Periodni sistem hemijski elementi D.I. Tabela Mendeljejeva. Gustina organskih rastvarača (g/cm3) u zavisnosti od temperature. 0-100 °C. Svojstva rješenja. Konstante disocijacije, kiselost, bazičnost. Rastvorljivost. Smjese. Toplinske konstante supstanci. Entalpije. Entropija. Gibbs energije... (link ka hemijskom imeniku projekta) Elektrotehnika Regulatori Sistemi garantovanog i neprekidnog napajanja. Dispečerski i kontrolni sistemi Strukturirani kablovski sistemi Data centri

Ispod je tabela prostih brojeva od 2 do 10000 (1229 komada). Jedinica nije uključena, izvinite. Neki smatraju da jedinica nije uključena jer... ona ne može biti tamo. " Prosti broj je broj koji ima dva djelitelja: jedan i sam broj."A broj 1 ima samo jedan djelitelj; on se ne odnosi ni na proste ni na složene brojeve. (razumna primjedba Olge 21.09.12.) Međutim, sjećamo se da se prosti brojevi ponekad unose ovako: " Prost broj je broj koji je djeljiv sa jednim i samim sobom.„U ovom slučaju, jedan je očigledno prost broj.

Tabela prostih brojeva od 2 do 1000. Tabela prostih brojeva od 2 do 1000 je označena sivom bojom.

Ocjena članka:

U članku se razmatraju koncepti prostih i složenih brojeva. Definicije takvih brojeva su date uz primjere. Predstavljamo dokaz da je broj prostih brojeva neograničen i to ćemo zapisati u tablicu prostih brojeva po Eratostenovom metodu. Dat će se dokazi da se utvrdi je li broj prost ili složen.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prosti i složeni brojevi - definicije i primjeri

Prosti i složeni brojevi se klasificiraju kao pozitivni cijeli brojevi. Moraju biti veći od jedan. Delitelji se također dijele na proste i složene. Da biste razumjeli koncept složenih brojeva, prvo morate proučiti koncepte djelitelja i višekratnika.

Definicija 1

Prosti brojevi su cijeli brojevi koji su veći od jedan i imaju dva pozitivna djelitelja, odnosno sebe i 1.

Definicija 2

Složeni brojevi su cijeli brojevi koji su veći od jedan i imaju najmanje tri pozitivna djelitelja.

Jedan nije ni prost ni kompozitni broj. Ima samo jedan pozitivan djelitelj, pa se razlikuje od svih ostalih pozitivnih brojeva. Svi pozitivni cijeli brojevi nazivaju se prirodni brojevi, odnosno koriste se u brojanju.

Definicija 3

primarni brojevi su prirodni brojevi koji imaju samo dva pozitivna djelitelja.

Definicija 4

Kompozitni broj- Ovo prirodni broj, koji ima više od dva pozitivna djelitelja.

Svaki broj koji je veći od 1 je prost ili složen. Iz svojstva djeljivosti imamo da je 1 i da će broj a uvijek biti djelitelj za bilo koji broj a, odnosno da će biti djeljiv sam sa sobom i sa 1. Hajde da damo definiciju celih brojeva.

Definicija 5

Prirodni brojevi koji nisu prosti nazivaju se složeni brojevi.

Prosti brojevi: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Oni su djeljivi samo sa sobom i 1. Složeni brojevi: 6, 63, 121, 6697. Odnosno, broj 6 se može razložiti na 2 i 3, a 63 na 1, 3, 7, 9, 21, 63 i 121 na 11, 11, odnosno, njegovi djelitelji će biti 1, 11, 121. Broj 6697 se rastavlja na 37 i 181. Imajte na umu da su koncepti prostih brojeva i međusobno prostih brojeva različiti koncepti.

Da biste olakšali korištenje prostih brojeva, trebate koristiti tabelu:

Tabela za sve postojeće prirodne brojeve je nerealna, jer ih ima beskonačan broj. Kada brojevi dosegnu veličinu od 10000 ili 1000000000, onda biste trebali razmisliti o korištenju Eratostenovog sita.

Razmotrimo teoremu koja objašnjava posljednju izjavu.

Teorema 1

Najmanji pozitivni djelitelj različit od 1 prirodnog broja većeg od jedan je prost broj.

Dokazi 1

Pretpostavimo da je a prirodan broj veći od 1, b je najmanji ne-jedan djelitelj a. Da je b prost broj potrebno je dokazati metodom kontradikcije.

Pretpostavimo da je b složeni broj. Iz ovoga imamo da postoji djelitelj za b, koji je različit od 1 kao i od b. Takav djelitelj se označava kao b 1. Neophodno je da uslov 1< b 1 < b je završeno.

Iz uslova je jasno da je a podeljeno sa b, b podeljeno sa b 1, što znači da se koncept deljivosti izražava na sledeći način: a = b q i b = b 1 q 1, odakle je a = b 1 (q 1 q), gdje je q i q 1 su cijeli brojevi. Prema pravilu množenja cijelih brojeva, imamo da je proizvod cijelih brojeva cijeli broj sa jednakošću oblika a = b 1 · (q 1 · q) . Može se vidjeti da je b 1 je djelitelj za broj a. Nejednakost 1< b 1 < b Ne odgovara, jer nalazimo da je b najmanji pozitivni i ne-1 djelitelj a.

Teorema 2

Postoji beskonačan broj prostih brojeva.

Dokazi 2

Vjerovatno ćemo uzeti konačan broj prirodnih brojeva n i označiti ih kao p 1, p 2, …, p n. Razmotrimo opciju pronalaženja prostog broja različitog od navedenih.

Uzmimo u obzir broj p, koji je jednak p 1, p 2, ..., p n + 1. Nije jednak svakom od brojeva koji odgovaraju prostim brojevima oblika p 1, p 2, ..., p n. Broj p je prost. Tada se smatra da je teorema dokazana. Ako je kompozitno, onda morate uzeti zapis p n + 1 i pokazati da se djelitelj ne poklapa ni sa jednim od p 1, p 2, ..., p n.

Ako to nije tako, onda, na osnovu svojstva djeljivosti proizvoda p 1, p 2, ..., p n , nalazimo da bi bilo djeljivo sa pn + 1. Imajte na umu da je izraz p n + 1 deljenjem broja p dobija se zbir p 1, p 2, ..., p n + 1. Dobijamo da je izraz p n + 1 Drugi član ovog zbira, koji je jednak 1, mora se podijeliti, ali to je nemoguće.

Može se vidjeti da se bilo koji prost broj može naći među bilo kojim brojem datih prostih brojeva. Iz toga slijedi da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva.

Pošto postoji mnogo prostih brojeva, tabele su ograničene na brojeve 100, 1000, 10000 itd.

Prilikom sastavljanja tablice prostih brojeva treba uzeti u obzir da takav zadatak zahtijeva uzastopnu provjeru brojeva, počevši od 2 do 100. Ako nema djelitelja, upisuje se u tablicu, ako je složen, onda se ne unosi u tabelu.

Pogledajmo to korak po korak.

Ako počnete sa brojem 2, onda ima samo 2 djelitelja: 2 i 1, što znači da se može unijeti u tabelu. Isto je i sa brojem 3. Broj 4 je složen; mora se razložiti na 2 i 2. Broj 5 je prost, što znači da se može upisati u tabelu. Radite to do broja 100.

Ova metoda nezgodno i dugo. Možete kreirati sto, ali ćete morati potrošiti veliki broj vrijeme. Potrebno je koristiti kriterije djeljivosti, što će ubrzati proces pronalaženja djelitelja.

Metoda pomoću Eratostenovog sita smatra se najprikladnijom. Pogledajmo primjere tablica u nastavku. Za početak, zapisuju se brojevi 2, 3, 4, ..., 50.

Sada morate precrtati sve brojeve koji su višekratni od 2. Izvršite uzastopno precrtavanje. Dobijamo sto kao:

Prelazimo na precrtavanje brojeva koji su višestruki od 5. Dobijamo:

Precrtajte brojeve koji su višestruki od 7, 11. Na kraju tabela izgleda tako

Pređimo na formulaciju teoreme.

Teorema 3

Najmanji pozitivni ne-1 djelitelj osnovnog broja a ne prelazi a, gdje je a aritmetički korijen dati broj.

Dokazi 3

Mora biti naznačeno b najmanji djelitelj kompozitni broj a. Postoji cijeli broj q, gdje je a = b · q, i imamo da je b ≤ q. Nejednakosti oblika su neprihvatljive b > q, jer je uslov prekršen. Obje strane nejednakosti b ≤ q treba pomnožiti sa bilo kojim pozitivnim brojem b koji nije jednak 1. Dobijamo da je b · b ≤ b · q, gdje je b 2 ≤ a i b ≤ a.

Iz dokazane teoreme jasno je da precrtavanje brojeva u tabeli dovodi do toga da je potrebno početi od broja koji je jednak b 2 i koji zadovoljava nejednakost b 2 ≤ a. Odnosno, ako precrtate brojeve koji su višekratni od 2, tada proces počinje sa 4, a višekratnik od 3 sa 9, i tako dalje do 100.

Sastavljanje takve tablice koristeći Eratostenov teorem sugerira da kada se precrtaju svi složeni brojevi, ostaju prosti brojevi koji ne prelaze n. U primjeru gdje je n = 50, imamo da je n = 50. Iz ovoga dobijamo da Eratostenovo sito izbacuje sve složene brojeve čija vrednost nije veća od vrednosti korena iz 50. Pretraga brojeva se vrši precrtavanjem.

Prije rješavanja morate saznati da li je broj prost ili složen. Često se koriste kriteriji djeljivosti. Pogledajmo ovo u primjeru ispod.

Primjer 1

Dokažite da je broj 898989898989898989 složen.

Rješenje

Zbir cifara datog broja je 9 8 + 9 9 = 9 17. To znači da je broj 9 · 17 djeljiv sa 9, na osnovu testa djeljivosti sa 9. Iz toga slijedi da je kompozitna.

Takvi znakovi ne mogu dokazati jednostavnost broja. Ako je potrebna provjera, treba poduzeti druge radnje. Najprikladniji način je nabrajanje brojeva. Tokom procesa, prosti i složeni brojevi se mogu pronaći. Odnosno, brojevi ne bi trebali prelaziti vrijednost a. To jest, broj a se mora razložiti na primarni faktori. ako je ovo zadovoljeno, onda se broj a može smatrati prostim.

Primjer 2

Odredi složeni ili prosti broj 11723.

Rješenje

Sada morate pronaći sve djelitelje za broj 11723. Treba procijeniti 11723 .

Odavde vidimo da 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 i 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

Za precizniju procjenu broja 11723, potrebno je napisati izraz 108 2 = 11 664, a 109 2 = 11 881 , To 108 2 < 11 723 < 109 2 . Iz toga slijedi da je 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

Prilikom proširenja nalazimo da su 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 su svi prosti brojevi. Cijeli ovaj proces može se opisati kao podjela kolonom. Odnosno, podijelite 11723 sa 19. Broj 19 je jedan od njegovih faktora, jer dobijamo deljenje bez ostatka. Predstavimo podjelu kao kolonu:

Iz toga slijedi da je 11723 složeni broj, jer pored sebe i 1 ima djelitelj 19.

odgovor: 11723 je složeni broj.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U ovom članku ćemo istražiti prosti i složeni brojevi. Prvo ćemo dati definicije prostih i složenih brojeva, kao i primjere. Nakon ovoga ćemo dokazati da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva. Zatim ćemo zapisati tabelu prostih brojeva i razmotriti metode za sastavljanje tabele prostih brojeva, obraćajući posebnu pažnju na metodu zvanu Eratostenovo sito. U zaključku, ističemo glavne tačke koje treba uzeti u obzir prilikom dokazivanja dati broj je jednostavan ili složen.

Navigacija po stranici.

Prosti i složeni brojevi - definicije i primjeri

Koncepti prostih i složenih brojeva odnose se na brojeve koji su veći od jedan. Takvi cijeli brojevi, ovisno o broju njihovih pozitivnih djelitelja, dijele se na proste i složene brojeve. Da razumem definicije prostih i složenih brojeva, morate imati dobru ideju o tome šta je to djelitelji i višekratnici.

Definicija.

primarni brojevi su cijeli brojevi, velike jedinice, koje imaju samo dva pozitivna djelitelja, odnosno sebe i 1.

Definicija.

Kompozitni brojevi su cijeli brojevi, veliki, koji imaju najmanje tri pozitivna djelila.

Odvojeno, napominjemo da se broj 1 ne odnosi ni na proste ni na složene brojeve. Jedinica ima samo jedan pozitivan djelitelj, a to je sam broj 1. Ovo razlikuje broj 1 od svih ostalih pozitivnih cijelih brojeva koji imaju najmanje dva pozitivna djelitelja.

S obzirom da su pozitivni cijeli brojevi , i da jedan ima samo jedan pozitivan djelitelj, možemo dati i druge formulacije navedenih definicija prostih i složenih brojeva.

Definicija.

primarni brojevi su prirodni brojevi koji imaju samo dva pozitivna djelitelja.

Definicija.

Kompozitni brojevi su prirodni brojevi koji imaju više od dva pozitivna djelila.

Imajte na umu da je svaki pozitivni cijeli broj veći od jedan ili prost ili složeni broj. Drugim riječima, ne postoji niti jedan cijeli broj koji nije ni prost ni složen. Ovo proizilazi iz svojstva djeljivosti, koji kaže da su brojevi 1 i a uvijek djelitelji bilo kojeg cijelog broja a.

Na osnovu informacija iz prethodnog paragrafa možemo dati sljedeću definiciju kompozitnih brojeva.

Definicija.

Prirodni brojevi koji nisu prosti se nazivaju kompozitni.

Hajde da damo primjeri prostih i složenih brojeva.

Primjeri složenih brojeva uključuju 6, 63, 121 i 6,697. Ova izjava takođe zahteva pojašnjenje. Broj 6, pored pozitivnih djelitelja 1 i 6, ima i djelitelje 2 i 3, budući da je 6 = 2 3, dakle 6 je zaista složeni broj. Pozitivni faktori od 63 su brojevi 1, 3, 7, 9, 21 i 63. Broj 121 jednak je proizvodu 11·11, pa su njegovi pozitivni djelitelji 1, 11 i 121. A broj 6.697 je složen, jer su njegovi pozitivni djelitelji, pored 1 i 6.697, i brojevi 37 i 181.

U zaključku ove tačke, takođe bih želeo da skrenem pažnju na činjenicu da su prosti brojevi i koprosti brojevi- Ovo je daleko od iste stvari.

Tabela prostih brojeva

Prosti brojevi, radi praktičnosti dalju upotrebu, se zapisuju u tablicu koja se zove tabela prostih brojeva. Ispod je tabela prostih brojeva do 1.000.

Postavlja se logično pitanje: „Zašto smo popunili tabelu prostih brojeva samo do 1.000, zar nije moguće napraviti tabelu svih postojećih prostih brojeva“?

Odgovorimo prvo na prvi dio ovog pitanja. Za većinu problema koji zahtijevaju upotrebu prostih brojeva, prosti brojevi unutar hiljadu bit će dovoljni. U drugim slučajevima, najvjerovatnije, morat ćete pribjeći nekim posebnim rješenjima. Iako sigurno možemo kreirati tablicu prostih brojeva do proizvoljno velikog konačnog pozitivnog cijelog broja, bilo da je 10.000 ili 1.000.000.000, u sljedećem paragrafu ćemo govoriti o metodama za kreiranje tablica prostih brojeva, posebno ćemo pogledati metodu pozvao.

Pogledajmo sada mogućnost (ili bolje rečeno, nemogućnost) sastavljanja tabele svih postojećih prostih brojeva. Ne možemo napraviti tabelu svih prostih brojeva jer postoji beskonačno mnogo prostih brojeva. Posljednja izjava je teorema koju ćemo dokazati nakon sljedeće pomoćne teoreme.

Teorema.

Najmanji pozitivni djelitelj različit od 1 prirodnog broja većeg od jedan je prost broj.

Dokaz.

Neka a je prirodni broj veći od jedan, a b je najmanji pozitivni djelitelj drugog od jedan. Dokažimo da je b prost broj kontradiktorno.

Pretpostavimo da je b složeni broj. Zatim postoji djelitelj broja b (označimo ga b 1), koji se razlikuje i od 1 i od b. Ako također uzmemo u obzir da apsolutna vrijednost djelitelja ne prelazi apsolutnu vrijednost dividende (ovo znamo iz svojstava djeljivosti), tada mora biti zadovoljen uvjet 1

Pošto je broj a djeljiv sa b prema uvjetu, a rekli smo da je b djeljiv sa b 1, koncept djeljivosti nam omogućava da govorimo o postojanju cijelih brojeva q i q 1 takvih da su a=b q i b=b 1 q 1 , odakle je a= b 1 ·(q 1 ·q) . Iz toga slijedi da je proizvod dva cijela broja cijeli broj, tada jednakost a=b 1 ·(q 1 ·q) pokazuje da je b 1 djelitelj broja a. Uzimajući u obzir gore navedene nejednakosti 1

Sada možemo dokazati da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva.