Konstruisanje od date zrake ugla jednakog datom. Kako konstruisati ugao jednak datom

lekcija iz matematičke geometrije

Sažetak lekcije „Konstruisanje ugla jednakog datom. Konstrukcija simetrale ugla"

edukativni: upoznati učenike sa konstrukcijskim problemima, u rješavanju kojih se koriste samo šestar i ravnalo; naučiti kako se konstruiše ugao jednak datom, kako se konstruiše simetrala ugla;

razvojni: razvoj prostornog mišljenja, pažnje;

edukativni: podsticanje napornog rada i tačnosti.

Oprema: tabele sa redosledom rešavanja konstruktivnih zadataka; šestar i lenjir.

Tokom nastave:

1. Ažuriranje osnovnih teorijskih pojmova (5 min).

Prvo, možete provesti frontalnu anketu o sljedećim pitanjima:

• 1. Koja se figura naziva trougao?
• 2. Koji se trouglovi nazivaju jednaki?
• 3. Formulirajte kriterije za jednakost trouglova.
• 4. Koji se segment naziva simetrala trougla? Koliko simetrala ima trougao?
• 5. Definirajte krug. Koji su centar, poluprečnik, tetiva i prečnik kružnice?

Da ponovite znakove jednakosti trokuta, možete predložiti.

Vježbajte: označi koja od slika (slika 1) sadrži jednake trouglove.

Rice. 1

Ponavljanje koncepta kruga i njegovih elemenata može se organizirati tako što se razredu ponudi sljedeće vježbe, s jednim učenikom koji to izvodi na tabli: zadana je prava a i tačka A koja leži na pravoj i tačka B koja ne leži na pravoj. Nacrtajte kružnicu sa centrom u tački A i koja prolazi kroz tačku B. Označite tačke preseka kružnice pravom a. Imenujte poluprečnike kružnice.

2. Učenje novog gradiva (praktični rad) (20 min)

Konstruisanje ugla jednakog datom

Za pregled novog gradiva korisno je da nastavnik ima tabelu (tabela br. 1 Priloga 4). Rad sa tabelom može se organizirati na različite načine: može ilustrirati priču nastavnika ili primjer zapisa rješenja; Možete pozvati učenike, koristeći tabelu, da razgovaraju o rješenju problema, a zatim ga samostalno dopune u svojim bilježnicama. Tabela se može koristiti pri ispitivanju učenika i pri ponavljanju gradiva.

Zadatak. Od date zrake oduzmite ugao jednak datom.

Rješenje. Ovaj ugao sa vrhom A i zrakom OM prikazani su na slici 2.

Rice. 2

Potrebno je konstruisati ugao jednak kutu A, tako da se jedna od stranica poklapa sa zrakom OM. Nacrtajmo kružnicu proizvoljnog polumjera sa središtem u vrhu A datog ugla. Ova kružnica seče stranice ugla u tačkama B i C (slika 3, a). Zatim nacrtamo krug istog polumjera sa centrom na početku ove zrake OM. Presijeca gredu u tački D (slika 3, b). Nakon toga ćemo konstruirati kružnicu sa centrom D, čiji je polumjer jednak BC. Krugovi sa centrima O i D seku se u dve tačke. Označimo jednu od ovih tačaka slovom E. Dokažimo da je ugao MOE željeni.

Razmotrimo trouglove ABC i ODE. Segmenti AB i AC su poluprečnici kružnice sa centrom A, a OD i OE su poluprečnici kružnice sa centrom O. Pošto su po konstrukciji ove kružnice jednake poluprečnika, onda je AB = OD, AC = OE. Također po konstrukciji BC = DE. Dakle, ABC = ODE na tri strane. Stoga DOE = VI, tj. konstruisani ugao MOE jednak je datom uglu A.

Rice. 3

Konstruisanje simetrale datog ugla

Zadatak. Konstruisati simetralu datog ugla.

Rješenje. Nacrtajmo kružnicu proizvoljnog polumjera sa središtem u vrhu A datog ugla. Presijecat će stranice ugla u tačkama B i C. Zatim ćemo nacrtati dvije kružnice istog polumjera BC sa centrima u tačkama B i C (Slika 4 prikazuje samo dijelove ovih kružnica). Oni će se preseći u dve tačke. Jednu od ovih tačaka koja leži unutar ugla BAC označićemo slovom E. Dokažimo da je zraka AE simetrala ovog ugla.

Razmotrimo trouglove ACE i ABE. Oni su jednaki sa tri strane. Zaista, AE je opšta strana; AC i AB su jednaki, kao poluprečnici iste kružnice; CE=BE po konstrukciji. Iz jednakosti trouglova ACE i ABE slijedi da je CAE = BAE, tj. zraka AE je simetrala datog ugla.

Rice. 4

Nastavnik može zamoliti učenike da koriste ovu tabelu (tabela br. 2 u Dodatku 4) za konstruisanje simetrale ugla.

Učenik za tablom izvodi konstrukciju, opravdavajući svaki korak izvršenih radnji.

Nastavnik pokazuje dokaz, potrebno je detaljno se zadržati na dokazu činjenice da će se kao rezultat konstrukcije zapravo dobiti jednaki uglovi.

3. Konsolidacija (10 min)

Korisno je ponuditi učenicima sljedeći zadatak za učvršćivanje obrađenog gradiva:

Zadatak. Dat je tupi ugao AOB. Konstruirajte zraku OX tako da uglovi HOA i HOB budu jednaki tupi uglovi.

Zadatak. Konstruirajte uglove od 30° i 60° koristeći šestar i ravnalo.

Zadatak. Konstruišite trougao koristeći stranu, ugao koji je susedan njegovoj strani i simetralu trougla koja izlazi iz vrha datog ugla.

• 4. Sumiranje (3 min)
• 1. Na času smo riješili dva konstrukcijska zadatka. studirao:
  • a) konstruisati ugao jednak datom;
  • b) konstruisati simetralu ugla.
• 2. U toku rješavanja ovih problema:
  • a) zapamtio znake jednakosti trouglova;
  • b) koristio konstrukciju krugova, segmenata, zraka.
• 5. Kući (2 min): br. 150-152 (vidi Dodatak 1).

Konstruisanje ugla jednakog datom. Dato je: ugao A. A Konstruisani ugao O. B C O D E Dokažite: A = O Dokaz: razmotrite trouglove ABC i ODE. 1.AC = OE, kao poluprečnici jednog kruga. 2.AB=OD, kao radijusi jedne kružnice. 3.VS=DE, kao poluprečnici jedne kružnice. ABC = ODE (3. nagrada) A = O

Dokažimo da je zraka AB simetrala A P L A N 1. Dodatna konstrukcija. 2. Dokažimo jednakost trouglova ACB i ADB. 3. Zaključci A B C D 1.AC = AD, kao poluprečnici jedne kružnice. 2.CB=DB, kao radijusi jedne kružnice. 3.AB – zajednička strana. ACB = ADB, prema III kriterijumu jednakosti trouglova Zrak AB - simetrala Konstrukcija simetrale ugla.

A N B A C 1 = 2 12 U r/b trouglu AMB, segment MC je simetrala, a samim tim i visina. Zatim i MN. M Dokažimo da je a MN Pogledajmo lokaciju kompasa. AM=AN=MB=BN, kao jednaki radijusi. MN-zajednička strana. MVN= MAN, sa tri strane Konstrukcija okomitih linija. M a

Q P BA ARQ = BPQ, na tri strane = 2 Trougao ARV r/b. Segment PO je simetrala, a samim tim i medijana. Tada je tačka O sredina AB. O Dokažimo da je O središte segmenta AB. Izrada sredine segmenta

D C Konstruisanje trougla koristeći dve stranice i ugao između njih. Ugao hk h 1. Konstruirajmo zrak a. 2. Odvojiti segment AB jednak P 1 Q 1. 3. Konstruisati ugao jednak ovom. 4. Odvojimo segment AC jednak P 2 Q 2. VA Trougao ABC je željeni. Obrazložite prvim znakom. Dato: segmenti P 1 Q 1 i P 2 Q 2 Q1Q1 P1P1 P2P2 Q2Q2 a k

D C Konstruisanje trougla koristeći stranu i dva susedna ugla. Ugao h 1 k 1 h2h2 1. Konstruisati zraku a. 2. Odvojiti segment AB jednak P 1 Q 1. 3. Konstruisati ugao jednak datom h 1 k 1. 4. Konstruisati ugao jednak h 2 k 2. BA Trougao ABC je željeni. Obrazložite drugim znakom. Dato: Segment P 1 Q 1 Q1Q1 P1P1 a k2k2 h1h1 k1k1 N

C 1. Napravimo zrak a. 2. Odvojiti segment AB jednak P 1 Q 1. 3. Konstruisati luk sa centrom u tački A i poluprečnikom P 2 Q 2. 4. Konstruisati luk sa centrom u tački B i poluprečnikom P 3 Q 3. BA Traženi trougao ABC Obrazložite koristeći treći znak. Date su: segmenti P 1 Q 1, P 2 Q 2, P 3 Q 3. Q1Q1 P1P1 P3P3 Q2Q2 a P2P2 Q3Q3 Konstrukcija trougla pomoću tri stranice.

Ciljevi lekcije:

• Formiranje sposobnosti analize proučenog gradiva i vještina njegove primjene u rješavanju problema;
• Pokažite značaj pojmova koji se proučavaju;
• Razvoj kognitivne aktivnosti i samostalnosti u sticanju znanja;
• Negovanje interesovanja za temu i osećaja za lepo.

Ciljevi lekcije:

• Razvijati vještine konstruiranja ugla jednakog zadanom pomoću ravnala, šestara, kutomjera i trokuta za crtanje.
• Testirajte učenikove vještine rješavanja problema.

Plan lekcije:

1. Ponavljanje.
2. Konstruisanje ugla jednakog datom.
3. Analiza.
4. Prvo primjer izgradnje.
5. Primjer izgradnje dva.

Ponavljanje.

Ugao.

Ravni ugao- neograničena geometrijska figura koju čine dvije zrake (stranice ugla) koje izlaze iz jedne tačke (vrh ugla).

Ugao se također naziva figura koju čine sve tačke ravni zatvorene između ovih zraka (Uopšteno govoreći, dvije takve zrake odgovaraju dva ugla, jer dijele ravan na dva dijela. Jedan od ovih uglova se konvencionalno naziva unutrašnjim, a ostalo - eksterno.
Ponekad se, radi sažetosti, ugao naziva ugaona mjera.

Postoji općeprihvaćeni simbol za označavanje ugla: , koji je 1634. predložio francuski matematičar Pierre Erigon.

Ugao je geometrijska figura (slika 1), koju čine dvije zrake OA i OB (strane ugla), koje izlaze iz jedne tačke O (vrh ugla).

Ugao je označen simbolom i tri slova koja označavaju krajeve zraka i vrh ugla: AOB (a slovo vrha je srednje). Uglovi se mjere količinom rotacije zraka OA oko temena O dok se zraka OA ne pomjeri u poziciju OB. Postoje dvije široko korištene jedinice za mjerenje uglova: radijani i stepeni. Za radijansko mjerenje uglova pogledajte dolje u paragrafu „Dužina luka“, kao i u poglavlju „Trigonometrija“.

Sistem stepena za merenje uglova.

Ovdje je mjerna jedinica stepen (njegova oznaka je °) - ovo je rotacija zraka za 1/360 pune revolucije. Dakle, puna rotacija grede je 360 ​​o. Jedan stepen je podijeljen na 60 minuta (simbol ‘); jedan minut – odnosno 60 sekundi (oznaka “). Ugao od 90° (slika 2) naziva se pravim; ugao manji od 90° (slika 3) naziva se oštar; ugao veći od 90° (slika 4) naziva se tup.

Prave linije koje formiraju pravi ugao nazivaju se međusobno okomite. Ako su prave AB i MK okomite, to se označava: AB MK.

Konstruisanje ugla jednakog datom.

Prije početka izgradnje ili rješavanja bilo kojeg problema, bez obzira na temu, potrebno je izvršiti analiza. Shvatite šta piše u zadatku, pročitajte ga zamišljeno i polako. Ako nakon prvog puta imate nedoumice ili nešto nije bilo jasno ili jasno, ali ne u potpunosti, preporučuje se da pročitate ponovo. Ako radite zadatak na času, možete pitati nastavnika. U suprotnom, vaš zadatak, koji ste pogrešno shvatili, možda neće biti pravilno riješen ili ćete pronaći nešto što nije ono što se od vas traži, pa će se smatrati netačnim i morat ćete to ponoviti. Što se mene tiče - Bolje je potrošiti malo više vremena na proučavanje zadatka nego da ga ponavljate iznova.

Analiza.

Neka je a dati zrak sa vrhom A, a ugao (ab) je željeni. Odaberimo tačke B i C na zrakama a i b, redom. Spajanjem tačaka B i C dobijamo trougao ABC. U podudarnim trouglovima odgovarajući uglovi su jednaki i tu sledi način konstrukcije. Ako na stranicama datog ugla odaberemo tačke C i B na neki prikladan način, i iz date zrake u datu poluravninu konstruišemo trokut AB 1 C 1 jednak ABC (a to se može učiniti ako znamo sve stranice trougla), tada će problem biti riješen.

Prilikom izvođenja bilo koje konstrukcije Budite izuzetno oprezni i pokušajte pažljivo izvoditi sve konstrukcije. Budući da svaka nedosljednost može rezultirati nekom vrstom grešaka, odstupanja, što može dovesti do pogrešnog odgovora. A ako se zadatak ove vrste izvodi prvi put, grešku će biti vrlo teško pronaći i popraviti.

Prvo primjer izgradnje.

Nacrtajmo krug sa središtem u vrhu ovog ugla. Neka su B i C tačke preseka kružnice sa stranicama ugla. Radijusom AB nacrtamo kružnicu sa centrom u tački A 1 – početnoj tački ovog zraka. Označimo tačku preseka ove kružnice sa ovom zrakom kao B 1 . Opišimo kružnicu sa centrom u B 1 i poluprečnikom BC. Presek C 1 konstruisanih kružnica u naznačenoj poluravni leži na strani željenog ugla.

Trouglovi ABC i A 1 B 1 C 1 su jednaki na tri strane. Uglovi A i A 1 su odgovarajući uglovi ovih trouglova. Dakle, ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

Za veću jasnoću, možete detaljnije razmotriti iste konstrukcije.

Primjer izgradnje dva.

Ostaje zadatak da se od date poluprave u datu poluravninu odvoji ugao jednak zadatom uglu.

Izgradnja.

Korak 1. Nacrtajmo kružnicu proizvoljnog polumjera i centara u vrhu A zadanog ugla. Neka su B i C tačke preseka kružnice sa stranicama ugla. I nacrtajmo segment BC.

Korak 2. Nacrtajmo kružnicu poluprečnika AB sa centrom u tački O - početnoj tački ove poluprave. Označimo točku presjeka kružnice sa zrakom kao B 1 .

Korak 3. Sada opisujemo kružnicu sa centrom B 1 i poluprečnikom BC. Neka je tačka C 1 presek konstruisanih kružnica u naznačenoj poluravni.

Korak 4. Nacrtajmo zrak od tačke O kroz tačku C1. Ugao C 1 OB 1 će biti željeni.

Dokaz.

Trouglovi ABC i OB 1 C 1 su podudarni trouglovi sa odgovarajućim stranicama. Stoga su uglovi CAB i C 1 OB 1 jednaki.

Zanimljiva činjenica:

U brojevima.

U objektima okolnog svijeta prije svega primjećujete njihova pojedinačna svojstva koja razlikuju jedan objekt od drugog.

Obilje posebnih, pojedinačnih svojstava zamagljuje opća svojstva svojstvena apsolutno svim objektima, pa je stoga uvijek teže otkriti takva svojstva.

Jedno od najvažnijih općih svojstava objekata je da se svi objekti mogu prebrojati i mjeriti. Ovo opšte svojstvo objekata odražavamo u konceptu broja.

Ljudi su proces brojanja, odnosno pojma broja, savladavali veoma sporo, vekovima, u upornoj borbi za svoju egzistenciju.

Da bi se prebrojavalo, ne samo da se moraju posjedovati objekti koji se mogu prebrojati, već mora imati i sposobnost apstrahiranja pri razmatranju ovih objekata od svih njihovih drugih svojstava osim broja, a ta sposobnost je rezultat dugog istorijskog razvoja zasnovanog na iskustvu. .

Sada svaka osoba uči da broji uz pomoć brojeva neprimjetno u djetinjstvu, gotovo istovremeno kada počinje da govori, ali ovo nama poznato brojanje prošlo je dug put razvoja i poprimilo različite oblike.

Bilo je vremena kada su se za brojanje predmeta koristila samo dva broja: jedan i dva. U proces daljeg širenja brojevnog sistema uključeni su dijelovi ljudskog tijela, prije svega prsti, a ako ovakvi “brojevi” nisu bili dovoljni onda i štapići, kamenčići i ostalo.

N. N. Miklouho-Maclay u svojoj knjizi "Putovanja" govori o smiješnoj metodi brojanja koju koriste starosjedioci Nove Gvineje:

pitanja:

1. Definisati ugao?
2. Koje vrste uglova postoje?
3. Koja je razlika između prečnika i radijusa?

Spisak korištenih izvora:

1. Mazur K. I. “Rješavanje glavnih takmičarskih zadataka iz matematike zbirke koju je uredio M. I. Skanavi”
2. Matematička pamet. B.A. Kordemsky. Moskva.
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina „Geometrija, 7 – 9: udžbenik za opće obrazovne institucije»

Radili na lekciji:

Levchenko V.S.

Poturnak S.A.

Možete postaviti pitanje o modernom obrazovanju, izraziti ideju ili riješiti gorući problem na Obrazovni forum, gdje se obrazovno vijeće svježe misli i djelovanja sastaje na međunarodnom nivou. Nakon što je stvorio blog, Ne samo da ćete poboljšati svoj status kompetentnog nastavnika, već ćete dati značajan doprinos razvoju škole budućnosti. Ceh obrazovnih lidera otvara vrata vrhunskim stručnjacima i poziva ih na saradnju u stvaranju najboljih škola na svijetu.

Svrha lekcije: Razviti sposobnost konstruisanja ugla jednakog datom. Zadatak: Stvoriti uslove za savladavanje algoritma za konstruisanje ugla jednakog zadatom pomoću šestara i ravnala; stvoriti uslove za savladavanje redoslijeda radnji pri rješavanju konstrukcijskog problema (analiza, konstrukcija, dokazivanje); poboljšati vještinu korištenja svojstava kruga, znakova jednakosti trokuta za rješavanje dokaznog problema; pružaju priliku za korištenje novih vještina prilikom rješavanja problema

U geometriji postoje konstruktivni problemi koji se mogu riješiti samo uz pomoć dva alata: šestara i ravnala bez podjela mjerila. Lenjir vam omogućava da nacrtate proizvoljnu pravu liniju, kao i da konstruišete pravu liniju koja prolazi kroz dve date tačke; Koristeći šestar, možete nacrtati krug proizvoljnog radijusa, kao i krug sa centrom u datoj tački i radijusom jednakim datom segmentu. I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I

Dato je: ugao A. A Konstruisan: ugao O. B C O D E Dokazati: A = O Dokaz: razmotriti trouglove ABC i ODE. 1.AC = OE, kao poluprečnici jednog kruga. 2.AB=OD, kao radijusi jedne kružnice. 3.VS=DE, kao poluprečnici jedne kružnice. ABC = ODE (3. nagrada) A = O Zadatak 2. Odvojite ugao od date zrake jednak datom

Dokažimo da je zraka AB simetrala A 3. Dokaz: Dodatna konstrukcija (spoji tačku B sa tačkama D i C). Razmotrimo ACB i ADB: A B C D 1.AC = AD, kao poluprečnike jedne kružnice. 2.CB=DB, kao radijusi jedne kružnice. 3. AB – zajednička strana. ACB = ADB, prema III kriterijumu jednakosti trouglova Zrak AB je simetrala 4. Istraživanje: Problem uvek ima jedinstveno rešenje.

Šema za rješavanje građevinskih zadataka: Analiza (crtanje željene figure, uspostavljanje veza između zadatih i traženih elemenata, plan izgradnje). Izgradnja po planiranom planu. Dokaz da ova brojka zadovoljava uslove problema. Istraživanje (kada i koliko rješenja ima problem?).

U građevinskim zadacima razmotrit ćemo konstrukciju geometrijske figure, koja se može izvesti pomoću ravnala i šestara.

Koristeći ravnalo možete:

proizvoljna prava linija;

proizvoljna prava linija koja prolazi kroz datu tačku;

prava linija koja prolazi kroz dvije date tačke.

Koristeći kompas, možete opisati krug određenog polumjera iz datog centra.

Koristeći kompas možete iscrtati segment na datoj liniji od date tačke.

Razmotrimo glavne građevinske zadatke.

Zadatak 1. Konstruisati trougao sa datim stranicama a, b, c (slika 1).

Rješenje. Koristeći lenjir, nacrtajte proizvoljnu pravu liniju i na njoj uzmite proizvoljnu tačku B. Koristeći otvor šestara koji je jednak a, opišemo kružnicu sa centrom B i poluprečnikom a. Neka je C tačka njenog preseka sa pravom. Sa otvorom kompasa jednakim c, opisujemo kružnicu iz centra B, a sa otvorom kompasa jednakim b, opisujemo kružnicu iz centra C. Neka je A tačka preseka ovih kružnica. Trougao ABC ima stranice jednake a, b, c.

Komentar. Da bi tri ravna segmenta služila kao stranice trokuta, potrebno je da najveći od njih bude manji od zbira druga dva (i< b + с).

Zadatak 2.

Rješenje. Ovaj ugao sa vrhom A i zrakom OM prikazani su na slici 2.

Nacrtajmo proizvoljan krug sa središtem u vrhu A datog ugla. Neka su B i C tačke preseka kružnice sa stranicama ugla (slika 3, a). Radijusom AB nacrtamo kružnicu sa centrom u tački O - početnoj tački ovog zraka (slika 3, b). Označimo tačku preseka ove kružnice sa ovom zrakom kao C 1 . Opišimo kružnicu sa centrom C 1 i poluprečnikom BC. Tačka B 1 presjeka dvije kružnice leži na strani željenog ugla. To proizilazi iz jednakosti Δ ABC = Δ OB 1 C 1 (treći znak jednakosti trouglova).

Zadatak 3. Konstruirajte simetralu ovog ugla (slika 4).

Rješenje. Iz vrha A datog ugla, kao iz centra, povlačimo kružnicu proizvoljnog radijusa. Neka su B i C tačke njegovog preseka sa stranama ugla. Iz tačaka B i C opisujemo kružnice istog polumjera. Neka je D njihova presečna tačka, različita od A. Zrak AD prepolovi ugao A. To proizilazi iz jednakosti Δ ABD = Δ ACD (treći kriterij za jednakost trouglova).

Zadatak 4. Na ovaj segment nacrtajte okomitu simetralu (slika 5).

Rješenje. Koristeći proizvoljan, ali identičan otvor kompasa (veći od 1/2 AB), opisujemo dva luka sa centrima u tačkama A i B, koji će se sijeći u nekim tačkama C i D. Prava linija CD će biti željena okomica. Zaista, kao što se može vidjeti iz konstrukcije, svaka od tačaka C i D je podjednako udaljena od A i B; prema tome, ove tačke moraju ležati na simetrali okomite na segment AB.

Zadatak 5. Podijelite ovaj segment na pola. Rešava se na isti način kao i problem 4 (vidi sliku 5).

Zadatak 6. Kroz datu tačku povucite pravu okomitu na datu pravu.

Rješenje. Postoje dva moguća slučaja:

1) data tačka O leži na datoj pravoj a (slika 6).

Iz tačke O povlačimo kružnicu proizvoljnog poluprečnika koja seče pravu a u tačkama A i B. Iz tačaka A i B crtamo kružnice istog poluprečnika. Neka je O 1 tačka njihovog preseka, različita od O. Dobijamo OO 1 ⊥ AB. U stvari, tačke O i O 1 jednako su udaljene od krajeva segmenta AB i, prema tome, leže na simetrali okomite na ovaj segment.