Sumar fracciones con incógnitas. Restar una fracción propia de uno

Las expresiones fraccionarias son difíciles de entender para un niño. La mayoría de la gente tiene dificultades con. Al estudiar el tema “suma de fracciones con números enteros”, el niño cae en un estupor y le resulta difícil resolver el problema. En muchos ejemplos, antes de realizar una acción, se deben realizar una serie de cálculos. Por ejemplo, convertir fracciones o convertir una fracción impropia en una fracción propia.

Expliquemoslo claramente al niño. Cogemos tres manzanas, dos de las cuales estarán enteras, y cortamos la tercera en 4 partes. Separa una rodaja de la manzana cortada y coloca las tres restantes junto a dos frutas enteras. Nos salen ¼ de manzana por un lado y 2 ¾ por el otro. Si las combinamos obtenemos tres manzanas. Intentemos reducir 2 ¾ manzanas a ¼, es decir, quitamos otra rodaja, obtenemos 2 2/4 manzanas.

Echemos un vistazo más de cerca a las operaciones con fracciones que contienen números enteros:

Primero, recordemos la regla de cálculo para expresiones fraccionarias con denominador común:

A primera vista, todo es fácil y sencillo. Pero esto sólo se aplica a expresiones que no requieren conversión.

Cómo encontrar el valor de una expresión donde los denominadores son diferentes

En algunas tareas necesitas encontrar el significado de una expresión donde los denominadores son diferentes. Veamos un caso concreto:
3 2/7+6 1/3

Encontremos el valor de esta expresión encontrando un denominador común para dos fracciones.

Para los números 7 y 3, esto es 21. Dejamos las partes enteras iguales y llevamos las partes fraccionarias a 21, para esto multiplicamos la primera fracción por 3, la segunda por 7, obtenemos:
21/06+21/07, no olvide que las partes enteras no se pueden convertir. Como resultado, obtenemos dos fracciones con el mismo denominador y calculamos su suma:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
¿Qué pasa si la suma da como resultado una fracción impropia que ya tiene una parte entera?
2 1/3+3 2/3
En este caso sumamos las partes enteras y fraccionarias, obtenemos:
5 3/3, como sabes, 3/3 es uno, lo que significa 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

Encontrar la suma está todo claro, veamos la resta:

De todo lo dicho se desprende la regla para operaciones con números mixtos:

• Si necesitas restar un número entero de una expresión fraccionaria, no necesitas representar el segundo número como una fracción; basta con realizar la operación solo en las partes enteras.

Intentemos calcular nosotros mismos el significado de las expresiones:

Echemos un vistazo más de cerca al ejemplo bajo la letra "m":

4 5/11-2 8/11, el numerador de la primera fracción es menor que el de la segunda. Para hacer esto, tomamos prestado un número entero de la primera fracción, obtenemos,
3 5/11+11/11=3 entero 16/11, resta la segunda a la primera fracción:
3 16/11-2 8/11=1 entero 8/11

• Tenga cuidado al completar la tarea, no olvide convertir fracciones impropias en fracciones mixtas, resaltando la parte completa. Para hacer esto, necesitas dividir el valor del numerador por el valor del denominador, luego lo que sucede toma el lugar de la parte entera, el resto será el numerador, por ejemplo:

19/4=4 ¾, comprobemos: 4*4+3=19, el denominador 4 permanece sin cambios.

Resumir:

Antes de iniciar una tarea relacionada con fracciones, es necesario analizar qué tipo de expresión es, qué transformaciones se deben realizar sobre la fracción para que la solución sea correcta. Busque una solución más racional. No vayas por el camino difícil. Planifica todas las acciones, resuélvelas primero en forma de borrador y luego transfiérelas a tu cuaderno escolar.

Para evitar confusiones al resolver expresiones fraccionarias, debes seguir la regla de coherencia. Decide todo con cuidado, sin prisas.

Sumar y restar fracciones con denominadores iguales
Sumar y restar fracciones con diferentes denominadores
Concepto de CON
Reducir fracciones al mismo denominador.
Cómo sumar un número entero y una fracción

1 Sumar y restar fracciones con denominadores iguales

Para sumar fracciones con los mismos denominadores, debes sumar sus numeradores, pero dejar el denominador igual, por ejemplo:

Para restar fracciones con los mismos denominadores, debes restar el numerador de la segunda fracción del numerador de la primera fracción y dejar el denominador igual, por ejemplo:

Para sumar fracciones mixtas, debe sumar por separado sus partes enteras y luego sumar sus partes fraccionarias y escribir el resultado como una fracción mixta.

Si al sumar partes fraccionarias obtienes una fracción impropia, selecciona la parte entera y súmala a la parte entera, por ejemplo:

2 Sumar y restar fracciones con diferentes denominadores

Para poder sumar o restar fracciones con distintos denominadores, primero debes reducirlas al mismo denominador, y luego proceder como se indica al inicio de este artículo. El denominador común de varias fracciones es el MCM (mínimo común múltiplo). Para el numerador de cada fracción, se encuentran factores adicionales dividiendo el MCM por el denominador de esta fracción. Veremos un ejemplo más adelante, una vez que entendamos qué es un NOC.

3 Mínimo común múltiplo (MCM)

El mínimo común múltiplo de dos números (MCM) es el más pequeño número natural, que es divisible por ambos números sin resto. A veces, el NOC se puede seleccionar oralmente, pero más a menudo, especialmente cuando se trabaja con números grandes, debes encontrar el LOC por escrito usando el siguiente algoritmo:

Para encontrar el MCM de varios números, necesitas:

1. Divide estos números en factores primos
2. Toma la expansión más grande y escribe estos números como un producto.
3. Seleccione números en otras descomposiciones que no aparezcan en la descomposición más grande (o que aparezcan menos veces en ella) y agréguelos al producto.
4. Multiplica todos los números del producto, este será el MCM.

Por ejemplo, encontremos el MCM de los números 28 y 21:

4Reducir fracciones al mismo denominador

Volvamos a sumar fracciones con diferentes denominadores.

Cuando reducimos fracciones al mismo denominador, que es igual al MCM de ambos denominadores, debemos multiplicar los numeradores de estas fracciones por multiplicadores adicionales. Puedes encontrarlos dividiendo el MCM por el denominador de la fracción correspondiente, por ejemplo:

Por lo tanto, para reducir fracciones al mismo exponente, primero debes encontrar el MCM (es decir, número más pequeño, que es divisible por ambos denominadores) de los denominadores de estas fracciones, luego suma factores adicionales a los numeradores de las fracciones. Puedes encontrarlos dividiendo el denominador común (CMD) por el denominador de la fracción correspondiente. Luego debes multiplicar el numerador de cada fracción por un factor adicional y poner el MCM como denominador.

5Cómo sumar un número entero y una fracción

Para sumar un número entero y una fracción, solo necesitas sumar este número antes de la fracción y obtendrás fracción mixta, Por ejemplo.

En Esta lección Se considerará la suma y resta de fracciones algebraicas con diferentes denominadores. Ya sabemos sumar y restar fracciones comunes con diferentes denominadores. Para ello, las fracciones deben reducirse a un denominador común. Resulta que las fracciones algebraicas siguen las mismas reglas. Al mismo tiempo, ya sabemos cómo reducir fracciones algebraicas a un denominador común. Sumar y restar fracciones con diferentes denominadores es una de las operaciones más importantes y temas dificiles en el curso de 8vo grado. Donde este tema Aparecerá en muchos temas de cursos de álgebra que estudiarás en el futuro. Como parte de la lección, estudiaremos las reglas para sumar y restar fracciones algebraicas con diferentes denominadores y también analizaremos toda la linea ejemplos típicos.

Consideremos ejemplo más simple para fracciones ordinarias.

Ejemplo 1. Sumar fracciones: .

Solución:

Recordemos la regla para sumar fracciones. Para empezar, las fracciones deben reducirse a un denominador común. en el papel común denominador para fracciones ordinarias significa minimo común multiplo(MCM) de los denominadores originales.

Definición

El número natural más pequeño que es divisible por ambos números y.

Para encontrar el MCM, debes factorizar los denominadores en factores primos y luego seleccionar todos los factores primos que están incluidos en la expansión de ambos denominadores.

; . Entonces el MCM de números debe incluir dos de dos y dos de tres: .

Después de encontrar el denominador común, debes encontrar un factor adicional para cada fracción (de hecho, divide el denominador común por el denominador de la fracción correspondiente).

Luego, cada fracción se multiplica por el factor adicional resultante. Obtenemos fracciones con los mismos denominadores, que aprendimos a sumar y restar en lecciones anteriores.

Obtenemos: .

Respuesta:.

Consideremos ahora la suma de fracciones algebraicas con diferentes denominadores. Primero, veamos fracciones cuyos denominadores son números.

Ejemplo 2. Sumar fracciones: .

Solución:

El algoritmo de solución es absolutamente similar al ejemplo anterior. Es fácil encontrar el denominador común de estas fracciones: y factores adicionales para cada una de ellas.

.

Respuesta:.

Entonces, formulemos algoritmo para sumar y restar fracciones algebraicas con diferentes denominadores:

1. Encuentra el mínimo común denominador de fracciones.

2. Encuentra factores adicionales para cada una de las fracciones (dividiendo el denominador común por el denominador de la fracción dada).

3. Multiplica los numeradores por los factores adicionales correspondientes.

4. Sumar o restar fracciones usando las reglas para sumar y restar fracciones con denominadores similares.

Consideremos ahora un ejemplo con fracciones cuyo denominador contiene expresiones literales.

Ejemplo 3. Sumar fracciones: .

Solución:

Dado que las expresiones de letras en ambos denominadores son iguales, debes encontrar un denominador común para los números. El denominador común final será el siguiente: . Por tanto, la solución a este ejemplo es la siguiente:

Respuesta:.

Ejemplo 4. Restar fracciones: .

Solución:

Si no puedes “hacer trampa” al elegir un denominador común (no puedes factorizarlo ni usar fórmulas de multiplicación abreviadas), entonces debes tomar el producto de los denominadores de ambas fracciones como denominador común.

Respuesta:.

En general, al resolver este tipo de ejemplos, la tarea más difícil es encontrar un denominador común.

Veamos un ejemplo más complejo.

Ejemplo 5. Simplifica: .

Solución:

Al encontrar un denominador común, primero debes intentar factorizar los denominadores de las fracciones originales (para simplificar el denominador común).

En este caso particular:

Entonces es fácil determinar el denominador común: .

Determinamos factores adicionales y resolvemos este ejemplo:

Respuesta:.

Ahora establezcamos las reglas para sumar y restar fracciones con diferentes denominadores.

Ejemplo 6. Simplifica: .

Solución:

Respuesta:.

Ejemplo 7. Simplifica: .

Solución:

.

Respuesta:.

Consideremos ahora un ejemplo en el que no se suman dos, sino tres fracciones (después de todo, las reglas de suma y resta para un mayor número de fracciones siguen siendo las mismas).

Ejemplo 8. Simplifica: .

Esta lección cubrirá la suma y resta de fracciones algebraicas con diferentes denominadores. Ya sabemos sumar y restar fracciones comunes con diferentes denominadores. Para ello, las fracciones deben reducirse a un denominador común. Resulta que las fracciones algebraicas siguen las mismas reglas. Al mismo tiempo, ya sabemos cómo reducir fracciones algebraicas a un denominador común. Sumar y restar fracciones con diferentes denominadores es uno de los temas más importantes y difíciles del curso de octavo grado. Además, este tema aparecerá en muchos temas del curso de álgebra que estudiarás en el futuro. Como parte de la lección, estudiaremos las reglas para sumar y restar fracciones algebraicas con diferentes denominadores y también analizaremos una serie de ejemplos típicos.

Veamos el ejemplo más simple de fracciones ordinarias.

Ejemplo 1. Sumar fracciones: .

Solución:

Recordemos la regla para sumar fracciones. Para empezar, las fracciones deben reducirse a un denominador común. El denominador común de las fracciones ordinarias es minimo común multiplo(MCM) de los denominadores originales.

Definición

El número natural más pequeño que es divisible por ambos números y.

Para encontrar el MCM, debes factorizar los denominadores en factores primos y luego seleccionar todos los factores primos que están incluidos en la expansión de ambos denominadores.

; . Entonces el MCM de números debe incluir dos de dos y dos de tres: .

Después de encontrar el denominador común, debes encontrar un factor adicional para cada fracción (de hecho, divide el denominador común por el denominador de la fracción correspondiente).

Luego, cada fracción se multiplica por el factor adicional resultante. Obtenemos fracciones con los mismos denominadores, que aprendimos a sumar y restar en lecciones anteriores.

Obtenemos: .

Respuesta:.

Consideremos ahora la suma de fracciones algebraicas con diferentes denominadores. Primero, veamos fracciones cuyos denominadores son números.

Ejemplo 2. Sumar fracciones: .

Solución:

El algoritmo de solución es absolutamente similar al ejemplo anterior. Es fácil encontrar el denominador común de estas fracciones: y factores adicionales para cada una de ellas.

.

Respuesta:.

Entonces, formulemos algoritmo para sumar y restar fracciones algebraicas con diferentes denominadores:

1. Encuentra el mínimo común denominador de fracciones.

2. Encuentra factores adicionales para cada una de las fracciones (dividiendo el denominador común por el denominador de la fracción dada).

3. Multiplica los numeradores por los factores adicionales correspondientes.

4. Sumar o restar fracciones usando las reglas para sumar y restar fracciones con denominadores similares.

Consideremos ahora un ejemplo con fracciones cuyo denominador contiene expresiones de letras.

Ejemplo 3. Sumar fracciones: .

Solución:

Dado que las expresiones de letras en ambos denominadores son iguales, debes encontrar un denominador común para los números. El denominador común final será el siguiente: . Por tanto, la solución a este ejemplo es la siguiente:

Respuesta:.

Ejemplo 4. Restar fracciones: .

Solución:

Si no puedes “hacer trampa” al elegir un denominador común (no puedes factorizarlo ni usar fórmulas de multiplicación abreviadas), entonces debes tomar el producto de los denominadores de ambas fracciones como denominador común.

Respuesta:.

En general, al resolver este tipo de ejemplos, la tarea más difícil es encontrar un denominador común.

Veamos un ejemplo más complejo.

Ejemplo 5. Simplifica: .

Solución:

Al encontrar un denominador común, primero debes intentar factorizar los denominadores de las fracciones originales (para simplificar el denominador común).

En este caso particular:

Entonces es fácil determinar el denominador común: .

Determinamos factores adicionales y resolvemos este ejemplo:

Respuesta:.

Ahora establezcamos las reglas para sumar y restar fracciones con diferentes denominadores.

Ejemplo 6. Simplifica: .

Solución:

Respuesta:.

Ejemplo 7. Simplifica: .

Solución:

.

Respuesta:.

Consideremos ahora un ejemplo en el que no se suman dos, sino tres fracciones (después de todo, las reglas de suma y resta para un mayor número de fracciones siguen siendo las mismas).

Ejemplo 8. Simplifica: .

El numerador, y lo que se divide por es el denominador.

Para escribir una fracción, primero escribe el numerador, luego dibuja una línea horizontal debajo del número y escribe el denominador debajo de la línea. La línea horizontal que separa el numerador y el denominador se llama línea de fracción. A veces se representa como una "/" o "∕" oblicua. En este caso, el numerador se escribe a la izquierda de la línea y el denominador a la derecha. Así, por ejemplo, la fracción “dos tercios” se escribirá como 2/3. Para mayor claridad, el numerador generalmente se escribe en la parte superior de la línea y el denominador en la parte inferior, es decir, en lugar de 2/3 puedes encontrar: ⅔.

Para calcular el producto de fracciones, primero multiplica el numerador de uno fracciones al numerador es diferente. Escribe el resultado en el numerador del nuevo fracciones. Después de esto, multiplica los denominadores. Introduzca el valor total en el nuevo fracciones. Por ejemplo, ¿1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Para dividir una fracción entre otra, primero se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda. Haz lo mismo con la segunda fracción (divisor). O, antes de realizar todas las acciones, primero “voltea” el divisor, si te resulta más conveniente: el denominador debe aparecer en lugar del numerador. Luego multiplica el denominador del dividendo por el nuevo denominador del divisor y multiplica los numeradores. Por ejemplo, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1? 5 = 5; 3? 1 = 3).

Fuentes:

• Problemas básicos de fracciones

Los números fraccionarios se pueden expresar en en diferentes formas valor exacto cantidades. Puedes hacer las mismas operaciones matemáticas con fracciones que con números enteros: resta, suma, multiplicación y división. Para aprender a decidir fracciones, debemos recordar algunas de sus características. Dependen del tipo fracciones, la presencia de una parte entera, un denominador común. Algunas operaciones aritméticas requieren que la parte fraccionaria del resultado se reduzca después de la ejecución.

Necesitará

• - calculadora

Instrucciones

Mire de cerca los números. Si entre las fracciones hay decimales e irregulares, a veces es más conveniente realizar primero operaciones con decimales y luego convertirlas a la forma irregular. Puedes traducir fracciones de esta forma inicialmente, escribiendo el valor después del punto decimal en el numerador y poniendo 10 en el denominador. Si es necesario, reduce la fracción dividiendo los números de arriba y de abajo por un divisor. Fracciones en las que destaca. Toda una parte, póngalo en la forma incorrecta multiplicándolo por el denominador y sumando el numerador al resultado. valor dado se convertirá en el nuevo numerador fracciones. Para seleccionar una parte entera a partir de una inicialmente incorrecta fracciones, necesitas dividir el numerador por el denominador. Escribe el resultado completo de fracciones. Y el resto de la división se convertirá en el nuevo numerador, denominador. fracciones no cambia. Para fracciones con parte entera, es posible realizar acciones por separado, primero para la parte entera y luego para las partes fraccionarias. Por ejemplo, se puede calcular la suma de 1 2/3 y 2 ¾:
- Convertir fracciones a la forma incorrecta:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Suma de partes de términos, enteras y fraccionarias por separado:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Vuelve a escribirlos usando el separador “:” y continúa con la división normal.

Para obtener el resultado final, reduce la fracción resultante dividiendo el numerador y el denominador por un número entero, el mayor posible en este caso. En este caso, debe haber números enteros encima y debajo de la línea.

nota

No realices aritmética con fracciones cuyos denominadores sean diferentes. Elige un número tal que al multiplicar el numerador y el denominador de cada fracción por él, el resultado sea que los denominadores de ambas fracciones sean iguales.

Consejo útil

Al grabar números fraccionarios El dividendo está escrito encima de la línea. Esta cantidad se designa como el numerador de la fracción. El divisor o denominador de la fracción se escribe debajo de la línea. Por ejemplo, un kilo y medio de arroz como fracción se escribirá de la siguiente manera: 1 ½ kg de arroz. Si el denominador de una fracción es 10, la fracción se llama decimal. En este caso, el numerador (dividendo) se escribe a la derecha de la parte entera, separado por una coma: 1,5 kg de arroz. Para facilitar el cálculo, esta fracción siempre se puede escribir en forma incorrecta: 1 2/10 kg de patatas. Para simplificar, puedes reducir los valores del numerador y denominador dividiéndolos por un número entero. EN en este ejemplo Se puede dividir entre 2. El resultado será 1 1/5 kg de patatas. Asegúrate de que los números con los que vas a realizar aritmética se presenten en la misma forma.