Mínimo común múltiplo de números enteros. Maneras de encontrar el mínimo común múltiplo, nok is, y todas las explicaciones

La calculadora en línea le permite encontrar rápidamente el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o cualquier otra cantidad de números.

Calculadora para encontrar GCD y NOC

Encuentra GCD y NOC

GCD y NOC encontrados: 5806

Cómo usar la calculadora

• Introduzca números en el campo de entrada
• En caso de ingresar caracteres incorrectos, el campo de entrada se resaltará en rojo
• presione el botón "Buscar GCD y NOC"

Cómo ingresar números

• Los números se ingresan separados por espacios, puntos o comas
• La longitud de los números introducidos no está limitada., por lo que encontrar el mcd y mcm de números largos no será difícil

¿Qué es NOD y NOK?

Máximo común divisor de varios números es el entero natural más grande por el cual todos los números originales son divisibles sin resto. El máximo común divisor se abrevia como MCD.
Minimo común multiplo varios números es el número más pequeño que es divisible por cada uno de los números originales sin resto. El mínimo común múltiplo se abrevia como CON.

¿Cómo comprobar si un número es divisible por otro número sin resto?

Para saber si un número es divisible por otro sin resto, puedes usar algunas propiedades de la divisibilidad de los números. Luego, combinándolos, se puede comprobar la divisibilidad de algunos de ellos y sus combinaciones.

Algunos signos de divisibilidad de los números.

1. Signo de divisibilidad de un número por 2
Para determinar si un número es divisible por dos (si es par), basta con mirar el último dígito de este número: si es igual a 0, 2, 4, 6 u 8, entonces el número es par, lo que significa que es divisible por 2.
Ejemplo: determinar si el número 34938 es divisible por 2.
Solución: mira el último dígito: 8 significa que el número es divisible por dos.

2. Signo de divisibilidad de un número por 3
Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es divisible por 3. Por lo tanto, para determinar si un número es divisible por 3, debe calcular la suma de los dígitos y verificar si es divisible por 3. Incluso si la suma de los dígitos resultó ser muy grande, puede repetir el mismo proceso de nuevo.
Ejemplo: determinar si el número 34938 es divisible por 3.
Solución: contamos la suma de los dígitos: 3+4+9+3+8 = 27. 27 es divisible por 3, lo que significa que el número es divisible por tres.

3. Signo de divisibilidad de un número por 5
Un número es divisible por 5 cuando su última cifra es cero o cinco.
Ejemplo: determinar si el número 34938 es divisible por 5.
Solución: mira el último dígito: 8 significa que el número NO es divisible por cinco.

4. Signo de divisibilidad de un número por 9
Este signo es muy similar al signo de la divisibilidad por tres: un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es divisible por 9.
Ejemplo: determinar si el número 34938 es divisible por 9.
Solución: calculamos la suma de los dígitos: 3+4+9+3+8 = 27. 27 es divisible por 9, lo que significa que el número es divisible por nueve.

Cómo encontrar MCD y MCM de dos números

Cómo encontrar el MCD de dos números

La forma más sencilla de calcular el máximo común divisor de dos números es encontrar todos los divisores posibles de estos números y elegir el mayor de ellos.

Considere este método usando el ejemplo de encontrar GCD(28, 36) :

1. Factorizamos ambos números: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Encontramos factores comunes, es decir, aquellos que tienen ambos números: 1, 2 y 2.
3. Calculamos el producto de estos factores: 1 2 2 \u003d 4: este es el máximo común divisor de los números 28 y 36.

Cómo encontrar el MCM de dos números

Hay dos formas más comunes de encontrar el múltiplo más pequeño de dos números. La primera forma es que puede escribir los primeros múltiplos de dos números y luego elegir entre ellos un número que sea común a ambos números y al mismo tiempo el más pequeño. Y el segundo es encontrar el MCD de estos números. Solo considerémoslo.

Para calcular el MCM, debe calcular el producto de los números originales y luego dividirlo por el MCD encontrado anteriormente. Encontremos el MCM para los mismos números 28 y 36:

1. Encuentra el producto de los números 28 y 36: 28 36 = 1008
2. ya se sabe que gcd(28, 36) es 4
3. MCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Encontrar MCD y MCM para números múltiples

El máximo común divisor se puede encontrar para varios números, y no solo para dos. Para ello se descomponen en factores primos los números a hallar para el máximo común divisor, luego se encuentra el producto de los factores primos comunes de estos números. Además, para encontrar el MCD de varios números, puedes usar la siguiente relación: mcd(a, b, c) = mcd(mcd(a, b), c).

Una relación similar también se aplica al mínimo común múltiplo de números: MCM(a, b, c) = MCM(MCM(a, b), c)

Ejemplo: encuentra MCD y MCM para los números 12, 32 y 36.

1. Primero, factoricemos los números: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Encontremos los factores comunes: 1, 2 y 2.
3. Su producto dará mcd: 1 2 2 = 4
4. Ahora busquemos el MCM: para esto primero encontramos el MCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Para encontrar el MCM de los tres números, necesitas encontrar el MCD (96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , MCD = 1 2 . 2 3 = 12 .
6. MCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

El máximo común divisor y el mínimo común múltiplo son conceptos aritméticos clave que te permiten operar fácilmente con fracciones ordinarias. MCM y se utilizan con mayor frecuencia para encontrar el denominador común de varias fracciones.

Conceptos básicos

El divisor de un entero X es otro entero Y por el cual X es divisible sin resto. Por ejemplo, el divisor de 4 es 2 y 36 es 4, 6, 9. Un múltiplo del entero X es un número Y que es divisible por X sin resto. Por ejemplo, 3 es múltiplo de 15 y 6 es múltiplo de 12.

Para cualquier par de números, podemos encontrar sus divisores y múltiplos comunes. Por ejemplo, para 6 y 9, el múltiplo común es 18 y el divisor común es 3. Obviamente, los pares pueden tener varios divisores y múltiplos, por lo que en los cálculos se usa el divisor más grande del MCD y el múltiplo más pequeño del MCM. .

El divisor más pequeño no tiene sentido, ya que para cualquier número siempre es uno. El múltiplo más grande tampoco tiene sentido, ya que la secuencia de múltiplos tiende al infinito.

Encontrar MCD

Hay muchos métodos para encontrar el máximo común divisor, los más famosos son:

• enumeración secuencial de divisores, selección de los comunes para un par y búsqueda del mayor de ellos;
• descomposición de números en factores indivisibles;
• algoritmo de Euclides;
• algoritmo binario.

Hoy en día, en las instituciones educativas, los métodos más populares de descomposición en factores primos y el algoritmo de Euclides. Este último, a su vez, se utiliza en la resolución de ecuaciones diofánticas: se requiere la búsqueda de GCD para verificar la ecuación por la posibilidad de resolverla en números enteros.

Encontrar el NOC

El mínimo común múltiplo también se determina exactamente mediante enumeración iterativa o factorización en factores indivisibles. Además, es fácil encontrar el MCM si ya se ha determinado el divisor más grande. Para los números X e Y, LCM y GCD están relacionados por la siguiente relación:

MCM(X,Y) = X × Y / MCM(X,Y).

Por ejemplo, si mcd(15,18) = 3, entonces MCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. El uso más obvio de MCM es encontrar el denominador común, que es el mínimo común múltiplo de los fracciones dadas.

Números coprimos

Si un par de números no tiene divisores comunes, ese par se llama coprimos. El GCM para tales pares siempre es igual a uno, y basado en la conexión de divisores y múltiplos, el GCM para coprimos es igual a su producto. Por ejemplo, los números 25 y 28 son coprimos, porque no tienen divisores comunes, y MCM(25, 28) = 700, que corresponde a su producto. Dos números indivisibles siempre serán coprimos.

Divisor común y calculadora múltiple

Con nuestra calculadora puede calcular MCD y MCM para cualquier número de números para elegir. Las tareas para calcular divisores comunes y múltiplos se encuentran en aritmética de los grados 5 y 6, sin embargo, GCD y LCM son los conceptos clave de las matemáticas y se utilizan en teoría de números, planimetría y álgebra comunicativa.

ejemplos de la vida real

Común denominador de fracciones

El mínimo común múltiplo se usa para encontrar el común denominador de varias fracciones. Supongamos que en un problema aritmético se requiere sumar 5 fracciones:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Para sumar fracciones, la expresión debe reducirse a un denominador común, lo que se reduce al problema de encontrar el MCM. Para hacer esto, seleccione 5 números en la calculadora e ingrese los valores del denominador en las celdas correspondientes. El programa calculará LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Ahora necesita calcular factores adicionales para cada fracción, que se definen como la relación entre LCM y el denominador. Así que los multiplicadores adicionales se verían así:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Después de eso, multiplicamos todas las fracciones por el factor adicional correspondiente y obtenemos:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Podemos sumar fácilmente tales fracciones y obtener el resultado en forma de 159/360. Reducimos la fracción en 3 y vemos la respuesta final: 53/120.

Solución de ecuaciones diofánticas lineales

Las ecuaciones diofánticas lineales son expresiones de la forma ax + by = d. Si la razón d / mcd(a, b) es un número entero, entonces la ecuación se puede resolver en números enteros. Revisemos un par de ecuaciones para la posibilidad de una solución entera. Primero, verifique la ecuación 150x + 8y = 37. Usando una calculadora, encontramos mcd (150.8) = 2. Divida 37/2 = 18.5. El número no es un número entero, por lo tanto, la ecuación no tiene raíces enteras.

Comprobemos la ecuación 1320x + 1760y = 10120. Usa la calculadora para encontrar mcd(1320, 1760) = 440. Divide 10120/440 = 23. Como resultado, obtenemos un número entero, por lo tanto, la ecuación diofántica se puede resolver en coeficientes enteros. .

Conclusión

GCD y LCM juegan un papel importante en la teoría de números, y los conceptos mismos se usan ampliamente en varias áreas de las matemáticas. Usa nuestra calculadora para calcular los divisores más grandes y los múltiplos más pequeños de cualquier cantidad de números.

Las expresiones y tareas matemáticas requieren muchos conocimientos adicionales. NOC es uno de los principales, especialmente se usa a menudo en el tema.El tema se estudia en la escuela secundaria, aunque no es un material particularmente difícil de entender, no será difícil para una persona familiarizada con los poderes y la tabla de multiplicar para seleccionar los números necesarios y hallar el resultado.

Definición

Un múltiplo común es un número que se puede dividir completamente en dos números al mismo tiempo (a y b). La mayoría de las veces, este número se obtiene multiplicando los números originales a y b. El número debe ser divisible por ambos números a la vez, sin desviaciones.

NOC es un nombre corto, que se toma de las primeras letras.

Formas de obtener un número

Para encontrar el MCM, el método de multiplicar números no siempre es adecuado, es mucho más adecuado para números simples de uno o dos dígitos. Es costumbre dividir en factores, cuanto mayor sea el número, más factores habrá.

Ejemplo 1

Para el ejemplo más simple, las escuelas generalmente toman números simples, de uno o dos dígitos. Por ejemplo, necesitas resolver la siguiente tarea, encuentra el mínimo común múltiplo de los números 7 y 3, la solución es bastante simple, solo multiplícalos. Como resultado, existe el número 21, simplemente no hay un número más pequeño.

Ejemplo #2

La segunda opción es mucho más difícil. Se dan los números 300 y 1260, es obligatorio encontrar el LCM. Para resolver la tarea, se asumen las siguientes acciones:

Descomposición del primer y segundo número en los factores más simples. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. La primera etapa ha sido completada.

La segunda etapa consiste en trabajar con los datos ya obtenidos. Cada uno de los números recibidos deberá participar en el cálculo del resultado final. Para cada factor, el mayor número de ocurrencias se toma de los números originales. MCM es un número común, por lo que los factores de los números deben repetirse hasta el último, incluso aquellos que están presentes en una instancia. Ambos números iniciales tienen en su composición los números 2, 3 y 5, en diferente grado, el 7 es sólo en un caso.

Para calcular el resultado final, debe tomar cada número en la mayor de sus potencias representadas en la ecuación. Solo queda multiplicar y obtener la respuesta, con el relleno correcto, la tarea se divide en dos pasos sin explicación:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

Esa es toda la tarea, si intenta calcular el número deseado multiplicando, entonces la respuesta definitivamente no será correcta, ya que 300 * 1260 = 378,000.

Examen:

6300/300 = 21 - verdadero;

6300/1260 = 5 es correcto.

La exactitud del resultado se determina comprobando: dividiendo el MCM por ambos números originales, si el número es un número entero en ambos casos, entonces la respuesta es correcta.

¿Qué significa NOC en matemáticas?

Como sabes, no hay una sola función inútil en matemáticas, esta no es una excepción. El propósito más común de este número es llevar fracciones a un denominador común. Lo que generalmente se estudia en los grados 5-6 de la escuela secundaria. También es, además, un divisor común para todos los múltiplos, si tales condiciones están en el problema. Tal expresión puede encontrar un múltiplo no solo de dos números, sino también de un número mucho mayor: tres, cinco, etc. Cuantos más números, más acciones en la tarea, pero la complejidad de esto no aumenta.

Por ejemplo, dados los números 250, 600 y 1500, necesitas encontrar su MCM total:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - este ejemplo describe la factorización en detalle, sin reducción.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Para componer una expresión, se requiere mencionar todos los factores, en este caso se dan 2, 5, 3; para todos estos números se requiere determinar el grado máximo.

Atención: todos los multiplicadores deben simplificarse por completo, si es posible, descomponiéndolos al nivel de un solo dígito.

Examen:

1) 3000/250 = 12 - verdadero;

2) 3000/600 = 5 - verdadero;

3) 3000/1500 = 2 es correcto.

Este método no requiere trucos ni habilidades de nivel de genio, todo es simple y claro.

De otra manera

En matemáticas, mucho está conectado, mucho se puede resolver de dos o más formas, lo mismo ocurre con encontrar el mínimo común múltiplo, MCM. El siguiente método se puede utilizar en el caso de números simples de dos dígitos y de un solo dígito. Se compila una tabla en la que el multiplicador se ingresa verticalmente, el multiplicador horizontalmente y el producto se indica en las celdas que se cruzan de la columna. Puede reflejar la tabla por medio de una línea, se toma un número y los resultados de multiplicar este número por números enteros se escriben en una fila, desde 1 hasta el infinito, a veces son suficientes 3-5 puntos, el segundo y los siguientes números están sujetos al mismo proceso computacional. Todo sucede hasta que se encuentra un múltiplo común.

Dados los números 30, 35, 42, necesitas encontrar el MCM que conecta todos los números:

1) Múltiplos de 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250, etc.

2) Múltiplos de 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245, etc.

3) Múltiplos de 42: 84, 126, 168, 210, 252, etc.

Se nota que todos los números son bastante diferentes, el único número común entre ellos es el 210, por lo que será el MCM. Entre los procesos asociados con este cálculo, también está el máximo común divisor, que se calcula de acuerdo con principios similares y se encuentra a menudo en problemas vecinos. La diferencia es pequeña, pero lo suficientemente significativa, LCM involucra el cálculo de un número que es divisible por todos los valores iniciales dados, y GCD asume el cálculo del valor más grande por el cual se dividen los números iniciales.

Máximo común divisor

Definición 2

Si un número natural a es divisible por un número natural $b$, entonces $b$ se llama divisor de $a$, y el número $a$ se llama múltiplo de $b$.

Sean $a$ y $b$ números naturales. El número $c$ se llama divisor común tanto para $a$ como para $b$.

El conjunto de divisores comunes de los números $a$ y $b$ es finito, ya que ninguno de estos divisores puede ser mayor que $a$. Esto quiere decir que entre estos divisores existe el mayor, que se denomina máximo común divisor de los números $a$ y $b$, y se utiliza la notación para denotarlo:

$mcd\(a;b)\o\D\(a;b)$

Para encontrar el máximo común divisor de dos números:

1. Encuentra el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el máximo común divisor deseado.

Ejemplo 1

Encuentra el mcd de los números $121$ y $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Elija los números que se incluyen en la expansión de estos números

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Encuentra el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el máximo común divisor deseado.

$mcd=2\cdot 11=22$

Ejemplo 2

Encuentra el MCD de los monomios $63$ y $81$.

Lo encontraremos de acuerdo con el algoritmo presentado. Para esto:

Descompongamos números en factores primos

$63=3\cpunto 3\cpunto 7$

$81=3\cpunto 3\cpunto 3\cpunto 3$

Seleccionamos los números que se incluyen en la expansión de estos números

$63=3\cpunto 3\cpunto 7$

$81=3\cpunto 3\cpunto 3\cpunto 3$

Busquemos el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el máximo común divisor deseado.

$mcd=3\cdot 3=9$

Puedes encontrar el MCD de dos números de otra manera, usando el conjunto de divisores de números.

Ejemplo 3

Encuentra el mcd de los números $48$ y $60$.

Solución:

Encuentra el conjunto de divisores de $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Ahora encontremos el conjunto de divisores de $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Encontremos la intersección de estos conjuntos: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - este conjunto determinará el conjunto de divisores comunes de los números $48$ y $60 ps El elemento más grande de este conjunto será el número $12$. Así que el máximo común divisor de $48$ y $60$ es $12$.

Definición de NOC

Definición 3

múltiplo común de números naturales$a$ y $b$ es un número natural que es múltiplo de $a$ y $b$.

Los múltiplos comunes de números son números que son divisibles por el original sin resto, por ejemplo, para los números $25$ y $50$, los múltiplos comunes serán los números $50,100,150,200$, etc.

El mínimo común múltiplo se denominará mínimo común múltiplo y se denotará por MCM$(a;b)$ o K$(a;b).$

Para encontrar el MCM de dos números, necesitas:

1. Descomponer números en factores primos
2. Escribe los factores que forman parte del primer número y súmales los factores que forman parte del segundo y no van al primero

Ejemplo 4

Encuentra el MCM de los números $99$ y $77$.

Lo encontraremos de acuerdo con el algoritmo presentado. Para esto

Descomponer números en factores primos

$99=3\cpunto 3\cpunto 11$

Escriba los factores incluidos en el primero

agregarles factores que son parte del segundo y no van al primero

Encuentra el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el mínimo común múltiplo deseado

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

La compilación de listas de divisores de números suele llevar mucho tiempo. Hay una manera de encontrar GCD llamada algoritmo de Euclides.

Declaraciones en las que se basa el algoritmo de Euclides:

Si $a$ y $b$ son números naturales, y $a\vdots b$, entonces $D(a;b)=b$

Si $a$ y $b$ son números naturales tales que $b

Usando $D(a;b)= D(a-b;b)$, podemos disminuir sucesivamente los números considerados hasta llegar a un par de números tal que uno de ellos sea divisible por el otro. Entonces, el menor de estos números será el máximo común divisor deseado para los números $a$ y $b$.

Propiedades de GCD y LCM

1. Cualquier múltiplo común de $a$ y $b$ es divisible por K$(a;b)$
2. Si $a\vdots b$ , entonces K$(a;b)=a$

Si K$(a;b)=k$ y $m$-número natural, entonces K$(am;bm)=km$

Si $d$ es un divisor común para $a$ y $b$, entonces K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

Si $a\vdots c$ y $b\vdots c$ , entonces $\frac(ab)(c)$ es un múltiplo común de $a$ y $b$

Para cualquier número natural $a$ y $b$ la igualdad

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Cualquier divisor común de $a$ y $b$ es un divisor de $D(a;b)$

Para comprender cómo calcular el MCM, primero debe determinar el significado del término "múltiple".

Un múltiplo de A es un número natural que es divisible sin resto por A. Por lo tanto, 15, 20, 25, etc. pueden considerarse múltiplos de 5.

Puede haber un número limitado de divisores de un número particular, pero hay un número infinito de múltiplos.

Un múltiplo común de números naturales es un número que es divisible por ellos sin resto.

Cómo encontrar el mínimo común múltiplo de números

El mínimo común múltiplo (mcm) de números (dos, tres o más) es el número natural más pequeño que es divisible por todos estos números.

Para encontrar el NOC, puede utilizar varios métodos.

Para números pequeños, conviene escribir en una línea todos los múltiplos de estos números hasta encontrar uno común entre ellos. Los múltiplos se denotan en el registro con una letra mayúscula K.

Por ejemplo, los múltiplos de 4 se pueden escribir así:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Entonces, puedes ver que el mínimo común múltiplo de los números 4 y 6 es el número 24. Esta entrada se realiza de la siguiente manera:

MCM(4, 6) = 24

Si los números son grandes, encuentre el múltiplo común de tres o más números, entonces es mejor usar otra forma de calcular el MCM.

Para completar la tarea, es necesario descomponer los números propuestos en factores primos.

Primero debe escribir la expansión del mayor de los números en una línea y, debajo, el resto.

En la expansión de cada número, puede haber un número diferente de factores.

Por ejemplo, factoricemos los números 50 y 20 en factores primos.

En la expansión del número más pequeño, se deben subrayar los factores que faltan en la expansión del primer número más grande y luego sumarlos. En el ejemplo presentado, falta un dos.

Ahora podemos calcular el mínimo común múltiplo de 20 y 50.

MCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Así, el producto de los factores primos del número mayor y los factores del segundo número, que no están incluidos en la descomposición del número mayor, será el mínimo común múltiplo.

Para encontrar el MCM de tres o más números, todos ellos deben descomponerse en factores primos, como en el caso anterior.

Como ejemplo, puedes encontrar el mínimo común múltiplo de los números 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Así, sólo dos doses de la descomposición de dieciséis no se incluyeron en la factorización de un número mayor (uno está en la descomposición de veinticuatro).

Por lo tanto, deben agregarse a la descomposición de un número mayor.

MCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Hay casos especiales de determinación del mínimo común múltiplo. Entonces, si uno de los números se puede dividir sin resto por otro, entonces el mayor de estos números será el mínimo común múltiplo.

Por ejemplo, los NOC de doce y veinticuatro serían veinticuatro.

Si es necesario encontrar el mínimo común múltiplo de números coprimos que no tienen los mismos divisores, entonces su MCM será igual a su producto.

Por ejemplo, MCM(10, 11) = 110.