Solución de fracciones reductoras. Reducir fracciones

Los niños en la escuela aprenden las reglas para reducir fracciones en sexto grado. En este artículo primero te diremos qué significa esta acción, luego te explicaremos cómo convertir una fracción reducible en una fracción irreducible. El siguiente punto serán las reglas para reducir fracciones, y luego gradualmente llegaremos a los ejemplos.

¿Qué significa "reducir una fracción"?

Entonces todos sabemos que fracciones ordinarias Se dividen en dos grupos: reducibles e irreducibles. Ya por los nombres se puede entender que los que son contráctiles se contraen y los que son irreductibles no se contraen.

• Reducir una fracción significa dividir su denominador y numerador por su (distinto de uno) divisor positivo. El resultado, por supuesto, es una nueva fracción con un denominador y numerador más pequeños. La fracción resultante será igual a la fracción original.

Vale la pena señalar que en los libros de matemáticas con la tarea "reducir una fracción", esto significa que es necesario reducir la fracción original a esta forma irreducible. si hablamos en palabras simples, luego divide el denominador y el numerador por su mayor común divisor y hay una reducción.

Cómo reducir una fracción. Reglas para reducir fracciones (grado 6)

Así que aquí sólo hay dos reglas.

1. La primera regla para reducir fracciones es encontrar primero el máximo común divisor del denominador y numerador de tu fracción.
2. La segunda regla: dividir el denominador y el numerador por el máximo común divisor, obteniendo finalmente una fracción irreducible.

¿Cómo reducir una fracción impropia?

Las reglas para reducir fracciones son idénticas a las reglas para reducir fracciones impropias.

Para reducir una fracción impropia, primero deberás escribirla en factores primos denominador y numerador, y solo entonces reducir los factores comunes.

Reducir fracciones mixtas

Las reglas para fracciones reductoras también se aplican a fracciones mixtas reductoras. Sólo hay una pequeña diferencia: no podemos tocar toda la parte, sino reducir la fracción o convertir la fracción mixta en una fracción impropia, luego reducirla y volver a convertirla en una fracción propia.

Hay dos formas de reducir fracciones mixtas.

Primero: escribe la parte fraccionaria en factores primos y luego deja la parte entera en paz.

La segunda forma: primero conviértala en una fracción impropia, escríbala en factores ordinarios y luego reduzca la fracción. Convierte la fracción impropia ya obtenida en una fracción propia.

Se pueden ver ejemplos en la foto de arriba.

Realmente esperamos haber podido ayudarlo a usted y a sus hijos. Después de todo, a menudo no prestan atención en clase, por lo que tienen que estudiar más intensamente solos en casa.

Sin saber reducir una fracción y sin tener una habilidad estable para resolver este tipo de ejemplos, es muy difícil estudiar álgebra en la escuela. Cuanto más avanzas, más interfiere con tus conocimientos básicos de reducción de fracciones. nueva información. Primero aparecen las potencias, luego los factores, que luego se convierten en polinomios.

¿Cómo puedes evitar confundirte aquí? Consolidar a fondo las habilidades en temas anteriores y prepararse gradualmente para el conocimiento de cómo reducir una fracción, que se vuelve más complejo de año en año.

Conocimiento básico

Sin ellos, no podrá afrontar tareas de ningún nivel. Para comprenderlo, es necesario comprender dos puntos simples. Primero: solo puedes reducir factores. Este matiz resulta muy importante cuando aparecen polinomios en el numerador o denominador. Luego debes distinguir claramente dónde está el factor y dónde está el sumando.

El segundo punto dice que cualquier número se puede representar en forma de factores. Además, el resultado de la reducción es una fracción cuyo numerador y denominador ya no se pueden reducir.

Reglas para reducir fracciones comunes.

Primero, debes verificar si el numerador es divisible por el denominador o viceversa. Entonces es precisamente este número el que hay que reducir. Esta es la opción más sencilla.

El segundo es el análisis. apariencia números. Si ambos terminan en uno o más ceros, se pueden acortar en 10, 100 o mil. Aquí puedes ver si los números son pares. En caso afirmativo, puedes cortarlo en dos con seguridad.

La tercera regla para reducir una fracción es factorizar el numerador y el denominador en factores primos. En este momento, debe utilizar activamente todos sus conocimientos sobre los signos de divisibilidad de los números. Después de esta descomposición, solo queda encontrar todos los que se repiten, multiplicarlos y reducirlos por el número resultante.

¿Qué pasa si hay una expresión algebraica en una fracción?

Aquí es donde aparecen las primeras dificultades. Porque aquí es donde aparecen términos que pueden ser idénticos a factores. Realmente quiero reducirlos, pero no puedo. Antes de poder reducir una fracción algebraica, se debe convertir para que tenga factores.

Para hacer esto, deberá realizar varios pasos. Es posible que deba revisarlos todos, o tal vez el primero le proporcione una opción adecuada.

Comprueba si el numerador y el denominador o cualquier expresión en ellos difieren por signo. En este caso, basta con poner menos uno entre paréntesis. Esto produce factores iguales que se pueden reducir.

Vea si es posible eliminar el factor común del polinomio entre paréntesis. Quizás esto resulte en un paréntesis, que también se puede acortar, o será un monomio eliminado.

Intenta agrupar los monomios para luego sumarles un factor común. Después de esto, puede resultar que haya factores que se puedan reducir, o nuevamente se repita el agrupamiento de elementos comunes.

Intente considerar fórmulas de multiplicación abreviadas por escrito. Con su ayuda, puedes convertir fácilmente polinomios en factores.

Secuencia de operaciones con fracciones con potencias.

Para comprender fácilmente la cuestión de cómo reducir una fracción con potencias, es necesario recordar firmemente las operaciones básicas con ellas. El primero de ellos está relacionado con la multiplicación de potencias. En este caso, si las bases son iguales, se deben sumar los indicadores.

El segundo es la división. Nuevamente, para aquellos que tienen las mismas razones, será necesario restar los indicadores. Además, es necesario restar del número que está en el dividendo y no al revés.

El tercero es la exponenciación. En esta situación, los indicadores se multiplican.

Una reducción exitosa también requerirá la capacidad de reducir los poderes a bases iguales. Es decir, ver que cuatro es dos al cuadrado. O 27, el cubo de tres. Porque reducir 9 al cuadrado y 3 al cubo es difícil. Pero si transformamos la primera expresión como (3 2) 2, entonces la reducción será exitosa.

Muchos estudiantes cometen los mismos errores cuando trabajan con fracciones. Y todo porque olvidan las reglas básicas. aritmética. Hoy repetiremos estas reglas en tareas específicas que doy en mis clases.

Aquí está la tarea que ofrezco a todos los que se están preparando para el Examen Estatal Unificado de Matemáticas:

Tarea. Una marsopa ingiere 150 gramos de comida al día. Pero creció y empezó a comer un 20% más. ¿Cuántos gramos de pienso come el cerdo ahora?

No solución correcta. Este es un problema de porcentaje que se reduce a la ecuación:

Muchos (muchos) reducen el número 100 en el numerador y denominador de una fracción:

Este es el error que cometió mi alumno justo el día de escribir este artículo. Los números truncados se marcan en rojo.

No hace falta decir que la respuesta fue incorrecta. Juzgue usted mismo: el cerdo comió 150 gramos, pero empezó a comer 3150 gramos. El aumento no es del 20%, sino de 21 veces, es decir. en un 2000%.

Para evitar este tipo de malentendidos, recuerde la regla básica:

Sólo se pueden reducir los multiplicadores. ¡Los plazos no se pueden reducir!

Por tanto, la solución correcta al problema anterior queda así:

Los números que se abrevian en el numerador y denominador están marcados en rojo. Como puedes ver, el numerador es un producto, el denominador es un número ordinario. Por tanto, la reducción es completamente legal.

Trabajar con proporciones

Otra área problemática es dimensiones. Especialmente cuando la variable está en ambos lados. Por ejemplo:

Tarea. Resuelve la ecuación:

Solución incorrecta: algunas personas literalmente tienen ganas de acortar todo en m:

Las variables reducidas se muestran en rojo. La expresión 1/4 = 1/5 resulta ser una completa tontería, estos números nunca son iguales.

Y ahora, la decisión correcta. Esencialmente es normal ecuación lineal . Se puede resolver moviendo todos los elementos hacia un lado o mediante la propiedad básica de proporción:

Muchos lectores objetarán: "¿Dónde está el error en la primera solución?" Bueno, averigüémoslo. Recordemos la regla para trabajar con ecuaciones:

Cualquier ecuación se puede dividir y multiplicar por cualquier número, distinto de cero.

¿Te perdiste el truco? Solo puedes dividir por números. distinto de cero. En particular, puedes dividir por una variable m sólo si m! = 0. Pero, ¿y si m = 0? Sustituyamos y comprobemos:

Recibimos la igualdad numérica correcta, es decir m = 0 es la raíz de la ecuación. Para el resto m != 0 obtenemos una expresión de la forma 1/4 = 1/5, que naturalmente es incorrecta. Por tanto, no hay raíces distintas de cero.

Conclusiones: poniéndolo todo junto

Entonces, para resolver ecuaciones racionales fraccionarias recuerda tres reglas:

1. Sólo se pueden reducir los multiplicadores. No se permiten sumandos. Por tanto, aprende a factorizar el numerador y el denominador;
2. La principal propiedad de la proporción: el producto de los elementos extremos es igual al producto de los medios;
3. Las ecuaciones sólo se pueden multiplicar y dividir por números k distintos de cero. El caso k = 0 debe comprobarse por separado.

Recuerda estas reglas y no cometas errores.

A primera vista, las fracciones algebraicas parecen muy complejas y un estudiante no preparado puede pensar que no se puede hacer nada con ellas. La acumulación de variables, números e incluso grados provoca miedo. Sin embargo, se utilizan las mismas reglas para reducir fracciones (como 15/25) y fracciones algebraicas.

Pasos

Reducir fracciones

Consulta las actividades con fracciones simples. Las operaciones con fracciones ordinarias y algebraicas son similares. Por ejemplo, tomemos la fracción 15/35. Para simplificar esta fracción, debes encontrar divisor común. Ambos números son divisibles por cinco, por lo que podemos despejar 5 en el numerador y denominador:

Ahora usted puede reducir los factores comunes, es decir, tacha 5 en el numerador y denominador. Como resultado, obtenemos la fracción simplificada. 3/7 . EN expresiones algebraicas Los factores comunes se asignan de la misma manera que en los ordinarios. En el ejemplo anterior pudimos aislar fácilmente 5 de 15; el mismo principio se aplica a expresiones más complejas como 15x – 5. Encontremos el factor común. En este caso será 5, ya que ambos términos (15x y -5) son divisibles por 5. Como antes, selecciona el factor común y muévelo izquierda.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Para comprobar si todo está correcto, simplemente multiplica la expresión entre paréntesis por 5; el resultado serán los mismos números que al principio. Los miembros complejos se pueden aislar de la misma forma que los simples. Se aplican los mismos principios a las fracciones algebraicas que a las ordinarias. Esta es la forma más sencilla de reducir una fracción. Considere la siguiente fracción:

Ten en cuenta que tanto el numerador (arriba) como el denominador (abajo) contienen un término (x+2), por lo que se puede reducir de la misma forma que el factor común 5 en la fracción 15/35:

Como resultado, obtenemos una expresión simplificada: (x-3)/(x+10)

Reducir fracciones algebraicas

Encuentra el factor común en el numerador, es decir, en la parte superior de la fracción. Al contratar fracción algebraica El primer paso es simplificar ambas partes. Comience con el numerador e intente descomponerlo en tantos numero mayor multiplicadores. Considere en esta sección la siguiente fracción:

Comencemos con el numerador: 9x – 3. Para 9x y -3, el factor común es el número 3. Saquemos 3 de paréntesis, como se hace con los números ordinarios: 3 * (3x-1). El resultado de esta transformación es la siguiente fracción:

Encuentra el factor común en el numerador. Sigamos con el ejemplo anterior y escribamos el denominador: 15x+6. Como antes, encontremos por qué número son divisibles ambas partes. Y en este caso el factor común es 3, por lo que podemos escribir: 3 * (5x +2). Reescribamos la fracción de la siguiente forma:

Acortar los mismos términos. En este paso puedes simplificar la fracción. Cancelar los mismos términos en el numerador y denominador. En nuestro ejemplo, este número es 3.

Determina que la fracción tiene la forma mas simple. Una fracción está completamente simplificada cuando no quedan factores comunes en el numerador y el denominador. Tenga en cuenta que no puede cancelar los términos que aparecen entre paréntesis; en el ejemplo anterior no hay forma de aislar x de 3x y 5x, ya que los términos completos son (3x -1) y (5x + 2). Por tanto, la fracción no se puede simplificar más y la respuesta final es la siguiente:

Practica reducir fracciones por tu cuenta. La mejor manera aprender el método es decisión independiente tareas. Las respuestas correctas se dan debajo de los ejemplos.

Respuesta:(x=13)

Respuesta:(2x-1)/5

Movimientos especiales

Llevarlo a cabo signo negativo más allá de la fracción. Supongamos que te dan la siguiente fracción:

Tenga en cuenta que (x-4) y (4-x) son "casi" idénticos, pero no se pueden reducir inmediatamente porque están "invertidos". Sin embargo, (x - 4) se puede escribir como -1 * (4 - x), al igual que (4 + 2x) se puede escribir como 2 * (2 + x). Esto se llama "inversión de signos".

Ahora puedes reducir términos idénticos (4-x):

Entonces, obtenemos la respuesta final: -3/5 . Aprende a reconocer la diferencia entre cuadrados. Una diferencia de cuadrados es cuando se resta el cuadrado de un número al cuadrado de otro número, como en la expresión (a 2 - b 2). La diferencia de cuadrados perfectos siempre se puede descomponer en dos partes: la suma y la diferencia de los correspondientes. raíces cuadradas. Entonces la expresión tomará la siguiente forma:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Esta técnica es muy útil para encontrar términos comunes en fracciones algebraicas.

• Comprueba si has factorizado correctamente esta o aquella expresión. Para hacer esto, multiplique los factores; el resultado debe ser la misma expresión.
• Para simplificar completamente una fracción, siempre aísla los factores más grandes.

Si necesitamos dividir 497 entre 4, al dividir veremos que 497 no es divisible por 4, es decir el resto de la división permanece. En tales casos se dice que está completo. división con resto, y la solución se escribe de la siguiente manera:
497: 4 = 124 (1 resto).

Los componentes de la división en el lado izquierdo de la igualdad se llaman igual que en la división sin resto: 497 - dividendo, 4 - divisor. El resultado de la división cuando se divide con un resto se llama privado incompleto. En nuestro caso, este es el número 124. Y finalmente, el último componente, que no está en la división ordinaria, es resto. En los casos en los que no queda resto, se dice que un número está dividido por otro sin dejar rastro, o completamente. Se cree que con tal división el resto es cero. En nuestro caso el resto es 1.

El resto siempre es menor que el divisor.

La división se puede comprobar mediante la multiplicación. Si, por ejemplo, existe una igualdad 64: 32 = 2, entonces la verificación se puede realizar así: 64 = 32 * 2.

A menudo, en los casos en que se realiza la división con resto, es conveniente utilizar la igualdad.
a = b * n + r,
donde a es el dividendo, b es el divisor, n es el cociente parcial y r es el resto.

El cociente de números naturales se puede escribir como fracción.

El numerador de una fracción es el dividendo y el denominador es el divisor.

Como el numerador de una fracción es el dividendo y el denominador es el divisor, creen que la línea de una fracción significa la acción de división. A veces es conveniente escribir la división como una fracción sin utilizar el signo ":".

El cociente de la división de números naturales myn se puede escribir como una fracción \(\frac(m)(n)\), donde el numerador m es el dividendo y el denominador n es el divisor:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Las siguientes reglas son verdaderas:

Para obtener la fracción \(\frac(m)(n)\), necesitas dividir uno entre n a partes iguales(acciones) y tomar m tales partes.

Para obtener la fracción \(\frac(m)(n)\), debes dividir el número m por el número n.

Para encontrar una parte de un todo, es necesario dividir el número correspondiente al todo por el denominador y multiplicar el resultado por el numerador de la fracción que expresa esta parte.

Para encontrar un entero a partir de su parte, es necesario dividir el número correspondiente a esta parte por el numerador y multiplicar el resultado por el denominador de la fracción que expresa esta parte.

Si tanto el numerador como el denominador de una fracción se multiplican por el mismo número (excepto cero), el valor de la fracción no cambiará:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Si tanto el numerador como el denominador de una fracción se dividen por el mismo número (excepto cero), el valor de la fracción no cambiará:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Esta propiedad se llama propiedad principal de una fracción.

Las dos últimas transformaciones se llaman reduciendo una fracción.

Si es necesario representar fracciones como fracciones con el mismo denominador, entonces esta acción se llama reducir fracciones a común denominador .

Fracciones propias e impropias. Numeros mezclados

Ya sabes que se puede obtener una fracción dividiendo un todo en partes iguales y tomando varias de esas partes. Por ejemplo, la fracción \(\frac(3)(4)\) significa tres cuartos de uno. En muchos de los problemas del párrafo anterior, se usaron fracciones para representar partes de un todo. El sentido común dicta que la parte siempre debe ser menor que el todo, pero ¿qué pasa con fracciones como \(\frac(5)(5)\) o \(\frac(8)(5)\)? Está claro que esto ya no forma parte de la unidad. Probablemente por eso las fracciones cuyo numerador es mayor o igual que el denominador se llaman fracciones impropias. El resto de fracciones, es decir, aquellas cuyo numerador es menor que el denominador, se denominan fracciones correctas.

Como sabes, cualquier fracción común, tanto correcto como incorrecto, puede considerarse como el resultado de dividir el numerador por el denominador. Por lo tanto, en matemáticas, a diferencia del lenguaje ordinario, el término "fracción impropia" no significa que hayamos hecho algo mal, sino sólo que el numerador de esta fracción es mayor o igual que el denominador.

Si un número consta de una parte entera y una fracción, entonces tal las fracciones se llaman mixtas.

Por ejemplo:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 es la parte entera y \(\frac(2)(3) \) es la parte fraccionaria.

Si el numerador de la fracción \(\frac(a)(b)\) es divisible por un número natural n, entonces para dividir esta fracción entre n, su numerador debe dividirse por este número:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Si el numerador de la fracción \(\frac(a)(b)\) no es divisible por un número natural n, entonces para dividir esta fracción por n, debes multiplicar su denominador por este número:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Tenga en cuenta que la segunda regla también es cierta cuando el numerador es divisible por n. Por tanto, podemos utilizarlo cuando sea difícil determinar a primera vista si el numerador de una fracción es divisible por n o no.

Acciones con fracciones. Sumar fracciones.

Puedes realizar operaciones aritméticas con números fraccionarios, al igual que con números naturales. Primero veamos cómo sumar fracciones. Es fácil sumar fracciones con denominadores similares. Encontremos, por ejemplo, la suma de \(\frac(2)(7)\) y \(\frac(3)(7)\). Es fácil entender que \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Para sumar fracciones con el mismo denominador, debes sumar sus numeradores y dejar el denominador igual.

Usando letras, la regla para sumar fracciones con denominadores iguales se puede escribir de la siguiente manera:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Si necesitas sumar fracciones con diferentes denominadores, entonces primero deben llevarse a un denominador común. Por ejemplo:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Para fracciones, como para números naturales, son válidas las propiedades conmutativas y asociativas de la suma.

Sumar fracciones mixtas

Notaciones como \(2\frac(2)(3)\) se llaman fracciones mixtas. En este caso, el número 2 se llama Toda una parte fracción mixta, y el número \(\frac(2)(3)\) es su parte fraccional. La entrada \(2\frac(2)(3)\) se lee como sigue: “dos y dos tercios”.

Al dividir el número 8 por el número 3, puedes obtener dos respuestas: \(\frac(8)(3)\) y \(2\frac(2)(3)\). Expresan el mismo número fraccionario, es decir, \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Así, la fracción impropia \(\frac(8)(3)\) se representa como una fracción mixta \(2\frac(2)(3)\). En tales casos dicen que de una fracción impropia destacó toda la parte.

Restar fracciones (números fraccionarios)

Sustracción números fraccionarios, como los números naturales, se determina a partir de la acción de la suma: restar otro de un número significa encontrar un número que, sumado al segundo, da el primero. Por ejemplo:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) ya que \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

La regla para restar fracciones con denominadores iguales es similar a la regla para sumar tales fracciones:
Para encontrar la diferencia entre fracciones con los mismos denominadores, debes restar el numerador de la segunda del numerador de la primera fracción y dejar el denominador igual.

Usando letras, esta regla se escribe así:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Multiplicar fracciones

Para multiplicar una fracción por una fracción, debes multiplicar sus numeradores y denominadores y escribir el primer producto como numerador y el segundo como denominador.

Usando letras, la regla para multiplicar fracciones se puede escribir de la siguiente manera:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Usando la regla formulada, puedes multiplicar una fracción por un número natural, por una fracción mixta y también multiplicar fracciones mixtas. Para hacer esto, debes escribir un número natural como una fracción con un denominador de 1 y una fracción mixta como una fracción impropia.

El resultado de la multiplicación debe simplificarse (si es posible) reduciendo la fracción y aislando toda la parte de la fracción impropia.

Para fracciones, como para números naturales, son válidas las propiedades conmutativas y combinativas de la multiplicación, así como la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.

División de fracciones

Tomemos la fracción \(\frac(2)(3)\) y la “volteemos”, intercambiando el numerador y el denominador. Obtenemos la fracción \(\frac(3)(2)\). Esta fracción se llama contrarrestar fracciones \(\frac(2)(3)\).

Si ahora “invertimos” la fracción \(\frac(3)(2)\), obtendremos la fracción original \(\frac(2)(3)\). Por lo tanto, fracciones como \(\frac(2)(3)\) y \(\frac(3)(2)\) se llaman mutuamente inversas.

Por ejemplo, las fracciones \(\frac(6)(5) \) y \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) y \(\frac (18) )(7)\).

Usando letras, las fracciones recíprocas se pueden escribir de la siguiente manera: \(\frac(a)(b) \) y \(\frac(b)(a) \)

Está claro que el producto de fracciones recíprocas es igual a 1. Por ejemplo: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Usando fracciones recíprocas, puedes reducir la división de fracciones a multiplicación.

La regla para dividir una fracción entre una fracción es:
Para dividir una fracción por otra, debes multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor.

Usando letras, la regla para dividir fracciones se puede escribir de la siguiente manera:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Si el dividendo o divisor es número natural o fracción mixta, entonces para poder utilizar la regla para dividir fracciones, primero se debe representar como una fracción impropia.