Teorema jednakih trouglova. Treći znak jednakosti trouglova

Video lekcija “Treći kriterij jednakosti trokuta” sadrži dokaz teoreme, a to je test jednakosti dva trokuta na tri strane. Ova teorema je važan dio geometrije. Često se koristi za rješavanje praktičnih problema. Njegov dokaz se zasniva na znacima jednakosti trouglova koji su učenicima već poznati.

Dokaz ove teoreme je složen, stoga je za poboljšanje kvaliteta učenja i razvoj sposobnosti dokazivanja geometrijskih iskaza preporučljivo koristiti ovaj vizuelni materijal, što će pomoći da se pažnja učenika koncentriše na gradivo koje se proučava. Takođe, uz pomoć animacije, vizuelne demonstracije konstrukcija i dokaza, omogućava se poboljšanje kvaliteta učenja.

Na početku lekcije demonstrira se naslov teme i formuliše se teorema da su trokuti jednaki ako su sve strane jednog trougla parno jednake svim stranicama drugog trougla. Tekst teoreme se prikazuje na ekranu i učenici ga mogu zapisati u svesku. Zatim ćemo razmotriti dokaz ove teoreme.

Da bi se dokazao teorem, konstruisani su trouglovi ΔAVS i ΔA 1 V 1 S 1. Iz uslova teoreme proizilazi da su stranice jednake u parovima, odnosno AB = A 1 B 1, BC = B 1 C 1 i AC = A 1 C 1. Na početku dokaza demonstriramo nametanje trougla ΔABC na ΔA 1 B 1 C 1 tako da su vrhovi A i A 1, kao i B i B 1 ovih trouglova poravnati. U ovom slučaju, vrhovi C i C 1 trebaju biti smješteni duž različite strane od preklapanih strana AB i A 1 B 1. At ovu konstrukciju Moguće je nekoliko opcija za raspored elemenata trokuta:

1. Zraka C 1 C leži unutar ugla ∠A 1 C 1 B 1.
2. Zraka C 1 C poklapa se sa jednom od stranica ugla ∠A 1 C 1 B 1.
3. Zraka C 1 C leži izvan ugla ∠A 1 C 1 B 1.

Svaki slučaj se mora razmatrati posebno, jer dokazi ne mogu biti isti za sve date slučajeve. U prvom slučaju razmatraju se dva trokuta nastala kao rezultat konstrukcije. Pošto su, po uslovu, u ovim trouglovima stranice AC = A 1 C 1, i BC = B 1 C 1, onda su rezultujući trouglovi ΔB 1 C 1 C i ΔA 1 C 1 jednakokraki. Koristeći proučavano svojstvo jednakokračnih trouglova, možemo konstatovati da su uglovi ∠1 i ∠2 međusobno jednaki, kao i ∠3 i ∠4. Pošto su ovi uglovi jednaki, onda će zbir ∠1 i ∠3, kao i ∠2 i ∠4 takođe dati jednake uglove. Dakle, uglovi ∠S i ∠S 1 su jednaki. Imajući dokazano ovu činjenicu, možemo ponovo razmotriti trouglove ΔAVS i ΔA 1 V 1 S 1 , u kojima su stranice VS = V 1 S 1 i AC = A 1 S 1 prema uslovima teoreme, a dokazano je da su uglovi između njih ∠ S i ∠S 1 su također jednaki. Shodno tome, ovi trouglovi će biti jednaki prema prvom znaku jednakosti trouglova, koji je učenicima već poznat.

U drugom slučaju, kada su trouglovi superponirani, tačke C i C 1 leže na jednoj pravoj liniji koja prolazi kroz tačku B(B 1). Zbir dva trougla ΔAVS i ΔA 1 V 1 S 1 rezultira trouglom ΔSAS 1, u kojem su dvije stranice AC = A 1 S 1 jednake prema uslovima teoreme. Prema tome, ovaj trougao je jednakokraki. U jednakokračnom trouglu jednake stranice imaju jednake uglove, pa možemo reći da su uglovi ∠S=∠S 1. Iz uslova teoreme također slijedi da su stranice BC i B 1 C 1 međusobno jednake, pa su ΔABC i ΔA 1 B 1 C 1, uzimajući u obzir navedene činjenice, jednake jedna drugoj prema prvoj znak jednakosti trouglova.

Dokaz u trećem slučaju, slično kao u prva dva, koristi prvi znak jednakosti trokuta. Geometrijska figura konstruisana superponiranjem trouglova, kada je povezana segmentom vrhova C i C 1, transformiše se u trougao ΔB 1 C 1 C. Ovaj trougao je jednakokračan, jer su njegove stranice B 1 C 1 i B 1 C jednake sa stanje. A sa jednakim stranicama u jednakokračnom trouglu, uglovi ∠S i ∠S 1 su takođe jednaki. Pošto su, prema uslovima teoreme, stranice AC = A 1 C 1 jednake, onda su i uglovi kod njih u jednakokračnom trouglu ΔASS 1 takođe jednaki. Uzimajući u obzir činjenicu da su uglovi ∠C i ∠C 1 jednaki, a uglovi ∠DCA i ∠DC 1 A međusobno jednaki, onda su i uglovi ∠ACB i ∠AC 1 B jednaki. Uzimajući u obzir ovu činjenicu, da biste dokazali jednakost trokuta ΔABC i ΔA 1 B 1 C 1, možete koristiti prvi znak jednakosti trokuta, jer su dvije stranice ovih trokuta jednake prema uvjetima, a jednakost uglova između njih se dokazuje tokom rasuđivanja.

Na kraju video lekcije prikazana je važna primjena trećeg znaka jednakosti trokuta - krutosti datog geometrijska figura. Primjer objašnjava šta ova izjava znači. Primjer fleksibilnog dizajna su dvije letvice povezane ekserom. Ove letvice se mogu razdvojiti i pomicati pod bilo kojim uglom. Ako na letvice pričvrstimo još jednu, spojenu na krajevima sa postojećim letvicama, onda se dobije kruta konstrukcija u kojoj je nemoguće promijeniti kut između letvica. Nemoguće je dobiti trokut sa ovim stranicama i drugim uglovima. Ova posljedica teoreme ima važan praktični značaj. Na ekranu su prikazane inženjerske strukture u kojima se koristi ovo svojstvo trokuta.

Video lekcija „Treći kriterijum jednakosti trouglova“ olakšava nastavniku da predstavi novi materijal na ovu temu na času geometrije. Također, video tutorijal se može uspješno koristiti za učenje na daljinu matematike, pomoći će učenicima da sami razumiju složenost dokaza.

Za dva trougla se kaže da su podudarna ako se mogu spojiti preklapanjem. Slika 1 pokazuje jednake trouglovi ABC i A 1 B 1 C 1 . Svaki od ovih trouglova se može superponirati na drugi tako da su potpuno kompatibilni, odnosno da su njihovi vrhovi i stranice kompatibilni u parovima. Jasno je da će se uglovi ovih trouglova takođe podudarati u parovima.

Dakle, ako su dva trokuta podudarna, tada su elementi (tj. stranice i uglovi) jednog trougla, respektivno, jednaki elementima drugog trougla. Zapiši to u jednakim trouglovima naspram odgovarajućih jednakih stranica(tj. preklapanje kada se preklapa) jednaki uglovi leže i nazad: Jednake strane leže nasuprot, odnosno jednakih uglova.

Tako, na primjer, u jednakim trouglovima ABC i A 1 B 1 C 1, prikazanim na slici 1, nasuprot jednakih stranica AB i A 1 B 1, leže jednaki uglovi C i C 1. Jednakost trouglova ABC i A 1 B 1 C 1 označićemo na sledeći način: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Ispada da se jednakost dva trokuta može utvrditi poređenjem nekih njihovih elemenata.

Teorema 1. Prvi znak jednakosti trouglova. Ako su dvije stranice i ugao između njih jednog trougla, respektivno, jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trougla, onda su takvi trokuti podudarni (slika 2).

Dokaz. Razmotrimo trouglove ABC i A 1 B 1 C 1, u kojima je AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (vidi sliku 2). Dokažimo da je Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Budući da je ∠ A = ∠ A 1, onda se trokut ABC može superponirati na trokut A 1 B 1 C 1 tako da je vrh A poravnat sa vrhom A 1, a stranice AB i AC su redom superponirane na zrake A 1 B 1 i A 1 C 1 . Budući da će AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, tada će se strana AB poravnati sa stranom A 1 B 1, a strana AC sa stranom A 1 C 1; posebno, tačke B i B 1, C i C 1 će se poklopiti. Prema tome, stranice BC i B 1 C 1 će se poravnati. Dakle, trouglovi ABC i A 1 B 1 C 1 su potpuno kompatibilni, što znači da su jednaki.

Teorema 2 se dokazuje na sličan način primjenom metode superpozicije.

Teorema 2. Drugi znak jednakosti trouglova. Ako su stranica i dva susedna ugla jednog trougla, respektivno, jednaki strani i dva susedna ugla drugog trougla, onda su takvi trouglovi podudarni (slika 34).

Komentar. Na osnovu teoreme 2, utvrđena je teorema 3.

Teorema 3. Zbir bilo koja dva unutrašnja ugla trougla je manji od 180°.

Od posljednja teorema Slijedi teorema 4.

Teorema 4. Vanjski ugao trougla je veći od bilo kojeg unutrašnji ugao, ne uz njega.

Teorema 5. Treći znak jednakosti trouglova. Ako su tri strane jednog trougla, respektivno, jednake trima stranicama drugog trougla, onda su takvi trokuti podudarni ().

Primjer 1. U trouglovima ABC i DEF (slika 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Uporedi trouglove ABC i DEF. Koji je ugao u trouglu DEF jednak uglu B?

Rješenje. Ovi trouglovi su jednaki prema prvom znaku. Ugao F trougla DEF jednak je uglu B trougla ABC, jer ovi uglovi leže nasuprot jednakih stranica DE i AC.

Primjer 2. Segmenti AB i CD (slika 5) seku se u tački O, koja je sredina svakog od njih. Kolika je dužina segmenta BD ako je segment AC 6 m?

Rješenje. Trouglovi AOC i BOD su jednaki (prema prvom kriterijumu): ∠ AOC = ∠ BOD (vertikalno), AO = OB, CO = OD (po uslovu).
Iz jednakosti ovih trouglova slijedi da su njihove stranice jednake, tj. AC = BD. Ali pošto je prema uslovu AC = 6 m, onda je BD = 6 m.

Teorema

Dokaz

Posmatrajmo trouglove ABC i A 1 B 1 C 1, u kojima je AB = A 1 B 1, ∠A = ∠A 1, ∠B = ∠B 1 (slika 68). Dokažimo da je Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Rice. 68

Postavimo trougao ABC na trougao A 1 B 1 C 1 tako da je vrh A poravnat sa vrhom A 1, stranica AB poravnata sa stranicom AjBj koja joj je jednaka, a vrhovi C i C 1 su na istoj strani prave A 1 B 1.

Pošto ∠A = ∠A 1 i ∠B = ∠B 1, tada će se strana AC preklapati sa zrakom A 1 C 1, a strana BC će se preklapati sa zrakom B 1 C 1. Stoga će vrh C - zajednička tačka stranica AC i BC - ležati na zraku A 1 C 1 i zraku B 1 C 1 i stoga će se poklapati sa zajedničkom tačkom ovih zraka - vrhom C 1. To znači da će se stranice AC i A 1 C 1, BC i B 1 C 1 poklopiti.

Dakle, trouglovi ABC i A 1 B 1 C 1 su potpuno kompatibilni, pa su jednaki. Teorema je dokazana.

Treći znak jednakosti trouglova

Teorema

Dokaz

Posmatrajmo trouglove ABC i A 1 B 1 C 1, u kojima su AB = A 1 B 1, BC = B 1 C 1, CA = C 1 A 1 (slika 69).

Rice. 69

Dokažimo da je Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 . Primijenimo trougao ABC na trougao A 1 B 1 C 1 tako da je vrh A poravnat sa vrhom A 1, vrh B poravnat sa vrhom B 1, a vrhovi C i C 1 su na suprotnim stranama prave A 1 B 1 ( Slika 70 ).

Rice. 70

Moguća su tri slučaja: zraka C 1 C prolazi unutar ugla A 1 C 1 B 1 (slika 70, a); zraka C 1 C poklapa se sa jednom od stranica ovog ugla (sl. 70, b); zraka C 1 C prolazi izvan ugla A 1 C 1 B 1 (slika 70, c). Hajde da razmotrimo prvi slučaj (preostale slučajeve razmotrite sami).

Pošto su, prema uslovima teoreme, stranice AC i A 1 C 1, BC i B 1 C 1 jednake, onda su trouglovi A 1 C 1 C i B 1 C 1 C jednakokraki (vidi sliku 70, a). Prema teoremi o svojstvu uglova jednakokračnog trougla, ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, dakle ∠A 1 CB 1 = ∠A 1 C 1 B 1 . Dakle, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1, ∠C = ∠C 1.

Prema tome, trouglovi ABC i A 1 B 1 C 1 su jednaki prema prvom znaku jednakosti trouglova. Teorema je dokazana.

Iz trećeg kriterija jednakosti trouglova slijedi da trougao - kruta figura. Hajde da objasnimo šta ovo znači.

Zamislimo dvije letvice, čija su dva kraja pričvršćena ekserom (slika 71, a). Ovaj dizajn nije krut: pomicanjem ili širenjem slobodnih krajeva letvica možemo promijeniti kut između njih. Sada uzmimo još jednu letvu i pričvrstimo njene krajeve sa slobodnim krajevima prve dvije letvice (slika 71, b).

Rice. 71

Dobivena struktura - trokut - već će biti kruta. Nemoguće je pomjeriti ili razdvojiti bilo koje dvije strane, tj. ni jedan ugao se ne može promijeniti. Zaista, da je to moguće, onda bismo dobili novi trokut, koji nije jednak originalnom. Ali to je nemoguće, budući da novi trokut mora biti jednak originalnom prema trećem kriteriju jednakosti trokuta.

Ovo svojstvo - krutost trokuta - široko se koristi u praksi. Dakle, da bi se stub učvrstio u vertikalnom položaju, na njega se postavlja oslonac (Sl. 72, a); isti princip se koristi prilikom ugradnje konzole (Sl. 72, b).

Rice. 72

Zadaci

121. Segmenti AB i CD seku se u sredini O segmenta AB, ∠OAD = ∠OBC.

a) Dokazati da je Δ SBO = Δ DAO;
b) pronađite BC i CO ako je CD = 26 cm, AD = 15 cm.

122. Na slici 53 (vidi str. 31) ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.

a) Dokazati da je Δ ABC = Δ CDA;
b) pronađite AB i BC ako je AO = 19 cm, CD = 11 cm.

123. Tačka D je uzeta na simetrali ugla A, a tačke B i C su uzete na stranicama ovog ugla tako da je ∠ADB = ∠ADC. Dokazati da je BD = CD.

124. Na osnovu podataka sa slike 73 dokazati da je OP = OT, ∠P = ∠T.

Rice. 73

125. Na slici 74, ∠DAC = ∠DBC, AO = VO. Dokazati da je ∠C = ∠D i AC = BD.

Rice. 74

126. Na slici 74, ∠DAB = ∠CBA, ∠CAB = ∠DBA, AC =13 cm.

127. U trouglovima ABC i A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, BC = B 1 C 1, ∠B - ∠B 1. Na stranama AB i A 1 B 1 označene su tačke D i D 1 tako da je ∠ACO = ∠A 1 C 1 D 1 . Dokazati da je Δ BCD = Δ B 1 C 1 D 1 .

128. Dokaži da su u jednakim trouglovima simetrale povučene na odgovarajuće jednake stranice jednake.

129. Segmenti AC i BD seku se u sredini O segmenta AC, ∠BCO = ∠DAO. Dokazati da je Δ BOA = Δ DOC.

130. U trouglovima ABC i A 1 B 1 C 1, segmenti CO i C 1 O 1 su medijane, BC = B 1 C 1, ∠B - ∠B 1 i ∠C = ∠C 1. dokazati da:

a) Δ ASO = Δ A 1 C 1 O 1;
b) Δ BCO = Δ B 1 C 1 O.

131. U trouglovima DEF i MNP, EF - NP, DF = MP i ∠F = ∠P. Simetrale uglova E i D seku se u tački O, a simetrale uglova M i N seku u tački K. Dokazati da je ∠DOE = ∠MKN.

132. Prava okomita na simetralu ugla A seče stranice ugla u tačkama M i N. Dokazati da je trougao AMN jednakokrak.

133. Dokazati da ako je simetrala trougla njegova visina, onda je trougao jednakokrak.

134. Dokazati da su jednakokraki trouglovi podudarni ako su osnova i susedni ugao jednog trougla jednaki osnovici i susednom uglu drugog trougla.

135. Dokažite da ako je stranica jednog jednakostraničnog trougla jednaka stranici drugog jednakostraničnog trougla, onda su trouglovi podudarni.

136. Na slici 52 (vidi str. 31) AB-AC, BD = DC i ∠BAC = 50°. Pronađite ∠CAD.

137. Na slici 53 (vidi str. 31) BC = AD, AB = CD. Dokazati da je ∠B = ∠D.

138. Na slici 75, AB = CD i BD = AC. Dokazati da je: a) ∠CAD = ∠ADB; b) ∠BAC = ∠CDB.

Rice. 75

139. Na slici 76, AB = CD, AD = BC, BE je simetrala ugla ABC, a DF je simetrala ugla ADC. dokazati da:

a) ∠ABE = ∠ADF;
b) Δ ABE = Δ CDF.

Rice. 76

140. U trouglovima ABC i A 1 B 1 C 1, medijane BM i B 1 M 1 su jednake, AB = A 1 B 1 AC = A 1 C 1. Dokazati da je Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

141. U trouglovima ABC i A 1 B 1 C 1, segmenti AD i A 1 D 1 su simetrale, AB = A 1 B 1, BD = B 1 D 1 i AD = A 1 D 1. Dokazati da je Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

142. Jednakokraki trouglovi ADC i BCD imaju zajedničku osnovu DC. Prava AB seče segment CD u tački O. Dokazati da je: a) ∠ADB = ∠ACB; b) DO = OC.

Odgovori na probleme

121. b) BC = 15 cm, CO = 13 cm.

122. b) AB = 11 cm, BC = 19 cm.

142. Uputstvo. Razmotrimo dva slučaja. Tačka B leži: a) na zraci AO; b) na nastavku grede AO.

Drugi znak jednakosti trouglova

Ako su stranica i dva susjedna ugla jednog trougla, respektivno, jednaki strani i dva susjedna ugla drugog trougla, tada su takvi trouglovi podudarni.

MN = PR N = R M = P

Kao iu dokazu prvog znaka, morate se uvjeriti da li je to dovoljno da trokuti budu jednaki, da li se mogu potpuno kombinirati?

1. Pošto je MN = PR, onda se ovi segmenti kombinuju ako se kombinuju njihove krajnje tačke.

2. Pošto je N = R i M = P, zraci \(MK\) i \(NK\) će se preklapati sa zracima \(PT\) i \(RT\), respektivno.

3. Ako se zrake poklapaju, tada se njihove presječne točke \(K\) i \(T\) poklapaju.

4. Svi vrhovi trouglova su poravnati, odnosno Δ MNK i Δ PRT su potpuno poravnati, što znači da su jednaki.

Treći znak jednakosti trouglova

Ako su tri strane jednog trougla respektivno jednake trima stranicama drugog trougla, onda su takvi trouglovi podudarni.

MN = PR KN = TR MK = PT

Pokušajmo ponovo kombinirati trokute Δ MNK i Δ PRT preklapanjem i pobrinuti se da odgovarajuće jednake stranice garantuju da su odgovarajući uglovi ovih trokuta jednaki i da će se potpuno poklopiti.

Kombinirajmo, na primjer, identične segmente \(MK\) i \(PT\). Pretpostavimo da se tačke \(N\) i \(R\) ne poklapaju.

Neka je \(O\) središte segmenta \(NR\). Prema ovim informacijama, MN = PR, KN = TR. Trokuti \(MNR\) i \(KNR\) su jednakokraki sa zajedničkom osnovom \(NR\).

Stoga su njihove medijane \(MO\) i \(KO\) visine, što znači da su okomite na \(NR\). Prave \(MO\) i \(KO\) se ne poklapaju, jer tačke \(M\), \(K\), \(O\) ne leže na istoj pravoj. Ali kroz tačku \(O\) prave \(NR\) može se povući samo jedna prava okomita na nju. Došli smo do kontradikcije.

Dokazano je da se vrhovi \(N\) i \(R\) moraju poklapati.

Treći znak nam omogućava da trokut nazovemo vrlo snažnom, stabilnom figurom, ponekad tako kažu trougao - kruta figura . Ako se dužine stranica ne mijenjaju, ne mijenjaju se ni uglovi. Na primjer, četverougao nema ovo svojstvo. Stoga su različiti oslonci i utvrde napravljeni trokutasti.

Ali ljudi već duže vrijeme procjenjuju i ističu posebnu stabilnost, stabilnost i savršenstvo broja \(3\).

Bajke govore o tome.

Tamo srećemo “Tri medveda”, “Tri vetra”, “Tri praseta”, “Tri druga”, “Tri brata”, “Tri srećnika”, “Tri zanatlije”, “Tri princa”, “Tri prijatelja”, “Tri heroja” itd.

Daju se „tri pokušaja“, „tri saveta“, „tri uputstva“, „tri sastanka“, „tri želje“ se ispune, treba izdržati „tri dana“, „tri noći“, „tri godine“, proći “tri stanja” “, “tri podzemna kraljevstva“, izdržati “tri testa”, zaploviti kroz “tri mora”.

1) na dvije strane i ugao između njih

dokaz:

Neka trouglovi ABC i A 1 B 1 C 1 imaju ugao A jednak uglu A 1, AB jednak A 1 B 1, AC jednak A 1 C 1. Dokažimo da su trouglovi podudarni.

Nametnimo trougao ABC (ili simetrično prema njemu) na trougao A 1 B 1 C 1 tako da je ugao A poravnat sa uglom A 1 . Pošto AB=A 1 B 1, i AC=A 1 C 1, onda će se B poklapati sa B 1, a C će se poklapati sa C 1. To znači da se trougao A 1 B 1 C 1 poklapa sa trouglom ABC, pa je jednako trouglu ABC.

Teorema je dokazana.

2) duž bočnih i susjednih uglova

dokaz:

Neka su ABC i A 1 B 1 C 1 dva trougla u kojima je AB jednak A 1 B 1, ugao A jednak uglu A 1, a ugao B jednak uglu B 1. Dokažimo da su jednaki.

Nametnimo trougao ABC (ili simetrično prema njemu) na trougao A 1 B 1 C 1 tako da se AB poklapa sa A 1 B 1. Kako je ∠BAC =∠B 1 A 1 C 1 i ∠ABC=∠A 1 B 1 C 1, tada će se zraka AC poklopiti sa A 1 C 1 i BC će se poklopiti sa B 1 C 1. Slijedi da se vrh C poklapa sa C 1. To znači da se trougao A 1 B 1 C 1 poklapa sa trouglom ABC, pa je prema tome jednak trouglu ABC.

Teorema je dokazana.

3) na tri strane

Dokaz:

Razmotrimo trouglove ABC i A l B l C 1, u kojima je AB = A 1 B 1, BC = B l C 1 CA = C 1 A 1. Dokažimo da je ΔAVS = ΔA 1 B 1 C 1.

Primijenimo trougao ABC (ili simetrično prema njemu) na trougao A 1 B 1 C 1 tako da je vrh A poravnat sa vrhom A 1 , vrh B je poravnat sa vrhom B 1 , a vrhovi C i C 1 su na suprotnim stranama prave A 1 B 1 . Razmotrimo 3 slučaja:

1) Zraka C 1 C prolazi unutar ugla A 1 C 1 B 1. Kako su, prema uslovima teoreme, stranice AC i A 1 C 1, BC i B 1 C 1 jednake, onda su trouglovi A 1 C 1 C i B 1 C 1 C jednakokraki. Prema teoremi o svojstvu uglova jednakokračnog trougla, ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, dakle ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .

2) Zraka C 1 C poklapa se sa jednom od stranica ovog ugla. A leži na CC 1. AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, C 1 BC - jednakokraki, ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1.

3) Zraka C 1 C prolazi izvan ugla A 1 C 1 B 1. AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, što znači ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1.

Dakle, AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, ∠C=∠C 1. Dakle, trouglovi ABC i A 1 B 1 C 1 su jednaki
prvi kriterijum za jednakost trouglova.

Teorema je dokazana.

2. Dijeljenje segmenta na n jednakih dijelova.

Nacrtajte zrak kroz A, rasporedite na njega n jednakih segmenata. Povucite pravu liniju kroz B i A n i paralelne prave kroz tačke A 1 - A n -1. Označimo njihove tačke preseka sa AB. Dobijamo n segmenata koji su jednaki prema Talesovoj teoremi.

Talesova teorema. Ako je nekoliko jednakih segmenata postavljeno uzastopno na jednu od dvije linije i paralelne linije se povuku kroz njihove krajeve koji sijeku drugu liniju, tada će odsjeći jednake segmente na drugoj liniji.

Dokaz.

AB=CD

1. Nacrtajte prave linije kroz tačke A i C paralelne sa drugom stranom ugla. Dobijamo dva paralelograma AB 2 B 1 A 1 i CD 2 D 1 C 1. Prema svojstvu paralelograma: AB 2 = A 1 B 1 i CD 2 = C 1 D 1.
2. ΔABB 2 =ΔCDD 2 ABB 2 CDD 2 BAB 2 DCD 2 i jednaki su na osnovu drugog kriterijuma za jednakost trokuta:
AB = CD prema teoremi,

kao odgovarajući, formirani na preseku paralelnih BB 1 i DD 1 prave BD. 3. Slično, svaki od uglova ispada da je jednaka uglu

4. A 1 B 1 = AB 2 = CD 2 = C 1 D 1