Prosječan nivo

Paralelogram, pravougaonik, romb, kvadrat (2019)

1. Paralelogram

Složena riječ "paralelogram"? A iza toga je vrlo jednostavna figura.

Pa, to jest, uzeli smo dvije paralelne prave:

Prešli još dva:

A unutra - paralelogram!

Koja su svojstva paralelograma?

Svojstva paralelograma.

Odnosno, šta se može koristiti ako je u zadatku dat paralelogram?

Na ovo pitanje odgovara sljedeća teorema:

Nacrtajmo sve detaljno.

Šta radi prva tačka teoreme? I činjenica da ako IMATE paralelogram, onda svakako

Drugi paragraf znači da ako postoji paralelogram, onda, opet, svakako:

Pa, i konačno, treća tačka znači da ako IMATE paralelogram, onda budite sigurni:

Vidite kakvo bogatstvo izbora? Šta koristiti u zadatku? Pokušajte se usredotočiti na pitanje zadatka ili jednostavno pokušajte sve redom - neka vrsta "ključa" će učiniti.

A sada postavimo sebi još jedno pitanje: kako prepoznati paralelogram "u licu"? Šta se mora dogoditi sa četverouglom da bismo imali pravo da mu damo “naslov” paralelograma?

Na ovo pitanje odgovara nekoliko znakova paralelograma.

Karakteristike paralelograma.

Pažnja! Počni.

Paralelogram.

Obratite pažnju: ako ste pronašli barem jedan znak u svom problemu, onda imate tačno paralelogram i možete koristiti sva svojstva paralelograma.

2. Pravougaonik

Mislim da vam to uopšte neće biti novost.

Prvo pitanje je: da li je pravougaonik paralelogram?

Naravno da jeste! Na kraju krajeva, on ima - zapamtite, naš znak 3?

A odavde, naravno, slijedi da su za pravougaonik, kao i za bilo koji paralelogram, i, i dijagonale podijeljene presječnom točkom na pola.

Ali postoji pravougaonik i jedno posebno svojstvo.

Svojstvo pravokutnika

Zašto je ovo svojstvo prepoznatljivo? Jer nijedan drugi paralelogram nema jednake dijagonale. Hajde da to jasnije formulišemo.

Obratite pažnju: da bi postao pravougaonik, četvorougao prvo mora da postane paralelogram, a zatim da prikaže jednakost dijagonala.

3. Dijamant

I opet se postavlja pitanje: da li je romb paralelogram ili nije?

Sa punim desnim - paralelogram, jer ima i (zapamtite naš znak 2).

I opet, pošto je romb paralelogram, onda mora imati sva svojstva paralelograma. To znači da romb ima jednake suprotne uglove, suprotne strane su paralelne, a dijagonale su podijeljene točkom presjeka.

Rhombus Properties

Pogledaj sliku:

Kao iu slučaju pravougaonika, ova svojstva su distinktivna, odnosno za svako od ovih svojstava možemo zaključiti da nemamo samo paralelogram, već romb.

Znakovi romba

I opet obratite pažnju: ne bi trebao postojati samo četverougao s okomitim dijagonalama, već i paralelogram. Budi siguran:

Ne, naravno da ne, iako su njegove dijagonale i okomite, a dijagonala je simetrala uglova u. Ali ... dijagonale se ne dijele, tačka presjeka na pola, dakle - NIJE paralelogram, a time ni romb.

To jest, kvadrat je pravougaonik i romb u isto vrijeme. Da vidimo šta će ispasti iz ovoga.

Je li jasno zašto? - romb - simetrala ugla A, koja je jednaka. Dakle, dijeli se (i također) na dva ugla duž.

Pa, sasvim je jasno: dijagonale pravougaonika su jednake; Dijagonale romba su okomite, a općenito - dijagonale paralelograma podijeljene su točkom presjeka na pola.

PROSJEČAN NIVO

Svojstva četvorouglova. Paralelogram

Svojstva paralelograma

Pažnja! Riječi " svojstva paralelograma» znači da ako imate zadatak tu je paralelogram, onda se može koristiti sve od sljedećeg.

Teorema o svojstvima paralelograma.

U bilo kom paralelogramu:

Da vidimo zašto je to istina, drugim riječima MI ĆEMO DOKAZATI teorema.

Pa zašto je 1) istina?

Pošto je paralelogram, onda:

• kao ležanje popreko
• kao ležeći popreko.

Dakle, (po II osnovi: i - općenito.)

Pa, jednom, onda - to je to! - dokazano.

Ali usput! Dokazali smo i 2)!

Zašto? Ali ipak (pogledajte sliku), odnosno, jer.

Još samo 3).

Da biste to učinili, još uvijek morate nacrtati drugu dijagonalu.

I sada to vidimo - prema II znaku (ugao i stranica "između" njih).

Provjerena svojstva! Pređimo na znakove.

Karakteristike paralelograma

Podsjetimo da znak paralelograma odgovara na pitanje "kako saznati?" Da je figura paralelogram.

U ikonama je ovako:

Zašto? Bilo bi lijepo razumjeti zašto - dosta je. ali pogledaj:

Pa, shvatili smo zašto je znak 1 tačan.

Pa, to je još lakše! Povucimo ponovo dijagonalu.

Što znači:

I je takođe lako. Ali… drugačije!

Znači,. Vau! Ali isto tako - unutrašnje jednostrano na sekanti!

Dakle činjenica da to znači.

A ako pogledate s druge strane, onda su one unutrašnje jednostrane na sekanti! I zbog toga.

Vidite kako je super?!

I opet jednostavno:

Potpuno isto, i.

Obrati pažnju: ako ste našli najmanje jedan znak paralelograma u vašem problemu, onda imate upravo paralelogram i možete koristiti svima svojstva paralelograma.

Za potpunu jasnoću pogledajte dijagram:

Svojstva četvorouglova. Pravougaonik.

Svojstva pravougaonika:

Tačka 1) je sasvim očigledna - na kraju krajeva, znak 3 () je jednostavno ispunjen

I tačka 2) - veoma važno. Pa hajde da dokažemo to

Dakle, na dvije noge (i - generalno).

Pa, pošto su trouglovi jednaki, onda su i njihove hipotenuze jednake.

Dokazao to!

I zamislite, jednakost dijagonala je karakteristično svojstvo pravokutnika među svim paralelogramima. Odnosno, tačna je sljedeća izjava

Da vidimo zašto?

Dakle, (što znači uglove paralelograma). Ali još jednom, zapamtite to - paralelogram, i stoga.

Znači,. I, naravno, iz ovoga proizilazi da svaki od njih Uostalom, u iznosu koji bi trebali dati!

Ovdje smo dokazali da ako paralelogram odjednom (!) će biti jednake dijagonale, onda ovo tačno pravougaonik.

Ali! Obrati pažnju! Ovo je otprilike paralelograma! Ne bilo koječetverougao s jednakim dijagonalama je pravougaonik, i samo paralelogram!

Svojstva četvorouglova. Rhombus

I opet se postavlja pitanje: da li je romb paralelogram ili nije?

Sa punim desnim - paralelogram, jer ima i (Zapamtite naš znak 2).

I opet, pošto je romb paralelogram, on mora imati sva svojstva paralelograma. To znači da romb ima jednake suprotne uglove, suprotne strane su paralelne, a dijagonale su podijeljene točkom presjeka.

Ali postoje i posebna svojstva. Mi formulišemo.

Rhombus Properties

Zašto? Pa, pošto je romb paralelogram, onda su njegove dijagonale podijeljene na pola.

Zašto? Da, zato!

Drugim riječima, ispostavilo se da su dijagonale i simetrale uglova romba.

Kao iu slučaju pravougaonika, ova svojstva su prepoznatljiv, svaki od njih je ujedno i znak romba.

Rombovi znakovi.

Žašto je to? I pogledaj

Dakle, i oboje ovi trouglovi su jednakokraki.

Da bi bio romb, četverougao prvo mora "postati" paralelogram, a zatim već pokazati osobinu 1 ili osobinu 2.

Svojstva četvorouglova. Square

To jest, kvadrat je pravougaonik i romb u isto vrijeme. Da vidimo šta će ispasti iz ovoga.

Je li jasno zašto? Kvadrat - romb - simetrala ugla, koja je jednaka. Dakle, dijeli se (i također) na dva ugla duž.

Pa, sasvim je jasno: dijagonale pravougaonika su jednake; Dijagonale romba su okomite, a općenito - dijagonale paralelograma podijeljene su točkom presjeka na pola.

Zašto? Pa, samo primijenite Pitagorinu teoremu na.

SAŽETAK I OSNOVNA FORMULA

Svojstva paralelograma:

1. Suprotne strane su jednake: , .
2. Suprotni uglovi su: , .
3. Uglovi na jednoj strani su: , .
4. Dijagonale su podijeljene presječnom točkom na pola: .

Svojstva pravougaonika:

1. Dijagonale pravougaonika su: .
2. Pravougaonik je paralelogram (za pravougaonik su ispunjena sva svojstva paralelograma).

Svojstva romba:

1. Dijagonale romba su okomite: .
2. Dijagonale romba su simetrale njegovih uglova: ; ; ; .
3. Romb je paralelogram (sva svojstva paralelograma su ispunjena za romb).

Kvadratna svojstva:

Kvadrat je istovremeno i romb i pravougaonik, stoga su za kvadrat ispunjena sva svojstva pravokutnika i romba. Kao i.

Paralelogram je četvorougao čije su suprotne strane paralelne, odnosno leže na paralelnim pravima (slika 1).

Teorema 1. O svojstvima stranica i uglova paralelograma. U paralelogramu su suprotne strane jednake, suprotni uglovi jednaki, a zbir uglova susednih jednoj strani paralelograma je 180°.

Dokaz. U ovom paralelogramu ABCD nacrtajte dijagonalu AC i dobijete dva trougla ABC i ADC (slika 2).

Ovi trouglovi su jednaki, jer je ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (unakrsni uglovi kod paralelnih pravih), a stranica AC je zajednička. Iz jednakosti Δ ABC = Δ ADC slijedi da je AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Zbir uglova susjednih jednoj strani, na primjer, uglova A i D, jednak je 180 ° kao jedan -strano sa paralelnim linijama. Teorema je dokazana.

Komentar. Jednakost suprotnih strana paralelograma znači da su segmenti paralelnih odsječenih paralelogramima jednaki.

Posledica 1. Ako su dve prave paralelne, onda su sve tačke jedne prave na istoj udaljenosti od druge prave.

Dokaz. Zaista, neka || b (slika 3).

Nacrtajmo iz neke dvije tačke B i C prave b okomite BA i CD na pravu a. Od AB || CD, onda je lik ABCD paralelogram, pa je AB = CD.

Udaljenost između dvije paralelne prave je udaljenost od proizvoljne tačke na jednoj od pravih do druge prave.

Prema onome što je dokazano, jednaka je dužini okomice povučene iz neke tačke jedne od paralelnih pravih do druge prave.

Primjer 1 Opseg paralelograma je 122 cm, jedna od njegovih stranica je 25 cm duža od druge. Nađite stranice paralelograma.

Rješenje. Prema teoremi 1, suprotne strane paralelograma su jednake. Označimo jednu stranu paralelograma sa x, a drugu sa y. Tada pod uslovom $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Rješavanjem ovog sistema dobijamo x = 43, y = 18. Dakle, stranice paralelograma su 18, 43, 18 i 43 cm.

Primjer 2

Rješenje. Neka slika 4 odgovara uslovu problema.

Označite AB sa x i BC sa y. Pod uslovom, obim paralelograma je 10 cm, tj. 2(x + y) = 10, ili x + y = 5. Obim trougla ABD je 8 cm. A pošto je AB + AD = x + y = 5 , tada je BD = 8 - 5 = 3 . Dakle BD = 3 cm.

Primjer 3 Pronađite uglove paralelograma, znajući da je jedan od njih za 50° veći od drugog.

Rješenje. Neka slika 5 odgovara uslovu problema.

Označimo stepensku mjeru ugla A sa x. Tada je stepen stepena ugla D x + 50°.

Uglovi BAD i ADC su unutrašnji jednostrani sa paralelnim pravima AB i DC i sekantom AD. Tada će zbir ovih imenovanih uglova biti 180°, tj.
x + x + 50° = 180°, ili x = 65°. Dakle, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Primjer 4 Stranice paralelograma su 4,5 dm i 1,2 dm. Iz vrha oštrog ugla povučena je simetrala. Na koje dijelove dijeli dužu stranu paralelograma?

Rješenje. Neka slika 6 odgovara uslovu problema.

AE je simetrala oštrog ugla paralelograma. Dakle, ∠ 1 = ∠ 2.

Video kurs "Osvoji A" obuhvata sve teme neophodne za uspešno polaganje ispita iz matematike za 60-65 poena. U potpunosti svi zadaci 1-13 Profila USE iz matematike. Pogodan i za polaganje Osnovnog USE iz matematike. Ako želite da položite ispit sa 90-100 bodova, potrebno je da 1. dio riješite za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanista.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadataka Banke FIPI. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima USE-2018.

Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine ispitnih zadataka. Tekstovni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih tipova USE zadataka. Stereometrija. Lukavi trikovi za rješavanje, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Vizuelno objašnjenje složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.

Kao iu euklidskoj geometriji, tačka i prava linija su glavni elementi teorije ravni, pa je paralelogram jedna od ključnih figura konveksnih četvorouglova. Iz njega, poput niti iz lopte, teku koncepti "pravougaonika", "kvadrata", "romba" i drugih geometrijskih veličina.

U kontaktu sa

Definicija paralelograma

konveksan četvorougao, koji se sastoji od segmenata, od kojih je svaki par paralelan, poznat je u geometriji kao paralelogram.

Kako izgleda klasični paralelogram je četverougao ABCD. Stranice se nazivaju osnovice (AB, BC, CD i AD), okomice povučene iz bilo kojeg vrha na suprotnu stranu ovog vrha nazivaju se visinom (BE i BF), prave AC i BD su dijagonale.

Pažnja! Kvadrat, romb i pravougaonik su posebni slučajevi paralelograma.

Stranice i uglovi: karakteristike omjera

Ključna svojstva, uglavnom, unaprijed određeno samom oznakom, oni su dokazani teoremom. Ove karakteristike su sljedeće:

1. Strane koje su suprotne su identične u paru.
2. Uglovi koji su suprotni jedan drugom jednaki su u parovima.

Dokaz: razmotrite ∆ABC i ∆ADC, koji se dobijaju dijeljenjem četverougla ABCD pravom AC. ∠BCA=∠CAD i ∠BAC=∠ACD, pošto im je AC zajednički (vertikalni uglovi za BC||AD i AB||CD, respektivno). Iz ovoga slijedi: ∆ABC = ∆ADC (drugi kriterij jednakosti trouglova).

Segmenti AB i BC u ∆ABC odgovaraju u parovima linijama CD i AD u ∆ADC, što znači da su identični: AB = CD, BC = AD. Dakle, ∠B odgovara ∠D i oni su jednaki. Pošto su ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, koji su takođe identični u parovima, onda je ∠A = ∠C. Imovina je dokazana.

Karakteristike dijagonala figure

Glavna karakteristika ove paralelogramske prave: tačka preseka ih deli na pola.

Dokaz: neka je m. E presjek dijagonala AC i BD figure ABCD. Oni formiraju dva srazmerna trougla - ∆ABE i ∆CDE.

AB=CD jer su suprotne. Prema linijama i sekantima, ∠ABE = ∠CDE i ∠BAE = ∠DCE.

Prema drugom znaku jednakosti, ∆ABE = ∆CDE. To znači da su elementi ∆ABE i ∆CDE: AE = CE, BE = DE i, štaviše, oni su srazmjerni dijelovi AC i BD. Imovina je dokazana.

Karakteristike susjednih uglova

Na susjednim stranama zbir uglova je 180°, budući da leže na istoj strani paralelnih pravih i sekanse. Za četvorougao ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Svojstva simetrale:

1. , spušteni na jednu stranu, su okomiti;
2. suprotni vrhovi imaju paralelne simetrale;
3. trokut dobijen povlačenjem simetrale bit će jednakokračan.

Određivanje karakteristika paralelograma teoremom

Karakteristike ove figure proizlaze iz njene glavne teoreme, koja glasi: četvorougao se smatra paralelogramom u slučaju da se njegove dijagonale sijeku, a ova tačka ih dijeli na jednake segmente.

Dokaz: Neka se prave AC i BD četverougla ABCD sijeku u t. E. Kako je ∠AED = ∠BEC, a AE+CE=AC BE+DE=BD, onda je ∆AED = ∆BEC (prema prvom znaku jednakosti trouglova). To jest, ∠EAD = ∠ECB. Oni su takođe unutrašnji uglovi ukrštanja sekante AC za prave AD i BC. Dakle, po definiciji paralelizma - AD || BC. Slično svojstvo pravih BC i CD je također izvedeno. Teorema je dokazana.

Izračunavanje površine figure

Područje ove figure nalazi na nekoliko načina jedan od najjednostavnijih: množenje visine i osnove na koju je nacrtana.

Dokaz: Nacrtajte okomite BE i CF iz vrhova B i C. ∆ABE i ∆DCF su jednaki jer su AB = CD i BE = CF. ABCD je jednak pravougaoniku EBCF, jer se i oni sastoje od proporcionalnih figura: S ABE i S EBCD, kao i S DCF i S EBCD. Iz toga slijedi da je površina ove geometrijske figure ista kao i pravokutnika:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Da bismo odredili opću formulu za površinu paralelograma, označavamo visinu kao hb, i sa strane b. odnosno:

Drugi načini za pronalaženje područja

Proračuni površine kroz stranice paralelograma i ugla, koji oni formiraju, je druga poznata metoda.

,

Spr-ma - područje;

a i b su njegove stranice

α - ugao između segmenata a i b.

Ova metoda je praktično zasnovana na prvoj, ali u slučaju da je nepoznata. uvijek odsijeca pravougaoni trougao čiji se parametri nalaze trigonometrijskim identitetima, tj. Transformirajući omjer, dobijamo . U jednadžbi prve metode zamjenjujemo visinu ovim proizvodom i dobivamo dokaz valjanosti ove formule.

Kroz dijagonale paralelograma i ugla, koje stvaraju kada se ukrštaju, također možete pronaći područje.

Dokaz: AC i BD koji se seku formiraju četiri trougla: ABE, BEC, CDE i AED. Njihov zbir je jednak površini ovog četvorougla.

Površina svakog od ovih ∆ može se naći iz izraza , gdje je a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Budući da se u proračunima koristi jedna vrijednost sinusa. To je . Budući da AE+CE=AC= d 1 i BE+DE=BD= d 2 , formula površine se svodi na:

.

Primjena u vektorskoj algebri

Karakteristike sastavnih delova ovog četvorougla našle su primenu u vektorskoj algebri, i to: sabiranje dva vektora. Pravilo paralelograma to kaže ako su dati vektoriinesu kolinearni, onda će njihov zbir biti jednak dijagonali ove figure, čije baze odgovaraju ovim vektorima.

Dokaz: sa proizvoljno izabranog početka - tj. - gradimo vektore i . Zatim gradimo paralelogram OASV, gdje su segmenti OA i OB stranice. Dakle, OS leži na vektoru ili zbiru.

Formule za izračunavanje parametara paralelograma

Identiteti se daju pod sledećim uslovima:

1. a i b, α - stranice i ugao između njih;
2. d 1 i d 2 , γ - dijagonale i u tački njihovog preseka;
3. h a i h b - visine spuštene na strane a i b;

Parametar	Formula
Pronalaženje strana
duž dijagonala i kosinusa ugla između njih
dijagonalno i bočno
kroz visinu i suprotni vrh
Pronalaženje dužine dijagonala
na stranama i veličini vrha između njih

Paralelogram je četverougao kod kojeg su suprotne strane po paru paralelne.

Paralelogram ima sva svojstva četvorougla, ali ima i svoje karakteristike. Poznavajući ih, lako možemo pronaći obje strane i uglove paralelograma.

Svojstva paralelograma

1. Zbir uglova u bilo kojem paralelogramu, kao iu svakom četverokutu, je 360°.
2. Srednje linije paralelograma i njegove dijagonale seku se u jednoj tački i dijele je popola. Ova tačka se naziva središte simetrije paralelograma.
3. Suprotne strane paralelograma su uvijek jednake.
4. Također, ova figura uvijek ima jednake suprotne uglove.
5. Zbir uglova susednih sa obe strane paralelograma je uvek 180°.
6. Zbir kvadrata dijagonala paralelograma jednak je dvostrukom zbiru kvadrata njegove dvije susjedne strane. To se izražava formulom:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), gdje su d 1 i d 2 dijagonale, a i b su susjedne stranice.
7. Kosinus tupog ugla je uvek manji od nule.

Kako pronaći uglove datog paralelograma, primjenjujući ta svojstva u praksi? A koje nam druge formule mogu pomoći u tome? Razmotrite specifične zadatke koji zahtijevaju: pronađite uglove paralelograma.

Pronalaženje uglova paralelograma

Slučaj 1. Mjera tupog ugla je poznata, potrebno je pronaći oštar ugao.

Primjer: U paralelogramu ABCD, ugao A je 120°. Pronađite mjeru preostalih uglova.

Rješenje: Koristeći svojstvo br. 5, možemo pronaći mjeru ugla B pored ugla datog u zadatku. Biće jednako:

• 180°-120°= 60°

I sada, koristeći svojstvo #4, utvrđujemo da su dva preostala ugla C i D suprotna uglovima koje smo već pronašli. Ugao C je suprotan uglu A, ugao D je suprotan uglu B. Dakle, oni su jednaki u parovima.

• Odgovor: B=60°, C=120°, D=60°

Slučaj 2. Poznate su dužine stranica i dijagonale

U ovom slučaju trebamo koristiti kosinusnu teoremu.

Prvo možemo pomoću formule izračunati kosinus ugla koji nam je potreban, a zatim pomoću posebne tablice pronaći koliko je sam ugao jednak.

Za oštar ugao, formula je:

• cosa \u003d (A² + B² - d²) / (2 * A * B), gdje je
• a je željeni oštri ugao,
• A i B su stranice paralelograma
• d - manja dijagonala

Za tupi ugao formula se neznatno mijenja:

• cosß \u003d (A² + B² - D²) / (2 * A * B), gdje je
• ß je tup ugao,
• A i B su strane
• D - velika dijagonala

Primjer: treba pronaći oštar ugao paralelograma čije su stranice 6 cm i 3 cm, a manja dijagonala 5,2 cm

Zamjenjujemo vrijednosti u formulu za pronalaženje oštrog ugla:

• cosa = (6 2 + 3 2 - 5,2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27,04) / (2 * 18) = 17,96/36 ~ 18/36 ~1/2
• cosa = 1/2. Prema tabeli, saznajemo da je željeni ugao 60 °.