Najveća i najmanja vrijednost funkcije dviju varijabli u zatvorenom području. Najmanja i najveća vrijednost funkcije na segmentu

Što je ekstrem funkcije i koji je nužan uvjet za ekstrem?

Ekstremum funkcije je maksimum i minimum funkcije.

Nužni uvjet za maksimum i minimum (ekstremum) funkcije je sljedeći: ako funkcija f(x) ima ekstrem u točki x = a, tada je u toj točki derivacija ili nula, ili beskonačna, ili ne postoji.

Ovaj uvjet je neophodan, ali ne i dovoljan. Derivacija u točki x = a može nestati, ići u beskonačnost ili ne postojati bez funkcije koja ima ekstrem u ovoj točki.

Koji je dovoljan uvjet za ekstremum funkcije (maksimum ili minimum)?

Prvi uvjet:

Ako je, u dovoljnoj blizini točke x = a, derivacija f?(x) pozitivna lijevo od a i negativna desno od a, tada u samoj točki x = a funkcija f(x) ima maksimum

Ako je, u dovoljnoj blizini točke x = a, derivacija f?(x) negativna lijevo od a i pozitivna desno od a, tada u samoj točki x = a funkcija f(x) ima minimum uz uvjet da je funkcija f(x) ovdje kontinuirana.

Umjesto toga, možete koristiti drugi dovoljan uvjet za ekstrem funkcije:

Neka u točki x = i prva derivacija f?(x) nestaje; ako je druga derivacija f??(a) negativna, tada funkcija f(x) ima maksimum u točki x = a, ako je pozitivna, tada ima minimum.

Što je kritična točka funkcije i kako je pronaći?

Ovo je vrijednost argumenta funkcije pri kojoj funkcija ima ekstrem (tj. maksimum ili minimum). Da biste ga pronašli, trebate pronaći izvedenicu funkcija f?(x) i, izjednačujući je s nulom, riješiti jednadžbu f?(x) = 0. Korijeni ove jednadžbe, kao i one točke u kojima ne postoji derivacija ove funkcije su kritične točke, tj. vrijednosti argumenta u kojima može postojati ekstremum . Lako se mogu prepoznati gledanjem izvodni graf: zanimaju nas one vrijednosti argumenta pri kojima graf funkcije siječe apscisnu os (Ox os) i one pri kojima graf trpi lomove.

Na primjer, pronađimo ekstrem parabole.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivacija funkcije: y?(x) = 6x + 2

Rješavamo jednadžbu: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

U ovom slučaju kritična točka je x0=-1/3. Za ovu vrijednost argumenta funkcija ima ekstremno. Da ga dobijem pronaći, zamijenimo pronađeni broj u izrazu za funkciju umjesto "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Kako odrediti maksimum i minimum funkcije, tj. njegove najveće i najmanje vrijednosti?

Ako se predznak derivacije promijeni iz “plus” u “minus” pri prolasku kroz kritičnu točku x0, tada je x0 maksimalna točka; ako se predznak derivacije promijeni s minusa na plus, tada je x0 minimalna točka; ako se predznak ne promijeni, tada u točki x0 nema ni maksimuma ni minimuma.

Za razmatrani primjer:

Uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta lijevo od kritične točke: x = -1

Kada je x = -1, vrijednost derivacije bit će y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tj. znak minus).

Sada uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta desno od kritične točke: x = 1

Za x = 1, vrijednost derivacije bit će y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tj. znak plus).

Kao što vidite, pri prolasku kroz kritičnu točku izvodnica je promijenila predznak iz minusa u plus. To znači da pri kritičnoj vrijednosti x0 imamo točku minimuma.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije na intervalu(na segmentu) nalaze se istim postupkom, samo uzimajući u obzir činjenicu da možda neće sve kritične točke ležati unutar navedenog intervala. One kritične točke koje su izvan intervala moraju biti isključene iz razmatranja. Ako unutar intervala postoji samo jedna kritična točka, ona će imati maksimum ili minimum. U ovom slučaju, za određivanje najveće i najmanje vrijednosti funkcije, također uzimamo u obzir vrijednosti funkcije na krajevima intervala.

Na primjer, pronađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

u intervalima:

Dakle, izvod funkcije je

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Rješavamo jednadžbu 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Kritične točke nalazimo na intervalu [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (nije uključeno u interval)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (nije uključeno u interval)

Nalazimo vrijednosti funkcije na kritičnim vrijednostima argumenta:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Vidi se da je na intervalu [-9; 9] funkcija ima najveću vrijednost pri x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

a najmanji - na x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervalu [-6; -3] imamo samo jednu kritičnu točku: x = -4,88. Vrijednost funkcije pri x = -4,88 je y = 5,398.

Nalazimo vrijednost funkcije na krajevima intervala:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na intervalu [-6; -3] imamo najveću vrijednost funkcije

y = 5,398 na x = -4,88

najmanja vrijednost je

y = 1,077 na x = -3

Kako pronaći točke infleksije grafa funkcije i odrediti strane konveksnosti i konkavnosti?

Da biste pronašli sve točke infleksije linije y \u003d f (x), morate pronaći drugu derivaciju, izjednačiti je s nulom (riješiti jednadžbu) i testirati sve one vrijednosti x za koje je druga derivacija nula , beskonačan ili ne postoji. Ako pri prolasku kroz jednu od ovih vrijednosti druga derivacija promijeni predznak, tada graf funkcije ima infleksiju u ovoj točki. Ako se ne mijenja, onda nema infleksije.

Korijeni jednadžbe f ? (x) = 0, kao i moguće točke diskontinuiteta funkcije i druge derivacije, dijele područje funkcije na određeni broj intervala. Konveksnost u svakom njihovom intervalu određena je predznakom druge derivacije. Ako je druga derivacija u točki proučavanog intervala pozitivna, tada je pravac y = f(x) ovdje konkavna prema gore, a ako je negativna, onda prema dolje.

Kako pronaći ekstreme funkcije dviju varijabli?

Da biste pronašli ekstreme funkcije f(x, y), diferencijabilne u području svoje dodjele, trebate:

1) pronađite kritične točke i za to riješite sustav jednadžbi

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) za svaku kritičnu točku P0(a;b) ispitati ostaje li predznak razlike nepromijenjen

za sve točke (x; y) dovoljno blizu P0. Ako razlika zadrži pozitivan predznak, tada u točki P0 imamo minimum, ako je negativan, onda maksimum. Ako razlika ne zadrži predznak, tada u točki R0 nema ekstrema.

Slično se određuju ekstremi funkcije za veći broj argumenata.

O čemu je Shrek Forever After?
Crtić: Shrek Forever After Godina izlaska: 2010. Premijera (Rusija): 20. svibnja 2010. Država: SAD Redatelj: Michael Pitchel Scenarij: Josh Klausner, Darren Lemke Žanr: obiteljska komedija, fantazija, avantura Službena stranica: www.shrekforeverafter.com radnja mazga

Mogu li donirati krv tijekom menstruacije?
Liječnici ne preporučuju davanje krvi tijekom menstruacije, jer. gubitak krvi, iako ne u značajnoj količini, ispunjen je smanjenjem razine hemoglobina i pogoršanjem dobrobiti žene. Tijekom postupka darivanja krvi, situacija s dobrobiti može se pogoršati sve do otkrivanja krvarenja. Stoga se žene trebaju suzdržati od davanja krvi tijekom menstruacije. I to već 5. dan nakon što su završili

Koliko kcal / sat se troši prilikom pranja podova
Vrste tjelesne aktivnosti Potrošnja energije, kcal/h Kuhanje 80 Oblačenje 30 Vožnja automobila 50 Brisanje prašine 80 Jelo 30 Vrtlarstvo 135 Peglanje odjeće 45 Spremanje kreveta 130 Kupovina 80 Sjedeći rad 75 Cjepanje drva 300 Pranje podova 130 Seks 100-150 Aerobni ples niskog intenziteta

Što znači riječ "skitnica"?
Lopov je lopov koji se bavi sitnom krađom ili lupež sklon prijevarnim trikovima. Potvrda ove definicije sadržana je u Krylovljevom etimološkom rječniku, prema kojem je riječ "prevarant" nastala od riječi "prevarant" (lopov, prevarant), srodne glagolu &la

Kako se zove zadnja objavljena priča braće Strugatski
Kratka priča Arkadija i Borisa Strugatskog "O pitanju ciklusa" prvi put je objavljena u travnju 2008. u znanstveno-fantastičnom almanahu "Podne. XXI stoljeće" (prilog časopisu "Vokrug sveta", objavljen pod uredništvom Borisa Strugatskog) . Publikacija je bila posvećena 75. obljetnici Borisa Strugatskog.

Gdje mogu pročitati priče sudionika Work And Travel USA programa
Work and Travel USA (rad i putovanje u SAD) popularan je program razmjene studenata u kojem možete provesti ljeto u Americi, legalno radeći u uslužnom sektoru i putujući. Povijest programa Work & Travel dio je programa međuvladine razmjene Cultural Exchange Pro

Uho. Kulinarska i povijesna referenca Više od dva i pol stoljeća riječ "ukha" koristi se za označavanje juha ili uvarka od svježe ribe. Ali bilo je vremena kada se ova riječ tumačila šire. Označavali su juhu - ne samo ribu, već i meso, grašak, pa čak i slatko. Dakle, u povijesnom dokumentu - "

Portali za informacije i zapošljavanje Superjob.ru - Portal za zapošljavanje Superjob.ru djeluje na ruskom online tržištu zapošljavanja od 2000. godine i vodeći je među resursima koji nude posao i traženje osoblja. Više od 80.000 životopisa stručnjaka i više od 10.000 slobodnih radnih mjesta dodaju se dnevno u bazu podataka stranice.

Što je motivacija
Definicija motivacije Motivacija (od lat. moveo - krećem se) - poticaj za djelovanje; dinamički proces fiziološkog i psihološkog plana koji kontrolira ljudsko ponašanje, određuje njegov smjer, organizaciju, aktivnost i stabilnost; čovjekova sposobnost da radom zadovolji svoje potrebe. Motivac

Tko je Bob Dylan
Bob Dylan (engl. Bob Dylan, pravo ime - Robert Allen Zimmerman engl. Robert Allen Zimmerman; rođen 24. svibnja 1941.) američki je tekstopisac koji je - prema anketi časopisa Rolling Stone - drugi (

Kako transportirati sobne biljke
Nakon kupnje sobnih biljaka, vrtlar se suočava sa zadatkom kako isporučiti kupljeno egzotično cvijeće neozlijeđeno. Poznavanje osnovnih pravila za pakiranje i transport sobnih biljaka pomoći će u rješavanju ovog problema. Biljke moraju biti pakirane za transport ili transport. Koliko god se biljke prenosile, mogu se oštetiti, osušiti, a zimi &m

Proces pronalaženja najmanje i najveće vrijednosti funkcije na segmentu podsjeća na fascinantan let oko objekta (grafa funkcije) helikopterom uz pucanje iz dalekometnog topa na određene točke i odabirom ove točke vrlo posebne točke za kontrolne snimke. Bodovi se biraju na određeni način i prema određenim pravilima. Po kojim pravilima? O ovome ćemo dalje govoriti.

Ako funkcija g = f(x) kontinuirano na segmentu [ a, b] , tada doseže ovaj segment najmanje i najviše vrijednosti . To se može dogoditi ili u ekstremne točke ili na krajevima segmenta. Stoga, pronaći najmanje i najveće vrijednosti funkcije , kontinuirano na intervalu [ a, b], trebate izračunati njegove vrijednosti u svim kritične točke i na krajevima segmenta, a zatim odaberite najmanji i najveći od njih.

Neka je, na primjer, potrebno odrediti najveću vrijednost funkcije f(x) na segmentu [ a, b] . Da biste to učinili, pronađite sve njegove kritične točke koje leže na [ a, b] .

kritična točka naziva se točka u kojoj definirana funkcija, i nju izvedenica ili je nula ili ne postoji. Zatim biste trebali izračunati vrijednosti funkcije u kritičnim točkama. I, na kraju, treba usporediti vrijednosti funkcije u kritičnim točkama i na krajevima segmenta ( f(a) i f(b) ). Najveći od ovih brojeva bit će najveća vrijednost funkcije na intervalu [a, b] .

Problem pronalaženja najmanje vrijednosti funkcije .

Tražimo najmanju i najveću vrijednost funkcije zajedno

Primjer 1. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 2] .

Riješenje. Nalazimo izvod ove funkcije. Izjednačimo derivaciju s nulom () i dobijemo dvije kritične točke: i . Da biste pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na danom segmentu, dovoljno je izračunati njezine vrijednosti na krajevima segmenta iu točki , budući da točka ne pripada segmentu [-1, 2] . Ove vrijednosti funkcije su sljedeće: , , . Iz toga slijedi da najmanja vrijednost funkcije(označeno crvenom bojom na donjem grafikonu), jednako -7, doseže se na desnom kraju segmenta - u točki , i najveći(također crveno na grafikonu), jednako je 9, - u kritičnoj točki .

Ako je funkcija kontinuirana u nekom intervalu, a taj interval nije segment (ali jest npr. interval; razlika između intervala i segmenta: granične točke intervala nisu uključene u interval, ali granične točke segmenta uključene su u segment), tada među vrijednostima funkcije možda neće biti najmanja i najveća. Tako je, na primjer, funkcija prikazana na slici ispod kontinuirana na ]-∞, +∞[ i nema najveću vrijednost.

Međutim, za bilo koji interval (zatvoren, otvoren ili beskonačan) vrijedi sljedeće svojstvo kontinuiranih funkcija.

Primjer 4. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu [-1, 3] .

Riješenje. Derivaciju ove funkcije nalazimo kao derivaciju kvocijenta:

.

Derivaciju izjednačavamo s nulom, što nam daje jednu kritičnu točku: . Pripada intervalu [-1, 3] . Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na određenom segmentu, nalazimo njezine vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj točki:

Usporedimo ove vrijednosti. Zaključak: jednako -5/13, u točki i najveća vrijednost jednak 1 u točki .

Nastavljamo zajedno tražiti najmanju i najveću vrijednost funkcije

Ima učitelja koji na temu pronalaženja najmanje i najveće vrijednosti funkcije učenicima ne daju kompliciranije primjere od upravo razmatranih, odnosno onih u kojima je funkcija polinom ili razlomak, brojnik a nazivnik su polinomi. Ali nećemo se ograničiti na takve primjere, jer među nastavnicima postoje ljubitelji natjerati učenike da razmišljaju u potpunosti (tablica izvedenica). Stoga će se koristiti logaritam i trigonometrijska funkcija.

Primjer 6. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu .

Riješenje. Derivaciju ove funkcije nalazimo kao derivat proizvoda :

Derivaciju izjednačavamo s nulom, što daje jednu kritičnu točku: . Pripada segmentu. Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na određenom segmentu, nalazimo njezine vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj točki:

Rezultat svih radnji: funkcija dosegne svoju minimalnu vrijednost, jednako 0, u točki i u točki i najveća vrijednost jednak e², u točki.

Primjer 7. Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije na segmentu .

Riješenje. Nalazimo izvod ove funkcije:

Izjednačite derivaciju s nulom:

Jedina kritična točka pripada segmentu . Da bismo pronašli najmanju i najveću vrijednost funkcije na određenom segmentu, nalazimo njezine vrijednosti na krajevima segmenta i na pronađenoj kritičnoj točki:

Zaključak: funkcija dosegne svoju minimalnu vrijednost, jednako , u točki i najveća vrijednost, jednako , u točki .

U primijenjenim ekstremnim problemima nalaženje najmanjih (najvećih) vrijednosti funkcije u pravilu se svodi na nalaženje najmanje (maksimalne). Ali od većeg praktičnog interesa nisu sami minimumi ili maksimumi, već vrijednosti argumenta na kojem su postignuti. Prilikom rješavanja primijenjenih problema javlja se dodatna poteškoća - kompilacija funkcija koje opisuju pojavu ili proces koji se razmatra.

Primjer 8 Spremnik kapaciteta 4, koji ima oblik paralelopipeda s kvadratnom bazom i otvoren na vrhu, mora biti pokositren. Kolike bi trebale biti dimenzije spremnika da bi se pokrilo sa što manje materijala?

Riješenje. Neka x- bazna strana h- visina spremnika, S– njegovu površinu bez pokrova, V- njegov volumen. Površina spremnika izražava se formulom, tj. je funkcija dviju varijabli. Izraziti S kao funkciju jedne varijable, koristimo činjenicu da je , odakle . Zamjena pronađenog izraza h u formulu za S:

Ispitajmo ovu funkciju za ekstrem. Definirana je i diferencijabilna posvuda u ]0, +∞[ , i

.

Derivaciju izjednačavamo s nulom () i nalazimo kritičnu točku. Osim toga, pri , derivacija ne postoji, ali ta vrijednost nije uključena u domenu definicije i stoga ne može biti točka ekstrema. Dakle, - jedina kritična točka. Provjerimo postojanje ekstrema pomoću drugog dovoljnog kriterija. Nađimo drugu derivaciju. Kada je drugi izvod veći od nule (). To znači da kada funkcija dosegne minimum . Jer ovo minimum - jedini ekstrem ove funkcije, to je njezina najmanja vrijednost. Dakle, strana baze spremnika trebala bi biti jednaka 2 m, a njegova visina.

Primjer 9 Iz paragrafa A, koji se nalazi na željezničkoj pruzi, do točke IZ, na udaljenosti od njega l, roba se mora transportirati. Cijena prijevoza jedinice težine po jedinici udaljenosti željeznicom jednaka je , a autocestom jednaka je . Do koje točke Mželjeznička linija trebala bi se održati autocesta za prijevoz tereta s ALI u IZ bila najekonomičnija AB pretpostavlja se da je pruga ravna)?

Što je ekstrem funkcije i koji je nužan uvjet za ekstrem?

Ekstremum funkcije je maksimum i minimum funkcije.

Nužni uvjet za maksimum i minimum (ekstremum) funkcije je sljedeći: ako funkcija f(x) ima ekstrem u točki x = a, tada je u toj točki derivacija ili nula, ili beskonačna, ili ne postoji.

Ovaj uvjet je neophodan, ali ne i dovoljan. Derivacija u točki x = a može nestati, ići u beskonačnost ili ne postojati bez funkcije koja ima ekstrem u ovoj točki.

Koji je dovoljan uvjet za ekstremum funkcije (maksimum ili minimum)?

Prvi uvjet:

Ako je, u dovoljnoj blizini točke x = a, derivacija f?(x) pozitivna lijevo od a i negativna desno od a, tada u samoj točki x = a funkcija f(x) ima maksimum

Ako je, u dovoljnoj blizini točke x = a, derivacija f?(x) negativna lijevo od a i pozitivna desno od a, tada u samoj točki x = a funkcija f(x) ima minimum uz uvjet da je funkcija f(x) ovdje kontinuirana.

Umjesto toga, možete koristiti drugi dovoljan uvjet za ekstrem funkcije:

Neka u točki x = i prva derivacija f?(x) nestaje; ako je druga derivacija f??(a) negativna, tada funkcija f(x) ima maksimum u točki x = a, ako je pozitivna, tada ima minimum.

Što je kritična točka funkcije i kako je pronaći?

Ovo je vrijednost argumenta funkcije pri kojoj funkcija ima ekstrem (tj. maksimum ili minimum). Da biste ga pronašli, trebate pronaći izvedenicu funkcija f?(x) i, izjednačujući je s nulom, riješiti jednadžbu f?(x) = 0. Korijeni ove jednadžbe, kao i one točke u kojima ne postoji derivacija ove funkcije su kritične točke, tj. vrijednosti argumenta u kojima može postojati ekstremum . Lako se mogu prepoznati gledanjem izvodni graf: zanimaju nas one vrijednosti argumenta pri kojima graf funkcije siječe apscisnu os (Ox os) i one pri kojima graf trpi lomove.

Na primjer, pronađimo ekstrem parabole.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivacija funkcije: y?(x) = 6x + 2

Rješavamo jednadžbu: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

U ovom slučaju kritična točka je x0=-1/3. Za ovu vrijednost argumenta funkcija ima ekstremno. Da ga dobijem pronaći, zamijenimo pronađeni broj u izrazu za funkciju umjesto "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Kako odrediti maksimum i minimum funkcije, tj. njegove najveće i najmanje vrijednosti?

Ako se predznak derivacije promijeni iz “plus” u “minus” pri prolasku kroz kritičnu točku x0, tada je x0 maksimalna točka; ako se predznak derivacije promijeni s minusa na plus, tada je x0 minimalna točka; ako se predznak ne promijeni, tada u točki x0 nema ni maksimuma ni minimuma.

Za razmatrani primjer:

Uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta lijevo od kritične točke: x = -1

Kada je x = -1, vrijednost derivacije bit će y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tj. znak minus).

Sada uzimamo proizvoljnu vrijednost argumenta desno od kritične točke: x = 1

Za x = 1, vrijednost derivacije bit će y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tj. znak plus).

Kao što vidite, pri prolasku kroz kritičnu točku izvodnica je promijenila predznak iz minusa u plus. To znači da pri kritičnoj vrijednosti x0 imamo točku minimuma.

Najveća i najmanja vrijednost funkcije na intervalu(na segmentu) nalaze se istim postupkom, samo uzimajući u obzir činjenicu da možda neće sve kritične točke ležati unutar navedenog intervala. One kritične točke koje su izvan intervala moraju biti isključene iz razmatranja. Ako unutar intervala postoji samo jedna kritična točka, ona će imati maksimum ili minimum. U ovom slučaju, za određivanje najveće i najmanje vrijednosti funkcije, također uzimamo u obzir vrijednosti funkcije na krajevima intervala.

Na primjer, pronađimo najveću i najmanju vrijednost funkcije

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

u intervalima:

Dakle, izvod funkcije je

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Rješavamo jednadžbu 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Kritične točke nalazimo na intervalu [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (nije uključeno u interval)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (nije uključeno u interval)

Nalazimo vrijednosti funkcije na kritičnim vrijednostima argumenta:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Vidi se da je na intervalu [-9; 9] funkcija ima najveću vrijednost pri x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

a najmanji - na x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervalu [-6; -3] imamo samo jednu kritičnu točku: x = -4,88. Vrijednost funkcije pri x = -4,88 je y = 5,398.

Nalazimo vrijednost funkcije na krajevima intervala:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na intervalu [-6; -3] imamo najveću vrijednost funkcije

y = 5,398 na x = -4,88

najmanja vrijednost je

y = 1,077 na x = -3

Kako pronaći točke infleksije grafa funkcije i odrediti strane konveksnosti i konkavnosti?

Da biste pronašli sve točke infleksije linije y \u003d f (x), morate pronaći drugu derivaciju, izjednačiti je s nulom (riješiti jednadžbu) i testirati sve one vrijednosti x za koje je druga derivacija nula , beskonačan ili ne postoji. Ako pri prolasku kroz jednu od ovih vrijednosti druga derivacija promijeni predznak, tada graf funkcije ima infleksiju u ovoj točki. Ako se ne mijenja, onda nema infleksije.

Korijeni jednadžbe f ? (x) = 0, kao i moguće točke diskontinuiteta funkcije i druge derivacije, dijele područje funkcije na određeni broj intervala. Konveksnost u svakom njihovom intervalu određena je predznakom druge derivacije. Ako je druga derivacija u točki proučavanog intervala pozitivna, tada je pravac y = f(x) ovdje konkavna prema gore, a ako je negativna, onda prema dolje.

Kako pronaći ekstreme funkcije dviju varijabli?

Da biste pronašli ekstreme funkcije f(x, y), diferencijabilne u području svoje dodjele, trebate:

1) pronađite kritične točke i za to riješite sustav jednadžbi

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) za svaku kritičnu točku P0(a;b) ispitati ostaje li predznak razlike nepromijenjen

za sve točke (x; y) dovoljno blizu P0. Ako razlika zadrži pozitivan predznak, tada u točki P0 imamo minimum, ako je negativan, onda maksimum. Ako razlika ne zadrži predznak, tada u točki R0 nema ekstrema.

Slično se određuju ekstremi funkcije za veći broj argumenata.

Koja bezalkoholna gazirana pića čiste površine
Postoji mišljenje da bezalkoholno gazirano piće Coca-Cola može otopiti meso. Nažalost, za to nema izravnih dokaza. Naprotiv, postoje potvrdne činjenice koje potvrđuju da meso ostavljeno u Coca-Cola piću dva dana mijenja potrošačka svojstva i ne nestaje nigdje.

Tlocrti tipičnih stanova, opisi i fotografije kuća mogu se naći na web stranicama: - www.kvadroom.ru/planirovki - www.prime-realty.ru/tip/tip.htm - goodgoods.ru/pages/1093353787.html - www.cnko.net/art

Kako liječiti neurozu
Neuroza (novolat. neurosis, dolazi od dr. grč. νε?ρον - živac; sinonimi - psihoneuroza, neurotski poremećaj) - u klinici: skupni naziv za skupinu funkcionalnih psihogenih reverzibilnih poremećaja koji teže

Što je afel
Apocentar je točka u orbiti u kojoj tijelo u eliptičnoj orbiti oko drugog tijela doseže najveću udaljenost od drugog tijela. U istom trenutku, prema drugom Keplerovom zakonu, brzina orbitalnog gibanja postaje minimalna. Apocentar se nalazi u točki dijametralno suprotno od periapsisa. U posebnim slučajevima uobičajeno je koristiti posebne izraze:

Što je mamon
Mamon (m. R.), mamon (f. R.) - riječ je nastala od grč. mammonas i znači bogatstvo, zemaljsko blago, blagoslov. Za neke stare poganske narode on je bio bog bogatstva i profita. U Svetom pismu spominju ga evanđelisti Matej i Luka: “Nitko ne može služiti dvojici gospodara: ili će jednoga mrziti, a drugoga

Kada je pravoslavni Uskrs 2049
U 2015. godini pravoslavni Uskrs bit će 12. travnja, a katolički 5. travnja. U crkvenim kalendarima datumi pravoslavnog Uskrsa dani su prema julijanskom kalendaru (stari stil), dok se katolički Uskrs smatra prema suvremenom gregorijanskom kalendaru (novi stil), tako da slaganje datuma zahtijeva određeni mentalni napor

Što je rublja
Rublja je naziv modernih valuta Rusije, Bjelorusije (bjeloruska rublja), Pridnjestrovlja (pridnjestrovska rublja). Ruska rublja također cirkulira u Južnoj Osetiji i Abhaziji. U prošlosti - novčana jedinica ruskih republika i kneževina, Velike kneževine Moskovske, Ruskog kraljevstva, Velike kneževine Litve, Ruskog Carstva i raznih

Koliko je dugo Ariel Sharon bio u komi
Ariel Arik Sharon (Sheinerman) - izraelski vojni, politički i državnik, premijer Izraela 2001. - 2006. Datum rođenja: 26. veljače 1928. Mjesto rođenja: naselje Kfar Malal u blizini Kfar Sabe, Izrael Datum smrti: 11. siječnja 2014. Mjesto smrti: Ramat Gan, Gush Dan, Iz

Tko su bili neandertalci
Neandertalac, neandertalac (lat. Homo neanderthalensis ili Homo sapiens neanderthalensis) je fosilna vrsta ljudi koji su živjeli prije 300-24 tisuće godina. Podrijetlo imena Vjeruje se da je lubanja neandertalca prvi put pronađena 1856. godine.

Koliko godina ima Geoffrey Rush
Geoffrey Rush je australski filmski i kazališni glumac. Dobitnik Oscara (1997), BAFTA-e (1996, 1999), Zlatnog globusa (1997, 2005). Najpoznatiji filmovi s njegovim sudjelovanjem - "Shine"

Kako odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti grafa funkcije
Što je ekstrem funkcije i koji je nužan uvjet za ekstrem? Ekstremum funkcije je maksimum i minimum funkcije. Nužni uvjet za maksimum i minimum (ekstremum) funkcije je sljedeći: ako funkcija f(x) ima ekstrem u točki x = a, tada je u toj točki derivacija ili nula, ili beskonačna, ili ne postoji. Ovaj uvjet je neophodan, ali ne i dovoljan. Izvedenica u t

Minijaturni i prilično jednostavan zadatak od one vrste koja služi kao spas za lebdećeg učenika. U prirodi je uspavano carstvo sredine srpnja, pa je vrijeme da se skrasite s laptopom na plaži. Rano ujutro zaigrala je sunčeva zraka teorije da bi se ubrzo usmjerila na praksu, koja unatoč deklariranoj lakoći sadrži krhotine stakla u pijesku. U tom smislu, preporučujem da savjesno razmotrite nekoliko primjera ove stranice. Za rješavanje praktičnih zadataka potrebno je znati pronaći izvedenice i razumjeti materijal članka Intervali monotonosti i ekstremi funkcije.

Prvo, ukratko o glavnoj stvari. U lekciji o kontinuitet funkcije Dao sam definiciju kontinuiteta u točki i kontinuiteta na intervalu. Egzemplarno ponašanje funkcije na segmentu formulira se na sličan način. Funkcija je neprekidna na segmentu ako:

1) kontinuirana je na intervalu ;
2) kontinuirano u točki desno i u točki lijevo.

Drugi odlomak bavi se tzv jednostrani kontinuitet funkcije u točki. Postoji nekoliko pristupa njegovoj definiciji, ali ja ću se držati ranije započete linije:

Funkcija je kontinuirana u točki desno, ako je definirana u danoj točki i njena desna granica se podudara s vrijednošću funkcije u danoj točki: . U točki je kontinuirana lijevo, ako je definiran u danoj točki i njegova lijeva granica je jednaka vrijednosti u toj točki:

Zamislite da su zelene točkice nokti na koje je pričvršćena čarobna gumica:

Mentalno uzmite crvenu liniju u ruke. Očito, bez obzira koliko razvukli graf gore-dolje (duž osi), funkcija će i dalje ostati ograničeno- živica gore, živica dolje, a naš proizvod pase u oboru. Na ovaj način, funkcija kontinuirana na segmentu je na njemu omeđena. Tijekom matematičke analize ova se naizgled jednostavna činjenica izriče i rigorozno dokazuje Weierstrassov prvi teorem.… Mnogima smeta što se elementarne tvrdnje dosadno potkrepljuju u matematici, ali to ima važno značenje. Pretpostavimo da je određeni stanovnik frotirnog srednjeg vijeka povukao graf u nebo izvan granica vidljivosti, ovo je umetnuto. Prije izuma teleskopa ograničena funkcija u svemiru nije bila nimalo očita! Doista, kako znaš što nas čeka iza horizonta? Uostalom, nekada se Zemlja smatrala ravnom, pa danas i obična teleportacija traži dokaz =)

Prema drugi Weierstrassov teorem, kontinuirano na segmentufunkcija dosegne svoje točan gornji rub i njegov točan donji rub .

Broj se također zove maksimalnu vrijednost funkcije na segmentu i označen sa , a broj - minimalna vrijednost funkcije na intervalu uz obavijest.

U našem slučaju:

Bilješka : u teoriji, zapisi su uobičajeni .

Grubo govoreći, najveća vrijednost nalazi se na najvišoj točki grafikona, a najmanja - na najnižoj točki.

Važno! Kao što je već istaknuto u članku o ekstremi funkcije, najveću vrijednost funkcije i najmanja vrijednost funkcije – NIJE ISTO, što maksimalna funkcija i minimum funkcije. Dakle, u ovom primjeru, broj je minimum funkcije, ali ne i minimalna vrijednost.

Usput, što se događa izvan segmenta? Da, čak ni poplava, u kontekstu razmatranog problema, to nas uopće ne zanima. Zadatak uključuje samo pronalaženje dva broja i to je to!

Štoviše, rješenje je čisto analitičko, dakle, nema potrebe za crtanjem!

Algoritam leži na površini i sugerira se iz gornje slike:

1) Pronađite vrijednosti funkcije u kritične točke, koji pripadaju ovom segmentu.

Uhvatite još jednu stvar: nema potrebe provjeravati dovoljan uvjet za ekstrem, jer, kao što je upravo pokazano, prisutnost minimuma ili maksimuma još nije zajamčeno koja je minimalna ili maksimalna vrijednost. Demonstracijska funkcija doseže svoj maksimum i voljom sudbine isti broj je najveća vrijednost funkcije na intervalu . Ali, naravno, takva slučajnost se ne događa uvijek.

Dakle, u prvom koraku je brže i lakše izračunati vrijednosti funkcije u kritičnim točkama koje pripadaju segmentu, ne zamarajući se imaju li one ekstreme ili ne.

2) Izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta.

3) Među vrijednostima funkcije koje se nalaze u 1. i 2. odlomku odaberite najmanji i najveći broj, zapišite odgovor.

Sjedimo na obali plavog mora i udaramo petama u plitkoj vodi:

Primjer 1

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu

Riješenje:
1) Izračunajte vrijednosti funkcije u kritičnim točkama koje pripadaju ovom segmentu:

Izračunajmo vrijednost funkcije u drugoj kritičnoj točki:

2) Izračunajte vrijednosti funkcije na krajevima segmenta:

3) Dobiveni su "podebljani" rezultati s eksponencijalima i logaritmima, što znatno otežava njihovu usporedbu. Iz tog razloga ćemo se naoružati kalkulatorom ili Excelom i izračunati približne vrijednosti, ne zaboravljajući da:

Sada je sve jasno.

Odgovor:

Frakcijsko-racionalna instanca za neovisno rješenje:

Primjer 6

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu