Ecuaciones racionales fraccionarias. Cómo resolver una ecuación racional

Ecuaciones fraccionarias. ODZ.

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Seguimos dominando las ecuaciones. Ya sabemos cómo trabajar con ecuaciones lineales y cuadráticas. Queda la última vista - ecuaciones fraccionarias. O también se les llama mucho más respetablemente: ecuaciones racionales fraccionarias. Es lo mismo.

Ecuaciones fraccionarias.

Como su nombre lo indica, estas ecuaciones necesariamente contienen fracciones. Pero no sólo fracciones, sino fracciones que tienen desconocido en denominador. Al menos en uno. Por ejemplo:

Déjame recordarte que si los denominadores son sólo números, estas son ecuaciones lineales.

como decidir ecuaciones fraccionarias? En primer lugar, ¡deshazte de las fracciones! Después de esto, la ecuación suele volverse lineal o cuadrática. Y entonces sabemos qué hacer... En algunos casos puede convertirse en una identidad, como 5=5 o una expresión incorrecta, como 7=2. Pero esto rara vez sucede. Mencionaré esto a continuación.

¿Pero cómo deshacerse de las fracciones? Muy simple. Aplicando las mismas transformaciones idénticas.

Necesitamos multiplicar toda la ecuación por la misma expresión. ¡Para que se reduzcan todos los denominadores! Inmediatamente todo será más fácil. Dejame explicarte con un ejemplo. Necesitamos resolver la ecuación:

¿Cómo te enseñaron en la escuela primaria? Movemos todo hacia un lado, lo llevamos a un denominador común, etc. ¡Olvídalo como un mal sueño! Esto es lo que debes hacer al sumar o restar fracciones. O trabajas con desigualdades. Y en las ecuaciones, multiplicamos inmediatamente ambos lados por una expresión que nos permitirá reducir todos los denominadores (es decir, en esencia, por un denominador común). ¿Y cuál es esta expresión?

En el lado izquierdo, reducir el denominador requiere multiplicar por x+2. Y a la derecha, se requiere multiplicar por 2. Esto significa que la ecuación debe multiplicarse por. 2(x+2). Multiplicar:

Esta es una multiplicación común de fracciones, pero la describiré en detalle:

Tenga en cuenta que todavía no voy a abrir el soporte. (x+2)! Así, en su totalidad, lo escribo:

En el lado izquierdo se contrae completamente. (x+2), y a la derecha 2. ¡Que es lo que se requería! Después de la reducción obtenemos lineal la ecuacion:

¡Y todos pueden resolver esta ecuación! x = 2.

Resolvamos otro ejemplo, un poco más complicado:

Si recordamos que 3 = 3/1, y 2x = 2x/ 1, podemos escribir:

Y nuevamente nos deshacemos de lo que realmente no nos gusta: las fracciones.

Vemos que para reducir el denominador a X, necesitamos multiplicar la fracción por (x – 2). Y algunos no son un obstáculo para nosotros. Bueno, multipliquemos. Todo lado izquierdo y todo lado derecho:

Paréntesis de nuevo (x – 2) No estoy revelando. ¡Trabajo con el bracket en su conjunto como si fuera un número! Esto debe hacerse siempre, de lo contrario no se reducirá nada.

Con un sentimiento de profunda satisfacción reducimos (x – 2)¡Y obtenemos una ecuación sin fracciones, con regla!

Ahora abramos los corchetes:

Traemos otros similares, movemos todo hacia el lado izquierdo y obtenemos:

Pero antes de eso aprenderemos a resolver otros problemas. Sobre intereses. ¡Eso es un rastrillo, por cierto!

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sigamos hablando de resolviendo ecuaciones. En este artículo entraremos en detalles sobre ecuaciones racionales y principios para resolver ecuaciones racionales con una variable. Primero, averigüemos qué tipo de ecuaciones se llaman racionales, demos una definición de ecuaciones racionales enteras y fraccionarias y demos ejemplos. A continuación, obtendremos algoritmos para resolver ecuaciones racionales y, por supuesto, consideraremos soluciones a ejemplos típicos con todas las explicaciones necesarias.

Navegación de páginas.

Basándonos en las definiciones dadas, damos varios ejemplos de ecuaciones racionales. Por ejemplo, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , son todas ecuaciones racionales.

De los ejemplos mostrados se desprende claramente que las ecuaciones racionales, así como ecuaciones de otro tipo, pueden ser con una variable, o con dos, tres, etc. variables. En los siguientes párrafos hablaremos sobre cómo resolver ecuaciones racionales con una variable. Resolver ecuaciones en dos variables. y su gran número merecen especial atención.

Además de dividir las ecuaciones racionales por el número de variables desconocidas, también se dividen en enteras y fraccionarias. Demos las definiciones correspondientes.

Definición.

La ecuación racional se llama entero, si tanto su lado izquierdo como el derecho son expresiones racionales enteras.

Definición.

Si al menos una de las partes de una ecuación racional es una expresión fraccionaria, entonces dicha ecuación se llama fraccionariamente racional(o racional fraccionario).

Está claro que las ecuaciones enteras no contienen división por una variable; por el contrario, las ecuaciones racionales fraccionarias necesariamente contienen división por una variable (o una variable en el denominador). Entonces 3 x+2=0 y (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0.5– estas son ecuaciones racionales completas, ambas partes son expresiones completas. A y x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 son ejemplos de ecuaciones racionales fraccionarias.

Concluyendo este punto, prestemos atención al hecho de que las ecuaciones lineales y las ecuaciones cuadráticas conocidas hasta este punto son ecuaciones racionales completas.

Resolver ecuaciones completas

Uno de los principales enfoques para resolver ecuaciones completas es reducirlas a equivalentes. ecuaciones algebraicas. Esto siempre se puede hacer realizando las siguientes transformaciones equivalentes de la ecuación:

• primero, la expresión del lado derecho de la ecuación entera original se transfiere al lado izquierdo con el signo opuesto para obtener cero en el lado derecho;
• después de esto, en el lado izquierdo de la ecuación la forma estándar resultante.

El resultado es una ecuación algebraica que es equivalente a la ecuación entera original. Así, en los casos más simples, la resolución de ecuaciones completas se reduce a resolver ecuaciones lineales o cuadráticas y, en el caso general, a resolver una ecuación algebraica de grado n. Para mayor claridad, veamos la solución del ejemplo.

Ejemplo.

Encuentra las raíces de toda la ecuación. 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Solución.

Reduzcamos la solución de toda esta ecuación a la solución de una ecuación algebraica equivalente. Para hacer esto, primero transferimos la expresión del lado derecho al izquierdo, como resultado llegamos a la ecuación 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Y, en segundo lugar, transformamos la expresión formada en el lado izquierdo a un polinomio en forma estándar completando lo necesario: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Por lo tanto, resolver la ecuación entera original se reduce a resolver la ecuación cuadrática x 2 −5·x−6=0.

Calculamos su discriminante. D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, es positivo, lo que significa que la ecuación tiene dos raíces reales, las cuales encontramos usando la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática:

Para estar completamente seguros, hagámoslo. comprobando las raíces encontradas de la ecuación. Primero verificamos la raíz de 6, la sustituimos en lugar de la variable x en la ecuación entera original: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, que es lo mismo, 63=63. Esta es una ecuación numérica válida, por lo tanto, x=6 es de hecho la raíz de la ecuación. Ahora comprobamos la raíz −1, tenemos 3·(-1+1)·(-1-3)=(-1)·(2·(-1)-1)-3, de donde, 0=0 . Cuando x=−1, la ecuación original también se convierte en una igualdad numérica correcta, por lo tanto, x=−1 también es una raíz de la ecuación.

Respuesta:

6 , −1 .

Aquí también cabe señalar que el término "grado de toda la ecuación" está asociado con la representación de una ecuación completa en forma de ecuación algebraica. Damos la definición correspondiente:

Definición.

El poder de toda la ecuación. se llama grado de una ecuación algebraica equivalente.

Según esta definición, toda la ecuación del ejemplo anterior tiene segundo grado.

Este podría haber sido el final de la resolución de ecuaciones racionales enteras, si no fuera por una cosa…. Como saben, resolver ecuaciones algebraicas de grado superior al segundo está asociado con importantes dificultades, y para las ecuaciones de grado superior al cuarto no existe ninguna fórmula raíz general. Por tanto, para resolver ecuaciones enteras de tercer, cuarto y grados superiores, muchas veces es necesario recurrir a otros métodos de solución.

En tales casos, un enfoque para resolver ecuaciones racionales completas basado en método de factorización. En este caso, se sigue el siguiente algoritmo:

• Primero, se aseguran de que haya un cero en el lado derecho de la ecuación, para ello, trasladan la expresión del lado derecho de toda la ecuación al izquierdo;
• luego, la expresión resultante del lado izquierdo se presenta como producto de varios factores, lo que nos permite pasar a un conjunto de varias ecuaciones más simples.

El algoritmo dado para resolver una ecuación completa mediante factorización requiere una explicación detallada mediante un ejemplo.

Ejemplo.

Resuelve toda la ecuación (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Solución.

Primero, como de costumbre, trasladamos la expresión del lado derecho al lado izquierdo de la ecuación, sin olvidar cambiar el signo, obtenemos (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Aquí es bastante obvio que no es aconsejable transformar el lado izquierdo de la ecuación resultante en un polinomio de la forma estándar, ya que esto dará una ecuación algebraica de cuarto grado de la forma x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x −13 = 0, cuya solución es difícil.

Por otro lado, es obvio que en el lado izquierdo de la ecuación resultante podemos x 2 −10 x+13 , presentándolo así como un producto. Tenemos (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. La ecuación resultante es equivalente a la ecuación completa original y, a su vez, se puede reemplazar por un conjunto de dos ecuaciones cuadráticas x 2 −10·x+13=0 y x 2 −2·x−1=0. Encontrar sus raíces utilizando fórmulas de raíces conocidas mediante un discriminante no es difícil; Son las raíces deseadas de la ecuación original.

Respuesta:

También útil para resolver ecuaciones racionales completas. método para introducir una nueva variable. En algunos casos, le permite pasar a ecuaciones cuyo grado es menor que el grado de la ecuación completa original.

Ejemplo.

Encuentra las raíces reales de una ecuación racional. (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Solución.

Reducir toda esta ecuación racional a una ecuación algebraica no es, por decirlo suavemente, una muy buena idea, ya que en este caso llegaremos a la necesidad de resolver una ecuación de cuarto grado que no tiene raíces racionales. Por tanto, habrá que buscar otra solución.

Aquí es fácil ver que puedes introducir una nueva variable y y reemplazar la expresión x 2 +3·x con ella. Este reemplazo nos lleva a la ecuación completa (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , que, luego de mover la expresión −2·(y−4) al lado izquierdo y posterior transformación de la expresión formado allí, se reduce a una ecuación cuadrática y 2 +4·y+3=0. Las raíces de esta ecuación y=−1 e y=−3 son fáciles de encontrar; por ejemplo, se pueden seleccionar basándose en el teorema inverso al teorema de Vieta.

Ahora pasamos a la segunda parte del método de introducir una nueva variable, es decir, realizar un reemplazo inverso. Después de realizar la sustitución inversa, obtenemos dos ecuaciones x 2 +3 x=−1 y x 2 +3 x=−3, que se pueden reescribir como x 2 +3 x+1=0 y x 2 +3 x+3 =0. Usando la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática, encontramos las raíces de la primera ecuación. Y la segunda ecuación cuadrática no tiene raíces reales, ya que su discriminante es negativo (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Respuesta:

En general, cuando tratamos con ecuaciones enteras de alto grado, siempre debemos estar preparados para buscar un método no estándar o una técnica artificial para resolverlas.

Resolver ecuaciones racionales fraccionarias

Primero, será útil entender cómo resolver ecuaciones racionales fraccionarias de la forma , donde p(x) y q(x) son expresiones racionales enteras. Y luego mostraremos cómo reducir la solución de otras ecuaciones fraccionariamente racionales a la solución de ecuaciones del tipo indicado.

Una forma de resolver la ecuación se basa en la siguiente afirmación: la fracción numérica u/v, donde v es un número distinto de cero (de lo contrario encontraremos , que no está definido), es igual a cero si y sólo si su numerador es igual a cero, entonces es, si y sólo si u=0 . En virtud de esta afirmación, la resolución de la ecuación se reduce a cumplir dos condiciones p(x)=0 y q(x)≠0.

Esta conclusión corresponde a la siguiente algoritmo para resolver una ecuación racional fraccionaria. Para resolver una ecuación racional fraccionaria de la forma , necesitas

• resolver toda la ecuación racional p(x)=0;
• y comprobar si la condición q(x)≠0 se cumple para cada raíz encontrada, mientras que
• si es cierto, entonces esta raíz es la raíz de la ecuación original;
• si no se satisface, entonces esta raíz es extraña, es decir, no es la raíz de la ecuación original.

Veamos un ejemplo del uso del algoritmo anunciado al resolver una ecuación racional fraccionaria.

Ejemplo.

Encuentra las raíces de la ecuación.

Solución.

Esta es una ecuación racional fraccionaria, y de la forma , donde p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Según el algoritmo para resolver ecuaciones racionales fraccionarias de este tipo, primero debemos resolver la ecuación 3 x−2=0. Esta es una ecuación lineal cuya raíz es x=2/3.

Queda por comprobar esta raíz, es decir, comprobar si satisface la condición 5 x 2 −2≠0. Sustituimos el número 2/3 en la expresión 5 x 2 −2 en lugar de x, y obtenemos. Se cumple la condición, por lo que x=2/3 es la raíz de la ecuación original.

Respuesta:

2/3 .

Puedes abordar la resolución de una ecuación racional fraccionaria desde una posición ligeramente diferente. Esta ecuación es equivalente a la ecuación entera p(x)=0 en la variable x de la ecuación original. Es decir, puedes ceñirte a esto. algoritmo para resolver una ecuación racional fraccionaria :

• resuelve la ecuación p(x)=0;
• encuentre la ODZ de la variable x;
• echar raíces que pertenecen a la región de valores aceptables: son las raíces deseadas de la ecuación racional fraccionaria original.

Por ejemplo, resolvamos una ecuación racional fraccionaria usando este algoritmo.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación.

Solución.

Primero, resolvemos la ecuación cuadrática x 2 −2·x−11=0. Sus raíces se pueden calcular usando la fórmula de la raíz para el segundo coeficiente par, tenemos D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Y .

En segundo lugar, encontramos la ODZ de la variable x para la ecuación original. Se compone de todos los números para los cuales x 2 +3·x≠0, que es lo mismo que x·(x+3)≠0, de donde x≠0, x≠−3.

Queda por comprobar si las raíces encontradas en el primer paso están incluidas en la ODZ. Obviamente, sí. Por tanto, la ecuación racional fraccionaria original tiene dos raíces.

Respuesta:

Tenga en cuenta que este enfoque es más rentable que el primero si la ODZ es fácil de encontrar, y es especialmente beneficioso si las raíces de la ecuación p(x) = 0 son irracionales, por ejemplo, o racionales, pero con un numerador bastante grande y /o denominador, por ejemplo, 127/1101 y −31/59. Esto se debe al hecho de que en tales casos, verificar la condición q(x)≠0 requerirá un esfuerzo computacional significativo, y es más fácil excluir raíces extrañas usando ODZ.

En otros casos, al resolver la ecuación, especialmente cuando las raíces de la ecuación p(x) = 0 son números enteros, es más rentable utilizar el primero de los algoritmos dados. Es decir, es aconsejable encontrar inmediatamente las raíces de toda la ecuación p(x)=0, y luego verificar si la condición q(x)≠0 se cumple para ellas, en lugar de encontrar la ODZ y luego resolver la ecuación. p(x)=0 en esta ODZ. Esto se debe al hecho de que en tales casos suele ser más fácil comprobar que encontrar DZ.

Consideremos la solución de dos ejemplos para ilustrar los matices especificados.

Ejemplo.

Encuentra las raíces de la ecuación.

Solución.

Primero, encontremos las raíces de toda la ecuación. (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, compuesto utilizando el numerador de la fracción. El lado izquierdo de esta ecuación es un producto y el lado derecho es cero, por lo tanto, según el método de resolución de ecuaciones mediante factorización, esta ecuación equivale a un conjunto de cuatro ecuaciones 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tres de estas ecuaciones son lineales y una es cuadrática; De la primera ecuación encontramos x=1/2, de la segunda - x=6, de la tercera - x=7, x=−2, de la cuarta - x=−1.

Con las raíces encontradas es bastante fácil comprobar si el denominador de la fracción del lado izquierdo de la ecuación original desaparece, pero determinar la ODZ, por el contrario, no es tan sencillo, ya que para ello tendrás que resolver una ecuación algebraica de quinto grado. Por tanto, abandonaremos la búsqueda de ODZ en favor de comprobar las raíces. Para ello, los sustituimos uno a uno en lugar de la variable x en la expresión x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, obtenidos tras sustitución, y compararlos con cero: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Por tanto, 1/2, 6 y −2 son las raíces deseadas de la ecuación racional fraccionaria original, y 7 y −1 son raíces extrañas.

Respuesta:

1/2 , 6 , −2 .

Ejemplo.

Encuentra las raíces de una ecuación racional fraccionaria.

Solución.

Primero, encontremos las raíces de la ecuación. (5 x 2 −7 x −1) (x−2)=0. Esta ecuación es equivalente a un conjunto de dos ecuaciones: cuadrada 5 x 2 −7 x−1=0 y lineal x−2=0. Usando la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática, encontramos dos raíces y de la segunda ecuación tenemos x=2.

Comprobar si el denominador llega a cero en los valores encontrados de x es bastante desagradable. Y determinar el rango de valores permisibles de la variable x en la ecuación original es bastante simple. Por tanto, actuaremos a través de ODZ.

En nuestro caso, la ODZ de la variable x de la ecuación racional fraccionaria original consta de todos los números excepto aquellos para los que se cumple la condición x 2 +5·x−14=0. Las raíces de esta ecuación cuadrática son x=−7 y x=2, de lo cual sacamos una conclusión sobre la ODZ: consta de todo x tal que .

Queda por comprobar si las raíces encontradas y x=2 pertenecen al rango de valores aceptables. Las raíces pertenecen, por tanto, son raíces de la ecuación original, y x=2 no pertenece, por tanto, es una raíz extraña.

Respuesta:

También será útil detenerse por separado en los casos en que en una ecuación racional fraccionaria de la forma hay un número en el numerador, es decir, cuando p(x) está representado por algún número. Donde

• si este número es distinto de cero, entonces la ecuación no tiene raíces, ya que una fracción es igual a cero si y sólo si su numerador es igual a cero;
• si este número es cero, entonces la raíz de la ecuación es cualquier número de la ODZ.

Ejemplo.

Solución.

Dado que el numerador de la fracción en el lado izquierdo de la ecuación contiene un número distinto de cero, entonces, para cualquier x, el valor de esta fracción no puede ser igual a cero. Por tanto, esta ecuación no tiene raíces.

Respuesta:

sin raíces.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación.

Solución.

El numerador de la fracción en el lado izquierdo de esta ecuación racional fraccionaria contiene cero, por lo que el valor de esta fracción es cero para cualquier x para la que tenga sentido. En otras palabras, la solución a esta ecuación es cualquier valor de x de la ODZ de esta variable.

Queda por determinar este rango de valores aceptables. Incluye todos los valores de x para los cuales x 4 +5 x 3 ≠0. Las soluciones de la ecuación x 4 +5 x 3 =0 son 0 y −5, ya que esta ecuación es equivalente a la ecuación x 3 (x+5)=0, y a su vez es equivalente a la combinación de dos ecuaciones x 3 =0 y x +5=0, desde donde son visibles estas raíces. Por lo tanto, el rango deseado de valores aceptables es cualquier x excepto x=0 y x=−5.

Por tanto, una ecuación racional fraccionaria tiene infinitas soluciones, que son cualquier número excepto cero y menos cinco.

Respuesta:

Finalmente, es hora de hablar sobre la resolución de ecuaciones racionales fraccionarias de forma arbitraria. Se pueden escribir como r(x)=s(x), donde r(x) y s(x) son expresiones racionales y al menos una de ellas es fraccionaria. De cara al futuro, digamos que su solución se reduce a resolver ecuaciones de la forma que ya conocemos.

Se sabe que trasladar un término de una parte de la ecuación a otra con signo opuesto conduce a una ecuación equivalente, por lo tanto la ecuación r(x)=s(x) es equivalente a la ecuación r(x)−s(x )=0.

También sabemos que cualquier expresión idénticamente igual a esta expresión es posible. Por lo tanto, siempre podemos transformar la expresión racional en el lado izquierdo de la ecuación r(x)−s(x)=0 en una fracción racional idénticamente igual de la forma.

Entonces pasamos de la ecuación racional fraccionaria original r(x)=s(x) a la ecuación, y su solución, como descubrimos anteriormente, se reduce a resolver la ecuación p(x)=0.

Pero aquí es necesario tener en cuenta el hecho de que al reemplazar r(x)−s(x)=0 con , y luego con p(x)=0, el rango de valores permitidos de la variable x puede expandirse .

En consecuencia, la ecuación original r(x)=s(x) y la ecuación p(x)=0 a la que llegamos pueden resultar desiguales, y resolviendo la ecuación p(x)=0, podemos obtener raíces esas serán raíces extrañas de la ecuación original r(x)=s(x) . Puede identificar y no incluir raíces extrañas en la respuesta realizando una verificación o verificando que pertenecen a la ODZ de la ecuación original.

Resumamos esta información en algoritmo para resolver la ecuación racional fraccionaria r(x)=s(x). Para resolver la ecuación racional fraccionaria r(x)=s(x), necesitas

• Obtenga cero a la derecha moviendo la expresión desde el lado derecho con el signo opuesto.
• Realiza operaciones con fracciones y polinomios en el lado izquierdo de la ecuación, transformándola así en una fracción racional de la forma.
• Resuelve la ecuación p(x)=0.
• Identificar y eliminar raíces extrañas, lo cual se hace sustituyéndolas en la ecuación original o verificando su pertenencia a la ODZ de la ecuación original.

Para mayor claridad, mostraremos toda la cadena de resolución de ecuaciones racionales fraccionarias:
.

Veamos las soluciones de varios ejemplos con una explicación detallada del proceso de solución para aclarar el bloque de información dado.

Ejemplo.

Resolver una ecuación racional fraccionaria.

Solución.

Actuaremos de acuerdo con el algoritmo de solución que acabamos de obtener. Y primero, movemos los términos del lado derecho de la ecuación hacia la izquierda, como resultado pasamos a la ecuación.

En el segundo paso, necesitamos convertir la expresión racional fraccionaria en el lado izquierdo de la ecuación resultante a la forma de una fracción. Para ello, reducimos fracciones racionales a un denominador común y simplificamos la expresión resultante: . Entonces llegamos a la ecuación.

En el siguiente paso, necesitamos resolver la ecuación −2·x−1=0. Encontramos x=−1/2.

Queda por comprobar si el número encontrado −1/2 no es una raíz extraña de la ecuación original. Para ello, puedes comprobar o encontrar el VA de la variable x de la ecuación original. Demostremos ambos enfoques.

Empecemos por comprobar. Sustituimos el número −1/2 en la ecuación original en lugar de la variable x, y obtenemos lo mismo, −1=−1. La sustitución da la igualdad numérica correcta, por lo que x=−1/2 es la raíz de la ecuación original.

Ahora mostraremos cómo se realiza el último punto del algoritmo a través de ODZ. El rango de valores permitidos de la ecuación original es el conjunto de todos los números excepto −1 y 0 (en x=−1 y x=0 los denominadores de las fracciones desaparecen). La raíz x=−1/2 encontrada en el paso anterior pertenece a la ODZ, por lo tanto, x=−1/2 es la raíz de la ecuación original.

Respuesta:

−1/2 .

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo.

Encuentra las raíces de la ecuación.

Solución.

Necesitamos resolver una ecuación racional fraccionaria, repasemos todos los pasos del algoritmo.

Primero, movemos el término de derecha a izquierda y obtenemos.

En segundo lugar, transformamos la expresión formada en el lado izquierdo: . Como resultado llegamos a la ecuación x=0.

Su raíz es obvia: es cero.

En el cuarto paso, queda por descubrir si la raíz encontrada es ajena a la ecuación racional fraccionaria original. Cuando se sustituye en la ecuación original, se obtiene la expresión. Obviamente, no tiene sentido porque contiene división por cero. De donde concluimos que 0 es una raíz extraña. Por tanto, la ecuación original no tiene raíces.

7, lo que conduce a la ecuación. De esto podemos concluir que la expresión en el denominador del lado izquierdo debe ser igual a la del lado derecho, es decir, . Ahora restamos de ambos lados del triple: . Por analogía, desde dónde y más allá.

La verificación muestra que ambas raíces encontradas son raíces de la ecuación racional fraccionaria original.

Respuesta:

Bibliografía.

• Álgebra: libro de texto para 8vo grado. educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2008. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G.Álgebra. Octavo grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich. - 11ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Álgebra: 9º grado: educativo. para educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2009. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Las ecuaciones con fracciones en sí no son difíciles y son muy interesantes. Veamos los tipos de ecuaciones fraccionarias y cómo resolverlas.

Cómo resolver ecuaciones con fracciones - x en el numerador

Si se da una ecuación fraccionaria, donde la incógnita está en el numerador, la solución no requiere condiciones adicionales y se resuelve sin problemas innecesarios. La forma general de dicha ecuación es x/a + b = c, donde x es la incógnita, a, b y c son números ordinarios.

Encuentra x: x/5 + 10 = 70.

Para resolver la ecuación, debes deshacerte de las fracciones. Multiplica cada término de la ecuación por 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. Se anulan 5x y 5, se multiplican 10 y 70 por 5 y obtenemos: x + 50 = 350 => x = 350 – 50 = 300.

Encuentre x: x/5 + x/10 = 90.

Este ejemplo es una versión un poco más complicada del primero. Hay dos posibles soluciones aquí.

• Opción 1: Nos deshacemos de las fracciones multiplicando todos los términos de la ecuación por un denominador mayor, es decir, por 10: 10x/5 + 10x/10 = 90×10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 = >x=300.
• Opción 2: suma el lado izquierdo de la ecuación. x/5 + x/10 = 90. El denominador común es 10. Dividimos 10 por 5, multiplicamos por x, obtenemos 2x. Dividimos 10 por 10, multiplicamos por x, obtenemos x: 2x+x/10 = 90. Por lo tanto, 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

A menudo encontramos ecuaciones fraccionarias en las que las x están en lados opuestos del signo igual. En tales situaciones, es necesario mover todas las fracciones con X hacia un lado y los números hacia el otro.

• Encuentre x: 3x/5 = 130 – 2x/5.
• Mueve 2x/5 hacia la derecha con el signo opuesto: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Reducimos 5x/5 y obtenemos: x = 130.

Cómo resolver una ecuación con fracciones - x en el denominador

Este tipo de ecuaciones fraccionarias requiere escribir condiciones adicionales. Precisar estas condiciones es parte obligatoria e integral de una decisión correcta. Al no agregarlas, corres el riesgo de que la respuesta (aunque sea correcta) simplemente no se cuente.

La forma general de las ecuaciones fraccionarias, donde x está en el denominador, es: a/x + b = c, donde x es la incógnita, a, b, c son números ordinarios. Tenga en cuenta que x puede no ser cualquier número. Por ejemplo, x no puede ser igual a cero, ya que no se puede dividir por 0. Esta es precisamente la condición adicional que debemos especificar. Esto se denomina rango de valores permitidos, abreviado como VA.

Encuentra x: 15/x + 18 = 21.

Inmediatamente escribimos la ODZ para x: x ≠ 0. Ahora que se indica la ODZ, resolvemos la ecuación según el esquema estándar, deshaciéndonos de las fracciones. Multiplica todos los términos de la ecuación por x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

A menudo hay ecuaciones en las que el denominador contiene no solo x, sino también alguna otra operación con ella, por ejemplo, suma o resta.

Encuentre x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Ya sabemos que el denominador no puede ser igual a cero, lo que significa x-3 ≠ 0. Movemos -3 hacia el lado derecho, cambiando el signo “-” por “+” y obtenemos que x ≠ 3. La ODZ es indicado.

Resolvemos la ecuación, multiplicamos todo por x-3: 15 + 18×(x – 3) = 21×(x – 3) => 15 + 18x – 54 = 21x – 63.

Mueva las X a la derecha, los números a la izquierda: 24 = 3x => x = 8.

En primer lugar, para aprender a trabajar con fracciones racionales sin errores, debes aprender fórmulas de multiplicación abreviadas. Y no es fácil de aprender: es necesario reconocerlos incluso cuando las funciones de los términos son senos, logaritmos y raíces.

Sin embargo, la herramienta principal sigue siendo la factorización del numerador y denominador de una fracción racional. Esto se puede lograr de tres maneras diferentes:

1. En realidad, según la fórmula de multiplicación abreviada: te permiten colapsar un polinomio en uno o más factores;
2. Utilizando la factorización de un trinomio cuadrático mediante un discriminante. El mismo método permite comprobar que cualquier trinomio no puede factorizarse en absoluto;
3. El método de agrupación es la herramienta más compleja, pero es el único método que funciona si los dos anteriores no funcionaron.

Como habrás adivinado por el título de este vídeo, volveremos a hablar de fracciones racionales. Hace apenas unos minutos terminé una lección con un alumno de décimo grado y allí analizamos exactamente estas expresiones. Por lo tanto, esta lección estará destinada específicamente a estudiantes de secundaria.

Seguramente muchos ahora tienen una pregunta: "¿Por qué los estudiantes de los grados 10 y 11 deberían estudiar cosas tan simples como fracciones racionales, porque esto se enseña en el octavo grado?" Pero el problema es que la mayoría de la gente “pasa por” este tema. En los grados 10-11, ya no recuerdan cómo hacer multiplicaciones, divisiones, restas y sumas de fracciones racionales del octavo grado, pero es sobre este conocimiento simple que se construyen construcciones adicionales y más complejas, como resolver logarítmicos, ecuaciones trigonométricas y muchas otras expresiones complejas, por lo que prácticamente no hay nada que hacer en la escuela secundaria sin fracciones racionales.

Fórmulas para resolver problemas.

Vamos a ir al grano. En primer lugar, necesitamos dos hechos: dos conjuntos de fórmulas. En primer lugar, necesitas conocer las fórmulas de multiplicación abreviadas:

• $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — diferencia de cuadrados;
• $((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2))$ — cuadrado de la suma o diferencia;
• $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ es la suma de cubos;
• $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ es la diferencia de cubos.

No se encuentran en su forma pura en ningún ejemplo ni en expresiones realmente serias. Por lo tanto, nuestra tarea es aprender a ver estructuras mucho más complejas debajo de las letras $a$ y $b$, por ejemplo, logaritmos, raíces, senos, etc. Puedes aprender a ver esto sólo mediante la práctica constante. Por eso es absolutamente necesario resolver fracciones racionales.

La segunda fórmula, completamente obvia, es la factorización del trinomio cuadrático:

$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ son raíces.

Nos hemos ocupado de la parte teórica. Pero, ¿cómo resolver fracciones racionales reales, que se estudian en octavo grado? Ahora practicaremos.

Tarea número 1

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(3))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Intentemos aplicar las fórmulas anteriores para resolver fracciones racionales. En primer lugar, quiero explicar por qué es necesaria la factorización. El caso es que a primera vista en la primera parte del problema, uno quiere reducir el cubo al cuadrado, pero esto está estrictamente prohibido, porque son términos en el numerador y denominador, pero en ningún caso son factores.

¿Qué es la abreviatura de todos modos? La reducción es el uso de una regla básica para trabajar con este tipo de expresiones. La principal propiedad de una fracción es que podemos multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número distinto de “cero”. En este caso, cuando reducimos, por el contrario, dividimos por el mismo número, distinto de “cero”. Sin embargo, debemos dividir todos los términos del denominador por el mismo número. No puedes hacer eso. Y tenemos derecho a reducir el numerador al denominador sólo cuando ambos están factorizados. Hagámoslo.

Ahora necesita ver cuántos términos hay en un elemento en particular y, en consecuencia, averiguar qué fórmula usar.

Transformemos cada expresión en un cubo exacto:

Reescribamos el numerador:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

Miremos el denominador. Ampliémoslo usando la fórmula de diferencia de cuadrados:

\[((b)^(2))-4=((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \ bien)\]

Ahora veamos la segunda parte de la expresión:

Numerador:

Queda por calcular el denominador:

\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right))^(2))\]

Reescribamos toda la estructura teniendo en cuenta los hechos anteriores:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Matices de multiplicar fracciones racionales.

La conclusión clave de estas construcciones es la siguiente:

• No todos los polinomios se pueden factorizar.
• Incluso si está descompuesto, debes observar detenidamente cuál es exactamente la fórmula de multiplicación abreviada.

Para hacer esto, en primer lugar, necesitamos estimar cuántos términos hay (si hay dos, entonces todo lo que podemos hacer es expandirlos ya sea por la suma de la diferencia de cuadrados, o por la suma o diferencia de cubos; y si son tres, entonces este, únicamente, ya sea el cuadrado de la suma o el cuadrado de la diferencia). A menudo sucede que el numerador o el denominador no requieren factorización alguna; puede ser lineal o su discriminante será negativo.

Problema número 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

En general, el esquema para resolver este problema no es diferente del anterior: simplemente habrá más acciones y serán más diversas.

Empecemos por la primera fracción: mira su numerador y haz posibles transformaciones:

Ahora veamos el denominador:

Con la segunda fracción: no se puede hacer nada en el numerador, porque es una expresión lineal y es imposible quitarle ningún factor. Miremos el denominador:

\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\left(x-2 \right ))^(2))\]

Vayamos a la tercera fracción. Numerador:

Veamos el denominador de la última fracción:

Reescribamos la expresión teniendo en cuenta los hechos anteriores:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+4 \right))\cdot \frac(2x+1)((( \left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]

\[=\frac(-3)(2\left(2-x \right))=-\frac(3)(2\left(2-x \right))=\frac(3)(2\left (x-2 \derecha))\]

Matices de la solución.

Como puede ver, no todo y no siempre depende de fórmulas de multiplicación abreviadas; a veces basta con poner una constante o variable entre paréntesis. Sin embargo, también ocurre la situación contraria, cuando hay tantos términos o están construidos de tal manera que las fórmulas de multiplicación abreviadas para ellos son generalmente imposibles. En este caso, nos ayuda una herramienta universal: el método de agrupación. Esto es exactamente lo que aplicaremos ahora en el siguiente problema.

Problema número 3

\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a )^(2))-((b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Veamos la primera parte:

\[((a)^(2))+ab=a\left(a+b \right)\]

\[=5\left(a-b \right)-\left(a-b \right)\left(a+b \right)=\left(a-b \right)\left(5-1\left(a+b \right) )\derecha)=\]

\[=\left(a-b \right)\left(5-a-b \right)\]

Reescribamos la expresión original:

\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(((a)^(2))-( (b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Ahora veamos el segundo paréntesis:

\[((a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \right)-((b)^(2))=\]

\[=((\left(a-5 \right))^(2))-((b)^(2))=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \bien)\]

Como no se pudieron agrupar dos elementos, agrupamos tres. Sólo queda encontrar el denominador de la última fracción:

\[((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)\]

Ahora reescribamos toda nuestra construcción:

\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(\left(a-5-b \right) \left(a-5+b \right))(\left(a-b \right)\left(a+b \right))=\frac(a\left(b-a+5 \right))((( \left(a-b \right))^(2)))\]

El problema está resuelto y aquí no se puede simplificar nada más.

Matices de la solución.

Descubrimos la agrupación y obtuvimos otra herramienta muy poderosa que amplía las capacidades de factorización. Pero el problema es que en la vida real nadie nos dará ejemplos tan refinados, donde hay varias fracciones para las que basta con factorizar el numerador y el denominador y luego, si es posible, reducirlos. Las expresiones reales serán mucho más complejas.

Lo más probable es que, además de la multiplicación y la división, haya restas y sumas, todo tipo de paréntesis; en general, tendrás que tener en cuenta el orden de las acciones. Pero lo peor es que al restar y sumar fracciones con distintos denominadores, habrá que reducirlas a un denominador común. Para hacer esto, será necesario factorizar cada una de ellas y luego transformar estas fracciones: dar fracciones similares y mucho más. ¿Cómo hacer esto de forma correcta, rápida y al mismo tiempo obtener una respuesta claramente correcta? Esto es exactamente de lo que hablaremos ahora usando la siguiente construcción como ejemplo.

Problema número 4

\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \right)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \derecha)\]

Escribamos la primera fracción e intentemos resolverla por separado:

\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]

\[=\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\]

Pasemos al segundo. Calculemos inmediatamente el discriminante del denominador:

No se puede factorizar, por lo que escribimos lo siguiente:

\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right)) \]

Escribiremos el numerador por separado:

\[((x)^(2))-2x+12=0\]

En consecuencia, este polinomio no se puede factorizar.

Ya hemos hecho lo máximo que pudimos hacer y descomponer.

Entonces reescribimos nuestra construcción original y obtenemos:

\[\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]

Eso es todo, problema resuelto.

Para ser honesto, no fue una tarea tan difícil: todo se factorizó fácilmente, los términos similares se redujeron rápidamente y todo se redujo maravillosamente. Así que ahora intentemos resolver un problema más grave.

Problema número 5

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Primero, tratemos el primer paréntesis. Desde el principio, factoricemos el denominador de la segunda fracción por separado:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \derecha)\]

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]

\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\ izquierda(((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(2))+8-\left(((x)^(2))+2x+4 \right))( \left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)) =\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Ahora trabajemos con la segunda fracción:

\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2 )))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ izquierda(x-2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]

Volvemos a nuestro diseño original y escribimos:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Puntos clave

Una vez más, los hechos clave de la videolección de hoy:

1. Necesita saber de memoria las fórmulas de multiplicación abreviada, y no solo saberlas, sino poder ver en aquellas expresiones que encontrará en problemas reales. Una regla maravillosa puede ayudarnos con esto: si hay dos términos, entonces es la diferencia de cuadrados o la diferencia o suma de cubos; si es tres, sólo puede ser el cuadrado de la suma o diferencia.
2. Si alguna construcción no se puede ampliar utilizando fórmulas de multiplicación abreviadas, entonces nos ayuda la fórmula estándar para factorizar trinomios o el método de agrupación.
3. Si algo no funciona, mire cuidadosamente la expresión fuente para ver si se requiere alguna transformación. Tal vez sea suficiente simplemente sacar el factor entre paréntesis, que muy a menudo es simplemente una constante.
4. En expresiones complejas donde necesites realizar varias acciones seguidas, no olvides reducir a un denominador común, y solo después de eso, cuando todas las fracciones se reduzcan a él, asegúrate de poner lo mismo en el nuevo numerador, y luego factorice nuevamente el nuevo numerador; es posible que se reduzca algo.

Eso es todo lo que quería contarte hoy sobre las fracciones racionales. Si algo no está claro, todavía hay un montón de tutoriales en vídeo en el sitio, así como un montón de problemas que puedes resolver por tu cuenta. ¡Así que estad atentos!

"Resolver ecuaciones racionales fraccionarias"

Objetivos de la lección:

Educativo:

formación del concepto de ecuaciones racionales fraccionarias; considerar varias formas de resolver ecuaciones racionales fraccionarias; considere un algoritmo para resolver ecuaciones racionales fraccionarias, incluida la condición de que la fracción sea igual a cero; enseñar a resolver ecuaciones racionales fraccionarias usando un algoritmo; comprobar el nivel de dominio del tema mediante la realización de una prueba.

De desarrollo:

desarrollar la capacidad de operar correctamente con los conocimientos adquiridos y pensar con lógica; desarrollo de habilidades intelectuales y operaciones mentales: análisis, síntesis, comparación y generalización; desarrollo de la iniciativa, la capacidad de tomar decisiones y no quedarse ahí; desarrollo del pensamiento crítico; desarrollo de habilidades de investigación.

Educando:

fomentar el interés cognitivo por el tema; fomentar la independencia en la resolución de problemas educativos; alimentando la voluntad y la perseverancia para lograr los resultados finales.

tipo de lección: lección - explicación de material nuevo.

durante las clases

1. Momento organizativo.

¡Hola, chicos! Hay ecuaciones escritas en la pizarra, míralas con atención. ¿Puedes resolver todas estas ecuaciones? ¿Cuáles no lo son y por qué?

Las ecuaciones en las que los lados izquierdo y derecho son expresiones racionales fraccionarias se denominan ecuaciones racionales fraccionarias. ¿Qué crees que estudiaremos hoy en clase? Formule el tema de la lección. Entonces, abran sus cuadernos y escriban el tema de la lección “Resolver ecuaciones racionales fraccionarias”.

2. Actualización de conocimientos. Encuesta frontal, trabajo oral con la clase.

Y ahora repetiremos el material teórico principal que necesitaremos para estudiar un tema nuevo. Por favor, conteste a las siguientes preguntas:

1. ¿Qué es una ecuación? ( Igualdad con una variable o variables.)

2. ¿Cómo se llama la ecuación No. 1? ( Lineal.) Un método para resolver ecuaciones lineales. ( Mueve todo lo que tenga la incógnita al lado izquierdo de la ecuación, todos los números al derecho. Dar términos similares. encontrar factor desconocido).

3. ¿Cómo se llama la ecuación No. 3? ( Cuadrado.) Métodos de resolución de ecuaciones cuadráticas. ( Aislar un cuadrado completo usando fórmulas usando el teorema de Vieta y sus corolarios.)

4. ¿Qué es la proporción? ( Igualdad de dos proporciones.) La principal propiedad de la proporción. ( Si la proporción es correcta, entonces el producto de sus términos extremos es igual al producto de los términos medios..)

5. ¿Qué propiedades se utilizan al resolver ecuaciones? ( 1. Si mueves un término de una ecuación de una parte a otra, cambiando su signo, obtendrás una ecuación equivalente a la dada. 2. Si ambos lados de la ecuación se multiplican o dividen por el mismo número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la dada..)

6. ¿Cuándo una fracción es igual a cero? ( Una fracción es igual a cero cuando el numerador es cero y el denominador no es cero..)

3. Explicación de material nuevo.

Resuelvan la ecuación N°2 en sus cuadernos y en la pizarra.

Respuesta: 10.

¿Qué ecuación racional fraccionaria puedes intentar resolver usando la propiedad básica de la proporción? (Numero 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Resuelvan la ecuación N°4 en sus cuadernos y en la pizarra.

Respuesta: 1,5.

¿Qué ecuación racional fraccionaria puedes intentar resolver multiplicando ambos lados de la ecuación por el denominador? (Nº 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Respuesta: 3;4.

Ahora intenta resolver la ecuación número 7 usando uno de los siguientes métodos.

(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5D=49
Respuesta: 0;5;-2.			Respuesta: 5;-2.

¿Explica por qué sucedió esto? ¿Por qué hay tres raíces en un caso y dos en el otro? ¿Qué números son las raíces de esta ecuación racional fraccionaria?

Hasta ahora, los estudiantes no se han encontrado con el concepto de raíz extraña; de hecho, les resulta muy difícil entender por qué sucedió esto. Si nadie en la clase puede dar una explicación clara de esta situación, entonces el profesor hace preguntas capciosas.

¿En qué se diferencian las ecuaciones 2 y 4 de las ecuaciones 5,6,7? ( En las ecuaciones No. 2 y 4 hay números en el denominador, No. 5-7 son expresiones con una variable.) ¿Cuál es la raíz de una ecuación? ( El valor de la variable en el que la ecuación se vuelve verdadera..) ¿Cómo saber si un número es la raíz de una ecuación? ( hacer un cheque.)

Al realizar la prueba, algunos estudiantes notan que tienen que dividir por cero. Concluyen que los números 0 y 5 no son las raíces de esta ecuación. Surge la pregunta: ¿existe alguna forma de resolver ecuaciones racionales fraccionarias que nos permita eliminar este error? Sí, este método se basa en la condición de que la fracción sea igual a cero.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Si x=5, entonces x(x-5)=0, lo que significa que 5 es una raíz extraña.

Si x=-2, entonces x(x-5)≠0.

Respuesta: -2.

Intentemos formular un algoritmo para resolver ecuaciones racionales fraccionarias de esta manera. Los niños formulan el algoritmo ellos mismos.

Algoritmo para resolver ecuaciones racionales fraccionarias:

1. Mueve todo hacia el lado izquierdo.

2. Reducir fracciones a un denominador común.

3. Crea un sistema: una fracción es igual a cero cuando el numerador es igual a cero y el denominador no es igual a cero.

4. Resuelve la ecuación.

5. Verifique la desigualdad para excluir raíces extrañas.

6. Escribe la respuesta.

Discusión: cómo formalizar la solución si usas la propiedad básica de la proporción y multiplicas ambos lados de la ecuación por un denominador común. (Añadir a la solución: excluir de sus raíces aquellas que hacen desaparecer el denominador común).

4. Comprensión inicial de material nuevo.

Trabajo en parejas. Los estudiantes eligen cómo resolver la ecuación ellos mismos dependiendo del tipo de ecuación. Asignaciones del libro de texto “Álgebra 8”, 2007: No. 000 (b, c, i); N° 000(a,d,g). El profesor supervisa la realización de la tarea, responde cualquier pregunta que surja y brinda asistencia a los estudiantes de bajo rendimiento. Autoevaluación: las respuestas se escriben en la pizarra.

b) 2 – raíz extraña. Respuesta: 3.

c) 2 – raíz extraña. Respuesta: 1.5.

a) Respuesta: -12,5.

g) Respuesta: 1;1.5.

5. Establecer tareas.

2. Aprenda el algoritmo para resolver ecuaciones racionales fraccionarias.

3. Resolver en los cuadernos N° 000 (a, d, e); N° 000(g,h).

4. Intenta resolver el número 000(a) (opcional).

6. Realización de una tarea de control sobre el tema estudiado.

El trabajo se realiza sobre trozos de papel.

Tarea de ejemplo:

A) ¿Cuáles de las ecuaciones son fraccionarias racionales?

B) Una fracción es igual a cero cuando el numerador es ______________________ y ​​el denominador es _______________________.

P) ¿Es el número -3 la raíz de la ecuación número 6?

D) Resuelva la ecuación No. 7.

Criterios de evaluación del trabajo:

Se otorga “5” si el estudiante completó más del 90% de la tarea correctamente. “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” se le da a un estudiante que ha completado menos del 50% de la tarea. En la revista no se otorga una calificación de 2, 3 es opcional.

7. Reflexión.

En las hojas de trabajo independiente, escribe:

1 – si la lección le resultó interesante y comprensible; 2 – interesante, pero no claro; 3 – no es interesante, pero es comprensible; 4 – no es interesante, no está claro.

8. Resumiendo la lección.

Entonces, hoy en la lección nos familiarizamos con las ecuaciones racionales fraccionarias, aprendimos a resolver estas ecuaciones de varias maneras y probamos nuestros conocimientos con la ayuda de un trabajo educativo independiente. Conocerás los resultados de tu trabajo independiente en la próxima lección y en casa tendrás la oportunidad de consolidar tus conocimientos.

¿Qué método de resolución de ecuaciones racionales fraccionarias es, en tu opinión, más fácil, más accesible y más racional? Independientemente del método para resolver ecuaciones racionales fraccionarias, ¿qué debes recordar? ¿Cuál es la “astucia” de las ecuaciones racionales fraccionarias?

Gracias a todos, la lección ha terminado.