Uputstvo

Metoda sabiranja.
Morate napisati dva striktno jedno ispod drugog:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
U proizvoljno odabranu (iz sistema) jednačinu ubacite broj 11 umjesto već pronađene "igre" i izračunajte drugu nepoznatu:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Odgovor ovog sistema jednačina: x=116, y=11.

Grafički način.
Sastoji se u praktičnom pronalaženju koordinata tačke u kojoj se prave matematički upisuju u sistem jednačina. Trebalo bi da nacrtate grafike obe linije zasebno u istom koordinatnom sistemu. Opšti pogled: - y = kx + b. Za konstruiranje prave linije dovoljno je pronaći koordinate dvije tačke, a x se bira proizvoljno.
Neka je sistem zadan: 2x - y = 4

Y \u003d -3x + 1.
Ravna linija je izgrađena prema prvoj, radi praktičnosti treba je zapisati: y = 2x-4. Smislite (lakše) vrijednosti za x, zamijenite ga u jednadžbu, riješite ga, pronađite y. Dobivaju se dvije tačke duž kojih se gradi prava linija. (vidi sliku.)
x 0 1

y -4 -2
Prava linija je konstruirana prema drugoj jednadžbi: y = -3x + 1.
Takođe izgradite liniju. (vidi sliku.)

1-5
Nađite koordinate presečne tačke dve konstruisane prave na grafu (ako se prave ne seku, onda sistem jednačina nema - dakle).

Povezani video zapisi

Korisni savjeti

Ako se isti sistem jednačina riješi na tri različita načina, odgovor će biti isti (ako je rješenje tačno).

Izvori:

• Algebra 8 razred
• riješiti jednačinu sa dvije nepoznate na mreži
• Primjeri rješavanja sistema linearnih jednačina sa dva

Sistem jednačine je kolekcija matematičkih zapisa, od kojih svaki sadrži određeni broj varijabli. Postoji nekoliko načina za njihovo rješavanje.

Trebaće ti

• -Lenjir i olovka;
• -kalkulator.

Uputstvo

Razmotrimo redoslijed rješavanja sistema koji se sastoji od linearnih jednačina koje imaju oblik: a1x + b1y = c1 i a2x + b2y = c2. Gdje su x i y nepoznate varijable, a b,c slobodni članovi. Prilikom primjene ove metode, svaki sistem je koordinate tačaka koje odgovaraju svakoj jednačini. Prvo, u svakom slučaju izrazite jednu varijablu u terminima druge. Zatim postavite varijablu x na bilo koji broj vrijednosti. Dva su dovoljna. Uključite u jednačinu i pronađite y. Izgradite koordinatni sistem, označite dobijene tačke na njemu i povucite pravu liniju kroz njih. Slični proračuni se moraju izvršiti i za druge dijelove sistema.

Sistem ima jedinstveno rešenje ako se konstruisane prave seku i imaju jednu zajedničku tačku. Nedosljedno je ako su paralelne jedna s drugom. I ima beskonačno mnogo rješenja kada se linije spajaju jedna s drugom.

Ova metoda se smatra vrlo jasnom. Glavni nedostatak je što izračunate nepoznate imaju približne vrijednosti. Tačniji rezultat daju takozvane algebarske metode.

Svako rješenje sistema jednačina vrijedi provjeriti. Da biste to učinili, zamijenite dobivene vrijednosti umjesto varijabli. Njegovo rješenje također možete pronaći na nekoliko načina. Ako je rješenje sistema tačno, onda bi svi trebali ispasti isti.

Često postoje jednačine u kojima je jedan od pojmova nepoznat. Da biste riješili jednačinu, morate zapamtiti i izvršiti određeni skup radnji s tim brojevima.

Trebaće ti

• - papir;
• - Olovka ili olovka.

Uputstvo

Zamislite da imate 8 zečeva ispred sebe, a imate samo 5 šargarepa. Mislite da morate kupiti više šargarepe kako bi svaki zec dobio šargarepu.

Hajde da predstavimo ovaj problem u obliku jednačine: 5 + x = 8. Zamenimo x brojem 3. Zaista, 5 + 3 = 8.

Kada ste zamijenili broj za x, radili ste istu operaciju kao i oduzimanje 5 od 8. Dakle, da biste pronašli nepoznato pojam, oduzmite poznati pojam od zbira.

Recimo da imate 20 zečeva i samo 5 šargarepa. Hajde da komponujemo. Jednadžba je jednakost koja vrijedi samo za određene vrijednosti slova uključenih u nju. Zovu se slova čije vrijednosti želite pronaći. Napišite jednačinu sa jednom nepoznatom, nazovite je x. Prilikom rješavanja našeg problema o zečevima dobija se sljedeća jednadžba: 5 + x = 20.

Nađimo razliku između 20 i 5. Prilikom oduzimanja, broj od kojeg se oduzima se smanjuje. Broj koji se oduzima naziva se , a konačni rezultat naziva se razlika. Dakle, x = 20 - 5; x = 15. Trebate kupiti 15 šargarepa za zečeve.

Provjerite: 5 + 15 = 20. Jednačina je tačna. Naravno, kada je riječ o ovako jednostavnom, provjera nije potrebna. Međutim, kada su u pitanju jednadžbe sa trocifrenom, četverocifrenom i tako dalje, neophodno je provjeriti kako biste bili potpuno sigurni u rezultat svog rada.

Povezani video zapisi

Korisni savjeti

Da biste pronašli nepoznati minuend, morate dodati oduzetak razlici.

Da bi se pronašao nepoznati oduzetak, potrebno je oduzeti razliku od minusa.

Savjet 4: Kako riješiti sistem od tri jednačine sa tri nepoznate

Sistem od tri jednačine sa tri nepoznate možda neće imati rješenja, uprkos dovoljnom broju jednačina. Možete ga pokušati riješiti metodom zamjene ili Cramerovom metodom. Cramerova metoda, pored rješavanja sistema, omogućava procjenu da li je sistem rješiv prije pronalaženja vrijednosti nepoznanica.

Uputstvo

Metoda supstitucije se sastoji u sekvencijalnom provođenju jedne nepoznate preko dvije druge i zamjeni dobivenog rezultata u jednačine sistema. Neka je sistem od tri jednačine dat u opštem obliku:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Izraziti x iz prve jednačine: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - i zamijeniti u drugu i treću jednačinu, zatim izraziti y iz druge jednačine i zamijeniti u treću. Dobićete linearni izraz za z kroz koeficijente jednačina sistema. Sada se vratite "nazad": uključite z u drugu jednačinu i pronađite y, zatim uključite z i y u prvu jednačinu i pronađite x. Proces je općenito prikazan na slici dok se ne pronađe z. Nadalje, zapis u općem obliku bit će preglomazan, u praksi, zamjenom , možete vrlo lako pronaći sve tri nepoznate.

Cramerova metoda se sastoji u sastavljanju matrice sistema i izračunavanju determinante ove matrice, kao i još tri pomoćne matrice. Matrica sistema je sastavljena od koeficijenata kod nepoznatih članova jednačina. Kolona koja sadrži brojeve na desnoj strani jednadžbi, kolona sa desne strane. Ne koristi se u sistemu, ali se koristi prilikom rješavanja sistema.

Povezani video zapisi

Bilješka

Sve jednačine u sistemu moraju davati dodatne informacije nezavisno od drugih jednačina. U suprotnom, sistem će biti nedovoljno određen i neće biti moguće pronaći jednoznačno rješenje.

Korisni savjeti

Nakon rješavanja sistema jednadžbi, zamijenite pronađene vrijednosti u originalni sistem i provjerite da li zadovoljavaju sve jednačine.

Samo po sebi jednačina sa tri nepoznato ima mnogo rješenja, pa se najčešće dopunjava sa još dvije jednadžbe ili uvjeta. Ovisno o tome koji su početni podaci, uvelike će zavisiti i tok odluke.

Trebaće ti

• - sistem od tri jednačine sa tri nepoznate.

Uputstvo

Ako dva od tri sistema imaju samo dvije od tri nepoznate, pokušajte izraziti neke varijable u terminima ostalih i priključiti ih u jednačina sa tri nepoznato. Vaš cilj s ovim je da ga pretvorite u normalu jednačina sa nepoznatim. Ako je ovo , dalje rješenje je prilično jednostavno - zamijenite pronađenu vrijednost u druge jednačine i pronađite sve ostale nepoznanice.

Neki sistemi jednačina mogu se oduzeti od jedne jednačine drugom. Pogledajte da li je moguće pomnožiti jedan od sa ili varijablu tako da se dvije nepoznanice smanje odjednom. Ako postoji takva prilika, iskoristite je, najvjerovatnije, naknadna odluka neće biti teška. Ne zaboravite da prilikom množenja brojem morate pomnožiti i lijevu i desnu stranu. Slično tome, kada oduzimate jednačine, zapamtite da desna strana također mora biti oduzeta.

Ako prethodne metode nisu pomogle, koristite opću metodu za rješavanje bilo koje jednadžbe s tri nepoznato. Da biste to učinili, prepišite jednadžbe u obliku a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3. Sada napravite matricu koeficijenata na x (A), matricu nepoznatih (X) i matricu slobodnih (B). Obratite pažnju, množenjem matrice koeficijenata sa matricom nepoznatih, dobit ćete matricu, matricu slobodnih članova, odnosno A * X \u003d B.

Pronađite matricu A na stepen (-1) nakon pronalaženja , imajte na umu da ne bi trebala biti jednaka nuli. Nakon toga, pomnožite rezultirajuću matricu sa matricom B, kao rezultat ćete dobiti željenu matricu X, koja označava sve vrijednosti.

Također možete pronaći rješenje za sistem od tri jednačine koristeći Cramerovu metodu. Da biste to učinili, pronađite determinantu trećeg reda ∆ koja odgovara matrici sistema. Zatim sukcesivno pronađite još tri determinante ∆1, ∆2 i ∆3, zamjenjujući vrijednosti slobodnih termina umjesto vrijednosti odgovarajućih stupaca. Sada pronađite x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Izvori:

• rješenja jednadžbi sa tri nepoznanice

Počevši da rešavate sistem jednačina, shvatite koje su to jednačine. Metode rješavanja linearnih jednačina su dobro proučene. Nelinearne jednačine se najčešće ne rješavaju. Postoji samo jedan poseban slučaj, od kojih je svaki praktično individualan. Stoga bi proučavanje metoda rješavanja trebalo započeti linearnim jednadžbama. Takve jednačine se mogu riješiti čak i čisto algoritamski.

imenioci pronađenih nepoznanica su potpuno isti. Da, i brojiocima su vidljivi neki obrasci njihove konstrukcije. Ako bi dimenzija sistema jednačina bila veća od dva, onda bi metoda eliminacije dovela do veoma glomaznih proračuna. Da bi ih se izbjeglo, razvijena su čisto algoritamska rješenja. Najjednostavniji od njih je Cramerov algoritam (Cramerove formule). Jer treba naučiti opšti sistem jednačina od n jednačina.

Sistem od n linearnih algebarskih jednačina sa n nepoznatih ima oblik (vidi sliku 1a). U njemu su aij koeficijenti sistema,
hj – nepoznate, bi – slobodni članovi (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Takav sistem se može kompaktno zapisati u matričnom obliku AX=B. Ovde je A matrica koeficijenata sistema, X je matrica kolona nepoznatih, B je matrica kolona slobodnih termina (vidi sliku 1b). Prema Cramerovoj metodi, svaka nepoznata xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Determinanta ∆ matrice koeficijenata naziva se glavna determinanta, a ∆i pomoćna. Za svaku nepoznatu, pomoćna determinanta se nalazi zamjenom i-te kolone glavne determinante kolonom slobodnih članova. Cramerova metoda za slučaj sistema drugog i trećeg reda detaljno je prikazana na Sl. 2.

Sistem je unija dvije ili više jednakosti, od kojih svaka ima dvije ili više nepoznanica. Postoje dva glavna načina rješavanja sistema linearnih jednačina koji se koriste u školskom programu. Jedna od njih se zove metoda, druga je metoda sabiranja.

Standardni oblik sistema od dvije jednačine

U standardnom obliku, prva jednačina je a1*x+b1*y=c1, druga jednačina je a2*x+b2*y=c2, i tako dalje. Na primjer, u slučaju dva dijela sistema u oba su dati a1, a2, b1, b2, c1, c2 neki numerički koeficijenti predstavljeni u specifičnim jednačinama. Zauzvrat, x i y su nepoznanice čije vrijednosti treba odrediti. Željene vrijednosti pretvaraju obje jednačine istovremeno u prave jednakosti.

Rješenje sistema metodom sabiranja

Da biste riješili sistem, odnosno pronašli one vrijednosti x i y koje će ih pretvoriti u prave jednakosti, potrebno je poduzeti nekoliko jednostavnih koraka. Prvi od njih je transformacija bilo koje od jednadžbi na takav način da se numerički koeficijenti za varijablu x ili y u obje jednačine poklapaju u apsolutnoj vrijednosti, ali se razlikuju po predznaku.

Na primjer, neka je dat sistem koji se sastoji od dvije jednačine. Prvi od njih ima oblik 2x+4y=8, drugi ima oblik 6x+2y=6. Jedna od opcija za ispunjavanje zadatka je da se druga jednačina pomnoži sa faktorom -2, što će je dovesti do oblika -12x-4y=-12. Ispravan izbor koeficijenta jedan je od ključnih zadataka u procesu rješavanja sistema metodom sabiranja, jer određuje cijeli dalji tok postupka pronalaženja nepoznatih.

Sada je potrebno sabrati dvije jednačine sistema. Očigledno je da će uzajamno uništavanje varijabli jednakih vrijednosti, ali suprotnih predznaka koeficijenata dovesti do oblika -10x=-4. Nakon toga, potrebno je riješiti ovu jednostavnu jednačinu iz koje nedvosmisleno slijedi da je x=0,4.

Posljednji korak u procesu rješavanja je zamjena pronađene vrijednosti jedne od varijabli u bilo koju od početnih jednakosti dostupnih u sistemu. Na primjer, zamjenom x=0,4 u prvu jednačinu, možete dobiti izraz 2*0,4+4y=8, iz čega je y=1,8. Dakle, x=0,4 i y=1,8 su korijeni sistema prikazanog u primjeru.

Da biste bili sigurni da su korijeni ispravno pronađeni, korisno je provjeriti zamjenom pronađenih vrijednosti u drugu jednadžbu sistema. Na primjer, u ovom slučaju se dobija jednakost oblika 0,4 * 6 + 1,8 * 2 = 6, što je tačno.

Povezani video zapisi

Prisjetimo se prvo definicije rješenja sistema jednačina u dvije varijable.

Definicija 1

Par brojeva naziva se rješenjem sistema jednačina sa dvije varijable ako se, kada se oni zamijene u jednačinu, dobije tačna jednakost.

U nastavku ćemo razmatrati sisteme od dvije jednačine sa dvije varijable.

Postoji četiri osnovna načina rješavanja sistema jednačina: metoda zamjene, metoda sabiranja, grafička metoda, metoda upravljanja novim varijablama. Pogledajmo ove metode na konkretnim primjerima. Da bismo opisali princip korišćenja prve tri metode, razmotrićemo sistem od dve linearne jednadžbe sa dve nepoznate:

Metoda zamjene

Metoda zamjene je sljedeća: uzima se bilo koja od ovih jednačina i $y$ se izražava u terminima $x$, zatim se $y$ zamjenjuje u jednačinu sistema, odakle se nalazi varijabla $x.$. Nakon toga, lako možemo izračunati varijablu $y.$

Primjer 1

Izrazimo iz druge jednačine $y$ u terminima $x$:

Zamijenite u prvoj jednadžbi, pronađite $x$:

\ \ \

Pronađite $y$:

odgovor: $(-2,\ 3)$

Metoda sabiranja.

Razmotrite ovu metodu na primjeru:

Primjer 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Pomnožimo drugu jednačinu sa 3, dobićemo:

\[\left\( \begin(niz)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(niz) \desno.\]

Sada saberimo obje jednačine zajedno:

\ \ \

Pronađite $y$ iz druge jednačine:

\[-6-y=-9\] \

odgovor: $(-2,\ 3)$

Napomena 1

Imajte na umu da je u ovoj metodi potrebno pomnožiti jednu ili obje jednačine sa takvim brojevima da pri sabiranju jedna od varijabli „nestane“.

Grafički način

Grafička metoda je sljedeća: obje jednačine sistema se prikazuju na koordinatnoj ravni i nalazi se tačka njihovog presjeka.

Primjer 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Izrazimo $y$ iz obje jednačine u terminima $x$:

\[\left\( \begin(niz)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(niz) \desno.\]

Nacrtajmo oba grafika na istoj ravni:

Slika 1.

odgovor: $(-2,\ 3)$

Kako uvesti nove varijable

Ovu metodu ćemo razmotriti u sljedećem primjeru:

Primjer 4

\[\left\( \begin(niz)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(niz) \right .\]

Rješenje.

Ovaj sistem je ekvivalentan sistemu

\[\left\( \begin(niz)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(niz) \ tačno.\]

Neka $2^x=u\ (u>0)$ i $3^y=v\ (v>0)$, dobijamo:

\[\left\( \begin(niz)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(niz) \desno.\]

Dobiveni sistem rješavamo metodom sabiranja. Dodajmo jednačine:

\ \

Onda iz druge jednačine dobijamo to

Vraćajući se na zamjenu, dobijamo novi sistem eksponencijalnih jednačina:

\[\left\( \begin(niz)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(niz) \desno.\]

Dobijamo:

\[\left\( \begin(niz)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(niz) \desno.\]

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE) je nesumnjivo najvažnija tema kursa linearne algebre. Ogroman broj zadataka iz svih grana matematike svodi se na rješavanje sistema linearnih jednačina. Ovi faktori objašnjavaju razlog za kreiranje ovog članka. Materijal članka je odabran i strukturiran tako da uz njegovu pomoć možete

• odabrati optimalnu metodu za rješavanje vašeg sistema linearnih algebarskih jednadžbi,
• proučavati teoriju odabrane metode,
• riješite svoj sistem linearnih jednačina, detaljno razmotrivši rješenja tipičnih primjera i zadataka.

Kratak opis materijala članka.

Prvo dajemo sve potrebne definicije, koncepte i uvodimo neke oznake.

Zatim se razmatraju metode za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli i koje imaju jedinstveno rješenje. Prvo, hajde da se fokusiramo na Cramerovu metodu, drugo, pokazaćemo matričnu metodu za rešavanje ovakvih sistema jednačina, i treće, analiziraćemo Gaussov metod (metoda sukcesivnog eliminisanja nepoznatih varijabli). Da bismo konsolidirali teoriju, svakako ćemo riješiti nekoliko SLAE na različite načine.

Nakon toga prelazimo na rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi opšteg oblika, u kojima se broj jednačina ne poklapa sa brojem nepoznatih varijabli ili je glavna matrica sistema degenerisana. Formuliramo Kronecker-Capelli teorem, koji nam omogućava da utvrdimo kompatibilnost SLAE. Analizirajmo rješenja sistema (u slučaju njihove kompatibilnosti) koristeći koncept baznog minora matrice. Također ćemo razmotriti Gaussovu metodu i detaljno opisati rješenja primjera.

Obavezno se zadržite na strukturi opšteg rješenja homogenih i nehomogenih sistema linearnih algebarskih jednačina. Hajde da damo koncept fundamentalnog sistema rešenja i pokažimo kako se opšte rešenje SLAE piše pomoću vektora fundamentalnog sistema rešenja. Za bolje razumijevanje, pogledajmo nekoliko primjera.

U zaključku razmatramo sisteme jednačina koji se svode na linearne, kao i različite probleme u čijem rješavanju nastaju SLAE.

Navigacija po stranici.

Definicije, koncepti, oznake.

Razmotrićemo sisteme p linearnih algebarskih jednadžbi sa n nepoznatih varijabli (p može biti jednako n) oblika

Nepoznate varijable, - koeficijenti (neki realni ili kompleksni brojevi), - slobodni članovi (također realni ili kompleksni brojevi).

Ovaj oblik SLAE se zove koordinata.

AT matrični oblik ovaj sistem jednačina ima oblik ,
gdje - glavna matrica sistema, - matrica-kolona nepoznatih varijabli, - matrica-kolona slobodnih članova.

Ako matrici A kao (n + 1)-ti stupac dodamo matricu-kolona slobodnih termina, onda dobijamo tzv. proširena matrica sistemi linearnih jednačina. Obično se proširena matrica označava slovom T, a stupac slobodnih članova odvojen je okomitom linijom od ostalih kolona, ​​tj.

Rješavanjem sistema linearnih algebarskih jednačina naziva skup vrijednosti nepoznatih varijabli, koji pretvara sve jednadžbe sistema u identitete. Matrična jednadžba za date vrijednosti nepoznatih varijabli također se pretvara u identitet.

Ako sistem jednačina ima barem jedno rješenje, onda se zove joint.

Ako sistem jednačina nema rješenja, onda se zove nekompatibilno.

Ako SLAE ima jedinstveno rješenje, onda se ono zove siguran; ako postoji više od jednog rješenja, onda - neizvjesno.

Ako su slobodni članovi svih jednačina sistema jednaki nuli , tada se sistem poziva homogena, inače - heterogena.

Rješenje elementarnih sistema linearnih algebarskih jednačina.

Ako je broj sistemskih jednačina jednak broju nepoznatih varijabli i determinanta njegove glavne matrice nije jednaka nuli, tada ćemo takve SLAE zvati osnovno. Takvi sistemi jednačina imaju jedinstveno rješenje, au slučaju homogenog sistema, sve nepoznate varijable su jednake nuli.

Takve SLAE smo počeli učiti u srednjoj školi. Prilikom njihovog rješavanja, uzeli smo jednu jednačinu, izrazili jednu nepoznatu varijablu kroz druge i zamijenili je u preostale jednačine, zatim uzeli sljedeću jednačinu, izrazili sljedeću nepoznatu varijablu i zamijenili je u druge jednačine, itd. Ili su koristili metodu sabiranja, odnosno dodali su dvije ili više jednadžbi kako bi eliminirali neke nepoznate varijable. Nećemo se detaljnije zadržavati na ovim metodama, jer su one u suštini modifikacije Gaussove metode.

Glavne metode za rješavanje elementarnih sistema linearnih jednačina su Cramerova metoda, matrična metoda i Gaussova metoda. Hajde da ih sredimo.

Rješavanje sistema linearnih jednačina Cramerovom metodom.

Hajde da rešimo sistem linearnih algebarskih jednačina

u kojoj je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli, a determinanta glavne matrice sistema je različita od nule, tj.

Neka je determinanta glavne matrice sistema, i su determinante matrica koje se dobivaju iz A zamjenom 1., 2., …, n-ti kolonu odnosno kolonu slobodnih članova:

Uz takvu notaciju, nepoznate varijable se izračunavaju po formulama Cramerove metode kao . Ovako se Cramerovom metodom pronalazi rješenje sistema linearnih algebarskih jednadžbi.

Primjer.

Cramer metoda .

Rješenje.

Glavna matrica sistema ima oblik . Izračunajte njegovu determinantu (ako je potrebno, pogledajte članak):

Pošto je determinanta glavne matrice sistema različita od nule, sistem ima jedinstveno rešenje koje se može naći Cramerovom metodom.

Sastavite i izračunajte potrebne determinante (determinanta se dobije zamjenom prvog stupca u matrici A kolonom slobodnih članova, determinanta - zamjenom drugog stupca stupcem slobodnih članova, - zamjenom treće kolone matrice A stupcem slobodnih članova ):

Pronalaženje nepoznatih varijabli pomoću formula :

odgovor:

Glavni nedostatak Cramerove metode (ako se to može nazvati nedostatkom) je složenost izračunavanja determinanti kada je broj sistemskih jednačina veći od tri.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).

Neka je sistem linearnih algebarskih jednadžbi zadan u matričnom obliku, pri čemu matrica A ima dimenziju n sa n i njena determinanta je različita od nule.

Budući da je , tada je matrica A invertibilna, odnosno postoji inverzna matrica . Ako oba dijela jednakosti pomnožimo sa lijevo, onda ćemo dobiti formulu za pronalaženje matrice stupaca nepoznatih varijabli. Tako smo dobili rješenje sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom.

Primjer.

Riješi sistem linearnih jednačina matrična metoda.

Rješenje.

Prepišimo sistem jednačina u matričnom obliku:

Jer

tada se SLAE može riješiti matričnom metodom. Koristeći inverznu matricu, rješenje ovog sistema se može naći kao .

Napravimo inverznu matricu koristeći matricu algebarskih komplemenata elemenata matrice A (ako je potrebno, pogledajte članak):

Ostaje izračunati - matricu nepoznatih varijabli množenjem inverzne matrice na matrici-koloni slobodnih članova (ako je potrebno, pogledajte članak):

odgovor:

ili u drugoj notaciji x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Glavni problem u pronalaženju rješenja sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnim metodom je složenost nalaženja inverzne matrice, posebno za kvadratne matrice reda većeg od trećeg.

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.

Pretpostavimo da treba da nađemo rešenje za sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih varijabli
determinanta glavne matrice koja je različita od nule.

Suština Gaussove metode sastoji se u sukcesivnom isključenju nepoznatih varijabli: prvo, x 1 se isključuje iz svih jednačina sistema, počevši od druge, zatim se x 2 isključuje iz svih jednačina, počevši od treće, i tako dalje, sve dok se ne pojavi samo nepoznata varijabla x n ostaje u posljednjoj jednačini. Takav proces transformacije jednadžbi sistema za uzastopno eliminisanje nepoznatih varijabli naziva se direktna Gaussova metoda. Nakon što je napredovanje Gaussove metode završeno, x n se nalazi iz posljednje jednačine, x n-1 se izračunava iz pretposljednje jednačine koristeći ovu vrijednost, i tako dalje, x 1 se nalazi iz prve jednačine. Proces izračunavanja nepoznatih varijabli pri prelasku sa zadnje jednadžbe sistema na prvu naziva se reverzna Gaussova metoda.

Hajde da ukratko opišemo algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.

Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednačina sistema. Nepoznatu varijablu x 1 izuzimamo iz svih jednačina sistema, počevši od druge. Da biste to uradili, dodajte prvu jednačinu pomnoženu sa drugoj jednačini sistema, dodajte prvu pomnoženu sa trećoj jednačini, i tako dalje, dodajte prvu pomnoženu sa n-toj jednačini. Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje , a .

Do istog rezultata bismo došli ako bismo izrazili x 1 u terminima drugih nepoznatih varijabli u prvoj jednačini sistema i zamenili rezultujući izraz u sve ostale jednačine. Dakle, varijabla x 1 je isključena iz svih jednačina, počevši od druge.

Zatim postupamo slično, ali samo s dijelom rezultirajućeg sistema koji je označen na slici

Da biste to uradili, dodajte drugu jednačinu pomnoženu sa trećoj jednačini sistema, dodajte drugu pomnoženu sa četvrtoj jednačini, i tako dalje, dodajte drugu pomnoženu sa n-toj jednačini. Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje , a . Dakle, varijabla x 2 je isključena iz svih jednačina, počevši od treće.

Zatim prelazimo na eliminaciju nepoznatog x 3, postupajući na sličan način sa dijelom sistema označenim na slici

Dakle, nastavljamo direktni tok Gaussove metode sve dok sistem ne poprimi oblik

Od ovog trenutka počinjemo obrnutim tokom Gaussove metode: izračunavamo x n iz posljednje jednačine kao , koristeći dobivenu vrijednost x n nalazimo x n-1 iz pretposljednje jednačine, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prva jednačina.

Primjer.

Riješi sistem linearnih jednačina Gaussova metoda.

Rješenje.

Isključimo nepoznatu varijablu x 1 iz druge i treće jednačine sistema. Da bismo to učinili, oba dijela druge i treće jednačine dodajemo odgovarajuće dijelove prve jednačine, pomnožene sa i sa:

Sada isključujemo x 2 iz treće jednačine dodavanjem lijevog i desnog dijela druge jednadžbe, pomnoženih sa:

Na ovome je završen kurs naprijed Gaussove metode, počinjemo obrnuti kurs.

Iz posljednje jednadžbe rezultirajućeg sistema jednačina nalazimo x 3:

Iz druge jednačine dobijamo .

Iz prve jednadžbe nalazimo preostalu nepoznatu varijablu i time završavamo obrnuti tok Gaussove metode.

odgovor:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

U opštem slučaju, broj jednačina sistema p ne poklapa se sa brojem nepoznatih varijabli n:

Takvi SLAE možda nemaju rješenja, imaju jedno rješenje ili imaju beskonačno mnogo rješenja. Ova izjava se također odnosi na sisteme jednačina čija je glavna matrica kvadratna i degenerirana.

Kronecker-Capelli teorem.

Prije pronalaženja rješenja za sistem linearnih jednačina, potrebno je utvrditi njegovu kompatibilnost. Daje se odgovor na pitanje kada je SLAE kompatibilan, a kada nekompatibilan Kronecker–Capelli teorem:
da bi sistem od p jednačina sa n nepoznatih (p može biti jednako n ) bio konzistentan potrebno je i dovoljno da rang glavne matrice sistema bude jednak rangu proširene matrice, odnosno Rank( A)=Rang(T) .

Razmotrimo kao primjer primjenu Kronecker-Cappellijeve teoreme za određivanje kompatibilnosti sistema linearnih jednačina.

Primjer.

Saznajte da li sistem linearnih jednačina ima rješenja.

Rješenje.

. Koristimo se metodom graničenja maloljetnika. Minor drugog reda različito od nule. Idemo preko maloletnika trećeg reda koji ga okružuju:

Pošto su svi granični minori trećeg reda jednaki nuli, rang glavne matrice je dva.

Zauzvrat, rang proširene matrice je jednako tri, pošto je minor trećeg reda

različito od nule.

Na ovaj način, Rang(A) , dakle, prema Kronecker-Capellijevoj teoremi, možemo zaključiti da je originalni sistem linearnih jednačina nekonzistentan.

odgovor:

Ne postoji sistem rješenja.

Dakle, naučili smo utvrditi nekonzistentnost sistema koristeći Kronecker-Capelli teorem.

Ali kako pronaći rješenje SLAE ako je uspostavljena njegova kompatibilnost?

Da bismo to učinili, potreban nam je koncept baznog minora matrice i teorema o rangu matrice.

Zove se minor najvišeg reda matrice A, osim nule osnovni.

Iz definicije baznog minora slijedi da je njegov red jednak rangu matrice. Za nenultu matricu A može postojati nekoliko osnovnih minora; uvijek postoji jedan osnovni minor.

Na primjer, razmotrite matricu .

Svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli, jer su elementi trećeg reda ove matrice zbir odgovarajućih elemenata prvog i drugog reda.

Sljedeći minori drugog reda su osnovni, jer su različiti od nule

Maloljetnici nisu osnovne, jer su jednake nuli.

Teorema o rangu matrice.

Ako je rang matrice reda p prema n r, tada se svi elementi redova (i stupaca) matrice koji ne čine odabrani bazni minor linearno izražavaju u terminima odgovarajućih elemenata redova (i stupaca) ) koji čine osnovni mol.

Šta nam daje teorema o rangu matrice?

Ako smo Kronecker-Capellijevom teoremom utvrdili kompatibilnost sistema, tada biramo bilo koji osnovni minor glavne matrice sistema (njegov red je jednak r), a iz sistema isključujemo sve jednačine koje ne odgovaraju formiraju izabrani osnovni mol. Ovako dobijena SLAE bit će ekvivalentna originalnoj, budući da su odbačene jednadžbe i dalje suvišne (prema teoremi o rangu matrice, one su linearna kombinacija preostalih jednačina).

Kao rezultat, nakon odbacivanja prekomjernih jednačina sistema moguća su dva slučaja.

Ako je broj jednačina r u rezultirajućem sistemu jednak broju nepoznatih varijabli, onda će ona biti definitivna i jedino rješenje se može naći Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Primjer.

.

Rješenje.

Rang glavne matrice sistema je jednako dva, pošto je minor drugog reda različito od nule. Prošireni matrični rang je takođe jednako dva, pošto je jedini minor trećeg reda jednak nuli

a minor drugog reda razmatranog iznad je različit od nule. Na osnovu Kronecker-Capelli teoreme, može se tvrditi kompatibilnost originalnog sistema linearnih jednačina, budući da je Rank(A)=Rank(T)=2.

Kao base minor uzimamo . Formira se koeficijentima prve i druge jednačine:


Treća jednačina sistema ne učestvuje u formiranju osnovnog minora, pa je isključujemo iz sistema na osnovu teoreme o rangu matrice:


Tako smo dobili elementarni sistem linearnih algebarskih jednačina. Rešimo ga Cramerovom metodom:


odgovor:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ako je broj jednačina r u rezultirajućem SLAE manji od broja nepoznatih varijabli n, onda ostavljamo članove koji čine osnovni minor u lijevom dijelu jednačine, a preostale članove prenosimo u desne dijelove jednačina sistem sa suprotnim predznakom.

Nepoznate varijable (ima ih r) koje ostaju na lijevoj strani jednadžbe nazivaju se main.

Nepoznate varijable (ima ih n - r) koje su završile na desnoj strani se pozivaju besplatno.

Sada pretpostavljamo da slobodne nepoznate varijable mogu imati proizvoljne vrijednosti, dok će r glavnih nepoznatih varijabli biti izražene u terminima slobodnih nepoznatih varijabli na jedinstven način. Njihov izraz se može naći rješavanjem rezultirajuće SLAE Cramer metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Uzmimo primjer.

Primjer.

Riješiti sistem linearnih algebarskih jednadžbi .

Rješenje.

Pronađite rang glavne matrice sistema metodom graničnih maloljetnika. Uzmimo 1 1 = 1 kao minor prvog reda koji nije nula. Počnimo tražiti minor drugog reda različit od nule koji okružuje ovaj minor:


Tako smo pronašli minor koji nije nula drugog reda. Počnimo tražiti granični minor koji nije nula trećeg reda:


Dakle, rang glavne matrice je tri. Rang proširene matrice je takođe jednak tri, odnosno sistem je konzistentan.

Pronađeni minor trećeg reda različit od nule će se uzeti kao osnovni.

Radi jasnoće, prikazujemo elemente koji čine osnovni minor:


Članove koji učestvuju u osnovnom molu ostavljamo na lijevoj strani jednadžbe sistema, a ostale sa suprotnim predznacima prenosimo na desnu stranu:


Dajemo slobodne nepoznate varijable x 2 i x 5 proizvoljne vrijednosti, odnosno uzimamo , gdje su proizvoljni brojevi. U ovom slučaju, SLAE ima oblik


Dobijeni elementarni sistem linearnih algebarskih jednadžbi rješavamo Cramerovom metodom:


Shodno tome, .

U odgovoru ne zaboravite navesti slobodne nepoznate varijable.

odgovor:

Gdje su proizvoljni brojevi.

Sažmite.

Da bismo riješili sistem linearnih algebarskih jednadžbi opšteg oblika, prvo saznajemo njegovu kompatibilnost koristeći Kronecker-Capelli teorem. Ako rang glavne matrice nije jednak rangu proširene matrice, onda zaključujemo da je sistem nekonzistentan.

Ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice, tada biramo osnovni minor i odbacujemo jednadžbe sistema koje ne učestvuju u formiranju odabranog osnovnog minora.

Ako je red baznog minora jednak broju nepoznatih varijabli, tada SLAE ima jedinstveno rješenje, koje se može naći bilo kojom metodom koja nam je poznata.

Ako je red osnovnog minora manji od broja nepoznatih varijabli, tada na lijevoj strani jednadžbi sistema ostavljamo članove s glavnim nepoznatim varijablama, preostale članove prenosimo na desne strane i dodjeljujemo proizvoljne vrijednosti ​na slobodne nepoznate varijable. Iz rezultujućeg sistema linearnih jednačina nalazimo glavne nepoznate varijable Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Koristeći Gaussovu metodu, može se riješiti sistem linearnih algebarskih jednačina bilo koje vrste bez njihovog preliminarnog ispitivanja kompatibilnosti. Proces sukcesivnog isključivanja nepoznatih varijabli omogućava da se izvede zaključak i o kompatibilnosti i o nedosljednosti SLAE, a ako rješenje postoji, omogućava ga pronalaženje.

Sa stanovišta računskog rada, Gausova metoda je poželjnija.

Njen detaljan opis i analizirane primjere pogledajte u članku Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Zapisivanje opšteg rešenja homogenih i nehomogenih linearnih algebarskih sistema korišćenjem vektora osnovnog sistema rešenja.

U ovom dijelu ćemo se fokusirati na zajedničke homogene i nehomogene sisteme linearnih algebarskih jednadžbi koje imaju beskonačan broj rješenja.

Hajde da se prvo pozabavimo homogenim sistemima.

Fundamentalni sistem odlučivanja Homogeni sistem p linearnih algebarskih jednačina sa n nepoznatih varijabli je skup (n – r) linearno nezavisnih rješenja ovog sistema, gdje je r red baznog minora glavne matrice sistema.

Ako linearno nezavisna rješenja homogene SLAE označimo kao X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) su matrice stupaca dimenzije n sa 1 ) , onda je opšte rešenje ovog homogenog sistema predstavljeno kao linearna kombinacija vektora osnovnog sistema rešenja sa proizvoljnim konstantnim koeficijentima S 1 , S 2 , …, S (n-r), odnosno .

Šta znači pojam opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednačina (oroslau)?

Značenje je jednostavno: formula definira sva moguća rješenja originalnog SLAE, drugim riječima, uzimajući bilo koji skup vrijednosti proizvoljnih konstanti C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , prema formuli koju će dobiti jedno od rješenja originalne homogene SLAE.

Dakle, ako pronađemo fundamentalni sistem rješenja, onda možemo postaviti sva rješenja ovog homogenog SLAE kao .

Pokažimo proces konstruisanja fundamentalnog sistema rješenja za homogenu SLAE.

Biramo osnovni minor originalnog sistema linearnih jednadžbi, isključujemo sve ostale jednačine iz sistema i prenosimo na desnu stranu jednačina sistema suprotnih predznaka sve članove koji sadrže slobodne nepoznate varijable. Dajmo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti 1,0,0,…,0 i izračunajmo glavne nepoznanice rješavanjem rezultirajućeg elementarnog sistema linearnih jednadžbi na bilo koji način, na primjer, Cramerovom metodom. Tako će se dobiti X (1) – prvo rješenje fundamentalnog sistema. Ako slobodnim nepoznanicama damo vrijednosti 0,1,0,0,…,0 i izračunamo glavne nepoznate, onda ćemo dobiti X (2) . I tako dalje. Ako slobodnim nepoznatim varijablama damo vrijednosti 0,0,…,0,1 i izračunamo glavne nepoznate, onda ćemo dobiti X (n-r) . Tako će se konstruisati osnovni sistem rešenja homogene SLAE i njegovo opšte rešenje se može zapisati u obliku .

Za nehomogene sisteme linearnih algebarskih jednadžbi, opšte rešenje je predstavljeno kao

Pogledajmo primjere.

Primjer.

Pronađite osnovni sistem rješenja i opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi .

Rješenje.

Rang glavne matrice homogenih sistema linearnih jednačina je uvek jednak rangu proširene matrice. Nađimo rang glavne matrice metodom rubnih minora. Kao nenulti minor prvog reda, uzimamo element a 1 1 = 9 glavne matrice sistema. Pronađite granični minor drugog reda koji nije nula:

Pronađen je minor drugog reda, različit od nule. Prođimo kroz minore trećeg reda koji se graniče s njim u potrazi za nenultom jedinicom:

Svi granični minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang glavne i proširene matrice dva. Uzmimo osnovni mol. Radi jasnoće, napominjemo elemente sistema koji ga čine:

Treća jednačina originalne SLAE ne sudjeluje u formiranju osnovnog mola, stoga se može isključiti:

Ostavljamo članove koji sadrže glavne nepoznanice na desnim stranama jednadžbe, a članove sa slobodnim nepoznanicama prenosimo na desne strane:

Konstruirajmo fundamentalni sistem rješenja originalnog homogenog sistema linearnih jednačina. Osnovni sistem rješenja ovog SLAE sastoji se od dva rješenja, pošto originalni SLAE sadrži četiri nepoznate varijable, a red njegovog osnovnog minora je dva. Da bismo pronašli X (1), dajemo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, a zatim pronađemo glavne nepoznanice iz sistema jednačina
.

Sadržaj lekcije

Linearne jednadžbe s dvije varijable

Učenik ima 200 rubalja za ručak u školi. Kolač košta 25 rubalja, a šolja kafe 10 rubalja. Koliko kolača i šoljica kafe možete kupiti za 200 rubalja?

Označite broj kolača x, i broj popijenih šoljica kafe y. Tada će se cijena kolača označiti izrazom 25 x, a cijena šoljica kafe u 10 y .

25x- Cijena x torte
10y- Cijena yšoljice kafe

Ukupan iznos bi trebao biti 200 rubalja. Tada dobijamo jednačinu sa dvije varijable x i y

25x+ 10y= 200

Koliko korijena ima ova jednadžba?

Sve zavisi od apetita učenika. Ako kupi 6 kolača i 5 šoljica kafe, tada će korijeni jednadžbe biti brojevi 6 i 5.

Za par vrijednosti 6 i 5 se kaže da su korijeni jednadžbe 25 x+ 10y= 200 . Zapisuje se kao (6; 5), pri čemu je prvi broj vrijednost varijable x, a drugi - vrijednost varijable y .

6 i 5 nisu jedini korijeni koji obrću jednačinu 25 x+ 10y= 200 na identitet. Po želji, za istih 200 rubalja, student može kupiti 4 kolača i 10 šoljica kafe:

U ovom slučaju, korijeni jednačine 25 x+ 10y= 200 je par vrijednosti (4; 10) .

Štaviše, student možda uopće ne kupuje kafu, ali kupuje kolače za svih 200 rubalja. Tada su korijeni jednadžbe 25 x+ 10y= 200 će biti vrijednosti 8 i 0

Ili obrnuto, ne kupujte kolače, već kupujte kafu za svih 200 rubalja. Tada su korijeni jednadžbe 25 x+ 10y= 200 će biti vrijednosti 0 i 20

Pokušajmo nabrojati sve moguće korijene jednačine 25 x+ 10y= 200 . Složimo se da vrijednosti x i y pripadaju skupu cijelih brojeva. I neka ove vrijednosti budu veće ili jednake nuli:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Tako će biti zgodno i za samog učenika. Kolače je povoljnije kupiti cijele nego, na primjer, nekoliko cijelih kolača i pola torte. Kafu je takođe zgodnije uzeti u celim šoljicama nego, na primer, nekoliko celih šoljica i pola šoljice.

Imajte na umu da za neparne x nemoguće je postići jednakost ni pod kojim y. Zatim vrijednosti x postojaće sledeći brojevi 0, 2, 4, 6, 8. I znajući x može se lako odrediti y

Tako smo dobili sljedeće parove vrijednosti (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Ovi parovi su rješenja ili korijeni jednadžbe 25 x+ 10y= 200. Oni pretvaraju ovu jednačinu u identitet.

Tipska jednadžba ax + by = c pozvao linearna jednadžba sa dvije varijable. Rješenje ili korijeni ove jednadžbe je par vrijednosti ( x; y), što ga pretvara u identitet.

Imajte na umu da ako se linearna jednačina sa dvije varijable napiše kao ax + b y = c , onda kažu da je upisano kanonski(normalni) oblik.

Neke linearne jednadžbe u dvije varijable mogu se svesti na kanonski oblik.

Na primjer, jednadžba 2(16x+ 3y- 4) = 2(12 + 8x − y) može se sjetiti ax + by = c. Hajde da otvorimo zagrade u oba dela ove jednačine, dobijamo 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Pojmovi koji sadrže nepoznate su grupisani na lijevoj strani jednačine, a pojmovi bez nepoznatih su grupisani na desnoj strani. Onda dobijamo 32x - 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Donosimo slične članove u oba dijela, dobijamo jednačinu 16 x+ 8y= 32. Ova jednačina se svodi na oblik ax + by = c i kanonski je.

Jednačina 25 razmatrana ranije x+ 10y= 200 je takođe linearna jednačina sa dve varijable u kanonskom obliku. U ovoj jednačini, parametri a , b i c jednake su vrijednostima 25, 10 i 200, redom.

Zapravo jednadžba ax + by = c ima beskonačan broj rješenja. Rješavanje jednačine 25x+ 10y= 200, tražili smo njegove korijene samo na skupu cijelih brojeva. Kao rezultat, dobili smo nekoliko parova vrijednosti koji su ovu jednačinu pretvorili u identitet. Ali na skupu racionalnih brojeva jednačina 25 x+ 10y= 200 će imati beskonačan broj rješenja.

Da biste dobili nove parove vrijednosti, trebate uzeti proizvoljnu vrijednost za x, zatim ekspresno y. Na primjer, uzmimo varijablu x vrijednost 7. Tada dobijamo jednačinu sa jednom promjenljivom 25×7 + 10y= 200 u kojoj da se izrazi y

Neka x= 15 . Zatim jednačina 25x+ 10y= 200 postaje 25 × 15 + 10y= 200. Odavde to nalazimo y = −17,5

Neka x= −3 . Zatim jednačina 25x+ 10y= 200 postaje 25 × (−3) + 10y= 200. Odavde to nalazimo y = −27,5

Sistem dvije linearne jednadžbe sa dvije varijable

Za jednačinu ax + by = c možete uzeti bilo koji broj proizvoljnih vrijednosti za x i pronađite vrijednosti za y. Uzeto odvojeno, takva jednačina će imati beskonačan broj rješenja.

Ali takođe se dešava da varijable x i y povezane ne jednom, već dvije jednačine. U ovom slučaju formiraju tzv sistem linearnih jednadžbi sa dve varijable. Takav sistem jednadžbi može imati jedan par vrijednosti (ili drugim riječima: "jedno rješenje").

Može se desiti i da sistem uopšte nema rešenja. Sistem linearnih jednačina može imati beskonačan broj rješenja u rijetkim i izuzetnim slučajevima.

Dvije linearne jednadžbe čine sistem kada vrijednosti x i y uključeni su u svaku od ovih jednačina.

Vratimo se na prvu jednačinu 25 x+ 10y= 200 . Jedan od parova vrijednosti za ovu jednačinu bio je par (6; 5). Ovo je slučaj kada se za 200 rubalja može kupiti 6 kolača i 5 šoljica kafe.

Zadatak sastavljamo tako da par (6; 5) postane jedino rješenje za jednačinu 25 x+ 10y= 200 . Da bismo to učinili, sastavljamo drugu jednačinu koja bi povezala isto x torte i yšoljice kafe.

Stavimo tekst zadatka na sljedeći način:

„Školac je kupio nekoliko kolača i nekoliko šoljica kafe za 200 rubalja. Kolač košta 25 rubalja, a šolja kafe 10 rubalja. Koliko kolača i šoljica kafe je učenik kupio ako se zna da je broj kolača za jedan veći od broja šoljica kafe?

Već imamo prvu jednačinu. Ovo je jednačina 25 x+ 10y= 200 . Hajde sada da napišemo jednačinu za uslov "broj kolača je za jednu jedinicu veći od broja šoljica kafe" .

Broj kolača je x, a broj šoljica kafe je y. Ovu frazu možete napisati pomoću jednačine x − y= 1. Ova jednačina bi značila da je razlika između kolača i kafe 1.

x=y+ 1 . Ova jednačina znači da je broj kolača jedan veći od broja šoljica kafe. Stoga, da bi se postigla jednakost, broju šoljica kafe dodaje se jedna. To se može lako razumjeti ako koristimo model težine koji smo razmatrali prilikom proučavanja najjednostavnijih problema:

Dobili smo dvije jednačine: 25 x+ 10y= 200 i x=y+ 1. Budući da su vrijednosti x i y, naime 6 i 5 su uključeni u svaku od ovih jednačina, a zatim zajedno čine sistem. Hajde da zapišemo ovaj sistem. Ako jednačine čine sistem, onda su uokvirene predznakom sistema. Sistemski znak je vitičasta zagrada:

Hajde da rešimo ovaj sistem. Ovo će nam omogućiti da vidimo kako dolazimo do vrijednosti 6 i 5. Postoji mnogo metoda za rješavanje ovakvih sistema. Razmotrite najpopularnije od njih.

Metoda zamjene

Naziv ove metode govori sam za sebe. Njegova suština je da se jedna jednačina zameni drugom, nakon što je prethodno izražena jedna od varijabli.

U našem sistemu ništa ne treba da se izražava. U drugoj jednačini x = y+ 1 varijabla x već izraženo. Ova varijabla je jednaka izrazu y+ 1 . Tada možete zamijeniti ovaj izraz u prvoj jednačini umjesto varijable x

Nakon zamjene izraza y+ 1 umjesto toga u prvu jednačinu x, dobijamo jednačinu 25(y+ 1) + 10y= 200 . Ovo je linearna jednadžba s jednom promjenljivom. Ovu jednačinu je prilično lako riješiti:

Pronašli smo vrijednost varijable y. Sada ovu vrijednost zamjenjujemo u jednu od jednačina i nalazimo vrijednost x. Za to je zgodno koristiti drugu jednačinu x = y+ 1 . Stavimo vrijednost u to y

Dakle, par (6; 5) je rješenje sistema jednačina, kako smo i namjeravali. Provjeravamo i uvjeravamo se da par (6; 5) zadovoljava sistem:

Primjer 2

Zamijenite prvu jednačinu x= 2 + y u drugu jednačinu 3 x - 2y= 9 . U prvoj jednačini, varijabla x jednako je izrazu 2 + y. Ovaj izraz zamjenjujemo drugom jednačinom umjesto x

Sada pronađimo vrijednost x. Da biste to učinili, zamijenite vrijednost y u prvu jednačinu x= 2 + y

Dakle, rješenje sistema je vrijednost para (5; 3)

Primjer 3. Rešite sledeći sistem jednačina metodom zamene:

Ovdje, za razliku od prethodnih primjera, jedna od varijabli nije eksplicitno izražena.

Da biste jednu jednačinu zamijenili drugom, prvo trebate .

Poželjno je izraziti varijablu koja ima koeficijent jedan. Jedinica koeficijenta ima varijablu x, koji je sadržan u prvoj jednačini x+ 2y= 11 . Izrazimo ovu varijablu.

Nakon promjenljivog izraza x, naš sistem će izgledati ovako:

Sada zamjenjujemo prvu jednačinu drugom i nalazimo vrijednost y

Zamena y x

Dakle, rješenje sistema je par vrijednosti (3; 4)

Naravno, možete izraziti i varijablu y. Korijeni se neće promijeniti. Ali ako izrazite y, rezultat nije vrlo jednostavna jednadžba za čije će rješenje trebati više vremena. To će izgledati ovako:

Vidimo da se to u ovom primjeru izražava x mnogo zgodnije od izražavanja y .

Primjer 4. Rešite sledeći sistem jednačina metodom zamene:

Izrazite u prvoj jednadžbi x. Tada će sistem poprimiti oblik:

y

Zamena y u prvu jednačinu i pronađite x. Možete koristiti originalnu jednačinu 7 x+ 9y= 8 ili koristite jednačinu u kojoj je varijabla izražena x. Koristićemo ovu jednačinu, jer je zgodna:

Dakle, rješenje sistema je par vrijednosti (5; −3)

Metoda sabiranja

Metoda sabiranja je da se jednačine uključene u sistem zbrajaju pojam po član. Ovaj dodatak rezultira novom jednačinom jedne varijable. I prilično je lako riješiti ovu jednačinu.

Hajde da rešimo sledeći sistem jednačina:

Dodajte lijevu stranu prve jednačine lijevoj strani druge jednačine. I desna strana prve jednačine sa desnom stranom druge jednačine. Dobijamo sljedeću jednakost:

Evo sličnih pojmova:

Kao rezultat, dobili smo najjednostavniju jednačinu 3 x= 27 čiji je korijen 9. Znajući vrijednost x možete pronaći vrijednost y. Zamijenite vrijednost x u drugu jednačinu x − y= 3 . Dobijamo 9 − y= 3 . Odavde y= 6 .

Dakle, rješenje sistema je par vrijednosti (9; 6)

Primjer 2

Dodajte lijevu stranu prve jednačine lijevoj strani druge jednačine. I desna strana prve jednačine sa desnom stranom druge jednačine. U rezultirajućoj jednakosti predstavljamo slične pojmove:

Kao rezultat, dobili smo najjednostavniju jednačinu 5 x= 20, čiji je korijen 4. Znajući vrijednost x možete pronaći vrijednost y. Zamijenite vrijednost x u prvu jednačinu 2 x+y= 11 . Hajde da dobijemo 8 + y= 11 . Odavde y= 3 .

Dakle, rješenje sistema je par vrijednosti (4;3)

Proces dodavanja nije detaljno opisan. To se mora raditi u umu. Prilikom sabiranja, obje jednačine se moraju svesti na kanonski oblik. Odnosno, do uma ac+by=c .

Iz razmatranih primjera može se vidjeti da je glavni cilj sabiranja jednačina da se riješi jedna od varijabli. Ali nije uvijek moguće odmah riješiti sistem jednačina metodom sabiranja. Najčešće se sistem preliminarno dovodi u formu u kojoj je moguće sabirati jednačine uključene u ovaj sistem.

Na primjer, sistem može se riješiti direktno metodom sabiranja. Prilikom sabiranja obje jednačine, članovi y i −y nestaju jer je njihov zbir jednak nuli. Kao rezultat, formira se najjednostavnija jednadžba 11 x= 22 , čiji je korijen 2. Tada će biti moguće odrediti y jednako 5.

I sistem jednačina metoda sabiranja ne može se odmah riješiti, jer to neće dovesti do nestanka jedne od varijabli. Sabiranje će rezultirati jednačinom 8 x+ y= 28, koji ima beskonačan broj rješenja.

Ako se oba dijela jednačine pomnože ili podijele sa istim brojem koji nije jednak nuli, onda će se dobiti jednačina ekvivalentna datoj. Ovo pravilo važi i za sistem linearnih jednačina sa dve varijable. Jedna od jednačina (ili obje jednačine) može se pomnožiti nekim brojem. Rezultat je ekvivalentan sistem čiji će se korijeni poklapati s prethodnim.

Vratimo se na prvi sistem koji opisuje koliko je kolača i šoljica kafe student kupio. Rješenje ovog sistema bio je par vrijednosti (6; 5).

Obje jednačine uključene u ovaj sistem množimo nekim brojevima. Recimo da pomnožimo prvu jednačinu sa 2, a drugu sa 3

Rezultat je sistem
Rješenje ovog sistema je još uvijek par vrijednosti (6; 5)

To znači da se jednačine uključene u sistem mogu svesti na oblik pogodan za primjenu metode sabiranja.

Nazad na sistem , koje nismo mogli riješiti metodom sabiranja.

Pomnožite prvu jednačinu sa 6, a drugu sa −2

Tada dobijamo sledeći sistem:

Dodajemo jednačine uključene u ovaj sistem. Dodavanje komponenti 12 x i -12 x rezultirat će 0, dodavanjem 18 y i 4 y dati 22 y, a zbrajanjem 108 i −20 dobije se 88. Tada dobijete jednačinu 22 y= 88 , dakle y = 4 .

Ako vam je isprva teško sabirati jednadžbe u glavi, onda možete zapisati kako se lijeva strana prve jednačine dodaje lijevoj strani druge jednačine, a desna strana prve jednačine desnoj strani druga jednadžba:

Znajući da je vrijednost varijable y je 4, možete pronaći vrijednost x. Zamena y u jednu od jednadžbi, na primjer u prvu jednačinu 2 x+ 3y= 18 . Tada dobijamo jednačinu sa jednom promenljivom 2 x+ 12 = 18 . Prenosimo 12 na desnu stranu, mijenjajući znak, dobijamo 2 x= 6 , dakle x = 3 .

Primjer 4. Metodom sabiranja riješite sljedeći sistem jednačina:

Pomnožite drugu jednačinu sa −1. Tada će sistem poprimiti sljedeći oblik:

Dodajmo obje jednačine. Dodavanje komponenti x i −x rezultirat će 0, sabiranjem 5 y i 3 y dati 8 y, a zbrajanjem 7 i 1 dobije se 8. Rezultat je jednačina 8 y= 8 , čiji je korijen 1. Znajući da je vrijednost y je 1, možete pronaći vrijednost x .

Zamena y u prvu jednačinu, dobijamo x+ 5 = 7 , dakle x= 2

Primjer 5. Metodom sabiranja riješite sljedeći sistem jednačina:

Poželjno je da se termini koji sadrže iste varijable nalaze jedan ispod drugog. Dakle, u drugoj jednačini, članovi 5 y i −2 x promijenite mjesta. Kao rezultat, sistem će poprimiti oblik:

Pomnožite drugu jednačinu sa 3. Tada će sistem poprimiti oblik:

Sada saberimo obje jednačine. Kao rezultat sabiranja, dobijamo jednačinu 8 y= 16, čiji je korijen 2.

Zamena y u prvu jednačinu dobijamo 6 x− 14 = 40 . Pojam −14 prenosimo na desnu stranu, mijenjajući predznak, dobijamo 6 x= 54 . Odavde x= 9.

Primjer 6. Metodom sabiranja riješite sljedeći sistem jednačina:

Oslobodimo se razlomaka. Pomnožite prvu jednačinu sa 36, ​​a drugu sa 12

U rezultirajućem sistemu prva jednačina se može pomnožiti sa −5, a druga sa 8

Dodajmo jednačine u rezultirajući sistem. Tada dobijamo najjednostavniju jednačinu −13 y= −156 . Odavde y= 12 . Zamena y u prvu jednačinu i pronađite x

Primjer 7. Metodom sabiranja riješite sljedeći sistem jednačina:

Obje jednačine dovodimo u normalan oblik. Ovdje je zgodno primijeniti pravilo proporcije u obje jednačine. Ako je u prvoj jednadžbi desna strana predstavljena kao , a desna strana druge jednadžbe kao , tada će sistem poprimiti oblik:

Imamo proporciju. Množimo njegove ekstremne i srednje pojmove. Tada će sistem poprimiti oblik:

Prvu jednačinu množimo sa −3, a u drugoj otvaramo zagrade:

Sada saberimo obje jednačine. Kao rezultat zbrajanja ovih jednadžbi, dobijamo jednakost u kojoj će u oba dijela biti nula:

Ispostavilo se da sistem ima beskonačan broj rješenja.

Ali ne možemo jednostavno uzeti proizvoljne vrijednosti s neba za x i y. Možemo odrediti jednu od vrijednosti, a druga će biti određena ovisno o vrijednosti koju navedemo. Na primjer, neka x= 2 . Zamijenite ovu vrijednost u sistem:

Kao rezultat rješavanja jedne od jednadžbi, vrijednost za y, što će zadovoljiti obje jednačine:

Rezultirajući par vrijednosti (2; −2) će zadovoljiti sistem:

Nađimo drugi par vrijednosti. Neka x= 4. Zamijenite ovu vrijednost u sistem:

To se može utvrditi okom y jednako nuli. Tada dobijamo par vrijednosti (4; 0), koji zadovoljava naš sistem:

Primjer 8. Metodom sabiranja riješite sljedeći sistem jednačina:

Pomnožite prvu jednačinu sa 6, a drugu sa 12

Hajde da prepišemo šta je ostalo:

Pomnožite prvu jednačinu sa −1. Tada će sistem poprimiti oblik:

Sada saberimo obje jednačine. Kao rezultat sabiranja formira se jednačina 6 b= 48 , čiji je korijen 8. Zamjena b u prvu jednačinu i pronađite a

Sistem linearnih jednadžbi sa tri varijable

Linearna jednačina sa tri varijable uključuje tri varijable sa koeficijentima, kao i presek. U kanonskom obliku, može se napisati na sljedeći način:

ax + by + cz = d

Ova jednačina ima beskonačan broj rješenja. Dajući dvije varijable različite vrijednosti, može se pronaći treća vrijednost. Rješenje u ovom slučaju je trostruka vrijednosti ( x; y; z) što jednačinu pretvara u identitet.

Ako varijable x, y, z su međusobno povezane sa tri jednačine, tada se formira sistem od tri linearne jednačine sa tri varijable. Da biste riješili takav sistem, možete primijeniti iste metode koje se primjenjuju na linearne jednadžbe s dvije varijable: metodom zamjene i metodom sabiranja.

Primjer 1. Rešite sledeći sistem jednačina metodom zamene:

Izražavamo u trećoj jednačini x. Tada će sistem poprimiti oblik:

Sada izvršimo zamjenu. Varijabilna x jednak je izrazu 3 − 2y − 2z . Zamijenite ovaj izraz u prvu i drugu jednačinu:

Otvorimo zagrade u obje jednačine i damo slične pojmove:

Došli smo do sistema linearnih jednačina sa dvije varijable. U ovom slučaju, zgodno je primijeniti metodu dodavanja. Kao rezultat, varijabla yće nestati i možemo pronaći vrijednost varijable z

Sada pronađimo vrijednost y. Za ovo je zgodno koristiti jednačinu − y+ z= 4. Zamijenite vrijednost z

Sada pronađimo vrijednost x. Za to je zgodno koristiti jednačinu x= 3 − 2y − 2z . Zamijenite vrijednosti u njega y i z

Dakle, trojka vrijednosti (3; −2; 2) je rješenje za naš sistem. Provjerom uvjeravamo se da ove vrijednosti zadovoljavaju sistem:

Primjer 2. Riješite sistem metodom sabiranja

Dodajmo prvu jednačinu sa drugom pomnoženom sa −2.

Ako se druga jednačina pomnoži sa −2, tada će poprimiti oblik −6x+ 6y- 4z = −4 . Sada to dodajte prvoj jednadžbi:

Vidimo da je kao rezultat elementarnih transformacija određena vrijednost varijable x. To je jednako jednom.

Vratimo se na glavni sistem. Dodajmo drugu jednačinu sa trećom pomnoženom sa −1. Ako se treća jednačina pomnoži sa −1, tada će poprimiti oblik −4x + 5y − 2z = −1 . Sada to dodajte drugoj jednačini:

Dobio sam jednačinu x - 2y= −1 . Zamijenite vrijednost u njega x koje smo ranije pronašli. Tada možemo odrediti vrijednost y

Sada znamo vrijednosti x i y. Ovo vam omogućava da odredite vrijednost z. Koristimo jednu od jednačina uključenih u sistem:

Dakle, trojka vrijednosti (1; 1; 1) je rješenje za naš sistem. Provjerom uvjeravamo se da ove vrijednosti zadovoljavaju sistem:

Zadaci za sastavljanje sistema linearnih jednačina

Zadatak sastavljanja sistema jednačina rješava se uvođenjem nekoliko varijabli. Zatim se sastavljaju jednačine na osnovu uslova problema. Iz sastavljenih jednačina formiraju sistem i rješavaju ga. Nakon što je sistem riješen, potrebno je provjeriti da li njegovo rješenje zadovoljava uslove problema.

Zadatak 1. Automobil Volga otišao je iz grada na koledž. Vratila se nazad drugim putem, koji je bio 5 km kraći od prvog. Ukupno je automobil prešao 35 km u oba smjera. Koliko kilometara je dug svaki put?

Rješenje

Neka x- dužina prvog puta, y- dužina sekunde. Ako je automobil vozio 35 km u oba smjera, tada se prva jednačina može napisati kao x+ y= 35. Ova jednačina opisuje zbir dužina oba puta.

Priča se da se auto vraćao nazad putem, koji je bio kraći od prvog za 5 km. Tada se druga jednačina može napisati kao x− y= 5. Ova jednadžba pokazuje da je razlika između dužina puteva 5 km.

Ili se druga jednačina može napisati kao x= y+ 5 . Koristićemo ovu jednačinu.

Pošto su varijable x i y u obje jednačine označavamo isti broj, onda od njih možemo formirati sistem:

Rešimo ovaj sistem pomoću jedne od prethodno proučavanih metoda. U ovom slučaju, zgodno je koristiti metodu zamjene, budući da je u drugoj jednačini varijabla x već izraženo.

Zamijenite drugu jednačinu u prvu i pronađite y

Zamijenite pronađenu vrijednost y u drugu jednačinu x= y+ 5 i nađi x

Dužina prvog puta je označena varijablom x. Sada smo pronašli njegovo značenje. Varijabilna x je 20. Dakle, dužina prvog puta je 20 km.

A dužina drugog puta je označena sa y. Vrijednost ove varijable je 15. Dakle, dužina drugog puta je 15 km.

Hajde da proverimo. Prvo, uvjerimo se da je sistem ispravno riješen:

Sada provjerimo da li rješenje (20; 15) zadovoljava uslove zadatka.

Rečeno je da je automobil ukupno prešao 35 km u oba smjera. Zbrojimo dužine oba puta i uvjerimo se da rješenje (20; 15) zadovoljava ovaj uvjet: 20 km + 15 km = 35 km

Sledeći uslov: auto se vratio nazad drugim putem, koji je bio 5 km kraći od prvog . Vidimo da rješenje (20; 15) također zadovoljava ovaj uvjet, jer je 15 km kraće od 20 km za 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Prilikom kompajliranja sistema važno je da varijable označavaju iste brojeve u svim jednačinama uključenim u ovaj sistem.

Dakle, naš sistem sadrži dvije jednačine. Ove jednadžbe zauzvrat sadrže varijable x i y, koji označavaju iste brojeve u obje jednačine, odnosno dužine puteva jednake 20 km i 15 km.

Zadatak 2. Na platformu su utovareni pragovi od hrastovine i bora, ukupno 300 pragova. Poznato je da su svi hrastovi pragovi težili 1 tonu manje od svih borovih pragova. Odredi koliko je hrastovih i borovih pragova bilo odvojeno, ako je svaki hrastov prag bio težak 46 kg, a svaki borov prag 28 kg.

Rješenje

Neka x hrast i y borovi pragovi su utovareni na platformu. Ako je bilo ukupno 300 pragova, onda se prva jednačina može napisati kao x+y = 300 .

Svi hrastovi pragovi su bili teški 46 x kg, a bor je bio težak 28 y kg. Kako su hrastovi pragovi težili 1 tonu manje od borovih pragova, druga jednačina se može zapisati kao 28y- 46x= 1000 . Ova jednadžba pokazuje da je razlika u masi između hrastovih i borovih pragova 1000 kg.

Tone su pretvorene u kilograme jer se masa hrastovih i borovih pragova mjeri u kilogramima.

Kao rezultat, dobijamo dve jednačine koje formiraju sistem

Hajde da rešimo ovaj sistem. Izrazite u prvoj jednadžbi x. Tada će sistem poprimiti oblik:

Zamijenite prvu jednačinu drugom i pronađite y

Zamena y u jednačinu x= 300 − y i saznati šta x

To znači da je na platformu utovareno 100 hrastovih i 200 borovih pragova.

Provjerimo da li rješenje (100; 200) zadovoljava uslove zadatka. Prvo, uvjerimo se da je sistem ispravno riješen:

Rečeno je da je bilo ukupno 300 spavača. Zbrojimo broj hrastovih i borovih pragova i uvjerimo se da rješenje (100; 200) zadovoljava ovaj uvjet: 100 + 200 = 300.

Sledeći uslov: svi hrastovi pragovi su težili 1 tonu manje od svih borovih . Vidimo da rješenje (100; 200) također zadovoljava ovaj uvjet, budući da je 46 × 100 kg hrastovih pragova lakše od 28 × 200 kg borovih pragova: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Zadatak 3. Uzeli smo tri komada legure bakra i nikla u težinskim omjerima 2:1, 3:1 i 5:1. Od toga je komad težine 12 kg stapljen s omjerom bakra i nikla 4:1. Pronađite masu svakog originalnog komada ako je masa prvog od njih dvostruko veća od mase drugog.

Materijal ovog članka je namijenjen za prvo upoznavanje sa sistemima jednačina. Ovdje uvodimo definiciju sistema jednadžbi i njegovih rješenja, a također razmatramo najčešće tipove sistema jednačina. Kao i obično, dat ćemo primjere s objašnjenjima.

Navigacija po stranici.

Šta je sistem jednačina?

Postepeno ćemo pristupiti definiciji sistema jednačina. Prvo, recimo da ga je zgodno dati, ističući dvije tačke: prvo, vrstu zapisa, i, drugo, značenje koje je ugrađeno u ovaj zapis. Hajde da se zadržimo na njima redom, a zatim generalizujemo rezonovanje u definiciji sistema jednačina.

Neka od njih budu pred sobom. Na primjer, uzmimo dvije jednačine 2 x+y=−3 i x=5. Pišemo ih jedno ispod drugog i ujedinjujemo ih vitičastom zagradom na lijevoj strani:

Zapisi ove vrste, koji su nekoliko jednačina poređanih u kolonu i ujedinjenih na lijevoj strani vitičastom zagradom, su zapisi sistema jednačina.

Šta znače ovakvi zapisi? Oni definišu skup svih takvih rješenja jednačina sistema, koji su rješenje svake jednačine.

Ne škodi to opisati drugim riječima. Pretpostavimo da su neka rješenja prve jednačine rješenja svih ostalih jednačina sistema. I tako ih zapis sistema samo označava.

Sada smo spremni da adekvatno prihvatimo definiciju sistema jednačina.

Definicija.

Sistemi jednačina nazivaju se zapisi, koji su jednadžbe smještene jedna ispod druge, objedinjene s lijeve strane vitičastom zagradom, koje označavaju skup svih rješenja jednačina koje su istovremeno rješenja svake jednačine sistema.

Slična definicija je data u udžbeniku, ali tamo nije data za opšti slučaj, već za dve racionalne jednačine sa dve varijable.

Glavni tipovi

Jasno je da postoji beskonačno mnogo različitih jednačina. Naravno, postoji i beskonačno mnogo sistema jednačina sastavljenih pomoću njih. Stoga, radi lakšeg proučavanja i rada sa sistemima jednadžbi, ima smisla podijeliti ih u grupe prema sličnim karakteristikama, a zatim preći na razmatranje sistema jednadžbi pojedinačnih tipova.

Prva podjela se ukazuje na broj jednačina uključenih u sistem. Ako postoje dvije jednačine, onda možemo reći da imamo sistem od dvije jednačine, ako postoje tri, onda sistem od tri jednačine, itd. Jasno je da nema smisla govoriti o sistemu jedne jednačine, jer se u ovom slučaju, zapravo, radi o samoj jednačini, a ne o sistemu.

Sljedeća podjela je zasnovana na broju varijabli uključenih u pisanje jednačina sistema. Ako postoji jedna varijabla, onda imamo posla sa sistemom jednačina sa jednom promenljivom (kažu i sa jednom nepoznatom), ako postoje dve, onda sa sistemom jednačina sa dve varijable (sa dve nepoznate) itd. Na primjer, je sistem jednačina sa dvije varijable x i y .

Ovo se odnosi na broj svih različitih varijabli uključenih u zapis. Ne moraju svi odjednom biti uključeni u zapis svake jednačine, dovoljno ih je imati u barem jednoj jednačini. Na primjer, je sistem jednačina sa tri varijable x, y i z. U prvoj jednačini varijabla x je prisutna eksplicitno, dok su y i z implicitni (možemo pretpostaviti da ove varijable imaju nulu), au drugoj jednačini su prisutni x i z, a varijabla y nije eksplicitno predstavljena. Drugim riječima, prva jednačina se može posmatrati kao , a drugi kao x+0 y−3 z=0 .

Treća tačka u kojoj se sistemi jednačina razlikuju je oblik samih jednačina.

U školi počinje učenje sistema jednačina sisteme dve linearne jednačine u dve varijable. To jest, takvi sistemi čine dvije linearne jednačine. Evo nekoliko primjera: i . Na njima se uče osnove rada sa sistemima jednačina.

Prilikom rješavanja složenijih zadataka može se naići i na sisteme od tri linearne jednačine sa tri nepoznanice.

Dalje u 9. razredu nelinearne jednačine se dodaju sistemima od dve jednačine sa dve varijable, uglavnom cele jednačine drugog stepena, ređe - višeg stepena. Ovi sistemi se nazivaju sistemi nelinearnih jednačina; ako je potrebno, precizira se broj jednačina i nepoznatih. Pokažimo primjere takvih sistema nelinearnih jednačina: i .

A onda u sistemima ima i npr. Obično se nazivaju jednostavno sistemima jednačina, bez specificiranja koje jednačine. Ovdje je vrijedno napomenuti da najčešće jednostavno kažu "sistem jednačina" o sistemu jednačina, a poboljšanja se dodaju samo ako je potrebno.

U srednjoj školi, kako se gradi, iracionalne, trigonometrijske, logaritamske i eksponencijalne jednačine prodiru u sisteme: , , .

Ako pogledate još dalje u program prvih univerzitetskih kurseva, onda je glavni akcenat na proučavanju i rješavanju sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE), odnosno jednačina, u čijim se lijevom dijelu nalaze polinomi prvi stepen, au desnom - neki brojevi. Ali tamo, za razliku od škole, već se ne uzimaju dvije linearne jednadžbe sa dvije varijable, već proizvoljan broj jednačina sa proizvoljnim brojem varijabli, koji se često ne poklapaju sa brojem jednačina.

Šta je rješenje sistema jednačina?

Termin “rješenje sistema jednačina” direktno se odnosi na sisteme jednačina. Škola daje definiciju rješavanja sistema jednačina sa dvije varijable :

Definicija.

Rješavanje sistema jednačina sa dvije varijable naziva se par vrijednosti ovih varijabli, koji svaku jednačinu sistema pretvara u ispravnu, drugim riječima, koja je rješenje svake jednačine sistema.

Na primjer, par varijabilnih vrijednosti x=5, y=2 (može se napisati kao (5, 2)) je rješenje sistema jednačina po definiciji, budući da jednačine sistema, kada je x= 5 , y=2 se zamjenjuju u njih, pretvaraju u prave numeričke jednakosti 5+2=7 i 5−2=3 respektivno. Ali par vrijednosti x=3, y=0 nije rješenje za ovaj sistem, jer kada se ove vrijednosti zamijene u jednačine, prva od njih će se pretvoriti u netačnu jednakost 3+0=7.

Slične definicije mogu se formulisati za sisteme sa jednom promenljivom, kao i za sisteme sa tri, četiri itd. varijable.

Definicija.

Rješavanje sistema jednačina sa jednom promjenljivom postojaće vrednost varijable koja je koren svih jednačina sistema, odnosno koja pretvara sve jednačine u prave numeričke jednakosti.

Uzmimo primjer. Razmotrimo sistem jednačina sa jednom varijablom t oblika . Broj −2 je njegovo rješenje, jer su oba (−2) 2 =4 i 5·(−2+2)=0 prave numeričke jednakosti. A t=1 nije rješenje za sistem, jer će zamjena ove vrijednosti dati dvije netačne jednakosti 1 2 =4 i 5·(1+2)=0 .

Definicija.

Rješenje sistema sa tri, četiri itd. varijable zove se trojka, četvorka itd. vrijednosti varijabli, odnosno, što pretvara sve jednačine sistema u prave jednakosti.

Dakle, po definiciji, trostruka vrijednosti varijabli x=1, y=2, z=0 je rješenje sistema , pošto su 2 1=2 , 5 2=10 i 1+2+0=3 tačne numeričke jednakosti. A (1, 0, 5) nije rješenje za ovaj sistem, jer kada se ove vrijednosti varijabli zamijene u jednadžbe sistema, druga od njih se pretvara u netačnu jednakost 5 0=10 , a treća jedan je takođe 1+0+5=3.

Imajte na umu da sistemi jednačina možda nemaju rješenja, mogu imati konačan broj rješenja, na primjer, jedno, dva, ..., ili mogu imati beskonačno mnogo rješenja. To ćete vidjeti dok dublje uđete u temu.

Uzimajući u obzir definicije sistema jednačina i njihova rješenja, možemo zaključiti da je rješenje sistema jednačina presjek skupova rješenja svih njegovih jednačina.

Da zaključimo, evo nekoliko povezanih definicija:

Definicija.

nekompatibilno ako nema rješenja, u suprotnom se poziva sistem joint.

Definicija.

Sistem jednačina se zove neizvjesno ako ima beskonačno mnogo rješenja, i siguran, ako ima konačan broj rješenja ili ih uopće nema.

Ovi termini su uvedeni, na primjer, u udžbeniku, ali se rijetko koriste u školi, češće se mogu čuti u visokoškolskim ustanovama.

Bibliografija.

1. algebra: udžbenik za 7 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 17. izd. - M. : Education, 2008. - 240 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. algebra: 9. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Obrazovanje, 2009. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A. G. Algebra. 7. razred. U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich. - 17. izd., dop. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkovich A. G. Algebra. 9. razred U 14:00 Deo 1. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izd., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkovich A. G. Algebra i početak matematičke analize. 11. razred. U 14:00 1. dio. Udžbenik za studente obrazovnih institucija (profilni nivo) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. opšte obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Prosvjeta, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.
7. A. G. Kuroš. Kurs više algebre.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analitička geometrija: Udžbenik: Za univerzitete. – 5. izd. – M.: Nauka. Fizmatlit, 1999. - 224 str. – (Kurs više matematike i matematičke fizike). – ISBN 5-02-015234 – X (br. 3)