije s osi na točke na os ravnine P₄.

Na primjer, na P₁ za točke 2 i 3, to će biti udaljenost od 2₁ i 3₁ do osi (točka A), itd.

Odlaganjem navedenih udaljenosti od vodoravne projekcije, dobit ćete točke 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Zatim, za veću točnost konstrukcije, određuju se preostale, srednje, točke.

Spajanjem svih točaka zakrivljenom krivuljom dobit ćete željenu prirodnu veličinu presjeka valjka prednjom projekcijskom ravninom.

Izvori:

• kako zamijeniti avion

Savjet 3: Kako pronaći područje aksijalnog presjeka krnjeg stošca

Da biste riješili ovaj problem, morate se sjetiti što je krnji stožac i koja svojstva ima. Obavezno nacrtajte. To će odrediti koji je geometrijski lik presjek. Sasvim je moguće da vam nakon ovoga rješenje problema više neće biti teško.

Uputa

Okrugli stožac je tijelo dobiveno rotacijom trokuta oko jedne njegove krake. Ravne linije koje dolaze s vrha češeri a koji sijeku njegovu bazu nazivaju se generatori. Ako su svi generatori jednaki, onda je stožac ravan. U podnožju okruglog češeri leži krug. Okomica spuštena na podnožje s vrha je visina češeri. Na kružnom ravnom češeri visina se podudara s njegovom osi. Os je ravna linija koja se povezuje sa središtem baze. Ako je horizontalna rezna ravnina kružnog češeri, tada je njegova gornja baza krug.

Kako u uvjetu zadatka nije navedeno da je u ovom slučaju zadan stožac, možemo zaključiti da se radi o ravnom krnjem stošcu čiji je horizontalni presjek paralelan s osnovkom. Njegov aksijalni presjek, tj. okomita ravnina, koja kroz os kružnog češeri, je jednakokračan trapez. Sve aksijalno odjeljci okruglo ravno češeri su međusobno jednaki. Stoga, pronaći kvadrat aksijalni odjeljci, potrebno je pronaći kvadrat trapeza, čije su osnovice promjeri baza krnjeg češeri, a stranice su njegovi generatori. Skraćena visina češeri je ujedno i visina trapeza.

Površina trapeza određena je formulom: S = ½(a+b) h, gdje je S kvadrat trapeza; a - vrijednost donje baze trapeza; b - vrijednost njegove gornje baze; h - visina trapeza.

Budući da uvjet ne precizira koje su dane, moguće je da promjeri obiju baza krnjeg češeri poznato: AD = d1 je promjer donje baze krnjeg češeri;BC = d2 je promjer njegove gornje baze; EH = h1 - visina češeri.Na ovaj način, kvadrat aksijalni odjeljci krnji češeri definirano: S1 = ½ (d1+d2) h1

Izvori:

• područje krnjeg stošca

Cilindar je trodimenzionalna figura i sastoji se od dvije jednake baze, koje su krugovi, i bočne površine koja povezuje linije koje ograničavaju baze. Izračunati kvadrat cilindar, pronađite površine svih njegovih površina i zbrojite ih.