Online kalkulator površine trapeza sa različitim stranama. Kako pronaći površinu trapeza: formule i primjeri

Postoji mnogo načina da pronađete površinu trapeza. Obično nastavnik matematike zna nekoliko metoda za njegovo izračunavanje, pogledajmo ih detaljnije:
1) , gdje su AD i BC osnove, a BH je visina trapeza. Dokaz: nacrtajte dijagonalu BD i izrazite površine trokuta ABD i CDB kroz polovinu proizvoda njihovih osnova i visina:

, gdje je DP vanjska visina u

Zbrojimo ove jednakosti pojam po član i uzimajući u obzir da su visine BH i DP jednake, dobijemo:

Stavimo to van zagrada

Q.E.D.

Posljedica formule za površinu trapeza:
Pošto je poluzbir baza jednak MN - srednja linija trapeza, onda

2) Aplikacija opšta formula površina četvorougla.
Površina četverokuta jednaka je polovini umnoška dijagonala pomnoženog sa sinusom ugla između njih
Da biste to dokazali, dovoljno je podijeliti trapez na 4 trokuta, izraziti površinu svakog u terminima "pola proizvoda dijagonala i sinusa kuta između njih" (uzeto kao kut, dodajte rezultirajući izraze, izvadite ih iz zagrade i faktorirajte ovu zagradu koristeći metodu grupisanja da dobijete njegovu jednakost s izrazom

3) Metoda dijagonalnog pomaka
Ovo je moje ime. Nastavnik matematike neće naići na takav naslov u školskim udžbenicima. Opis tehnike može se naći samo u dodatnom udžbenici kao primjer rješavanja problema. Napominjem da je većina zanimljivih i korisne činjenice nastavnici matematike otkrivaju učenicima planimetriju u procesu izvođenja praktičan rad. Ovo je krajnje neoptimalno, jer učenik treba da ih izoluje u zasebne teoreme i nazove ih “ velika imena" Jedan od njih je „dijagonalni pomak“. O čemu se radi? Povucimo liniju paralelnu sa AC kroz vrh B sve dok se ne sece sa donjom bazom u tacki E. U ovom slucaju cetvorougao EBCA ce biti paralelogram (po definiciji) i stoga BC=EA i EB=AC. Prva jednakost nam je sada važna. Imamo:

Imajte na umu da trokut BED, čija je površina jednaka površini trapeza, ima još nekoliko izvanrednih svojstava:
1) Njegova površina je jednaka površini trapeza
2) Njegov jednakokraki se javlja istovremeno sa jednakokrakom samog trapeza
3) Njegov gornji ugao na vrhu B jednaka uglu između dijagonala trapeza (koji se vrlo često koristi u problemima)
4) Njegova medijana BK jednaka je udaljenosti QS između sredina osnova trapeza. Nedavno sam se susreo sa upotrebom ovog svojstva kada sam pripremao studenta za mehaniku i matematiku na Moskovskom državnom univerzitetu koristeći Tkachukov udžbenik, verzija iz 1973. (problem je dat na dnu stranice).

Posebne tehnike za nastavnika matematike.

Ponekad predlažem probleme koristeći vrlo lukav način pronalaženja površine trapeza. Svrstavam je u posebne tehnike jer ih u praksi nastavnik koristi izuzetno rijetko. Ako vam je potrebna priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike samo u dijelu B, ne morate čitati o njima. Za ostale, reći ću vam dalje. Ispada da je površina trapeza udvostručena više površine trokut sa vrhovima na krajevima jedne strane i sredinom druge, odnosno ABS trokut na slici:
Dokaz: nacrtajte visine SM i SN u trouglovima BCS i ADS i izrazite zbir površina ovih trouglova:

Pošto je tačka S sredina CD-a, onda (dokažite sami).

Pošto se ispostavilo da je ovaj zbir jednak polovini površine trapeza, zatim njegovoj drugoj polovini. itd.

U zbirku specijalnih tehnika nastavnika uključio bih oblik izračunavanja površine jednakokračnog trapeza duž njegovih stranica: gdje je p poluperimetar trapeza. Neću dati dokaze. U suprotnom, vaš profesor matematike će ostati bez posla :). Dodjite na cas!

Problemi na području trapeza:

Napomena nastavnika matematike: Lista u nastavku nije metodološka pratnja temi, to je samo mali izbor zanimljivih zadataka zasnovanih na tehnikama o kojima smo gore govorili.

1) Donja osnova jednakokračnog trapeza je 13, a gornja 5. Nađite površinu trapeza ako je njegova dijagonala okomita na stranu.
2) Nađi površinu trapeza ako su njegove osnove 2cm i 5cm, a stranice 2cm i 3cm.
3) U jednakokračnom trapezu, veća baza je 11, stranica je 5, a dijagonala je Nađite površinu trapeza.
4) Dijagonala jednakokrakog trapeza je 5, a srednja linija 4. Pronađite površinu.
5) U jednakokrakom trapezu osnove su 12 i 20, a dijagonale su međusobno okomite. Izračunajte površinu trapeza
6) Dijagonala jednakokrakog trapeza čini ugao sa njegovom donjom osnovom. Nađite površinu trapeza ako je njegova visina 6 cm.
7) Površina trapeza je 20, a jedna od njegovih stranica je 4 cm Nađite udaljenost do njega od sredine suprotne strane.
8) Dijagonala jednakokračnog trapeza dijeli ga na trouglove površine 6 i 14. Nađi visinu ako je bočna strana 4.
9) U trapezu su dijagonale jednake 3 i 5, a segment koji povezuje sredine osnova jednak je 2. Nađite površinu trapeza (Mekhmat MSU, 1970).

Nisam izabrao najbolje složeni zadaci(ne bojte se mehanike i matematike!) sa očekivanjem mogućnosti istih nezavisna odluka. Odlučite se za svoje zdravlje! Ako vam je potrebna priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike, onda bez sudjelovanja u ovom procesu formule za područje trapeza mogu nastati ozbiljni problemi čak i s problemom B6, a još više sa C4. Ne započinjite temu i u slučaju bilo kakvih poteškoća zatražite pomoć. Tutor matematike vam uvijek rado pomogne.

Kolpakov A.N.
Mentor matematike u Moskvi, priprema za Jedinstveni državni ispit u Stroginu.

Trapez naziva se četvorougao čiji samo dva strane su paralelne jedna s drugom.

Zovu se baze figure, a preostale strane. Paralelogrami se smatraju posebnim slučajevima figure. Postoji i zakrivljeni trapez, koji uključuje graf funkcije. Formule za površinu trapeza uključuju gotovo sve njegove elemente, a najbolje rješenje se bira ovisno o datim vrijednostima.
Glavne uloge u trapezu su dodijeljene visini i srednjoj liniji. srednja linija- Ovo je linija koja povezuje sredine strana. Visina Trapez je nacrtan pod pravim uglom od gornjeg ugla do baze.
Površina trapeza kroz njegovu visinu jednaka je umnošku polovine zbira dužina baza pomnoženog s visinom:

Ako je prosječna linija poznata prema uvjetima, onda je ova formula značajno pojednostavljena, jer je jednaka polovini zbroja dužina baza:

Ako su, prema uvjetima, date dužine svih strana, onda možemo razmotriti primjer izračunavanja površine trapeza pomoću ovih podataka:

Pretpostavimo da nam je dat trapez sa bazama a = 3 cm, b = 7 cm i stranicama c = 5 cm, d = 4 cm.

Područje jednakokračnog trapeza

Jednakokraki trapez ili, kako se još naziva, jednakokraki trapez, smatra se zasebnim slučajem.
Poseban slučaj je pronalaženje površine jednakokračnog (jednakostraničnog) trapeza. Formula se izvodi na različite načine - kroz dijagonale, kroz uglove koji su susjedni bazi i radijus upisane kružnice.
Ako je dužina dijagonala specificirana prema uvjetima i ugao između njih je poznat, možete koristiti sljedeću formulu:

Zapamtite da su dijagonale jednakokračnog trapeza jednake jedna drugoj!

Odnosno, znajući jednu od njihovih baza, stranu i ugao, lako možete izračunati površinu.

Područje zakrivljenog trapeza

Poseban slučaj je zakrivljeni trapez. Nalazi se na koordinatnoj osi i ograničena je grafikom kontinuirane pozitivne funkcije.

Njegova baza se nalazi na X osi i ograničena je na dvije točke:
Integrali pomažu u izračunavanju površine zakrivljenog trapeza.
Formula je napisana ovako:

Razmotrimo primjer izračunavanja površine zakrivljenog trapeza. Formula zahtijeva određeno znanje za rad s određenim integralima. Prvo, pogledajmo vrijednost definitivnog integrala:

Ovdje je F(a) vrijednost antiderivativna funkcija f(x) u tački a, F(b) je vrijednost iste funkcije f(x) u tački b.

Sada da riješimo problem. Na slici je prikazan zakrivljeni trapez, ograničeno funkcijom. Funkcija
Moramo pronaći površinu odabrane figure, koja je krivolinijski trapez omeđen odozgo grafom, s desne strane pravom linijom x =(-8), s lijeve strane pravom linijom x =(-10 ) i OX osa ispod.
Izračunat ćemo površinu ove figure koristeći formulu:

Uslovi problema daju nam funkciju. Koristeći ga pronaći ćemo vrijednosti antiderivata u svakoj od naših tačaka:


Sad
odgovor: Površina datog zakrivljenog trapeza je 4.

Nema ništa komplikovano u izračunavanju ove vrednosti. Jedino što je važno je izuzetna pažnja u proračunima.

Da biste se osjećali samopouzdano i uspješno rješavali probleme na časovima geometrije, nije dovoljno naučiti formule. Prvo ih treba razumjeti. Bojati se, a još više mrzeti formule, je neproduktivno. U ovom članku pristupačan jezik biće analizirani razne načine Pronalaženje površine trapeza. Da bismo bolje razumjeli odgovarajuća pravila i teoreme, obratit ćemo pažnju na njegova svojstva. Ovo će vam pomoći da shvatite kako pravila funkcionišu i u kojim slučajevima određene formule treba primijeniti.

Definisanje trapeza

Kakva je ovo figura sveukupno? Trapez je mnogokut sa četiri ugla i dvije paralelne stranice. Druge dvije strane trapeza mogu biti nagnute pod različitim uglovima. Njegove paralelne stranice nazivaju se bazama, a za neparalelne strane koristi se naziv "strane" ili "bokovi". Takve brojke su prilično česte u svakodnevni život. Konture trapeza mogu se vidjeti u siluetama odjeće, predmeta interijera, namještaja, posuđa i mnogih drugih. Trapez se dešava različite vrste: skalasta, jednakostranična i pravougaona. Kasnije ćemo u članku detaljnije ispitati njihove vrste i svojstva.

Svojstva trapeza

Zadržimo se ukratko na svojstvima ove figure. Zbir uglova susednih bilo kojoj strani je uvek 180°. Treba napomenuti da svi uglovi trapeza iznose 360°. Trapez ima koncept srednje linije. Ako spojite sredine strana sa segmentom, to će biti srednja linija. Označava se sa m. Srednja linija ima važna svojstva: uvijek je paralelno sa bazama (sjetimo se da su baze također paralelne jedna s drugom) i jednako njihovom poluzbiru:

Ova definicija se mora naučiti i razumjeti, jer je ona ključ za rješavanje mnogih problema!

Sa trapezom uvijek možete spustiti visinu do baze. Visina je okomita, često označena simbolom h, koja se povlači od bilo koje tačke jedne baze do druge baze ili njenog produžetka. Srednja linija i visina pomoći će vam da pronađete područje trapeza. Ovakvi zadaci su najčešći u školski kurs geometrije i redovno se pojavljuju među ispitnim i ispitnim radovima.

Najjednostavnije formule za područje trapeza

Pogledajmo dvije najpopularnije i najjednostavnije formule koje se koriste za pronalaženje površine trapeza. Dovoljno je pomnožiti visinu sa polovinom zbira baza da lako pronađete ono što tražite:

S = h*(a + b)/2.

U ovoj formuli, a, b označavaju osnove trapeza, h - visinu. Radi lakše percepcije, u ovom članku, znaci množenja su označeni simbolom (*) u formulama, iako se u službenim referentnim knjigama znak množenja obično izostavlja.

Pogledajmo primjer.

Dato: trapez sa dvije osnove jednake 10 i 14 cm, visina je 7 cm.

Pogledajmo rješenje ovog problema. Koristeći ovu formulu, prvo morate pronaći poluzbir baza: (10+14)/2 = 12. Dakle, poluzbir je jednak 12 cm. Sada pomnožimo poluzbir sa visinom: 12*7 = 84. Ono što tražimo je pronađeno. Odgovor: Površina trapeza je 84 kvadratna metra. cm.

Druga poznata formula kaže: površina trapeza jednaka je proizvodu srednje linije i visine trapeza. Odnosno, to zapravo slijedi iz prethodnog koncepta srednje linije: S=m*h.

Korištenje dijagonala za proračune

Drugi način za pronalaženje površine trapeza zapravo nije tako komplikovan. Povezan je sa svojim dijagonalama. Koristeći ovu formulu, da biste pronašli površinu, morate pomnožiti poluproizvod njegovih dijagonala (d 1 d 2) sa sinusom kuta između njih:

S = ½ d 1 d 2 sin a.

Razmotrimo problem koji pokazuje primjenu ove metode. Dato je: trapez sa dužinom dijagonala 8 odnosno 13 cm. Ugao a između dijagonala je 30°. Pronađite površinu trapeza.

Rješenje. Koristeći gornju formulu, lako je izračunati šta je potrebno. Kao što znate, sin 30° je 0,5. Dakle, S = 8*13*0,5=52. Odgovor: površina je 52 kvadratna metra. cm.

Pronalaženje površine jednakokračnog trapeza

Trapez može biti jednakokračan (jednakokračan). Njegove stranice su iste, a uglovi u osnovima jednaki, što je dobro ilustrovano slikom. Jednakokraki trapez ima ista svojstva kao i obična, plus niz posebnih. Krug se može opisati oko jednakokračnog trapeza, a u njega se može upisati kružnica.

Koje metode postoje za izračunavanje površine takve figure? Metoda u nastavku će zahtijevati mnogo proračuna. Da biste ga koristili, morate znati vrijednosti sinusa (sin) i kosinusa (cos) ugla na bazi trapeza. Da biste ih izračunali, potrebne su vam ili Bradisove tablice ili inženjerski kalkulator. Evo formule:

S= c*sin a*(a - c*cos a),

Gdje With- bočna butina, a- ugao na donjoj bazi.

Jednakostranični trapez ima dijagonale jednake dužine. Isto tako vrijedi i obrnuto: ako trapez ima jednake dijagonale, onda je jednakokračan. Otuda sljedeća formula koja pomaže u pronalaženju površine trapeza - poluproizvod kvadrata dijagonala i sinusa kuta između njih: S = ½ d 2 sin a.

Pronalaženje površine pravokutnog trapeza

Famous poseban slučaj pravougaoni trapez. Ovo je trapez, u kojem jedna strana (njegova butina) graniči sa bazama pod pravim uglom. Ima svojstva pravilnog trapeza. Osim toga, ona ima vrlo zanimljiva karakteristika. Razlika u kvadratima dijagonala takvog trapeza jednaka je razlici kvadrata njegovih baza. Za to se koriste sve prethodno opisane metode za izračunavanje površine.

Koristimo domišljatost

Postoji jedan trik koji može pomoći ako zaboravite određene formule. Pogledajmo bliže šta je trapez. Ako ga mentalno podijelimo na dijelove, dobit ćemo poznate i razumljive geometrijske oblike: kvadrat ili pravougaonik i trokut (jedan ili dva). Ako su visina i stranice trapeza poznate, možete koristiti formule za površinu trokuta i pravokutnika, a zatim zbrojiti sve rezultirajuće vrijednosti.

Ilustrirajmo ovo sljedećim primjerom. Dat je pravougaoni trapez. Ugao C = 45°, uglovi A, D su 90°. Gornja osnova trapeza je 20 cm, visina je 16 cm. Morate izračunati površinu figure.

Ova figura se očigledno sastoji od pravougaonika (ako su dva ugla jednaka 90°) i trougla. Kako je trapez pravougaonik, njegova visina je jednaka njegovoj strani, odnosno 16 cm, imamo pravougaonik sa stranicama od 20, odnosno 16 cm. Sada razmotrite trougao čiji je ugao 45°. Znamo da je jedna njegova stranica 16 cm. Pošto je i ova stranica visina trapeza (a znamo da se visina spušta na osnovu pod pravim uglom), dakle, drugi ugao trougla je 90°. Dakle, preostali ugao trougla je 45°. Posljedica ovoga je da dobijemo pravokutni jednakokraki trokut sa dvije jednake stranice. To znači da je druga strana trokuta jednaka visini, odnosno 16 cm. Ostaje izračunati površinu trokuta i pravokutnika i zbrojiti rezultirajuće vrijednosti.

Površina pravokutnog trokuta jednaka je polovini umnoška njegovih kateta: S = (16*16)/2 = 128. Površina pravokutnika jednaka je proizvodu njegove širine i dužine: S = 20*16 = 320. Našli smo potrebnu: površinu trapeza S = 128 + 320 = 448 kvadratnih metara. vidite. Možete se lako provjeriti koristeći gornje formule, odgovor će biti identičan.

Koristimo formulu Pick

S = M/2 + N - 1,

u ovoj formuli M je broj čvorova, tj. preseci linija slike sa linijama ćelije na granicama trapeza (narandžaste tačke na slici), N je broj čvorova unutar figure (plave tačke). Najprikladnije ga je koristiti pri pronalaženju površine nepravilnog poligona. Međutim, što je veći arsenal korištenih tehnika, to je manje grešaka i bolji rezultati.

Naravno, date informacije ne iscrpljuju vrste i svojstva trapeza, kao ni metode za pronalaženje njegove površine. Ovaj članak daje pregled njegovih najvažnijih karakteristika. Prilikom rješavanja geometrijskih problema važno je djelovati postepeno, početi s lakim formulama i problemima, dosljedno konsolidirati svoje razumijevanje i preći na drugi nivo složenosti.

Najčešće formule prikupljene zajedno pomoći će učenicima da se snalaze na razne načine izračunajte površinu trapeza i bolje se pripremite za testove i testovi na ovu temu.

Trapez je posebna vrstačetverougao u kojem su dvije suprotne strane paralelne jedna s drugom, ali druge dvije nisu. Razni stvarni objekti imaju trapezoidni oblik, pa ćete možda morati izračunati obim takve geometrijske figure da biste riješili svakodnevne ili školske probleme.

Trapezoidna geometrija

Trapez (od grčkog "trapezion" - stol) je lik na ravni ograničen sa četiri segmenta, od kojih su dva paralelna, a dva nisu. Paralelni segmenti se nazivaju osnovama trapeza, a neparalelni segmenti se nazivaju stranicama figure. Strane i njihovi uglovi nagiba određuju vrstu trapeza, koji može biti razmjeran, jednakokraki ili pravokutni. Osim baza i stranica, trapez ima još dva elementa:

• visina - udaljenost između paralelnih baza figure;
• srednja linija - segment koji povezuje sredine strana.

Ova geometrijska figura je široko rasprostranjena u stvarnom životu.

Trapez u stvarnosti

IN Svakodnevni život Mnogi stvarni objekti poprimaju trapezoidni oblik. Trapeze možete lako pronaći u sljedećim područjima ljudske aktivnosti:

• dizajn interijera i dekoracija - sofe, stolovi, zidovi, tepisi, spušteni stropovi;
• pejzažni dizajn - granice travnjaka i umjetnih rezervoara, oblici ukrasnih elemenata;
• moda - oblik odjeće, obuće i pribora;
• arhitektura - prozori, zidovi, temelji zgrada;
• proizvodnja - razni proizvodi i dijelovi.

Uz tako raširenu upotrebu trapeza, stručnjaci često moraju izračunati perimetar geometrijske figure.

Perimetar trapeza

Opseg figure je numerička karakteristika koja se izračunava kao zbir dužina svih strana n-ugla. Trapez je četverougao i općenito sve njegove stranice imaju različite dužine, pa se perimetar izračunava pomoću formule:

P = a + b + c + d,

gdje su a i c osnove figure, b i d su njene stranice.

Iako ne moramo znati visinu pri izračunavanju perimetra trapeza, kod kalkulatora zahtijeva unos ove varijable. Budući da visina nema utjecaja na proračune, kada koristite naš online kalkulator možete unijeti bilo koju vrijednost visine koja je veća od nule. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjeri iz stvarnog života

Maramica

Recimo da imate šal u obliku trapeza i želite ga podšišati resama. Morat ćete znati obim šala kako ne biste kupovali dodatni materijal ili dvaput odlazili u trgovinu. Neka vaš jednakokraki šal ima sljedeće parametre: a = 120 cm, b = 60 cm, c = 100 cm, d = 60 cm Ove podatke unosimo u online obrazac i dobijamo odgovor u formi:

Dakle, obim marame je 340 cm, a upravo to je dužina pletenice za rese da se završi.

Padine

Na primjer, odlučili ste napraviti kosine za nestandardne metalno-plastične prozore koji imaju trapezni oblik. Takvi prozori se široko koriste u dizajnu zgrada, stvarajući kompoziciju od nekoliko krila. Najčešće se takvi prozori izrađuju u obliku pravokutnog trapeza. Hajde da saznamo koliko je materijala potrebno za izradu kosina takvog prozora. Standardni prozor ima sljedeće parametre a = 140 cm, b = 20 cm, c = 180 cm, d = 50 cm. Koristimo ove podatke i dobijemo rezultat u obliku

Dakle, obim trapeznog prozora je 390 cm, a to je upravo onoliko plastičnih ploča koje ćete morati kupiti za formiranje kosina.

Zaključak

Trapez je popularna figura u svakodnevnom životu, određivanje čijih parametara može biti potrebno u najneočekivanijim situacijama. Proračun trapeznih perimetara je neophodan za mnoge profesionalce: od inženjera i arhitekata do dizajnera i mehaničara. Naš katalog online kalkulatora će vam omogućiti da izvršite izračune za bilo koji geometrijski oblici i tel.