Derivat 10 korijen od x. Derivat kompleksne funkcije

Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.

Kao rezultat rješavanja problema pronalaženja izvoda najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i precizno definirana pravila diferencijacije. . Isak Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) bili su prvi koji su radili na polju pronalaženja derivata.

Stoga, u naše vrijeme, da bismo pronašli izvod bilo koje funkcije, nije potrebno izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već je potrebno samo koristiti tablicu izvedenica i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je pogodan za pronalaženje izvoda.

Da nađemo derivat, potreban vam je izraz ispod znaka poteza razbiti jednostavne funkcije i odredite koje akcije (proizvod, zbir, količnik) ove funkcije su povezane. Dalje, izvode elementarnih funkcija nalazimo u tabeli izvoda, a formule za izvode proizvoda, sume i količnika - u pravilima diferencijacije. Tablica derivacija i pravila diferencijacije date su nakon prva dva primjera.

Primjer 1 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Iz pravila diferencijacije saznajemo da je derivacija zbira funkcija zbir izvoda funkcija, tj.

Iz tabele derivacija saznajemo da je izvod "X" jednak jedan, a izvod sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbir derivacija i nalazimo derivaciju koju zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Diferencirati kao derivaciju sume, u kojoj je drugi član sa konstantnim faktorom, može se izvaditi iz predznaka izvoda:

Ako i dalje postoje pitanja odakle nešto dolazi, ona po pravilu postaju jasni nakon čitanja tablice izvedenica i najjednostavnijih pravila diferencijacije. Idemo do njih upravo sada.

Tablica izvoda jednostavnih funkcija

1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek nula. Ovo je veoma važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno
2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "x". Uvek jednak jedan. Ovo je takođe važno zapamtiti
3. Derivat stepena. Kada rješavate probleme, trebate pretvoriti nekvadratne korijene u stepen.
4. Derivat varijable na stepen -1
5. Derivat kvadratnog korijena
6. Sinusni derivat
7. Kosinusni derivat
8. Tangentni izvod
9. Derivat kotangensa
10. Derivat arcsinusa
11. Derivat arc kosinusa
12. Derivat arc tangente
13. Derivat inverzne tangente
14. Derivat prirodnog logaritma
15. Derivat logaritamske funkcije
16. Derivat eksponenta
17. Derivat eksponencijalne funkcije

Pravila diferencijacije

1. Derivat zbira ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom
3. Derivat količnika
4. Derivat kompleksne funkcije

Pravilo 1Ako funkcije

su diferencibilne u nekoj tački , a zatim u istoj točki funkcije

i

one. izvod algebarskog zbira funkcija jednak je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencibilne funkcije razlikuju za konstantu, onda su njihovi derivati, tj.

Pravilo 2Ako funkcije

su diferencibilni u nekoj tački , onda je njihov proizvod također diferencibilan u istoj točki

i

one. derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbiru proizvoda svake od ovih funkcija i izvoda druge.

Posljedica 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:

Posljedica 2. Derivat proizvoda nekoliko diferencijabilnih funkcija jednak je zbiru proizvoda izvoda svakog od faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3Ako funkcije

diferenciran u nekom trenutku i , onda je u ovom trenutku njihov količnik također diferenciran.u/v , i

one. izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku čiji je brojilac razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a nazivnik je kvadrat prethodnog brojioca .

Gdje pogledati na drugim stranicama

Prilikom pronalaženja izvoda proizvoda i količnika u realnim problemima, uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferencijacije odjednom, pa više primjera o ovim izvodnicama ima u članku."Derivat proizvoda i količnika".

Komentar. Ne treba brkati konstantu (tj. broj) kao pojam u zbiru i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana, njegov izvod je jednak nuli, a u slučaju konstantnog faktora uzet je iz predznaka izvoda. Ovo je tipična greška koja se javlja u početnoj fazi proučavanja izvedenica, ali kako prosječan student riješi nekoliko jedno-dvokomponentnih primjera, prosječan student više ne pravi ovu grešku.

I ako, kada razlikujete proizvod ili količnik, imate pojam u"v, pri čemu u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i stoga će cijeli član biti jednak nuli (takav slučaj je analiziran u primjeru 10) .

Druga česta greška je mehaničko rješenje derivacije složene funkcije kao derivacije jednostavne funkcije. Zbog toga derivat kompleksne funkcije posvećeno posebnom članku. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnike za novi Windows Akcije sa moćima i korijenima i Radnje sa razlomcima .

Ako tražite rješenja za derivate s potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda , zatim slijedi lekcija " Derivat zbira razlomaka sa potencijama i korijenima".

Ako imate zadatak kao , onda ste u lekciji "Izvodi jednostavnih trigonometrijskih funkcija".

Korak po korak primjeri - kako pronaći derivat

Primjer 3 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Određujemo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja proizvod, a njegovi faktori su zbrojevi, u drugom od kojih jedan od članova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija i derivacije druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferencijacije zbira: derivacija algebarskog zbira funkcija jednaka je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbroju, drugi član sa predznakom minus. U svakom zbroju vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "x" se pretvara u jedan, a minus 5 - u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi sa 2, tako da množimo dva sa istom jedinicom kao izvod "x". Dobijamo sljedeće vrijednosti derivata:

Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbir proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

Primjer 4 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Od nas se traži da pronađemo izvod količnika. Primjenjujemo formulu za diferenciranje količnika: derivacija količnika dvije funkcije jednaka je razlomku čiji je brojnik razlika između umnožaka nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a imenilac je kvadrat prethodnog brojnika. Dobijamo:

Već smo pronašli derivaciju faktora u brojiocu u primjeru 2. Ne zaboravimo i da je proizvod, koji je drugi faktor u brojniku u trenutnom primjeru, uzet sa predznakom minus:

Ako tražite rješenja za takve probleme u kojima morate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i stupnjeva, kao što je npr. onda dobrodosli na cas "Izvod zbira razlomaka sa potencijama i korijenima" .

Ako trebate saznati više o izvodima sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijskih funkcija, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda imate lekciju "Derivati ​​jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo proizvod čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable, sa čijom smo se derivacijom upoznali u tabeli derivacija. Prema pravilu diferencijacije proizvoda i tabelarnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobivamo:

Primjer 6 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo kvocijent čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Prema pravilu diferencijacije količnika, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobijamo:

Da biste se riješili razlomka u brojiocu, pomnožite brojilac i imenilac sa .

Na kojoj smo analizirali najjednostavnije derivacije, a također se upoznali s pravilima diferencijacije i nekim tehnikama za pronalaženje izvodnica. Stoga, ako niste baš dobri sa derivatima funkcija ili neke tačke ovog članka nisu sasvim jasne, onda prvo pročitajte gornju lekciju. Uključite se u ozbiljno raspoloženje - materijal nije lak, ali ću ipak pokušati da ga predstavim jednostavno i jasno.

U praksi se sa izvodom složene funkcije morate suočiti vrlo često, čak bih rekao gotovo uvijek, kada vam se daju zadaci da nađete izvode.

U tabeli gledamo pravilo (br. 5) za razlikovanje složene funkcije:

Razumijemo. Prije svega, pogledajmo notaciju. Ovdje imamo dvije funkcije - i , a funkcija je, figurativno rečeno, ugniježđena u funkciju. Funkcija ove vrste (kada je jedna funkcija ugniježđena u drugu) naziva se složena funkcija.

Ja ću pozvati funkciju eksterna funkcija, i funkciju – unutarnja (ili ugniježđena) funkcija.

! Ove definicije nisu teorijske i ne bi se trebale pojaviti u konačnom dizajnu zadataka. Neformalne izraze "spoljna funkcija", "unutrašnja" funkcija koristim samo da bih vam olakšao razumijevanje gradiva.

Da razjasnite situaciju, razmotrite:

Primjer 1

Pronađite izvod funkcije

Pod sinusom nemamo samo slovo "x", već cijeli izraz, tako da pronalaženje izvedenice odmah iz tabele neće raditi. Također primjećujemo da je ovdje nemoguće primijeniti prva četiri pravila, čini se da postoji razlika, ali činjenica je da je nemoguće “pocijepati” sinus:

U ovom primjeru, već iz mojih objašnjenja, intuitivno je jasno da je funkcija složena funkcija, a polinom je interna funkcija (ugradnja) i eksterna funkcija.

Prvi korak, koji se mora izvesti kada se pronađe izvod kompleksne funkcije je to razumjeti koja je funkcija unutrašnja, a koja eksterna.

U slučaju jednostavnih primjera, čini se jasnim da je polinom ugniježđen ispod sinusa. Ali šta ako nije očigledno? Kako tačno odrediti koja je funkcija eksterna, a koja unutrašnja? Da biste to učinili, predlažem korištenje sljedeće tehnike, koja se može provesti mentalno ili na nacrtu.

Zamislimo da trebamo izračunati vrijednost izraza pomoću kalkulatora (umjesto jednog, može postojati bilo koji broj).

Šta prvo izračunamo? Kao prvo morat ćete izvesti sljedeću radnju: , tako da će polinom biti interna funkcija:

Drugo morat ćete pronaći, tako da će sinus - biti vanjska funkcija:

Posle nas RAZUMIJETI s unutarnjim i vanjskim funkcijama, vrijeme je da se primijeni pravilo diferencijacije složenih funkcija .

Počinjemo da odlučujemo. Sa lekcije Kako pronaći derivat? sjećamo se da dizajn rješenja bilo koje derivacije uvijek počinje ovako - stavljamo izraz u zagrade i stavljamo crtu gore desno:

Prvo nalazimo derivaciju eksterne funkcije (sinus), pogledamo tabelu izvoda elementarnih funkcija i uočimo da . Sve tabelarne formule su primjenjive čak i ako je "x" zamijenjen složenim izrazom, u ovom slučaju:

Imajte na umu da je unutrašnja funkcija nije se promijenilo, ne diramo ga.

Pa, to je sasvim očigledno

Rezultat primjene formule cisto izgleda ovako:

Konstantni faktor se obično stavlja na početak izraza:

Ako dođe do nesporazuma, odluku zapišite na papir i ponovo pročitajte objašnjenja.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Kao i uvek, pišemo:

Shvatimo gdje imamo eksternu funkciju, a gdje unutrašnju. Da bismo to učinili, pokušavamo (mentalno ili na nacrtu) izračunati vrijednost izraza za . Šta prvo treba uraditi? Prije svega, morate izračunati koliko je baza jednaka:, što znači da je polinom interna funkcija:

I tek tada se izvodi eksponencijacija, dakle, funkcija snage je vanjska funkcija:

Prema formuli , prvo morate pronaći derivaciju eksterne funkcije, u ovom slučaju stepen. Tražimo željenu formulu u tabeli:. Ponavljamo ponovo: bilo koja tablična formula vrijedi ne samo za "x", već i za složeni izraz. Dakle, rezultat primjene pravila diferencijacije složene funkcije sljedeći:

Ponovo naglašavam da kada uzmemo derivaciju vanjske funkcije, unutrašnja funkcija se ne mijenja:

Sada ostaje pronaći vrlo jednostavan izvod unutrašnje funkcije i malo "pročešljati" rezultat:

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Za konsolidaciju razumijevanja derivacije složene funkcije, dat ću primjer bez komentara, pokušajte sami shvatiti, razlog, gdje je vanjska, a gdje unutrašnja funkcija, zašto se zadaci rješavaju na taj način?

Primjer 5

a) Pronađite izvod funkcije

b) Naći derivaciju funkcije

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje imamo korijen, a da bismo ga razlikovali, on mora biti predstavljen kao stepen. Dakle, prvo dovodimo funkciju u odgovarajući oblik za diferencijaciju:

Analizirajući funkciju dolazimo do zaključka da je zbir tri člana interna funkcija, a eksponencijacija eksponencijalna funkcija. Primjenjujemo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije :

Stepen je opet predstavljen kao radikal (korijen), a za derivaciju interne funkcije primjenjujemo jednostavno pravilo za diferenciranje sume:

Spreman. Također možete dovesti izraz do zajedničkog nazivnika u zagradama i sve napisati kao jedan razlomak. Lijepo je, naravno, ali kada se dobiju glomazni dugi derivati, bolje je to ne raditi (lako se zbuniti, napraviti nepotrebnu grešku, a nastavniku će biti nezgodno provjeriti).

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Zanimljivo je primijetiti da se ponekad, umjesto pravila za diferenciranje složene funkcije, može koristiti pravilo za diferenciranje kvocijenta , ali takvo rješenje će izgledati kao perverzija neobično. Evo tipičnog primjera:

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete koristiti pravilo diferencijacije količnika , ali je mnogo isplativije pronaći izvod kroz pravilo diferencijacije složene funkcije:

Pripremamo funkciju za diferencijaciju - vadimo znak minus iz derivacije i dižemo kosinus na brojnik:

Kosinus je interna funkcija, eksponencijacija je vanjska funkcija.
Koristimo naše pravilo :

Pronalazimo derivaciju unutrašnje funkcije, resetujemo kosinus nazad:

Spreman. U razmatranom primjeru važno je da se ne zbunite u znakovima. Usput, pokušajte to riješiti pravilom , odgovori se moraju podudarati.

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za samostalno rješavanje (odgovor na kraju lekcije).

Do sada smo razmatrali slučajeve u kojima smo imali samo jedno ugniježđenje u složenoj funkciji. U praktičnim zadacima često možete pronaći derivate, gdje se, poput lutkica za gniježđenje, jedna u drugoj, 3 ili čak 4-5 funkcija ugniježđuju odjednom.

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Razumijemo priloge ove funkcije. Pokušavamo procijeniti izraz koristeći eksperimentalnu vrijednost. Kako bismo računali na kalkulator?

Prvo morate pronaći, što znači da je arcsin najdublje gniježđenje:

Ovaj arksinus jedinstva tada treba kvadrirati:

I konačno, dižemo sedam na stepen:

To jest, u ovom primjeru imamo tri različite funkcije i dva ugniježđenja, dok je najnutarnja funkcija arcsinus, a najudaljenija funkcija eksponencijalna funkcija.

Počinjemo da odlučujemo

Po pravilu prvo morate uzeti derivaciju vanjske funkcije. Gledamo tablicu izvoda i nalazimo izvod eksponencijalne funkcije: Jedina razlika je u tome što umjesto "x" imamo složen izraz, koji ne negira valjanost ove formule. Dakle, rezultat primjene pravila diferencijacije složene funkcije sljedeći.

Derivacija formule za izvod funkcije stepena (x na stepen a). Razmatraju se derivati ​​korijena iz x. Formula za izvod funkcije snage višeg reda. Primjeri izračunavanja derivata.

Derivat x na stepen a je puta x na stepen minus jedan:
(1) .

Derivat n-tog korijena od x na m-tu potenciju je:
(2) .

Derivacija formule za izvod funkcije stepena

Slučaj x > 0

Razmotrimo funkciju stepena varijable x s eksponentom a:
(3) .
Ovdje je a proizvoljan realan broj. Hajde da prvo razmotrimo slučaj.

Da bismo pronašli derivaciju funkcije (3), koristimo se svojstva funkcije snage i transformirati ga u sljedeći oblik:
.

Sada pronalazimo izvod primjenom:
;
.
Evo.

Formula (1) je dokazana.

Derivacija formule za izvod korena stepena n od x na stepen m

Sada razmotrite funkciju koja je korijen sljedećeg oblika:
(4) .

Da bismo pronašli derivaciju, pretvaramo korijen u funkciju stepena:
.
Upoređujući sa formulom (3), vidimo da
.
Onda
.

Formulom (1) nalazimo derivaciju:
(1) ;
;
(2) .

U praksi nema potrebe za pamćenjem formule (2). Mnogo je zgodnije prvo pretvoriti korijene u funkcije stepena, a zatim pronaći njihove derivate pomoću formule (1) (vidi primjere na kraju stranice).

Slučaj x = 0

Ako je , tada je eksponencijalna funkcija također definirana za vrijednost varijable x = 0 . Nađimo derivaciju funkcije (3) za x = 0 . Da bismo to učinili, koristimo definiciju derivata:
.

Zamjena x = 0 :
.
U ovom slučaju, pod izvodom podrazumijevamo desnu granicu za koju .

Tako smo pronašli:
.
Iz ovoga se može vidjeti da na , .
U , .
U , .
Ovaj rezultat se također dobija formulom (1):
(1) .
Prema tome, formula (1) vrijedi i za x = 0 .

slučaj x< 0

Razmotrimo ponovo funkciju (3):
(3) .
Za neke vrijednosti konstante a definirana je i za negativne vrijednosti varijable x. Naime, neka je a racionalan broj. Tada se može predstaviti kao nesvodljivi razlomak:
,
gdje su m i n cijeli brojevi bez zajedničkog djelitelja.

Ako je n neparno, tada je eksponencijalna funkcija također definirana za negativne vrijednosti varijable x. Na primjer, za n = 3 i m = 1 imamo kubni korijen od x:
.
Također je definiran za negativne vrijednosti x.

Nađimo derivaciju funkcije stepena (3) za i za racionalne vrijednosti konstante a za koju je definirana. Da bismo to učinili, predstavljamo x u sljedećem obliku:
.
onda ,
.
Izvod pronalazimo tako što konstantu izvlačimo iz predznaka izvoda i primjenjujemo pravilo diferencijacije složene funkcije :

.
Evo. Ali
.
Jer, onda
.
Onda
.
Odnosno, formula (1) važi i za:
(1) .

Derivati ​​višeg reda

Sada nalazimo derivate višeg reda funkcije snage
(3) .
Već smo pronašli derivat prvog reda:
.

Uzimajući konstantu a iz predznaka derivacije, nalazimo izvod drugog reda:
.
Slično, nalazimo derivate trećeg i četvrtog reda:
;

.

Odavde je to jasno derivat proizvoljnog n-tog reda ima sljedeći oblik:
.

primeti, to ako je a prirodan broj, , tada je n-ti izvod konstantan:
.
Tada su svi naredni derivati ​​jednaki nuli:
,
u .

Primjeri izvedenica

Primjer

Pronađite izvod funkcije:
.

Rješenje

Pretvorimo korijene u stepene:
;
.
Tada originalna funkcija poprima oblik:
.

Nalazimo izvode stepeni:
;
.
Derivat konstante je nula:
.