Negativan stepen kako riješiti. Zadaci za samostalno rješavanje

Od škole svi znamo pravilo o podizanju na stepen: bilo koji broj sa eksponentom N jednak je rezultatu množenja ovog broja sam sa sobom N puta. Drugim riječima, 7 na stepen od 3 je 7 pomnoženo sam sa sobom tri puta, odnosno 343. Drugo pravilo - podizanje bilo koje vrijednosti na stepen od 0 daje jedan, a podizanje negativne vrijednosti rezultat je običnog eksponencijaliranja, ako paran je, a isti rezultat sa predznakom minus ako je neparan.

Pravila daju i odgovor kako podići broj na negativan stepen. Da biste to učinili, potrebno je podići potrebnu vrijednost za modul indikatora na uobičajen način, a zatim podijeliti jedinicu s rezultatom.

Iz ovih pravila postaje jasno da će realizacija stvarnih zadataka sa velikim količinama zahtijevati dostupnost tehničkih sredstava. Ručno će biti moguće pomnožiti sam po sebi maksimalan raspon brojeva do dvadeset ili trideset, a zatim ne više od tri ili četiri puta. Ovo ne spominje činjenicu da se onda i jedinica podijeli s rezultatom. Stoga, za one koji nemaju pri ruci poseban inženjerski kalkulator, reći ćemo vam kako podići broj na negativan stepen u Excelu.

Rješavanje problema u Excelu

Da biste riješili probleme s eksponencijacijom, Excel vam omogućava korištenje jedne od dvije opcije.

Prvi je upotreba formule sa standardnim simbolom kapice. Unesite sljedeće podatke u ćelije radnog lista:

Na isti način, možete podići željenu vrijednost na bilo koji stepen - negativan, razlomak. Uradimo sljedeće i odgovorimo na pitanje kako podići broj na negativan stepen. primjer:

Moguće je direktno ispraviti u formuli =B2^-C2.

Druga opcija je korištenje gotove funkcije "Degree", koja uzima dva obavezna argumenta - broj i indikator. Da biste ga počeli koristiti, dovoljno je u bilo koju slobodnu ćeliju staviti znak jednakosti (=), koji označava početak formule, i upisati gornje riječi. Ostaje odabrati dvije ćelije koje će sudjelovati u operaciji (ili ručno odrediti određene brojeve) i pritisnuti tipku Enter. Pogledajmo nekoliko jednostavnih primjera.

Kao što vidite, nema ništa komplikovano u tome kako podići broj na negativan stepen i na običan stepen koristeći Excel. Zaista, da biste riješili ovaj problem, možete koristiti i poznati simbol "poklopca" i ugrađenu funkciju programa, koju je lako zapamtiti. Ovo je definitivno plus!

Pređimo na složenije primjere. Prisjetimo se pravila kako podići broj na negativan stepen razlomka i vidjet ćemo da je ovaj zadatak vrlo jednostavno riješen u Excelu.

Frakcioni indikatori

Ukratko, algoritam za izračunavanje broja sa razlomkom eksponenta je sljedeći.

1. Pretvorite razlomak eksponenta u pravilan ili nepravilan razlomak.
2. Podignite naš broj na brojnik rezultirajućeg pretvorenog razlomka.
3. Iz broja dobijenog u prethodnom pasusu izračunajte korijen, uz uvjet da će indikator korijena biti imenilac razlomka dobijenog u prvoj fazi.

Slažete se da čak i kada radite s malim brojevima i pravim razlomcima, takvi proračuni mogu potrajati mnogo vremena. Dobro je da procesoru tabela Excel nije bitno koji broj i do kojeg stepena da podigne. Pokušajte riješiti sljedeći primjer u Excel radnom listu:

Koristeći gore navedena pravila, možete provjeriti i uvjeriti se da je izračun tačan.

Na kraju našeg članka dat ćemo u obliku tablice s formulama i rezultatima nekoliko primjera kako podići broj na negativan stepen, kao i nekoliko primjera s razlomcima i potencijama.

Primjer tabele

Provjerite Excel radni list za sljedeće primjere. Da bi sve funkcionisalo ispravno, potrebno je da koristite mešovitu referencu kada kopirate formulu. Popravite broj kolone koja sadrži broj koji se podiže i broj reda koji sadrži indikator. Vaša formula bi trebala izgledati otprilike ovako: "=$B4^C$3".

Imajte na umu da se pozitivni brojevi (čak i oni koji nisu cijeli) izračunavaju bez problema za sve eksponente. Nema problema sa podizanjem brojeva na cele brojeve. Ali podizanje negativnog broja na razlomački stepen ispostavit će se za vas greškom, jer je nemoguće slijediti pravilo navedeno na početku našeg članka o podizanju negativnih brojeva, jer je paritet karakteristika isključivo CJELOG broja.

U nastavku razgovora o stepenu nekog broja, logično je da se pozabavimo pronalaženjem vrednosti stepena. Ovaj proces je imenovan eksponencijacija. U ovom članku ćemo samo proučiti kako se izvodi eksponencijalnost, dok ćemo se dotaknuti svih mogućih eksponenata - prirodnih, cjelobrojnih, racionalnih i iracionalnih. I po tradiciji, detaljno ćemo razmotriti rješenja primjera podizanja brojeva na različite stupnjeve.

Navigacija po stranici.

Šta znači "eksponencijacija"?

Počnimo s objašnjenjem onoga što se zove eksponencijacija. Evo relevantne definicije.

Definicija.

Eksponencijacija je pronaći vrijednost stepena broja.

Dakle, pronalaženje vrijednosti stepena a sa eksponentom r i podizanje broja a na stepen r je ista stvar. Na primjer, ako je zadatak "izračunaj vrijednost stepena (0,5) 5", onda se može preformulisati na sljedeći način: "Podići broj 0,5 na stepen 5".

Sada možete ići direktno na pravila po kojima se izvodi eksponencijacija.

Podizanje broja na prirodni stepen

U praksi se jednakost zasnovana na obično primjenjuje u obliku . Odnosno, kada se broj a podiže na razlomak m / n, prvo se izdvaja korijen n-tog stepena iz broja a, nakon čega se rezultat podiže na cjelobrojni stepen m.

Razmotrimo rješenja za primjere podizanja na razlomak.

Primjer.

Izračunajte vrijednost stepena.

Rješenje.

Prikazujemo dva rješenja.

Prvi način. Po definiciji stepena sa razlomnim eksponentom. Izračunavamo vrijednost stepena pod znakom korijena, nakon čega izvlačimo kubni korijen: .

Drugi način. Po definiciji stepena sa frakcijskim eksponentom i na osnovu svojstava korijena, jednakosti su tačne . Sada izvadite korijen Konačno, dižemo na cijeli broj .

Očigledno je da se dobijeni rezultati podizanja na razlomak stepena poklapaju.

odgovor:

Imajte na umu da se razlomak eksponenta može napisati kao decimalni razlomak ili mješoviti broj, u tim slučajevima ga treba zamijeniti odgovarajućim običnim razlomkom, a zatim izvesti eksponencijaciju.

Primjer.

Izračunaj (44,89) 2,5 .

Rješenje.

Eksponent pišemo u obliku običnog razlomka (ako je potrebno, pogledajte članak): . Sada izvodimo podizanje na razlomak:

odgovor:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Takođe treba reći da je podizanje brojeva na racionalne stepene prilično naporan proces (posebno kada su brojnik i nazivnik razlomka eksponenta prilično veliki brojevi), koji se obično izvodi pomoću računarske tehnologije.

U zaključku ovog paragrafa, zadržaćemo se na konstrukciji broja nula na razlomak. Dali smo sljedeće značenje razlomku stepena nule oblika: jer imamo , dok nula na stepen m/n nije definirana. Dakle, nula do pozitivnog razlomka je nula, na primjer, . I nula u razlomku negativnog stepena nema smisla, na primjer, izrazi i 0 -4,3 nemaju smisla.

Uzdizanje na iracionalnu moć

Ponekad je potrebno saznati vrijednost stepena broja sa iracionalnim eksponentom. U ovom slučaju, u praktične svrhe, obično je dovoljno dobiti vrijednost stepena do određenog znaka. Odmah napominjemo da se u praksi ova vrijednost izračunava korištenjem elektronske računarske tehnologije, jer ručno podizanje na iracionalnu snagu zahtijeva veliki broj glomaznih proračuna. Ali ipak ćemo opisati suštinu akcija općenito.

Da bi se dobila približna vrijednost eksponenta a sa iracionalnim eksponentom, uzima se neka decimalna aproksimacija eksponenta i izračunava se vrijednost eksponenta. Ova vrijednost je približna vrijednost stepena broja a sa iracionalnim eksponentom. Što je tačnija decimalna aproksimacija broja na početku, to će tačnija vrijednost stepena biti na kraju.

Kao primjer, izračunajmo približnu vrijednost snage 2 1,174367... . Uzmimo sljedeću decimalnu aproksimaciju iracionalnog indikatora: . Sada dižemo 2 na racionalni stepen 1,17 (suštinu ovog procesa smo opisali u prethodnom paragrafu), dobijamo 2 1,17 ≈ 2,250116. Na ovaj način, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ako uzmemo precizniju decimalnu aproksimaciju iracionalnog eksponenta, na primjer, , tada ćemo dobiti precizniju vrijednost originalnog stepena: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Udžbenik matematike Zh za 5 ćelija. obrazovne institucije.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 7 ćelija. obrazovne institucije.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8 ćelija. obrazovne institucije.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 9 ćelija. obrazovne institucije.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10-11 razred opšteobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za kandidate za tehničke škole).

U jednom od prethodnih članaka već smo spomenuli stepen broja. Danas ćemo pokušati da se krećemo u procesu pronalaženja njegovog značenja. Naučno govoreći, shvatit ćemo kako pravilno eksponirati. Shvatićemo kako se ovaj proces izvodi, istovremeno se dotičući svih mogućih eksponenata: prirodnih, iracionalnih, racionalnih, celih.

Dakle, pogledajmo pobliže rješenja primjera i saznajmo što to znači:

1. Definicija koncepta.
2. Uzdizanje do negativne umjetnosti.
3. Cijeli rezultat.
4. Podizanje broja na iracionalni stepen.

Evo definicije koja tačno odražava značenje: “Podizanje na stepen je definicija vrijednosti stepena broja.”

Shodno tome, konstrukcija broja a u čl. r i proces nalaženja vrijednosti stepena a sa eksponentom r su identični koncepti. Na primjer, ako je zadatak izračunati vrijednost stepena (0,6) 6 ″, onda se može pojednostaviti na izraz "Podignite broj 0,6 na stepen 6".

Nakon toga možete prijeći direktno na pravila izgradnje.

Podizanje na negativnu potenciju

Radi jasnoće, obratite pažnju na sljedeći lanac izraza:

110 \u003d 0,1 \u003d 1 * 10 u minus 1 st.,

1100 \u003d 0,01 \u003d 1 * 10 u minus 2 koraka.,

11000 \u003d 0,0001 \u003d 1 * 10 minus 3 st.,

110000=0,00001=1*10 do minus 4 stepena.

Zahvaljujući ovim primjerima, možete jasno vidjeti mogućnost trenutnog izračunavanja 10 na bilo koju negativnu snagu. U tu svrhu dovoljno je jednostavno pomaknuti decimalnu komponentu:

• 10 do -1 stepen - ispred jedinice 1 nula;
• u -3 - tri nule prije jedan;
• -9 je 9 nula i tako dalje.

Također je lako razumjeti prema ovoj shemi koliko će biti 10 minus 5 žlica. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Kako podići broj na prirodni stepen

Podsjećajući na definiciju, uzimamo u obzir da je prirodni broj a u čl. n je jednako proizvodu n faktora, od kojih je svaki jednak a. Ilustrujmo: (a * a * ... a) n, gdje je n broj brojeva koji se množe. Prema tome, da bi se a podiglo na n, potrebno je izračunati proizvod sljedećeg oblika: a * a * ... i podijeliti sa n puta.

Odavde postaje očigledno da erekcija u prirodnoj umjetnosti. oslanja se na sposobnost množenja(ovaj materijal je obrađen u odjeljku o množenju realnih brojeva). Pogledajmo problem:

Podignite -2 do 4. žlice.

Imamo posla sa prirodnim indikatorom. Shodno tome, tok odluke će biti sljedeći: (-2) u čl. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Sada ostaje samo izvršiti množenje cijelih brojeva: (-2) * (-2) * (-2) * (-2). Dobijamo 16.

Odgovor na zadatak:

(-2) u čl. 4=16.

primjer:

Izračunajte vrijednost: tri zareze dvije sedmine na kvadrat.

Ovaj primjer je jednak sljedećem proizvodu: tri boda dva sedmi puta tri boda dva sedmi. Prisjećajući se kako se vrši množenje mješovitih brojeva, završavamo konstrukciju:

• 3 cijele 2 sedme pomnožene same po sebi;
• jednako 23 sedmine puta 23 sedmine;
• iznosi 529 četrdeset devetih;
• smanjimo i dobijemo 10 trideset devet četrdeset devetih.

odgovor: 10 39/49

Što se tiče pitanja podizanja na iracionalni indikator, treba napomenuti da se proračuni počinju provoditi nakon završetka preliminarnog zaokruživanja osnove stepena na neki rang, što bi omogućilo dobivanje vrijednosti sa datim tačnost. Na primjer, trebamo kvadrirati broj P (pi).

Počinjemo sa zaokruživanjem P na stotinke i dobijamo:

P na kvadrat = (3,14) 2 = 9,8596. Međutim, ako svedemo P na desethiljaditinke, dobićemo P = 3,14159. Tada kvadriranje dobiva potpuno drugačiji broj: 9.8695877281.

Ovdje treba napomenuti da u mnogim problemima nema potrebe podizati iracionalne brojeve na stepen. U pravilu, odgovor se unosi ili u obliku, zapravo, stepena, na primjer, korijena 6 na stepen od 3, ili, ako izraz dozvoljava, provodi se njegova transformacija: korijen od 5 do 7 stepeni \u003d 125 korijen od 5.

Kako podići broj na cijeli broj

Ova algebarska manipulacija je prikladna uzeti u obzir za sljedeće slučajeve:

• za cijele brojeve;
• za nulti indikator;
• za pozitivan cijeli broj.

Budući da se gotovo svi pozitivni cijeli brojevi poklapaju s masom prirodnih brojeva, postavljanje na pozitivan cijeli broj je isti postupak kao i postavljanje u čl. prirodno. Ovaj proces smo opisali u prethodnom paragrafu.

Sada razgovarajmo o obračunu čl. null. Iznad smo već saznali da se nulti stepen broja a može odrediti za bilo koji ne-nula a (realan), dok a u st. 0 će biti jednako 1.

Prema tome, konstrukcija bilo kojeg realnog broja na nulu art. će dati jedan.

Na primjer, 10 u st.0=1, (-3,65)0=1 i 0 u st. 0 se ne može odrediti.

Da bismo završili eksponencijaciju na cjelobrojni stepen, ostaje da se odlučimo za opcije za negativne cjelobrojne vrijednosti. Podsjećamo da je čl. iz a sa celobrojnim eksponentom -z će biti definisan kao razlomak. U nazivniku razlomka je čl. sa pozitivnim cijelim brojem, čiju smo vrijednost već naučili pronaći. Sada ostaje samo razmotriti primjer izgradnje.

primjer:

Izračunajte vrijednost broja 2 u kocki s negativnim cijelim brojem.

Proces rješenja:

Prema definiciji stepena s negativnim indikatorom, označavamo: dva u minus 3 žlice. jednako jedan prema dva na treći stepen.

Imenilac se izračunava jednostavno: dva kubna;

3 = 2*2*2=8.

odgovor: dva do minus 3. kašika. = jedna osmina.

Eksponent se koristi da bi se olakšalo pisanje operacije množenja broja samim sobom. Na primjer, umjesto pisanja, možete pisati 4 5 (\displaystyle 4^(5))(objašnjenje takvog prijelaza je dato u prvom dijelu ovog članka). Moći olakšavaju pisanje dugih ili složenih izraza ili jednačina; također, potencije se lako dodaju i oduzimaju, što rezultira pojednostavljenjem izraza ili jednačine (na primjer, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Bilješka: ako trebate riješiti eksponencijalnu jednačinu (u takvoj jednadžbi nepoznata je u eksponentu), pročitajte.

Koraci

Rješavanje jednostavnih problema s moćima

Pomnožite bazu eksponenta samu po sebi broj puta jednak eksponentu. Ako trebate ručno riješiti problem s eksponentima, prepišite eksponent kao operaciju množenja, gdje se baza eksponenta množi sama sa sobom. Na primjer, s obzirom na diplomu 3 4 (\displaystyle 3^(4)). U ovom slučaju, osnova stepena 3 mora se pomnožiti sama sa sobom 4 puta: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Evo drugih primjera:

Prvo, pomnožite prva dva broja. Na primjer, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Ne brinite - proces izračunavanja nije tako komplikovan kao što se čini na prvi pogled. Prvo pomnožite prve dvije četvorke, a zatim ih zamijenite rezultatom. Volim ovo:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Pomnožite rezultat (16 u našem primjeru) sljedećim brojem. Svaki sljedeći rezultat će se proporcionalno povećavati. U našem primjeru, pomnožite 16 sa 4. Ovako:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Nastavite da množite rezultat množenja prva dva broja sa sljedećim brojem dok ne dobijete konačni odgovor. Da biste to učinili, pomnožite prva dva broja, a zatim pomnožite rezultat sa sljedećim brojem u nizu. Ova metoda vrijedi za bilo koji stepen. U našem primjeru trebali biste dobiti: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Riješite sljedeće probleme. Provjerite svoj odgovor pomoću kalkulatora.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Na kalkulatoru potražite ključ s oznakom "exp" ili " x n (\displaystyle x^(n))", ili "^". Ovim tasterom ćete podići broj na stepen. Praktično je nemoguće ručno izračunati stepen sa velikim eksponentom (na primjer, stepen 9 15 (\displaystyle 9^(15))), ali kalkulator se lako može nositi s ovim zadatkom. U Windows 7, standardni kalkulator se može prebaciti u inženjerski način rada; da biste to učinili, kliknite na "Prikaz" -\u003e "Inženjering". Da biste se prebacili na normalni način rada, kliknite na "Prikaz" -\u003e "Normalno".

   • Provjerite dobijeni odgovor pomoću tražilice (Google ili Yandex). Pomoću tipke "^" na tastaturi računara unesite izraz u pretraživač, koji će odmah prikazati tačan odgovor (i eventualno predložiti slične izraze za proučavanje).

   Zbrajanje, oduzimanje, množenje potencija

   1. Potencije možete sabirati i oduzimati samo ako imaju istu osnovu. Ako trebate zbrajati stepene s istim bazama i eksponentima, tada možete zamijeniti operaciju sabiranja operacijom množenja. Na primjer, s obzirom na izraz 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Zapamtite da je diploma 4 5 (\displaystyle 4^(5)) može se predstaviti kao 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); dakle, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(gdje je 1 +1 =2). Odnosno, prebrojite broj sličnih stepeni, a zatim pomnožite takav stepen i ovaj broj. U našem primjeru podignite 4 na peti stepen, a zatim pomnožite rezultat sa 2. Zapamtite da se operacija sabiranja može zamijeniti operacijom množenja, na primjer, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Evo drugih primjera:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, njihovi eksponenti se sabiraju (osnova se ne mijenja). Na primjer, s obzirom na izraz x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). U ovom slučaju, samo trebate dodati indikatore, ostavljajući bazu nepromijenjenom. Na ovaj način, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Evo vizuelnog objašnjenja ovog pravila:

      Kada se stepen podiže na stepen, eksponenti se množe. Na primjer, data diploma. Pošto se eksponenti množe, onda (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Značenje ovog pravila je da množite snagu (x 2) (\displaystyle (x^(2))) na sebe pet puta. Volim ovo:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Pošto je baza ista, eksponenti se jednostavno sabiraju: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Eksponent sa negativnim eksponentom treba pretvoriti u razlomak (u inverzni stepen). Nije važno ako ne znate šta je recipročnost. Ako vam je dat stepen sa negativnim eksponentom, na primjer, 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), upišite ovaj stepen u nazivnik razlomka (stavite 1 u brojilac), a eksponent učinite pozitivnim. U našem primjeru: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Evo drugih primjera:

      Prilikom dijeljenja potencija sa istom osnovom, njihovi eksponenti se oduzimaju (baza se ne mijenja). Operacija dijeljenja je suprotna operaciji množenja. Na primjer, s obzirom na izraz 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Oduzmite eksponent u nazivniku od eksponenta u brojniku (ne mijenjajte bazu). Na ovaj način, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Stepen u nazivniku se može napisati na sljedeći način: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Zapamtite da je razlomak broj (potencija, izraz) sa negativnim eksponentom.

   4. Ispod su neki izrazi koji će vam pomoći da naučite kako riješiti probleme sa napajanjem. Gore navedeni izrazi pokrivaju materijal predstavljen u ovom dijelu. Da vidite odgovor, samo označite prazan prostor iza znaka jednakosti.

   Rješavanje zadataka s razlomačnim eksponentima

   Stepen sa razlomkom eksponenta (na primjer, ) se pretvara u operaciju vađenja korijena. U našem primjeru: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Nije bitno koji je broj u nazivniku razlomka. Na primjer, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) je četvrti korijen od "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Ako je eksponent nepravilan razlomak, onda se takav eksponent može razložiti na dva stepena kako bi se pojednostavilo rješenje problema. U tome nema ništa komplikovano - samo zapamtite pravilo za množenje snaga. Na primjer, data diploma. Pretvorite taj eksponent u korijen čiji je eksponent jednak nazivniku razlomačnog eksponenta, a zatim podignite taj korijen na eksponent koji je jednak brojniku razlomačnog eksponenta. Da biste to učinili, zapamtite to 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). U našem primjeru:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Neki kalkulatori imaju dugme za izračunavanje eksponenta (prvo treba da unesete bazu, zatim pritisnete dugme, a zatim unesete eksponent). Označava se kao ^ ili x^y.
   3. Zapamtite da je bilo koji broj jednak samom sebi prvom stepenu, na primjer, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)Štaviše, bilo koji broj pomnožen ili podijeljen sa jedan jednak je samom sebi, na primjer, 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) i 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Znajte da stepen 0 0 ne postoji (takav stepen nema rješenja). Kada pokušate da rešite takav stepen na kalkulatoru ili na računaru, dobićete grešku. Ali zapamtite da je bilo koji broj na stepen nule jednak 1, na primjer, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. U višoj matematici, koja operiše imaginarnim brojevima: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), gdje i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e je konstanta približno jednaka 2,7; a je proizvoljna konstanta. Dokaz ove jednakosti može se naći u bilo kojem udžbeniku više matematike.

   Upozorenja

   • Kako se eksponent povećava, njegova vrijednost se značajno povećava. Stoga, ako vam se odgovor čini pogrešnim, u stvari se može ispostaviti da je istinit. To možete provjeriti iscrtavanjem bilo koje eksponencijalne funkcije, kao što je 2 x .

Shvatili smo koliki je uopšte stepen broja. Sada moramo razumjeti kako to ispravno izračunati, tj. podići brojeve na stepene. U ovom materijalu analiziraćemo osnovna pravila za izračunavanje stepena u slučaju celobrojnog, prirodnog, razlomnog, racionalnog i iracionalnog eksponenta. Sve definicije će biti ilustrovane primerima.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Koncept eksponencijalnosti

Počnimo sa formulacijom osnovnih definicija.

Definicija 1

Eksponencijacija je izračunavanje vrijednosti snage nekog broja.

Odnosno, riječi "izračunavanje vrijednosti stepena" i "eksponencijacija" znače istu stvar. Dakle, ako je zadatak "Podići broj 0 , 5 na peti stepen", to treba shvatiti kao "izračunaj vrijednost stepena (0 , 5) 5 .

Sada dajemo osnovna pravila koja se moraju poštovati u takvim proračunima.

Prisjetite se koliko je stepen broja s prirodnim eksponentom. Za stepen sa bazom a i eksponentom n, ovo će biti proizvod n-tog broja faktora, od kojih je svaki jednak a. Ovo se može napisati ovako:

Da biste izračunali vrijednost stepena, morate izvršiti operaciju množenja, odnosno pomnožiti baze stepena određeni broj puta. Sam koncept diplome sa prirodnim pokazateljem zasniva se na sposobnosti brzog množenja. Navedimo primjere.

Primjer 1

Uslov: Povećaj - 2 na stepen 4.

Rješenje

Koristeći gornju definiciju, pišemo: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Zatim, samo trebamo slijediti ove korake i dobiti 16 .

Uzmimo složeniji primjer.

Primjer 2

Izračunajte vrijednost 3 2 7 2

Rješenje

Ovaj unos se može prepisati kao 3 2 7 · 3 2 7 . Ranije smo pogledali kako pravilno pomnožiti mješovite brojeve spomenute u uvjetu.

Izvršite ove korake i dobijete odgovor: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Ako zadatak ukazuje na potrebu podizanja iracionalnih brojeva na prirodni stepen, morat ćemo prvo zaokružiti njihove baze na znamenku koja će nam omogućiti da dobijemo odgovor željene tačnosti. Uzmimo primjer.

Primjer 3

Izvršiti kvadriranje broja π.

Rješenje

Zaokružimo prvo na stotinke. Tada je π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Ako je π ≈ 3 . 14159, onda ćemo dobiti precizniji rezultat: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Imajte na umu da se potreba za izračunavanjem snaga iracionalnih brojeva u praksi javlja relativno rijetko. Tada možemo zapisati odgovor kao samu snagu (ln 6) 3 ili pretvoriti ako je moguće: 5 7 = 125 5 .

Odvojeno, treba naznačiti koji je prvi stepen broja. Ovdje možete samo zapamtiti da će svaki broj podignut na prvi stepen ostati sam:

To je jasno iz zapisnika. .

Ne zavisi od diplome.

Primjer 4

Dakle, (− 9) 1 = − 9 , a 7 3 podignuto na prvi stepen ostaje jednako 7 3 .

Radi praktičnosti, analiziraćemo tri slučaja odvojeno: ako je eksponent pozitivan cijeli broj, ako je nula i ako je negativan cijeli broj.

U prvom slučaju, ovo je isto kao i podizanje na prirodni stepen: na kraju krajeva, pozitivni cijeli brojevi pripadaju skupu prirodnih brojeva. Već smo opisali kako se radi s takvim diplomama iznad.

Sada da vidimo kako pravilno podići na nultu snagu. Sa bazom koja nije nula, ovaj proračun uvijek proizvodi izlaz od 1. Prethodno smo objasnili da se 0-ti stepen a može definirati za bilo koji realan broj koji nije jednak 0 i a 0 = 1.

Primjer 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nije definisano.

Ostaje nam samo slučaj stepena sa negativnim celobrojnim eksponentom. Već smo raspravljali da se takvi stupnjevi mogu zapisati kao razlomak 1 a z, gdje je a bilo koji broj, a z negativan cijeli broj. Vidimo da nazivnik ovog razlomka nije ništa više od običnog stepena sa pozitivnim cijelim brojem, a već smo naučili kako ga izračunati. Navedimo primjere zadataka.

Primjer 6

Podignite 3 na -2 potenciju.

Rješenje

Koristeći gornju definiciju, pišemo: 2 - 3 = 1 2 3

Izračunamo nazivnik ovog razlomka i dobijemo 8: 2 3 = 2 2 2 = 8.

Tada je odgovor: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Primjer 7

Podignite 1, 43 na -2 stepen.

Rješenje

Preformulirajte: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Računamo kvadrat u nazivniku: 1,43 1,43. Decimale se mogu množiti na ovaj način:

Kao rezultat, dobili smo (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Ostaje nam da ovaj rezultat zapišemo u obliku običnog razlomka, za koji ga je potrebno pomnožiti sa 10 hiljada (pogledajte materijal o konverziji razlomaka).

Odgovor: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Poseban slučaj je podizanje broja na minus prvi stepen. Vrijednost takvog stupnja jednaka je broju suprotnom od izvorne vrijednosti baze: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Primjer 8

Primjer: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Kako podići broj na razlomak

Da bismo izvršili takvu operaciju, moramo se prisjetiti osnovne definicije stupnja s razlomkom eksponenta: a m n = a m n za bilo koji pozitivan a, cijeli broj m i prirodni n.

Definicija 2

Dakle, izračunavanje razlomačnog stepena mora se izvršiti u dva koraka: podizanje na cijeli broj i pronalaženje korijena n-tog stepena.

Imamo jednakost a m n = a m n , koja se, s obzirom na svojstva korijena, obično koristi za rješavanje problema u obliku a m n = a n m . To znači da ako broj a povisimo na razlomak stepena m / n, onda prvo izvučemo korijen n-tog stepena iz a, a zatim podignemo rezultat na stepen sa cjelobrojnim eksponentom m.

Ilustrirajmo primjerom.

Primjer 9

Izračunaj 8 - 2 3 .

Rješenje

Metoda 1. Prema osnovnoj definiciji, ovo možemo predstaviti kao: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Sada izračunajmo stepen ispod korijena i izvučemo treći korijen iz rezultata: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metoda 2. Transformirajmo osnovnu jednakost: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Nakon toga izdvajamo korijen 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 i kvadriramo rezultat: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vidimo da su rješenja identična. Možete koristiti na bilo koji način.

Postoje slučajevi kada stepen ima indikator izražen kao mješoviti broj ili decimalni razlomak. Radi lakšeg izračunavanja, bolje je zamijeniti ga običnim razlomkom i brojati kao što je gore navedeno.

Primjer 10

Podignite 44,89 na stepen 2,5.

Rješenje

Pretvorimo vrijednost indikatora u običan razlomak - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

A sada izvodimo sve gore navedene radnje redom: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 10 = 0 0 13 501, 25107

Odgovor: 13501, 25107.

Ako su u brojniku i nazivniku razlomanog eksponenta veliki brojevi, onda je izračunavanje takvih eksponenata s racionalnim eksponentima prilično težak posao. Obično je potrebna kompjuterska tehnologija.

Odvojeno, zadržavamo se na stepenu sa nultom bazom i razlomkom eksponenta. Izrazu oblika 0 m n može se dati sljedeće značenje: ako je m n > 0, onda je 0 m n = 0 m n = 0 ; ako je m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Kako podići broj na iracionalni stepen

Potreba za izračunavanjem vrijednosti stepena, u čijem indikatoru postoji iracionalan broj, ne javlja se tako često. U praksi je zadatak obično ograničen na izračunavanje približne vrijednosti (do određenog broja decimalnih mjesta). To se obično izračunava na računaru zbog složenosti takvih proračuna, tako da se nećemo detaljnije zadržavati na tome, samo ćemo navesti glavne odredbe.

Ako trebamo izračunati vrijednost stepena a sa iracionalnim eksponentom a, onda uzimamo decimalnu aproksimaciju eksponenta i računamo od nje. Rezultat će biti približan odgovor. Što je tačnija decimalna aproksimacija, to je tačniji odgovor. Pokažimo na primjeru:

Primjer 11

Izračunajte približnu vrijednost od 21 , 174367 ....

Rješenje

Ograničavamo se na decimalnu aproksimaciju a n = 1, 17. Izračunajmo pomoću ovog broja: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Ako uzmemo, na primjer, aproksimaciju a n = 1 , 1743 , onda će odgovor biti malo precizniji: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter