expresión numérica– este es cualquier registro de números, símbolos aritméticos y paréntesis. Una expresión numérica puede consistir simplemente en un número. Recuerde que las operaciones aritméticas básicas son “suma”, “resta”, “multiplicación” y “división”. Estas acciones corresponden a los signos “+”, “-”, “∙”, “:”.

Por supuesto, para que podamos obtener una expresión numérica, el registro de números y símbolos aritméticos debe ser significativo. Entonces, por ejemplo, una entrada de este tipo 5: + ∙ no puede llamarse expresión numérica, ya que es un conjunto aleatorio de símbolos que no tiene significado. Por el contrario, 5 + 8 ∙ 9 ya es una expresión numérica real.

El valor de una expresión numérica.

Digamos de inmediato que si realizamos las acciones indicadas en la expresión numérica, como resultado obtendremos un número. este numero se llama el valor de una expresión numérica.

Intentemos calcular lo que obtendremos como resultado de realizar las acciones de nuestro ejemplo. Según el orden en que se realizan las operaciones aritméticas, primero realizamos la operación de multiplicación. Multiplica 8 por 9. Obtenemos 72. Ahora sumamos 72 y 5. Obtenemos 77.
Entonces, 77 - significado expresión numérica 5 + 8 ∙ 9.

Igualdad numérica.

Puedes escribirlo de esta manera: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Aquí usamos el signo “=" (“Igual”) por primera vez. Esta notación en la que dos expresiones numéricas están separadas por el signo “=" se llama igualdad numérica. Además, si los valores de los lados izquierdo y derecho de la igualdad coinciden, entonces la igualdad se llama fiel. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – igualdad correcta.
Si escribimos 5 + 8 ∙ 9 = 100, entonces esto ya será falsa igualdad, ya que los valores de los lados izquierdo y derecho de esta igualdad ya no coinciden.

Cabe señalar que en la expresión numérica también podemos utilizar paréntesis. Los paréntesis afectan el orden en que se realizan las acciones. Entonces, por ejemplo, modifiquemos nuestro ejemplo agregando paréntesis: (5 + 8) ∙ 9. Ahora primero necesitas sumar 5 y 8. Obtenemos 13. Y luego multiplicamos 13 por 9. Obtenemos 117. Por lo tanto, (5 + 8) ∙ 9 = 117.
117 – significado expresión numérica (5 + 8) ∙ 9.

Para leer correctamente una expresión, debe determinar qué acción se realiza en último lugar para calcular el valor de una expresión numérica determinada. Entonces, si la última acción es la resta, entonces la expresión se llama "diferencia". En consecuencia, si la última acción es suma - "suma", división - "cociente", multiplicación - "producto", exponenciación - "potencia".

Por ejemplo, la expresión numérica (1+5)(10-3) se lee así: “el producto de la suma de los números 1 y 5 y la diferencia de los números 10 y 3”.

Ejemplos de expresiones numéricas.

A continuación se muestra un ejemplo de una expresión numérica más compleja:

\[\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\]

Esta expresión numérica utiliza números primos, fracciones ordinarias y decimales. También se utilizan signos de suma, resta, multiplicación y división. La línea de fracción también reemplaza el signo de división. A pesar de la aparente complejidad, encontrar el valor de esta expresión numérica es bastante sencillo. Lo principal es poder realizar operaciones con fracciones, así como realizar cálculos con cuidado y precisión, observando el orden en que se realizan las acciones.

Entre paréntesis tenemos la expresión $\frac(1)(4)+3.75$ . transformemos decimal 3,75 en ordinario.

$3.75=3\frac(75)(100)=3\frac(3)(4)$

Entonces, $\frac(1)(4)+3.75=\frac(1)(4)+3\frac(3)(4)=4$

A continuación, en el numerador de la fracción. \[\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)\] tenemos la expresión 1,25+3,47+4,75-1,47. Para simplificar esta expresión, aplicamos la ley conmutativa de la suma, que dice: “La suma no cambia al cambiar los lugares de los términos”. Es decir, 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

En el denominador de la fracción la expresión $4\centropunto 0.5=4\centropunto \frac(1)(2)=4:2=2$

Obtenemos $\left(\frac(1)(4)+3.75 \right):\frac(1.25+3.47+4.75-1.47)(4\centerdot 0.5)=4: \frac(8)(2)=4:4 =1$

¿Cuándo las expresiones numéricas no tienen sentido?

Veamos otro ejemplo. En el denominador de la fracción. $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ el valor de la expresión $3\centerdot 3-9$ es 0. Y, como sabemos, la división por cero es imposible. Por lo tanto, la fracción $\frac(5+5)(3\centerdot 3-9)$ no tiene significado. Se dice que las expresiones numéricas que no tienen significado “no tienen significado”.

Si utilizamos letras además de números en una expresión numérica, entonces tendremos

Expresiones numéricas y algebraicas. Conversión de expresiones.

¿Qué es una expresión en matemáticas? ¿Por qué necesitamos conversiones de expresiones?

La pregunta, como dicen, es interesante... El hecho es que estos conceptos son la base de todas las matemáticas. Todas las matemáticas se componen de expresiones y sus transformaciones. ¿No está muy claro? Dejame explicar.

Digamos que tienes un mal ejemplo frente a ti. Muy grande y muy complejo. ¡Digamos que eres bueno en matemáticas y no tienes miedo de nada! ¿Puedes dar una respuesta de inmediato?

Tendrás que decidir este ejemplo. Consistentemente, paso a paso, este ejemplo simplificar. Por algunas reglas, naturalmente. Aquellos. hacer conversión de expresión. Cuanto más exitosamente lleves a cabo estas transformaciones, más fuerte serás en matemáticas. Si no sabes cómo hacer las transformaciones correctas, no podrás hacerlas en matemáticas. Nada...

Para evitar un futuro (o presente...) tan incómodo, no está de más entender este tema).

Primero, averigüemos ¿Qué es una expresión en matemáticas?. Qué ha pasado expresión numérica Y lo que es expresión algebraica.

¿Qué es una expresión en matemáticas?

Expresión en matemáticas- Este es un concepto muy amplio. Casi todo lo que tratamos en matemáticas es un conjunto de expresiones matemáticas. Cualquier ejemplo, fórmula, fracción, ecuación, etc., todo consta de expresiones matemáticas.

3+2 es una expresión matemática. c 2 - d 2- Esta también es una expresión matemática. Y una fracción saludable, e incluso un número, eso es todo. expresiones matemáticas. Por ejemplo, la ecuación es:

5x + 2 = 12

consta de dos expresiones matemáticas conectadas por un signo igual. Una expresión está a la izquierda y la otra a la derecha.

EN vista general término " expresión matemática"Se utiliza, más a menudo, para evitar mugir. ¿Te preguntarán qué es una fracción ordinaria, por ejemplo? ¡¿Y cómo responder?!

Primera respuesta: "Esto es... mmmmmm... tal cosa... en la cual... ¿Puedo escribir mejor una fracción? ¿Cuál quieres?"

Segunda respuesta: " fracción común- esto es (¡con alegría y alegría!) expresión matemática , que consta de un numerador y un denominador!"

La segunda opción será algo más impresionante, ¿verdad?)

Este es el propósito de la frase " expresión matemática "muy bien. Correcto y sólido. Pero por aplicación práctica es necesario estar bien versado en tipos específicos de expresiones en matemáticas .

El tipo específico es otra cuestión. Este ¡Es un asunto completamente diferente! Cada tipo de expresión matemática tiene mío un conjunto de reglas y técnicas que deben utilizarse al tomar una decisión. Para trabajar con fracciones: un juego. Para trabajar con expresiones trigonométricas: la segunda. Para trabajar con logaritmos: el tercero. Etcétera. En algún lugar estas reglas coinciden, en algún lugar difieren marcadamente. Pero no te asustes por estos palabras de miedo. Dominaremos logaritmos, trigonometría y otras cosas misteriosas en las secciones correspondientes.

Aquí dominaremos (o repetiremos, según quién...) dos tipos principales de expresiones matemáticas. Expresiones numéricas y expresiones algebraicas.

Expresiones numéricas.

Qué ha pasado expresión numérica? Este es un concepto muy simple. El nombre en sí insinúa que se trata de una expresión con números. Así es como es. Una expresión matemática formada por números, paréntesis y símbolos aritméticos se llama expresión numérica.

7-3 es una expresión numérica.

(8+3.2) 5.4 también es una expresión numérica.

Y este monstruo:

también una expresión numérica, sí...

número regular, fracción, cualquier ejemplo de cálculo sin X y otras letras: todas estas son expresiones numéricas.

signo principal numérico expresiones - en ella sin letras. Ninguno. Sólo números y símbolos matemáticos (si es necesario). Es simple, ¿verdad?

¿Y qué puedes hacer con las expresiones numéricas? Por lo general, las expresiones numéricas se pueden contar. Para hacer esto, sucede que hay que abrir los corchetes, cambiar los signos, abreviar, intercambiar términos, es decir, hacer conversiones de expresiones. Pero más sobre eso a continuación.

Aquí nos ocuparemos de esto. incidente divertido, cuando con una expresión numérica no necesitas hacer nada. Bueno, ¡nada de nada! Esta agradable operación - Hacer nada)- se ejecuta cuando la expresión no tiene sentido.

¿Cuándo una expresión numérica no tiene sentido?

Está claro que si vemos algún tipo de abracadabra frente a nosotros, como

entonces no haremos nada. Porque no está claro qué hacer al respecto. Algún tipo de tontería. Tal vez cuente el número de ventajas...

Pero hay expresiones aparentemente bastante decentes. Por ejemplo este:

(2+3) : (16 - 2 8)

Sin embargo, esta expresión también no tiene sentido! Por la sencilla razón de que en el segundo paréntesis, si cuentas, obtienes cero. ¡Pero no puedes dividir por cero! Ésta es una operación prohibida en matemáticas. Por tanto, tampoco es necesario hacer nada con esta expresión. Para cualquier tarea con dicha expresión, la respuesta siempre será la misma: "¡La expresión no tiene significado!"

Para dar esa respuesta, por supuesto, tuve que calcular lo que estaría entre paréntesis. Y a veces hay muchas cosas entre paréntesis... Bueno, no hay nada que puedas hacer al respecto.

No hay tantas operaciones prohibidas en matemáticas. Solo hay uno en este tema. División por cero. Las restricciones adicionales que surgen en raíces y logaritmos se analizan en los temas correspondientes.

Entonces, una idea de lo que es. expresión numérica- consiguió. Concepto la expresión numérica no tiene sentido- comprendió. Vamonos.

Expresiones algebraicas.

Si aparecen letras en una expresión numérica, esta expresión se convierte... La expresión se convierte... ¡Sí! Se vuelve expresión algebraica. Por ejemplo:

5a2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Este tipo de expresiones también se denominan expresiones literales. O expresiones con variables. Es prácticamente lo mismo. Expresión 5a+c, por ejemplo, tanto literal como algebraico, y una expresión con variables.

Concepto expresión algebraica - más amplio que numérico. Él incluye y todas las expresiones numéricas. Aquellos. una expresión numérica también es una expresión algebraica, solo que sin letras. Todo arenque es un pez, pero no todo pez es un arenque...)

Por qué alfabético- Está vacío. Bueno, ya que hay letras... Frase expresión con variables Tampoco es muy desconcertante. Si comprende que los números están ocultos debajo de las letras. Debajo de las letras se pueden ocultar todo tipo de números... Y 5, y -18, y cualquier otra cosa. Es decir, una carta puede ser reemplazar en diferentes numeros. Por eso las letras se llaman variables.

en expresión y+5, Por ejemplo, en- valor variable. O simplemente dicen " variable", sin la palabra "magnitud". A diferencia de cinco, que es un valor constante. O simplemente - constante.

Término expresión algebraica significa que para trabajar con esta expresión es necesario utilizar leyes y reglas álgebra. Si aritmética funciona con números específicos, entonces álgebra- con todos los números a la vez. Un ejemplo sencillo para aclarar.

En aritmética podemos escribir que

Pero si escribimos tal igualdad mediante expresiones algebraicas:

a + b = b + a

decidiremos de inmediato Todo preguntas. Para todos los numeros ataque. Por todo infinito. Porque debajo de las letras A Y b implícito Todo números. Y no sólo números, sino también otras expresiones matemáticas. Así funciona el álgebra.

¿Cuándo una expresión algebraica no tiene sentido?

Todo sobre la expresión numérica está claro. Allí no puedes dividir por cero. Y con letras, ¿es posible saber entre qué dividimos?

Tomemos por ejemplo esta expresión con variables:

2: (A - 5)

¿Tiene sentido? ¿Quién sabe? A- cualquier número...

Cualquiera, cualquiera... Pero hay un significado. A, para lo cual esta expresión exactamente¡No tiene sentido! ¿Y cuál es este número? ¡Sí! ¡Esto es 5! Si la variable A reemplaza (dicen “sustituir”) con el número 5, entre paréntesis obtienes cero. Que no se puede dividir. Entonces resulta que nuestra expresión no tiene sentido, Si un = 5. Pero para otros valores A¿tiene sentido? ¿Puedes sustituir otros números?

Ciertamente. En tales casos simplemente dicen que la expresión

2: (A - 5)

tiene sentido para cualquier valor A, excepto a = 5 .

Todo el conjunto de números que Poder sustituir en una expresión dada se llama rango de valores aceptables esta expresión.

Como puedes ver, no hay nada complicado. Miremos la expresión con variables y averigüemos: ¿a qué valor de la variable se obtiene la operación prohibida (división por cero)?

Y luego asegúrese de mirar la pregunta de la tarea. ¿Qué están preguntando?

no tiene sentido, nuestro significado prohibido será la respuesta.

Si preguntas a qué valor de una variable la expresión tiene el significado(¡siente la diferencia!), la respuesta será todos los demás números excepto lo prohibido.

¿Por qué necesitamos el significado de la expresión? Él está ahí, él no está... ¡¿Cuál es la diferencia?! La cuestión es que este concepto cobra mucha importancia en la secundaria. ¡Extremadamente importante! Ésta es la base de conceptos tan sólidos como el dominio de valores aceptables o el dominio de una función. Sin esto, no podrás resolver ecuaciones o desigualdades graves en absoluto. Como esto.

Conversión de expresiones. Transformaciones de identidad.

Nos presentaron las expresiones numéricas y algebraicas. Entendimos lo que significa la frase “la expresión no tiene significado”. Ahora tenemos que descubrir qué es. Transformación de expresiones. La respuesta es simple, hasta el punto de la vergüenza). Esta es cualquier acción con una expresión. Eso es todo. Has estado haciendo estas transformaciones desde primer grado.

Tomemos la genial expresión numérica 3+5. ¿Cómo se puede convertir? ¡Sí, muy sencillo! Calcular:

Este cálculo será la transformación de la expresión. Puedes escribir la misma expresión de manera diferente:

Aquí no contamos nada de nada. Acabo de escribir la expresión. en una forma diferente. Esta también será una transformación de la expresión. Puedes escribirlo así:

Y esto también es una transformación de una expresión. Puedes realizar tantas transformaciones como quieras.

Cualquier acción sobre la expresión cualquier escribirlo de otra forma se llama transformar la expresión. Y eso es todo. Todo es muy sencillo. Pero hay una cosa aquí regla muy importante. Tan importante que se puede llamar con seguridad. regla principal todas las matemáticas. Rompiendo esta regla inevitablemente conduce a errores. ¿Estamos entrando en ello?)

Digamos que transformamos nuestra expresión al azar, así:

¿Conversión? Ciertamente. Escribimos la expresión en una forma diferente, ¿qué hay de malo aquí?

No es así.) La cuestión es que las transformaciones "al azar" no están interesados ​​en las matemáticas en absoluto.) Todas las matemáticas se basan en transformaciones en las que apariencia, pero la esencia de la expresión no cambia. Tres más cinco se pueden escribir de cualquier forma, pero debe ser ocho.

transformaciones, expresiones que no cambian la esencia son llamados idéntico.

Exactamente transformaciones de identidad y permitirnos, paso a paso, transformarnos ejemplo complejo en una expresión simple, manteniendo La esencia del ejemplo. Si nos equivocamos en la cadena de transformaciones, hacemos una transformación NO idéntica, entonces decidiremos otro ejemplo. Con otras respuestas que no están relacionadas con las correctas.)

Ésta es la regla principal para resolver cualquier problema: mantener la identidad de las transformaciones.

Di un ejemplo con la expresión numérica 3+5 para mayor claridad. En expresiones algebraicas, las transformaciones de identidad vienen dadas por fórmulas y reglas. Digamos que en álgebra hay una fórmula:

a(b+c) = ab + ca

Esto significa que en cualquier ejemplo podemos en lugar de la expresión a(b+c) siéntete libre de escribir una expresión ab + ca. Y viceversa. Este transformación idéntica. Las matemáticas nos permiten elegir entre estas dos expresiones. Y cuál escribir - de ejemplo concreto depende.

Otro ejemplo. Una de las transformaciones más importantes y necesarias es la propiedad básica de una fracción. Puedes consultar el enlace para obtener más detalles, pero aquí solo te recordaré la regla: Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican (dividen) por el mismo número, o una expresión que no es igual a cero, la fracción no cambiará. A continuación se muestra un ejemplo de transformaciones de identidad que utilizan esta propiedad:

Como probablemente habrás adivinado, esta cadena puede continuar indefinidamente...) Muy propiedad importante. Esto es lo que te permite convertir todo tipo de monstruos de ejemplo en blancos y esponjosos).

Hay muchas fórmulas que definen transformaciones idénticas. Pero los más importantes son un número bastante razonable. Una de las transformaciones básicas es la factorización. Se utiliza en todas las matemáticas, desde elemental hasta avanzada. Empecemos por él. En la próxima lección.)

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Fórmula

Suma, resta, multiplicación, división: operaciones aritméticas (o operaciones aritmeticas). Estas operaciones aritméticas corresponden a los signos de las operaciones aritméticas:

+ (leer " más") - signo de la operación de suma,

- (leer " menos") es el signo de la operación de resta,

∙ (leer " multiplicar") es el signo de la operación de multiplicación,

: (leer " dividir") es el signo de la operación de división.

Un registro que consta de números interconectados por signos aritméticos se llama expresión numérica. Una expresión numérica también puede contener paréntesis. Por ejemplo, la entrada 1290. : 2 - (3 + 20 ∙ 15) es una expresión numérica.

El resultado de realizar acciones sobre números en expresión numérica se llama el valor de una expresión numérica. Realizar estas acciones se llama calcular el valor de una expresión numérica. Antes de escribir el valor de una expresión numérica, ponga signo igual"=". La Tabla 1 muestra ejemplos de expresiones numéricas y sus significados.

Se llama un registro que consta de números y letras minúsculas del alfabeto latino interconectados por signos de operaciones aritméticas. expresión literal. Esta entrada puede contener paréntesis. Por ejemplo, registrar un +segundo - 3 ∙C es una expresión literal. En lugar de letras, puedes sustituir diferentes numeros. En este caso, el significado de las letras puede cambiar, por lo que las letras de la expresión de letras también se denominan variables.

Al sustituir números en lugar de letras en la expresión literal y calcular el valor de la expresión numérica resultante, encuentran el significado de una expresión literal para valores de letras dados(para valores dados de variables). La Tabla 2 muestra ejemplos de expresiones de letras.

Una expresión literal puede no tener significado si, al sustituir los valores de las letras, se obtiene una expresión numérica, cuyo valor para números naturales no pudo ser encontrado. Esta expresión numérica se llama incorrecto para números naturales. También se dice que el significado de tal expresión es “ indefinido" para números naturales y la expresión misma. "no tiene sentido". Por ejemplo, la expresión literal ab no importa cuando a = 10 y b = 17. De hecho, para los números naturales, el minuendo no puede ser menor que el sustraendo. Por ejemplo, si tienes sólo 10 manzanas (a = 10), ¡no puedes regalar 17 de ellas (b = 17)!

La Tabla 2 (columna 2) muestra un ejemplo de una expresión literal. Por analogía, complete la tabla por completo.

Para números naturales la expresión es 10 -17 incorrecto (no tiene sentido), es decir. la diferencia 10 -17 no se puede expresar como un número natural. Otro ejemplo: no se puede dividir por cero, por lo que para cualquier número natural b, el cociente segundo: 0 indefinido.

Las leyes, propiedades, algunas reglas y relaciones matemáticas a menudo se escriben en forma literal (es decir, en forma de expresión literal). En estos casos, la expresión literal se llama fórmula. Por ejemplo, si los lados de un heptágono son iguales a,b,C,d,mi,F,gramo, entonces la fórmula (expresión literal) para calcular su perímetro pag tiene la forma:

pag =un +b+c+d+e+f+gramo

Con a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, el perímetro del heptágono p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9 = 33.

Con a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, el perímetro del otro heptágono p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Bloque 1. Vocabulario

Haga un diccionario de nuevos términos y definiciones a partir del párrafo. Para hacer esto, escriba palabras de la lista de términos a continuación en las celdas vacías. En la tabla (al final del bloque), indique los números de los términos de acuerdo con los números de los cuadros. Se recomienda volver a revisar atentamente el párrafo antes de rellenar las celdas del diccionario.

1. Operaciones: suma, resta, multiplicación, división.

2. Signos “+” (más), “-” (menos), “∙” (multiplicar, “ : " (dividir).

3. Un registro formado por números que están interconectados por signos de operaciones aritméticas y que también pueden contener paréntesis.

4. El resultado de realizar acciones sobre números en expresión numérica.

5. El signo que precede al valor de una expresión numérica.

6. Un registro que consta de números y letras minúsculas del alfabeto latino, interconectados por signos de operaciones aritméticas (también pueden estar presentes corchetes).

7. Nombre general de las letras en expresión alfabética.

8. El valor de una expresión numérica, que se obtiene sustituyendo variables en una expresión literal.

9.Una expresión numérica cuyo valor para los números naturales no se puede encontrar.

10. Una expresión numérica cuyo valor para números naturales se puede encontrar.

11. Leyes, propiedades, algunas reglas y relaciones matemáticas, escritas en forma de letras.

12. Un alfabeto cuyas letras minúsculas se utilizan para escribir expresiones alfabéticas.

Bloque 2. Partido

Relaciona la tarea de la columna de la izquierda con la solución de la derecha. Escribe tu respuesta en la forma: 1a, 2d, 3b...

Bloque 3. Prueba de facetas. numérico y expresiones literales

Las pruebas facetadas reemplazan las colecciones de problemas de matemáticas, pero se diferencian favorablemente de ellas en que se pueden resolver en una computadora, se pueden verificar las soluciones y se puede conocer inmediatamente el resultado del trabajo. Esta prueba contiene 70 problemas. Pero puedes resolver los problemas por elección; para ello existe una tabla de evaluación, que indica. tareas simples y más difícil. A continuación se muestra la prueba.

1. Dado un triangulo con lados C,d,metro, expresado en cm
2. Dado un cuadrilátero con lados b,C,d,metro, expresado en m
3. La velocidad del auto en km/h es b, el tiempo de viaje en horas es d
4. La distancia recorrida por el turista en metro horas es Con kilómetros
5. La distancia recorrida por el turista moviéndose a gran velocidad. metro km/h es b kilómetros
6. La suma de dos números es mayor que el segundo número en 15.
7. La diferencia es menor que la que se reduce en 7
8. Un barco de pasajeros tiene dos pisos con el mismo número de asientos para pasajeros. En cada una de las filas de la baraja. metro asientos, filas en cubierta en norte más que asientos seguidos
9. Petya tiene m años, Masha tiene n años y Katya tiene k años menos que Petya y Masha juntas.
10. metro = 8, norte = 10, k = 5
11. metro = 6, norte = 8, k = 15
12. t = 121, x = 1458

1. El significado de esta expresión.
2. La expresión literal para el perímetro es
3. Perímetro expresado en centímetros
4. Fórmula para la distancia s recorrida por un automóvil.
5. Fórmula para la velocidad v, movimiento turístico.
6. Fórmula para el tiempo t, movimiento turístico.
7. Distancia recorrida por el coche en kilómetros.
8. Velocidad del turista en kilómetros por hora
9. Tiempo de viaje turístico en horas.
10. El primer número es...
11. El sustraendo es igual a...
12. Expresión para el numero mas grande pasajeros, que pueden transportar el transatlántico durante k vuelos
13. El mayor número de pasajeros que puede transportar un avión. k vuelos
14. Expresión de letras para la edad de Katya.
15. la edad de katya
16. La coordenada del punto B, si la coordenada del punto C es t
17. La coordenada del punto D, si la coordenada del punto C es t
18. La coordenada del punto A, si la coordenada del punto C es t
19. Longitud del segmento BD en la recta numérica
20. Longitud del segmento CA en la recta numérica
21. Longitud del segmento DA en la recta numérica

I. Las expresiones en las que se pueden utilizar números, símbolos aritméticos y paréntesis junto con letras se denominan expresiones algebraicas.

Ejemplos de expresiones algebraicas:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0.3a-b · (4a+2b); a 2 – 2ab;

Dado que una letra en una expresión algebraica puede ser reemplazada por algunos números diferentes, la letra se llama variable y la expresión algebraica en sí se llama expresión con variable.

II. Si en una expresión algebraica las letras (variables) se reemplazan por sus valores y se realizan las acciones especificadas, entonces el número resultante se denomina valor de la expresión algebraica.

Ejemplos. Encuentra el significado de la expresión:

1) a + 2b -c con a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| en x = -8; y = -5; z = 6.

Solución.

1) a + 2b -c con a = -2; b = 10; c = -3,5. En lugar de variables, sustituyamos sus valores. Obtenemos:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| en x = -8; y = -5; z = 6. Sustituya los valores indicados. Recuerde que el módulo numero negativo es igual a su número opuesto, y el módulo de un número positivo es igual a este número mismo. Obtenemos:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Los valores de la letra (variable) para los cuales tiene sentido la expresión algebraica se denominan valores permisibles de la letra (variable).

Ejemplos. ¿Para qué valores de la variable no tiene sentido la expresión?

Solución. Sabemos que no se puede dividir por cero, por lo tanto, cada una de estas expresiones no tendrá sentido dado el valor de la letra (variable) que convierte el denominador de la fracción en cero.

En el ejemplo 1), este valor es a = 0. De hecho, si sustituye 0 en lugar de a, deberá dividir el número 6 entre 0, pero esto no se puede hacer. Respuesta: la expresión 1) no tiene sentido cuando a = 0.

En el ejemplo 2) el denominador de x es 4 = 0 en x = 4, por lo tanto, no se puede tomar este valor de x = 4. Respuesta: la expresión 2) no tiene sentido cuando x = 4.

En el ejemplo 3) el denominador es x + 2 = 0 cuando x = -2. Respuesta: la expresión 3) no tiene sentido cuando x = -2.

En el ejemplo 4) el denominador es 5 -|x| = 0 para |x| = 5. Y desde |5| = 5 y |-5| = 5, entonces no puedes tomar x = 5 y x = -5. Respuesta: la expresión 4) no tiene sentido en x = -5 y en x = 5.
IV. Se dice que dos expresiones son idénticamente iguales si, para cualquier valor admisible de las variables, los valores correspondientes de estas expresiones son iguales.

Ejemplo: 5 (a – b) y 5a – 5b también son iguales, ya que la igualdad 5 (a – b) = 5a – 5b será cierta para cualquier valor de a y b. La igualdad 5 (a – b) = 5a – 5b es una identidad.

Identidad es una igualdad que es válida para todos los valores permitidos de las variables incluidas en ella. Ejemplos de identidades que ya conoces son, por ejemplo, las propiedades de la suma y la multiplicación, y la propiedad distributiva.

Reemplazar una expresión con otra expresión idénticamente igual se llama transformación de identidad o simplemente transformación de una expresión. Las transformaciones idénticas de expresiones con variables se realizan en función de las propiedades de las operaciones con números.

Ejemplos.

a) convierta la expresión a idénticamente igual usando la propiedad distributiva de la multiplicación:

1) 10·(1,2x + 2,3y); 2) 1,5·(a-2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Solución. Recordemos la propiedad distributiva (ley) de la multiplicación:

(a+b)c=ac+bc(ley distributiva de la multiplicación relativa a la suma: para multiplicar la suma de dos números por un tercer número, puedes multiplicar cada término por este número y sumar los resultados resultantes).
(a-b) c=a c-b c(ley distributiva de la multiplicación relativa a la resta: para multiplicar la diferencia de dos números por un tercer número, puedes multiplicar el minuendo y restar por este número por separado y restar el segundo del primer resultado).

1) 10·(1,2x + 2,3y) = 10 · 1,2x + 10 · 2,3y = 12x + 23y.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) transforme la expresión en idénticamente igual, utilizando las propiedades (leyes) conmutativas y asociativas de la suma:

4) x + 4,5 +2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s.

Solución. Apliquemos las leyes (propiedades) de la suma:

a+b=b+a(conmutativo: reordenar los términos no cambia la suma).
(a+b)+c=a+(b+c)(combinativo: para sumar un tercer número a la suma de dos términos, puedes sumar la suma del segundo y el tercero al primer número).

4) x + 4,5 +2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4s -3 -2,5 -2,3s = (5,4s -2,3s) + (-3 -2,5) = 3,1s -5,5.

V) Convierta la expresión a idénticamente igual usando las propiedades (leyes) conmutativas y asociativas de la multiplicación:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2u · (-1); 9) 3a · (-3) · 2 chelines.

Solución. Apliquemos las leyes (propiedades) de la multiplicación:

a·b=b·a(conmutativo: reordenar los factores no cambia el producto).
(a b) c=a (b c)(combinativo: para multiplicar el producto de dos números por un tercer número, puedes multiplicar el primer número por el producto del segundo y el tercero).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2u · (-1) = 7у.

9) 3a · (-3) · 2c = -18ac.

Si una expresión algebraica se da en forma de fracción reducible, entonces, utilizando la regla para reducir una fracción, se puede simplificar, es decir, reemplácelo con una expresión idéntica y más simple.

Ejemplos. Simplifique usando la reducción de fracciones.

Solución. Reducir una fracción significa dividir su numerador y denominador por el mismo número (expresión), distinto de cero. La fracción 10) se reducirá en 3b; fracción 11) se reducirá en A y fracción 12) se reducirá en 7n. Obtenemos:

Las expresiones algebraicas se utilizan para crear fórmulas.

Una fórmula es una expresión algebraica escrita como una igualdad y que expresa la relación entre dos o más variables. Ejemplo: fórmula de ruta que conoces s=vt(s - distancia recorrida, v - velocidad, t - tiempo). Recuerda qué otras fórmulas conoces.

Página 1 de 1 1

Al estudiar el tema de expresiones numéricas, alfabéticas y expresiones con variables, es necesario prestar atención al concepto. valor de expresión. En este artículo responderemos la pregunta de cuál es el valor de una expresión numérica y cómo se llama el valor de una expresión literal y una expresión con variables para valores de variables seleccionados. Para aclarar estas definiciones, damos ejemplos.

Navegación de páginas.

¿Cuál es el valor de una expresión numérica?

El conocimiento de las expresiones numéricas comienza casi desde las primeras lecciones de matemáticas en la escuela. Casi de inmediato se introduce el concepto de “valor de una expresión numérica”. Se refiere a expresiones formadas por números conectados por signos de operaciones aritméticas (+, −, ·, :). Demos la definición correspondiente.

Definición.

Valor de expresión numérica– este es el número que se obtiene después de realizar todas las acciones en la expresión numérica original.

Por ejemplo, considere la expresión numérica 1+2. Una vez completado, obtenemos el número 3, que es el valor de la expresión numérica 1+2.

A menudo, en la frase "el significado de una expresión numérica" ​​se omite la palabra "numérico" y simplemente dicen "el significado de la expresión", ya que todavía está claro cuál es el significado de la expresión que se está discutiendo.

La definición anterior del significado de una expresión también se aplica a expresiones numéricas de más de tipo complejo que se estudian en la escuela secundaria. Cabe señalar aquí que puede encontrar expresiones numéricas cuyos valores no se pueden especificar. Esto se debe a que en algunas expresiones no es posible realizar las acciones grabadas. Por ejemplo, esta es la razón por la que no podemos especificar el valor de la expresión 3:(2−2) . Estas expresiones numéricas se llaman expresiones que no tienen sentido.

A menudo, en la práctica, lo que interesa no es tanto la expresión numérica sino su significado. Es decir, surge la tarea de determinar el significado de una expresión determinada. En este caso, suelen decir que es necesario encontrar el valor de la expresión. Este artículo analiza en detalle el proceso de encontrar el valor de expresiones numéricas. varios tipos, y muchos ejemplos con descripciones detalladas decisiones.

Significado de expresiones literales y variables.

Además de las expresiones numéricas, se estudian las expresiones literales, es decir, expresiones en las que junto a los números están presentes una o más letras. Las letras de una expresión literal pueden representar diferentes números y, si las letras se reemplazan por estos números, la expresión literal se convierte en una expresión numérica.

Definición.

Los números que reemplazan letras en una expresión literal se llaman los significados de estas letras, y el valor de la expresión numérica resultante se llama el valor de una expresión literal para valores de letras dados.

Entonces, para las expresiones literales hablamos no solo del significado de la expresión literal, sino del significado de la expresión literal dados (dados, indicados, etc.) los valores de las letras.

Pongamos un ejemplo. Tomemos la expresión literal 2·a+b. Sean dados los valores de las letras a y b, por ejemplo, a=1 y b=6. Reemplazando las letras de la expresión original con sus valores, obtenemos una expresión numérica de la forma 2·1+6, su valor es 8. Así, el número 8 es el valor de la expresión literal 2·a+b para los valores dados de las letras a=1 y b=6. Si se dieran otros valores de letras, entonces obtendríamos el valor de la expresión de letras para esos valores de letras. Por ejemplo, con a=5 y b=1 tenemos el valor 2·5+1=11.

En la escuela secundaria, al estudiar álgebra, se permite tomar letras en expresiones de letras. diferentes significados, estas letras se denominan variables y las expresiones con letras se denominan expresiones con variables. Para estas expresiones, se introduce el concepto del valor de una expresión con variables para valores seleccionados de las variables. Averigüemos qué es.

Definición.

El valor de una expresión con variables para los valores de las variables seleccionadas. es el valor de una expresión numérica que se obtiene después de sustituir los valores de las variables seleccionadas en la expresión original.

Expliquemos la definición dada con un ejemplo. Considere una expresión con variables xey de la forma 3·x·y+y. Tomemos x=2 e y=4, sustituyamos estos valores de variables en la expresión original y obtengamos la expresión numérica 3·2·4+4. Calculemos el valor de esta expresión: 3·2·4+4=24+4=28. El valor encontrado 28 es el valor de la expresión original con las variables 3·x·y+y para los valores seleccionados de las variables x=2 e y=4.

Si selecciona otros valores de variables, por ejemplo, x=5 e y=0, estos valores de variables seleccionados corresponderán al valor de la expresión de la variable igual a 3·5·0+0=0.

Cabe señalar que a veces diferentes valores seleccionados de variables pueden dar como resultado valores de expresión iguales. Por ejemplo, para x=9 e y=1, el valor de la expresión 3 x y+y es 28 (ya que 3 9 1+1=27+1=28), y arriba mostramos que el mismo valor es la expresión con variables tiene en x=2 y y=4 .

Los valores de las variables se pueden seleccionar de sus correspondientes. rangos de valores aceptables. De lo contrario, al sustituir los valores de estas variables en la expresión original, obtendrás una expresión numérica que no tiene sentido. Por ejemplo, si elige x=0 y sustituye este valor en la expresión 1/x, obtendrá la expresión numérica 1/0, lo cual no tiene sentido, ya que la división por cero no está definida.

Sólo queda agregar que existen expresiones con variables cuyos valores no dependen de los valores de las variables incluidas en ellas. Por ejemplo, el valor de una expresión con una variable x de la forma 2+x−x no depende del valor de esta variable; es igual a 2 para cualquier valor seleccionado de la variable x dentro del rango de sus valores permitidos; , que en este caso es el conjunto de todos los números reales.

Bibliografía.

• Matemáticas: libro de texto para 5to grado. educación general instituciones / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 págs.: enfermo. ISBN 5-346-00699-0.
• Álgebra: libro de texto para 7mo grado. educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 17ª edición. - M.: Educación, 2008. - 240 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Álgebra: libro de texto para 8vo grado. educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2008. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019243-9.