El máximo común múltiplo de números. Calculadora en línea Encontrar (calcular) MCD y LCM

El material presentado a continuación es una continuación lógica de la teoría del artículo titulado MCM: mínimo común múltiplo, definición, ejemplos, conexión entre MCM y MCD. Aquí hablaremos de encontrar el mínimo común múltiplo (MCM), y prestaremos especial atención a la resolución de ejemplos. Primero, mostraremos cómo se calcula el MCM de dos números utilizando el MCD de estos números. A continuación, veremos cómo encontrar el mínimo común múltiplo factorizando números en factores primos. Después de esto, nos centraremos en encontrar el MCM de tres o más números y también prestaremos atención a calcular el MCM de números negativos.

Navegación de páginas.

Calcular el mínimo común múltiplo (LCM) mediante MCD

Una forma de encontrar el mínimo común múltiplo se basa en la relación entre MCM y MCD. La conexión existente entre MCM y MCD nos permite calcular el mínimo común múltiplo de dos enteros positivos a través de un máximo común divisor conocido. La fórmula correspondiente es MCM(a, b)=a b:MCD(a, b) . Veamos ejemplos de cómo encontrar el MCM usando la fórmula dada.

Ejemplo.

Encuentra el mínimo común múltiplo de dos números 126 y 70.

Solución.

En este ejemplo a=126, b=70. Usemos la conexión entre MCM y MCD, expresada por la fórmula MCM(a, b)=a b:MCD(a, b). Es decir, primero tenemos que encontrar el máximo común divisor de los números 70 y 126, después de lo cual podemos calcular el MCM de estos números usando la fórmula escrita.

Encontremos MCD(126, 70) usando el algoritmo euclidiano: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, por lo tanto, MCD(126, 70)=14.

Ahora encontramos el mínimo común múltiplo requerido: MCD(126, 70)=126·70: MCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Respuesta:

MCM(126, 70)=630.

Ejemplo.

¿A qué es igual MCM(68, 34)?

Solución.

Porque 68 es divisible por 34, entonces MCD(68, 34)=34. Ahora calculamos el mínimo común múltiplo: MCD(68, 34)=68·34: MCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Respuesta:

MCM(68, 34)=68.

Tenga en cuenta que el ejemplo anterior se ajusta a la siguiente regla para encontrar el MCM para enteros positivos a y b: si el número a es divisible por b, entonces el mínimo común múltiplo de estos números es a.

Encontrar el MCM factorizando números en factores primos

Otra forma de encontrar el mínimo común múltiplo se basa en factorizar números en factores primos. Si compones un producto de todos los factores primos de números dados y luego excluyes de este producto todos los factores primos comunes presentes en las descomposiciones de los números dados, entonces el producto resultante será igual al mínimo común múltiplo de los números dados. .

La regla establecida para encontrar el MCM se deriva de la igualdad MCM(a, b)=a b:MCD(a, b). De hecho, el producto de los números a y b es igual al producto de todos los factores involucrados en la expansión de los números a y b. A su vez, MCD(a, b) es igual al producto de todos los factores primos presentes simultáneamente en las expansiones de los números a y b (como se describe en la sección sobre cómo encontrar el MCD usando la expansión de números en factores primos).

Pongamos un ejemplo. Sepamos que 75=3·5·5 y 210=2·3·5·7. Compongamos el producto a partir de todos los factores de estas expansiones: 2·3·3·5·5·5·7 . Ahora de este producto excluimos todos los factores presentes tanto en la expansión del número 75 como en la expansión del número 210 (estos factores son 3 y 5), entonces el producto tomará la forma 2·3·5·5·7 . El valor de este producto es igual al mínimo común múltiplo de 75 y 210, es decir, NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1.050.

Ejemplo.

Factoriza los números 441 y 700 en factores primos y encuentra el mínimo común múltiplo de estos números.

Solución.

Factoricemos los números 441 y 700 en factores primos:

Obtenemos 441=3·3·7·7 y 700=2·2·5·5·7.

Ahora creemos un producto de todos los factores involucrados en la expansión de estos números: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Excluyamos de este producto todos los factores que están presentes simultáneamente en ambas expansiones (solo hay uno de esos factores: este es el número 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. De este modo, MCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Respuesta:

NOC(441, 700)= 44 100 .

La regla para encontrar el MCM mediante la factorización de números en factores primos se puede formular de manera un poco diferente. Si los factores faltantes de la expansión del número b se suman a los factores de la expansión del número a, entonces el valor del producto resultante será igual al mínimo común múltiplo de los números a y b..

Por ejemplo, tomemos los mismos números 75 y 210, sus descomposiciones en factores primos son las siguientes: 75=3·5·5 y 210=2·3·5·7. A los factores 3, 5 y 5 del desarrollo del número 75 le sumamos los factores que faltan 2 y 7 del desarrollo del número 210, obtenemos el producto 2·3·5·5·7, cuyo valor es igual a MCM(75, 210).

Ejemplo.

Encuentra el mínimo común múltiplo de 84 y 648.

Solución.

Primero obtenemos las descomposiciones de los números 84 y 648 en factores primos. Parecen 84=2·2·3·7 y 648=2·2·2·3·3·3·3. A los factores 2, 2, 3 y 7 de la expansión del número 84 le sumamos los factores faltantes 2, 3, 3 y 3 de la expansión del número 648, obtenemos el producto 2 2 2 3 3 3 3 7, que es igual a 4 536 . Por lo tanto, el mínimo común múltiplo deseado de 84 y 648 es 4536.

Respuesta:

MCM(84, 648)=4,536 .

Encontrar el MCM de tres o más números

El mínimo común múltiplo de tres o más números se puede encontrar encontrando secuencialmente el MCM de dos números. Recordemos el teorema correspondiente, que proporciona una forma de encontrar el MCM de tres o más números.

Teorema.

Sean dados los números enteros positivos a 1 , a 2 , …, a k, el mínimo común múltiplo m k de estos números se encuentra calculando secuencialmente m 2 = MCM(a 1 , a 2), m 3 = MCM(m 2 , a 3) , … , m k = MCM(m k−1 , a k) .

Consideremos la aplicación de este teorema usando el ejemplo de encontrar el mínimo común múltiplo de cuatro números.

Ejemplo.

Encuentra el MCM de cuatro números 140, 9, 54 y 250.

Solución.

En este ejemplo, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

primero encontramos metro 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Para ello, utilizando el algoritmo euclidiano, determinamos MCD(140, 9), tenemos 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, por lo tanto, MCD(140, 9)=1 , de donde MCD(140, 9)=140 9: MCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Es decir, m 2 = 1 260.

ahora encontramos m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Calculémoslo mediante MCD(1 260, 54), que también determinamos mediante el algoritmo euclidiano: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Entonces mcd(1,260, 54)=18, de donde mcd(1,260, 54)= 1,260·54:mcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Es decir, m 3 = 3 780.

Todo lo que queda es encontrar m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Para hacer esto, encontramos MCD(3,780, 250) usando el algoritmo euclidiano: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Por lo tanto, MCD(3,780, 250)=10, de donde MCD(3,780, 250)= 3 780 250: MCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Es decir, m4 = 94.500.

Entonces, el mínimo común múltiplo de los cuatro números originales es 94,500.

Respuesta:

MCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

En muchos casos, es conveniente encontrar el mínimo común múltiplo de tres o más números usando factorizaciones primas de los números dados. En este caso, debes cumplir con la siguiente regla. El mínimo común múltiplo de varios números es igual al producto, el cual se compone de la siguiente manera: los factores faltantes del desarrollo del segundo número se suman a todos los factores del desarrollo del primer número, los factores faltantes del desarrollo del el tercer número se suma a los factores resultantes, y así sucesivamente.

Veamos un ejemplo de cómo encontrar el mínimo común múltiplo usando factorización prima.

Ejemplo.

Encuentra el mínimo común múltiplo de los cinco números 84, 6, 48, 7, 143.

Solución.

Primero, obtenemos descomposiciones de estos números en factores primos: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 es un número primo, coincide con su descomposición en factores primos) y 143=11·13.

Para encontrar el MCM de estos números, a los factores del primer número 84 (son 2, 2, 3 y 7), debes sumar los factores que faltan de la expansión del segundo número 6. La descomposición del número 6 no contiene factores faltantes, ya que tanto el 2 como el 3 ya están presentes en la descomposición del primer número 84. A continuación, a los factores 2, 2, 3 y 7 sumamos los factores 2 y 2 que faltan de la expansión del tercer número 48, obtenemos un conjunto de factores 2, 2, 2, 2, 3 y 7. No será necesario agregar multiplicadores a este conjunto en el siguiente paso, ya que 7 ya está contenido en él. Finalmente, a los factores 2, 2, 2, 2, 3 y 7 le sumamos los factores que faltan 11 y 13 de la expansión del número 143. Obtenemos el producto 2·2·2·2·3·7·11·13, que es igual a 48.048.

Pero muchos números naturales también son divisibles por otros números naturales.

Por ejemplo:

El número 12 es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12;

El número 36 es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6, por 12, por 18, por 36.

Los números por los cuales un número es divisible por un entero (para 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12) se llaman divisores de numeros. Divisor de un número natural a- es un número natural que divide a un número dado a sin dejar rastro. Un número natural que tiene más de dos divisores se llama compuesto .

Tenga en cuenta que los números 12 y 36 tienen factores comunes. Estos números son: 1, 2, 3, 4, 6, 12. El máximo divisor de estos números es 12. El divisor común de estos dos números a Y b- este es el número por el cual se dividen ambos números dados sin resto a Y b.

Múltiplos comunes varios números es un número que es divisible por cada uno de estos números. Por ejemplo, los números 9, 18 y 45 tienen un múltiplo común de 180. Pero 90 y 360 también son sus múltiplos comunes. Entre todos los múltiplos comunes siempre hay uno más pequeño, en este caso es 90. Este número se llama el mas pequeñomúltiplo común (MMC).

El MCM es siempre un número natural que debe ser mayor que el mayor de los números para los que está definido.

Mínimo común múltiplo (MCM). Propiedades.

Conmutatividad:

Asociatividad:

En particular, si y son números coprimos, entonces:

Mínimo común múltiplo de dos números enteros metro Y norte es divisor de todos los demás múltiplos comunes metro Y norte. Además, el conjunto de múltiplos comunes metro, norte coincide con el conjunto de múltiplos del MCM( metro, norte).

Las asintóticas para se pueden expresar en términos de algunas funciones de teoría de números.

Entonces, función de Chebyshev. Y:

Esto se desprende de la definición y propiedades de la función Landau. g(n).

Lo que se sigue de la ley de distribución de números primos.

Encontrar el mínimo común múltiplo (MCM).

NOC( a, b) se puede calcular de varias maneras:

1. Si se conoce el máximo común divisor, se puede utilizar su conexión con el MCM:

2. Conozcamos la descomposición canónica de ambos números en factores primos:

Dónde p 1 ,...,p k- varios números primos, y re 1 ,..., re k Y mi 1 ,...,e k— números enteros no negativos (pueden ser ceros si el primo correspondiente no está en la expansión).

Entonces NOC ( a,b) se calcula mediante la fórmula:

En otras palabras, la descomposición MCM contiene todos los factores primos incluidos en al menos una de las descomposiciones de números. a, b, y se toma el mayor de los dos exponentes de este multiplicador.

Ejemplo:

El cálculo del mínimo común múltiplo de varios números se puede reducir a varios cálculos secuenciales del MCM de dos números:

Regla. Para encontrar el MCM de una serie de números, necesitas:

- descomponer números en factores primos;

- transferir la descomposición más grande (el producto de los factores del mayor número de estos) a los factores del producto deseado, y luego sumar factores de la descomposición de otros números que no aparecen en el primer número o no aparecen en él menos veces;

— el producto resultante de factores primos será el MCM de los números dados.

Dos o más números naturales cualesquiera tienen su propio MCM. Si los números no son múltiplos entre sí o no tienen los mismos factores en la expansión, entonces su MCM es igual al producto de estos números.

Los factores primos del número 28 (2, 2, 7) se complementan con un factor de 3 (el número 21), el producto resultante (84) será el número más pequeño que sea divisible entre 21 y 28.

Los factores primos del número mayor 30 se complementan con el factor 5 del número 25, el producto resultante 150 es mayor que el número mayor 30 y es divisible por todos los números dados sin resto. Este es el producto más pequeño posible (150, 250, 300...) que es múltiplo de todos los números dados.

Los números 2,3,11,37 son números primos, por lo que su MCM es igual al producto de los números dados.

Regla. Para calcular el MCM de números primos, debes multiplicar todos estos números.

Otra opción:

Para encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de varios números necesitas:

1) representar cada número como producto de sus factores primos, por ejemplo:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) escribe las potencias de todos los factores primos:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) escriba todos los divisores primos (multiplicadores) de cada uno de estos números;

4) elegir el mayor grado de cada uno de ellos, que se encuentra en todas las expansiones de estos números;

5) multiplicar estos poderes.

Ejemplo. Encuentra el MCM de los números: 168, 180 y 3024.

Solución. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Anotamos las potencias mayores de todos los divisores primos y las multiplicamos:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Segundo número: b=

Separador de mil Sin separador de espacios "´

Resultado:

Máximo común divisor mcd( a,b)=6

Mínimo común múltiplo de MCM( a,b)=468

El mayor número natural que se puede dividir sin resto entre los números a y b se llama máximo común divisor(MCD) de estos números. Denotado por mcd(a,b), (a,b), mcd(a,b) o hcf(a,b).

Minimo común multiplo El MCM de dos números enteros a y b es el número natural más pequeño que es divisible por a y b sin resto. Denotado MCM(a,b), o mcm(a,b).

Los números enteros a y b se llaman mutuamente primos, si no tienen divisores comunes distintos de +1 y −1.

Máximo común divisor

Sean dos números positivos a 1 y a 2 1). Se requiere encontrar el divisor común de estos números, es decir encontrar tal número λ , que divide números a 1 y a 2 al mismo tiempo. Describamos el algoritmo.

1) En este artículo la palabra número se entenderá como un número entero.

Dejar a 1 ≥ a 2 y deja

Dónde metro 1 , a 3 son algunos números enteros, a 3 <a 2 (resto de la división a 1 por a 2 debería ser menos a 2).

pretendamos que λ divide a 1 y a 2 entonces λ divide metro 1 a 2 y λ divide a 1 −metro 1 a 2 =a 3 (Declaración 2 del artículo “Divisibilidad de números. Prueba de divisibilidad”). De ello se deduce que todo divisor común a 1 y a 2 es el divisor común a 2 y a 3. Lo contrario también es cierto si λ común divisor a 2 y a 3 entonces metro 1 a 2 y a 1 =metro 1 a 2 +a 3 también es divisible por λ . Por lo tanto el divisor común a 2 y a 3 también es un divisor común a 1 y a 2. Porque a 3 <a 2 ≤a 1, entonces podemos decir que la solución al problema de encontrar el divisor común de números a 1 y a 2 reducido al problema más simple de encontrar el divisor común de números a 2 y a 3 .

Si a 3 ≠0, entonces podemos dividir a 2 por a 3. Entonces

,

Dónde metro 1 y a 4 son algunos números enteros, ( a 4 restos de la división a 2 por a 3 (a 4 <a 3)). Por un razonamiento similar llegamos a la conclusión de que los divisores comunes de los números a 3 y a 4 coincide con divisores comunes de números. a 2 y a 3, y también con divisores comunes a 1 y a 2. Porque a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... son números que están en constante disminución, y como hay un número finito de enteros entre ellos a 2 y 0, luego en algún paso norte, resto de la división a n en a n+1 será igual a cero ( a norte+2 =0).

.

Cada divisor común λ números a 1 y a 2 también es divisor de números a 2 y a 3 , a 3 y a 4 , .... a norte y a norte+1. Lo contrario también es cierto, divisores comunes de números. a norte y a n+1 también son divisores de números a n-1 y a n , .... , a 2 y a 3 , a 1 y a 2. Pero el divisor común de los números. a norte y a n+1 es un número a n+1, porque a norte y a n+1 son divisibles por a n+1 (recuerda que a norte+2 =0). Por eso a n+1 también es divisor de números a 1 y a 2 .

Tenga en cuenta que el número a n+1 es el mayor divisor de números a norte y a n+1 , desde el mayor divisor a n+1 es en sí mismo a norte+1. Si a n+1 se puede representar como un producto de números enteros, entonces estos números también son divisores comunes de números a 1 y a 2. Número a n+1 se llama máximo común divisor números a 1 y a 2 .

Números a 1 y a 2 pueden ser números positivos o negativos. Si uno de los números es igual a cero, entonces el máximo común divisor de estos números será igual al valor absoluto del otro número. El máximo común divisor de números cero no está definido.

El algoritmo anterior se llama algoritmo euclidiano para encontrar el máximo común divisor de dos números enteros.

Un ejemplo de cómo encontrar el máximo común divisor de dos números.

Encuentra el máximo común divisor de dos números 630 y 434.

• Paso 1. Divide el número 630 entre 434. El resto es 196.
• Paso 2. Divide el número 434 entre 196. El resto es 42.
• Paso 3. Divide el número 196 entre 42. El resto es 28.
• Paso 4. Divide el número 42 entre 28. El resto es 14.
• Paso 5. Divide el número 28 entre 14. El resto es 0.

En el paso 5, el resto de la división es 0. Por lo tanto, el máximo común divisor de los números 630 y 434 es 14. Ten en cuenta que los números 2 y 7 también son divisores de los números 630 y 434.

números coprimos

Definición 1. Sea el máximo común divisor de los números. a 1 y a 2 es igual a uno. Entonces estos números se llaman números coprimos, al no tener divisor común.

Teorema 1. Si a 1 y a 2 números coprimos, y λ algún número, luego cualquier divisor común de números λa 1 y a 2 también es un divisor común de números. λ Y a 2 .

Prueba. Considere el algoritmo euclidiano para encontrar el máximo común divisor de números. a 1 y a 2 (ver arriba).

.

De las condiciones del teorema se deduce que el máximo común divisor de los números a 1 y a 2 y por lo tanto a norte y a n+1 es 1. Es decir a norte+1 =1.

Multipliquemos todas estas igualdades por λ , Entonces

.

Sea el divisor común a 1 λ Y a 2 si δ . Entonces δ se incluye como multiplicador en a 1 λ , metro 1 a 2 λ y en a 1 λ -metro 1 a 2 λ =a 3 λ (ver "Divisibilidad de números", Declaración 2). Más δ se incluye como multiplicador en a 2 λ Y metro 2 a 3 λ y, por tanto, es un factor a 2 λ -metro 2 a 3 λ =a 4 λ .

Razonando de esta manera, estamos convencidos de que δ se incluye como multiplicador en a norte-1 λ Y metro norte-1 a norte λ , y por lo tanto en a norte-1 λ −metro norte-1 a norte λ =a n+1 λ . Porque a n+1 =1, entonces δ se incluye como multiplicador en λ . Por lo tanto el número δ es el divisor común de los números λ Y a 2 .

Consideremos casos especiales del Teorema 1.

Consecuencia 1. Dejar a Y C Los números primos son relativamente b. Entonces su producto C.A es un número primo con respecto a b.

En realidad. Del teorema 1 C.A Y b tienen los mismos divisores comunes que C Y b. Pero los números C Y b relativamente simple, es decir tener un único divisor común 1. Entonces C.A Y b también tienen un único divisor común 1. Por lo tanto C.A Y b mutuamente simples.

Consecuencia 2. Dejar a Y b números coprimos y deja b divide Alaska. Entonces b divide y k.

En realidad. De la condición de aprobación Alaska Y b tener un divisor común b. En virtud del teorema 1, b debe ser un divisor común b Y k. Por eso b divide k.

El corolario 1 se puede generalizar.

Consecuencia 3. 1. Deja que los números a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m son primos relativos al número b. Entonces a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, el producto de estos números es primo con respecto al número b.

2. Tengamos dos filas de números.

tal que cada número de la primera serie es primo en razón de cada número de la segunda serie. Entonces el producto

Necesitas encontrar números que sean divisibles por cada uno de estos números.

Si un número es divisible por a 1, entonces tiene la forma sa 1 donde s algún número. Si q es el máximo común divisor de números a 1 y a 2, entonces

Dónde s 1 es algún número entero. Entonces

es mínimo común múltiplo de números a 1 y a 2 .

a 1 y a 2 son primos relativos, entonces el mínimo común múltiplo de los números a 1 y a 2:

Necesitamos encontrar el mínimo común múltiplo de estos números.

De lo anterior se deduce que cualquier múltiplo de números a 1 , a 2 , a 3 debe ser múltiplo de números ε Y a 3 y viceversa. Sea el mínimo común múltiplo de los números. ε Y a 3 si ε 1 . A continuación, múltiplos de números. a 1 , a 2 , a 3 , a 4 debe ser múltiplo de números ε 1 y a 4 . Sea el mínimo común múltiplo de los números. ε 1 y a 4 si ε 2. Así, descubrimos que todos los múltiplos de números. a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m coincide con múltiplos de un cierto número ε n, que se llama mínimo común múltiplo de los números dados.

En el caso especial cuando los números a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m son primos relativos, entonces el mínimo común múltiplo de los números a 1 , a 2, como se muestra arriba, tiene la forma (3). A continuación, desde a 3 primos en relación con los números a 1 , a 2 entonces a 3 numero primo a 1 · a 2 (Corolario 1). Significa el mínimo común múltiplo de números a 1 ,a 2 ,a 3 es un número a 1 · a 2 · a 3. Razonando de manera similar, llegamos a las siguientes afirmaciones.

Declaración 1. Mínimo común múltiplo de números coprimos a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m es igual a su producto a 1 · a 2 · a 3 ··· a metro.

Declaración 2. Cualquier número que sea divisible por cada uno de los números coprimos. a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m también es divisible por su producto a 1 · a 2 · a 3 ··· a metro.

Veamos tres formas de encontrar el mínimo común múltiplo.

Hallar por factorización

El primer método consiste en encontrar el mínimo común múltiplo factorizando los números dados en factores primos.

Digamos que necesitamos encontrar el MCM de los números: 99, 30 y 28. Para hacer esto, factoricemos cada uno de estos números en factores primos:

Para que el número deseado sea divisible entre 99, 30 y 28, es necesario y suficiente que incluya todos los factores primos de estos divisores. Para hacer esto, necesitamos llevar todos los factores primos de estos números a la mayor potencia posible y multiplicarlos entre sí:

2 2 3 2 5 7 11 = 13.860

Por lo tanto, MCM (99, 30, 28) = 13 860. Ningún otro número menor que 13 860 es divisible por 99, 30 o 28.

Para encontrar el mínimo común múltiplo de números dados, los factorizas en sus factores primos, luego tomas cada factor primo con el exponente más grande en el que aparece y multiplicas esos factores.

Como los números primos relativos no tienen factores primos comunes, su mínimo común múltiplo es igual al producto de estos números. Por ejemplo, tres números: 20, 49 y 33 son primos relativos. Es por eso

MCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

Se debe hacer lo mismo al encontrar el mínimo común múltiplo de varios números primos. Por ejemplo, MCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Encontrar por selección

El segundo método consiste en encontrar el mínimo común múltiplo mediante selección.

Ejemplo 1. Cuando el mayor de los números dados se divide por otro número dado, entonces el MCM de estos números es igual al mayor de ellos. Por ejemplo, dados cuatro números: 60, 30, 10 y 6. Cada uno de ellos es divisible por 60, por lo tanto:

MCM(60, 30, 10, 6) = 60

En otros casos, para encontrar el mínimo común múltiplo se utiliza el siguiente procedimiento:

1. Determina el número más grande de los números dados.
2. A continuación, encontramos los números que son múltiplos del número mayor multiplicándolo por números naturales en orden creciente y comprobando si el producto resultante es divisible por los números dados restantes.

Ejemplo 2. Dados tres números 24, 3 y 18. Determinamos el mayor de ellos: este es el número 24. A continuación, encontramos los números que son múltiplos de 24, comprobando si cada uno de ellos es divisible por 18 y 3:

24 · 1 = 24 - divisible por 3, pero no divisible por 18.

24 · 2 = 48 - divisible por 3, pero no divisible por 18.

24 · 3 = 72 - divisible por 3 y 18.

Por tanto, MCM (24, 3, 18) = 72.

Encontrar encontrando secuencialmente el MCM

El tercer método consiste en encontrar el mínimo común múltiplo encontrando secuencialmente el MCM.

El MCM de dos números dados es igual al producto de estos números dividido por su máximo común divisor.

Ejemplo 1. Encuentra el MCM de dos números dados: 12 y 8. Determina su máximo común divisor: MCD (12, 8) = 4. Multiplica estos números:

Dividimos el producto por su mcd:

Por tanto, MCM (12, 8) = 24.

Para encontrar el MCM de tres o más números, utilice el siguiente procedimiento:

1. Primero, encuentre el MCM de dos de estos números.
2. Luego, MCM del mínimo común múltiplo encontrado y el tercer número dado.
3. Luego, el MCM del mínimo común múltiplo resultante y el cuarto número, etc.
4. Por tanto, la búsqueda de LCM continúa mientras haya números.

Ejemplo 2. Encontremos el MCM de tres números dados: 12, 8 y 9. Ya encontramos el MCM de los números 12 y 8 en el ejemplo anterior (este es el número 24). Queda por encontrar el mínimo común múltiplo del número 24 y el tercer número dado: 9. Determinar su máximo común divisor: MCD (24, 9) = 3. Multiplicar el MCM por el número 9:

Dividimos el producto por su mcd:

Por tanto, MCM (12, 8, 9) = 72.

Continuamos la conversación sobre el mínimo común múltiplo, que comenzamos en la sección "MCM - mínimo común múltiplo, definición, ejemplos". En este tema, veremos formas de encontrar el MCM de tres o más números y analizaremos la cuestión de cómo encontrar el MCM de un número negativo.

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Calcular el mínimo común múltiplo (LCM) mediante MCD

Ya hemos establecido la relación entre el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor. Ahora aprendamos cómo determinar el LCM mediante MCD. Primero, descubramos cómo hacer esto con números positivos.

Definición 1

Puedes encontrar el mínimo común múltiplo hasta el máximo común divisor usando la fórmula MCM (a, b) = a · b: MCD (a, b).

Ejemplo 1

Necesitas encontrar el MCM de los números 126 y 70.

Solución

Tomemos a = 126, b = 70. Sustituyamos los valores en la fórmula para calcular el mínimo común múltiplo hasta el máximo común divisor MCM (a, b) = a · b: MCD (a, b) .

Calcula el mcd de los números 70 y 126. Para esto necesitamos el algoritmo euclidiano: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, por lo tanto MCD (126 , 70) = 14 .

Calculemos el MCM: MCD (126, 70) = 126 70: MCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Respuesta: MCM(126, 70) = 630.

Ejemplo 2

Encuentra el número 68 y 34.

Solución

En este caso, el MCD no es difícil de encontrar, ya que 68 es divisible por 34. Calculemos el mínimo común múltiplo usando la fórmula: MCM (68, 34) = 68 34: MCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Respuesta: MCM(68, 34) = 68.

En este ejemplo, usamos la regla para encontrar el mínimo común múltiplo de enteros positivos a y b: si el primer número es divisible por el segundo, el MCM de esos números será igual al primer número.

Encontrar el MCM factorizando números en factores primos

Ahora veamos el método para encontrar el MCM, que se basa en factorizar números en factores primos.

Definición 2

Para encontrar el mínimo común múltiplo, debemos realizar una serie de sencillos pasos:

• componemos el producto de todos los factores primos de los números para los cuales necesitamos encontrar el MCM;
• excluimos todos los factores primos de sus productos resultantes;
• el producto obtenido tras eliminar los factores primos comunes será igual al mcm de los números dados.

Este método para encontrar el mínimo común múltiplo se basa en la igualdad MCM (a, b) = a · b: MCD (a, b). Si nos fijamos en la fórmula, quedará claro: el producto de los números a y b es igual al producto de todos los factores que participan en la descomposición de estos dos números. En este caso, el mcd de dos números es igual al producto de todos los factores primos que están presentes simultáneamente en las factorizaciones de estos dos números.

Ejemplo 3

Tenemos dos números 75 y 210. Podemos factorizarlos de la siguiente manera: 75 = 3 5 5 Y 210 = 2 3 5 7. Si compones el producto de todos los factores de los dos números originales, obtienes: 2 3 3 5 5 5 7.

Si excluimos los factores comunes a los números 3 y 5, obtenemos un producto de la siguiente forma: 2 3 5 5 7 = 1050. Este producto será nuestro LCM para los números 75 y 210.

Ejemplo 4

Encuentra el MCM de los números 441 Y 700 , factorizando ambos números en factores primos.

Solución

Encontremos todos los factores primos de los números dados en la condición:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Obtenemos dos cadenas de números: 441 = 3 3 7 7 y 700 = 2 2 5 5 7.

El producto de todos los factores que participaron en la descomposición de estos números tendrá la forma: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Encontremos factores comunes. Este es el número 7. Excluyémoslo del producto total: 2 2 3 3 5 5 7 7. Resulta que NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Respuesta: LOC(441, 700) = 44,100.

Demos otra formulación del método para encontrar el MCM descomponiendo números en factores primos.

Definición 3

Anteriormente, excluimos del número total de factores comunes a ambos números. Ahora lo haremos de otra manera:

• Factoricemos ambos números en factores primos:
• sumar al producto de los factores primos del primer número los factores faltantes del segundo número;
• obtenemos el producto, que será el MCM deseado de dos números.

Ejemplo 5

Volvamos a los números 75 y 210, para los que ya buscamos el MCM en uno de los ejemplos anteriores. Dividámoslos en factores simples: 75 = 3 5 5 Y 210 = 2 3 5 7. Al producto de los factores 3, 5 y 5 números 75 suman los factores que faltan 2 Y 7 números 210. Obtenemos: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Este es el MCM de los números 75 y 210.

Ejemplo 6

Es necesario calcular el MCM de los números 84 y 648.

Solución

Factoricemos los números de la condición en factores simples: 84 = 2 2 3 7 Y 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Sumemos al producto los factores 2, 2, 3 y 7 números 84 factores faltantes 2, 3, 3 y
3 números 648. Obtenemos el producto 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Este es el mínimo común múltiplo de 84 y 648.

Respuesta: MCM(84, 648) = 4,536.

Encontrar el MCM de tres o más números

Independientemente de con cuántos números estemos tratando, el algoritmo de nuestras acciones siempre será el mismo: encontraremos secuencialmente el MCM de dos números. Hay un teorema para este caso.

Teorema 1

Supongamos que tenemos números enteros. un 1 , un 2 , ... , un k. CON mk estos números se encuentran calculando secuencialmente m 2 = MCM (a 1, a 2), m 3 = MCM (m 2, a 3), ..., m k = MCM (m k − 1, a k).

Ahora veamos cómo se puede aplicar el teorema para resolver problemas específicos.

Ejemplo 7

Necesitas calcular el mínimo común múltiplo de cuatro números 140, 9, 54 y 250 .

Solución

Introduzcamos la notación: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Comencemos calculando m 2 = MCM (a 1, a 2) = MCM (140, 9). Apliquemos el algoritmo euclidiano para calcular el MCD de los números 140 y 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Obtenemos: MCD (140, 9) = 1, MCD (140, 9) = 140 9: MCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260. Por tanto, m2 = 1.260.

Ahora calculemos usando el mismo algoritmo m 3 = MCM (m 2 , a 3) = MCM (1 260, 54). Durante los cálculos obtenemos m 3 = 3 780.

Sólo tenemos que calcular m 4 = MCM (m 3 , a 4) = MCM (3 780, 250). Seguimos el mismo algoritmo. Obtenemos m 4 = 94 500.

El MCM de los cuatro números de la condición de ejemplo es 94500.

Respuesta: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Como puede ver, los cálculos son simples, pero bastante laboriosos. Para ahorrar tiempo, puedes ir por otro camino.

Definición 4

Le ofrecemos el siguiente algoritmo de acciones:

• descomponemos todos los números en factores primos;
• al producto de los factores del primer número le sumamos los factores que faltan del producto del segundo número;
• al producto obtenido en la etapa anterior le sumamos los factores faltantes del tercer número, etc.;
• el producto resultante será el mínimo común múltiplo de todos los números de la condición.

Ejemplo 8

Necesitas encontrar el MCM de cinco números 84, 6, 48, 7, 143.

Solución

Factoricemos los cinco números en factores primos: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Los números primos, que es el número 7, no se pueden descomponer en factores primos. Estos números coinciden con su descomposición en factores primos.

Ahora tomemos el producto de los factores primos 2, 2, 3 y 7 del número 84 y sumémosles los factores que faltan del segundo número. Descompusimos el número 6 en 2 y 3. Estos factores ya están en el producto del primer número. Por tanto, los omitimos.

Seguimos sumando los multiplicadores que faltan. Pasemos al número 48, de cuyo producto de factores primos tomamos 2 y 2. Luego sumamos el factor primo de 7 del cuarto número y los factores de 11 y 13 del quinto. Obtenemos: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Este es el mínimo común múltiplo de los cinco números originales.

Respuesta: MCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Encontrar el mínimo común múltiplo de números negativos

Para encontrar el mínimo común múltiplo de números negativos, estos números primero deben reemplazarse por números con el signo opuesto y luego los cálculos deben realizarse utilizando los algoritmos anteriores.

Ejemplo 9

MCM (54, − 34) = MCM (54, 34) y MCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = MCM (622, 46, 54, 888).

Tales acciones están permitidas debido al hecho de que si aceptamos que a Y − un– números opuestos,
entonces el conjunto de los múltiplos de un número a coincide con el conjunto de múltiplos de un número − un.

Ejemplo 10

Es necesario calcular el MCM de números negativos. − 145 Y − 45 .

Solución

Reemplacemos los números − 145 Y − 45 a sus números opuestos 145 Y 45 . Ahora, usando el algoritmo, calculamos el MCM (145, 45) = 145 · 45: MCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, habiendo determinado previamente el MCD usando el algoritmo euclidiano.

Obtenemos que el MCM de los números es − 145 y − 45 es igual 1 305 .

Respuesta: MCM (− 145, − 45) = 1.305.

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