Silindir (Yunancadan "paten pisti", "silindir" kelimelerinden türetilmiştir) silindirik bir yüzey ve iki düzlem olarak adlandırılan bir yüzeyle dıştan sınırlanan geometrik bir gövdedir. Bu düzlemler şeklin yüzeyini keser ve birbirine paraleldir.

Silindirik bir yüzey, uzayda düz bir çizgi ile elde edilen bir yüzeydir. Bu hareketler, bu düz çizginin seçilen noktası düz tip bir eğri boyunca hareket edecek şekildedir. Böyle bir düz çizgiye generatrix denir ve eğri bir çizgiye kılavuz denir.

Silindir, bir çift taban ve bir yanal silindirik yüzeyden oluşur. Silindirler birkaç tiptedir:

1. Dairesel, düz silindir. Böyle bir silindir için taban ve kılavuz, generatrix'e diktir ve

2. Eğimli silindir. Üretim hattı ile taban arasında bir açı var ve düz değil.

3. Farklı bir şekle sahip bir silindir. Hiperbolik, eliptik, parabolik ve diğerleri.

Bir silindirin alanı ve herhangi bir silindirin toplam yüzey alanı, bu şeklin taban alanlarının ve yan yüzeyin alanının eklenmesiyle bulunur.

Dairesel, düz bir silindir için bir silindirin toplam alanını hesaplama formülü:

Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).

Yan yüzeyin alanını bulmak, tüm silindirin alanından biraz daha zordur; generatrix'in uzunluğunun, düzlemin oluşturduğu bölümün çevresi ile çarpılmasıyla hesaplanır. generatrix.

Dairesel, düz bir silindir için silindir verileri, bu nesnenin geliştirilmesiyle tanınır.

Bir gelişme, yüksekliği h ve uzunluğu P olan ve tabanın çevresine eşit olan bir dikdörtgendir.

Silindirin yanal alanının, süpürme alanına eşit olduğunu ve bu formül kullanılarak hesaplanabileceğini takip eder:

Dairesel, düz bir silindir alırsak, bunun için:

P = 2p R ve Sb = 2p Rh.

Silindir eğimli ise, yan yüzey alanı, genratrisinin uzunluğunun ve bu generatrise dik olan bölümün çevresinin ürününe eşit olmalıdır.

Ne yazık ki, eğimli bir silindirin yan yüzey alanını yüksekliği ve taban parametreleri cinsinden ifade etmenin basit bir formülü yoktur.

Bir silindiri hesaplamak için birkaç gerçeği bilmeniz gerekir. Düzlemi olan bir bölüm tabanları kesiyorsa, böyle bir bölüm her zaman bir dikdörtgendir. Ancak bu dikdörtgenler, bölümün konumuna bağlı olarak farklı olacaktır. Şeklin tabanlara dik olan eksenel bölümünün kenarlarından biri yüksekliğine, diğeri ise silindirin tabanının çapına eşittir. Ve böyle bir bölümün alanı, sırasıyla, dikdörtgenin bir tarafının diğeriyle, birincisine dik olan ürününe veya bu şeklin yüksekliğinin tabanının çapına göre ürününe eşittir.

Kesit şeklin tabanlarına dik ise ancak dönme ekseninden geçmiyorsa, bu bölümün alanı bu silindirin yüksekliğinin ürününe ve belirli bir kirişe eşit olacaktır. Bir kiriş elde etmek için, silindirin tabanında bir daire oluşturmanız, bir yarıçap çizmeniz ve üzerine bölümün bulunduğu mesafeyi ayırmanız gerekir. Ve bu noktadan, daire ile kesişme noktasından yarıçapa dikler çizmeniz gerekir. Kavşak noktaları merkeze bağlanır. Ve üçgenin tabanı istenen, şöyle sesler aranır: “İki bacağın karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir”:

C2 = A2 + B2.

Bölüm silindirin tabanını etkilemiyorsa ve silindirin kendisi dairesel ve düzse, bu bölümün alanı dairenin alanı olarak bulunur.

Bir dairenin alanı:

env. = 2p R2.

R'yi bulmak için C uzunluğunu 2p'ye bölmeniz gerekir:

R = C \ 2n, burada n pi'dir, daire verileriyle çalışmak üzere hesaplanmış ve 3.14'e eşit bir matematiksel sabit.

Silindir, silindirik bir yüzey ve paralel olarak düzenlenmiş iki daireden oluşan bir şekildir. Bir silindirin alanını hesaplamak, matematiğin geometrik dalında oldukça basit bir şekilde çözülen bir problemdir. Bunu çözmek için, sonuç olarak her zaman tek bir formüle inen birkaç yöntem vardır.

Silindirin alanı nasıl bulunur - hesaplama kuralları

• Silindirin alanını bulmak için, yan yüzey alanına sahip iki taban alanı eklemeniz gerekir: S \u003d S tarafı + 2 S ana. Daha ayrıntılı bir versiyonda, bu formül şöyle görünür: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Belirli bir geometrik cismin yan yüzey alanı, yüksekliği ve tabanın altındaki dairenin yarıçapı biliniyorsa hesaplanabilir. Bu durumda, verilmişse yarıçapı çevreden ifade edebilirsiniz. Yükseklik, generatrix değeri koşulda belirtilmişse bulunabilir. Bu durumda, generatrix yüksekliğe eşit olacaktır. Belirli bir cismin yan yüzeyinin formülü şöyle görünür: S= 2 π rh.
• Tabanın alanı, bir dairenin alanını bulma formülüne göre hesaplanır: S osn= π r 2 . Bazı problemlerde yarıçap verilmeyebilir, ancak çevre verilir. Bu formülle yarıçap oldukça kolay ifade edilir. С=2π r, r= С/2π. Ayrıca yarıçapın çapın yarısı olduğu da unutulmamalıdır.
• Tüm bu hesaplamaları yaparken π sayısı genellikle 3.14159'a çevrilmez... Hesaplamalar sonucunda elde edilen sayısal değerin yanına eklemeniz yeterlidir.
• Ayrıca, sadece tabanın bulunan alanını 2 ile çarpmak ve elde edilen sayıya şeklin yan yüzeyinin hesaplanan alanını eklemek gerekir.
• Sorun, silindirin eksenel bir kesiti olduğunu gösteriyorsa ve bu bir dikdörtgen ise, çözüm biraz farklı olacaktır. Bu durumda, dikdörtgenin genişliği, gövdenin tabanında bulunan dairenin çapı olacaktır. Şeklin uzunluğu, generatrix veya silindirin yüksekliğine eşit olacaktır. İstenilen değerleri hesaplamak ve zaten bilinen bir formülde ikame etmek gerekir. Bu durumda, tabanın alanını bulmak için dikdörtgenin genişliği ikiye bölünmelidir. Yan yüzeyi bulmak için uzunluk iki yarıçap ve π sayısı ile çarpılır.
• Belirli bir geometrik cismin alanını hacminden hesaplayabilirsiniz. Bunu yapmak için eksik değeri V=π r 2 h formülünden türetmeniz gerekir.
• Bir silindirin alanını hesaplamada zor bir şey yoktur. Sadece formülleri bilmeniz ve onlardan hesaplamalar için gerekli miktarları türetebilmeniz gerekir.

Silindir, iki paralel düzlem ve silindirik bir yüzeyle sınırlanan geometrik bir gövdedir. Makalede, bir silindirin alanının nasıl bulunacağı hakkında konuşacağız ve formülü kullanarak örneğin birkaç problemi çözeceğiz.

Silindirin üç yüzeyi vardır: üst, alt ve yan yüzey.

Silindirin üstü ve altı dairelerdir ve tanımlanması kolaydır.

Bir dairenin alanının πr 2'ye eşit olduğu bilinmektedir. Bu nedenle, iki dairenin (silindirin üstü ve altı) alan formülü πr 2 + πr 2 = 2πr 2 gibi görünecektir.

Silindirin üçüncü yan yüzeyi, silindirin kavisli duvarıdır. Bu yüzeyi daha iyi temsil etmek için, onu tanınabilir bir şekil elde edecek şekilde dönüştürmeye çalışalım. Bir silindirin, üst kapağı ve tabanı olmayan sıradan bir teneke kutu olduğunu hayal edin. Kavanozun tepesinden dibine kadar yan duvarda dikey bir kesi yapalım (şekildeki Adım 1) ve ortaya çıkan şekli mümkün olduğunca açmaya (düzeltmeye) çalışalım (2. Adım).

Ortaya çıkan kavanozun tam olarak açıklanmasından sonra tanıdık bir şekil göreceğiz (3. Adım), bu bir dikdörtgen. Bir dikdörtgenin alanını hesaplamak kolaydır. Ama ondan önce, bir an için orijinal silindire dönelim. Orijinal silindirin tepe noktası bir dairedir ve bir dairenin çevresinin şu formülle hesaplandığını biliyoruz: L = 2πr. Şekilde kırmızı ile işaretlenmiştir.

Silindirin yan duvarı tamamen genişlediğinde, çevresinin elde edilen dikdörtgenin uzunluğu olduğunu görüyoruz. Bu dikdörtgenin kenarları çevresi (L = 2πr) ve silindirin yüksekliği (h) olacaktır. Bir dikdörtgenin alanı, kenarlarının ürününe eşittir - S = uzunluk x genişlik = L x h = 2πr x h = 2πrh. Sonuç olarak, bir silindirin yan yüzey alanını hesaplamak için bir formül elde ettik.

Silindirin yan yüzeyinin alanı için formül
S tarafı = 2 saat

Silindirin tam yüzey alanı

Son olarak, üç yüzeyin alanını toplarsak, bir silindirin toplam yüzey alanı formülünü elde ederiz. Silindirin yüzey alanı, silindirin üst alanı + silindirin tabanının alanı + silindirin yan yüzeyinin alanına eşittir veya S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Bazen bu ifade aynı formül 2πr (r + h) ile yazılır.

Silindirin toplam yüzey alanı formülü
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r silindirin yarıçapıdır, h silindirin yüksekliğidir

Silindirin yüzey alanını hesaplama örnekleri

Yukarıdaki formülleri anlamak için örnekler kullanarak bir silindirin yüzey alanını hesaplamaya çalışalım.

1. Silindirin tabanının yarıçapı 2, yüksekliği 3'tür. Silindirin yan yüzeyinin alanını belirleyin.

Toplam yüzey alanı şu formülle hesaplanır: S tarafı. = 2 saat

S tarafı = 2 * 3.14 * 2 * 3

S tarafı = 6.28 * 6

S tarafı = 37.68

Silindirin yan yüzey alanı 37.68'dir.

2. Yükseklik 4 ve yarıçap 6 ise bir silindirin yüzey alanı nasıl bulunur?

Toplam yüzey alanı şu formülle hesaplanır: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4

S = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24

İki paralel düzlem ve silindirik bir yüzeyle sınırlanan geometrik bir gövdedir.

Silindir bir yan yüzey ve iki tabandan oluşur. Silindirin yüzey alanı formülü, taban ve yan yüzey alanının ayrı bir hesaplamasını içerir. Silindirdeki tabanlar eşit olduğundan, toplam alanı aşağıdaki formülle hesaplanacaktır:

Gerekli tüm formülleri öğrendikten sonra bir silindirin alanını hesaplama örneğini ele alacağız. İlk önce bir silindirin tabanının alanı için formüle ihtiyacımız var. Silindirin tabanı bir daire olduğu için uygulamamız gerekiyor:
Bu hesaplamaların, bir dairenin çevresinin çapına oranı olarak hesaplanan Π = 3.1415926 sabit sayısını kullandığını hatırlıyoruz. Bu sayı matematiksel bir sabittir. Biraz sonra bir silindirin tabanının alanını hesaplamanın bir örneğini de ele alacağız.

Silindir yan yüzey alanı

Bir silindirin yan yüzeyinin alanı için formül, tabanın uzunluğunun ve yüksekliğinin ürünüdür:

Şimdi bir silindirin toplam alanını hesaplamamız gereken bir problem düşünelim. Verilen bir şekilde yükseklik h = 4 cm, r = 2 cm'dir.Silindirin toplam alanını bulalım.
İlk olarak, üslerin alanını hesaplayalım:
Şimdi bir silindirin yan yüzey alanını hesaplamanın bir örneğini düşünün. Genişletildiğinde, bir dikdörtgendir. Alanı yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanır. Tüm verileri içine değiştirin:
Bir dairenin toplam alanı, taban ve kenar alanının iki katının toplamıdır:

Böylece, taban alanı ve şeklin yan yüzeyi için formülleri kullanarak silindirin toplam yüzey alanını bulabildik.
Silindirin eksenel bölümü, kenarların silindirin yüksekliğine ve çapına eşit olduğu bir dikdörtgendir.

Silindirin eksenel bölümünün alanı için formül, hesaplama formülünden türetilmiştir:

Silindirin tabanlarına dik eksenel bölümün alanını bulun. Bu dikdörtgenin kenarlarından biri silindirin yüksekliğine, diğeri ise taban dairesinin çapına eşittir. Buna göre, bu durumda kesit alanı, dikdörtgenin kenarlarının ürününe eşit olacaktır. S=2R*h, burada S kesit alanıdır, R problemin koşulları tarafından verilen taban çemberinin yarıçapıdır ve h, yine problemin koşulları tarafından verilen silindirin yüksekliğidir.

Kesit tabanlara dik ise ancak dönme ekseninden geçmiyorsa, dikdörtgen dairenin çapına eşit olmayacaktır. Hesaplanması gerekiyor. Bunu yapmak için, görev, kesit düzleminin dönme ekseninden hangi mesafeden geçtiğini söylemelidir. Hesaplamaların kolaylığı için, silindirin tabanından bir daire oluşturun, bir yarıçap çizin ve bölümün dairenin merkezinden bulunduğu mesafeyi bir kenara koyun. Bu noktadan itibaren, daire ile kesişene kadar diklere doğru çizin. Kavşak noktalarını merkeze bağlayın. Akorları bulmanız gerekiyor. Pisagor teoremini kullanarak yarım akorun boyutunu bulun. Dairenin yarıçapının karelerinin merkezden kesit çizgisine farkının kareköküne eşit olacaktır. a2=R2-b2. Tüm akor sırasıyla 2a'ya eşit olacaktır. Dikdörtgenin kenarlarının çarpımına eşit olan kesit alanını hesaplayın, yani S=2a*h.

Silindir, taban düzleminden geçmeden parçalanabilir. Kesit dönme eksenine dik ise, o zaman bir daire olacaktır. Bu durumda alanı, tabanların alanına eşittir, yani S \u003d πR2 formülü ile hesaplanır.

Faydalı tavsiye

Bölümü daha doğru bir şekilde hayal etmek için bir çizim ve ek yapılar yapın.

Kaynaklar:

• silindir kesit alanı

Bir yüzeyin bir düzlemle kesişme çizgisi hem yüzeye hem de kesen düzleme aittir. Düz generatrixe paralel bir kesen düzlem ile silindirik bir yüzeyin kesişme çizgisi düz bir çizgidir. Kesme düzlemi, dönüş yüzeyinin eksenine dik ise, kesit bir daireye sahip olacaktır. Genel olarak, silindirik bir yüzeyin bir kesme düzlemi ile kesişme çizgisi eğri bir çizgidir.

İhtiyacın olacak

• Kalem, cetvel, üçgen, desenler, pergeller, ölçü aleti.

Talimat

Ön projeksiyon düzlemi P₂'de, kesit çizgisi, kesen düzlemin Σ₂ izdüşümü ile düz bir çizgi şeklinde çakışır.
Silindirin jeneratörlerinin çıkıntı Σ₂ 1₂, 2₂ vb. ile kesişme noktalarını belirleyin. 10₂ ve 11₂ noktalarına.

Düzlemde P₁ bir dairedir. Kesit düzlemi Σ₂, vb. üzerinde işaretlenmiş 1₂ , 2₂ noktaları. Bir projeksiyon çizgisi yardımıyla bağlantılar bu dairenin ana hatlarına yansıtılacaktır. Yatay izdüşümlerini dairenin yatay ekseni etrafında simetrik olarak belirleyin.

Böylece, istenen bölümün çıkıntıları tanımlanır: P₂ düzleminde - düz bir çizgi (1₂, 2₂ ... 10₂ noktaları); P₁ düzleminde - bir daire (1₁, 2₁ ... 10₁ noktaları).

İki ile, verilen silindirin ön çıkıntı düzlemi Σ tarafından kesitinin doğal boyutunu oluşturun. Bunu yapmak için projeksiyon yöntemini kullanın.

P₄ düzlemini Σ₂ düzleminin izdüşümüne paralel çizin. Bu yeni x₂₄ ekseninde 1₀ noktasını işaretleyin. 1₂ - 2₂, 2₂ - 4₂ vb. noktalar arasındaki mesafeler. x₂₄ ekseninde bir kenara ayrılan bölümün önden çıkıntısından, x₂₄ eksenine dik olan projeksiyon bağlantısının ince çizgilerini çizin.

Bu yöntemde, P₄ düzlemi P₁ düzlemi ile değiştirilir, bu nedenle, yatay izdüşümden, boyutları eksenden noktalara P₄ düzleminin eksenine aktarın.

Örneğin, 2 ve 3 noktaları için P₁ üzerinde, bu 2₁ ve 3₁ ile eksene (A noktası) olan uzaklık olacaktır.

Belirtilen mesafeleri yatay projeksiyondan erteledikten sonra 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀ puanları alacaksınız. Ardından, daha fazla inşaat doğruluğu için kalan, ara noktalar belirlenir.

Tüm noktaları kavisli bir eğri ile birleştirerek, önden çıkıntı yapan düzlem tarafından silindirin kesitinin gerekli doğal boyutunu elde edeceksiniz.

Kaynaklar:

• uçak nasıl değiştirilir

İpucu 3: Kesik bir koninin eksenel bölümünün alanı nasıl bulunur

Bu sorunu çözmek için, kesik koninin ne olduğunu ve hangi özelliklere sahip olduğunu hatırlamanız gerekir. çizdiğinizden emin olun. Bu, hangi geometrik şeklin bir bölüm olduğunu belirleyecektir. Bundan sonra sorunun çözümünün sizin için artık zor olmaması oldukça olasıdır.

Talimat

Yuvarlak koni, bacaklarından birinin etrafında bir üçgen döndürülerek elde edilen bir gövdedir. Üstten gelen düz çizgiler koniler ve tabanını kesenlere jeneratörler denir. Tüm jeneratörler eşitse, koni düzdür. Turun tabanında koniler bir daire yatar. Üstten tabana düşen dik yüksekliktir koniler. Yuvarlak düz koniler yüksekliği ekseni ile çakışmaktadır. Eksen, tabanın merkezine bağlanan düz bir çizgidir. Daireselin yatay kesme düzlemi ise koniler, o zaman üst tabanı bir dairedir.

Sorunun durumunda belirtilmediği için, bu durumda verilen konidir, bunun yatay kısmı tabana paralel olan düz bir kesik koni olduğu sonucuna varabiliriz. Eksenel bölümü, yani. dairesel bir eksenden geçen dikey düzlem koniler, bir ikizkenar yamuktur. Tüm eksenel bölümler yuvarlak düz koniler birbirine eşittir. Bu nedenle, bulmak Meydan eksenel bölümler, bulunması gerekli Meydan tabanları kesilmiş tabanların çapları olan yamuk koniler, ve yanlar onun jeneratörleridir. Kesilmiş Yükseklik koniler aynı zamanda yamuğun yüksekliğidir.

Bir yamuğun alanı şu formülle belirlenir: S = ½(a+b) h, burada S Meydan yamuk; a - yamuğun alt tabanının değeri; b - üst tabanının değeri; h - yamuğun yüksekliği.

Koşul, hangilerinin verildiğini belirtmediğinden, kesiklerin her iki tabanının çaplarının da olması mümkündür. koniler bilinen: AD = d1 kesik olanın alt tabanının çapıdır. koniler;BC = d2 üst tabanının çapıdır; EH = h1 - yükseklik koniler.Böylece, Meydan eksenel bölümler kesilmiş koniler tanımlı: S1 = ½ (d1+d2) h1

Kaynaklar:

• kesik koni alanı

Silindir üç boyutlu bir figürdür ve daireler olan iki eşit tabandan ve tabanları sınırlayan yanal yüzey bağlantı çizgilerinden oluşur. Hesaplamak Meydan silindir, tüm yüzeylerinin alanlarını bulun ve toplayın.