Online kalkulator površine jednakokračnog trapeza. Kako pronaći površinu trapeza

Praksa prošlogodišnjeg Jedinstvenog državnog ispita i državnog ispita pokazuje da problemi geometrije izazivaju teškoće kod mnogih školaraca. Lako ćete se nositi s njima ako zapamtite sve potrebne formule i vježbate rješavanje problema.

U ovom članku ćete vidjeti formule za pronalaženje površine trapeza, kao i primjere problema s rješenjima. Na iste možete naići na KIM-ovima tokom ispita za sertifikaciju ili na olimpijadama. Stoga pažljivo postupajte s njima.

Šta treba da znate o trapezu?

Za početak, podsjetimo se toga trapezoid se naziva četverougao u kojem su dvije suprotne stranice, koje se nazivaju i baze, paralelne, a druge dvije nisu.

U trapezu se visina (okomita na bazu) također može spustiti. Povučena je srednja linija - ovo je prava linija koja je paralelna bazama i jednaka polovini njihovog zbira. Kao i dijagonale koje se mogu ukrštati, formirajući oštre i tupe uglove. Ili, u nekim slučajevima, pod pravim uglom. Osim toga, ako je trapez jednakokračan, u njega se može upisati krug. I opišite krug oko njega.

Formule površine trapeza

Prvo, pogledajmo standardne formule za pronalaženje površine trapeza. U nastavku ćemo razmotriti načine za izračunavanje površine jednakokrakih i krivolinijskih trapeza.

Dakle, zamislite da imate trapez sa osnovama a i b, u kojem je visina h spuštena na veću osnovu. Izračunavanje površine figure u ovom slučaju je jednostavno kao i ljuštenje krušaka. Samo trebate podijeliti zbir dužina baza sa dva i rezultat pomnožiti sa visinom: S = 1/2(a + b)*h.

Uzmimo još jedan slučaj: pretpostavimo da u trapezu, pored visine, postoji i srednja linija m. Znamo formulu za pronalaženje dužine srednje linije: m = 1/2(a + b). Stoga s pravom možemo pojednostaviti formulu za površinu trapeza na sljedeći oblik: S = m* h. Drugim riječima, da biste pronašli površinu trapeza, morate središnju liniju pomnožiti s visinom.

Razmotrimo drugu opciju: trapez sadrži dijagonale d 1 i d 2, koje se ne sijeku pod pravim uglom α. Da biste izračunali površinu takvog trapeza, trebate podijeliti proizvod dijagonala s dva i rezultat pomnožiti s grijehom kuta između njih: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Sada razmotrite formulu za pronalaženje površine trapeza ako se o njemu ne zna ništa osim dužina svih njegovih stranica: a, b, c i d. Ovo je glomazna i složena formula, ali će vam biti korisno da je zapamtite za svaki slučaj: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Usput, gornji primjeri vrijede i za slučaj kada vam je potrebna formula za površinu pravokutnog trapeza. Ovo je trapez, čija strana graniči s bazama pod pravim uglom.

Jednakokraki trapez

Trapez čije su stranice jednake naziva se jednakokraki. Razmotrit ćemo nekoliko opcija za formulu za područje jednakokračnog trapeza.

Prva opcija: za slučaj kada je kružnica poluprečnika r upisana unutar jednakokračnog trapeza, a bočna i veća osnova tvore oštar ugao α. Krug se može upisati u trapez pod uslovom da je zbir dužina njegovih osnova jednak zbiru dužina stranica.

Površina jednakokračnog trapeza izračunava se na sljedeći način: pomnožite kvadrat polumjera upisane kružnice sa četiri i podijelite sve sa sinα: S = 4r 2 /sinα. Druga formula površine je poseban slučaj za opciju kada je kut između velike baze i stranice 30 0: S = 8r2.

Druga opcija: ovog puta uzimamo jednakokraki trapez, u kojem su dodatno nacrtane dijagonale d 1 i d 2, kao i visina h. Ako su dijagonale trapeza međusobno okomite, visina je polovina zbira osnovica: h = 1/2(a + b). Znajući to, lako je transformirati formulu za područje trapeza koji vam je već poznat u ovaj oblik: S = h2.

Formula za površinu zakrivljenog trapeza

Počnimo tako što ćemo otkriti šta je zakrivljeni trapez. Zamislite koordinatnu osu i graf neprekidne i nenegativne funkcije f koja ne mijenja predznak unutar datog segmenta na x-osi. Krivolinijski trapez formira se grafikom funkcije y = f(x) - na vrhu, os x je na dnu (segment), a sa strane - prave linije povučene između tačaka a i b i grafika funkcija.

Nemoguće je izračunati površinu takve nestandardne figure koristeći gore navedene metode. Ovdje trebate primijeniti matematičku analizu i koristiti integral. Naime: Newton-Leibniz formula - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). U ovoj formuli, F je antiderivat naše funkcije na odabranom segmentu. A površina krivolinijskog trapeza odgovara prirastu antiderivata na datom segmentu.

Problemi sa uzorcima

Kako biste sve ove formule lakše razumjeli u svojoj glavi, evo nekoliko primjera problema za pronalaženje površine trapeza. Najbolje bi bilo da prvo pokušate sami da rešite probleme, pa tek onda uporedite dobijeni odgovor sa gotovim rešenjem.

Zadatak #1: Dat je trapez. Njegova veća baza je 11 cm, a manja 4 cm. Trapez ima dijagonale, jedna duga 12 cm, druga 9 cm.

Rješenje: Konstruirajte trapez AMRS. Povucite pravu liniju RH kroz vrh P tako da bude paralelna sa dijagonalom MC i da seče pravu liniju AC u tački X. Dobićete trougao APH.

Razmotrit ćemo dvije figure dobivene kao rezultat ovih manipulacija: trokut APX i paralelogram CMRX.

Zahvaljujući paralelogramu saznajemo da je PX = MC = 12 cm i CX = MR = 4 cm. Odakle možemo izračunati stranicu AX trougla ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Takođe možemo dokazati da je trougao APX pravougli (da biste to uradili, primenite Pitagorinu teoremu - AX 2 = AP 2 + PX 2). I izračunajte njegovu površinu: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm 2.

Zatim ćete morati dokazati da su trouglovi AMP i PCX jednaki po površini. Osnova će biti ravnopravnost stranaka MR i CX (već dokazano gore). I visine koje spuštate na ovim stranama - jednake su visini AMRS trapeza.

Sve ovo će vam omogućiti da kažete da je S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Zadatak #2: Dat je trapez KRMS. Na njegovim bočnim stranama nalaze se tačke O i E, dok su OE i KS paralelne. Takođe je poznato da su površine trapeza ORME i OKSE u odnosu 1:5. RM = a i KS = b. Morate pronaći OE.

Rješenje: Nacrtajte pravu paralelnu sa RK kroz tačku M i označite tačku njenog sjecišta sa OE kao T. A je tačka preseka prave povučene kroz tačku E paralelno sa RK sa bazom KS.

Hajde da uvedemo još jednu notaciju - OE = x. I visina h 1 za trokut TME i visina h 2 za trokut AEC (možete samostalno dokazati sličnost ovih trouglova).

Pretpostavićemo da je b > a. Površine trapeza ORME i OKSE su u omjeru 1:5, što nam daje pravo da napravimo sljedeću jednačinu: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformirajmo i dobijemo: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Pošto su trouglovi TME i AEC slični, imamo h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Kombinirajmo oba unosa i dobijemo: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Dakle, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Zaključak

Geometrija nije najlakša nauka, ali se sa ispitnim pitanjima sigurno možete nositi. Dovoljno je pokazati malo upornosti u pripremama. I, naravno, zapamtite sve potrebne formule.

Pokušali smo sakupiti sve formule za izračunavanje površine trapeza na jednom mjestu kako biste ih mogli koristiti kada se pripremate za ispite i obnavljate gradivo.

Obavezno obavijestite svoje kolege i prijatelje na društvenim mrežama o ovom članku. Neka bude više dobrih ocjena na Jedinstvenom državnom ispitu i državnim ispitima!

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

U matematici je poznato nekoliko vrsta četvorouglova: kvadrat, pravougaonik, romb, paralelogram. Među njima je i trapez - vrsta konveksnog četverokuta u kojem su dvije strane paralelne, a druge dvije nisu. Paralelne suprotne strane nazivaju se baze, a druge dvije se nazivaju bočne strane trapeza. Segment koji povezuje sredine stranica naziva se srednja linija. Postoji nekoliko vrsta trapeza: jednakokraki, pravokutni, zakrivljeni. Za svaki tip trapeza postoje formule za pronalaženje površine.

Područje trapeza

Da biste pronašli površinu trapeza, morate znati dužinu njegovih baza i visinu. Visina trapeza je segment okomit na osnovice. Neka je gornja osnova a, donja baza b, a visina h. Tada možete izračunati površinu S koristeći formulu:

S = ½ * (a+b) * h

one. uzmi polovinu zbroja osnova pomnožene visinom.

Također će biti moguće izračunati površinu trapeza ako su poznata visina i središnja linija. Označimo srednju liniju - m. Onda

Hajde da riješimo složeniji problem: poznate su dužine četiri strane trapeza - a, b, c, d. Tada će se područje pronaći pomoću formule:

Ako su poznate dužine dijagonala i kut između njih, tada se područje traži na sljedeći način:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

gdje su d sa indeksima 1 i 2 dijagonale. U ovoj formuli, sinus ugla je dat u proračunu.

S obzirom na poznate dužine osnova a i b i dva ugla na donjoj osnovici, površina se izračunava na sljedeći način:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Područje jednakokračnog trapeza

Jednakokraki trapez je poseban slučaj trapeza. Njegova razlika je u tome što je takav trapez konveksan četverougao s osom simetrije koja prolazi kroz sredine dvije suprotne strane. Njegove strane su jednake.

Postoji nekoliko načina za pronalaženje površine jednakokračnog trapeza.

• Kroz dužine tri strane. U ovom slučaju, dužine stranica će se podudarati, stoga su označene jednom vrijednošću - c, a a i b - dužinama baza:

• Ako su poznati dužina gornje osnove, stranice i ugao na donjoj bazi, tada se površina izračunava na sljedeći način:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

gdje je a gornja osnova, c je strana.

• Ako je umjesto gornje baze poznata dužina donje - b, površina se izračunava po formuli:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• Ako su poznate dvije baze i ugao na donjoj osnovici, površina se izračunava kroz tangentu ugla:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

• Površina se također izračunava kroz dijagonale i ugao između njih. U ovom slučaju, dijagonale su jednake po dužini, pa svaku označavamo slovom d bez indeksa:

S = ½ * d2 * sin α

• Izračunajmo površinu trapeza, znajući dužinu stranice, središnju liniju i ugao na donjoj bazi.

Neka je bočna strana c, srednja linija m, a ugao a, tada:

S = m * c * sin α

Ponekad možete upisati krug u jednakostranični trapez, čiji će polumjer biti r.

Poznato je da se kružnica može upisati u bilo koji trapez ako je zbir dužina baza jednak zbiru dužina njegovih stranica. Tada se površina može pronaći kroz polumjer upisane kružnice i ugao na donjoj osnovici:

S = 4r2 / sin α

Isti proračun je napravljen pomoću prečnika D upisane kružnice (usput, poklapa se sa visinom trapeza):

Poznavajući osnovu i ugao, površina jednakokračnog trapeza izračunava se na sljedeći način:

S = a * b / sin α

(ova i naredne formule važe samo za trapeze sa upisanim krugom).

Koristeći osnove i polumjer kružnice, površina se nalazi na sljedeći način:

Ako su poznate samo baze, tada se površina izračunava pomoću formule:

Preko osnovica i bočne linije, površina trapeza sa upisanom kružnicom i kroz osnovice i srednju liniju - m izračunava se na sljedeći način:

Površina pravokutnog trapeza

Trapez se naziva pravougaonim ako mu je jedna strana okomita na osnovu. U ovom slučaju, dužina stranice poklapa se s visinom trapeza.

Pravougaoni trapez se sastoji od kvadrata i trokuta. Nakon što ste pronašli površinu svake od figura, zbrojite rezultate i dobijete ukupnu površinu figure.

Također, opće formule za izračunavanje površine trapeza pogodne su za izračunavanje površine pravokutnog trapeza.

• Ako su poznate dužine baza i visina (ili okomita strana), tada se površina izračunava pomoću formule:

S = (a + b) * h / 2

Bočna strana c može djelovati kao h (visina). Tada formula izgleda ovako:

S = (a + b) * c / 2

• Drugi način za izračunavanje površine je da pomnožite dužinu središnje linije sa visinom:

ili po dužini bočne okomite stranice:

• Sljedeći način izračunavanja je kroz polovicu proizvoda dijagonala i sinusa kuta između njih:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Ako su dijagonale okomite, formula se pojednostavljuje na:

S = ½ * d1 * d2

• Drugi način izračunavanja je kroz poluperimetar (zbir dužina dvije suprotne strane) i radijus upisane kružnice.

Ova formula vrijedi za baze. Ako uzmemo dužine stranica, onda će jedna od njih biti jednaka dvostrukom polumjeru. Formula će izgledati ovako:

S = (2r + c) * r

• Ako je krug upisan u trapez, tada se površina izračunava na isti način:

gdje je m dužina središnje linije.

Područje zakrivljenog trapeza

Krivolinijski trapez je ravna figura ograničena grafikom nenegativne kontinuirane funkcije y = f(x), definirane na segmentu, osi apscise i pravim linijama x = a, x = b. U suštini, dvije njegove strane su paralelne jedna s drugom (baze), treća strana je okomita na baze, a četvrta je kriva koja odgovara grafu funkcije.

Površina krivolinijskog trapeza traži se kroz integral koristeći Newton-Leibniz formulu:

Tako se računaju površine različitih tipova trapeza. Ali, pored svojstava stranica, trapezi imaju ista svojstva uglova. Kao i svi postojeći četvorouglovi, zbir unutrašnjih uglova trapeza je 360 ​​stepeni. A zbir uglova susednih bočnoj strani je 180 stepeni.

Trapez naziva se četvorougao čiji samo dva strane su paralelne jedna s drugom.

Zovu se baze figure, ostale se zovu strane. Paralelogrami se smatraju posebnim slučajevima figure. Postoji i zakrivljeni trapez, koji uključuje graf funkcije. Formule za površinu trapeza uključuju gotovo sve njegove elemente, a najbolje rješenje se bira ovisno o datim vrijednostima.
Glavne uloge u trapezu dodijeljene su visini i srednjoj liniji. srednja linija- Ovo je linija koja povezuje sredine strana. Visina Trapez je nacrtan pod pravim uglom od gornjeg ugla do baze.
Površina trapeza kroz njegovu visinu jednaka je umnošku polovine zbroja dužina baza pomnoženog s visinom:

Ako je prosječna linija poznata prema uvjetima, onda je ova formula značajno pojednostavljena, jer je jednaka polovini zbroja dužina baza:

Ako su, prema uvjetima, date dužine svih strana, onda možemo razmotriti primjer izračunavanja površine trapeza pomoću ovih podataka:

Pretpostavimo da nam je dat trapez sa bazama a = 3 cm, b = 7 cm i stranicama c = 5 cm, d = 4 cm.

Područje jednakokračnog trapeza

Jednakokraki trapez ili, kako se još naziva, jednakokraki trapez, smatra se zasebnim slučajem.
Poseban slučaj je pronalaženje površine jednakokračnog (jednakostraničnog) trapeza. Formula se izvodi na različite načine - kroz dijagonale, kroz uglove koji su susjedni bazi i radijus upisane kružnice.
Ako je dužina dijagonala specificirana prema uvjetima i ugao između njih je poznat, možete koristiti sljedeću formulu:

Zapamtite da su dijagonale jednakokračnog trapeza jednake jedna drugoj!

Odnosno, znajući jednu od njihovih baza, stranu i ugao, lako možete izračunati površinu.

Područje zakrivljenog trapeza

Poseban slučaj je zakrivljeni trapez. Nalazi se na koordinatnoj osi i ograničena je grafikom kontinuirane pozitivne funkcije.

Njegova baza se nalazi na X osi i ograničena je na dvije točke:
Integrali pomažu u izračunavanju površine zakrivljenog trapeza.
Formula je napisana ovako:

Razmotrimo primjer izračunavanja površine zakrivljenog trapeza. Formula zahtijeva određeno znanje za rad s određenim integralima. Prvo, pogledajmo vrijednost definitivnog integrala:

Ovdje je F(a) vrijednost antiderivativne funkcije f(x) u tački a, F(b) je vrijednost iste funkcije f(x) u tački b.

Sada da riješimo problem. Na slici je prikazan zakrivljeni trapez omeđen funkcijom. Funkcija
Moramo pronaći površinu odabrane figure, koja je krivolinijski trapez omeđen odozgo grafom, s desne strane pravom linijom x =(-8), s lijeve strane pravom linijom x =(-10 ) i OX osa ispod.
Izračunat ćemo površinu ove figure koristeći formulu:

Uslovi problema daju nam funkciju. Koristeći ga pronaći ćemo vrijednosti antiderivata u svakoj od naših tačaka:


Sad
odgovor: Površina datog zakrivljenog trapeza je 4.

Nema ništa komplikovano u izračunavanju ove vrednosti. Jedino što je važno je izuzetna pažnja u proračunima.

Ovaj kalkulator je izračunao 2192 problema na temu "Površina trapeza"

PODRUČJE TRAPEZA

Odaberite formulu za izračunavanje površine trapeza koju planirate koristiti za rješavanje problema koji vam je dodijeljen:

Opća teorija za izračunavanje površine trapeza.

trapez - Ovo je ravna figura koja se sastoji od četiri tačke, od kojih tri ne leže na istoj pravoj, i četiri segmenta (stranice) koje povezuju ove četiri tačke u paru, u kojima su dve suprotne strane paralelne (leže na paralelnim linijama), a druga dva nisu paralelna.

Tačke se zovu vrhovima trapeza i označeni su velikim latiničnim slovima.

Segmenti se zovu trapezoidne strane i označeni su parom velikih latiničnih slova koja odgovaraju vrhovima koji spajaju segmente.

Zovu se dvije paralelne stranice trapeza trapezoidne osnove .

Zovu se dvije neparalelne stranice trapeza strane trapeza .

Slika br. 1: Trapez ABCD

Na slici br. 1 prikazan je trapez ABCD sa vrhovima A, B, C, D i stranicama AB, BC, CD, DA.

AB ǁ DC - osnovice trapeza ABCD.

AD, BC - bočne stranice trapeza ABCD.

Ugao koji formiraju zrake AB i AD naziva se ugao u vrhu A. Označava se kao ÐA ili ÐBAD, ili ÐDAB.

Ugao koji formiraju zrake BA i BC naziva se ugao u vrhu B. Označava se kao ÐB ili ÐABC, ili ÐCBA.

Ugao koji formiraju zrake CB i CD naziva se vršni ugao C. Označava se kao ÐC ili ÐDCB, ili ÐBCD.

Ugao koji formiraju zrake AD i CD naziva se vršni ugao D. Označava se kao ÐD ili ÐADC, ili ÐCDA.

Slika br. 2: Trapez ABCD

Na slici 2 se naziva segment MN koji povezuje sredine bočnih strana srednja linija trapeza.

Srednja linija trapeza paralelno sa bazama i jednako njihovom poluzbiru. To je, .

Slika br. 3: Jednakokraki trapez ABCD

Na slici 3, AD=BC.

Trapez se zove jednakokraki (jednakokraki), ako su njegove strane jednake.

Slika br. 4: Pravougaoni trapez ABCD

Na slici br. 4, ugao D je ravan (jednak 90°).

Trapez se zove pravougaona, ako je ugao na strani ravan.

Površina S stan figure, koje uključuju trapez, nazivaju se ograničenim zatvorenim prostorom na ravni. Područje ravne figure pokazuje veličinu ove figure.

Područje ima nekoliko nekretnina:

1. Ne može biti negativan.

2. Ako je data određena zatvorena površina na ravni, koja se sastoji od nekoliko figura koje se ne sijeku jedna drugu (tj. figure nemaju zajedničke unutrašnje tačke, ali se mogu dobro dodirivati), tada površina takve površine jednak je zbroju površina njenih sastavnih figura.

3. Ako su dvije figure jednake, onda su njihove površine jednake.

4. Površina kvadrata, koji je izgrađen na jediničnom segmentu, jednaka je jedan.

Iza jedinica mjerenja području uzmite površinu kvadrata čija je stranica jednaka jedinica mjerenja segmentima.

Prilikom rješavanja problema često se koriste sljedeće formule za izračunavanje površine trapeza:

1. Površina trapeza jednaka je polovini zbira njegovih osnova pomnoženog s njegovom visinom:

2. Površina trapeza jednaka je umnošku njegove srednje linije i visine:

3. Uz poznate dužine baza i stranica trapeza, njegova površina se može izračunati pomoću formule:

4. Moguće je izračunati površinu jednakokračnog trapeza sa poznatom dužinom polumjera kružnice upisane u trapez i poznatom vrijednošću ugla u osnovi koristeći sljedeću formulu:

Primjer 1: Izračunajte površinu trapeza sa osnovama a=7, b=3 i visinom h=15.

Rješenje:

odgovor:

Primjer 2: Naći stranicu osnove trapeza površine S = 35 cm 2, visine h = 7 cm i druge osnove b = 2 cm.

Rješenje:

Da bismo pronašli stranu osnove trapeza, koristimo formulu za izračunavanje površine:

Izrazimo iz ove formule stranu osnove trapeza:

Dakle, imamo sljedeće:

odgovor:

Primjer 3: Odredite visinu trapeza površine S = 17 cm 2 i osnovice a = 30 cm, b = 4 cm.

Rješenje:

Da bismo pronašli visinu trapeza, koristimo formulu za izračunavanje površine:

Dakle, imamo sljedeće:

odgovor:

Primjer 4: Izračunajte površinu trapeza visine h=24 i središnje linije m=5.

Rješenje:

Da bismo pronašli površinu trapeza, koristimo sljedeću formulu za izračunavanje površine:

Dakle, imamo sljedeće:

odgovor:

Primjer 5: Odredite visinu trapeza površine S = 48 cm 2 i središnje linije m = 6 cm.

Rješenje:

Da bismo pronašli visinu trapeza, koristimo formulu za izračunavanje površine trapeza:

Izrazimo visinu trapeza iz ove formule:

Dakle, imamo sljedeće:

odgovor:

Primjer 6: Naći srednju liniju trapeza površine S = 56 i visine h=4.

Rješenje:

Da bismo pronašli srednju liniju trapeza, koristimo formulu za izračunavanje površine trapeza:

Izrazimo srednju liniju trapeza iz ove formule:

Dakle, imamo sljedeće.