Тангента на функция в точка. онлайн калкулатор

Статията дава подробно обяснение на определенията, геометричния смисъл на производната с графично означение. Уравнението на допирателната ще бъде разгледано с примери, ще бъдат намерени уравненията на допирателната към криви от 2-ри ред.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Ъгълът на наклона на правата линия y \u003d k x + b се нарича ъгъл α, който се измерва от положителната посока на оста x към правата линия y \u003d k x + b в положителната посока.

На фигурата посоката на вола е обозначена със зелена стрелка и зелена дъга, а ъгълът на наклона с червена дъга. Синята линия се отнася за права линия.

Определение 2

Наклонът на правата линия y \u003d k x + b се нарича числов коефициент k.

Наклонът е равен на наклона на правата линия, с други думи k = t g α .

• Наклонът на правата линия е 0 само когато o x е успоредна и наклонът е равен на нула, тъй като тангенсът на нула е 0. Така че формата на уравнението ще бъде y = b.
• Ако ъгълът на наклона на правата линия y = k x + b е остър, тогава условията 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 и има увеличение на графиката.
• Ако α \u003d π 2, тогава местоположението на линията е перпендикулярно на x. Равенството се определя от равенството x = c, като стойността c е реално число.
• Ако ъгълът на наклона на правата линия y = k x + b е тъп, тогава той съответства на условията π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Определение 3

Секансът е права линия, която минава през 2 точки на функцията f (x). С други думи, секансът е права линия, която минава през произволни две точки от графиката на дадена функция.

Фигурата показва, че A B е секанс, а f (x) е черна крива, α е червена дъга, показваща ъгъла на наклон на секанса.

Когато наклонът на права линия е равен на тангенса на ъгъла на наклон, ясно е, че тангентата от правоъгълен триъгълник A B C може да се намери по отношение на противоположния катет на съседния.

Определение 4

Получаваме формулата за намиране на секанса на формата:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, където абсцисите на точките A и B са стойностите x A, x B и f (x A), f (x B) са функциите на стойностите в тези точки.

Очевидно наклонът на секанса се определя с помощта на равенството k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A или k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B и уравнението трябва да бъде написано като y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) или
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Секансът визуално разделя графиката на 3 части: вляво от точка А, от А до В, вдясно от В. Фигурата по-долу показва, че има три секанса, които се считат за еднакви, т.е. задайте с помощта на подобно уравнение.

По дефиниция е ясно, че в този случай правата и нейният секанс съвпадат.

Секансът може да пресича графиката на дадена функция многократно. Ако има уравнение под формата y \u003d 0 за секанса, тогава броят на пресечните точки със синусоидата е безкраен.

Определение 5

Допирателна към графиката на функцията f (x) в точката x 0 ; f (x 0) се нарича права, минаваща през дадена точка x 0; f (x 0) , с наличието на сегмент, който има много x стойности, близки до x 0 .

Пример 1

Нека разгледаме по-отблизо примера по-долу. Тогава може да се види, че правата, дадена от функцията y = x + 1, се счита за допирателна към y = 2 x в точката с координати (1 ; 2) . За по-голяма яснота е необходимо да се разгледат графики със стойности, близки до (1; 2). Функцията y = 2 x е маркирана в черно, синята линия е допирателната, червената точка е пресечната точка.

Очевидно y \u003d 2 x се слива с линията y \u003d x + 1.

За да се определи допирателната, трябва да се разгледа поведението на допирателната A B, когато точка B се приближава безкрайно до точка A. За яснота представяме фигура.

Секущата A B, обозначена със синята линия, клони към позицията на самата допирателна и ъгълът на наклон на секущата α ще започне да се доближава до ъгъла на наклон на самата допирателна α x.

Определение 6

Допирателната към графиката на функцията y \u003d f (x) в точка A е граничната позиция на секанса A B при B, клоняща към A, т.е. B → A.

Сега се обръщаме към разглеждането на геометричния смисъл на производната на функция в точка.

Нека преминем към разглеждането на секанса A B за функцията f (x), където A и B с координати x 0, f (x 0) и x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) и ∆ x се обозначава като нарастване на аргумента. Сега функцията ще приеме формата ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . За по-голяма яснота, нека вземем снимка като пример.

Помислете за полученото правоъгълен триъгълник A B C. Използваме дефиницията на тангенса за решението, т.е. получаваме отношението ∆ y ∆ x = t g α . От определението за допирателна следва, че lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Съгласно правилото за производна в точка имаме, че производната f (x) в точката x 0 се нарича граница на отношението на нарастването на функцията към увеличението на аргумента, където ∆ x → 0, тогава означен като f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

От това следва, че f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, където k x е означено като наклон на допирателната.

Тоест получаваме, че f ' (x) може да съществува в точката x 0 и, както и допирателната към дадената графика на функцията в точката на контакт, равна на x 0 , f 0 (x 0) , където стойността на наклона на тангентата в точката е равна на производната в точката x 0 . Тогава получаваме, че k x = f "(x 0) .

Геометричният смисъл на производната на функция в точка е, че е дадено понятието за съществуването на допирателна към графиката в същата точка.

За да се напише уравнението на която и да е права линия в равнината, е необходимо да има наклон с точката, през която тя минава. Неговото обозначение се приема като x 0 в пресечната точка.

Уравнението на допирателната към графиката на функцията y \u003d f (x) в точката x 0, f 0 (x 0) приема формата y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) .

Това означава, че крайната стойност на производната f "(x 0) може да определи позицията на допирателната, тоест вертикално при условието lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ и lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ или изобщо липсва при условието lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) .

Местоположението на допирателната зависи от стойността на нейния наклон k x \u003d f "(x 0). Когато е успоредна на оста x, получаваме, че k k = 0, когато е успоредна на около y - k x \u003d ∞, и формата на уравнението на допирателната x \u003d x 0 нараства с k x > 0, намалява като k x< 0 .

Пример 2

Съставете уравнението на допирателната към графиката на функцията y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 в точка с координати (1; 3) с определението на ъгъла на наклон.

Решение

По предположение имаме, че функцията е дефинирана за всички реални числа. Получаваме, че точката с координати, зададени от условието (1 ; 3), е точката на контакт, тогава x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

Необходимо е да се намери производната в точката със стойност - 1 . Разбираме това

y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Стойността на f ’ (x) в точката на контакт е наклонът на тангентата, който е равен на тангенса на наклона.

Тогава k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

От това следва, че α x = a r c t g 3 3 = π 6

Отговор:уравнението на допирателната приема формата

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

За по-голяма яснота даваме пример в графична илюстрация.

Черният цвят се използва за графиката на оригиналната функция, синият цвят е допирателното изображение, червената точка е точката на допир. Фигурата вдясно показва увеличен изглед.

Пример 3

Открийте съществуването на допирателна към графиката на дадена функция
y = 3 x - 1 5 + 1 в точката с координати (1 ; 1) . Напишете уравнение и определете ъгъла на наклона.

Решение

По предположение имаме, че домейнът на дадената функция е множеството от всички реални числа.

Нека да преминем към намирането на производната

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ако x 0 = 1, тогава f ' (x) не е дефинирано, но границите са записани като lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ и lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , което означава съществуваща вертикална допирателна при точка (1 ; 1) .

Отговор:уравнението ще приеме формата x \u003d 1, където ъгълът на наклон ще бъде равен на π 2.

Нека го изобразим на графика за по-голяма яснота.

Пример 4

Намерете точките от графиката на функцията y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , където

1. Допирателната не съществува;
2. Допирателната е успоредна на x;
3. Допирателната е успоредна на правата y = 8 5 x + 4 .

Решение

Необходимо е да се обърне внимание на областта на дефиницията. По предположение имаме, че функцията е дефинирана върху множеството от всички реални числа. Разширете модула и решете системата с интервали x ∈ - ∞ ; 2 и [-2; +∞). Разбираме това

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Функцията трябва да се диференцира. Ние имаме това

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 ", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Когато x = - 2, тогава производната не съществува, тъй като едностранните граници не са равни в тази точка:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Изчисляваме стойността на функцията в точката x \u003d - 2, където получаваме това

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, т.е. допирателната към точка (- 2; - 2) няма да съществува.
2. Допирателната е успоредна на x, когато наклонът е нула. Тогава k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0). Това означава, че е необходимо да се намерят стойностите на такова x, когато производната на функцията го превръща в нула. Тоест стойностите ​​на f ' (x) и ще бъдат допирни точки, където допирателната е успоредна на x.

Когато x ∈ - ∞ ; - 2 , след това - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 , и за x ∈ (- 2 ; + ∞) получаваме 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Изчисляваме съответните стойности на функцията

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Следователно - 5; 8 5 , - 4 ; 4 3 , 1 ; 85, 3; 4 3 се считат за желани точки от графиката на функцията.

Помислете за графично представяне на решението.

Черната линия е графиката на функцията, червените точки са допирните точки.

1. Когато линиите са успоредни, наклоните са равни. След това е необходимо да се търсят точки от графиката на функцията, където наклонът ще бъде равен на стойността 8 5 . За да направите това, трябва да решите уравнение от формата y "(x) = 8 5. Тогава, ако x ∈ - ∞; - 2, получаваме, че - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5 и ако x ∈ ( - 2 ; + ∞) , тогава 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

Първото уравнение няма корени, тъй като дискриминантът е по-малък от нула. Нека запишем това

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Тогава друго уравнение има два реални корена

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Нека да преминем към намирането на стойностите на функцията. Разбираме това

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Точки със стойности - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 са точките, където допирателните са успоредни на правата y = 8 5 x + 4 .

Отговор:черна линия - графика на функцията, червена линия - графика y \u003d 8 5 x + 4, синя линия - допирателни в точки - 1; 4 15 , 5 ; 8 3 .

Възможно е съществуването на безкраен брой допирателни за дадени функции.

Пример 5

Напишете уравненията на всички налични тангенси на функцията y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , които са перпендикулярни на правата y = - 2 x + 1 2 .

Решение

За да се състави уравнението на допирателната, е необходимо да се намерят коефициентът и координатите на точката на контакт въз основа на условието за перпендикулярност на линиите. Дефиницията звучи така: произведението на наклоните, които са перпендикулярни на правите линии, е равно на - 1, тоест се записва като k x · k ⊥ = - 1. От условието имаме, че наклонът е перпендикулярен на правата и е равен на k ⊥ = - 2, тогава k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Сега трябва да намерим координатите на допирните точки. Трябва да намерите x, след което стойността му за дадена функция. Обърнете внимание, че от геометричния смисъл на производната в точката
x 0 получаваме, че k x \u003d y "(x 0) . От това равенство намираме x стойностите за допирните точки.

Разбираме това

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 19

Това тригонометрично уравнение ще се използва за изчисляване на ординатите на допирните точки.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk или x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z е множеството от цели числа.

Намерени са x точки за контакт. Сега трябва да отидете на търсенето на y стойности:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 или y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 или y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 или y 0 = - 4 5 + 1 3

От тук получаваме, че 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 са допирни точки.

Отговор:необходимите уравнения ще бъдат записани като

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

За визуално представяне разгледайте функцията и тангентата върху координатната права.

Фигурата показва, че местоположението на функцията е на интервала [ - 10 ; 10 ] , където черната линия е графиката на функцията, сините линии са допирателни, които са перпендикулярни на дадената права от вида y = - 2 x + 1 2 . Червените точки са допирни точки.

Каноничните уравнения на криви от 2-ри ред не са еднозначни функции. Тангентните уравнения за тях се съставят по добре известни схеми.

Допирателна към окръжност

За да зададете окръжност с център точка x c e n t e r ; y c e n t e r и радиус R се използва формулата x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2.

Това равенство може да се запише като обединение на две функции:

y = R 2 - x - x център 2 + y център y = - R 2 - x - x център 2 + y център

Първата функция е отгоре, а втората отдолу, както е показано на фигурата.

Да се ​​състави уравнение на окръжност в точка x 0 ; y 0 , който се намира в горния или долния полукръг, трябва да намерите уравнението на графиката на функцията под формата y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r или y \u003d - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r в посочената точка.

Когато в точки x c e n t e r ; y център + R и x център; y c e n t e r - R допирателните могат да бъдат дадени чрез уравненията y = y c e n t e r + R и y = y c e n t e r - R , и в точки x c e n t e r + R ; y c e n t e r и
x c e n t e r - R; y c e n t e r ще бъде успореден на y, тогава ще получим уравнения от вида x = x c e n t e r + R и x = x c e n t e r - R .

Допирателна до елипса

Когато елипсата е центрирана в x c e n t e r ; y c e n t e r с полуоси a и b , то може да се даде с помощта на уравнението x-x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

Елипса и кръг могат да бъдат обозначени чрез комбиниране на две функции, а именно горната и долната полуелипса. Тогава разбираме това

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Ако допирателните са разположени във върховете на елипсата, тогава те са успоредни около x или около y. За по-голяма яснота разгледайте фигурата по-долу.

Пример 6

Напишете уравнението на допирателната към елипсата x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 в точки с x стойности, равни на x = 2 .

Решение

Необходимо е да се намерят допирни точки, които съответстват на стойността x = 2. Правим заместване в съществуващото уравнение на елипсата и получаваме това

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

След това 2; 5 3 2 + 5 и 2 ; - 5 3 2 + 5 са ​​допирателните точки, които принадлежат на горната и долната полуелипсата.

Нека да преминем към намирането и разрешаването на уравнението на елипса по отношение на y. Разбираме това

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Очевидно е, че горната полуелипса е зададена с помощта на функция от вида y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 , а долната y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

Прилагаме стандартния алгоритъм, за да формулираме уравнението на допирателната към графиката на функция в точка. Записваме, че уравнението за първата допирателна в точка 2 ; 5 3 2 + 5 ще изглежда така

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Получаваме, че уравнението на втората допирателна със стойността в точката
2; - 5 3 2 + 5 става

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Графично тангентите се обозначават, както следва:

Допирателна към хипербола

Когато хиперболата има център в точката x c e n t e r ; y c e n t e r и върхове x c e n t e r + α ; y c e n t e r и x c e n t e r - α; y c e n t e r , неравенството x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 е дадено, ако с върхове x c e n t e r ; y център + b и x център; y c e n t e r - b тогава се дава от неравенството x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Една хипербола може да бъде представена като две комбинирани функции на формата

y = b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r или y = b a (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a (x - x c e r ) 2 + a 2 + y център

В първия случай имаме, че допирателните са успоредни на у, а във втория са успоредни на х.

От това следва, че за да се намери уравнението на допирателна към хипербола, е необходимо да се установи към коя функция принадлежи допирателната точка. За да се определи това, е необходимо да се направи заместване в уравненията и да се провери тяхната идентичност.

Пример 7

Напишете уравнението на допирателната към хиперболата x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 в точка 7; - 3 3 - 3 .

Решение

Необходимо е да се трансформира записът на решението за намиране на хипербола с помощта на 2 функции. Разбираме това

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 или y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Необходимо е да се установи към коя функция принадлежи дадената точка с координати 7; - 3 3 - 3 .

Очевидно, за да проверите първата функция, имате нужда от y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , тогава точката не принадлежи на графиката, тъй като равенството не е спазено.

За втората функция имаме, че y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , което означава, че точката принадлежи на дадената графика. От тук трябва да намерите коефициента на наклона.

Разбираме това

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Отговор:уравнението на допирателната може да бъде представено като

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Тя се визуализира по следния начин:

Допирателна към парабола

За да съставите уравнението на допирателната към параболата y \u003d a x 2 + b x + c в точката x 0, y (x 0) , трябва да използвате стандартния алгоритъм, след което уравнението ще приеме формата y \u003d y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Такава допирателна при върха е успоредна на x.

Параболата x = a y 2 + b y + c трябва да се дефинира като обединение на две функции. Следователно трябва да решим уравнението за y. Разбираме това

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Нека го начертаем като:

За да разберете дали точка x 0 , y (x 0) принадлежи на функция, внимателно следвайте стандартния алгоритъм. Такава допирателна ще бъде успоредна на y по отношение на параболата.

Пример 8

Напишете уравнението на допирателната към графиката x - 2 y 2 - 5 y + 3, когато имаме наклон на допирателната от 150 °.

Решение

Започваме решението, като представяме параболата като две функции. Разбираме това

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 х - 4

Стойността на наклона е равна на стойността на производната в точката x 0 на тази функция и е равна на тангенса на наклона.

Получаваме:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Оттук определяме стойността на x за допирните точки.

Първата функция ще бъде написана като

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Очевидно няма реални корени, тъй като получихме отрицателна стойност. Заключаваме, че няма тангенс с ъгъл от 150 ° за такава функция.

Втората функция ще бъде написана като

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Имаме, че допирните точки - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Отговор:уравнението на допирателната приема формата

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Нека го начертаем така:

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Y \u003d f (x) и ако в тази точка може да се начертае допирателна към графиката на функцията, която не е перпендикулярна на оста x, тогава наклонът на допирателната е f "(a). Вече използвахме това няколко пъти , Например в § 33 беше установено, че графиката на функцията y \u003d sin x (синусоида) в началото образува ъгъл от 45 ° с абсцисната ос (по-точно допирателната към графиката при начало сключва ъгъл от 45 ° с положителната посока на оста x), а в пример 5 от § 33 точки бяха намерени по даден график функции, в която допирателната е успоредна на оста x. В пример 2 § 33 е съставено уравнение за допирателната към графиката на функцията y \u003d x 2 в точката x \u003d 1 (по-точно в точката (1; 1), но по-често само посочена е стойността на абсцисата, като се приема, че ако стойността на абсцисата е известна, тогава стойността на ординатата може да се намери от уравнението y = f(x)). В този раздел ще разработим алгоритъм за съставяне на уравнението на допирателната към графиката на всяка функция.

Нека функцията y \u003d f (x) и точката M (a; f (a)) са дадени и също така е известно, че f "(a) съществува. Нека съставим уравнението на допирателната към графиката на дадената функция в дадена точка Това уравнение е като уравнението на всяка права линия, която не е успоредна на оста y, има формата y = kx + m, така че проблемът е да се намерят стойностите на коефициентите k и м.

Няма проблеми с наклона k: знаем, че k \u003d f "(a). За да изчислим стойността на m, използваме факта, че желаната линия минава през точката M (a; f (a)). Това означава, че ако заместим координатните точки M в уравнението на права линия, получаваме правилното равенство: f (a) \u003d ka + m, откъдето намираме, че m \u003d f (a) - ka.
Остава да заменим намерените стойности на коефициентите на китовете в уравнениетоправ:

Получихме уравнението на допирателната към графиката на функцията y \u003d f (x) в точката x \u003d a.
ако, кажи,
Замествайки в уравнение (1) намерените стойности a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) = 2, получаваме: y \u003d 1 + 2 (x-f), т.е. y = 2x -1.
Сравнете този резултат с този, получен в пример 2 на § 33. Естествено, същото се случи.
Нека съставим уравнението на допирателната към графиката на функцията y \u003d tg x в началото. Ние имаме: следователно cos x f "(0) = 1. Замествайки намерените стойности a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 в уравнение (1), получаваме: y \u003d x .
Ето защо начертахме тангентоида в § 15 (виж фиг. 62) през началото на координатите под ъгъл 45 ° спрямо абсцисната ос.
Решавайки тези доста прости примери, ние всъщност използвахме определен алгоритъм, който е заложен във формула (1). Нека направим този алгоритъм ясен.

АЛГОРИТЪМ ЗА СЪСТАВЯНЕ НА УРАВНЕНИЕТО НА ФУНКЦИЯТА, ДОПАТНА КЪМ ГРАФИКАТА y \u003d f (x)

1) Обозначете абсцисата на точката на контакт с буквата a.
2) Изчислете 1 (а).
3) Намерете f "(x) и изчислете f" (a).
4) Заместете намерените числа a, f(a), (a) във формула (1).

Пример 1Напишете уравнение за допирателната към графиката на функцията в точката x = 1.
Нека използваме алгоритъма, като вземем предвид това в този пример

На фиг. 126 показва хипербола, изградена е права линия y \u003d 2x.
Чертежът потвърждава дадените изчисления: наистина линията y \u003d 2-x докосва хиперболата в точката (1; 1).

Отговор: y \u003d 2-x.
Пример 2Начертайте допирателна към графиката на функцията, така че да е успоредна на правата линия y \u003d 4x - 5.
Нека прецизираме формулировката на проблема. Изискването за „начертаване на допирателна“ обикновено означава „направете уравнение за допирателна“. Това е логично, защото ако човек е успял да състави уравнение за допирателна, тогава е малко вероятно да изпита трудности при конструирането на права линия в координатната равнина според нейното уравнение.
Нека използваме алгоритъма за съставяне на уравнението на допирателната, като се има предвид, че в този пример Но, за разлика от предишния пример, тук има неяснота: абсцисата на допирателната точка не е изрично посочена.
Нека започнем да говорим така. Желаната допирателна трябва да е успоредна на правата линия y \u003d 4x-5. Две прави са успоредни тогава и само ако техните наклони са еднакви. Това означава, че наклонът на тангентата трябва да бъде равен на наклона на дадената права линия: По този начин можем да намерим стойността на a от уравнението f "(a) \u003d 4.
Ние имаме:
От уравнението И така, има две допирателни, които отговарят на условията на задачата: едната в точката с абсцисата 2, другата в точката с абсцисата -2.
Сега можете да действате според алгоритъма.

Пример 3От точката (0; 1) начертайте допирателна към графиката на функцията
Нека използваме алгоритъма за съставяне на уравнението на допирателната, като се има предвид, че в този пример Обърнете внимание, че тук, както в пример 2, абсцисата на допирателната точка не е изрично посочена. Въпреки това действаме според алгоритъма.

По условие допирателната минава през точката (0; 1). Замествайки в уравнение (2) стойностите x = 0, y = 1, получаваме:
Както можете да видите, в този пример само на четвъртата стъпка от алгоритъма успяхме да намерим абсцисата на точката на допир. Замествайки стойността a \u003d 4 в уравнение (2), получаваме:

На фиг. 127 показва геометрична илюстрация на разглеждания пример: графика на функцията

В § 32 отбелязахме, че за функция y = f(x), която има производна във фиксирана точка x, е валидно приблизителното равенство:

За удобство на по-нататъшните разсъждения променяме нотацията: вместо x ще напишем a, вместо това ще напишем x и съответно вместо това ще напишем x-a. Тогава приблизителното равенство, написано по-горе, ще приеме формата:

Сега погледнете фиг. 128. Начертава се допирателна към графиката на функцията y \u003d f (x) в точка M (a; f (a)). Маркирана точка x на оста x близо до a. Ясно е, че f(x) е ординатата на графиката на функцията в определената точка x. И какво е f (a) + f "(a) (x-a)? Това е ординатата на допирателната, съответстваща на същата точка x - вижте формула (1). Какво е значението на приблизителното равенство (3)? Това до изчислява се приблизителната стойност на функцията, като се взема стойността на допирателната ордината.

Пример 4Намерете приблизителната стойност на числовия израз 1,02 7 .
Говорим за намиране на стойността на функцията y \u003d x 7 в точката x \u003d 1,02. Използваме формула (3), като вземем предвид това в този пример
В резултат на това получаваме:

Ако използваме калкулатор, получаваме: 1,02 7 = 1,148685667...
Както можете да видите, точността на приближението е доста приемлива.
Отговор: 1,02 7 =1,14.

А.Г. Мордкович алгебра 10 клас

Календарно-тематично планиране по математика, видеопо математика онлайн, Математика в училище изтегляне

Съдържание на урока резюме на урокаопорна рамка презентация на уроци ускорителни методи интерактивни технологии Практикувайте задачи и упражнения самопроверка работилници, обучения, казуси, куестове домашни дискусионни въпроси риторични въпроси от студенти Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картинки графики, таблици, схеми хумор, анекдоти, вицове, комикси притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии чипове за любознателни измамни листове учебници основни и допълнителни речник на термините други Подобряване на учебниците и уроцитекоригиране на грешки в учебникаактуализиране на фрагмент в учебника елементи на иновация в урока замяна на остарели знания с нови Само за учители перфектни уроцикалендарен план за годината методически препоръки на дискусионната програма Интегрирани уроци

Тангентата е права линия , която докосва графиката на функцията в една точка и всички точки на която са на най-малко разстояние от графиката на функцията. Следователно допирателната преминава допирателна към графиката на функцията под определен ъгъл и няколко допирателни не могат да преминават през допирателната точка под различни ъгли. Уравненията на допирателната и уравненията на нормалата към графиката на функцията се съставят с помощта на производната.

Уравнението на допирателната се извлича от уравнението на правата линия .

Извеждаме уравнението на допирателната, а след това и уравнението на нормалата към графиката на функцията.

г = kx + b .

В него к- ъглов коефициент.

От тук получаваме следния запис:

г - г 0 = к(х - х 0 ) .

Производна стойност f "(х 0 ) функции г = f(х) в точката х0 равен на наклона к=tg φ допирателна към графиката на функция, начертана през точка М0 (х 0 , г 0 ) , където г0 = f(х 0 ) . Ето какво геометричен смисъл на производната .

Така можем да заменим кна f "(х 0 ) и вземете следното уравнението на допирателната към графиката на функцията :

г - г 0 = f "(х 0 )(х - х 0 ) .

В задачите за съставяне на уравнението на допирателна към графиката на функция (а ние скоро ще преминем към тях) се изисква уравнението, получено от горната формула, да се доведе до общо уравнение на права линия. За да направите това, трябва да прехвърлите всички букви и цифри в лявата страна на уравнението и да оставите нула от дясната страна.

Сега за нормалното уравнение. нормално е права линия, минаваща през допирателната точка към графиката на функцията, перпендикулярна на допирателната. Нормално уравнение :

(х - х 0 ) + f "(х 0 )(г - г 0 ) = 0

За да загреете първия пример, трябва да го решите сами и след това да разгледате решението. Има всички основания да се надяваме, че тази задача няма да се окаже „студен душ“ за нашите читатели.

Пример 0.Съставете уравнението на допирателната и уравнението на нормалата към графиката на функцията в точка М (1, 1) .

Пример 1Съставете уравнението на допирателната и уравнението на нормалата към графиката на функцията ако абсцисата на допирната точка е .

Нека намерим производната на функцията:

Сега имаме всичко, което трябва да бъде заменено в записа, даден в теоретичната справка, за да получим уравнението на допирателната. Получаваме

В този пример имахме късмет: наклонът се оказа равен на нула, така че нямаше нужда отделно да привеждаме уравнението в общ вид. Сега можем да напишем нормалното уравнение:

На снимката по-долу: графика на функция в бордо, допирателна в зелено, нормала в оранжево.

Следващият пример също не е сложен: функцията, както и в предишния, също е полином, но коефициентът на наклона няма да бъде равен на нула, така че ще бъде добавена още една стъпка - привеждане на уравнението в общ вид.

Пример 2

Решение. Нека намерим ординатата на допирната точка:

Нека намерим производната на функцията:

.

Нека намерим стойността на производната в точката на контакт, тоест наклона на тангентата:

Заместваме всички получени данни в "празна формула" и получаваме уравнението на допирателната:

Привеждаме уравнението в общ вид (събираме всички букви и цифри, различни от нула, от лявата страна и оставяме нула от дясната страна):

Съставяме уравнението на нормалното:

Пример 3Съставете уравнението на допирателната и уравнението на нормалата към графиката на функцията, ако абсцисата на допирателната точка е .

Решение. Нека намерим ординатата на допирната точка:

Нека намерим производната на функцията:

.

Нека намерим стойността на производната в точката на контакт, тоест наклона на тангентата:

.

Намираме уравнението на допирателната:

Преди да приведете уравнението в общ вид, трябва да го „комбинирате“ малко: умножете член по член по 4. Правим това и привеждаме уравнението в общ вид:

Съставяме уравнението на нормалното:

Пример 4Съставете уравнението на допирателната и уравнението на нормалата към графиката на функцията, ако абсцисата на допирателната точка е .

Решение. Нека намерим ординатата на допирната точка:

.

Нека намерим производната на функцията:

Нека намерим стойността на производната в точката на контакт, тоест наклона на тангентата:

.

Получаваме уравнението на допирателната:

Привеждаме уравнението в общ вид:

Съставяме уравнението на нормалното:

Често срещана грешка при писане на допирателни и нормални уравнения е да не забележите, че дадената в примера функция е сложна и да изчислите нейната производна като производна на проста функция. Следните примери вече са сложни функции(съответният урок ще се отвори в нов прозорец).

Пример 5Съставете уравнението на допирателната и уравнението на нормалата към графиката на функцията, ако абсцисата на допирателната точка е .

Решение. Нека намерим ординатата на допирната точка:

внимание! Тази функция е сложна, тъй като аргументът на тангенса (2 х) сама по себе си е функция. Следователно, ние намираме производната на функция като производна на сложна функция.

Пример 1Дадена функция f(х) = 3х 2 + 4х– 5. Да напишем уравнението на допирателната към графиката на функцията f(х) в точката на графиката с абсцисата х 0 = 1.

Решение.Производна на функция f(х) съществува за всяко x Р . Нека го намерим:

= (3х 2 + 4х– 5)′ = 6 х + 4.

Тогава f(х 0) = f(1) = 2; (х 0) = = 10. Уравнението на допирателната има формата:

г = (х 0) (х – х 0) + f(х 0),

г = 10(х – 1) + 2,

г = 10х – 8.

Отговор. г = 10х – 8.

Пример 2Дадена функция f(х) = х 3 – 3х 2 + 2х+ 5. Да напишем уравнението на допирателната към графиката на функцията f(х), успоредна на правата г = 2х – 11.

Решение.Производна на функция f(х) съществува за всяко x Р . Нека го намерим:

= (х 3 – 3х 2 + 2х+ 5)′ = 3 х 2 – 6х + 2.

Тъй като допирателната към графиката на функцията f(х) в точката с абсцисата х 0 е успореден на правата г = 2х– 11, тогава наклонът му е 2, т.е. х 0) = 2. Намерете тази абциса от условието, че 3 х– 6х 0 + 2 = 2. Това равенство е валидно само за х 0 = 0 и х 0 = 2. Тъй като и в двата случая f(х 0) = 5, след това правата линия г = 2х + bдокосва графиката на функцията или в точка (0; 5), или в точка (2; 5).

В първия случай численото равенство е вярно 5 = 2×0 + b, където b= 5, а във втория случай численото равенство е вярно 5 = 2 × 2 + b, където b = 1.

Така че има две допирателни г = 2х+ 5 и г = 2х+ 1 към графиката на функцията f(х) успоредна на правата г = 2х – 11.

Отговор. г = 2х + 5, г = 2х + 1.

Пример 3Дадена функция f(х) = х 2 – 6х+ 7. Да напишем уравнението на допирателната към графиката на функцията f(х), преминаваща през точката А (2; –5).

Решение.защото f(2) –5, след това точката Ане принадлежи към графиката на функцията f(х). Позволявам х 0 - абсцисата на точката на допир.

Производна на функция f(х) съществува за всяко x Р . Нека го намерим:

= (х 2 – 6х+ 1)′ = 2 х – 6.

Тогава f(х 0) = х– 6х 0 + 7; (х 0) = 2х 0 - 6. Уравнението на допирателната има формата:

г = (2х 0 – 6)(х – х 0) + х– 6х+ 7,

г = (2х 0 – 6)х– х+ 7.

Тъй като точката Апринадлежи на тангентата, то численото равенство е вярно

–5 = (2х 0 – 6)×2– х+ 7,

където х 0 = 0 или х 0 = 4. Това означава, че през точката Авъзможно е да се начертаят две допирателни към графиката на функцията f(х).

Ако х 0 = 0, тогава уравнението на допирателната има формата г = –6х+ 7. Ако х 0 = 4, тогава уравнението на допирателната има формата г = 2х – 9.

Отговор. г = –6х + 7, г = 2х – 9.

Пример 4Дадени функции f(х) = х 2 – 2х+ 2 и ж(х) = –х 2 - 3. Нека напишем уравнението на общата допирателна към графиките на тези функции.

Решение.Позволявам х 1 - абсцисата на точката на контакт на желаната линия с графиката на функцията f(х), а х 2 - абсцисата на точката на контакт на същата линия с графиката на функцията ж(х).

Производна на функция f(х) съществува за всяко x Р . Нека го намерим:

= (х 2 – 2х+ 2)′ = 2 х – 2.

Тогава f(х 1) = х– 2х 1 + 2; (х 1) = 2х 1 - 2. Уравнението на допирателната има формата:

г = (2х 1 – 2)(х – х 1) + х– 2х 1 + 2,

г = (2х 1 – 2)х – х+ 2. (1)

Нека намерим производната на функцията ж(х):

= (–х 2 – 3)′ = –2 х.

Видео урокът "Уравнение на допирателната към графиката на функция" демонстрира учебен материал за усвояване на темата. По време на видео урока е представен теоретичният материал, необходим за формиране на понятието уравнение на допирателната към графиката на функция в дадена точка, алгоритъмът за намиране на такава допирателна, примери за решаване на задачи с помощта на изучените теоретични описани са материали.

Видео урокът използва методи, които подобряват видимостта на материала. Чертежи, диаграми се вмъкват в изгледа, дават се важни гласови коментари, прилагат се анимация, цветно подчертаване и други инструменти.

Видео урокът започва с представяне на темата на урока и изображение на допирателна към графиката на функция y=f(x) в точка M(a;f(a)). Известно е, че наклонът на допирателната, начертана към графиката в дадена точка, е равен на производната на функцията f΄(a) в дадена точка. Също така от курса по алгебра е известно уравнението на правата линия y=kx+m. Схематично е представено решението на проблема за намиране на уравнението на допирателната в точка, което се свежда до намиране на коефициентите k, m. Знаейки координатите на точката, принадлежаща на графиката на функцията, можем да намерим m, като заместим стойността на координатите в уравнението на допирателната f(a)=ka+m. От него намираме m=f(a)-ka. По този начин, знаейки стойността на производната в дадена точка и координатите на точката, можем да представим уравнението на допирателната по този начин y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Следва пример за съставяне на уравнение на допирателната по схемата. Дадена е функция y=x 2 , x=-2. Приемайки a=-2, намираме стойността на функцията в тази точка f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Определяме производната на функцията f΄(х)=2х. В този момент производната е равна на f΄(a)= f΄(-2)=2 (-2)=-4. За съставяне на уравнението се намират всички коефициенти a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, така че уравнението на допирателната y=4+(-4)(x+2). Опростявайки уравнението, получаваме y \u003d -4-4x.

В следващия пример се предлага да се формулира уравнението на допирателната в началото на графиката на функцията y=tgx. В тази точка a=0, f(0)=0, f΄(х)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Така че уравнението на допирателната изглежда като y=x.

Като обобщение, процесът на съставяне на уравнението на допирателната към графиката на функцията в даден момент е формализиран като алгоритъм, състоящ се от 4 стъпки:

• Въвежда се обозначение за абсцисата на точката на контакт;
• f(a) се изчислява;
• Определя се F΄(х) и се изчислява f΄(a). Намерените стойности a, f(a), f΄(a) се заместват във формулата на уравнението на допирателната y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Пример 1 разглежда съставянето на уравнението на допирателната към графиката на функцията y \u003d 1 / x в точката x \u003d 1. Използваме алгоритъм за решаване на проблема. За тази функция в точка a=1 стойността на функцията f(a)=-1. Производна на функцията f΄(х)=1/х 2 . В точка a=1, производната f΄(a)= f΄(1)=1. Използвайки получените данни, се съставя уравнението на допирателната y \u003d -1 + (x-1) или y \u003d x-2.

В пример 2 трябва да намерите уравнението на допирателната към графиката на функцията y \u003d x 3 +3x 2 -2x-2. Основното условие е успоредността на допирателната и правата линия y \u003d -2x + 1. Първо, намираме наклона на допирателната, равен на наклона на правата линия y \u003d -2x + 1. Тъй като f΄(a)=-2 за тази права линия, тогава k=-2 за желаната допирателна. Намираме производната на функцията (x 3 + 3x 2 -2x-2) ΄ \u003d 3x 2 + 6x-2. Като знаем, че f΄(a)=-2, намираме координатите на точката 3а 2 +6а-2=-2. Решавайки уравнението, получаваме 1 \u003d 0 и 2 \u003d -2. Използвайки намерените координати, можете да намерите уравнението на допирателната, като използвате добре познат алгоритъм. Намираме стойността на функцията в точките f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Стойността на производната в точката f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Замествайки намерените стойности в уравнението на допирателната, получаваме за първата точка a 1 \u003d 0 y = -2x-2, а за втората точка a 2 \u003d -2 уравнението на допирателната y \u003d -2x- 22.

Пример 3 описва формулирането на уравнението на допирателната за начертаването й в точка (0;3) към графиката на функцията y=√x. Решението се взема по известния алгоритъм. Допирната точка има координати x=a, където a>0. Стойността на функцията в точка f(a)=√x. Производната на функцията f΄(х)=1/2√х, следователно в дадената точка f΄(а)=1/2√а. Замествайки всички получени стойности в уравнението на допирателната, получаваме y \u003d √a + (x-a) / 2√a. Трансформирайки уравнението, получаваме y=x/2√a+√a/2. Знаейки, че допирателната минава през точката (0; 3), намираме стойността на a. Намерете a от 3=√a/2. Следователно √a=6, a=36. Намираме уравнението на допирателната y \u003d x / 12 + 3. Фигурата показва графиката на разглежданата функция и построената желана допирателна.

На учениците се напомнят за приблизителните равенства Δy=≈f΄(x)Δx и f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Вземайки x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, получаваме f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), следователно f(x)≈f(a)+ f΄( а)(х-а).

В пример 4 е необходимо да се намери приблизителната стойност на израза 2,003 6 . Тъй като е необходимо да се намери стойността на функцията f (x) \u003d x 6 в точката x \u003d 2,003, можем да използваме добре познатата формула, като вземем f (x) = x 6, a \u003d 2 , f (a) \u003d f (2) \u003d 64, f ΄(x)=6х 5 . Производна в точка f΄(2)=192. Следователно, 2,003 6 ≈65-192 0,003. След като пресмятаме израза, получаваме 2,003 6 ≈64,576.

Видео урокът "Уравнение на допирателната към графиката на функция" се препоръчва за използване в традиционен урок по математика в училище. За учител от разстояние видео материалът ще помогне да се обясни по-ясно темата. Видеото може да бъде препоръчано за самостоятелно разглеждане от учениците, ако е необходимо за задълбочаване на разбирането им по темата.

ТЪЛКУВАНЕ НА ТЕКСТА:

Знаем, че ако точката M (a; f (a)) (em с координати a и eff от a) принадлежи на графиката на функцията y \u003d f (x) и ако в тази точка може да се начертае допирателна към графиката на функцията, а не перпендикулярна на абсцисната ос, тогава наклонът на допирателната е f "(a) (ef удар от a).

Нека са дадени функция y = f(x) и точка M (a; f(a)) и също така е известно, че f´(a) съществува. Нека съставим уравнението на допирателната към графиката на дадена функция в дадена точка. Това уравнение, подобно на уравнението на всяка права линия, която не е успоредна на оста y, има формата y = kx + m (y е равно на ka x плюс em), така че задачата е да се намерят стойностите на коефициентите к и м. (ка и ем)

Наклон k \u003d f "(a). За да изчислим стойността на m, използваме факта, че желаната права линия минава през точката M (a; f (a)). Това означава, че ако заместим координатите на точка M в уравнението на правата линия, получаваме правилното равенство: f(a) = ka+m, откъдето намираме, че m = f(a) - ka.

Остава да заменим намерените стойности на коефициентите ki и m в уравнението на права линия:

y = kx+(f(a)-ka);

y = f(a)+k(x-a);

г= f(а)+ f"(а) (х- а). ( Y е равно на eff от плюс ef ход от a умножено по x минус a).

Получихме уравнението на допирателната към графиката на функцията y = f(x) в точката x=a.

Ако, да речем, y = x 2 и x = -2 (т.е. a = -2), тогава f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) \u003d 2x, така че f "(a) \u003d f´(-2) \u003d 2 (-2) = -4. (тогава eff от a е равно на четири, eff просто от x е равно на две x, което означава ef щрих от a е равно на минус четири)

Замествайки в уравнението намерените стойности a \u003d -2, f (a) \u003d 4, f "(a) \u003d -4, получаваме: y \u003d 4 + (-4) (x + 2) , т.е. y \u003d -4x -четири.

(y е равно на минус четири х минус четири)

Нека съставим уравнението на допирателната към графиката на функцията y \u003d tgx (y е равно на допирателната x) в началото. Имаме: a = 0, f(0) = tg0=0;

f"(x)= , така че f"(0) = l. Замествайки намерените стойности a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 в уравнението, получаваме: y=x.

Ние обобщаваме нашите стъпки за намиране на уравнението на допирателната към графиката на функцията в точката x с помощта на алгоритъма.

АЛГОРИТЪМ ЗА СЪСТАВЯНЕ НА УРАВНЕНИЕТО НА ФУНКЦИЯТА, допирателна към ГРАФИКАТА y \u003d f (x):

1) Обозначете абсцисата на точката на контакт с буквата a.

2) Изчислете f(a).

3) Намерете f´(x) и изчислете f´(a).

4) Заместете намерените числа a, f(a), f´(a) във формулата г= f(а)+ f"(а) (х- а).

Пример 1. Напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията y \u003d - в

точка x = 1.

Решение. Нека използваме алгоритъма, като вземем предвид това в този пример

2) f(a)=f(1)=-=-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Заместете трите намерени числа: a = 1, f (a) = -1, f "(a) = 1 във формулата. Получаваме: y = -1 + (x-1), y \u003d x-2.

Отговор: y = x-2.

Пример 2. Дадена е функция y = x 3 +3x 2 -2x-2. Напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията y \u003d f (x), успоредна на правата линия y \u003d -2x +1.

Използвайки алгоритъма за съставяне на уравнението на допирателната, вземаме предвид, че в този пример f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, но абсцисата на допирната точка не е посочена тук.

Нека започнем да говорим така. Желаната допирателна трябва да бъде успоредна на правата линия y \u003d -2x + 1. А успоредните прави имат равни наклони. Следователно, наклонът на тангентата е равен на наклона на дадената права: k cas. = -2. Hok cas. = f "(a). Така можем да намерим стойността на a от уравнението f ´ (a) \u003d -2.

Нека намерим производната на функцията y=f(х):

f"(х) \u003d (x 3 + 3x 2 -2x-2)´ \u003d 3x 2 + 6x-2;f"(a) \u003d 3a 2 + 6a-2.

От уравнението f "(a) \u003d -2, т.е. 3а 2 +6а-2\u003d -2 намираме 1 \u003d 0, a 2 \u003d -2. Това означава, че има две допирателни, които отговарят на условията на задачата: едната в точка с абциса 0, другата в точка с абциса -2.

Сега можете да действате според алгоритъма.

1) a 1 \u003d 0 и 2 \u003d -2.

2) f(a 1) = 0 3 +3 0 2 -2∙0-2=-2; f(a2)= (-2) 3 +3 (-2) 2 -2 (-2)-2=6;

3) f "(a 1) = f" (a 2) = -2.

4) Замествайки стойностите a 1 = 0, f (a 1) = -2, f "(a 1) = -2 във формулата, получаваме:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Замествайки стойностите a 2 \u003d -2, f (a 2) \u003d 6, f "(a 2) \u003d -2 във формулата, получаваме:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Отговор: y=-2x-2, y=-2x+2.

Пример 3. От точката (0; 3) начертайте допирателна към графиката на функцията y \u003d. Решение. Нека използваме алгоритъма за съставяне на уравнението на допирателната, като се има предвид, че в този пример f(x) = . Имайте предвид, че тук, както в Пример 2, абсцисата на точката на докосване не е изрично посочена. Въпреки това действаме според алгоритъма.

1) Нека x = a е абсцисата на точката на контакт; ясно е, че a > 0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Заместване на стойностите a, f (a) = , f "(a) = във формулата

y \u003d f (a) + f "(a) (x-a), получаваме:

По условие допирателната минава през точката (0; 3). Замествайки стойностите x = 0, y = 3 в уравнението, получаваме: 3 = и след това =6, a =36.

Както можете да видите, в този пример само на четвъртата стъпка от алгоритъма успяхме да намерим абсцисата на точката на допир. Като заместим стойността a =36 в уравнението, получаваме: y=+3

На фиг. Фигура 1 представя геометрична илюстрация на разглеждания пример: начертана е графика на функцията y \u003d, начертана е права линия y \u003d +3.

Отговор: y = +3.

Знаем, че за функцията y = f(x), която има производна в точката x, е валидно приблизителното равенство: Δyf´(x)Δx

или, по-подробно, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (ef от x плюс делта x минус ef от x е приблизително равно на ef prime от x до делта x).

За удобство на по-нататъшните разсъждения променяме нотацията:

вместо x ще пишем а,

вместо x + Δx ще пишем x

вместо Δx ще пишем x-a.

Тогава приблизителното равенство, написано по-горе, ще приеме формата:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (ef от x е приблизително равно на eff от плюс ef удар от a, умножено по разликата между x и a).

Пример 4. Намерете приблизителната стойност на числовия израз 2,003 6 .

Решение. Говорим за намиране на стойността на функцията y \u003d x 6 в точката x \u003d 2,003. Нека използваме формулата f(x)f(a)+f´(a)(x-a), като имаме предвид, че в този пример f(x)=x 6 , a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2,003, f "(x) = 6x 5 и, следователно, f" (a) = f "(2) = 6 2 5 = 192.

В резултат на това получаваме:

2,003 6 64+192 0,003, т.е. 2,003 6 = 64,576.

Ако използваме калкулатор, получаваме:

2,003 6 = 64,5781643...

Както можете да видите, точността на приближението е доста приемлива.