زاویه متوازی الاضلاع چقدر است. متوازی الاضلاع

متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن به صورت زوجی موازی هستند. همچنین متوازی الاضلاع دارای ویژگی هایی است که اضلاع مقابل برابر، زوایای مقابل برابر هستند، مجموع همه زوایا 360 درجه است.

شما نیاز خواهید داشت

• دانش هندسه.

دستورالعمل

1. تصور کنید یکی از گوشه های متوازی الاضلاع برابر با A باشد. مقادیر 3 باقیمانده را بیابید. با خاصیت متوازی الاضلاع، زوایای مقابل برابر هستند. بنابراین زاویه ای که در مقابل زاویه داده شده قرار دارد برابر با زاویه داده شده و مقدار آن برابر با A است.

2. دو گوشه باقی مانده را پیدا کنید. از آنجا که مجموع تمام زوایای متوازی الاضلاع 360 درجه است و زوایای مقابل با یکدیگر برابر هستند، معلوم می شود که زاویه متعلق به یک ضلع با ضلع داده شده برابر است با (360 - 2A) / 2. خوب، یا بعد از اصلاح 180 - A می گیریم. بنابراین، در متوازی الاضلاع، دو زاویه برابر با A و دو زاویه دیگر برابر با 180 - A هستند.

توجه داشته باشید!
مقدار یک زاویه نمی تواند از 180 درجه تجاوز کند. مقادیر به دست آمده از زاویه ها را می توان به راحتی تأیید کرد. برای انجام این کار، آنها را جمع کنید و اگر مجموع 360 باشد، همه چیز به درستی محاسبه می شود.

توصیه مفید
مستطیل و لوزی حالت خاصی از متوازی الاضلاع هستند، بنابراین تمام خصوصیات و روش های محاسبه زوایا در مورد آنها نیز صدق می کند.

همانطور که در هندسه اقلیدسی، نقطه و خط عناصر اصلی نظریه صفحات هستند، متوازی الاضلاع نیز یکی از اشکال کلیدی چهارضلعی های محدب است. از آن، مانند نخ های یک توپ، مفاهیم "مستطیل"، "مربع"، "لوزی" و سایر مقادیر هندسی جاری می شود.

در تماس با

تعریف متوازی الاضلاع

چهارضلعی محدب،متشکل از قطعاتی که هر جفت آن موازی است، در هندسه به عنوان متوازی الاضلاع شناخته می شود.

آنچه یک متوازی الاضلاع کلاسیک به نظر می رسد یک ABCD چهار ضلعی است. اضلاع را قاعده می نامند (AB، BC، CD و AD)، عمود کشیده شده از هر رأس به طرف مقابل این راس، ارتفاع (BE و BF)، خطوط AC و BD قطر هستند.

توجه!مربع، لوزی و مستطیل موارد خاص متوازی الاضلاع هستند.

اضلاع و زوایا: ویژگی های نسبت

خواص کلیدی، به طور کلی، توسط خود نامگذاری از پیش تعیین شده است، با قضیه ثابت می شوند. این خصوصیات به شرح زیر است:

1. ضلع هایی که در مقابل یکدیگر قرار دارند به صورت جفت یکسان هستند.
2. زوایایی که در مقابل یکدیگر قرار دارند جفت با هم برابرند.

اثبات: ∆ABC و ∆ADC را در نظر بگیرید که از تقسیم چهار ضلعی ABCD بر خط AC به دست می آیند. ∠BCA=∠CAD و ∠BAC=∠ACD، زیرا AC برای آنها مشترک است (زوایای عمودی برای BC||AD و AB||CD، به ترتیب). از این نتیجه می شود: ∆ABC = ∆ADC (معیار دوم برای تساوی مثلث ها).

بخش های AB و BC در ∆ABC به صورت جفت با خطوط CD و AD در ∆ADC مطابقت دارند، به این معنی که آنها یکسان هستند: AB = CD، BC = AD. بنابراین، ∠B مربوط به ∠D است و آنها برابر هستند. از آنجایی که ∠A=∠BAC+∠CAD، ∠C=∠BCA+∠ACD، که به صورت جفتی نیز یکسان هستند، پس ∠A = ∠C. ملک ثابت شده است.

مشخصات مورب های شکل

ویژگی اصلیاین خطوط متوازی الاضلاع: نقطه تقاطع آنها را به دو نیم می کند.

اثبات: فرض کنید m. E نقطه تقاطع قطرهای AC و BD شکل ABCD باشد. آنها دو مثلث متناسب - ∆ABE و ∆CDE را تشکیل می دهند.

AB=CD چون مقابل هم هستند. با توجه به سطرها و خطوط، ∠ABE = ∠CDE و ∠BAE = ∠DCE.

با توجه به علامت دوم برابری، ∆ABE = ∆CDE. این بدان معناست که عناصر ∆ABE و ∆CDE عبارتند از: AE = CE، BE = DE و علاوه بر این، آنها بخش‌های متناسبی از AC و BD هستند. ملک ثابت شده است.

ویژگی های گوشه های مجاور

در اضلاع مجاور مجموع زوایای 180 درجه است، از آنجایی که آنها در یک سمت خطوط موازی و سکنت قرار دارند. برای ABCD چهار ضلعی:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

خواص نیمساز:

1. ، به یک طرف افتاده، عمود هستند.
2. رئوس مخالف دارای نیمسازهای موازی هستند.
3. مثلثی که با رسم نیمساز به دست می آید متساوی الساقین خواهد بود.

تعیین ویژگی های متوازی الاضلاع توسط قضیه

ویژگی های این شکل از قضیه اصلی آن که به شرح زیر است ناشی می شود: چهارضلعی متوازی الاضلاع در نظر گرفته می شوددر صورتی که قطرهای آن قطع شود و این نقطه آنها را به قطعات مساوی تقسیم می کند.

اثبات: بگذارید خطوط AC و BD چهار ضلعی ABCD در t. E قطع شوند. از آنجایی که ∠AED = ∠BEC، و AE+CE=AC BE+DE=BD، پس ∆AED = ∆BEC (با اولین علامت تساوی مثلث ها). یعنی ∠EAD = ∠ECB. آنها همچنین زوایای عبور داخلی مقطع AC برای خطوط AD و BC هستند. بنابراین، با تعریف موازی - AD || قبل از میلاد مسیح. ویژگی مشابهی از خطوط BC و CD نیز مشتق شده است. قضیه ثابت شده است.

محاسبه مساحت یک شکل

مساحت این شکل به چندین روش یافت می شودیکی از ساده ترین ها: ضرب ارتفاع و پایه ای که به آن کشیده شده است.

اثبات: عمودهای BE و CF را از رئوس B و C رسم کنید. ∆ABE و ∆DCF برابر هستند زیرا AB = CD و BE = CF. ABCD برابر با مستطیل EBCF است، زیرا آنها همچنین از ارقام متناسب تشکیل شده اند: S ABE و S EBCD، و همچنین S DCF و S EBCD. نتیجه این است که مساحت این شکل هندسی با مساحت یک مستطیل یکسان است:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

برای تعیین فرمول کلی مساحت متوازی الاضلاع، ارتفاع را به صورت مشخص می کنیم hb، و کنار ب. به ترتیب:

راه های دیگر برای یافتن منطقه

محاسبات مساحت از اضلاع متوازی الاضلاع و زاویه، که آنها تشکیل می دهند، دومین روش شناخته شده است.

,

Spr-ma - منطقه؛

a و b اضلاع آن هستند

α - زاویه بین قطعات a و b.

این روش عملا بر اساس روش اول است، اما در صورت ناشناخته بودن. همیشه یک مثلث قائم الزاویه را قطع می کند که پارامترهای آن با هویت های مثلثاتی پیدا می شوند، یعنی . با تبدیل نسبت، دریافت می کنیم. در معادله روش اول، ارتفاع را با این حاصلضرب جایگزین می کنیم و دلیلی بر صحت این فرمول به دست می آوریم.

از طریق قطرهای متوازی الاضلاع و یک زاویه،که آنها هنگام تقاطع ایجاد می کنند، شما همچنین می توانید منطقه را پیدا کنید.

اثبات: AC و BD متقاطع چهار مثلث را تشکیل می دهند: ABE، BEC، CDE و AED. مجموع آنها برابر است با مساحت این چهارضلعی.

مساحت هر یک از این ∆ را می‌توان از عبارت : a=BE، b=AE، ∠γ =∠AEB پیدا کرد. از آنجایی که پس از آن یک مقدار سینوس در محاسبات استفاده می شود. به این معنا که . از آنجایی که AE+CE=AC=d1 و BE+DE=BD=d2، فرمول مساحت به زیر کاهش می یابد:

.

کاربرد در جبر برداری

ویژگی های اجزای تشکیل دهنده این چهار ضلعی در جبر برداری کاربرد پیدا کرده است، یعنی: جمع دو بردار. قانون متوازی الاضلاع بیان می کند که اگر بردارها داده شودونهخطی هستند، سپس مجموع آنها برابر با قطر این شکل خواهد بود که پایه های آن با این بردارها مطابقت دارد.

اثبات: از آغازی که خودسرانه انتخاب شده است - یعنی. - بردارها را می سازیم و . بعد، یک متوازی الاضلاع OASV می سازیم، که در آن بخش های OA و OB اضلاع هستند. بنابراین، سیستم عامل بر روی بردار یا مجموع قرار دارد.

فرمول های محاسبه پارامترهای متوازی الاضلاع

هویت تحت شرایط زیر ارائه می شود:

1. a و b، α - اضلاع و زاویه بین آنها.
2. d 1 و d 2 ، γ - مورب ها و در نقطه تقاطع آنها.
3. h a و h b - ارتفاعات به دو طرف a و b کاهش یافته است.

پارامتر	فرمول
پیدا کردن طرفین
در امتداد مورب ها و کسینوس زاویه بین آنها
به صورت مورب و جانبی
از طریق ارتفاع و راس مخالف
پیدا کردن طول قطرها
در طرفین و اندازه بالای بین آنها

متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن به صورت زوجی موازی هستند. این تعریف از قبل کافی است، زیرا خواص باقیمانده متوازی الاضلاع از آن تبعیت می کند و در قالب قضایا اثبات می شود.

خصوصیات اصلی متوازی الاضلاع عبارتند از:

• متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی محدب است.
• متوازی الاضلاع دارای اضلاع مخالف به صورت جفت هستند.
• متوازی الاضلاع دارای زوایای متقابل است که به صورت جفت مساوی هستند.
• قطرهای متوازی الاضلاع از نقطه تقاطع نصف می شوند.

متوازی الاضلاع - یک چهار ضلعی محدب

اجازه دهید ابتدا این قضیه را اثبات کنیم که متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی محدب است. یک چند ضلعی وقتی محدب است که هر ضلعی از آن به یک خط مستقیم کشیده شود، تمام ضلع های دیگر چند ضلعی در همان سمت این خط مستقیم قرار می گیرند.

اجازه دهید متوازی الاضلاع ABCD داده شود که در آن AB برای CD طرف مقابل و BC ضلع مقابل برای AD است. سپس از تعریف متوازی الاضلاع بر می آید که AB || CD، BC || آگهی.

پاره های موازی نقاط مشترک ندارند، آنها را قطع نمی کنند. این به این معنی است که CD در یک طرف AB قرار دارد. از آنجایی که قطعه BC نقطه B از قطعه AB را به نقطه C از قطعه CD وصل می کند و قطعه AD سایر نقاط AB و CD را به هم وصل می کند، پاره های BC و AD نیز در همان سمت خط AB قرار دارند، جایی که CD قرار دارد. بنابراین، هر سه طرف - CD، BC، AD - در یک سمت AB قرار دارند.

به همین ترتیب، ثابت می شود که نسبت به اضلاع متوازی الاضلاع، سه ضلع دیگر در یک ضلع قرار دارند.

اضلاع و زوایای مقابل با هم برابرند

یکی از خواص متوازی الاضلاع این است که در متوازی الاضلاع اضلاع مقابل و زوایای مقابل برابرند. به عنوان مثال، اگر متوازی الاضلاع ABCD داده شود، آنگاه دارای AB = CD، AD = BC، ∠A = ∠C، ∠B = ∠D است. این قضیه به صورت زیر ثابت می شود.

متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی است. بنابراین دارای دو قطر است. از آنجایی که متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی محدب است، هر یک از آنها آن را به دو مثلث تقسیم می کند. مثلث های ABC و ADC را در متوازی الاضلاع ABCD که با رسم قطر AC بدست می آید در نظر بگیرید.

این مثلث ها یک ضلع مشترک دارند - AC. زاویه BCA با زاویه CAD برابر است، همانطور که عمودهای با BC و AD موازی هستند. زوایای BAC و ACD نیز برابر هستند، همانطور که زوایای عمودی زمانی که AB و CD موازی هستند، برابر هستند. بنابراین، ∆ABC = ∆ADC بر روی دو زاویه و ضلع بین آنها.

در این مثلث ها ضلع AB با ضلع CD و ضلع BC مربوط به AD است. بنابراین AB = CD و BC = AD.

زاویه B مربوط به زاویه D است، یعنی ∠B = ∠D. زاویه A متوازی الاضلاع مجموع دو زاویه ∠BAC و ∠CAD است. زاویه C برابر است از ∠BCA و ∠ACD تشکیل شده است. از آنجایی که جفت زاویه ها با یکدیگر برابر هستند، ∠A = ∠C.

بنابراین ثابت می شود که در متوازی الاضلاع اضلاع و زوایای مقابل برابر هستند.

مورب ها به نصف بریده می شوند

از آنجایی که متوازی الاضلاع یک چهار ضلعی محدب است، دارای دو قطر است که آنها را قطع می کنند. اجازه دهید متوازی الاضلاع ABCD داده شود، قطرهای آن AC و BD در نقطه E قطع می شوند. مثلث های ABE و CDE را در نظر بگیرید که توسط آنها تشکیل شده اند.

این مثلث ها دارای اضلاع AB و CD برابر با اضلاع مقابل متوازی الاضلاع هستند. زاویه ABE برابر با زاویه CDE است زیرا آنها در بین خطوط موازی AB و CD قرار دارند. به همین دلیل، ∠BAE = ∠DCE. بنابراین، ∆ABE = ∆CDE در دو زاویه و ضلع بین آنها.

همچنین می توانید متوجه شوید که زوایای AEB و CED عمودی هستند و بنابراین با یکدیگر برابر هستند.

از آنجایی که مثلث های ABE و CDE با یکدیگر برابر هستند، همه عناصر متناظر آنها نیز برابر هستند. ضلع AE مثلث اول مطابق با ضلع CE مثلث دوم است، بنابراین AE = CE. به طور مشابه، BE = DE. هر جفت پاره مساوی مورب متوازی الاضلاع را تشکیل می دهد. بنابراین، ثابت می شود که قطرهای متوازی الاضلاع از نقطه تقاطع نصف می شوند.

دوره ویدیویی "Get a A" شامل تمام مباحث لازم برای گذراندن موفقیت آمیز امتحان ریاضی با امتیاز 60-65 می باشد. به طور کامل تمام وظایف 1-13 از نمایه استفاده در ریاضیات. همچنین برای گذراندن پایه استفاده در ریاضیات مناسب است. اگر می خواهید امتحان را با 90-100 امتیاز قبول کنید، باید قسمت 1 را در 30 دقیقه و بدون اشتباه حل کنید!

دوره آمادگی برای امتحان برای پایه های 10-11 و همچنین برای معلمان. هر آنچه برای حل قسمت 1 امتحان ریاضی (12 مسئله اول) و مسئله 13 (مثلثات) نیاز دارید. و این بیش از 70 امتیاز در آزمون یکپارچه دولتی است و نه دانش آموز صد امتیازی و نه یک انسان گرا نمی تواند بدون آنها انجام دهد.

تمام تئوری لازم راه حل های سریع، تله ها و رازهای امتحان. تمام وظایف مربوط به بخش 1 از وظایف بانک FIPI تجزیه و تحلیل شده است. این دوره به طور کامل با الزامات USE-2018 مطابقت دارد.

این دوره شامل 5 موضوع بزرگ است که هر کدام 2.5 ساعت است. هر موضوع از ابتدا، ساده و واضح ارائه شده است.

صدها کار امتحانی مسائل متن و نظریه احتمال. الگوریتم های حل مسئله ساده و آسان برای به خاطر سپردن. هندسه. تئوری، مواد مرجع، تجزیه و تحلیل انواع وظایف USE. استریومتری. ترفندهای حیله گر برای حل، برگه های تقلب مفید، توسعه تخیل فضایی. مثلثات از ابتدا - تا کار 13. درک به جای پر کردن. توضیح تصویری مفاهیم پیچیده جبر. ریشه ها، توان ها و لگاریتم ها، تابع و مشتق. مبنای حل مسائل پیچیده قسمت 2 امتحان.

متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که در آن اضلاع مقابل به صورت جفتی موازی هستند.

متوازی الاضلاع تمام ویژگی های چهار ضلعی را دارد، اما ویژگی های متمایز خود را نیز دارد. با دانستن آنها به راحتی می توانیم هر دو ضلع و زاویه متوازی الاضلاع را پیدا کنیم.

ویژگی های متوازی الاضلاع

1. مجموع زوایای هر متوازی الاضلاع، مانند هر چهارضلعی، 360 درجه است.
2. خطوط وسط متوازی الاضلاع و قطرهای آن در یک نقطه قطع می شوند و آن را نصف می کنند. این نقطه را مرکز تقارن متوازی الاضلاع می نامند.
3. اضلاع مقابل متوازی الاضلاع همیشه با هم برابرند.
4. همچنین، این شکل همیشه دارای زوایای مخالف برابر است.
5. مجموع زوایای مجاور هر دو طرف متوازی الاضلاع همیشه 180 درجه است.
6. مجموع مربع های مورب متوازی الاضلاع برابر است با دو برابر مجموع مربع های دو ضلع مجاور آن. این با فرمول بیان می شود:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2)، که در آن d 1 و d 2 مورب هستند، a و b اضلاع مجاور هستند.
7. کسینوس یک زاویه منفرد همیشه کمتر از صفر است.

چگونه می توان زوایای متوازی الاضلاع را با استفاده از این ویژگی ها در عمل پیدا کرد؟ و چه فرمول های دیگری می تواند در این مورد به ما کمک کند؟ وظایف خاصی را در نظر بگیرید که نیاز دارند: زوایای متوازی الاضلاع را پیدا کنید.

پیدا کردن گوشه های متوازی الاضلاع

مورد 1. اندازه یک زاویه منفرد مشخص است، برای یافتن یک زاویه حاد لازم است.

مثال: در متوازی الاضلاع ABCD، زاویه A 120 درجه است. اندازه زوایای باقیمانده را پیدا کنید.

راه حل: با استفاده از خاصیت شماره 5، می توانیم اندازه زاویه B را در مجاورت زاویه داده شده در کار پیدا کنیم. برابر خواهد بود با:

• 180-120 درجه = 60 درجه

و اکنون، با استفاده از خاصیت #4، مشخص می کنیم که دو زاویه C و D باقیمانده مخالف زاویه هایی هستند که قبلاً پیدا کرده ایم. زاویه C مخالف زاویه A و زاویه D مخالف زاویه B است. بنابراین آنها به صورت جفت برابر هستند.

• پاسخ: B=60 درجه، C=120 درجه، D=60 درجه

حالت 2. طول اضلاع و مورب مشخص است

در این مورد باید از قضیه کسینوس استفاده کنیم.

ابتدا می‌توانیم از فرمول برای محاسبه کسینوس زاویه مورد نیاز خود استفاده کنیم و سپس با استفاده از جدولی مشخص کنیم که خود زاویه با چه چیزی برابر است.

برای زاویه حاد، فرمول به صورت زیر است:

• cosa \u003d (A² + B² - d²) / (2 * A * B)، که در آن
• a زاویه حاد مورد نظر است،
• A و B اضلاع متوازی الاضلاع هستند
• d - قطر کوچکتر

برای یک زاویه مبهم، فرمول کمی تغییر می کند:

• cosß \u003d (A² + B² - D²) / (2 * A * B)، که در آن
• ß یک زاویه منفرد است،
• A و B اضلاع هستند
• D - مورب بزرگ

مثال: شما باید زاویه تند متوازی الاضلاع را پیدا کنید که اضلاع آن 6 سانتی متر و 3 سانتی متر است و قطر کوچکتر آن 5.2 سانتی متر است.

مقادیر را در فرمول برای یافتن زاویه تند جایگزین می کنیم:

• cosa = (6 2 + 3 2 - 5.2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27.04) / (2 * 18) = 17.96/36 ~ 18/36 ~ 1/2
• cosa = 1/2. با توجه به جدول متوجه می شویم که زاویه مورد نظر 60 درجه است.