Koji je drugi znak jednakosti trokuta. Treći znak jednakosti trokuta

Kaže se da su dva trokuta sukladna ako se mogu preklapati. Slika 1 prikazuje jednake trokute ABC i A 1 B 1 C 1. Svaki od ovih trokuta može se postaviti na drugi tako da su potpuno kompatibilni, odnosno da su njihovi vrhovi i stranice spareni zajedno. Jasno je da će u ovom slučaju kutovi ovih trokuta biti kombinirani u parovima.

Dakle, ako su dva trokuta jednaka, tada su elementi (tj. stranice i kutovi) jednog trokuta redom jednaki elementima drugog trokuta. Imajte na umu da u jednakim trokutima naspram jednakih stranica(tj. preklapanje kada se preklapa) leže jednaki kutovi i natrag: nasuprot odgovarajućih jednakih kutova leže jednake stranice.

Tako, na primjer, u jednakim trokutima ABC i A 1 B 1 C 1, prikazanim na slici 1, jednaki kutovi C i C 1 leže na redom jednakim stranicama AB i A 1 B 1. Jednakost trokuta ABC i A 1 B 1 C 1 označit ćemo na sljedeći način: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Ispada da se jednakost dvaju trokuta može utvrditi usporedbom nekih njihovih elemenata.

Teorem 1. Prvi znak jednakosti trokuta. Ako su dvije stranice i kut između njih jednog trokuta redom jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trokuta, tada su ti trokuti jednaki (slika 2).

Dokaz. Razmotrimo trokute ABC i A 1 B 1 C 1, u kojima je AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (vidi sliku 2). Dokažimo da je Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Budući da je ∠ A \u003d ∠ A 1, tada se trokut ABC može superponirati na trokut A 1 B 1 C 1 tako da vrh A bude poravnat s vrhom A 1, a stranice AB i AC preklapaju se, redom, na zrake A 1 B 1 i A 1 C jedan . Budući da je AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, tada će se strana AB kombinirati sa stranom A 1 B 1, a strana AC - sa stranom A 1 C 1; posebno će se točke B i B 1 , C i C 1 podudarati. Stoga će stranice BC i B 1 C 1 biti poravnate. Dakle, trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 potpuno su kompatibilni, što znači da su jednaki.

Teorem 2 dokazuje se na sličan način metodom superpozicije.

Teorem 2. Drugi znak jednakosti trokuta. Ako su stranica i dva uz nju susjedna kuta jednog trokuta redom jednaki stranici i dvama uz nju susjednim kutovima drugog trokuta, tada su ti trokuti jednaki (slika 34).

Komentar. Na temelju teorema 2 utvrđuje se teorem 3.

Teorem 3. Zbroj bilo koja dva unutarnja kuta trokuta manji je od 180°.

Teorem 4 slijedi iz posljednjeg teorema.

Teorem 4. Vanjski kut trokuta veći je od bilo kojeg unutarnjeg kuta koji mu nije susjedan.

Teorem 5. Treći znak jednakosti trokuta. Ako su tri stranice jednog trokuta redom jednake trima stranicama drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki ().

Primjer 1 U trokutima ABC i DEF (sl. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Usporedi trokute ABC i DEF. Koji je kut u trokutu DEF jednak kutu B?

Riješenje. Ovi su trokuti jednaki u prvom znaku. Kut F trokuta DEF jednak je kutu B trokuta ABC, budući da ti kutovi leže nasuprot odgovarajućim jednakim stranicama DE i AC.

Primjer 2 Odsječci AB i CD (slika 5) sijeku se u točki O, koja je središte svakog od njih. Čemu je jednaka dužina BD ako je dužina AC 6 m?

Riješenje. Trokuti AOC i BOD su jednaki (po prvom kriteriju): ∠ AOC = ∠ BOD (vertikalno), AO = OB, CO = OD (po uvjetu).
Iz jednakosti ovih trokuta slijedi jednakost njihovih stranica, tj. AC = BD. Ali kako je prema uvjetu AC = 6 m, onda je BD = 6 m.

Video lekcija "Treći znak jednakosti trokuta" sadrži dokaz teorema, a to je znak jednakosti dva trokuta na tri stranice. Ovaj teorem je važan dio geometrije. Često se koristi za rješavanje praktičnih problema. Dokaz se temelji na učenicima već poznatim znakovima jednakosti trokuta.

Dokaz ovog teorema je složen, stoga, kako bi se poboljšala kvaliteta obrazovanja, kako bi se formirala sposobnost dokazivanja geometrijskih izjava, preporučljivo je koristiti ovu vizualnu pomoć, koja će pomoći usredotočiti pozornost učenika na materijal koji se proučava. . Također, uz pomoć animacije, vizualne demonstracije konstrukcija i dokaza, omogućuje poboljšanje kvalitete obrazovanja.

Na početku lekcije demonstrira se naslov teme i formulira teorem da su trokuti jednaki ako su sve stranice jednog trokuta u paru jednake svim stranicama drugog trokuta. Tekst teorema prikazan je na ekranu i učenici ga mogu zapisati u bilježnicu. Zatim ćemo razmotriti dokaz ovog teorema.

Za dokaz teorema konstruirani su trokuti ΔABC i ΔA 1 B 1 C 1. Iz uvjeta teorema slijedi da su stranice po paru jednake, to jest AB \u003d A 1 B 1, BC \u003d B 1 C 1 i AC = A 1 C 1. Na početku dokaza demonstrira se nametanje trokuta ΔAVS na ΔA 1 V 1 S 1 tako da su vrhovi A i A 1 , kao i B i B 1 ovih trokuta poravnati. U ovom slučaju, vrhovi C i C 1 trebali bi se nalaziti na suprotnim stranama superponiranih stranica AB i A 1 B 1. S ovom konstrukcijom moguće je nekoliko opcija za raspored elemenata trokuta:

1. Greda C 1 C leži unutar kuta ∠A 1 C 1 B 1 .
2. Greda C 1 C poklapa se s jednom od stranica kuta ∠A 1 C 1 B 1.
3. Zraka C 1 C leži izvan kuta ∠A 1 C 1 B 1.

Svaki slučaj treba razmatrati zasebno, jer dokaz ne može biti isti za sve date slučajeve. U prvom slučaju razmatraju se dva trokuta nastala kao rezultat konstrukcije. Budući da su, prema uvjetu, u tim trokutima strane AC \u003d A 1 C 1 i BC \u003d B 1 C 1, tada su rezultirajući trokuti ΔB 1 C 1 C i ΔA 1 C 1 jednakostranični. Koristeći proučeno svojstvo jednakokračnih trokuta, možemo ustvrditi da su kutovi ∠1 i ∠2 međusobno jednaki, a također su jednaki i ∠3 i ∠4. Budući da su ti kutovi jednaki, zbroj ∠1 i ∠3, kao i ∠2 i ∠4 također će dati jednake kutove. Dakle, kutovi ∠S i ∠S 1 su jednaki. Nakon što smo dokazali ovu činjenicu, možemo ponovno razmotriti trokute ΔABC i ΔA 1 B 1 C 1, u kojima su stranice BC \u003d B 1 C 1 i AC \u003d A 1 C 1 prema uvjetu teorema, a dokazano je da su i kutovi između njih ∠C i ∠C 1 jednaki. Prema tome, ti će trokuti biti jednaki prema prvom kriteriju jednakosti trokuta koji je učenicima već poznat.

U drugom slučaju, kada su trokuti superponirani, točke C i C 1 leže na jednoj ravnoj liniji koja prolazi točkom B (B 1). U zbroju dvaju trokuta ΔABC i ΔA 1 B 1 C 1 dobiva se trokut ΔCAC 1 u kojem su dvije strane AC \u003d A 1 C 1, prema uvjetu teorema, jednake. Prema tome, ovaj je trokut jednakokračan. U jednakokračnom trokutu s jednakim stranicama postoje jednaki kutovi, pa se može tvrditi da su kutovi ∠S=∠S 1. Iz uvjeta teorema također proizlazi da su stranice BC i B 1 C 1 međusobno jednake, dakle, ΔABC i ΔA 1 B 1 C 1, uzimajući u obzir navedene činjenice, međusobno su jednake prema prvi znak jednakosti trokuta.

Dokaz u trećem slučaju, slično kao iu prva dva, koristi prvi kriterij jednakosti trokuta. Geometrijski lik konstruiran nametanjem trokuta, kada je spojen segmentom vrhova C i C 1, transformira se u trokut ΔB 1 C 1 C. Ovaj trokut je jednakokračan, jer su mu stranice B 1 C 1 i B 1 C jednake po stanje. A uz jednake stranice u jednakokračnom trokutu jednaki su i kutovi ∠S i ∠S 1 . Budući da su, prema uvjetu teorema, strane AC \u003d A 1 C 1 jednake, tada su i kutovi na njima u jednakokračnom trokutu ΔACS 1 također jednaki. Uzimajući u obzir da su kutovi ∠S i ∠S 1 jednaki, a kutovi ∠DCA i ∠DC 1 A međusobno jednaki, jednaki su i kutovi ∠ACB i ∠AC 1 B. S obzirom na ovu činjenicu, da biste dokazali jednakost trokuta ΔABC i ΔA 1 B 1 C 1, možete koristiti prvi znak jednakosti trokuta, budući da su dvije stranice ovih trokuta jednake u smislu uvjeta, a jednakost trokuta kutova između njih dokazuje se tijekom zaključivanja.

Na kraju video tutoriala prikazana je važna primjena trećeg kriterija jednakosti trokuta - krutosti zadanog geometrijskog lika. Primjer objašnjava što ova izjava znači. Kao primjer fleksibilnog dizajna dane su dvije letvice spojene čavlom. Ove letvice se mogu razmaknuti i pomaknuti pod bilo kojim kutom. Ako na tračnice pričvrstimo još jednu, spojenu krajevima na postojeće tračnice, tada ćemo dobiti krutu konstrukciju u kojoj je nemoguće promijeniti kut između tračnica. Dobivanje trokuta sa zadanim stranicama i drugim kutovima nije moguće. Ovaj korolar teorema je od velike praktične važnosti. Zaslon prikazuje inženjerske strukture u kojima se koristi ovo svojstvo trokuta.

Video lekcija "Treći znak jednakosti trokuta" olakšava učitelju izlaganje novog gradiva na satu geometrije na ovu temu. Također, video lekcija se može uspješno koristiti za učenje matematike na daljinu, pomoći će učenicima da sami razumiju složenost dokaza.

Drugi znak jednakosti trokuta

Ako su stranica i dva susjedna kuta jednog trokuta jednaki stranici i dvama susjednim kutovima drugog trokuta, tada su ti trokuti sukladni.

MN=PR N=R M=P

Kao iu dokazu prvog predznaka, morate se uvjeriti da je to dovoljno da trokuti budu jednaki, mogu li se potpuno spojiti?

1. Kako je MN = PR, onda su ti segmenti spojeni ako su spojene njihove krajnje točke.

2. Kako je N = R i M = P , tada zrake \(MK\) i \(NK\) prekrivaju zrake \(PT\) odnosno \(RT\).

3. Ako se zrake podudaraju, tada se njihove sjecišne točke \(K\) i \(T\) podudaraju.

4. Svi vrhovi trokuta su spojeni, odnosno Δ MNK i Δ PRT su potpuno kompatibilni, što znači da su jednaki.

Treći znak jednakosti trokuta

Ako su tri stranice jednog trokuta redom jednake trima stranicama drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

MN = PR KN = TR MK = PT

Pokušajmo ponovno spojiti trokute Δ MNK i Δ PRT preklapanjem i uvjerimo se da odgovarajuće jednake stranice jamče jednakost odgovarajućih kutova tih trokuta i da se potpuno podudaraju.

Spojimo, na primjer, identične segmente \(MK\) i\(PT\). Pretpostavimo da se točke \(N\) i \(R\) u ovom slučaju ne poklapaju.

Neka je \(O\) polovište segmenta \(NR\). Prema ovoj informaciji MN = PR , KN = TR . Trokuti \(MNR\) i \(KNR\) su jednakokračni sa zajedničkom osnovicom \(NR\).

Dakle, njihove središnje \(MO\) i \(KO\) su visine, pa su okomite na \(NR\). Pravci \(MO\) i \(KO\) se ne podudaraju jer točke \(M\), \(K\), \(O\) ne leže na istom pravcu. Ali kroz točku \(O\) pravca \(NR\) moguće je povući samo jedan pravac okomit na nju. Došli smo do kontradikcije.

Dokazano je da se i vrhovi \(N\) i \(R\) moraju podudarati.

Treći znak nam omogućuje da trokut nazovemo vrlo snažnom, stabilnom figurom, ponekad to kažu trokut - kruta figura . Ako se duljine stranica ne mijenjaju, ne mijenjaju se ni kutovi. Na primjer, četverokut nema to svojstvo. Stoga su razne potpore i utvrde napravljene trokutasto.

Ali svojevrsnu postojanost, postojanost i savršenstvo broja \ (3 \) ljudi već dugo ocjenjuju i ističu.

O tome govore bajke.

Tu susrećemo "Tri medvjeda", "Tri vjetra", "Tri praščića", "Tri druga", "Tri brata", "Tri srećnika", "Tri zanatlije", "Tri princa", "Tri prijatelja", "Tri junaka" itd.

Daju se “tri pokušaja”, “tri savjeta”, “tri upute”, “tri sastanka”, “tri želje” se ispunjavaju, treba izdržati “tri dana”, “tri noći”, “tri godine”, idi kroz “tri stanja”, “tri podzemna kraljevstva”, izdržati “tri kušnje”, plivati ​​kroz “tri mora”.

Među ogromnim brojem poligona, koji su u biti zatvorene izlomljene linije koje se ne sijeku, trokut je lik s najmanjim brojem kutova. Drugim riječima, ovo je najjednostavniji poligon. No, unatoč svoj svojoj jednostavnosti, ova figura je prepuna mnogih misterija i zanimljivih otkrića, koja su pokrivena posebnim dijelom matematike - geometrijom. Ova se disciplina u školama počinje učiti od sedmog razreda, a temi "Trokut" ovdje se posvećuje posebna pozornost. Djeca ne samo da uče pravila o samoj figuri, već ih i uspoređuju, proučavajući 1, 2 i 3 znak jednakosti trokuta.

Prvi sastanak

Jedno od prvih pravila koje učenici uče je otprilike ovo: zbroj vrijednosti svih kutova trokuta je 180 stupnjeva. Da biste to potvrdili, dovoljno je izmjeriti svaki od vrhova uz pomoć kutomjera i zbrojiti sve dobivene vrijednosti. Na temelju toga, uz dvije poznate vrijednosti, lako je odrediti treću. Na primjer: U trokutu je jedan od kutova 70°, a drugi 85°, kolika je vrijednost trećeg kuta?

180 - 85 - 70 = 25.

Odgovor: 25°.

Zadaci mogu biti i složeniji ako se naznači samo jedna vrijednost kuta, a druga vrijednost se kaže samo za koliko ili koliko puta je veća ili manja.

U trokutu, kako bi se odredila jedna ili druga njegova značajka, mogu se nacrtati posebne linije, od kojih svaka ima svoje ime:

• visina - okomita linija povučena od vrha do suprotne strane;
• sve tri istovremeno nacrtane visine sijeku se u središtu figure, tvoreći ortocentar, koji, ovisno o vrsti trokuta, može biti unutar i izvana;
• medijan - linija koja povezuje vrh sa sredinom suprotne strane;
• sjecište medijana je točka njegove gravitacije, koja se nalazi unutar figure;
• simetrala - crta koja prolazi od vrha do točke sjecišta sa suprotnom stranom, točka sjecišta triju simetrala je središte upisane kružnice.

Jednostavne istine o trokutima

Trokuti, kao, zapravo, svi oblici, imaju svoje karakteristike i svojstva. Kao što je već spomenuto, ova figura je najjednostavniji poligon, ali sa svojim karakterističnim značajkama:

• nasuprot najdulje stranice uvijek je kut s većom vrijednošću, i obrnuto;
• jednaki kutovi leže na jednakim stranicama, primjer za to je jednakokračni trokut;
• zbroj unutarnjih kutova je uvijek 180°, što je već pokazano primjerom;
• kada se jedna stranica trokuta produži izvan njegovih granica, nastaje vanjski kut, koji će uvijek biti jednak zbroju kutova koji mu nisu susjedni;
• bilo koja strana je uvijek manja od zbroja druge dvije strane, ali veća od njihove razlike.

Vrste trokuta

Sljedeća faza upoznavanja je određivanje skupine kojoj pripada prikazani trokut. Pripadnost pojedinoj vrsti ovisi o veličini kutova trokuta.

• Jednakokračan - s dvije jednake strane, koje se nazivaju bočne, treća u ovom slučaju djeluje kao baza figure. Kutovi na osnovici takvog trokuta su isti, a medijan izvučen iz vrha je simetrala i visina.
• Pravilan ili jednakostraničan trokut je onaj u kojem su sve stranice jednake.
• Pravokutnik: jedan od njegovih kutova je 90°. U ovom slučaju, strana nasuprot ovom kutu naziva se hipotenuza, a druge dvije su noge.
• Oštrokutni trokut - svi kutovi su manji od 90°.
• Tupi - jedan od kutova je veći od 90°.

Jednakost i sličnost trokuta

U procesu učenja ne samo da razmatraju jednu figuru, već i uspoređuju dva trokuta. A ova naizgled jednostavna tema ima puno pravila i teorema kojima možete dokazati da su dotični likovi jednaki trokuti. Trokuti su jednaki ako su im pripadne stranice i kutovi jednaki. Uz ovu jednakost, ako ove dvije figure stavite jednu na drugu, sve će njihove linije konvergirati. Također, figure mogu biti slične, posebno se to odnosi na gotovo identične figure koje se razlikuju samo u veličini. Da bismo mogli donijeti takav zaključak o predstavljenim trokutima, mora biti ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

• dva kuta jedne figure jednaka su dvama kutovima druge;
• dvije stranice jednog proporcionalne su dvjema stranicama drugog trokuta, a kutovi koje tvore stranice jednaki su;
• tri strane druge figure su iste kao one prve.

Naravno, za neospornu jednakost, koja neće izazvati ni najmanju sumnju, potrebno je imati iste vrijednosti svih elemenata obiju figura, međutim, korištenjem teorema zadatak je uvelike pojednostavljen, a samo dopušteno je nekoliko uvjeta za dokazivanje jednakosti trokuta.

Prvi znak jednakosti trokuta

Zadaci iz ove teme rješavaju se na temelju dokaza teorema koji glasi ovako: „Ako su dvije stranice trokuta i kut koji one tvore jednake dvjema stranicama i kutu drugog trokuta, tada su likovi također jednaki jedni drugima."

Kako glasi dokaz teorema o prvom kriteriju jednakosti trokuta? Svatko zna da su dva segmenta jednaka ako imaju istu duljinu, ili da su krugovi jednaki ako imaju isti polumjer. A u slučaju trokuta postoji nekoliko znakova, s kojima možemo pretpostaviti da su figure identične, što je vrlo zgodno za korištenje pri rješavanju raznih geometrijskih problema.

Kako zvuči teorem "Prvi znak jednakosti trokuta" opisan je gore, ali evo njegovog dokaza:

• Pretpostavimo da trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 imaju iste stranice AB i A 1 B 1 i prema tome BC i B 1 C 1, a kutovi koje te stranice tvore imaju jednaku vrijednost, tj. jednak. Zatim, superponiranjem △ ABC na △ A 1 B 1 C 1, dobivamo podudarnost svih pravaca i vrhova. Iz ovoga slijedi da su ti trokuti potpuno identični, što znači da su međusobno jednaki.

Teorem "Prvi kriterij za jednakost trokuta" također se naziva "Po dvjema stranama i kutu." Zapravo, to je njegova suština.

Drugi teorem značajke

Drugi znak jednakosti dokazuje se na sličan način, dokaz se temelji na činjenici da se figure, kada se nalože jedna na drugu, potpuno podudaraju u svim vrhovima i stranama. A teorem zvuči ovako: "Ako jedna strana i dva kuta u čijem formiranju sudjeluje odgovaraju strani i dva kuta drugog trokuta, tada su te figure identične, to jest jednake."

Treći znak i dokaz

Ako su se i 2 i 1 znak jednakosti trokuta odnosili i na stranice i na kutove figure, tada se 3. odnosi samo na stranice. Dakle, teorem ima sljedeću formulaciju: "Ako su sve strane jednog trokuta jednake trima stranama drugog trokuta, tada su figure identične."

Da bismo dokazali ovaj teorem, moramo se detaljnije udubiti u samu definiciju jednakosti. Zapravo, što znači izraz "trokuti su jednaki"? Identitet kaže da ako postavite jednu figuru na drugu, svi njihovi elementi će se podudarati, to može biti slučaj samo kada su njihove strane i kutovi jednaki. U isto vrijeme, kut nasuprot jedne od stranica, koji je isti kao i kod drugog trokuta, bit će jednak odgovarajućem vrhu druge figure. Treba primijetiti da se u ovom trenutku dokaz može lako prevesti na 1 kriterij za jednakost trokuta. Ako se takav niz ne poštuje, jednakost trokuta jednostavno je nemoguća, osim u slučajevima kada je lik zrcalna slika prvog.

pravokutni trokuti

U strukturi takvih trokuta uvijek postoje vrhovi s kutom od 90 °. Stoga su sljedeće tvrdnje istinite:

• trokuti s pravim kutom jednaki su ako su noge jednog identične s nogama drugog;
• figure su jednake ako su im hipotenuze i jedna kateta jednake;
• takvi su trokuti sukladni ako su im katete i šiljasti kut jednaki.

Ovaj znak se odnosi na Da bi se dokazao teorem, figure se nanose jedna na drugu, uslijed čega se trokuti presavijaju krakovima tako da izlaze dvije ravne crte sa stranicama CA i CA 1.

Praktična upotreba

U većini slučajeva u praksi se koristi prvi znak jednakosti trokuta. Naime, ovakva naizgled jednostavna tema 7. razreda iz geometrije i planimetrije služi i za izračunavanje duljine, primjerice, telefonskog kabela bez mjerenja terena kojim će on prolaziti. Koristeći ovaj teorem, lako je napraviti potrebne izračune za određivanje duljine otoka usred rijeke bez preplivavanja. Ili učvrstite ogradu postavljanjem daske u raspon tako da je podijeli na dva jednaka trokuta, ili izračunajte složene elemente rada u stolariji ili prilikom proračuna krovnog rešetkastog sustava tijekom gradnje.

Prvi znak jednakosti trokuta naširoko se koristi u stvarnom "odraslom" životu. Iako se u školskim godinama ova posebna tema mnogima čini dosadnom i potpuno nepotrebnom.