Koji je drugi znak jednakosti trouglova. Treći znak jednakosti trouglova

Za dva trougla se kaže da su podudarna ako se mogu spojiti preklapanjem. Na slici 1 prikazani su jednaki trouglovi ABC i A 1 B 1 C 1. Svaki od ovih trouglova se može superponirati na drugi tako da su potpuno kompatibilni, odnosno da su njihovi vrhovi i stranice kompatibilni u parovima. Jasno je da će se uglovi ovih trouglova takođe podudarati u parovima.

Dakle, ako su dva trokuta podudarna, tada su elementi (tj. stranice i uglovi) jednog trougla, respektivno, jednaki elementima drugog trougla. Zapiši to V jednak trougao x prema jednakim stranama(tj. preklapanje kada se preklapa) laž jednaki uglovi, i nazad: Jednake strane leže nasuprot, odnosno jednakih uglova.

Tako, na primjer, u jednakim trouglovima ABC i A 1 B 1 C 1, prikazanim na slici 1, nasuprot jednakih stranica AB i A 1 B 1, leže jednaki uglovi C i C 1. Jednakost trouglova ABC i A 1 B 1 C 1 označićemo na sledeći način: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Ispada da se jednakost dva trokuta može utvrditi poređenjem nekih njihovih elemenata.

Teorema 1. Prvi znak jednakosti trouglova. Ako su dvije stranice i ugao između njih jednog trougla, respektivno, jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trougla, onda su takvi trokuti podudarni (slika 2).

Dokaz. Razmotrimo trouglove ABC i A 1 B 1 C 1, u kojima je AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (vidi sliku 2). Dokažimo da je Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Budući da je ∠ A = ∠ A 1, onda se trokut ABC može superponirati na trokut A 1 B 1 C 1 tako da je vrh A poravnat sa vrhom A 1, a stranice AB i AC su redom superponirane na zrake A 1 B 1 i A 1 C 1 . Budući da će AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, tada će se strana AB poravnati sa stranom A 1 B 1, a strana AC sa stranom A 1 C 1; posebno, tačke B i B 1, C i C 1 će se poklopiti. Prema tome, stranice BC i B 1 C 1 će se poravnati. Dakle, trouglovi ABC i A 1 B 1 C 1 su potpuno kompatibilni, što znači da su jednaki.

Teorema 2 se dokazuje na sličan način primjenom metode superpozicije.

Teorema 2. Drugi znak jednakosti trouglova. Ako su stranica i dva susedna ugla jednog trougla, respektivno, jednaki strani i dva susedna ugla drugog trougla, onda su takvi trouglovi podudarni (slika 34).

Komentar. Na osnovu teoreme 2, utvrđena je teorema 3.

Teorema 3. Zbir bilo koje dvije unutrašnji uglovi trougao je manji od 180°.

Od posljednja teorema Slijedi teorema 4.

Teorema 4. Vanjski ugao trougla je veći od bilo kojeg unutrašnjeg ugla koji mu nije susjedan.

Teorema 5. Treći znak jednakosti trouglova. Ako su tri strane jednog trougla, respektivno, jednake trima stranicama drugog trougla, onda su takvi trokuti podudarni ().

Primjer 1. U trouglovima ABC i DEF (slika 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Uporedi trouglove ABC i DEF. Koji je ugao u trouglu DEF jednak uglu B?

Rješenje. Ovi trouglovi su jednaki prema prvom znaku. Ugao F trougla DEF jednak je kutu B trougao ABC, budući da ovi uglovi leže nasuprot odgovarajućih jednakih stranica DE i AC.

Primjer 2. Segmenti AB i CD (slika 5) seku se u tački O, koja je sredina svakog od njih. Kolika je dužina segmenta BD ako je segment AC 6 m?

Rješenje. Trouglovi AOC i BOD su jednaki (prema prvom kriterijumu): ∠ AOC = ∠ BOD (vertikalno), AO = OB, CO = OD (po uslovu).
Iz jednakosti ovih trouglova slijedi da su njihove stranice jednake, tj. AC = BD. Ali pošto je prema uslovu AC = 6 m, onda je BD = 6 m.

Video lekcija “Treći kriterij jednakosti trokuta” sadrži dokaz teoreme, a to je test jednakosti dva trokuta na tri strane. Ova teorema je važan dio geometrije. Često se koristi za rješavanje praktičnih problema. Njegov dokaz se zasniva na znacima jednakosti trouglova koji su učenicima već poznati.

Dokaz ove teoreme je složen, stoga je za poboljšanje kvaliteta učenja i razvoj sposobnosti dokazivanja geometrijskih iskaza preporučljivo koristiti ovaj vizuelni materijal, što će pomoći da se pažnja učenika koncentriše na gradivo koje se proučava. Takođe, uz pomoć animacije, vizuelne demonstracije konstrukcija i dokaza, omogućava se poboljšanje kvaliteta učenja.

Na početku lekcije demonstrira se naslov teme i formuliše se teorema da su trokuti jednaki ako su sve strane jednog trougla parno jednake svim stranicama drugog trougla. Tekst teoreme se prikazuje na ekranu i učenici ga mogu zapisati u svesku. Zatim ćemo razmotriti dokaz ove teoreme.

Da bi se dokazao teorem, konstruisani su trouglovi ΔAVS i ΔA 1 V 1 S 1. Iz uslova teoreme proizilazi da su stranice jednake u parovima, odnosno AB = A 1 B 1, BC = B 1 C 1 i AC = A 1 C 1. Na početku dokaza demonstriramo nametanje trougla ΔABC na ΔA 1 B 1 C 1 tako da su vrhovi A i A 1, kao i B i B 1 ovih trouglova poravnati. U ovom slučaju, vrhovi C i C 1 trebaju biti smješteni duž različite strane od preklapanih strana AB i A 1 B 1. At ovu konstrukciju Moguće je nekoliko opcija za raspored elemenata trokuta:

1. Zraka C 1 C leži unutar ugla ∠A 1 C 1 B 1.
2. Zraka C 1 C poklapa se sa jednom od stranica ugla ∠A 1 C 1 B 1.
3. Zraka C 1 C leži izvan ugla ∠A 1 C 1 B 1.

Svaki slučaj se mora razmatrati posebno, jer dokazi ne mogu biti isti za sve date slučajeve. U prvom slučaju razmatraju se dva trokuta nastala kao rezultat konstrukcije. Pošto su, po uslovu, u ovim trouglovima stranice AC = A 1 C 1, i BC = B 1 C 1, onda su rezultujući trouglovi ΔB 1 C 1 C i ΔA 1 C 1 jednakokraki. Koristeći proučavano svojstvo jednakokračnih trouglova, možemo konstatovati da su uglovi ∠1 i ∠2 međusobno jednaki, kao i ∠3 i ∠4. Pošto su ovi uglovi jednaki, onda će zbir ∠1 i ∠3, kao i ∠2 i ∠4 takođe dati jednake uglove. Dakle, uglovi ∠S i ∠S 1 su jednaki. Imajući dokazano ovu činjenicu, možemo ponovo razmotriti trouglove ΔAVS i ΔA 1 V 1 S 1 , u kojima su stranice VS = V 1 S 1 i AC = A 1 S 1 prema uslovima teoreme, a dokazano je da su uglovi između njih ∠ S i ∠S 1 su također jednaki. Shodno tome, ovi trouglovi će biti jednaki prema prvom znaku jednakosti trouglova, koji je učenicima već poznat.

U drugom slučaju, kada su trouglovi superponirani, tačke C i C 1 leže na jednoj pravoj liniji koja prolazi kroz tačku B(B 1). Zbir dva trougla ΔAVS i ΔA 1 V 1 S 1 rezultira trouglom ΔSAS 1, u kojem su dvije stranice AC = A 1 S 1 jednake prema uslovima teoreme. Prema tome, ovaj trougao je jednakokraki. U jednakokračnom trouglu jednake stranice imaju jednake uglove, pa možemo reći da su uglovi ∠S=∠S 1. Iz uslova teoreme također slijedi da su stranice BC i B 1 C 1 međusobno jednake, pa su ΔABC i ΔA 1 B 1 C 1, uzimajući u obzir navedene činjenice, jednake jedna drugoj prema prvoj znak jednakosti trouglova.

Dokaz u trećem slučaju, slično kao u prva dva, koristi prvi znak jednakosti trokuta. Geometrijska figura konstruisana superponiranjem trouglova, kada je povezana segmentom vrhova C i C 1, transformiše se u trougao ΔB 1 C 1 C. Ovaj trougao je jednakokračan, jer su njegove stranice B 1 C 1 i B 1 C jednake sa stanje. A sa jednakim stranicama u jednakokračnom trouglu, uglovi ∠S i ∠S 1 su takođe jednaki. Pošto su, prema uslovima teoreme, stranice AC = A 1 C 1 jednake, onda su i uglovi kod njih u jednakokračnom trouglu ΔASS 1 takođe jednaki. Uzimajući u obzir činjenicu da su uglovi ∠C i ∠C 1 jednaki, a uglovi ∠DCA i ∠DC 1 A međusobno jednaki, onda su i uglovi ∠ACB i ∠AC 1 B jednaki. Uzimajući u obzir ovu činjenicu, da biste dokazali jednakost trokuta ΔABC i ΔA 1 B 1 C 1, možete koristiti prvi znak jednakosti trokuta, jer su dvije stranice ovih trokuta jednake prema uvjetima, a jednakost uglova između njih se dokazuje tokom rasuđivanja.

Na kraju video lekcije prikazana je važna primjena trećeg znaka jednakosti trokuta - krutosti datog geometrijska figura. Primjer objašnjava šta ova izjava znači. Primjer fleksibilnog dizajna su dvije letvice povezane ekserom. Ove letvice se mogu razdvojiti i pomicati pod bilo kojim uglom. Ako na letvice pričvrstimo još jednu, spojenu na krajevima sa postojećim letvicama, onda se dobije kruta konstrukcija u kojoj je nemoguće promijeniti kut između letvica. Nemoguće je dobiti trokut sa ovim stranicama i drugim uglovima. Ova posljedica teoreme ima važan praktični značaj. Na ekranu su prikazane inženjerske strukture u kojima se koristi ovo svojstvo trokuta.

Video lekcija „Treći kriterijum jednakosti trouglova“ olakšava nastavniku da predstavi novi materijal na ovu temu na času geometrije. Također, video tutorijal se može uspješno koristiti za učenje na daljinu matematike, pomoći će učenicima da sami razumiju složenost dokaza.

Drugi znak jednakosti trouglova

Ako su stranica i dva susjedna ugla jednog trougla, respektivno, jednaki strani i dva susjedna ugla drugog trougla, tada su takvi trouglovi podudarni.

MN = PR N = R M = P

Kao iu dokazu prvog znaka, morate se uvjeriti da li je to dovoljno da trokuti budu jednaki, da li se mogu potpuno kombinirati?

1. Pošto je MN = PR, onda se ovi segmenti kombinuju ako se kombinuju njihove krajnje tačke.

2. Pošto je N = R i M = P, zraci \(MK\) i \(NK\) će se preklapati sa zracima \(PT\) i \(RT\), respektivno.

3. Ako se zrake poklapaju, tada se njihove presječne točke \(K\) i \(T\) poklapaju.

4. Svi vrhovi trouglova su poravnati, odnosno Δ MNK i Δ PRT su potpuno poravnati, što znači da su jednaki.

Treći znak jednakosti trouglova

Ako su tri strane jednog trougla respektivno jednake trima stranicama drugog trougla, onda su takvi trouglovi podudarni.

MN = PR KN = TR MK = PT

Pokušajmo ponovo kombinirati trokute Δ MNK i Δ PRT preklapanjem i pobrinuti se da odgovarajuće jednake stranice garantuju da su odgovarajući uglovi ovih trokuta jednaki i da će se potpuno poklopiti.

Kombinirajmo, na primjer, identične segmente \(MK\) i \(PT\). Pretpostavimo da se tačke \(N\) i \(R\) ne poklapaju.

Neka je \(O\) središte segmenta \(NR\). Prema ovim informacijama, MN = PR, KN = TR. Trokuti \(MNR\) i \(KNR\) su jednakokraki sa zajedničkom osnovom \(NR\).

Stoga su njihove medijane \(MO\) i \(KO\) visine, što znači da su okomite na \(NR\). Prave \(MO\) i \(KO\) se ne poklapaju, jer tačke \(M\), \(K\), \(O\) ne leže na istoj pravoj. Ali kroz tačku \(O\) prave \(NR\) može se povući samo jedna prava okomita na nju. Došli smo do kontradikcije.

Dokazano je da se vrhovi \(N\) i \(R\) moraju poklapati.

Treći znak nam omogućava da trokut nazovemo vrlo snažnom, stabilnom figurom, ponekad tako kažu trougao - kruta figura . Ako se dužine stranica ne mijenjaju, ne mijenjaju se ni uglovi. Na primjer, četverougao nema ovo svojstvo. Stoga su različiti oslonci i utvrde napravljeni trokutasti.

Ali ljudi već duže vrijeme procjenjuju i ističu posebnu stabilnost, stabilnost i savršenstvo broja \(3\).

Bajke govore o tome.

Tamo srećemo “Tri medveda”, “Tri vetra”, “Tri praseta”, “Tri druga”, “Tri brata”, “Tri srećnika”, “Tri zanatlije”, “Tri princa”, “Tri prijatelja”, “Tri heroja” itd.

Daju se „tri pokušaja“, „tri saveta“, „tri uputstva“, „tri sastanka“, „tri želje“ se ispune, treba izdržati „tri dana“, „tri noći“, „tri godine“, proći “tri stanja” “, “tri podzemna kraljevstva“, izdržati “tri testa”, zaploviti kroz “tri mora”.

Među veliki iznos poligona, koji su u suštini zatvorena isprekidana linija koja se ne siječe, trokut je figura s najmanje uglova. Drugim riječima, ovo je najjednostavniji poligon. Ali, uprkos svoj svojoj jednostavnosti, ova figura je puna mnogih misterija i zanimljiva otkrića, koje pokriva posebna grana matematike - geometrija. Ova disciplina počinje da se predaje u školama od sedmog razreda, a temi „Trougao“ se ovde posvećuje posebna pažnja. Djeca ne samo da uče pravila o samoj figuri, već ih i upoređuju proučavajući 1., 2. i 3. znak jednakosti trokuta.

Prvi sastanak

Jedno od prvih pravila koje školarci uče glasi otprilike ovako: zbir vrijednosti svih uglova trougla jednak je 180 stepeni. Da biste to potvrdili, dovoljno je pomoću kutomjera izmjeriti svaki od vrhova i sabrati sve rezultirajuće vrijednosti. Na osnovu toga, sa dvije poznate veličine lako je odrediti treću. Na primjer: U trouglu, jedan od uglova je 70°, a drugi 85°, kolika je veličina trećeg ugla?

180 - 85 - 70 = 25.

Odgovor: 25°.

Problemi mogu biti još složeniji ako je specificirana samo jedna vrijednost ugla, a drugoj vrijednosti se samo kaže koliko je ili koliko puta je veća ili manja.

U trokutu, da bi se odredile određene njegove karakteristike, mogu se povući posebne linije, od kojih svaka ima svoje ime:

• visina - okomita ravna linija povučena od vrha do suprotne strane;
• sve tri visine, nacrtane istovremeno, sijeku se u središtu figure, formirajući ortocentar, koji se, ovisno o vrsti trokuta, može nalaziti i iznutra i izvana;
• medijan - linija koja povezuje vrh sa sredinom suprotne strane;
• presjek medijana je tačka njegove gravitacije, smještena unutar figure;
• simetrala - prava koja prolazi od temena do tačke preseka sa suprotnom stranom, tačka preseka tri simetrale je centar upisane kružnice.

Jednostavne istine o trouglovima

Trokuti, kao i sve figure, imaju svoje karakteristike i svojstva. Kao što je već spomenuto, ova figura je najjednostavniji poligon, ali sa svojim karakterističnim karakteristikama:

• ugao sa većom vrijednošću uvijek leži nasuprot najdužoj strani, i obrnuto;
• jednaki uglovi leže nasuprot jednakih strana, primjer za to je jednakokraki trokut;
• zbir unutrašnjih uglova je uvek jednak 180°, što je već pokazano na primeru;
• kada se jedna strana trougla produži izvan njegovih granica, formira se vanjski ugao, koji će uvijek biti jednak zbiru uglova koji joj nisu susjedni;
• svaka strana je uvijek manja od zbira druge dvije strane, ali veća od njihove razlike.

Vrste trouglova

Sljedeća faza upoznavanja je određivanje grupe kojoj pripada predstavljeni trokut. Pripadnost jednoj ili drugoj vrsti ovisi o veličini uglova trokuta.

• Jednakokraki - s dvije jednake strane, koje se nazivaju bočnim, treća u ovom slučaju djeluje kao osnova figure. Uglovi u osnovi takvog trougla su isti, a medijana povučena iz vrha je simetrala i visina.
• Pravilan, ili jednakostraničan, trougao je trougao u kojem su sve stranice jednake.
• Pravougaoni: jedan od njegovih uglova je 90°. U ovom slučaju, strana suprotna ovom kutu naziva se hipotenuza, a druge dvije se nazivaju kraci.
• Oštar trougao - svi uglovi su manji od 90°.
• Tup - jedan od uglova veći od 90°.

Jednakost i sličnost trokuta

Tokom procesa učenja oni ne samo da razmatraju jednu figuru, već i upoređuju dva trougla. A ovaj, čini se, jednostavna tema ima puno pravila i teorema pomoću kojih se može dokazati da su figure u pitanju jednaki trouglovi. Kriterijumi za jednakost trouglova imaju sljedeću definiciju: trouglovi su jednaki ako su im odgovarajuće stranice i uglovi isti. S takvom jednakošću, ako ove dvije figure stavite jednu na drugu, sve njihove linije će se konvergirati. Takođe, brojke mogu biti slične, posebno, to se praktično odnosi identične figure, razlikuju se samo po veličini. Da bi se doneo takav zaključak o predstavljenim trouglovima, mora biti ispunjen jedan od sledećih uslova:

• dva ugla jedne figure jednaka su dva ugla druge;
• dvije stranice jednog su proporcionalne dvjema stranicama drugog trougla, a uglovi koje formiraju stranice su jednaki;
• tri strane druge figure su iste kao i prve.

Naravno, za neospornu jednakost koja neće izazvati ni najmanju sumnju, potrebno je imati iste vrijednosti svih elemenata obje figure, međutim, uz korištenje teorema, zadatak je uvelike pojednostavljen, a samo nekoliko dozvoljeni su uslovi da se dokaže jednakost trouglova.

Prvi znak jednakosti trouglova

Zadaci na ovu temu rješavaju se na osnovu dokaza teoreme, koji glasi ovako: „Ako su dvije stranice trokuta i ugao koji formiraju jednaki dvjema stranicama i kutu drugog trougla, tada su i figure jednake jedan drugog."

Kako zvuči dokaz teoreme o prvom znaku jednakosti trouglova? Svi znaju da su dva segmenta jednaka ako su iste dužine, ili da su kružnice jednake ako imaju isti polumjer. A u slučaju trokuta postoji nekoliko znakova, s kojima možemo pretpostaviti da su figure identične, što je vrlo zgodno za korištenje pri rješavanju različitih geometrijskih problema.

Kako zvuči teorema "Prvi znak jednakosti trokuta" opisano je gore, ali evo i njenog dokaza:

• Pretpostavimo da trouglovi ABC i A 1 B 1 C 1 imaju iste stranice AB i A 1 B 1 i, shodno tome, BC i B 1 C 1, a uglovi formirani od ovih stranica imaju istu veličinu, odnosno jednaki su. Zatim, superponiranjem △ ABC na △ A 1 B 1 C 1, dobijamo podudarnost svih pravih i vrhova. Iz toga slijedi da su ovi trouglovi apsolutno identični, a samim tim i jednaki jedan drugom.

Teorema "Prvi znak jednakosti trouglova" naziva se i "Na dvije strane i ugao". Zapravo, ovo je njegova suština.

Teorema o drugom znaku

Drugi znak jednakosti se dokazuje na sličan način, dokaz se zasniva na činjenici da se figure, kada se nalože jedna na drugu, potpuno poklapaju na svim vrhovima i stranama. A teorema zvuči ovako: "Ako jedna stranica i dva ugla u čijem formiranju sudjeluje odgovaraju stranici i dva ugla drugog trokuta, onda su ove figure identične, odnosno jednake."

Treći znak i dokaz

Ako su se i 2 i 1 znak jednakosti trokuta odnosili i na stranice i na uglove figure, onda se 3. odnosi samo na stranice. Dakle, teorema ima sljedeću formulaciju: "Ako su sve strane jednog trokuta jednake trima stranicama drugog trougla, onda su figure identične."

Da bismo dokazali ovu teoremu, potrebno je detaljnije ući u samu definiciju jednakosti. U suštini, šta znači izraz „trouglovi su jednaki“? Identitet kaže da će se, ako jednu figuru preklopi na drugu, svi elementi poklopiti, a to može biti samo kada su njihove stranice i uglovi jednaki. Istovremeno, ugao nasuprot jedne od stranica, koji je isti kao i kod drugog trougla, biće jednak odgovarajućem vrhu druge figure. Treba napomenuti da se u ovom trenutku dokaz lako može prevesti na 1 kriterij jednakosti trouglova. Ako se takav niz ne poštuje, jednakost trokuta je jednostavno nemoguća, osim u slučajevima kada je figura zrcalna slika prvog.

Pravokutni trouglovi

Struktura takvih trouglova uvijek ima vrhove sa uglom od 90°. Stoga su tačne sljedeće tvrdnje:

• trokuti s pravim uglovima su jednaki ako su katete jednog identične katetama drugog;
• figure su jednake ako su im hipotenuze i jedan krak jednaki;
• takvi trouglovi su podudarni ako su im kraci i oštri ugao identični.

Ovaj znak se odnosi na Da bi dokazali teoremu, primjenjuju primjenu figura jedne na druge, uslijed čega se trokuti presavijaju kracima tako da izlaze dvije prave sa stranicama CA i CA 1.

Praktična upotreba

U većini slučajeva u praksi se koristi prvi znak jednakosti trokuta. Zapravo, tako naizgled jednostavna tema za 7. razred iz geometrije i planimetrije se koristi i za izračunavanje dužine, na primjer, telefonskog kabla bez mjerenja površine kroz koju će on proći. Koristeći ovu teoremu to je lako učiniti potrebne kalkulacije da se odredi dužina ostrva koje se nalazi u sredini reke bez doplivavanja do njega. Ili ojačati ogradu postavljanjem daske u raspon tako da je dijeli na dva jednaka trougla, ili izračunati složene elemente rada u stolariji, ili prilikom proračuna krovnog rešetkastog sistema tokom izgradnje.

Prvi znak jednakosti trokuta naširoko se koristi u stvarnom "odraslom" životu. Iako u školske godine Ovo je tema koja se mnogima čini dosadnom i potpuno nepotrebnom.