Instrucciones

Método de suma.
Debes escribir dos estrictamente uno debajo del otro:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
En una ecuación elegida arbitrariamente (del sistema), inserte el número 11 en lugar del "juego" ya encontrado y calcule la segunda incógnita:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
La respuesta a este sistema de ecuaciones es x=116, y=11.

Método gráfico.
Consiste prácticamente en encontrar las coordenadas del punto en el que se escriben matemáticamente las rectas en un sistema de ecuaciones. Las gráficas de ambas rectas deben dibujarse por separado en el mismo sistema de coordenadas. Vista general: – y=khx+b. Para construir una línea recta, basta con encontrar las coordenadas de dos puntos y elegir x arbitrariamente.
Sea el sistema dado: 2x – y=4

Y=-3x+1.
Con la primera se construye una recta, por conveniencia se debe escribir: y=2x-4. Calcula valores (más fáciles) para x, sustituyéndolos en la ecuación, resolviéndolos y encontrando y. Obtenemos dos puntos a lo largo de los cuales se construye una línea recta. (ver imagen)
x 0 1

y -4 -2
Se construye una línea recta usando la segunda ecuación: y=-3x+1.
También construye una línea recta. (ver imagen)

años 1-5
Encuentre las coordenadas del punto de intersección de dos rectas construidas en la gráfica (si las rectas no se cruzan, entonces el sistema de ecuaciones no tiene, entonces).

Vídeo sobre el tema.

Consejo útil

Si resuelves el mismo sistema de ecuaciones de tres formas diferentes, la respuesta será la misma (si la solución es correcta).

Fuentes:

• álgebra de octavo grado
• resolver una ecuación con dos incógnitas en línea
• Ejemplos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos.

Sistema ecuaciones es una colección de registros matemáticos, cada uno de los cuales contiene una serie de variables. Hay varias formas de solucionarlos.

Necesitará

• -Regla y lápiz;
• -calculadora.

Instrucciones

Consideremos la secuencia de resolución del sistema, que consta de ecuaciones lineales que tienen la forma: a1x + b1y = c1 y a2x + b2y = c2. Donde xey son variables desconocidas y b,c son términos libres. Al aplicar este método, cada sistema representa las coordenadas de puntos correspondientes a cada ecuación. Para empezar, en cada caso, exprese una variable en términos de otra. Luego establezca la variable x en cualquier número de valores. Dos son suficientes. Sustituye en la ecuación y encuentra y. Construya un sistema de coordenadas, marque los puntos resultantes en él y dibuje una línea recta a través de ellos. Se deben realizar cálculos similares para otras partes del sistema.

El sistema tiene una solución única si las líneas construidas se cruzan y tienen un punto común. Son incompatibles si son paralelos entre sí. Y tiene infinitas soluciones cuando las líneas se fusionan entre sí.

Este método se considera muy visual. La principal desventaja es que las incógnitas calculadas tienen valores aproximados. Los llamados métodos algebraicos proporcionan resultados más precisos.

Vale la pena comprobar cualquier solución a un sistema de ecuaciones. Para ello, sustituye los valores resultantes en lugar de las variables. También puedes encontrar su solución utilizando varios métodos. Si la solución del sistema es correcta, entonces todos deberían resultar iguales.

A menudo hay ecuaciones en las que uno de los términos es desconocido. Para resolver una ecuación, debes recordar y realizar un determinado conjunto de acciones con estos números.

Necesitará

• - papel;
• - bolígrafo o lápiz.

Instrucciones

Imagina que hay 8 conejos frente a ti y solo tienes 5 zanahorias. Piénsalo, todavía necesitas comprar más zanahorias para que cada conejo reciba una.

Presentemos este problema en forma de ecuación: 5 + x = 8. Sustituyamos el número 3 en lugar de x. De hecho, 5 + 3 = 8.

Cuando sustituiste x por un número, hiciste lo mismo que cuando restaste 5 de 8. Entonces, para encontrar desconocido término, reste el término conocido de la suma.

Digamos que tienes 20 conejos y sólo 5 zanahorias. Vamos a arreglarlo. Una ecuación es una igualdad que se cumple sólo para ciertos valores de las letras incluidas en ella. Las letras cuyo significado es necesario encontrar se llaman . Escribe una ecuación con una incógnita, llámala x. Al resolver nuestro problema del conejo, obtenemos la siguiente ecuación: 5 + x = 20.

Encontremos la diferencia entre 20 y 5. Al restar, el número al que se resta es el que se resta. El número que se resta se llama y el resultado final se llama diferencia. Entonces, x = 20 – 5; x = 15. Necesitas comprar 15 zanahorias para los conejos.

Comprueba: 5 + 15 = 20. La ecuación se resuelve correctamente. Por supuesto, cuando se trata de cosas tan simples, no es necesario comprobarlo. Sin embargo, cuando tienes ecuaciones con números de tres, cuatro dígitos, etc., definitivamente debes verificar para estar absolutamente seguro del resultado de tu trabajo.

Vídeo sobre el tema.

Consejo útil

Para encontrar el minuendo desconocido, debes sumar el sustraendo a la diferencia.

Para encontrar el sustraendo desconocido, debes restar la diferencia del minuendo.

Consejo 4: Cómo resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas puede no tener soluciones, a pesar de tener un número suficiente de ecuaciones. Puedes intentar resolverlo usando el método de sustitución o usando el método de Cramer. El método de Cramer, además de resolver el sistema, permite evaluar si el sistema tiene solución antes de encontrar los valores de las incógnitas.

Instrucciones

El método de sustitución consiste en pasar secuencialmente una incógnita por otras dos y sustituir el resultado resultante en las ecuaciones del sistema. Sea un sistema de tres ecuaciones dado en forma general:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Exprese x de la primera ecuación: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - y sustitúyalo en la segunda y tercera ecuaciones, luego exprese y de la segunda ecuación y sustitúyalo en la tercera. Obtendrás una expresión lineal para z a través de los coeficientes de las ecuaciones del sistema. Ahora vaya “hacia atrás”: sustituya z en la segunda ecuación y encuentre y, y luego sustituya zey en la primera y resuelva para x. El proceso se muestra generalmente en la figura antes de encontrar z. Seguir escribiendo en forma general será demasiado engorroso en la práctica; al sustituir , se pueden encontrar con bastante facilidad las tres incógnitas;

El método de Cramer consiste en construir una matriz del sistema y calcular el determinante de esta matriz, así como tres matrices auxiliares más. La matriz del sistema está compuesta por coeficientes para los términos desconocidos de las ecuaciones. Una columna que contiene los números en el lado derecho de las ecuaciones, una columna de los lados derechos. No se usa en el sistema, pero se usa al resolver el sistema.

Vídeo sobre el tema.

nota

Todas las ecuaciones del sistema deben proporcionar información adicional independiente de otras ecuaciones. De lo contrario, el sistema quedará indeterminado y no será posible encontrar una solución inequívoca.

Consejo útil

Después de resolver el sistema de ecuaciones, sustituye los valores encontrados en el sistema original y verifica que satisfagan todas las ecuaciones.

Por sí mismo la ecuacion con tres desconocido tiene muchas soluciones, por lo que la mayoría de las veces se complementa con dos ecuaciones o condiciones más. De cuáles sean los datos iniciales dependerá en gran medida el curso de la decisión.

Necesitará

• - un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Instrucciones

Si dos de los tres sistemas tienen sólo dos de las tres incógnitas, intente expresar algunas variables en términos de las demás y sustitúyalas en la ecuacion con tres desconocido. Tu objetivo en este caso es convertirlo en algo normal. la ecuacion con una persona desconocida. Si es así, la solución adicional es bastante simple: sustituir el valor encontrado en otras ecuaciones y encontrar todas las demás incógnitas.

Algunos sistemas de ecuaciones se pueden restar de una ecuación por otra. Vea si es posible multiplicar uno de o una variable de modo que se cancelen dos incógnitas a la vez. Si existe esa oportunidad, lo más probable es que la aproveche, la solución posterior no será difícil. Recuerda que al multiplicar por un número, debes multiplicar tanto el lado izquierdo como el lado derecho. Asimismo, al restar ecuaciones debes recordar que también se debe restar el lado derecho.

Si los métodos anteriores no le ayudaron, utilice el método general para resolver cualquier ecuación con tres desconocido. Para hacer esto, reescribe las ecuaciones en la forma a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Ahora cree una matriz de coeficientes para x (A), una matriz de incógnitas (X) y una matriz de variables libres (B). Tenga en cuenta que al multiplicar la matriz de coeficientes por la matriz de incógnitas, obtendrá una matriz de términos libres, es decir, A*X=B.

Encuentre la matriz A elevada a (-1) encontrando primero , tenga en cuenta que no debe ser igual a cero. Después de esto, multiplique la matriz resultante por la matriz B, como resultado obtendrá la matriz X deseada, indicando todos los valores.

También puedes encontrar una solución a un sistema de tres ecuaciones usando el método de Cramer. Para hacer esto, encuentre el determinante de tercer orden ∆ correspondiente a la matriz del sistema. Luego encuentre sucesivamente tres determinantes más ∆1, ∆2 y ∆3, sustituyendo los valores de los términos libres en lugar de los valores de las columnas correspondientes. Ahora encuentre x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Fuentes:

• soluciones a ecuaciones con tres incógnitas

Al comenzar a resolver un sistema de ecuaciones, averigua qué tipo de ecuaciones son. Los métodos para resolver ecuaciones lineales se han estudiado bastante bien. Las ecuaciones no lineales en la mayoría de los casos no se resuelven. Sólo hay un caso especial, cada uno de los cuales es prácticamente individual. Por tanto, el estudio de las técnicas de solución debe comenzar con ecuaciones lineales. Estas ecuaciones pueden incluso resolverse de forma puramente algorítmica.

los denominadores de las incógnitas encontradas son exactamente iguales. Sí, y los numeradores muestran algunos patrones en su construcción. Si la dimensión del sistema de ecuaciones fuera mayor que dos, entonces el método de eliminación conduciría a cálculos muy engorrosos. Para evitarlos se han desarrollado soluciones puramente algorítmicas. El más simple de ellos es el algoritmo de Cramer (fórmulas de Cramer). Porque debes descubrir el sistema general de ecuaciones de n ecuaciones.

Un sistema de n ecuaciones algebraicas lineales con n incógnitas tiene la forma (ver Fig. 1a). En él, aij son los coeficientes del sistema,
xj – incógnitas, bi – términos libres (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Un sistema de este tipo se puede escribir de forma compacta en forma matricial AX=B. Aquí A es la matriz de coeficientes del sistema, X es la matriz de columnas de incógnitas, B es la matriz de columnas de términos libres (ver Figura 1b). Según el método de Cramer, cada incógnita xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). El determinante ∆ de la matriz de coeficientes se denomina principal y ∆i auxiliar. Para cada incógnita, el determinante auxiliar se encuentra reemplazando la i-ésima columna del determinante principal con una columna de términos libres. El método de Cramer para el caso de sistemas de segundo y tercer orden se presenta en detalle en la Fig. 2.

El sistema es una combinación de dos o más igualdades, cada una de las cuales contiene dos o más incógnitas. Hay dos formas principales de resolver sistemas de ecuaciones lineales que se utilizan en el plan de estudios escolar. Uno de ellos se llama método, el otro, método de suma.

Forma estándar de un sistema de dos ecuaciones.

En forma estándar, la primera ecuación tiene la forma a1*x+b1*y=c1, la segunda ecuación tiene la forma a2*x+b2*y=c2, y así sucesivamente. Por ejemplo, en el caso de dos partes del sistema, ambas dadas a1, a2, b1, b2, c1, c2 son algunos coeficientes numéricos representados en ecuaciones específicas. A su vez, xey representan incógnitas cuyos valores es necesario determinar. Los valores requeridos convierten ambas ecuaciones simultáneamente en verdaderas igualdades.

Resolver el sistema usando el método de la suma.

Para resolver el sistema, es decir, encontrar los valores de xey que los convertirán en igualdades verdaderas, es necesario seguir varios pasos sencillos. El primero de ellos es transformar cualquiera de las ecuaciones de modo que los coeficientes numéricos de la variable x o y en ambas ecuaciones sean iguales en magnitud, pero diferentes en signo.

Por ejemplo, supongamos que se da un sistema que consta de dos ecuaciones. El primero de ellos tiene la forma 2x+4y=8, el segundo tiene la forma 6x+2y=6. Una de las opciones para completar la tarea es multiplicar la segunda ecuación por un coeficiente de -2, lo que la llevará a la forma -12x-4y=-12. La elección correcta del coeficiente es una de las tareas clave en el proceso de resolución de un sistema mediante el método de la suma, ya que determina todo el curso posterior del procedimiento para encontrar incógnitas.

Ahora es necesario sumar las dos ecuaciones del sistema. Obviamente, la destrucción mutua de variables con coeficientes iguales en valor pero de signo opuesto conducirá a la forma -10x=-4. Después de esto, es necesario resolver esta sencilla ecuación, de la que se deduce claramente que x = 0,4.

El último paso en el proceso de solución es sustituir el valor encontrado de una de las variables en cualquiera de las igualdades originales disponibles en el sistema. Por ejemplo, sustituyendo x=0,4 en la primera ecuación, puedes obtener la expresión 2*0,4+4y=8, de la cual y=1,8. Por tanto, x=0,4 e y=1,8 son las raíces del sistema de ejemplo.

Para asegurarse de que las raíces se encontraron correctamente, es útil verificar sustituyendo los valores encontrados en la segunda ecuación del sistema. Por ejemplo, en este caso obtenemos una igualdad de la forma 0,4*6+1,8*2=6, lo cual es correcto.

Vídeo sobre el tema.

Recordemos primero la definición de solución de un sistema de ecuaciones con dos variables.

Definición 1

Un par de números se denomina solución de un sistema de ecuaciones con dos variables si al sustituirlos en la ecuación se obtiene una verdadera igualdad.

En el futuro consideraremos sistemas de dos ecuaciones con dos variables.

Existir cuatro formas básicas de resolver sistemas de ecuaciones: método de sustitución, método de suma, método gráfico, método de mantenimiento de nuevas variables. Veamos estos métodos usando ejemplos específicos. Para describir el principio de utilizar los primeros tres métodos, consideraremos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

Método de sustitución

El método de sustitución es el siguiente: toma cualquiera de estas ecuaciones y expresa $y$ en términos de $x$, luego $y$ se sustituye en la ecuación del sistema, de donde se encuentra la variable $x.$ Después de esto, podemos Calcula fácilmente la variable $y.$

Ejemplo 1

Expresemos $y$ de la segunda ecuación en términos de $x$:

Sustituyamos en la primera ecuación y encontremos $x$:

\ \ \

Encontremos $y$:

Respuesta: $(-2,\ 3)$

Método de suma.

Veamos este método usando un ejemplo:

Ejemplo 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Multiplicando la segunda ecuación por 3 obtenemos:

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]

Ahora sumamos ambas ecuaciones:

\ \ \

Encontremos $y$ a partir de la segunda ecuación:

\[-6-y=-9\] \

Respuesta: $(-2,\ 3)$

Nota 1

Tenga en cuenta que en este método es necesario multiplicar una o ambas ecuaciones por números tales que durante la suma una de las variables "desaparezca".

Método gráfico

El método gráfico es el siguiente: ambas ecuaciones del sistema se representan en el plano de coordenadas y se encuentra el punto de su intersección.

Ejemplo 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Expresemos $y$ de ambas ecuaciones en términos de $x$:

\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

Representemos ambas gráficas en el mismo plano:

Foto 1.

Respuesta: $(-2,\ 3)$

Método para introducir nuevas variables.

Veamos este método usando el siguiente ejemplo:

Ejemplo 4

\[\left\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right .\]

Solución.

Este sistema es equivalente al sistema

\[\left\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ bien.\]

Sean $2^x=u\ (u>0)$, y $3^y=v\ (v>0)$, obtenemos:

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

Resolvamos el sistema resultante usando el método de la suma. Sumemos las ecuaciones:

\ \

Luego de la segunda ecuación obtenemos que

Volviendo a la sustitución, obtenemos un nuevo sistema de ecuaciones exponenciales:

\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

Obtenemos:

\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]

La resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE) es sin duda el tema más importante en un curso de álgebra lineal. Una gran cantidad de problemas de todas las ramas de las matemáticas se reducen a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Estos factores explican el motivo de este artículo. El material del artículo está seleccionado y estructurado para que con su ayuda puedas

• elija el método óptimo para resolver su sistema de ecuaciones algebraicas lineales,
• estudiar la teoría del método elegido,
• resuelva su sistema de ecuaciones lineales considerando soluciones detalladas a ejemplos y problemas típicos.

Breve descripción del material del artículo.

Primero, damos todas las definiciones y conceptos necesarios e introducimos notaciones.

A continuación, consideraremos métodos para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales en los que el número de ecuaciones es igual al número de variables desconocidas y que tienen una solución única. En primer lugar, nos centraremos en el método de Cramer, en segundo lugar, mostraremos el método matricial para resolver dichos sistemas de ecuaciones y, en tercer lugar, analizaremos el método de Gauss (el método de eliminación secuencial de variables desconocidas). Para consolidar la teoría, definitivamente resolveremos varios SLAE de diferentes formas.

Posteriormente pasaremos a la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general, en los que el número de ecuaciones no coincide con el número de variables desconocidas o la matriz principal del sistema es singular. Formulemos el teorema de Kronecker-Capelli, que nos permite establecer la compatibilidad de los SLAE. Analicemos la solución de sistemas (si son compatibles) utilizando el concepto de base menor de una matriz. También consideraremos el método de Gauss y describiremos en detalle las soluciones de los ejemplos.

Definitivamente nos detendremos en la estructura de la solución general de sistemas homogéneos y no homogéneos de ecuaciones algebraicas lineales. Demos el concepto de sistema fundamental de soluciones y mostremos cómo se escribe la solución general de un SLAE utilizando los vectores del sistema fundamental de soluciones. Para una mejor comprensión, veamos algunos ejemplos.

En conclusión, consideraremos sistemas de ecuaciones que pueden reducirse a lineales, así como varios problemas en cuya solución surgen SLAE.

Navegación de páginas.

Definiciones, conceptos, designaciones.

Consideraremos sistemas de p ecuaciones algebraicas lineales con n variables desconocidas (p puede ser igual a n) de la forma

Variables desconocidas, - coeficientes (algunos números reales o complejos), - términos libres (también números reales o complejos).

Esta forma de grabación SLAE se llama coordinar.

EN forma matricial Este sistema de ecuaciones tiene la forma,
Dónde - la matriz principal del sistema, - una matriz de columnas de variables desconocidas, - una matriz de columnas de términos libres.

Si agregamos una columna de matriz de términos libres a la matriz A como la (n+1)ésima columna, obtenemos la llamada matriz extendida sistemas de ecuaciones lineales. Normalmente, una matriz extendida se denota con la letra T y la columna de términos libres está separada por una línea vertical de las columnas restantes, es decir,

Resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Se llama conjunto de valores de variables desconocidas que convierte todas las ecuaciones del sistema en identidades. Para valores dados de las variables desconocidas, la ecuación matricial también se convierte en una identidad.

Si un sistema de ecuaciones tiene al menos una solución, entonces se llama articulación.

Si un sistema de ecuaciones no tiene soluciones, entonces se llama no conjunto.

Si un SLAE tiene una solución única, entonces se llama cierto; Si hay más de una solución, entonces... incierto.

Si los términos libres de todas las ecuaciones del sistema son iguales a cero , entonces el sistema se llama homogéneo, de lo contrario - heterogéneo.

Resolución de sistemas elementales de ecuaciones algebraicas lineales.

Si el número de ecuaciones de un sistema es igual al número de variables desconocidas y el determinante de su matriz principal no es igual a cero, entonces dichos SLAE se denominarán elemental. Estos sistemas de ecuaciones tienen una solución única y, en el caso de un sistema homogéneo, todas las variables desconocidas son iguales a cero.

Comenzamos a estudiar este tipo de SLAE en la escuela secundaria. Al resolverlas, tomamos una ecuación, expresamos una variable desconocida en términos de otras y la sustituimos en las ecuaciones restantes, luego tomamos la siguiente ecuación, expresamos la siguiente variable desconocida y la sustituimos en otras ecuaciones, y así sucesivamente. O utilizaron el método de la suma, es decir, sumaron dos o más ecuaciones para eliminar algunas variables desconocidas. No nos detendremos en estos métodos en detalle, ya que son esencialmente modificaciones del método de Gauss.

Los principales métodos para resolver sistemas elementales de ecuaciones lineales son el método de Cramer, el método matricial y el método de Gauss. Vamos a solucionarlos.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Cramer.

Supongamos que necesitamos resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales.

en el que el número de ecuaciones es igual al número de variables desconocidas y el determinante de la matriz principal del sistema es distinto de cero, es decir, .

Sea el determinante de la matriz principal del sistema, y - determinantes de matrices que se obtienen de A por sustitución 1º, 2º,…, enésimo columna respectivamente a la columna de miembros gratuitos:

Con esta notación, las variables desconocidas se calculan utilizando las fórmulas del método de Cramer como . Así se encuentra la solución de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales mediante el método de Cramer.

Ejemplo.

método de cramer .

Solución.

La matriz principal del sistema tiene la forma . Calculemos su determinante (si es necesario, consulte el artículo):

Dado que el determinante de la matriz principal del sistema es distinto de cero, el sistema tiene una solución única que se puede encontrar mediante el método de Cramer.

Compongamos y calculemos los determinantes necesarios. (obtenemos el determinante reemplazando la primera columna de la matriz A con una columna de términos libres, el determinante reemplazando la segunda columna con una columna de términos libres y reemplazando la tercera columna de la matriz A con una columna de términos libres) :

Encontrar variables desconocidas usando fórmulas :

Respuesta:

La principal desventaja del método de Cramer (si se le puede llamar desventaja) es la complejidad de calcular los determinantes cuando el número de ecuaciones en el sistema es más de tres.

Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales mediante el método matricial (utilizando una matriz inversa).

Sea un sistema de ecuaciones algebraicas lineales en forma matricial, donde la matriz A tiene dimensión n por n y su determinante es distinto de cero.

Dado que , la matriz A es invertible, es decir, existe una matriz inversa. Si multiplicamos ambos lados de la igualdad por la izquierda, obtenemos una fórmula para encontrar una matriz-columna de variables desconocidas. Así obtuvimos una solución a un sistema de ecuaciones algebraicas lineales mediante el método matricial.

Ejemplo.

Resolver sistema de ecuaciones lineales. método matricial.

Solución.

Reescribamos el sistema de ecuaciones en forma matricial:

Porque

entonces el SLAE se puede resolver utilizando el método matricial. Usando la matriz inversa, la solución de este sistema se puede encontrar como .

Construyamos una matriz inversa usando una matriz a partir de sumas algebraicas de elementos de la matriz A (si es necesario, consulte el artículo):

Queda por calcular la matriz de variables desconocidas multiplicando la matriz inversa. a una columna de matriz de miembros gratuitos (si es necesario, consulte el artículo):

Respuesta:

o en otra notación x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

El principal problema a la hora de encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones algebraicas lineales utilizando el método matricial es la complejidad de encontrar la matriz inversa, especialmente para matrices cuadradas de orden superior a tercero.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss.

Supongamos que necesitamos encontrar una solución a un sistema de n ecuaciones lineales con n variables desconocidas.
cuyo determinante de la matriz principal es diferente de cero.

La esencia del método Gauss. Consiste en eliminar secuencialmente las variables desconocidas: primero se excluye x 1 de todas las ecuaciones del sistema, a partir de la segunda, luego se excluye x 2 de todas las ecuaciones, a partir de la tercera, y así sucesivamente, hasta que solo quede la variable desconocida x n en la última ecuación. Este proceso de transformar ecuaciones del sistema para eliminar secuencialmente variables desconocidas se llama método gaussiano directo. Después de completar el trazo hacia adelante del método gaussiano, se encuentra x n a partir de la última ecuación, usando este valor de la penúltima ecuación, se calcula x n-1, y así sucesivamente, se encuentra x 1 a partir de la primera ecuación. El proceso de calcular variables desconocidas al pasar de la última ecuación del sistema a la primera se llama inverso del método gaussiano.

Describamos brevemente el algoritmo para eliminar variables desconocidas.

Supondremos que , ya que siempre podemos lograrlo reordenando las ecuaciones del sistema. Eliminemos la variable desconocida x 1 de todas las ecuaciones del sistema, comenzando por la segunda. Para ello, a la segunda ecuación del sistema le sumamos la primera, multiplicada por , a la tercera ecuación le sumamos la primera, multiplicada por , y así sucesivamente, a la enésima ecuación le sumamos la primera, multiplicada por . El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará la forma

dónde y .

Habríamos llegado al mismo resultado si hubiéramos expresado x 1 en términos de otras variables desconocidas en la primera ecuación del sistema y hubiéramos sustituido la expresión resultante en todas las demás ecuaciones. Por tanto, la variable x 1 queda excluida de todas las ecuaciones, a partir de la segunda.

A continuación se procede de forma similar, pero sólo con parte del sistema resultante, que está marcado en la figura.

Para ello, a la tercera ecuación del sistema le sumamos la segunda, multiplicada por , a la cuarta ecuación le sumamos la segunda, multiplicada por , y así sucesivamente, a la enésima ecuación le sumamos la segunda, multiplicada por . El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará la forma

dónde y . Por tanto, la variable x 2 queda excluida de todas las ecuaciones, comenzando por la tercera.

A continuación procedemos a eliminar la incógnita x 3, mientras actuamos de manera similar con la parte del sistema marcada en la figura.

Entonces continuamos la progresión directa del método gaussiano hasta que el sistema toma la forma

A partir de este momento comenzamos al revés del método gaussiano: calculamos x n de la última ecuación como , usando el valor obtenido de x n encontramos x n-1 de la penúltima ecuación, y así sucesivamente, encontramos x 1 de la primera ecuación. .

Ejemplo.

Resolver sistema de ecuaciones lineales. Método de Gauss.

Solución.

Excluyamos la variable desconocida x 1 de la segunda y tercera ecuaciones del sistema. Para ello, a ambos lados de la segunda y tercera ecuaciones sumamos las partes correspondientes de la primera ecuación, multiplicadas por y por, respectivamente:

Ahora eliminamos x 2 de la tercera ecuación sumando a sus lados izquierdo y derecho los lados izquierdo y derecho de la segunda ecuación, multiplicados por:

Esto completa el movimiento hacia adelante del método de Gauss; comenzamos el movimiento hacia atrás.

De la última ecuación del sistema de ecuaciones resultante encontramos x 3:

De la segunda ecuación obtenemos .

De la primera ecuación encontramos la variable desconocida restante y así completamos el método inverso de Gauss.

Respuesta:

X1 = 4, X2 = 0, X3 = -1.

Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general.

En general, el número de ecuaciones del sistema p no coincide con el número de variables desconocidas n:

Estos SLAE pueden no tener soluciones, tener una única solución o tener infinitas soluciones. Esta afirmación también se aplica a los sistemas de ecuaciones cuya matriz principal es cuadrada y singular.

Teorema de Kronecker-Capelli.

Antes de encontrar una solución a un sistema de ecuaciones lineales, es necesario establecer su compatibilidad. La respuesta a la pregunta de cuándo SLAE es compatible y cuándo es inconsistente viene dada por Teorema de Kronecker-Capelli:
Para que un sistema de p ecuaciones con n incógnitas (p puede ser igual a n) sea consistente, es necesario y suficiente que el rango de la matriz principal del sistema sea igual al rango de la matriz extendida, es decir , Rango(A)=Rango(T).

Consideremos, como ejemplo, la aplicación del teorema de Kronecker-Capelli para determinar la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo.

Descubra si el sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones.

Solución.

. Utilicemos el método de bordear a menores. Menor de segundo orden diferente de cero. Veamos los menores de tercer orden que lo bordean:

Dado que todos los menores limítrofes de tercer orden son iguales a cero, el rango de la matriz principal es igual a dos.

A su vez, el rango de la matriz extendida es igual a tres, ya que el menor es de tercer orden

diferente de cero.

De este modo, Rang(A), por tanto, utilizando el teorema de Kronecker-Capelli, podemos concluir que el sistema original de ecuaciones lineales es inconsistente.

Respuesta:

El sistema no tiene soluciones.

Entonces, hemos aprendido a establecer la inconsistencia de un sistema usando el teorema de Kronecker-Capelli.

Pero ¿cómo encontrar solución a un SLAE si se establece su compatibilidad?

Para hacer esto, necesitamos el concepto de base menor de una matriz y un teorema sobre el rango de una matriz.

El menor de mayor orden de la matriz A, distinto de cero, se llama básico.

De la definición de base menor se deduce que su orden es igual al rango de la matriz. Para una matriz A distinta de cero puede haber varias bases menores;

Por ejemplo, considere la matriz .

Todos los menores de tercer orden de esta matriz son iguales a cero, ya que los elementos de la tercera fila de esta matriz son la suma de los elementos correspondientes de la primera y segunda filas.

Los siguientes menores de segundo orden son básicos, ya que son distintos de cero

Menores no son básicos, ya que son iguales a cero.

Teorema de rango matricial.

Si el rango de una matriz de orden p por n es igual a r, entonces todos los elementos de fila (y columna) de la matriz que no forman la base menor elegida se expresan linealmente en términos de los elementos de fila (y columna) correspondientes que forman la base menor.

¿Qué nos dice el teorema del rango matricial?

Si, de acuerdo con el teorema de Kronecker-Capelli, hemos establecido la compatibilidad del sistema, entonces elegimos cualquier base menor de la matriz principal del sistema (su orden es igual a r) y excluimos del sistema todas las ecuaciones que lo hacen. no forma la base menor seleccionada. El SLAE obtenido de esta forma será equivalente al original, ya que las ecuaciones descartadas aún son redundantes (según el teorema de rango matricial, son una combinación lineal de las ecuaciones restantes).

Como resultado, después de descartar ecuaciones innecesarias del sistema, son posibles dos casos.

Si el número de ecuaciones r en el sistema resultante es igual al número de variables desconocidas, entonces será definido y la única solución se podrá encontrar mediante el método de Cramer, el método matricial o el método de Gauss.

Ejemplo.

.

Solución.

Rango de la matriz principal del sistema. es igual a dos, ya que el menor es de segundo orden diferente de cero. Rango de la matriz extendida también es igual a dos, ya que el único menor de tercer orden es cero

y el menor de segundo orden considerado anteriormente es diferente de cero. Con base en el teorema de Kronecker-Capelli, podemos afirmar la compatibilidad del sistema original de ecuaciones lineales, ya que Rango(A)=Rango(T)=2.

Como base menor tomamos . Está formado por los coeficientes de la primera y segunda ecuaciones:


La tercera ecuación del sistema no participa en la formación de la base menor, por lo que la excluimos del sistema basándonos en el teorema del rango de la matriz:


Así obtuvimos un sistema elemental de ecuaciones algebraicas lineales. Resolvámoslo usando el método de Cramer:


Respuesta:

x1 = 1, x2 = 2.

Si el número de ecuaciones r en el SLAE resultante es menor que el número de variables desconocidas n, entonces en los lados izquierdos de las ecuaciones dejamos los términos que forman la base menor y transferimos los términos restantes a los lados derechos de la ecuaciones del sistema con signo opuesto.

Las variables desconocidas (r de ellas) que quedan en el lado izquierdo de las ecuaciones se llaman principal.

Las variables desconocidas (hay n - r piezas) que están en el lado derecho se llaman gratis.

Ahora creemos que las variables desconocidas libres pueden tomar valores arbitrarios, mientras que las r variables desconocidas principales se expresarán mediante variables desconocidas libres de una manera única. Su expresión se puede encontrar resolviendo el SLAE resultante mediante el método de Cramer, el método matricial o el método de Gauss.

Veámoslo con un ejemplo.

Ejemplo.

Resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. .

Solución.

Encontremos el rango de la matriz principal del sistema. por el método de frontera con menores. Tomemos un 1 1 = 1 como menor distinto de cero de primer orden. Comencemos a buscar un menor distinto de cero de segundo orden que bordee este menor:


Así es como encontramos un menor distinto de cero de segundo orden. Comencemos a buscar un menor de tercer orden distinto de cero:


Por tanto, el rango de la matriz principal es tres. El rango de la matriz extendida también es igual a tres, es decir, el sistema es consistente.

Tomamos como base el menor de tercer orden distinto de cero encontrado.

Para mayor claridad, mostramos los elementos que forman la base menor:


Dejamos los términos involucrados en la base menor en el lado izquierdo de las ecuaciones del sistema y trasladamos el resto con signos opuestos a los lados derechos:


Demos a las variables desconocidas libres x 2 y x 5 valores arbitrarios, es decir, aceptamos , donde están los números arbitrarios. En este caso, la SLAE tomará la forma


Resolvamos el sistema elemental resultante de ecuaciones algebraicas lineales utilizando el método de Cramer:


Por eso, .

En tu respuesta, no olvides indicar variables desconocidas libres.

Respuesta:

¿Dónde están los números arbitrarios?

Resumir.

Para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales generales, primero determinamos su compatibilidad utilizando el teorema de Kronecker-Capelli. Si el rango de la matriz principal no es igual al rango de la matriz extendida, concluimos que el sistema es incompatible.

Si el rango de la matriz principal es igual al rango de la matriz extendida, entonces seleccionamos una base menor y descartamos las ecuaciones del sistema que no participan en la formación de la base menor seleccionada.

Si el orden de la base menor es igual al número de variables desconocidas, entonces el SLAE tiene una solución única, que se puede encontrar mediante cualquier método que conozcamos.

Si el orden de la base menor es menor que el número de variables desconocidas, entonces en el lado izquierdo de las ecuaciones del sistema dejamos los términos con las principales variables desconocidas, transferimos los términos restantes a los lados derechos y damos valores arbitrarios a las variables desconocidas libres. Del sistema de ecuaciones lineales resultante encontramos las principales variables desconocidas mediante el método de Cramer, el método matricial o el método de Gauss.

Método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general.

El método de Gauss se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de cualquier tipo sin probar primero su coherencia. El proceso de eliminación secuencial de variables desconocidas permite sacar una conclusión tanto sobre la compatibilidad como sobre la incompatibilidad del SLAE, y si existe una solución, permite encontrarla.

Desde un punto de vista computacional, es preferible el método gaussiano.

Véase su descripción detallada y ejemplos analizados en el artículo Método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales generales.

Escribir una solución general a sistemas algebraicos lineales homogéneos y no homogéneos utilizando vectores del sistema fundamental de soluciones.

En esta sección hablaremos de sistemas simultáneos homogéneos y no homogéneos de ecuaciones algebraicas lineales que tienen un número infinito de soluciones.

Tratemos primero con sistemas homogéneos.

Sistema fundamental de soluciones. Un sistema homogéneo de p ecuaciones algebraicas lineales con n variables desconocidas es una colección de (n – r) soluciones linealmente independientes de este sistema, donde r es el orden de la base menor de la matriz principal del sistema.

Si denotamos soluciones linealmente independientes de un SLAE homogéneo como X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) son matrices columnares de dimensión n por 1) , entonces la solución general de este sistema homogéneo se representa como una combinación lineal de vectores del sistema fundamental de soluciones con coeficientes constantes arbitrarios C 1, C 2, ..., C (n-r), es decir, .

¿Qué significa el término solución general de un sistema homogéneo de ecuaciones algebraicas lineales (oroslau)?

El significado es simple: la fórmula especifica todas las posibles soluciones del SLAE original, es decir, tomando cualquier conjunto de valores de constantes arbitrarias C 1, C 2, ..., C (n-r), usando la fórmula que obtener una de las soluciones del SLAE homogéneo original.

Por lo tanto, si encontramos un sistema fundamental de soluciones, entonces podemos definir todas las soluciones de este SLAE homogéneo como.

Mostremos el proceso de construcción de un sistema fundamental de soluciones para un SLAE homogéneo.

Seleccionamos la base menor del sistema original de ecuaciones lineales, excluimos todas las demás ecuaciones del sistema y transferimos todos los términos que contienen variables desconocidas libres a los lados derechos de las ecuaciones del sistema con signos opuestos. Démosle a las variables desconocidas libres los valores 1,0,0,...,0 y calculemos las principales incógnitas resolviendo el sistema elemental de ecuaciones lineales resultante de cualquier forma, por ejemplo, usando el método de Cramer. Esto dará como resultado X (1), la primera solución del sistema fundamental. Si a las incógnitas libres les damos los valores 0,1,0,0,…,0 y calculamos las incógnitas principales, obtenemos X (2). Etcétera. Si asignamos los valores 0.0,...,0.1 a las variables desconocidas libres y calculamos las principales incógnitas obtenemos X(n-r). De esta forma se construirá un sistema fundamental de soluciones para un SLAE homogéneo y su solución general podrá escribirse en la forma .

Para sistemas no homogéneos de ecuaciones algebraicas lineales, la solución general se representa en la forma , donde es la solución general del sistema homogéneo correspondiente, y es la solución particular del SLAE no homogéneo original, que obtenemos dando los valores a las incógnitas libres. ​0,0,...,0 y calculando los valores de las principales incógnitas.

Veamos ejemplos.

Ejemplo.

Encuentre el sistema fundamental de soluciones y la solución general de un sistema homogéneo de ecuaciones algebraicas lineales. .

Solución.

El rango de la matriz principal de sistemas homogéneos de ecuaciones lineales es siempre igual al rango de la matriz extendida. Encontremos el rango de la matriz principal utilizando el método de menores limítrofes. Como menor distinto de cero de primer orden, tomamos el elemento a 1 1 = 9 de la matriz principal del sistema. Encontremos el menor limítrofe distinto de cero de segundo orden:

Se ha encontrado un menor de segundo orden, distinto de cero. Repasemos los menores de tercer orden que lo bordean en busca de uno distinto de cero:

Todos los menores limítrofes de tercer orden son iguales a cero, por lo tanto, el rango de la matriz principal y extendida es igual a dos. Echemos . Para mayor claridad, observemos los elementos del sistema que lo forman:

La tercera ecuación de la SLAE original no participa en la formación de la base menor, por tanto, se puede excluir:

Dejamos los términos que contienen las principales incógnitas en los lados derechos de las ecuaciones y transferimos los términos con incógnitas libres a los lados derechos:

Construyamos un sistema fundamental de soluciones al sistema homogéneo original de ecuaciones lineales. El sistema fundamental de soluciones de este SLAE consta de dos soluciones, ya que el SLAE original contiene cuatro variables desconocidas y el orden de su base menor es igual a dos. Para encontrar X (1), le damos a las variables desconocidas libres los valores x 2 = 1, x 4 = 0, luego encontramos las principales incógnitas del sistema de ecuaciones.
.

Contenido de la lección

Ecuaciones lineales en dos variables.

Un escolar tiene 200 rublos para almorzar en la escuela. Un pastel cuesta 25 rublos y una taza de café cuesta 10 rublos. ¿Cuántos pasteles y tazas de café puedes comprar por 200 rublos?

Denotemos el número de pasteles por X y el número de tazas de café hasta y. Entonces el costo de los pasteles se denotará por la expresión 25 X, y el costo de las tazas de café en 10 y .

25X - precio X pasteles
10y— precio y tazas de café

La cantidad total debe ser de 200 rublos. Luego obtenemos una ecuación con dos variables. X Y y

25X+ 10y= 200

¿Cuántas raíces tiene esta ecuación?

Todo depende del apetito del alumno. Si compra 6 pasteles y 5 tazas de café, entonces las raíces de la ecuación serán los números 6 y 5.

Se dice que el par de valores 6 y 5 son las raíces de la ecuación 25 X+ 10y= 200 . Escrito como (6; 5), siendo el primer número el valor de la variable X, y el segundo - el valor de la variable. y .

6 y 5 no son las únicas raíces que invierten la ecuación 25 X+ 10y= 200 a la identidad. Si lo desea, por los mismos 200 rublos un estudiante puede comprar 4 pasteles y 10 tazas de café:

En este caso, las raíces de la ecuación 25 X+ 10y= 200 es un par de valores (4; 10).

Además, un escolar no puede comprar café en absoluto, pero sí pasteles por los 200 rublos completos. Entonces las raíces de la ecuación 25 X+ 10y= 200 serán los valores 8 y 0

O viceversa, no compre pasteles, compre café por los 200 rublos completos. Entonces las raíces de la ecuación 25 X+ 10y= 200 los valores serán 0 y 20

Intentemos enumerar todas las raíces posibles de la ecuación 25. X+ 10y= 200 . Acordemos que los valores X Y y pertenecen al conjunto de los números enteros. Y sean estos valores mayores o iguales a cero:

X∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Esto será conveniente para el propio alumno. Es más conveniente comprar tartas enteras que, por ejemplo, varias tartas enteras y media tarta. También es más conveniente tomar café en tazas enteras que, por ejemplo, varias tazas enteras y media taza.

Tenga en cuenta que por extraño X es imposible lograr la igualdad bajo ninguna circunstancia y. Entonces los valores X los siguientes números serán 0, 2, 4, 6, 8. Y sabiendo X se puede determinar fácilmente y

Por lo tanto, recibimos los siguientes pares de valores. (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Estos pares son soluciones o raíces de la Ecuación 25. X+ 10y= 200. Convierten esta ecuación en una identidad.

Ecuación de la forma hacha + por = c llamado ecuación lineal con dos variables. La solución o raíces de esta ecuación son un par de valores ( X; y), lo que lo convierte en identidad.

Tenga en cuenta también que si una ecuación lineal con dos variables se escribe en la forma hacha + segundo y = c , luego dicen que está escrito en canónico forma (normal).

Algunas ecuaciones lineales en dos variables se pueden reducir a forma canónica.

Por ejemplo, la ecuación 2(16X+ 3y- 4) = 2(12 + 8X − y) se puede recordar hacha + por = c. Abramos los corchetes a ambos lados de esta ecuación y obtengamos 32X + 6y − 8 = 24 + 16X − 2y . Agrupamos los términos que contienen incógnitas en el lado izquierdo de la ecuación y los términos libres de incógnitas en el lado derecho. Entonces obtenemos 32x- 16X+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Presentamos términos similares en ambos lados, obtenemos la ecuación 16 X+ 8y= 32. Esta ecuación se reduce a la forma hacha + por = c y es canónico.

Ecuación 25 discutida anteriormente X+ 10y= 200 también es una ecuación lineal con dos variables en forma canónica. En esta ecuación los parámetros a , b Y C son iguales a los valores 25, 10 y 200, respectivamente.

En realidad la ecuación hacha + por = c Tiene innumerables soluciones. Resolviendo la ecuación 25X+ 10y= 200, buscamos sus raíces sólo en el conjunto de números enteros. Como resultado, obtuvimos varios pares de valores que convirtieron esta ecuación en una identidad. Pero en el conjunto de los números racionales, la ecuación 25 X+ 10y= 200 tendrá infinitas soluciones.

Para obtener nuevos pares de valores, es necesario tomar un valor arbitrario para X, luego expresa y. Por ejemplo, tomemos la variable X valor 7. Entonces obtenemos una ecuación con una variable 25×7 + 10y= 200 en el que se puede expresar y

Dejar X= 15. Entonces la ecuación 25X+ 10y= 200 se convierte en 25 × 15 + 10y= 200. A partir de aquí encontramos que y = −17,5

Dejar X= −3 . Entonces la ecuación 25X+ 10y= 200 se convierte en 25 × (−3) + 10y= 200. A partir de aquí encontramos que y = −27,5

Sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables.

Para la ecuación hacha + por = c puedes tomar valores arbitrarios tantas veces como quieras X y encontrar valores para y. Considerada por separado, una ecuación de este tipo tendrá innumerables soluciones.

Pero también sucede que las variables X Y y conectados no por una, sino por dos ecuaciones. En este caso forman los llamados sistema de ecuaciones lineales en dos variables. Un sistema de ecuaciones de este tipo puede tener un par de valores (o en otras palabras: "una solución").

También puede suceder que el sistema no tenga solución alguna. Un sistema de ecuaciones lineales puede tener innumerables soluciones en casos raros y excepcionales.

Dos ecuaciones lineales forman un sistema cuando los valores X Y y entrar en cada una de estas ecuaciones.

Volvamos a la primera ecuación 25. X+ 10y= 200 . Uno de los pares de valores de esta ecuación fue el par (6; 5). Este es el caso en el que por 200 rublos se podían comprar 6 pasteles y 5 tazas de café.

Formulemos el problema de modo que el par (6; 5) se convierta en la única solución para la ecuación 25. X+ 10y= 200 . Para hacer esto, creemos otra ecuación que conectaría el mismo X pasteles y y tazas de café.

Expongamos el texto del problema de la siguiente manera:

“El estudiante compró varios pasteles y varias tazas de café por 200 rublos. Un pastel cuesta 25 rublos y una taza de café cuesta 10 rublos. ¿Cuantos pasteles y tazas de café compró el estudiante si se sabe que el número de pasteles es una unidad mayor que el número de tazas de café?

Ya tenemos la primera ecuación. Esta es la ecuación 25. X+ 10y= 200 . Ahora creemos una ecuación para la condición. “el número de pasteles es una unidad mayor que el número de tazas de café” .

El número de pasteles es X, y el número de tazas de café es y. Puedes escribir esta frase usando la ecuación. x-y= 1. Esta ecuación significará que la diferencia entre pasteles y café es 1.

x = y+ 1 . Esta ecuación significa que el número de pasteles es uno más que el número de tazas de café. Por tanto, para obtener la igualdad se suma una al número de tazas de café. Esto se puede entender fácilmente si utilizamos el modelo de escalas que consideramos al estudiar los problemas más simples:

Tenemos dos ecuaciones: 25 X+ 10y= 200 y x = y+ 1. Desde los valores X Y y, es decir, 6 y 5 están incluidos en cada una de estas ecuaciones, luego juntos forman un sistema. Anotemos este sistema. Si las ecuaciones forman un sistema, entonces están enmarcadas por el signo del sistema. El símbolo del sistema es una llave:

Resolvamos este sistema. Esto nos permitirá ver cómo llegamos a los valores 6 y 5. Existen muchos métodos para resolver este tipo de sistemas. Veamos los más populares de ellos.

Método de sustitución

El nombre de este método habla por sí solo. Su esencia es sustituir una ecuación por otra, habiendo expresado previamente una de las variables.

En nuestro sistema no hay necesidad de expresar nada. En la segunda ecuación X = y+ 1 variable X ya expresado. Esta variable es igual a la expresión y+ 1 . Entonces puedes sustituir esta expresión en la primera ecuación en lugar de la variable X

Después de sustituir la expresión y+ 1 en la primera ecuación en su lugar X, obtenemos la ecuación 25(y+ 1) + 10y= 200 . Esta es una ecuación lineal con una variable. Esta ecuación es bastante fácil de resolver:

Encontramos el valor de la variable. y. Ahora sustituyamos este valor en una de las ecuaciones y encontremos el valor. X. Para ello es conveniente utilizar la segunda ecuación. X = y+ 1 . Sustituyamos el valor y

Esto significa que el par (6; 5) es una solución del sistema de ecuaciones, como pretendíamos. Comprobamos y nos aseguramos que el par (6; 5) satisface el sistema:

Ejemplo 2

Sustituyamos la primera ecuación. X= 2 + y en la segunda ecuación 3 x- 2y= 9. En la primera ecuación la variable X igual a la expresión 2 + y. Sustituyamos esta expresión en la segunda ecuación en lugar de X

Ahora encontremos el valor. X. Para hacer esto, sustituyamos el valor. y en la primera ecuación X= 2 + y

Esto significa que la solución del sistema es el valor del par (5; 3)

Ejemplo 3. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de sustitución:

Aquí, a diferencia de los ejemplos anteriores, una de las variables no se expresa explícitamente.

Para sustituir una ecuación por otra, primero necesitas.

Es recomendable expresar la variable que tiene un coeficiente de uno. La variable tiene un coeficiente de uno. X, que está contenido en la primera ecuación X+ 2y= 11. Expresemos esta variable.

Después de expresión variable X, nuestro sistema tomará la siguiente forma:

Ahora sustituyamos la primera ecuación en la segunda y encontremos el valor. y

sustituyamos y X

Esto significa que la solución del sistema es un par de valores (3; 4)

Por supuesto, también puedes expresar una variable. y. Esto no cambiará las raíces. Pero si expresas y, El resultado no es una ecuación muy simple y llevará más tiempo resolverla. Se verá así:

Vemos que en este ejemplo expresamos X mucho más conveniente que expresar y .

Ejemplo 4. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de sustitución:

Expresemos en la primera ecuación. X. Entonces el sistema tomará la forma:

y

sustituyamos y en la primera ecuación y encontrar X. Puedes usar la ecuación original 7. X+ 9y= 8, o utilizar la ecuación en la que se expresa la variable X. Usaremos esta ecuación porque es conveniente:

Esto significa que la solución del sistema es un par de valores (5; −3)

Método de suma

El método de la suma consiste en sumar las ecuaciones incluidas en el sistema término a término. Esta suma da como resultado una nueva ecuación con una variable. Y resolver tal ecuación es bastante simple.

Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones:

Sumemos el lado izquierdo de la primera ecuación con el lado izquierdo de la segunda ecuación. Y el lado derecho de la primera ecuación con el lado derecho de la segunda ecuación. Obtenemos la siguiente igualdad:

Veamos términos similares:

Como resultado, obtuvimos la ecuación más simple 3. X= 27 cuya raíz es 9. Conociendo el valor X puedes encontrar el valor y. sustituyamos el valor X en la segunda ecuación x-y= 3 . Obtenemos 9 - y= 3 . De aquí y= 6 .

Esto significa que la solución del sistema es un par de valores (9; 6)

Ejemplo 2

Sumemos el lado izquierdo de la primera ecuación con el lado izquierdo de la segunda ecuación. Y el lado derecho de la primera ecuación con el lado derecho de la segunda ecuación. En la igualdad resultante presentamos términos similares:

Como resultado, obtuvimos la ecuación más simple 5. X= 20, cuya raíz es 4. Conociendo el valor X puedes encontrar el valor y. sustituyamos el valor X en la primera ecuación 2 x+y= 11. Consigamos 8+ y= 11. De aquí y= 3 .

Esto significa que la solución del sistema es un par de valores (4;3)

El proceso de adición no se describe en detalle. Hay que hacerlo mentalmente. Al sumar, ambas ecuaciones deben reducirse a la forma canónica. Es decir, por cierto ca + por = c .

De los ejemplos considerados, queda claro que el objetivo principal de sumar ecuaciones es deshacerse de una de las variables. Pero no siempre es posible resolver inmediatamente un sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma. En la mayoría de los casos, primero se lleva el sistema a una forma en la que se pueden sumar las ecuaciones incluidas en este sistema.

Por ejemplo, el sistema se puede resolver inmediatamente mediante la suma. Al sumar ambas ecuaciones, los términos y Y −y desaparecerá porque su suma es cero. Como resultado, se forma la ecuación más simple 11. X= 22, cuya raíz es 2. Entonces será posible determinar y igual a 5.

y el sistema de ecuaciones El método de la suma no se puede resolver de inmediato, ya que esto no conducirá a la desaparición de una de las variables. La suma dará como resultado la ecuación 8. X+ y= 28, que tiene un número infinito de soluciones.

Si ambos lados de la ecuación se multiplican o dividen por el mismo número, distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la dada. Esta regla también es válida para un sistema de ecuaciones lineales con dos variables. Una de las ecuaciones (o ambas) se puede multiplicar por cualquier número. El resultado será un sistema equivalente, cuyas raíces coincidirán con el anterior.

Volvamos al primer sistema, que describía cuántos pasteles y tazas de café compró un escolar. La solución a este sistema fue un par de valores (6; 5).

Multipliquemos ambas ecuaciones incluidas en este sistema por algunos números. Digamos que multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3.

Como resultado, obtuvimos un sistema.
La solución a este sistema sigue siendo el par de valores (6; 5)

Esto significa que las ecuaciones incluidas en el sistema se pueden reducir a una forma adecuada para aplicar el método de la suma.

Volvamos al sistema. , que no pudimos resolver usando el método de la suma.

Multiplica la primera ecuación por 6 y la segunda por −2

Entonces obtenemos el siguiente sistema:

Sumemos las ecuaciones incluidas en este sistema. Agregar componentes 12 X y −12 X resultará en 0, suma 18 y y 4 y dará 22 y, y sumando 108 y −20 da 88. Luego obtenemos la ecuación 22 y= 88, desde aquí y = 4 .

Si al principio te resulta difícil sumar ecuaciones mentalmente, entonces puedes escribir cómo se suma el lado izquierdo de la primera ecuación con el lado izquierdo de la segunda ecuación, y el lado derecho de la primera ecuación con el lado derecho de la segunda ecuación:

Sabiendo que el valor de la variable y es igual a 4, puedes encontrar el valor X. sustituyamos y en una de las ecuaciones, por ejemplo en la primera ecuación 2 X+ 3y= 18. Entonces obtenemos una ecuación con una variable 2 X+ 12 = 18. Movemos 12 hacia el lado derecho, cambiando el signo, obtenemos 2 X= 6, desde aquí X = 3 .

Ejemplo 4. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de la suma:

Multipliquemos la segunda ecuación por −1. Entonces el sistema tomará la siguiente forma:

Sumemos ambas ecuaciones. Agregar componentes X Y −x resultará en 0, suma 5 y y 3 y dará 8 y, y sumando 7 y 1 da 8. El resultado es la ecuación 8 y= 8 cuya raíz es 1. Sabiendo que el valor y es igual a 1, puedes encontrar el valor X .

sustituyamos y en la primera ecuación, obtenemos X+ 5 = 7, por lo tanto X= 2

Ejemplo 5. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de la suma:

Es deseable que los términos que contengan las mismas variables estén ubicados uno debajo del otro. Por lo tanto, en la segunda ecuación los términos 5 y y −2 X Intercambiemos lugares. Como resultado, el sistema tomará la forma:

Multipliquemos la segunda ecuación por 3. Entonces el sistema tomará la forma:

Ahora sumemos ambas ecuaciones. Como resultado de la suma obtenemos la ecuación 8. y= 16, cuya raíz es 2.

sustituyamos y en la primera ecuación obtenemos 6 X− 14 = 40. Movamos el término −14 hacia el lado derecho, cambiando el signo, y obtenemos 6 X= 54 . De aquí X= 9.

Ejemplo 6. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de la suma:

Deshagámonos de las fracciones. Multiplica la primera ecuación por 36 y la segunda por 12.

En el sistema resultante la primera ecuación se puede multiplicar por −5 y la segunda por 8

Sumemos las ecuaciones en el sistema resultante. Entonces obtenemos la ecuación más simple −13 y= −156 . De aquí y= 12. sustituyamos y en la primera ecuación y encontrar X

Ejemplo 7. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de la suma:

Llevemos ambas ecuaciones a su forma normal. Aquí conviene aplicar la regla de proporción en ambas ecuaciones. Si en la primera ecuación el lado derecho se representa como , y el lado derecho de la segunda ecuación como , entonces el sistema tomará la forma:

Tenemos una proporción. Multipliquemos sus términos extremo y medio. Entonces el sistema tomará la forma:

Multipliquemos la primera ecuación por −3 y abramos los corchetes en la segunda:

Ahora sumemos ambas ecuaciones. Como resultado de sumar estas ecuaciones, obtenemos una igualdad con cero en ambos lados:

Resulta que el sistema tiene innumerables soluciones.

Pero no podemos simplemente tomar valores arbitrarios del cielo para X Y y. Podemos especificar uno de los valores, y el otro se determinará dependiendo del valor que especifiquemos. Por ejemplo, dejemos X= 2 . Sustituyamos este valor en el sistema:

Como resultado de resolver una de las ecuaciones, el valor de y, que satisfará ambas ecuaciones:

El par de valores resultante (2; −2) satisfará el sistema:

Encontremos otro par de valores. Dejar X= 4. Sustituyamos este valor en el sistema:

Puedes ver a simple vista que el valor y es igual a cero. Luego obtenemos un par de valores (4; 0) que satisfacen nuestro sistema:

Ejemplo 8. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de la suma:

Multiplica la primera ecuación por 6 y la segunda por 12

Reescribamos lo que queda:

Multipliquemos la primera ecuación por −1. Entonces el sistema tomará la forma:

Ahora sumemos ambas ecuaciones. Como resultado de la suma, se forma la ecuación 6. b= 48, cuya raíz es 8. Sustituir b en la primera ecuación y encontrar a

Sistema de ecuaciones lineales con tres variables.

Una ecuación lineal con tres variables incluye tres variables con coeficientes, así como un término de intersección. En forma canónica se puede escribir de la siguiente manera:

hacha + por + cz = d

Esta ecuación tiene innumerables soluciones. Al dar valores diferentes a dos variables, se puede encontrar un tercer valor. La solución en este caso es un triple de valores ( X; y; z) que convierte la ecuación en una identidad.

Si las variables x, y, z están interconectados por tres ecuaciones, entonces se forma un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables. Para resolver un sistema de este tipo, puedes utilizar los mismos métodos que se aplican a las ecuaciones lineales con dos variables: el método de sustitución y el método de suma.

Ejemplo 1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de sustitución:

Expresemos en la tercera ecuación. X. Entonces el sistema tomará la forma:

Ahora hagamos la sustitución. Variable X es igual a la expresión 3 − 2y − 2z . Sustituyamos esta expresión en la primera y segunda ecuaciones:

Abramos los corchetes en ambas ecuaciones y presentemos términos similares:

Hemos llegado a un sistema de ecuaciones lineales con dos variables. En este caso, es conveniente utilizar el método de la suma. Como resultado, la variable y Desaparecerá y podremos encontrar el valor de la variable. z

Ahora encontremos el valor. y. Para hacer esto, es conveniente utilizar la ecuación: y+ z= 4. Sustituye el valor en él. z

Ahora encontremos el valor. X. Para ello conviene utilizar la ecuación X= 3 − 2y − 2z . Sustituyamos los valores en él. y Y z

Así, el triple de valores (3; −2; 2) es una solución a nuestro sistema. Al verificar nos aseguramos de que estos valores satisfagan el sistema:

Ejemplo 2. Resuelve el sistema usando el método de la suma.

Sumemos la primera ecuación con la segunda, multiplicada por −2.

Si la segunda ecuación se multiplica por −2, toma la forma −6X+ 6y- 4z = −4 . Ahora sumémoslo a la primera ecuación:

Vemos que como resultado de transformaciones elementales, se determinó el valor de la variable. X. Es igual a uno.

Volvamos al sistema principal. Sumemos la segunda ecuación con la tercera, multiplicada por −1. Si la tercera ecuación se multiplica por −1, toma la forma −4X + 5y − 2z = −1 . Ahora sumémoslo a la segunda ecuación:

Tenemos la ecuación x- 2y= −1 . Sustituyamos el valor en él. X que encontramos anteriormente. Entonces podemos determinar el valor. y

Ahora conocemos los significados. X Y y. Esto le permite determinar el valor. z. Usemos una de las ecuaciones incluidas en el sistema:

Así, el triple de valores (1; 1; 1) es la solución de nuestro sistema. Al verificar nos aseguramos de que estos valores satisfagan el sistema:

Problemas de composición de sistemas de ecuaciones lineales.

La tarea de componer sistemas de ecuaciones se resuelve ingresando varias variables. A continuación, se compilan ecuaciones en función de las condiciones del problema. A partir de las ecuaciones compiladas forman un sistema y lo resuelven. Una vez resuelto el sistema, es necesario comprobar si su solución satisface las condiciones del problema.

Problema 1. Un coche Volga salió de la ciudad hacia la granja colectiva. Regresó por otro camino, 5 km más corto que el primero. En total, el coche recorrió 35 km ida y vuelta. ¿Cuántos kilómetros tiene la longitud de cada camino?

Solución

Dejar X - longitud del primer camino, y- duración del segundo. Si el automóvil viajó 35 km ida y vuelta, entonces la primera ecuación se puede escribir como X+ y= 35. Esta ecuación describe la suma de las longitudes de ambos caminos.

Se dice que el coche regresó por un camino 5 kilómetros más corto que el primero. Entonces la segunda ecuación se puede escribir como X− y= 5. Esta ecuación muestra que la diferencia entre las longitudes de las carreteras es de 5 km.

O la segunda ecuación se puede escribir como X= y+ 5. Usaremos esta ecuación.

Porque las variables X Y y en ambas ecuaciones denotamos el mismo número, entonces podemos formar un sistema a partir de ellas:

Resolvamos este sistema usando algunos de los métodos estudiados anteriormente. En este caso es conveniente utilizar el método de sustitución, ya que en la segunda ecuación la variable X ya expresado.

Sustituye la segunda ecuación en la primera y encuentra y

Sustituyamos el valor encontrado. y en la segunda ecuacion X= y+ 5 y encontraremos X

La longitud del primer camino fue designada a través de la variable X. Ahora hemos encontrado su significado. Variable X es igual a 20. Esto significa que la longitud del primer camino es de 20 km.

Y la longitud del segundo camino estaba indicada por y. El valor de esta variable es 15. Esto significa que la longitud de la segunda carretera es de 15 km.

Vamos a revisar. Primero, asegurémonos de que el sistema esté resuelto correctamente:

Ahora comprobemos si la solución (20; 15) satisface las condiciones del problema.

Se dijo que el coche recorrió un total de 35 kilómetros ida y vuelta. Sumamos las longitudes de ambos caminos y nos aseguramos de que la solución (20; 15) cumpla esta condición: 20 kilómetros + 15 kilómetros = 35 kilómetros

La siguiente condición: El coche regresó por otra carretera, 5 km más corta que la primera. . Vemos que la solución (20; 15) también satisface esta condición, ya que 15 km es más corto que 20 km por 5 km: 20 kilómetros - 15 kilómetros = 5 kilómetros

Al componer un sistema, es importante que las variables representen los mismos números en todas las ecuaciones incluidas en este sistema.

Entonces nuestro sistema contiene dos ecuaciones. Estas ecuaciones a su vez contienen variables. X Y y, que representan los mismos números en ambas ecuaciones, es decir, longitudes de carretera de 20 km y 15 km.

Problema 2. En la plataforma se cargaron traviesas de roble y pino, 300 traviesas en total. Se sabe que todas las traviesas de roble pesaban 1 tonelada menos que todas las traviesas de pino. Determine cuántas traviesas de roble y de pino había por separado, si cada traviesa de roble pesaba 46 kg y cada traviesa de pino 28 kg.

Solución

Dejar X roble y y Se cargaron traviesas de pino en la plataforma. Si hubiera 300 durmientes en total, entonces la primera ecuación se puede escribir como x+y = 300 .

Todas las traviesas de roble pesaban 46 X kg, y los de pino pesaban 28 y kg. Dado que las traviesas de roble pesaban 1 tonelada menos que las de pino, la segunda ecuación se puede escribir como 28y- 46X= 1000 . Esta ecuación muestra que la diferencia de masa entre traviesas de roble y pino es de 1000 kg.

Las toneladas se convirtieron a kilogramos, ya que la masa de las traviesas de roble y pino se medía en kilogramos.

Como resultado, obtenemos dos ecuaciones que forman el sistema.

Resolvamos este sistema. Expresemos en la primera ecuación. X. Entonces el sistema tomará la forma:

Sustituye la primera ecuación en la segunda y encuentra y

sustituyamos y en la ecuación X= 300 − y y descubre que es X

Esto significa que se cargaron en la plataforma 100 traviesas de roble y 200 de pino.

Comprobemos si la solución (100; 200) satisface las condiciones del problema. Primero, asegurémonos de que el sistema esté resuelto correctamente:

Se dijo que había 300 durmientes en total. Sumamos el número de traviesas de roble y pino y nos aseguramos de que la solución (100; 200) cumpla esta condición: 100 + 200 = 300.

La siguiente condición: todas las traviesas de roble pesaban 1 tonelada menos que todas las traviesas de pino . Vemos que la solución (100; 200) también satisface esta condición, ya que 46 × 100 kg de traviesas de roble son más livianos que 28 × 200 kg de traviesas de pino: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Problema 3. Tomamos tres piezas de aleación de cobre y níquel en proporciones de 2: 1, 3: 1 y 5: 1 en peso. De ellos se fundió una pieza que pesaba 12 kg con una proporción de contenido de cobre y níquel de 4:1. Encuentra la masa de cada pieza original si la masa de la primera es el doble de la masa de la segunda.

El material de este artículo está destinado a un primer conocimiento de los sistemas de ecuaciones. Aquí presentaremos la definición de un sistema de ecuaciones y sus soluciones, y también consideraremos los tipos más comunes de sistemas de ecuaciones. Como es habitual, daremos ejemplos explicativos.

Navegación de páginas.

¿Qué es un sistema de ecuaciones?

Nos acercaremos a la definición del sistema de ecuaciones gradualmente. En primer lugar, digamos simplemente que conviene darlo, indicando dos puntos: en primer lugar, el tipo de grabación y, en segundo lugar, el significado que se le atribuye a esta grabación. Veámoslos uno por uno y luego generalizamos el razonamiento en la definición de sistemas de ecuaciones.

Que haya varios de ellos frente a nosotros. Por ejemplo, tomemos dos ecuaciones 2 x+y=−3 y x=5. Escribámoslos uno debajo del otro y combinémoslos a la izquierda con una llave:

Los registros de este tipo, que son varias ecuaciones dispuestas en una columna y unidas por la izquierda por una llave, son registros de sistemas de ecuaciones.

¿Qué significan esas entradas? Definen el conjunto de todas las soluciones de las ecuaciones del sistema que son solución de cada ecuación.

No estaría de más describirlo con otras palabras. Supongamos que algunas soluciones de la primera ecuación son soluciones de todas las demás ecuaciones del sistema. Entonces el registro del sistema solo se refiere a ellos.

Ahora estamos listos para aceptar adecuadamente la definición de un sistema de ecuaciones.

Definición.

Sistemas de ecuaciones Llame a registros que son ecuaciones ubicadas una debajo de la otra, unidas a la izquierda por una llave, que denotan el conjunto de todas las soluciones de ecuaciones que también son soluciones de cada ecuación del sistema.

En el libro de texto se da una definición similar, sin embargo, no se da para el caso general, sino para dos ecuaciones racionales con dos variables.

Tipos principales

Está claro que hay un número infinito de ecuaciones diferentes. Naturalmente, también existe una infinidad de sistemas de ecuaciones compilados con ellos. Por lo tanto, para la conveniencia de estudiar y trabajar con sistemas de ecuaciones, tiene sentido dividirlos en grupos según características similares y luego pasar a considerar sistemas de ecuaciones de tipos individuales.

La primera división se sugiere por el número de ecuaciones incluidas en el sistema. Si hay dos ecuaciones, entonces podemos decir que tenemos un sistema de dos ecuaciones, si hay tres, entonces un sistema de tres ecuaciones, etc. Está claro que no tiene sentido hablar de un sistema de una ecuación, ya que en este caso, en esencia, se trata de la ecuación en sí, y no del sistema.

La siguiente división se basa en la cantidad de variables involucradas al escribir las ecuaciones del sistema. Si hay una variable, entonces estamos ante un sistema de ecuaciones con una variable (también dicen con una incógnita), si hay dos, entonces ante un sistema de ecuaciones con dos variables (con dos incógnitas), etc. Por ejemplo, es un sistema de ecuaciones con dos variables x e y.

Esto se refiere al número de todas las diferentes variables involucradas en la grabación. No es necesario que estén todos incluidos en el registro de cada ecuación a la vez; es suficiente con su presencia en al menos una ecuación. P.ej, es un sistema de ecuaciones con tres variables x, y y z. En la primera ecuación, la variable x está presente explícitamente, y y y z están implícitas (podemos suponer que estas variables tienen cero), y en la segunda ecuación están x y z, pero la variable y no se presenta explícitamente. En otras palabras, la primera ecuación puede verse como , y el segundo – como x+0·y−3·z=0 .

El tercer punto en el que difieren los sistemas de ecuaciones es el tipo de ecuaciones mismas.

En la escuela, el estudio de sistemas de ecuaciones comienza con sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables. Es decir, tales sistemas constituyen dos ecuaciones lineales. Aquí hay un par de ejemplos: Y . Aprenden los conceptos básicos del trabajo con sistemas de ecuaciones.

Al resolver problemas más complejos, también puedes encontrarte con sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

Además, en el noveno grado, se agregan ecuaciones no lineales a sistemas de dos ecuaciones con dos variables, en su mayoría ecuaciones completas de segundo grado, con menos frecuencia, de grados superiores. Estos sistemas se denominan sistemas de ecuaciones no lineales; si es necesario, se especifica el número de ecuaciones e incógnitas. Mostremos ejemplos de tales sistemas de ecuaciones no lineales: Y .

Y luego en los sistemas también los hay, por ejemplo, . Se les suele llamar simplemente sistemas de ecuaciones, sin especificar qué ecuaciones. Vale la pena señalar aquí que la mayoría de las veces simplemente dicen "sistema de ecuaciones" sobre un sistema de ecuaciones, y se agregan aclaraciones solo si es necesario.

En la escuela secundaria, a medida que se estudia el material, penetran en los sistemas ecuaciones irracionales, trigonométricas, logarítmicas y exponenciales: , , .

Si profundizamos aún más en el plan de estudios universitario de primer año, el énfasis principal está en el estudio y solución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE), es decir, ecuaciones en las que los lados izquierdos contienen polinomios de primer grado, y los lados derechos contienen ciertos números. Pero allí, a diferencia de la escuela, ya no se toman dos ecuaciones lineales con dos variables, sino un número arbitrario de ecuaciones con un número arbitrario de variables, que muchas veces no coincide con el número de ecuaciones.

¿Cuál es la solución de un sistema de ecuaciones?

El término "solución de un sistema de ecuaciones" se refiere directamente a sistemas de ecuaciones. En la escuela se da la definición de resolver un sistema de ecuaciones con dos variables. :

Definición.

Resolver un sistema de ecuaciones con dos variables. Se llama un par de valores de estas variables que convierte cada ecuación del sistema en la correcta, en otras palabras, es una solución a cada ecuación del sistema.

Por ejemplo, un par de valores de variables x=5, y=2 (se puede escribir como (5, 2)) es una solución a un sistema de ecuaciones por definición, ya que las ecuaciones del sistema, cuando x= 5, y=2 se sustituyen en ellos, se convierten en igualdades numéricas correctas 5+2=7 y 5−2=3 respectivamente. Pero el par de valores x=3, y=0 no es solución de este sistema, ya que al sustituir estos valores en las ecuaciones, el primero de ellos se convertirá en la igualdad incorrecta 3+0=7.

Se pueden formular definiciones similares para sistemas con una variable, así como para sistemas con tres, cuatro, etc. variables.

Definición.

Resolver un sistema de ecuaciones con una variable. habrá un valor de la variable que es la raíz de todas las ecuaciones del sistema, es decir, convertir todas las ecuaciones en igualdades numéricas correctas.

Pongamos un ejemplo. Considere un sistema de ecuaciones con una variable t de la forma . El número −2 es su solución, ya que tanto (−2) 2 =4 como 5·(−2+2)=0 son igualdades numéricas verdaderas. Y t=1 no es una solución para el sistema, ya que sustituir este valor dará dos igualdades incorrectas 1 2 =4 y 5·(1+2)=0.

Definición.

Resolver un sistema con tres, cuatro, etc. variables llamado tres, cuatro, etc. valores de las variables, respectivamente, convirtiendo todas las ecuaciones del sistema en verdaderas igualdades.

Entonces, por definición, un triple de valores de las variables x=1, y=2, z=0 es una solución del sistema. , ya que 2·1=2, 5·2=10 y 1+2+0=3 son verdaderas igualdades numéricas. Y (1, 0, 5) no es solución de este sistema, ya que al sustituir estos valores de variables en las ecuaciones del sistema, el segundo de ellos se convierte en la igualdad incorrecta 5·0=10, y el tercero también 1+0+5=3.

Tenga en cuenta que los sistemas de ecuaciones pueden no tener soluciones, pueden tener un número finito de soluciones, por ejemplo, una, dos,..., o pueden tener un número infinito de soluciones. Verás esto a medida que profundices en el tema.

Teniendo en cuenta las definiciones de un sistema de ecuaciones y sus soluciones, podemos concluir que la solución de un sistema de ecuaciones es la intersección de los conjuntos de soluciones de todas sus ecuaciones.

Para concluir, aquí hay algunas definiciones relacionadas:

Definición.

no conjunto, si no tiene soluciones, en caso contrario el sistema se llama articulación.

Definición.

El sistema de ecuaciones se llama incierto, si tiene infinitas soluciones, y cierto, si tiene un número finito de soluciones o no las tiene en absoluto.

Estos términos se introducen, por ejemplo, en un libro de texto, pero rara vez se utilizan en la escuela y se escuchan con mayor frecuencia en las instituciones de educación superior;

Bibliografía.

1. Álgebra: libro de texto para 7mo grado. educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 17ª edición. - M.: Educación, 2008. - 240 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Álgebra: 9º grado: educativo. para educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2009. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A.G.Álgebra. Séptimo grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich. - 17ª ed., añadir. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkovich A.G.Álgebra. Noveno grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkovich A.G.Álgebra e inicio del análisis matemático. Grado 11. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general (nivel de perfil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Álgebra y el inicio del análisis: Proc. para 10-11 grados. educación general instituciones / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn y otros; Ed. A. N. Kolmogorov - 14ª ed. - M.: Educación, 2004. - 384 págs.: Ill.
7. A. G. Kurosh. Curso de álgebra superior.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Geometría analítica: Libro de texto: Para universidades. – 5ª ed. – M.: Ciencia. Fizmatlit, 1999. – 224 p. – (Curso de matemáticas superiores y física matemática). – ISBN 5-02-015234 – X (Número 3)