Tareas para la definición clásica de probabilidad. Fundamentos de la teoría de la probabilidad para actuarios

Inicialmente, siendo solo una colección de información y observaciones empíricas del juego de dados, la teoría de la probabilidad se ha convertido en una ciencia sólida. Fermat y Pascal fueron los primeros en darle un marco matemático.

De las reflexiones sobre lo eterno a la teoría de la probabilidad

Dos personas a quienes la teoría de la probabilidad debe muchas fórmulas fundamentales, Blaise Pascal y Thomas Bayes, son conocidos como personas profundamente religiosas, el último era un ministro presbiteriano. Aparentemente, el deseo de estos dos científicos de probar la falacia de la opinión sobre cierta Fortuna, otorgando buena suerte a sus favoritos, impulsó la investigación en esta área. Después de todo, de hecho, cualquier juego de azar, con sus ganancias y pérdidas, es solo una sinfonía de principios matemáticos.

Gracias a la ilusión del Chevalier de Mere, que era a la vez un jugador y una persona no indiferente a la ciencia, Pascal se vio obligado a encontrar la manera de calcular la probabilidad. De Mere se interesó por esta pregunta: "¿Cuántas veces hay que lanzar dos dados de dos en dos para que la probabilidad de sacar 12 puntos supere el 50%?". La segunda pregunta que interesó sobremanera al señor: "¿Cómo dividir la apuesta entre los participantes en el juego inconcluso?" Por supuesto, Pascal respondió con éxito a ambas preguntas de de Mere, quien se convirtió en el iniciador involuntario del desarrollo de la teoría de la probabilidad. Es interesante que la persona de De Mere siguiera siendo conocida en esta zona, y no en la literatura.

Anteriormente, ningún matemático ha intentado calcular las probabilidades de los eventos, ya que se creía que esto era solo una solución de conjetura. Blaise Pascal dio la primera definición de la probabilidad de un evento y demostró que esta es una cifra específica que se puede justificar matemáticamente. La teoría de la probabilidad se ha convertido en la base de la estadística y se usa ampliamente en la ciencia moderna.

que es la aleatoriedad

Si consideramos una prueba que se puede repetir un número infinito de veces, entonces podemos definir un evento aleatorio. Este es uno de los posibles resultados de la experiencia.

La experiencia es la implementación de acciones específicas en condiciones constantes.

Para poder trabajar con los resultados de la experiencia, los eventos se suelen denotar con las letras A, B, C, D, E...

Probabilidad de un evento aleatorio

Para poder pasar a la parte matemática de la probabilidad, es necesario definir todos sus componentes.

La probabilidad de un evento es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra algún evento (A o B) como resultado de una experiencia. La probabilidad se denota como P(A) o P(B).

La teoría de la probabilidad es:

• confiable se garantiza que el evento ocurra como resultado del experimento Р(Ω) = 1;
• imposible el evento nunca puede ocurrir Р(Ø) = 0;
• aleatorio el evento se encuentra entre cierto e imposible, es decir, la probabilidad de que ocurra es posible, pero no garantizada (la probabilidad de un evento aleatorio siempre está dentro de 0≤P(A)≤1).

Relaciones entre eventos

Tanto uno como la suma de los eventos A + B se consideran cuando el evento se cuenta en la implementación de al menos uno de los componentes, A o B, o ambos, A y B.

En relación entre sí, los eventos pueden ser:

• Igual de posible.
• compatible.
• Incompatible.
• Opuestos (mutuamente excluyentes).
• Dependiente.

Si dos eventos pueden ocurrir con la misma probabilidad, entonces igualmente posible.

Si la ocurrencia del evento A no anula la probabilidad de ocurrencia del evento B, entonces compatible.

Si los eventos A y B nunca ocurren al mismo tiempo en el mismo experimento, entonces se llaman incompatible. lanzamiento de la moneda - buen ejemplo: la aparición de cruces es automáticamente la no aparición de caras.

La probabilidad de la suma de tales eventos incompatibles consiste en la suma de las probabilidades de cada uno de los eventos:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Si la ocurrencia de un evento hace imposible la ocurrencia de otro, entonces se les llama opuestos. Luego, uno de ellos se designa como A, y el otro - Ā (léase como "no A"). La ocurrencia del evento A significa que  no ocurrió. Estos dos eventos forman grupo completo con la suma de probabilidades igual a 1.

Los eventos dependientes tienen una influencia mutua, disminuyendo o aumentando la probabilidad de cada uno.

Relaciones entre eventos. Ejemplos

Es mucho más fácil entender los principios de la teoría de la probabilidad y la combinación de eventos usando ejemplos.

El experimento que se llevará a cabo es sacar las bolas de la caja, y el resultado de cada experimento es un resultado elemental.

El evento es uno de posibles resultados de experiencia - una bola roja, una bola azul, una bola con el número seis, etc.

Prueba número 1. Hay 6 bolas, tres de las cuales son azules con números impares y las otras tres son rojas con números pares.

Prueba número 2. Participan 6 balones de color azul con números del uno al seis.

Basándonos en este ejemplo, podemos nombrar combinaciones:

• Evento confiable. En español No. 2, el evento "obtener la bola azul" es confiable, ya que la probabilidad de que ocurra es 1, ya que todas las bolas son azules y no puede fallar. Mientras que el evento "obtener la pelota con el número 1" es aleatorio.
• Evento imposible. En español No. 1 con bolas azules y rojas, el evento "obtener la bola morada" es imposible, ya que la probabilidad de que ocurra es 0.
• Eventos equivalentes. En español No. 1, los eventos "obtener la pelota con el número 2" y "obtener la pelota con el número 3" son igualmente probables, y los eventos "obtener la pelota con un número par" y "obtener la pelota con el número 2". ” tienen diferentes probabilidades.
• Eventos compatibles. Obtener un seis en el proceso de lanzar un dado dos veces seguidas son eventos compatibles.
• Eventos incompatibles. en el mismo español Los eventos No. 1 "obtener la bola roja" y "obtener la bola con un número impar" no se pueden combinar en la misma experiencia.
• eventos opuestos. Mayoría un excelente ejemplo Esto es lanzar una moneda, cuando sacar cara es lo mismo que no sacar cruz, y la suma de sus probabilidades es siempre 1 (grupo completo).
• Eventos dependientes. Entonces, en español No. 1, puedes fijarte el objetivo de extraer una bola roja dos veces seguidas. Extraerlo o no extraerlo la primera vez afecta la probabilidad de extraerlo la segunda vez.

Se puede observar que el primer evento afecta significativamente la probabilidad del segundo (40% y 60%).

Fórmula de probabilidad de eventos

El paso de la adivinación a los datos exactos se produce trasladando el tema al plano matemático. Es decir, los juicios sobre un evento aleatorio como "probabilidad alta" o "probabilidad mínima" se pueden traducir a datos numéricos específicos. Ya está permitido evaluar, comparar e introducir dicho material en cálculos más complejos.

Desde el punto de vista del cálculo, la definición de probabilidad de un evento es la relación entre el número de resultados positivos elementales y el número de todos los resultados posibles de la experiencia con respecto a un evento particular. La probabilidad se denota por P (A), donde P significa la palabra "probabilidad", que se traduce del francés como "probabilidad".

Entonces, la fórmula para la probabilidad de un evento es:

Donde m es el número de resultados favorables para el evento A, n es la suma de todos los resultados posibles para esta experiencia. La probabilidad de un evento siempre está entre 0 y 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Cálculo de la probabilidad de un evento. Ejemplo

Tomemos español. No. 1 con bolas, que se describe anteriormente: 3 bolas azules con los números 1/3/5 y 3 bolas rojas con los números 2/4/6.

Con base en esta prueba, se pueden considerar varias tareas diferentes:

• A - caída de bola roja. Hay 3 bolas rojas, y hay 6 opciones en total. Esto es el ejemplo mas simple, en el que la probabilidad de un evento es P(A)=3/6=0.5.
• B - dejar caer un número par. Hay 3 (2,4,6) números pares en total, y el número total de opciones numéricas posibles es 6. La probabilidad de este evento es P(B)=3/6=0.5.
• C - pérdida de un número mayor que 2. Hay 4 de tales opciones (3,4,5,6) del número total de resultados posibles 6. La probabilidad del evento C es P(C)=4/6= 0,67.

Como puede verse en los cálculos, el evento C tiene una mayor probabilidad, ya que el número de posibles resultados positivos es mayor que en A y B.

Eventos incompatibles

Tales eventos no pueden aparecer simultáneamente en la misma experiencia. como en español No. 1, es imposible obtener una bola azul y una roja al mismo tiempo. Es decir, puedes obtener una bola azul o roja. De la misma manera, un número par y un número impar no pueden aparecer en un dado al mismo tiempo.

La probabilidad de dos eventos se considera como la probabilidad de su suma o producto. La suma de tales eventos A + B se considera un evento que consiste en la aparición de un evento A o B, y el producto de su AB, en la aparición de ambos. Por ejemplo, la aparición de dos seises a la vez en las caras de dos dados en un tiro.

La suma de varios eventos es un evento que implica la ocurrencia de al menos uno de ellos. El producto de varios eventos es la ocurrencia conjunta de todos ellos.

En la teoría de la probabilidad, como regla, el uso de la unión "y" denota la suma, la unión "o" - multiplicación. Las fórmulas con ejemplos te ayudarán a comprender la lógica de la suma y la multiplicación en la teoría de la probabilidad.

Probabilidad de la suma de eventos incompatibles

Si se considera la probabilidad de eventos incompatibles, entonces la probabilidad de la suma de eventos es igual a la suma de sus probabilidades:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Por ejemplo: calculamos la probabilidad de que en español. El número 1 con bolas azules y rojas arrojará un número entre 1 y 4. Calcularemos no en una acción, sino por la suma de las probabilidades de los componentes elementales. Entonces, en tal experimento solo hay 6 bolas o 6 de todos los resultados posibles. Los números que cumplen la condición son el 2 y el 3. La probabilidad de obtener el número 2 es 1/6, la probabilidad del número 3 también es 1/6. La probabilidad de obtener un número entre 1 y 4 es:

La probabilidad de la suma de eventos incompatibles de un grupo completo es 1.

Entonces, si en el experimento con un cubo sumamos las probabilidades de obtener todos los números, entonces como resultado obtenemos uno.

Esto también es cierto para eventos opuestos, por ejemplo, en el experimento con una moneda, donde una de sus caras es el evento A, y la otra es el evento opuesto Ā, como se sabe,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Probabilidad de producir eventos incompatibles

La multiplicación de probabilidades se utiliza cuando se considera la ocurrencia de dos o más eventos incompatibles en una observación. La probabilidad de que los eventos A y B aparezcan en él al mismo tiempo es igual al producto de sus probabilidades, o sea:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Por ejemplo, la probabilidad de que en Nº 1 como resultado de dos intentos, una bola azul aparecerá dos veces, igual a

Es decir, la probabilidad de que ocurra un evento cuando, como resultado de dos intentos con la extracción de bolas, solo se extraerán bolas azules, es del 25%. Es muy fácil hacer experimentos prácticos sobre este problema y ver si este es realmente el caso.

Eventos conjuntos

Se consideran hechos conjuntos cuando la aparición de uno de ellos puede coincidir con la aparición del otro. A pesar de que son conjuntos, se considera la probabilidad de eventos independientes. Por ejemplo, lanzar dos dados puede dar un resultado cuando en ambos cae el número 6. Aunque los eventos coincidieron y aparecieron al mismo tiempo, son independientes entre sí: solo podría caer un seis, el segundo dado no tiene influencia sobre el mismo.

La probabilidad de eventos conjuntos se considera como la probabilidad de su suma.

La probabilidad de la suma de eventos conjuntos. Ejemplo

La probabilidad de la suma de los eventos A y B, que son conjuntos entre sí, es igual a la suma de las probabilidades del evento menos la probabilidad de su producto (es decir, su implementación conjunta):

articulación R. (A + B) \u003d PAG (A) + PAG (B) - PAG (AB)

Suponga que la probabilidad de dar en el blanco con un disparo es de 0,4. Luego, evento A: dar en el blanco en el primer intento, B, en el segundo. Estos eventos son conjuntos, ya que es posible que se pueda dar en el blanco tanto desde el primer como desde el segundo disparo. Pero los eventos no son dependientes. ¿Cuál es la probabilidad del evento de dar en el blanco con dos disparos (al menos uno)? Según la fórmula:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

La respuesta a la pregunta es: "La probabilidad de dar en el blanco con dos disparos es del 64%".

Esta fórmula para la probabilidad de un evento también se puede aplicar a eventos incompatibles, donde la probabilidad de ocurrencia conjunta de un evento P(AB) = 0. Esto significa que la probabilidad de la suma de eventos incompatibles puede considerarse un caso especial de la fórmula propuesta.

Geometría de probabilidad para mayor claridad.

Curiosamente, la probabilidad de la suma de eventos conjuntos se puede representar como dos áreas A y B que se cruzan entre sí. Como puede ver en la imagen, el área de su unión es igual al área total menos el área de su intersección. Esta explicación geométrica hace que la fórmula aparentemente ilógica sea más comprensible. Tenga en cuenta que soluciones geométricas no es raro en la teoría de la probabilidad.

La definición de la probabilidad de la suma de un conjunto (más de dos) de eventos conjuntos es bastante engorrosa. Para calcularlo, debe utilizar las fórmulas que se proporcionan para estos casos.

Eventos dependientes

Se llaman eventos dependientes si la ocurrencia de uno (A) de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (B). Además, se tiene en cuenta la influencia tanto de la ocurrencia del evento A como de su no ocurrencia. Aunque los eventos se llaman dependientes por definición, solo uno de ellos es dependiente (B). La probabilidad habitual se denotó como P(B) o la probabilidad de eventos independientes. En el caso de los dependientes, se introduce un nuevo concepto: la probabilidad condicional P A (B), que es la probabilidad del evento dependiente B bajo la condición de que haya ocurrido el evento A (hipótesis), del cual depende.

Pero el evento A también es aleatorio, por lo que también tiene una probabilidad que debe y puede tenerse en cuenta en los cálculos. El siguiente ejemplo mostrará cómo trabajar con eventos dependientes y una hipótesis.

Ejemplo de cálculo de la probabilidad de eventos dependientes

Un buen ejemplo para calcular eventos dependientes es una baraja de cartas estándar.

En el ejemplo de una baraja de 36 cartas, considere eventos dependientes. Es necesario determinar la probabilidad de que la segunda carta extraída del mazo sea del palo diamante, si la primera carta extraída es:

1. Pandereta.
2. Otro traje.

Obviamente, la probabilidad del segundo evento B depende del primero A. Entonces, si la primera opción es cierta, que es 1 carta (35) y 1 diamante (8) menos en la baraja, la probabilidad del evento B:

PA (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0.23

Si la segunda opción es verdadera, entonces hay 35 cartas en el mazo y el numero total pandereta (9), entonces la probabilidad del siguiente evento B:

PA (B) \u003d 9/35 \u003d 0.26.

Se puede ver que si el evento A está condicionado a que la primera carta sea un diamante, entonces la probabilidad del evento B disminuye y viceversa.

Multiplicación de eventos dependientes

Con base en el capítulo anterior, aceptamos el primer evento (A) como un hecho, pero en esencia tiene un carácter aleatorio. La probabilidad de este evento, a saber, la extracción de una pandereta de una baraja de cartas, es igual a:

P(A) = 9/36=1/4

Dado que la teoría no existe por sí misma, sino que se utiliza para fines prácticos, es justo señalar que, en la mayoría de los casos, se necesita la probabilidad de producir eventos dependientes.

De acuerdo con el teorema del producto de probabilidades de eventos dependientes, la probabilidad de ocurrencia de eventos A y B conjuntamente dependientes es igual a la probabilidad de un evento A, multiplicada por la probabilidad condicional de evento B (dependiendo de A):

PAG (AB) \u003d PAG (A) * PAG (B)

Entonces, en el ejemplo con una baraja, la probabilidad de sacar dos cartas con un palo de diamantes es:

9/36*8/35=0.0571 o 5.7%

Y la probabilidad de extraer primero no diamantes, y luego diamantes, es igual a:

27/36*9/35=0,19 o 19%

Se puede ver que la probabilidad de que ocurra el evento B es mayor, siempre que se extraiga primero una carta de un palo que no sea un diamante. Este resultado es bastante lógico y comprensible.

Probabilidad total de un evento

Cuando un problema con probabilidades condicionales se vuelve multifacético, no se puede calcular por métodos convencionales. Cuando hay más de dos hipótesis, a saber, A1, A2, ..., A n , .. forma un grupo completo de eventos bajo la condición:

• P(Ai)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k UN k = Ω.

Entonces, la fórmula para la probabilidad total del evento B con un grupo completo de eventos aleatorios A1, A2, ..., A n es:

Una mirada al futuro

La probabilidad de un evento aleatorio es esencial en muchas áreas de la ciencia: econometría, estadística, física, etc. Dado que algunos procesos no pueden describirse de forma determinista, ya que ellos mismos son probabilísticos, se necesitan métodos de trabajo especiales. La probabilidad de una teoría de eventos se puede utilizar en cualquier campo tecnológico como una forma de determinar la posibilidad de un error o mal funcionamiento.

Se puede decir que, al reconocer la probabilidad, de alguna manera damos un paso teórico hacia el futuro, mirándolo a través del prisma de las fórmulas.

En economía, así como en otras áreas. actividad humana o en la naturaleza, constantemente tenemos que lidiar con eventos que no se pueden predecir con precisión. Así, el volumen de ventas de bienes depende de la demanda, que puede variar significativamente, y de una serie de otros factores que son casi imposibles de tener en cuenta. Por lo tanto, en la organización de la producción y las ventas, uno tiene que predecir el resultado de tales actividades sobre la base de la propia experiencia previa, la experiencia similar de otras personas o la intuición, que también se basa en gran medida en datos experimentales.

Para evaluar de alguna manera el evento en consideración, es necesario tener en cuenta u organizar especialmente las condiciones en las que se registra este evento.

La implementación de ciertas condiciones o acciones para identificar el evento en cuestión se denomina experiencia o experimento.

el evento se llama aleatorio si, como resultado del experimento, puede ocurrir o no.

el evento se llama confiable, si necesariamente aparece como resultado de esta experiencia, y imposible si no puede aparecer en esta experiencia.

Por ejemplo, la nevada en Moscú el 30 de noviembre es un evento aleatorio. El amanecer diario puede considerarse un evento determinado. Las nevadas en el ecuador pueden verse como un evento imposible.

Uno de los principales problemas en la teoría de la probabilidad es el problema de determinar una medida cuantitativa de la posibilidad de que ocurra un evento.

álgebra de eventos

Los eventos se denominan incompatibles si no pueden observarse juntos en la misma experiencia. Por lo tanto, la presencia de dos y tres automóviles en una tienda para la venta al mismo tiempo son dos eventos incompatibles.

suma eventos es un evento que consiste en la ocurrencia de al menos uno de estos eventos

Un ejemplo de una suma de eventos es la presencia de al menos uno de dos productos en una tienda.

trabajar Se denomina eventos a un evento que consiste en la ocurrencia simultánea de todos estos eventos

Un evento consistente en la aparición de dos bienes al mismo tiempo en la tienda es un producto de eventos: - la aparición de un producto, - la aparición de otro producto.

Los eventos forman un grupo completo de eventos si al menos uno de ellos ocurre necesariamente en la experiencia.

Ejemplo. El puerto cuenta con dos atracaderos para barcos. Se pueden considerar tres eventos: - la ausencia de buques en los atracaderos, - la presencia de un buque en uno de los atracaderos, - la presencia de dos buques en dos atracaderos. Estos tres eventos forman un grupo completo de eventos.

Opuesto Se denominan dos únicos eventos posibles que forman un grupo completo.

Si uno de los eventos que son opuestos se denota por , entonces el evento opuesto generalmente se denota por .

Definiciones clásicas y estadísticas de la probabilidad de un evento

Cada uno de los resultados de prueba igualmente posibles (experimentos) se denomina resultado elemental. Por lo general, se denotan con letras. Por ejemplo, se lanza un dado. Puede haber seis resultados elementales según el número de puntos en los lados.

A partir de resultados elementales, puede componer un evento más complejo. Entonces, el evento de un número par de puntos está determinado por tres resultados: 2, 4, 6.

Una medida cuantitativa de la posibilidad de ocurrencia del evento bajo consideración es la probabilidad.

Dos definiciones de la probabilidad de un evento son las más utilizadas: clásico Y estadístico.

La definición clásica de probabilidad está relacionada con la noción de un resultado favorable.

Éxodo se llama favorable este evento, si su ocurrencia implica la ocurrencia de este evento.

En el ejemplo dado, el evento bajo consideración es un número par de puntos en el borde caído, tiene tres resultados favorables. En este caso, el general
el número de resultados posibles. Entonces, aquí puedes usar la definición clásica de la probabilidad de un evento.

Definición clásica es igual a la relación entre el número de resultados favorables y el número total de resultados posibles

donde es la probabilidad del evento, es el número de resultados favorables para el evento, es el número total de resultados posibles.

En el ejemplo considerado

La definición estadística de probabilidad está asociada con el concepto de frecuencia relativa de ocurrencia de un evento en los experimentos.

La frecuencia relativa de ocurrencia de un evento se calcula mediante la fórmula

donde es el número de ocurrencia de un evento en una serie de experimentos (pruebas).

Definición estadística. La probabilidad de un evento es el número con respecto al cual se estabiliza (establece) la frecuencia relativa con un aumento ilimitado en el número de experimentos.

En problemas prácticos, la frecuencia relativa se toma como la probabilidad de un evento en un tiempo suficientemente números grandes pruebas

A partir de estas definiciones de la probabilidad de un evento, se puede ver que la desigualdad siempre se cumple

Para determinar la probabilidad de un evento basado en la fórmula (1.1), las fórmulas combinatorias se usan a menudo para encontrar el número de resultados favorables y el número total de resultados posibles.

Es claro que cada evento tiene algún grado de posibilidad de su ocurrencia (de su implementación). Para comparar cuantitativamente los eventos entre sí según su grado de posibilidad, obviamente es necesario asociar un cierto número a cada evento, que es mayor cuanto más posible es el evento. Este número se llama la probabilidad del evento.

Probabilidad de eventos- es una medida numérica del grado de posibilidad objetiva de la ocurrencia de este evento.

Considere un experimento estocástico y un evento aleatorio A observado en este experimento. Repitamos este experimento n veces y sea m(A) el número de experimentos en los que ocurrió el evento A.

Relación (1.1)

llamado Frecuencia relativa evento A en la serie de experimentos.

Es fácil verificar la validez de las propiedades:

si A y B son incompatibles (AB= ), entonces ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

La frecuencia relativa se determina solo después de una serie de experimentos y, en términos generales, puede variar de una serie a otra. Sin embargo, la experiencia muestra que en muchos casos, a medida que aumenta el número de experimentos, la frecuencia relativa se acerca a un número determinado. Este hecho de la estabilidad de la frecuencia relativa ha sido repetidamente verificado y puede considerarse establecido experimentalmente.

Ejemplo 1.19.. Si lanzas una moneda, nadie puede predecir de qué lado caerá. Pero si arrojas dos toneladas de monedas, todos dirán que una tonelada caerá como un escudo de armas, es decir, la frecuencia relativa de caída del escudo de armas es de aproximadamente 0,5.

Si, a medida que aumenta el número de experimentos, la frecuencia relativa del evento ν(A) tiende a un número fijo, entonces decimos que el evento A es estadísticamente estable, y este número se llama la probabilidad del evento A.

Probabilidad de un evento A se llama un número fijo P(A), al cual tiende la frecuencia relativa ν(A) de este evento con un aumento en el número de experimentos, es decir,

Esta definición se llama definición estadística de probabilidad .

Considere algún experimento estocástico y permita que el espacio de sus eventos elementales consista en un conjunto finito o infinito (pero numerable) de eventos elementales ω 1 , ω 2 , …, ω i , … . supongamos que a cada evento elemental ω i se le asigna un cierto número - р i , que caracteriza el grado de posibilidad de la ocurrencia de este evento elemental y satisface las siguientes propiedades:

Tal número p i se llama probabilidad de evento elementalω yo .

Ahora sea A un evento aleatorio observado en este experimento, y un cierto conjunto le corresponde

En tal escenario probabilidad de evento A se llama la suma de las probabilidades de los eventos elementales a favor de A(incluido en el correspondiente set A):

(1.4)

La probabilidad así introducida tiene las mismas propiedades que la frecuencia relativa, a saber:

Y si AB \u003d (A y B son incompatibles),

entonces P(A+B) = P(A) + P(B)

De hecho, según (1.4)

En la última relación hemos aprovechado que ningún evento elemental puede favorecer simultáneamente dos eventos incompatibles.

Notamos especialmente que la teoría de la probabilidad no indica métodos para determinar p i , deben buscarse a partir de consideraciones prácticas u obtenerse de un experimento estadístico apropiado.

Como ejemplo, considere esquema clásico teoría de probabilidad. Para hacer esto, considere un experimento estocástico, cuyo espacio de eventos elementales consiste en un número finito (n) de elementos. Supongamos además que todos estos eventos elementales son igualmente probables, es decir, las probabilidades de los eventos elementales son p(ω i)=p i =p. De ahí se sigue que

Ejemplo 1.20. Al lanzar una moneda simétrica, el escudo y la cruz son igualmente posibles, sus probabilidades son 0.5.

Ejemplo 1.21. Cuando se lanza un dado simétrico, todas las caras tienen la misma probabilidad, sus probabilidades son 1/6.

Sea ahora el evento A favorecido por m eventos elementales, se les suele llamar resultados que favorecen el evento A. Entonces

Consiguió definición clásica de probabilidad: la probabilidad P(A) del evento A es igual a la razón del número de resultados que favorecen el evento A al número total de resultados

Ejemplo 1.22. Una urna contiene m bolas blancas yn negras. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola blanca?

Solución. Hay m+n eventos elementales en total. Todos son igualmente increíbles. Evento favorable A de ellos m. Por eso, .

Las siguientes propiedades se derivan de la definición de probabilidad:

Propiedad 1. La probabilidad de un cierto evento es igual a uno.

De hecho, si el evento es confiable, entonces cada resultado elemental de la prueba favorece el evento. En este caso m=p, por eso,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Propiedad 2. La probabilidad de un evento imposible es cero.

De hecho, si el evento es imposible, entonces ninguno de los resultados elementales del juicio favorece el evento. En este caso T= 0, por lo tanto, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Propiedad 3.La probabilidad de un evento aleatorio es un número positivo entre cero y uno.

De hecho, solo una parte del número total de resultados elementales de la prueba favorece un evento aleatorio. Es decir, 0≤m≤n, lo que significa 0≤m/n≤1, por lo tanto, la probabilidad de cualquier evento satisface la doble desigualdad 0≤ PENSILVANIA) ≤1. (1.8)

Comparando las definiciones de probabilidad (1.5) y frecuencia relativa (1.1), concluimos: la definición de probabilidad no requiere que se realicen pruebas En realidad; la definición de la frecuencia relativa supone que realmente se realizaron pruebas. En otras palabras, la probabilidad se calcula antes de la experiencia y la frecuencia relativa, después de la experiencia.

Sin embargo, el cálculo de probabilidad requiere información previa sobre el número o probabilidades de los resultados elementales que favorecen un evento dado. En ausencia de dicha información preliminar, se utilizan datos empíricos para determinar la probabilidad, es decir, la frecuencia relativa del evento se determina a partir de los resultados de un experimento estocástico.

Ejemplo 1.23. Departamento control tecnico descubierto 3 piezas no estándar en un lote de 80 piezas seleccionadas al azar. Frecuencia relativa de aparición de piezas no estándar r (A)= 3/80.

Ejemplo 1.24. Por propósito.producido 24 disparo, y se registraron 19 impactos. La frecuencia relativa de dar en el blanco. r (A)=19/24.

Las observaciones a largo plazo han demostrado que si los experimentos se llevan a cabo en las mismas condiciones, en cada una de las cuales el número de pruebas es suficientemente grande, entonces la frecuencia relativa exhibe la propiedad de estabilidad. Esta propiedad es que en varios experimentos la frecuencia relativa cambia poco (cuanto menos, más pruebas se hacen), fluctuando alrededor de un cierto número constante. Resultó que este número constante se puede tomar como un valor aproximado de la probabilidad.

La relación entre la frecuencia relativa y la probabilidad se describirá con más detalle y precisión a continuación. Ahora vamos a ilustrar la propiedad de estabilidad con ejemplos.

Ejemplo 1.25. Según las estadísticas suecas, la tasa de natalidad relativa de niñas en 1935 por mes se caracteriza por los siguientes números (los números están ordenados por meses, comenzando por Enero): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

La frecuencia relativa fluctúa alrededor del número 0,481, que puede tomarse como un valor aproximado de la probabilidad de tener niñas.

Tenga en cuenta que las estadísticas varios países dar aproximadamente el mismo valor de la frecuencia relativa.

Ejemplo 1.26. Se llevaron a cabo experimentos repetidos lanzando una moneda, en la que se contó el número de apariciones del "escudo de armas". Los resultados de varios experimentos se muestran en la tabla.

Los eventos que ocurren en la realidad o en nuestra imaginación se pueden dividir en 3 grupos. Estos son ciertos eventos que definitivamente sucederán, eventos imposibles y eventos aleatorios. La teoría de la probabilidad estudia eventos aleatorios, es decir, eventos que pueden o no ocurrir. Este artículo será presentado en resumen fórmulas de teoría de probabilidades y ejemplos de resolución de problemas de teoría de probabilidades, que estarán en la 4ª tarea del USE en matemáticas (nivel de perfil).

¿Por qué necesitamos la teoría de la probabilidad?

Históricamente, la necesidad de estudiar estos problemas surgió en el siglo XVII en relación con el desarrollo y profesionalización de juego y la llegada del casino. Era un fenómeno real que requería su estudio e investigación.

Jugar a las cartas, los dados, la ruleta creaban situaciones en las que podía ocurrir cualquiera de un número finito de eventos igualmente probables. Existía la necesidad de dar estimaciones numéricas de la posibilidad de que ocurriera un evento.

En el siglo XX, quedó claro que esta ciencia aparentemente frívola juega un papel importante en la comprensión de los procesos fundamentales que ocurren en el microcosmos. Fue creado teoría moderna probabilidades

Conceptos básicos de la teoría de la probabilidad

El objeto de estudio de la teoría de la probabilidad son los eventos y sus probabilidades. Si el evento es complejo, entonces puede dividirse en componentes simples, cuyas probabilidades son fáciles de encontrar.

La suma de los eventos A y B se llama evento C, que consiste en que o bien el evento A, o el evento B, o bien los eventos A y B sucedieron al mismo tiempo.

El producto de los eventos A y B es el evento C, que consiste en que sucedieron tanto el evento A como el evento B.

Se dice que los eventos A y B son incompatibles si no pueden ocurrir al mismo tiempo.

Se dice que un evento A es imposible si no puede suceder. Tal evento se denota con el símbolo .

Un evento A se dice seguro si definitivamente ocurrirá. Tal evento se denota con el símbolo .

A cada evento A se le asigne un número P(A). Este número P(A) se denomina probabilidad del evento A si se cumplen las siguientes condiciones con tal correspondencia.

Un caso especial importante es la situación en la que hay resultados elementales igualmente probables, y estos resultados arbitrarios forman los eventos A. En este caso, la probabilidad puede introducirse mediante la fórmula . La probabilidad introducida de esta manera se llama probabilidad clásica. Se puede probar que las propiedades 1-4 se cumplen en este caso.

Los problemas de teoría de la probabilidad que se encuentran en el examen de matemáticas están relacionados principalmente con la probabilidad clásica. Tales tareas pueden ser muy simples. Particularmente simples son los problemas en la teoría de la probabilidad en versiones de demostración. Es fácil calcular el número de resultados favorables, el número de todos los resultados se escribe directamente en la condición.

Obtenemos la respuesta de acuerdo con la fórmula.

Un ejemplo de una tarea del examen de matemáticas para determinar la probabilidad

Hay 20 pasteles en la mesa: 5 con repollo, 7 con manzanas y 8 con arroz. Marina quiere tomar un pastel. ¿Cuál es la probabilidad de que tome el pastel de arroz?

Solución.

Hay 20 resultados elementales equiprobables en total, es decir, Marina puede tomar cualquiera de los 20 pasteles. Pero necesitamos estimar la probabilidad de que Marina tome la empanada de arroz, es decir, donde A es la elección de la empanada de arroz. Esto significa que tenemos un total de 8 resultados favorables (elegir pasteles de arroz), entonces la probabilidad estará determinada por la fórmula:

Eventos independientes, opuestos y arbitrarios

Sin embargo, en frasco abierto Las tareas comenzaron a cumplir con tareas más complejas. Por lo tanto, llamemos la atención del lector sobre otras cuestiones estudiadas en la teoría de la probabilidad.

Los eventos A y B se llaman independientes si la probabilidad de cada uno de ellos no depende de si ocurrió el otro evento.

El evento B consiste en el hecho de que el evento A no ocurrió, es decir el evento B es opuesto al evento A. La probabilidad del evento opuesto es igual a uno menos la probabilidad del evento directo, es decir .

Teoremas de suma y multiplicación, fórmulas

Para eventos arbitrarios A y B, la probabilidad de la suma de estos eventos es igual a la suma de sus probabilidades sin la probabilidad de su evento conjunto, es decir. .

Para los eventos independientes A y B, la probabilidad del producto de estos eventos es igual al producto de sus probabilidades, es decir en este caso .

Los últimos 2 enunciados se llaman los teoremas de la suma y la multiplicación de probabilidades.

No siempre contar el número de resultados es tan simple. En algunos casos, es necesario utilizar fórmulas combinatorias. Lo más importante es contar el número de eventos que cumplen ciertas condiciones. A veces, tales cálculos pueden convertirse en tareas independientes.

¿De cuántas maneras se pueden sentar 6 estudiantes en 6 asientos vacíos? El primer alumno ocupará cualquiera de las 6 plazas. Cada una de estas opciones corresponde a 5 formas de colocar al segundo alumno. Para el tercer estudiante hay 4 lugares libres, para el cuarto - 3, para el quinto - 2, el sexto ocupará el único lugar restante. Para encontrar el número de todas las opciones, debe encontrar el producto, que se indica con el símbolo 6. y leer "seis factorial".

En el caso general, la respuesta a esta pregunta viene dada por la fórmula del número de permutaciones de n elementos, en nuestro caso, .

Consideremos ahora otro caso con nuestros estudiantes. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 2 estudiantes en 6 asientos vacíos? El primer alumno ocupará cualquiera de las 6 plazas. Cada una de estas opciones corresponde a 5 formas de colocar al segundo alumno. Para encontrar el número de todas las opciones, necesita encontrar el producto.

En el caso general, la respuesta a esta pregunta viene dada por la fórmula para el número de ubicaciones de n elementos por k elementos

En nuestro caso .

Y el último de esta serie. ¿De cuántas maneras hay de elegir 3 estudiantes de 6? El primer alumno puede elegirse de 6 formas, el segundo de 5 formas y el tercero de 4 formas. Pero entre estas opciones, los mismos tres estudiantes ocurren 6 veces. Para encontrar el número de todas las opciones, debe calcular el valor: . En el caso general, la respuesta a esta pregunta viene dada por la fórmula del número de combinaciones de elementos por elementos:

En nuestro caso .

Ejemplos de resolución de problemas del examen de matemáticas para determinar la probabilidad

Tarea 1. De la colección, ed. Yashchenko.

Hay 30 pasteles en un plato: 3 con carne, 18 con repollo y 9 con cerezas. Sasha elige un pastel al azar. Encuentra la probabilidad de que termine con una cereza.

.

Respuesta: 0.3.

Problema 2. De la colección, ed. Yashchenko.

En cada lote de 1000 bombillas, una media de 20 defectuosas. Encuentre la probabilidad de que una bombilla elegida al azar de un lote sea buena.

Solución: El número de bombillas reparables es 1000-20=980. Entonces, la probabilidad de que una bombilla tomada al azar del lote sea útil es:

Respuesta: 0,98.

La probabilidad de que el estudiante U. resuelva correctamente más de 9 problemas en un examen de matemáticas es 0.67. La probabilidad de que U. resuelva correctamente más de 8 problemas es 0,73. Encuentra la probabilidad de que U. resuelva correctamente exactamente 9 problemas.

Si imaginamos una recta numérica y marcamos los puntos 8 y 9 en ella, veremos que la condición "U. resolver correctamente exactamente 9 problemas” se incluye en la condición “U. resolver correctamente más de 8 problemas", pero no se aplica a la condición "W. Resolver correctamente más de 9 problemas.

Sin embargo, la condición "U. resolver correctamente más de 9 problemas" está contenido en la condición "U. Resolver correctamente más de 8 problemas. Así, si designamos eventos: “W. resolver correctamente exactamente 9 problemas" - hasta A, "U. resolver correctamente más de 8 problemas" - hasta B, "U. Resuelva correctamente más de 9 problemas ”a través de C. Entonces la solución se verá así:

Respuesta: 0.06.

En el examen de geometría, el estudiante responde una pregunta de la lista de preguntas del examen. La probabilidad de que se trate de una pregunta de trigonometría es 0,2. La probabilidad de que esta sea una pregunta de Outer Corners es 0.15. No hay preguntas relacionadas con estos dos temas al mismo tiempo. Encuentre la probabilidad de que el estudiante obtenga una pregunta sobre uno de estos dos temas en el examen.

Pensemos en qué eventos tenemos. Nos dan dos eventos incompatibles. Es decir, la pregunta se relacionará con el tema "Trigonometría" o con el tema "Ángulos externos". Según el teorema de probabilidad, la probabilidad de eventos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de cada evento, debemos encontrar la suma de las probabilidades de estos eventos, es decir:

Respuesta: 0,35.

La habitación está iluminada por una linterna con tres lámparas. La probabilidad de que se queme una lámpara en un año es 0,29. Encuentre la probabilidad de que al menos una lámpara no se queme dentro de un año.

Consideremos posibles eventos. Tenemos tres bombillas, cada una de las cuales puede quemarse o no independientemente de cualquier otra bombilla. Estos son eventos independientes.

Luego indicaremos las variantes de tales eventos. Aceptamos la notación: - la bombilla está encendida, - la bombilla está fundida. E inmediatamente después calculamos la probabilidad de un evento. Por ejemplo, la probabilidad de un evento en el que ocurrieron tres eventos independientes “la bombilla se quemó”, “la bombilla está encendida”, “la bombilla está encendida”: .

Tenga en cuenta que solo hay 7 eventos incompatibles favorables para nosotros. La probabilidad de tales eventos es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los eventos: .

Respuesta: 0.975608.

Puedes ver otro problema en la imagen:

Así, tú y yo entendimos qué es la teoría de la probabilidad, fórmulas y ejemplos de resolución de problemas para los que puedes encontrarte en la versión del examen.

Sabiendo que la probabilidad se puede medir, intentemos expresarla en números. Hay tres caminos posibles.

Arroz. 1.1. Probabilidad de medición

PROBABILIDAD DETERMINADA POR SIMETRÍA

Hay situaciones en las que los resultados posibles son igualmente probables. Por ejemplo, al lanzar una moneda al aire una vez, si la moneda es estándar, la probabilidad de obtener cara o cruz es la misma, es decir P(cara) = P(cruz). Dado que solo son posibles dos resultados, entonces P(cara) + P(cruz) = 1, por lo tanto, P(cara) = P(cruz) = 0,5.

En experimentos donde los resultados tienen las mismas posibilidades de ocurrir, la probabilidad del evento E, P(E) es:

Ejemplo 1.1. La moneda se lanza tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de dos caras y una cruz?

Primero, encontremos todos los resultados posibles: Para asegurarnos de que todos opciones posibles hemos encontrado, usaremos un diagrama de árbol (ver Capítulo 1 sección 1.3.1).

Entonces, hay 8 resultados igualmente probables, por lo tanto, la probabilidad de ellos es 1/8. Evento E - dos "águilas" y "colas" - había tres. Es por eso:

Ejemplo 1.2. Un dado estándar se lanza dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea 9 o más?

Encontremos todos los resultados posibles.

Tabla 1.2. El número total de puntos obtenidos al lanzar un dado dos veces

Entonces, en 10 de 36 resultados posibles, la suma de puntos es 9, o por lo tanto:

PROBABILIDAD DETERMINADA EMPÍRICAMENTE

Un ejemplo con una moneda de Table. 1.1 ilustra claramente el mecanismo para determinar probabilidades.

En numero total cuyos experimentos son exitosos, la probabilidad del resultado deseado se calcula de la siguiente manera:

La razón es la frecuencia relativa de ocurrencia de cierto resultado en un experimento suficientemente largo. La probabilidad se calcula ya sea sobre la base de los datos del experimento, sobre la base de datos pasados.

Ejemplo 1.3. De las quinientas lámparas eléctricas probadas, 415 han funcionado durante más de 1000 horas. En base a los datos de este experimento, se puede concluir que la probabilidad de funcionamiento normal de una lámpara de este tipo por más de 1000 horas es:

Nota. El control es destructivo, por lo que no se pueden probar todas las lámparas. Si solo se probara una lámpara, entonces la probabilidad sería 1 o 0 (es decir, podrá funcionar 1000 horas o no). De ahí la necesidad de repetir el experimento.

Ejemplo 1.4. En mesa. 1.3 muestra datos sobre la experiencia de los hombres que trabajan en la empresa:

Tabla 1.3. experiencia laboral masculina

¿Cuál es la probabilidad de que la próxima persona contratada por la empresa trabaje durante al menos dos años?

Solución.

La tabla muestra que 38 de cada 100 empleados han estado en la empresa por más de dos años. La probabilidad empírica de que el próximo empleado permanezca en la empresa más de dos años es:

Al mismo tiempo, suponemos que nuevo empleado“Típico, y las condiciones de trabajo no han cambiado.

EVALUACIÓN SUBJETIVA DE PROBABILIDAD

En los negocios, a menudo hay situaciones en las que no hay simetría y tampoco hay datos experimentales. Por lo tanto, determinar la probabilidad de un resultado favorable bajo la influencia de las opiniones y la experiencia del investigador es subjetivo.

Ejemplo 1.5.

1. Un experto en inversiones cree que la probabilidad de obtener ganancias durante los primeros dos años es 0.6.

2. Pronóstico del gerente de marketing: la probabilidad de vender 1000 unidades de un producto en el primer mes después de su introducción al mercado es 0.4.