Pronađite skup svih antiderivata. Funkcija F(x) naziva se antiderivatom funkcije f(x) ako je F`(x)=f(x) ili dF(x)=f(x)dx

Antiderivativ

Definicija antiderivativne funkcije

• Funkcija y=F(x) naziva se antiderivatom funkcije y=f(x) u datom intervalu X, ako za svakoga X ∈X jednakost vrijedi: F′(x) = f(x)

Može se čitati na dva načina:

1. f derivat funkcije F
2. F antiderivat funkcije f

Svojstvo antiderivata

• Ako F(x)- antiderivat funkcije f(x) na datom intervalu, tada funkcija f(x) ima beskonačno mnogo antiderivata, a svi ti antiderivati ​​mogu se zapisati u obliku F(x) + C, gdje je C proizvoljna konstanta.

Geometrijska interpretacija

• Grafovi svih antiderivata date funkcije f(x) se dobijaju iz grafa bilo koje antiderivacije paralelnim translacijama duž O ose at.

Pravila za izračunavanje antiderivata

1. Antiderivat zbira jednak je zbiru antiderivata. Ako F(x)- antiderivat za f(x), a G(x) je antiderivat za g(x), To F(x) + G(x)- antiderivat za f(x) + g(x).
2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije. Ako F(x)- antiderivat za f(x), And k- konstantno, onda k·F(x)- antiderivat za k f(x).
3. Ako F(x)- antiderivat za f(x), And k, b- konstantno, i k ≠ 0, To 1/k F(kx + b)- antiderivat za f(kx + b).

Zapamtite!

Bilo koja funkcija F(x) = x 2 + C , gdje je C proizvoljna konstanta, a samo takva funkcija je antiderivat za funkciju f(x) = 2x.

• Na primjer:

  F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, jer F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, jer F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Odnos između grafova funkcije i njenog antiderivata:

1. Ako je graf funkcije f(x)>0 F(x) povećava u ovom intervalu.
2. Ako je graf funkcije f(x)<0 na intervalu, zatim graf njegovog antiderivata F(x) opada u ovom intervalu.
3. Ako f(x)=0, zatim graf njegovog antiderivata F(x) u ovom trenutku se mijenja od povećanja do smanjenja (ili obrnuto).

Za označavanje antiderivata koristi se predznak neodređenog integrala, odnosno integrala bez označavanja granica integracije.

Neodređeni integral

Definicija:

• Neodređeni integral funkcije f(x) je izraz F(x) + C, odnosno skup svih antiderivata date funkcije f(x). Neodređeni integral se označava na sljedeći način: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x)- zove se integrand funkcija;
• f(x) dx- naziva se integrand;
• x- naziva se varijabla integracije;
• F(x)- jedan od antiderivata funkcije f(x);
• WITH- proizvoljna konstanta.

Svojstva neodređenog integrala

1. Derivat neodređenog integrala jednak je integrandu: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Konstantni faktor integranda može se izvaditi iz predznaka integrala: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Integral zbira (razlike) funkcija jednak je zbiru (razlici) integrala ovih funkcija: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Ako k, b su konstante, a k ≠ 0, onda \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Tabela antiderivata i neodređenih integrala

Funkcija f(x)	Antiderivativ F(x) + C	Neodređeni integrali \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\nije =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x )dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)(\sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)(\sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)(\sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin\frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)(1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

Newton–Leibnizova formula

Neka f(x) ovu funkciju F njegov proizvoljni antiderivat.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

Gdje F(x)- antiderivat za f(x)

To jest, integral funkcije f(x) na intervalu jednaka je razlici antiderivata u tačkama b I a.

Područje zakrivljenog trapeza

Krivolinijski trapez je figura ograničena grafom funkcije koja je nenegativna i kontinuirana na intervalu f, Ox osa i prave linije x = a I x = b.

Površina zakrivljenog trapeza nalazi se pomoću Newton-Leibnizove formule:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

Vidjeli smo da derivat ima brojne namjene: izvod je brzina kretanja (ili, općenito, brzina bilo kojeg procesa); derivat je nagib tangenta na graf funkcije; koristeći derivaciju, možete ispitati funkciju na monotonost i ekstreme; derivat pomaže u rješavanju problema optimizacije.

Ali u stvarnom životu moramo rješavati i inverzne probleme: na primjer, uz problem pronalaženja brzine prema poznatom zakonu kretanja, susrećemo se i s problemom vraćanja zakona kretanja prema poznatoj brzini. Hajde da razmotrimo jedan od ovih problema.

Primjer 1. Materijalna tačka se kreće pravolinijski, njena brzina u trenutku t je data formulom u = tg. Pronađite zakon kretanja.

Rješenje. Neka je s = s(t) željeni zakon kretanja. Poznato je da je s"(t) = u"(t). To znači da za rješavanje problema morate odabrati funkcija s = s(t), čiji je izvod jednak tg. Nije teško to pogoditi

Odmah napominjemo da je primjer točno riješen, ali nepotpuno. Otkrili smo da, zapravo, problem ima beskonačno mnogo rješenja: bilo koju funkciju oblika proizvoljna konstanta može poslužiti kao zakon kretanja, jer

Da bismo zadatak učinili konkretnijim, morali smo popraviti početnu situaciju: naznačiti koordinate pokretne tačke u nekom trenutku, na primjer, u t=0. Ako je, recimo, s(0) = s 0, onda iz jednakosti dobijamo s(0) = 0 + C, tj. S 0 = C. Sada je zakon kretanja jednoznačno definisan:
U matematici se međusobno inverznim operacijama daju različita imena i izmišljaju se posebne oznake: na primjer, kvadriranje (x 2) i izdvajanje kvadratni korijen sinus(sinh) i arcsinus(arcsin x) itd. Proces nalaženja derivacije u odnosu na datu funkciju naziva se diferencijacija, a inverzna operacija, tj. proces nalaženja funkcije iz date derivacije - integracija.
Sam izraz „derivacija“ može se opravdati „u svakodnevnom životu“: funkcija y - f(x) „rađa“ novu funkciju y"= f"(x) kao funkcija y = f(x). “roditelj” , ali matematičari ga, naravno, ne zovu “roditelj” ili “proizvođač” oni kažu da je ovo, u odnosu na funkciju y"=f"(x), primarna slika, ili, in ukratko, antiderivativ.

Definicija 1. Funkcija y = F(x) naziva se antiderivativna za funkciju y = f(x) na datom intervalu X ako za sve x iz X vrijedi jednakost F"(x)=f(x).

U praksi, interval X obično nije specificiran, ali se podrazumijeva (kao prirodni domen definicije funkcije).

Evo nekoliko primjera:

1) Funkcija y = x 2 je antiderivativna za funkciju y = 2x, jer je za sve x tačna jednakost (x 2)" = 2x.
2) funkcija y - x 3 je antiderivativna za funkciju y-3x 2, jer je za sve x tačna jednakost (x 3)" = 3x 2.
3) Funkcija y-sinh je antiderivativna za funkciju y = cosx, jer je za sve x tačna jednakost (sinx)" = cosx.
4) Funkcija je antiderivativna za funkciju na intervalu jer je za sve x > 0 jednakost tačna
Općenito, poznavajući formule za pronalaženje derivata, nije teško sastaviti tablicu formula za pronalaženje antiderivata.

Nadamo se da razumete kako je ova tabela sastavljena: derivacija funkcije, koja je napisana u drugom stupcu, jednaka je funkciji koja je napisana u odgovarajućem redu prve kolone (provjerite, ne budite lijeni, veoma je korisno). Na primjer, za funkciju y = x 5 antiderivat je, kao što ćete ustanoviti, funkcija (pogledajte četvrti red tabele).

napomene: 1. U nastavku ćemo dokazati teoremu da ako je y = F(x) antiderivat za funkciju y = f(x), onda funkcija y = f(x) ima beskonačno mnogo antiderivata i svi imaju oblik y = F(x ) + C. Stoga bi bilo ispravnije dodati pojam C svuda u drugom stupcu tabele, gdje je C proizvoljan realan broj.
2. Radi kratkoće, ponekad umjesto fraze „funkcija y = F(x) je antiderivat funkcije y = f(x)“, kažu da je F(x) antiderivat od f(x) .”

2. Pravila za pronalaženje antiderivata

Prilikom pronalaženja antiderivata, kao i kod pronalaženja izvoda, ne koriste se samo formule (navedene su u tabeli na str. 196), već i neka pravila. Oni su direktno povezani sa odgovarajućim pravilima za izračunavanje derivata.

Znamo da je derivacija sume jednaka zbiru njenih derivata. Ovo pravilo generiše odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 1. Antiderivat zbira jednak je zbiru antiderivata.

Skrećemo vam pažnju na donekle „lakoću“ ove formulacije. U stvari, treba formulirati teoremu: ako funkcije y = f(x) i y = g(x) imaju antiderivate na intervalu X, odnosno y-F(x) i y-G(x), tada je zbir funkcija y = f(x)+g(x) ima antiderivat na intervalu X, a taj antiderivat je funkcija y = F(x)+G(x). Ali obično, kada se formulišu pravila (a ne teoreme), oni ostavljaju samo ključne riječi- ovo čini praktičnijim primjenu pravila u praksi

Primjer 2. Naći antiderivat za funkciju y = 2x + cos x.

Rješenje. Antiderivat za 2x je x"; antiderivat za cox je sin x. To znači da će antiderivat za funkciju y = 2x + cos x biti funkcija y = x 2 + sin x (i općenito bilo koja funkcija oblika Y = x 1 + sinx + C) .
Znamo da se konstantni faktor može izvaditi iz predznaka derivacije. Ovo pravilo generiše odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka antiderivata.

Primjer 3.

Rješenje. a) Antiderivat za sin x je -soz x; To znači da će za funkciju y = 5 sin x antiderivativna funkcija biti funkcija y = -5 cos x.

b) Antiderivat za cos x je sin x; To znači da je antiderivat funkcije funkcija
c) Antiderivat za x 3 je antideritiv za x, antiderivat za funkciju y = 1 je funkcija y = x. Koristeći prvo i drugo pravilo za pronalaženje antiderivata, nalazimo da je antiderivat za funkciju y = 12x 3 + 8x-1 funkcija
Komentar. Kao što je poznato, izvod proizvoda nije jednak proizvodu derivata (pravilo za razlikovanje proizvoda je složenije) i izvod količnika nije jednak količniku derivata. Stoga ne postoje pravila za pronalaženje antiderivata proizvoda ili antiderivata količnika dvije funkcije. Budi pazljiv!
Dobijmo još jedno pravilo za pronalaženje antiderivata. Znamo da se derivacija funkcije y = f(kx+m) izračunava po formuli

Ovo pravilo generiše odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.
Pravilo 3. Ako je y = F(x) antiderivat za funkciju y = f(x), tada je antiderivat za funkciju y=f(kx+m) funkcija

Zaista,

To znači da je antiderivat za funkciju y = f(kx+m).
Značenje trećeg pravila je sljedeće. Ako znate da je antiderivat funkcije y = f(x) funkcija y = F(x), a trebate pronaći antiderivat funkcije y = f(kx+m), postupite ovako: uzmite ista funkcija F, ali umjesto argumenta x zamijenite izraz kx+m; osim toga, ne zaboravite napisati “korekcioni faktor” prije znaka funkcije
Primjer 4. Pronađite antiderivate za date funkcije:

Rješenje, a) Antiderivat za sin x je -soz x; To znači da će za funkciju y = sin2x antiderivat biti funkcija
b) Antiderivat za cos x je sin x; To znači da je antiderivat funkcije funkcija

c) Antiderivat za x 7 znači da će za funkciju y = (4-5x) 7 antiderivat biti funkcija

3. Neodređeni integral

Gore smo već napomenuli da problem nalaženja antiderivata za datu funkciju y = f(x) ima više od jednog rješenja. Razgovarajmo o ovom pitanju detaljnije.

Dokaz. 1. Neka je y = F(x) antiderivat za funkciju y = f(x) na intervalu X. To znači da za sve x iz X vrijedi jednakost x"(x) = f(x). pronađite izvod bilo koje funkcije oblika y = F(x)+C:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Dakle, (F(x)+C) = f(x). To znači da je y = F(x) + C antiderivat za funkciju y = f(x).
Dakle, dokazali smo da ako funkcija y = f(x) ima antiderivat y=F(x), onda funkcija (f = f(x) ima beskonačno mnogo antiderivata, na primjer, bilo koja funkcija oblika y = F(x) +C je antiderivat.
2. Dokažimo sada da navedeni tip funkcija iscrpljuje cijeli skup antiderivata.

Neka su y=F 1 (x) i y=F(x) dva antiderivata za funkciju Y = f(x) na intervalu X. To znači da za sve x iz intervala X vrijede sljedeće relacije: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

Razmotrimo funkciju y = F 1 (x) -.F(x) i pronađemo njen izvod: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x ) - f(x) = 0.
Poznato je da ako je derivacija funkcije na intervalu X identično jednaka nuli, tada je funkcija konstantna na intervalu X (vidjeti teoremu 3 iz § 35). To znači da je F 1 (x) - F (x) = C, tj. Fx) = F(x)+C.

Teorema je dokazana.

Primjer 5. Dat je zakon promjene brzine s vremenom: v = -5sin2t. Naći zakon kretanja s = s(t), ako je poznato da je u trenutku t=0 koordinata tačke bila jednaka broju 1,5 (tj. s(t) = 1,5).

Rješenje. Kako je brzina derivacija koordinate u funkciji vremena, prvo trebamo pronaći antiderivat brzine, tj. antiderivat za funkciju v = -5sin2t. Jedan od takvih antiderivata je funkcija , a skup svih antiderivata ima oblik:

Da bismo pronašli specifičnu vrijednost konstante C, koristimo se početni uslovi, prema kojem je s(0) = 1.5. Zamjenom vrijednosti t=0, S = 1,5 u formulu (1) dobijamo:

Zamjenom pronađene vrijednosti C u formulu (1) dobijamo zakon kretanja koji nas zanima:

Definicija 2. Ako funkcija y = f(x) ima antiderivat y = F(x) na intervalu X, tada je skup svih antiderivata, tj. skup funkcija oblika y = F(x) + C naziva se neodređeni integral funkcije y = f(x) i označava se sa:

(čitaj: “neodređeni integral ef od x de x”).
U sljedećem paragrafu ćemo saznati šta je skriveno značenje naznačenu oznaku.
Na osnovu tabele antideriva dostupnih u ovom odeljku, sastavićemo tabelu glavnih neodređenih integrala:

Na osnovu gornja tri pravila za pronalaženje antiderivata, možemo formulisati odgovarajuća pravila integracije.

Pravilo 1. Integral zbira funkcija jednak je zbiru integrala ovih funkcija:

Pravilo 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala:

Pravilo 3. Ako

Primjer 6. Pronađite neodređene integrale:

Rješenje, a) Koristeći prvo i drugo pravilo integracije, dobijamo:

Sada upotrijebimo 3. i 4. formule integracije:

Kao rezultat dobijamo:

b) Koristeći treće pravilo integracije i formulu 8, dobijamo:

c) Da bismo direktno pronašli dati integral, nemamo ni odgovarajuću formulu ni odgovarajuće pravilo. U takvim slučajevima ponekad pomažu prethodno izvedene identične transformacije izraza sadržanog pod znakom integrala.

Koristimo trigonometrijsku formulu za smanjenje stepena:

Zatim nalazimo redom:

A.G. Mordkovich algebra 10. razred

Kalendarsko-tematsko planiranje u matematici, video u matematici online, Matematika u školi

Postoje tri osnovna pravila za pronalaženje antiderivativnih funkcija. Oni su vrlo slični odgovarajućim pravilima diferencijacije.

Pravilo 1

Ako je F antiderivat za neku funkciju f, a G antiderivat za neku funkciju g, tada će F + G biti antiderivat za f + g.

Po definiciji antiderivata, F’ = f. G' = g. A pošto su ovi uslovi ispunjeni, onda ćemo prema pravilu za izračunavanje derivacije za zbir funkcija imati:

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

Pravilo 2

Ako je F antiderivat za neku funkciju f, a k je neka konstanta. Tada je k*F antiderivat za funkciju k*f. Ovo pravilo slijedi iz pravila za izračunavanje derivacije kompleksne funkcije.

Imamo: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Pravilo 3

Ako je F(x) neki antiderivat za funkciju f(x), a k i b su neke konstante, a k nije jednako nuli, tada će (1/k)*F*(k*x+b) biti antiderivat za funkciju f (k*x+b).

Ovo pravilo slijedi iz pravila za izračunavanje derivacije kompleksne funkcije:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Pogledajmo nekoliko primjera kako se ova pravila primjenjuju:

Primjer 1. Naći opći oblik antiderivata za funkciju f(x) = x^3 +1/x^2. Za funkciju x^3 jedan od antiderivata će biti funkcija (x^4)/4, a za funkciju 1/x^2 jedan od antiderivata će biti funkcija -1/x. Koristeći prvo pravilo, imamo:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Primjer 2. Nađimo opšti oblik antiderivata za funkciju f(x) = 5*cos(x). Za funkciju cos(x), jedan od antiderivata će biti funkcija sin(x). Ako sada koristimo drugo pravilo, imat ćemo:

F(x) = 5*sin(x).

Primjer 3. Pronađite jedan od antiderivata za funkciju y = sin(3*x-2). Za funkciju sin(x) jedan od antiderivata će biti funkcija -cos(x). Ako sada koristimo treće pravilo, dobićemo izraz za antiderivat:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Primjer 4. Pronađite antiderivat za funkciju f(x) = 1/(7-3*x)^5

Antiderivat za funkciju 1/x^5 će biti funkcija (-1/(4*x^4)). Sada, koristeći treće pravilo, dobijamo.

Za svaki matematička operacija postoji suprotan efekat. Za radnju diferencijacije (nalaženje izvoda funkcija) postoji i inverzna akcija - integracija. Integracijom se funkcija nalazi (rekonstruiše) iz njenog datog derivacije ili diferencijala. Pronađena funkcija se poziva antiderivativ.

Definicija. Diferencibilna funkcija F(x) naziva se antiderivatom funkcije f(x) na datom intervalu, ako za sve X iz ovog intervala vrijedi sljedeća jednakost: F′(x)=f (x).

Primjeri. Naći antiderivate za funkcije: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.

1) Pošto (x²)′=2x, onda će, po definiciji, funkcija F (x)=x² biti antiderivat funkcije f (x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Ako označimo f (x)=3cos3x i F (x)=sin3x, onda, po definiciji antiderivata, imamo: F′(x)=f (x), i, prema tome, F (x)=sin3x je antiderivat za f ( x)=3cos3x.

Imajte na umu da (sin3x +5 )′= 3cos3x, i (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... V opšti pogled može se napisati: (sin3x +C)′= 3cos3x, Gdje WITH- neka konstantna vrijednost. Ovi primjeri ukazuju na dvosmislenost djelovanja integracije, za razliku od djelovanja diferencijacije, kada bilo koja diferencijabilna funkcija ima jedan izvod.

Definicija. Ako je funkcija F(x) je antiderivat funkcije f(x) na određenom intervalu, tada skup svih antiderivata ove funkcije ima oblik:

F(x)+C, gdje je C bilo koji realan broj.

Skup svih antiderivata F (x) + C funkcije f (x) na intervalu koji se razmatra naziva se neodređenim integralom i označava se simbolom ∫ (integralni znak). Zapišite: ∫f (x) dx=F (x)+C.

Izraz ∫f(x)dxčitaj: "integral ef od x do de x."

f(x)dx- integrand izraz,

f(x)— integrand funkcija,

X je varijabla integracije.

F(x)- antiderivat funkcije f(x),

WITH- neka konstantna vrijednost.

Sada se razmatrani primjeri mogu napisati na sljedeći način:

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Šta znači znak d?

d— diferencijalni znak - ima dvostruku svrhu: prvo, ovaj znak odvaja integrand od integracione varijable; drugo, sve što dolazi iza ovog znaka se podrazumevano razlikuje i množi sa integrandom.

Primjeri. Pronađite integrale: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Nakon ikone diferencijala d troškovi XX, A R

∫ 2hrdx=rh²+S. Uporedite sa primerom 1).

Hajde da proverimo. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) Nakon ikone diferencijala d troškovi R. To znači da je varijabla integracije R, i množitelj X treba smatrati nekom konstantnom vrijednošću.

∫ 2hrdr=r²h+S. Uporedite sa primerima 1) I 3).

Hajde da proverimo. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).

Prethodno smo, za datu funkciju, vođeni raznim formulama i pravilima, pronašli njen derivat. Izvod ima brojne namjene: to je brzina kretanja (ili, općenito, brzina bilo kojeg procesa); kutni koeficijent tangente na graf funkcije; koristeći derivaciju, možete ispitati funkciju na monotonost i ekstreme; pomaže u rješavanju problema optimizacije.

Ali uz problem pronalaženja brzine prema poznatom zakonu kretanja, postoji i inverzni problem - problem vraćanja zakona kretanja prema poznatoj brzini. Hajde da razmotrimo jedan od ovih problema.

Primjer 1. Materijalna tačka se kreće pravolinijski, njena brzina u trenutku t je data formulom v=gt. Pronađite zakon kretanja.
Rješenje. Neka je s = s(t) željeni zakon kretanja. Poznato je da je s"(t) = v(t). To znači da je za rješavanje problema potrebno odabrati funkciju s = s(t), čija je derivacija jednaka gt. Nije teško pogoditi da je \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \levo(\frac(gt^2)(2) \desno)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Odgovor: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Odmah napominjemo da je primjer točno riješen, ali nepotpuno. Dobili smo \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Zapravo, problem ima beskonačno mnogo rješenja: bilo koja funkcija oblika \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\), gdje je C proizvoljna konstanta, može poslužiti kao zakon kretanje, budući da \(\lijevo (\frac(gt^2)(2) +C \desno)" = gt \)

Da bismo problem učinili konkretnijim, morali smo popraviti početnu situaciju: naznačiti koordinate pokretne tačke u nekom trenutku, na primjer u t = 0. Ako je, recimo, s(0) = s 0, onda iz jednakost s(t) = (gt 2)/2 + C dobijamo: s(0) = 0 + C, tj. C = s 0. Sada je zakon kretanja jednoznačno definisan: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

U matematici se međusobno inverznim operacijama daju različita imena, izmišljaju se posebne oznake, na primjer: kvadrat (x 2) i kvadratni korijen (\(\sqrt(x) \)), sinus (sin x) i arcsin (arcsin x) i sl. Proces nalaženja derivacije date funkcije se zove diferencijaciju, a inverzna operacija, odnosno proces nalaženja funkcije iz date derivacije, je integracija.

Sam izraz „derivacija“ može se opravdati „u svakodnevnim terminima“: funkcija y = f(x) „rađa“ novu funkciju y" = f"(x). Funkcija y = f(x) djeluje kao “roditelj”, ali matematičari je, naravno, ne zovu “roditelj” ili “proizvođač” oni kažu da jeste, u odnosu na funkciju y" = f"(; x) , primarna slika ili primitivna.

Definicija. Funkcija y = F(x) naziva se antiderivativna za funkciju y = f(x) na intervalu X ako jednakost F"(x) = f(x) vrijedi za \(x \in X\)

U praksi, interval X obično nije specificiran, ali se podrazumijeva (kao prirodni domen definicije funkcije).

Navedimo primjere.
1) Funkcija y = x 2 je antiderivativna za funkciju y = 2x, jer za bilo koje x vrijedi jednakost (x 2)" = 2x
2) Funkcija y = x 3 je antiderivativna za funkciju y = 3x 2, jer za bilo koje x vrijedi jednakost (x 3)" = 3x 2
3) Funkcija y = sin(x) je antiderivativna za funkciju y = cos(x), jer je za bilo koje x tačna jednakost (sin(x))" = cos(x)

Prilikom pronalaženja antiderivata, kao i derivata, ne koriste se samo formule, već i neka pravila. Oni su direktno povezani sa odgovarajućim pravilima za izračunavanje derivata.

Znamo da je derivacija sume jednaka zbiru njenih derivata. Ovo pravilo generiše odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 1. Antiderivat zbira jednak je zbiru antiderivata.

Znamo da se konstantni faktor može izvaditi iz predznaka derivacije. Ovo pravilo generiše odgovarajuće pravilo za pronalaženje antiderivata.

Pravilo 2. Ako je F(x) antiderivat za f(x), onda je kF(x) antiderivat za kf(x).

Teorema 1. Ako je y = F(x) antiderivat za funkciju y = f(x), tada je antiderivat za funkciju y = f(kx + m) funkcija \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

Teorema 2. Ako je y = F(x) antiderivat za funkciju y = f(x) na intervalu X, onda funkcija y = f(x) ima beskonačno mnogo antiderivata i svi imaju oblik y = F(x) + C.

Metode integracije

Metoda zamjene varijable (metoda zamjene)

Metoda integracije supstitucijom uključuje uvođenje nove integracione varijable (tj. supstitucije). U ovom slučaju, dati integral se svodi na novi integral, koji je tabelarni ili svodiv na njega. Uobičajene metode nema izbora zamena. Sposobnost pravilnog određivanja zamjene stiče se vježbom.
Neka je potrebno izračunati integral \(\textstyle \int F(x)dx \). Napravimo zamjenu \(x= \varphi(t) \) gdje je \(\varphi(t) \) funkcija koja ima kontinuirani izvod.
Tada \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) i na osnovu svojstva invarijantnosti formule integracije za neodređeni integral, dobijamo integracijsku formulu zamjenom:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Integracija izraza oblika \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)

Ako je m neparan, m > 0, tada je zgodnije izvršiti zamjenu sin x = t.
Ako je n neparno, n > 0, tada je zgodnije napraviti supstituciju cos x = t.
Ako su n i m paran, onda je zgodnije napraviti supstituciju tg x = t.

Integracija po dijelovima

Integracija po dijelovima - primjenom sljedeće formule za integraciju:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ili:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Tablica neodređenih integrala (antideriva) nekih funkcija

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$