Tangenta k funkcii v bode. online kalkulačka

Článok poskytuje podrobné vysvetlenie definícií, geometrický význam derivátu s grafickým zápisom. Rovnicu dotyčnice budeme uvažovať na príkladoch, nájdeme rovnice dotyčnice ku krivkám 2. rádu.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definícia 1

Uhol sklonu priamky y \u003d k x + b sa nazýva uhol α, ktorý sa meria od kladného smeru osi x k priamke y \u003d k x + b v kladnom smere.

Na obrázku je smer ox označený zelenou šípkou a zeleným oblúkom a uhol sklonu červeným oblúkom. Modrá čiara označuje priamku.

Definícia 2

Sklon priamky y \u003d k x + b sa nazýva číselný koeficient k.

Sklon sa rovná sklonu priamky, inými slovami k = t g α .

• Sklon priamky je 0 iba vtedy, keď je o x rovnobežné a sklon sa rovná nule, pretože dotyčnica nuly je 0. Takže tvar rovnice bude y = b.
• Ak je uhol sklonu priamky y = k x + b ostrý, potom sú podmienky 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 a v grafe je nárast.
• Ak α \u003d π 2, potom je umiestnenie čiary kolmé na x. Rovnosť je určená rovnosťou x = c, pričom hodnota c je reálne číslo.
• Ak je uhol sklonu priamky y = k x + b tupý, potom zodpovedá podmienkam π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Definícia 3

Sečna je priamka, ktorá prechádza 2 bodmi funkcie f (x). Inými slovami, sečna je priamka, ktorá prechádza cez ľubovoľné dva body na grafe danej funkcie.

Obrázok ukazuje, že A B je sečna a f (x) je čierna krivka, α je červený oblúk označujúci uhol sklonu sečny.

Keď sa sklon priamky rovná dotyčnici uhla sklonu, je zrejmé, že dotyčnicu pravouhlého trojuholníka A B C možno nájsť vo vzťahu k protiľahlej vetve k susednej vetve.

Definícia 4

Získame vzorec na nájdenie sekansu formulára:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , kde úsečky bodov A a B sú hodnoty x A , x B a f (x A), f (x B) sú funkcie hodnôt v týchto bodoch.

Je zrejmé, že sklon sečnice je definovaný pomocou rovnosti k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A alebo k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x B, pričom rovnicu treba zapísať ako y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) resp.
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B).

Sekanta vizuálne rozdeľuje graf na 3 časti: naľavo od bodu A, od A do B, napravo od B. Obrázok nižšie ukazuje, že existujú tri sekanty, ktoré sa považujú za rovnaké, to znamená, že sú nastaviť pomocou podobnej rovnice.

Podľa definície je jasné, že čiara a jej sečna sa v tomto prípade zhodujú.

Secant môže pretínať graf danej funkcie viackrát. Ak pre sečnicu existuje rovnica v tvare y \u003d 0, potom je počet priesečníkov so sínusoidom nekonečný.

Definícia 5

Tangenta ku grafu funkcie f (x) v bode x 0 ; f (x 0) sa nazýva priamka prechádzajúca daným bodom x 0; f (x 0) s prítomnosťou segmentu, ktorý má veľa hodnôt x blízkych x 0 .

Príklad 1

Pozrime sa bližšie na príklad nižšie. Potom je možné vidieť, že priamka daná funkciou y = x + 1 sa považuje za dotyčnicu k y = 2 x v bode so súradnicami (1 ; 2) . Pre prehľadnosť je potrebné zvážiť grafy s hodnotami blízkymi (1; 2). Funkcia y = 2 x je označená čiernou farbou, modrá čiara je dotyčnica, červená bodka je priesečník.

Je zrejmé, že y \u003d 2 x sa zlúči s čiarou y \u003d x + 1.

Na určenie dotyčnice je potrebné zvážiť správanie sa dotyčnice A B, keď sa bod B nekonečne približuje k bodu A. Kvôli prehľadnosti uvádzame obrázok.

Sečna A B označená modrou čiarou smeruje k polohe samotnej dotyčnice a uhol sklonu sečny α sa začne približovať k uhlu sklonu samotnej dotyčnice α x.

Definícia 6

Dotyčnica ku grafu funkcie y \u003d f (x) v bode A je limitná poloha sečnice A B v B smerujúcej k A, teda B → A.

Teraz prejdeme k úvahe o geometrickom význame derivácie funkcie v bode.

Prejdime k úvahe o sečnici A B pre funkciu f (x), kde A a B so súradnicami x 0, f (x 0) a x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), a ∆ x sa označuje ako prírastok argumentu . Teraz bude mať funkcia tvar ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Pre názornosť si uveďme obrázok ako príklad.

Zvážte výsledok správny trojuholník A B C. Pre riešenie použijeme definíciu dotyčnice, to znamená, že získame pomer ∆ y ∆ x = t g α . Z definície dotyčnice vyplýva, že lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Podľa derivačného pravidla v bode máme, že derivácia f (x) v bode x 0 sa nazýva limita pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, kde ∆ x → 0, potom označujeme ako f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Z toho vyplýva, že f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, kde k x je označená ako sklon dotyčnice.

To znamená, že získame, že f ' (x) môže existovať v bode x 0 a rovnako aj dotyčnica k danému grafu funkcie v bode dotyku rovná x 0 , f 0 (x 0), kde hodnota sklonu dotyčnice v bode sa rovná derivácii v bode x 0 . Potom dostaneme, že k x = f "(x 0) .

Geometrický význam derivácie funkcie v bode je, že je daný pojem existencie dotyčnice ku grafu v tom istom bode.

Na napísanie rovnice akejkoľvek priamky v rovine je potrebné mať sklon s bodom, ktorým prechádza. Jeho označenie sa berie ako x 0 na križovatke.

Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie y \u003d f (x) v bode x 0, f 0 (x 0) má tvar y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Znamená to, že konečná hodnota derivácie f "(x 0) môže určiť polohu dotyčnice, teda vertikálne za podmienky lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ a lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ alebo neprítomnosť vôbec za podmienky lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) .

Umiestnenie dotyčnice závisí od hodnoty jej sklonu k x \u003d f "(x 0). Keď je rovnobežná s osou x, dostaneme k k \u003d 0, keď je rovnobežná s približne y - k x \u003d ∞, a tvar tangentovej rovnice x \u003d x 0 rastie s k x > 0 , klesá ako k x< 0 .

Príklad 2

Zostavte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 v bode so súradnicami (1; 3) s definíciou uhla sklon.

rozhodnutie

Predpokladom je, že funkcia je definovaná pre všetky reálne čísla. Dostaneme, že bod so súradnicami určenými podmienkou (1 ; 3) je bod dotyku, potom x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

Je potrebné nájsť deriváciu v bode s hodnotou -1. Chápeme to

y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Hodnota f ’ (x) v bode dotyku je sklon dotyčnice, ktorý sa rovná dotyčnici sklonu.

Potom k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

Z toho vyplýva, že α x = a r c t g 3 3 = π 6

odpoveď: dotyčnica má tvar

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Pre názornosť uvádzame príklad v grafickom znázornení.

Čierna farba je použitá pre graf pôvodnej funkcie, modrá farba je dotyčnicový obrázok, červená bodka je dotykový bod. Obrázok vpravo ukazuje zväčšený pohľad.

Príklad 3

Zistite existenciu dotyčnice ku grafu danej funkcie
y = 3 x - 1 5 + 1 v bode so súradnicami (1 ; 1) . Napíšte rovnicu a určte uhol sklonu.

rozhodnutie

Predpokladom je, že definičným oborom danej funkcie je množina všetkých reálnych čísel.

Prejdime k hľadaniu derivátu

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ak x 0 = 1 , potom f ' (x) nie je definované, ale limity sú zapísané ako lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ a lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , čo znamená existenciu vertikálnej dotyčnice pri bod (1 ; 1) .

odpoveď: rovnica bude mať tvar x \u003d 1, kde uhol sklonu bude rovný π 2.

Pre názornosť si to nakreslíme do grafu.

Príklad 4

Nájdite body funkčného grafu y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 , kde

1. Tangenta neexistuje;
2. Dotyčnica je rovnobežná s x;
3. Dotyčnica je rovnobežná s priamkou y = 8 5 x + 4 .

rozhodnutie

Je potrebné venovať pozornosť oblasti definície. Predpokladom je, že funkcia je definovaná na množine všetkých reálnych čísel. Rozbaľte modul a vyriešte sústavu s intervalmi x ∈ - ∞ ; 2 a [-2; +∞). Chápeme to

y = - 115 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [ - 2; +∞)

Funkciu treba odlíšiť. To máme

y" = -115 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [ - 2; +∞)

Keď x = - 2, potom derivácia neexistuje, pretože jednostranné limity nie sú v tomto bode rovnaké:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Vypočítame hodnotu funkcie v bode x \u003d - 2, kde to dostaneme

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, teda dotyčnica na bod (- 2; - 2) nebude existovať.
2. Dotyčnica je rovnobežná s x, keď je sklon nula. Potom k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0). To znamená, že je potrebné nájsť hodnoty takéhoto x, keď ho derivácia funkcie zmení na nulu. Teda hodnoty ​​f ' (x) a budú to dotykové body, kde dotyčnica je rovnobežná s x .

Keď x ∈ - ∞ ; - 2 , potom - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 a pre x ∈ (- 2; + ∞) dostaneme 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; +∞

Vypočítame zodpovedajúce hodnoty funkcie

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 r 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Preto - 5; 85,-4; 4 3, 1; 85, 3; 4 3 sa považujú za požadované body grafu funkcie.

Zvážte grafické znázornenie riešenia.

Čierna čiara je graf funkcie, červené bodky sú dotykové body.

1. Keď sú čiary rovnobežné, sklony sú rovnaké. Potom je potrebné hľadať body grafu funkcie, kde sa sklon bude rovnať hodnote 8 5 . Aby ste to urobili, musíte vyriešiť rovnicu v tvare y "(x) = 8 5. Potom, ak x ∈ - ∞; - 2, dostaneme, že - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, a ak x ∈ ( - 2; + ∞), potom 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 85.

Prvá rovnica nemá korene, pretože diskriminant je menší ako nula. Poďme si to zapísať

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Ďalšia rovnica má teda dva skutočné korene

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; +∞

Prejdime k hľadaniu hodnôt funkcie. Chápeme to

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Body s hodnotami - 1; 4 15, 5; 8 3 sú body, kde dotyčnice sú rovnobežné s priamkou y = 8 5 x + 4 .

odpoveď:čierna čiara - graf funkcie, červená čiara - graf y \u003d 8 5 x + 4, modrá čiara - dotyčnice v bodoch - 1; 4 15, 5; 8 3.

Existencia nekonečného počtu dotyčníc pre dané funkcie je možná.

Príklad 5

Napíšte rovnice všetkých dostupných dotyčníc funkcie y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , ktoré sú kolmé na priamku y = - 2 x + 1 2 .

rozhodnutie

Na zostavenie tangentovej rovnice je potrebné nájsť koeficient a súradnice bodu dotyku na základe podmienky kolmosti čiar. Definícia znie takto: súčin svahov, ktoré sú kolmé na priamky, sa rovná - 1, to znamená, že je napísaný ako k x · k ⊥ = - 1. Z podmienky máme, že sklon je kolmý na priamku a rovná sa k ⊥ = - 2, potom k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Teraz musíme nájsť súradnice dotykových bodov. Musíte nájsť x, po ktorom je jeho hodnota pre danú funkciu. Všimnite si, že z geometrického významu derivácie v bode
x 0 dostaneme, že k x \u003d y "(x 0) . Z tejto rovnosti nájdeme hodnoty x pre dotykové body.

Chápeme to

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ x sin 3 π 4 = - 19

Táto trigonometrická rovnica sa použije na výpočet súradníc bodov dotyku.

3 2 x 0 - π 4 = a rc sin - 1 9 + 2 πk alebo 3 2 x 0 - π 4 = π - a rc sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a rc sin 1 9 + 2 πk alebo 3 2 x 0 - π 4 = π + a rc sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk alebo x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z je množina celých čísel.

Našlo sa x styčných bodov. Teraz musíte prejsť na vyhľadávanie hodnôt y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - hriech 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 alebo y 0 = 3 - 1 - hriech 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 alebo y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 alebo y 0 = - 4 5 + 1 3

Odtiaľto dostaneme, že 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 sú dotykové body.

odpoveď: potrebné rovnice budú napísané ako

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a rc sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Pre vizuálnu reprezentáciu zvážte funkciu a dotyčnicu na súradnicovej čiare.

Obrázok ukazuje, že umiestnenie funkcie je na intervale [-10; 10 ] , kde čierna čiara je grafom funkcie, modré čiary sú dotyčnice, ktoré sú kolmé na danú priamku tvaru y = - 2 x + 1 2 . Červené bodky sú dotykové body.

Kanonické rovnice kriviek 2. rádu nie sú jednohodnotové funkcie. Tangentové rovnice pre nich sú zostavené podľa známych schém.

Tangenta ku kruhu

Ak chcete nastaviť kruh so stredom v bode x c ​​e n t e r ; y c e n t e r a polomer R, použije sa vzorec x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R2.

Túto rovnosť možno zapísať ako spojenie dvoch funkcií:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Prvá funkcia je hore a druhá dole, ako je znázornené na obrázku.

Zostaviť rovnicu kružnice v bode x 0 ; y 0 , ktorý sa nachádza v hornom alebo dolnom polkruhu, mali by ste nájsť rovnicu funkčného grafu tvaru y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r alebo y \u003d - R 2 - x - x c e r 2 y c e n t e r v určenom bode.

Keď v bodoch x c e n t e r ; y c e n t e r + R a x c e n t e r; y c e n t e r - R dotyčnice môžu byť dané rovnicami y = y c e n t e r + R a y = y c e n t e r - R a v bodoch x c e n t e r + R; y c e n t e r a
x c e n t e r - R; y c e n t e r bude rovnobežné s y, potom dostaneme rovnice tvaru x = x c e n t e r + R a x = x c e n t e r - R .

Tangenta k elipse

Keď je elipsa vycentrovaná v x c e n t e r ; y c e n t e r s poloosami a a b , potom ho možno zadať pomocou rovnice x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .

Elipsu a kruh možno označiť kombináciou dvoch funkcií, a to hornej a dolnej polelipsy. Potom to dostaneme

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Ak sú dotyčnice umiestnené vo vrcholoch elipsy, potom sú rovnobežné okolo x alebo okolo y. Pre prehľadnosť zvážte obrázok nižšie.

Príklad 6

Napíšte rovnicu dotyčnice k elipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 v bodoch s hodnotami x rovnými x = 2 .

rozhodnutie

Je potrebné nájsť dotykové body, ktoré zodpovedajú hodnote x = 2. Urobíme substitúciu do existujúcej rovnice elipsy a získame ju

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Potom 2; 5 3 2 + 5 a 2; - 5 3 2 + 5 sú dotykové body, ktoré patria hornej a dolnej polelipse.

Prejdime k hľadaniu a riešeniu rovnice elipsy vzhľadom na y. Chápeme to

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 r - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Je zrejmé, že horná polelipsa je špecifikovaná pomocou funkcie tvaru y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 a dolná y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .

Použijeme štandardný algoritmus, aby sme sformulovali rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode. Píšeme, že rovnica pre prvú dotyčnicu v bode 2 ; 5 3 2 + 5 bude vyzerať

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Dostaneme, že rovnica druhej dotyčnice s hodnotou v bode
2; - 5 3 2 + 5 sa stáva

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Graficky sú dotyčnice označené takto:

Tangenta k hyperbole

Keď má hyperbola stred v bode x c ​​e n t e r ; y c e n t e r a vrcholy x c e n t e r + α ; y c e n t e r a x c e n t e r - a; y c e n t e r , je daná nerovnosť x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 , ak s vrcholmi x c e n t e r ; y c e n t e r + b a x c e n t e r; y c e n t e r - b je potom dané nerovnicou x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = -1 .

Hyperbola môže byť reprezentovaná ako dve kombinované funkcie formulára

y = b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e r alebo y = b a (x - x c - e) ) 2 + a 2 + y c e n t e r

V prvom prípade platí, že dotyčnice sú rovnobežné s y a v druhom sú rovnobežné s x.

Z toho vyplýva, že na nájdenie rovnice dotyčnice k hyperbole je potrebné zistiť, do ktorej funkcie dotyčnicový bod patrí. Aby sme to určili, je potrebné vykonať substitúciu v rovniciach a skontrolovať ich identitu.

Príklad 7

Napíšte rovnicu dotyčnice k hyperbole x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 v bode 7; - 3 3 - 3 .

rozhodnutie

Záznam riešenia nájdenia hyperboly je potrebné transformovať pomocou 2 funkcií. Chápeme to

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 alebo y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Je potrebné zistiť, do ktorej funkcie daný bod so súradnicami 7 patrí; - 3 3 - 3 .

Je zrejmé, že na kontrolu prvej funkcie potrebujete y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , potom bod nepatrí do grafu, pretože nie je splnená rovnosť.

Pre druhú funkciu platí, že y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , čo znamená, že bod patrí do daného grafu. Odtiaľ by ste mali nájsť koeficient sklonu.

Chápeme to

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

odpoveď: tangensová rovnica môže byť reprezentovaná ako

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Je vizualizovaný nasledovne:

Tangenta k parabole

Na zostavenie rovnice dotyčnice k parabole y \u003d a x 2 + b x + c v bode x 0, y (x 0) , musíte použiť štandardný algoritmus, potom bude mať rovnica tvar y \u003d y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Takáto dotyčnica vo vrchole je rovnobežná s x.

Parabola x = a y 2 + b y + c by mala byť definovaná ako spojenie dvoch funkcií. Preto musíme vyriešiť rovnicu pre y. Chápeme to

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Znázornime to ako:

Ak chcete zistiť, či bod x 0 , y (x 0) patrí funkcii, jemne postupujte podľa štandardného algoritmu. Takáto dotyčnica bude rovnobežná s y vzhľadom na parabolu.

Príklad 8

Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu x - 2 y 2 - 5 y + 3, keď máme sklon dotyčnice 150°.

rozhodnutie

Riešenie začneme reprezentáciou paraboly ako dvoch funkcií. Chápeme to

2 r 2 - 5 r + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 r = 5 - 49 - 8 x - 4

Hodnota sklonu sa rovná hodnote derivácie v bode x 0 tejto funkcie a rovná sa dotyčnici sklonu.

Dostaneme:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Odtiaľ určíme hodnotu x pre dotykové body.

Prvá funkcia bude napísaná ako

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Je zrejmé, že neexistujú žiadne skutočné korene, pretože sme dostali zápornú hodnotu. Dospeli sme k záveru, že pre takúto funkciu neexistuje dotyčnica s uhlom 150 °.

Druhá funkcia bude napísaná ako

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Máme, že dotykové body - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

odpoveď: dotyčnica má tvar

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Znázornime to takto:

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Y \u003d f (x) a ak sa v tomto bode dá nakresliť ku grafu funkcie dotyčnica, ktorá nie je kolmá na os x, potom sklon dotyčnice je f "(a). Už sme to použili niekoľko Napríklad v § 33 bolo ustanovené, že graf funkcie y \u003d sin x (sínusoida) v počiatku zviera s osou x (presnejšie dotyčnica ku grafu v bode 1) uhol 45° počiatok zviera uhol 45° s kladným smerom osi x) a v príklade 5 z § 33 boli nájdené body v danom rozvrhu funkcie, v ktorom je dotyčnica rovnobežná s osou x. V príklade 2 § 33 bola zostavená rovnica pre dotyčnicu ku grafu funkcie y \u003d x 2 v bode x \u003d 1 (presnejšie v bode (1; 1), ale častejšie len je uvedená hodnota úsečky za predpokladu, že ak je známa hodnota úsečky, potom hodnotu y y = f(x) možno zistiť). V tejto časti vyvinieme algoritmus na zostavenie rovnice dotyčnice ku grafu ľubovoľnej funkcie.

Nech je daná funkcia y \u003d f (x) a bod M (a; f (a)) a je tiež známe, že f "(a) existuje. Zostavme rovnicu dotyčnice ku grafu daná funkcia v danom bode. Táto rovnica je ako rovnica akejkoľvek priamky, nie rovnobežná s osou y, má tvar y = kx + m, takže problém je nájsť hodnoty koeficientov k a m.

So sklonom k ​​nie sú žiadne problémy: vieme, že k \u003d f "(a). Na výpočet hodnoty m využívame skutočnosť, že požadovaná čiara prechádza bodom M (a; f (a)). To znamená, že ak dosadíme súradnice bodov M do rovnice priamky, dostaneme správnu rovnosť: f (a) \u003d ka + m, odkiaľ zistíme, že m \u003d f (a) - ka.
Zostáva nahradiť nájdené hodnoty koeficientov veľrýb rovnica rovno:

Získali sme rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y \u003d f (x) v bode x \u003d a.
Ak povedzme
Nahradením zistených hodnôt a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) \u003d 2 v rovnici (1) dostaneme: y \u003d 1 + 2 (x-f), t.j. y \u003d 2x -1.
Porovnajte tento výsledok s výsledkom získaným v príklade 2 § 33. Prirodzene, stalo sa to isté.
Zostavme rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y \u003d tg x v počiatku. Máme: teda cos x f "(0) = 1. Dosadením nájdených hodnôt a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 do rovnice (1) dostaneme: y \u003d x .
Preto sme tangencioidu v § 15 (pozri obr. 62) nakreslili cez začiatok súradníc pod uhlom 45° k osi x.
Pri riešení týchto pomerne jednoduchých príkladov sme v skutočnosti použili určitý algoritmus, ktorý je vložený do vzorca (1). Urobme tento algoritmus explicitným.

ALGORITHM NA ZOSTAVENIE ROVNICE FUNKCIE TANGENTY KU GRAFU y \u003d f (x)

1) Označte úsečku styčného bodu písmenom a.
2) Vypočítajte 1 (a).
3) Nájdite f "(x) a vypočítajte f" (a).
4) Dosaďte nájdené čísla a, f(a), (a) do vzorca (1).

Príklad 1 Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode x = 1.
Použime algoritmus, berúc do úvahy, že v tomto príklade

Na obr. 126 ukazuje hyperbolu, vytvorí sa priamka y \u003d 2x.
Nákres potvrdzuje vyššie uvedené výpočty: priamka y \u003d 2-x sa skutočne dotýka hyperboly v bode (1; 1).

odpoveď: y \u003d 2-x.
Príklad 2 Nakreslite dotyčnicu ku grafu funkcie tak, aby bola rovnobežná s priamkou y \u003d 4x - 5.
Upresnime formuláciu problému. Požiadavka „nakresliť dotyčnicu“ zvyčajne znamená „vytvoriť rovnicu pre dotyčnicu“. Je to logické, pretože ak bol človek schopný zostaviť rovnicu pre dotyčnicu, potom je nepravdepodobné, že by mal ťažkosti pri zostavovaní priamky na rovine súradníc podľa jej rovnice.
Použime algoritmus na zostavenie dotyčnicovej rovnice, berúc do úvahy, že v tomto príklade je tu však na rozdiel od predchádzajúceho príkladu nejednoznačnosť: úsečka dotykového bodu nie je explicitne uvedená.
Začnime sa rozprávať takto. Požadovaná dotyčnica musí byť rovnobežná s priamkou y \u003d 4x-5. Dve čiary sú rovnobežné práve vtedy, ak sú ich sklony rovnaké. To znamená, že sklon dotyčnice sa musí rovnať sklonu danej priamky: Hodnotu a teda môžeme nájsť z rovnice f "(a) \u003d 4.
Máme:
Z rovnice So sú dve dotyčnice, ktoré spĺňajú podmienky úlohy: jedna v bode s osou 2, druhá v bode s osou -2.
Teraz môžete konať podľa algoritmu.

Príklad 3 Z bodu (0; 1) nakreslite dotyčnicu ku grafu funkcie
Použime algoritmus na zostavenie rovnice dotyčnice, keďže v tomto príklade Všimnite si, že tu, ako v príklade 2, úsečka dotyčnice nie je explicitne uvedená. Napriek tomu konáme podľa algoritmu.

Podľa podmienky dotyčnica prechádza bodom (0; 1). Dosadením hodnôt x = 0, y = 1 do rovnice (2) dostaneme:
Ako vidíte, v tomto príklade sa nám až vo štvrtom kroku algoritmu podarilo nájsť úsečku bodu dotyku. Nahradením hodnoty a \u003d 4 do rovnice (2) dostaneme:

Na obr. 127 geometrické znázornenie uvažovaného príkladu: graf funkcie

V § 32 sme si všimli, že pre funkciu y = f(x), ktorá má deriváciu v pevnom bode x, platí približná rovnosť:

Pre uľahčenie ďalšieho uvažovania zmeníme zápis: namiesto x napíšeme a, namiesto toho napíšeme x a podľa toho napíšeme x-a. Potom bude mať vyššie napísaná približná rovnosť podobu:

Teraz sa pozrite na obr. 128. Ku grafu funkcie y \u003d f (x) sa nakreslí dotyčnica v bode M (a; f (a)). Označený bod x na osi x blízko a. Je jasné, že f(x) je ordináta grafu funkcie v zadanom bode x. A čo je f (a) + f "(a) (x-a)? Toto je ordináta dotyčnice zodpovedajúcej rovnakému bodu x - pozri vzorec (1). Čo znamená približná rovnosť (3)? To vypočítajte približnú hodnotu funkcie, berie sa hodnota tečnovej ordináty.

Príklad 4 Nájdite približnú hodnotu číselného výrazu 1,02 7 .
Hovoríme o nájdení hodnoty funkcie y \u003d x 7 v bode x \u003d 1,02. Používame vzorec (3), berúc do úvahy, že v tomto príklade
V dôsledku toho dostaneme:

Ak použijeme kalkulačku, dostaneme: 1,02 7 = 1,148685667...
Ako vidíte, presnosť aproximácie je celkom prijateľná.
odpoveď: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovičova algebra 10. ročník

Kalendár-tematické plánovanie v matematike, video v matematike online, Matematika v škole na stiahnutie

Obsah lekcie zhrnutie lekcie podpora rámcová lekcia prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Prax úlohy a cvičenia samoskúšobné workshopy, školenia, prípady, questy domáce úlohy diskusia otázky rečnícke otázky študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafika, tabuľky, schémy humor, anekdoty, vtipy, komiksové podobenstvá, výroky, krížovky, citáty Doplnky abstraktyčlánky čipy pre zvedavých cheat sheets učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a vyučovacích hodínoprava chýb v učebnici aktualizácia fragmentu v učebnici prvky inovácie v lekcii nahradenie zastaraných vedomostí novými Len pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok metodické odporúčania programu diskusie Integrované lekcie

Tangenta je priamka , ktorý sa v jednom bode dotýka grafu funkcie a ktorého všetky body sú v najmenšej vzdialenosti od grafu funkcie. Preto dotyčnica prechádza dotyčnicou ku grafu funkcie pod určitým uhlom a niekoľko dotyčníc nemôže prechádzať bodom dotyčnice pod rôznymi uhlami. Dotyčnicové rovnice a rovnice normály ku grafu funkcie sú zostavené pomocou derivácie.

Rovnica dotyčnice je odvodená z rovnice priamky .

Odvodíme rovnicu dotyčnice a potom rovnicu normály ku grafu funkcie.

r = kx + b .

V ňom k- uhlový koeficient.

Odtiaľ dostaneme nasledujúci záznam:

r - r 0 = k(X - X 0 ) .

Hodnota derivátu f "(X 0 ) funkcie r = f(X) v bode X0 rovná sklonu k=tg φ dotyčnica ku grafu funkcie nakreslenej cez bod M0 (X 0 , r 0 ) , kde r0 = f(X 0 ) . To je čo geometrický význam derivátu .

Môžeme teda nahradiť k na f "(X 0 ) a získajte nasledujúce rovnica dotyčnice ku grafu funkcie :

r - r 0 = f "(X 0 )(X - X 0 ) .

V úlohách na zostavenie rovnice dotyčnice ku grafu funkcie (a čoskoro k nim prejdeme) je potrebné uviesť rovnicu získanú z vyššie uvedeného vzorca do všeobecná rovnica priamky. Aby ste to dosiahli, musíte preniesť všetky písmená a čísla na ľavú stranu rovnice a na pravej strane nechať nulu.

Teraz o normálnej rovnici. Normálne je priamka prechádzajúca bodom dotyčnice ku grafu funkcie kolmá na dotyčnicu. Normálna rovnica :

(X - X 0 ) + f "(X 0 )(r - r 0 ) = 0

Ak chcete zahriať prvý príklad, musíte ho vyriešiť sami a potom sa pozrieť na riešenie. Je dôvod dúfať, že táto úloha nebude pre našich čitateľov „studenou sprchou“.

Príklad 0. Zostavte rovnicu dotyčnice a rovnicu normály ku grafu funkcie v bode M (1, 1) .

Príklad 1 Zostavte rovnicu dotyčnice a rovnicu normály ku grafu funkcie ak úsečka bodu dotyku je .

Poďme nájsť deriváciu funkcie:

Teraz máme všetko, čo je potrebné dosadiť do položky uvedenej v teoretickej referencii, aby sme získali tangentovú rovnicu. Dostaneme

V tomto príklade sme mali šťastie: sklon sa ukázal byť rovný nule, takže nebolo potrebné samostatne uviesť rovnicu do všeobecného tvaru. Teraz môžeme napísať normálnu rovnicu:

Na obrázku nižšie: graf funkcie v bordovej farbe, dotyčnica v zelenej, normála v oranžovej.

Nasledujúci príklad tiež nie je komplikovaný: funkcia, ako v predchádzajúcom, je tiež polynóm, ale koeficient sklonu sa nebude rovnať nule, takže sa pridá ešte jeden krok - uvedenie rovnice do všeobecného tvaru.

Príklad 2

rozhodnutie. Poďme nájsť ordinátu bodu dotyku:

Poďme nájsť deriváciu funkcie:

.

Nájdite hodnotu derivácie v bode dotyku, teda sklon dotyčnice:

Všetky získané údaje dosadíme do „prázdneho vzorca“ a dostaneme tangentovú rovnicu:

Privedieme rovnicu do všeobecného tvaru (zhromažďujeme všetky písmená a čísla iné ako nula na ľavej strane a nulu necháme na pravej strane):

Zostavíme rovnicu normály:

Príklad 3 Zostavte rovnicu dotyčnice a rovnicu normály ku grafu funkcie, ak úsečka bodu dotyku je .

rozhodnutie. Poďme nájsť ordinátu bodu dotyku:

Poďme nájsť deriváciu funkcie:

.

Nájdite hodnotu derivácie v bode dotyku, teda sklon dotyčnice:

.

Nájdeme rovnicu dotyčnice:

Pred uvedením rovnice do všeobecného tvaru ju musíte trochu „skombinovať“: vynásobte člen po člene 4. Urobíme to a rovnicu uvedieme do všeobecného tvaru:

Zostavíme rovnicu normály:

Príklad 4 Zostavte rovnicu dotyčnice a rovnicu normály ku grafu funkcie, ak úsečka bodu dotyku je .

rozhodnutie. Poďme nájsť ordinátu bodu dotyku:

.

Poďme nájsť deriváciu funkcie:

Nájdite hodnotu derivácie v bode dotyku, teda sklon dotyčnice:

.

Dostaneme tangentovú rovnicu:

Prinášame rovnicu do všeobecného tvaru:

Zostavíme rovnicu normály:

Častou chybou pri písaní tangensových a normálnych rovníc je nevšimnúť si, že funkcia uvedená v príklade je zložitá a vypočítať jej deriváciu ako deriváciu jednoduchej funkcie. Nasledujúce príklady už sú komplexné funkcie(príslušná lekcia sa otvorí v novom okne).

Príklad 5 Zostavte rovnicu dotyčnice a rovnicu normály ku grafu funkcie, ak úsečka bodu dotyku je .

rozhodnutie. Poďme nájsť ordinátu bodu dotyku:

Pozor! Táto funkcia je zložitá, pretože argument dotyčnice (2 X) je sama o sebe funkciou. Preto deriváciu funkcie nájdeme ako deriváciu komplexnej funkcie.

Príklad 1 Daná funkcia f(X) = 3X 2 + 4X– 5. Napíšme rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f(X) v bode grafu s úsečkou X 0 = 1.

rozhodnutie. Derivácia funkcie f(X) existuje pre ľubovoľné x R . Poďme to nájsť:

= (3X 2 + 4X– 5)′ = 6 X + 4.

Potom f(X 0) = f(1) = 2; (X 0) = = 10. Rovnica dotyčnice má tvar:

r = (X 0) (X – X 0) + f(X 0),

r = 10(X – 1) + 2,

r = 10X – 8.

Odpoveď. r = 10X – 8.

Príklad 2 Daná funkcia f(X) = X 3 – 3X 2 + 2X+ 5. Napíšeme rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f(X), rovnobežne s čiarou r = 2X – 11.

rozhodnutie. Derivácia funkcie f(X) existuje pre ľubovoľné x R . Poďme to nájsť:

= (X 3 – 3X 2 + 2X+ 5)′ = 3 X 2 – 6X + 2.

Od dotyčnice ku grafu funkcie f(X) v bode s osou x X 0 je rovnobežná s čiarou r = 2X– 11, potom je jeho sklon 2, t.j. ( X 0) = 2. Nájdite túto úsečku od podmienky, že 3 X– 6X 0 + 2 = 2. Táto rovnosť platí len pre X 0 = 0 a X 0 = 2. Keďže v oboch prípadoch f(X 0) = 5, potom priamka r = 2X + b sa dotkne grafu funkcie buď v bode (0; 5) alebo v bode (2; 5).

V prvom prípade platí číselná rovnosť 5 = 2×0 + b, kde b= 5 a v druhom prípade platí číselná rovnosť 5 = 2 × 2 + b, kde b = 1.

Existujú teda dve dotyčnice r = 2X+ 5 a r = 2X+ 1 ku grafu funkcie f(X) rovnobežne s čiarou r = 2X – 11.

Odpoveď. r = 2X + 5, r = 2X + 1.

Príklad 3 Daná funkcia f(X) = X 2 – 6X+ 7. Napíšeme rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f(X) prechádzajúci bodom A (2; –5).

rozhodnutie. Ako f(2) –5, potom bod A nepatrí do grafu funkcie f(X). Nechaj X 0 - súradnica bodu dotyku.

Derivácia funkcie f(X) existuje pre ľubovoľné x R . Poďme to nájsť:

= (X 2 – 6X+ 1)′ = 2 X – 6.

Potom f(X 0) = X– 6X 0 + 7; (X 0) = 2X 0 - 6. Rovnica dotyčnice má tvar:

r = (2X 0 – 6)(X – X 0) + X– 6X+ 7,

r = (2X 0 – 6)X– X+ 7.

Od veci A patrí dotyčnici, potom platí číselná rovnosť

–5 = (2X 0 – 6) × 2– X+ 7,

kde X 0 = 0 alebo X 0 = 4. To znamená, že cez bod A je možné nakresliť dve dotyčnice ku grafu funkcie f(X).

Ak X 0 = 0, potom rovnica dotyčnice má tvar r = –6X+ 7. Ak X 0 = 4, potom rovnica dotyčnice má tvar r = 2X – 9.

Odpoveď. r = –6X + 7, r = 2X – 9.

Príklad 4 Dané funkcie f(X) = X 2 – 2X+ 2 a g(X) = –X 2 - 3. Napíšme rovnicu spoločnej dotyčnice ku grafom týchto funkcií.

rozhodnutie. Nechaj X 1 - úsečka bodu dotyku požadovanej priamky s grafom funkcie f(X), a X 2 - úsečka bodu dotyku tej istej priamky s grafom funkcie g(X).

Derivácia funkcie f(X) existuje pre ľubovoľné x R . Poďme to nájsť:

= (X 2 – 2X+ 2)′ = 2 X – 2.

Potom f(X 1) = X– 2X 1 + 2; (X 1) = 2X 1 - 2. Rovnica dotyčnice má tvar:

r = (2X 1 – 2)(X – X 1) + X– 2X 1 + 2,

r = (2X 1 – 2)X – X+ 2. (1)

Poďme nájsť deriváciu funkcie g(X):

= (–X 2 – 3)′ = –2 X.

Video tutoriál "Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie" demonštruje vzdelávací materiál na zvládnutie témy. Počas video lekcie je prezentovaný teoretický materiál potrebný na vytvorenie konceptu rovnice dotyčnice ku grafu funkcie v danom bode, algoritmus na nájdenie takejto dotyčnice, príklady riešenia problémov pomocou študovaných teoretických materiál je popísaný.

Video tutoriál využíva metódy, ktoré zlepšujú viditeľnosť materiálu. Do zobrazenia sa vkladajú kresby, diagramy, poskytujú sa dôležité hlasové komentáre, používa sa animácia, farebné zvýraznenie a ďalšie nástroje.

Video lekcia začína prezentáciou témy lekcie a obrázkom dotyčnice ku grafu nejakej funkcie y=f(x) v bode M(a;f(a)). Je známe, že sklon dotyčnice nakreslenej ku grafu v danom bode sa rovná derivácii funkcie f΄(a) v danom bode. Aj z kurzu algebry je známa rovnica priamky y=kx+m. Schematicky je prezentované riešenie problému nájdenia dotyčnicovej rovnice v bode, ktoré sa redukuje na nájdenie koeficientov k, m. Pri poznaní súradníc bodu prislúchajúceho grafu funkcie nájdeme m dosadením hodnoty súradníc do rovnice dotyčnice f(a)=ka+m. Z toho zistíme m=f(a)-ka. Keď teda poznáme hodnotu derivácie v danom bode a súradnice bodu, môžeme rovnicu dotyčnice reprezentovať týmto spôsobom y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Nasleduje príklad zostavenia tangentovej rovnice podľa schémy. Daná funkcia y=x2, x=-2. Po akceptovaní a=-2 nájdeme hodnotu funkcie v tomto bode f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Určíme deriváciu funkcie f΄(х)=2х. V tomto bode sa derivácia rovná f΄(a)= f΄(-2)=2 (-2)=-4. Na zostavenie rovnice sa nájdu všetky koeficienty a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, teda rovnica dotyčnice y=4+(-4)(x+2). Zjednodušením rovnice dostaneme y \u003d -4-4x.

V nasledujúcom príklade sa navrhuje sformulovať rovnicu dotyčnice v počiatku ku grafu funkcie y=tgx. V tomto bode a=0, f(0)=0, f΄(х)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Takže rovnica dotyčnice vyzerá ako y=x.

Ako zovšeobecnenie je proces zostavovania rovnice dotyčnice k funkčnému grafu v určitom bode formalizovaný ako algoritmus pozostávajúci zo 4 krokov:

• Zavádza sa označenie pre úsečku bodu kontaktu;
• f(a) sa vypočíta;
• Stanoví sa F΄(х) a vypočíta sa f΄(a). Nájdené hodnoty a, f(a), f΄(a) sa dosadia do vzorca tangentovej rovnice y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Príklad 1 uvažuje o zostavení rovnice dotyčnice ku grafu funkcie y \u003d 1 / x v bode x \u003d 1. Na vyriešenie problému používame algoritmus. Pre túto funkciu v bode a=1 je hodnota funkcie f(a)=-1. Derivácia funkcie f΄(х)=1/х 2 . V bode a=1 je derivácia f΄(a)= f΄(1)=1. Pomocou získaných údajov sa zostaví rovnica dotyčnice y \u003d -1 + (x-1) alebo y \u003d x-2.

V príklade 2 musíte nájsť rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y \u003d x 3 +3x 2 -2x-2. Hlavnou podmienkou je rovnobežnosť dotyčnice a priamky y \u003d -2x + 1. Najprv nájdeme sklon dotyčnice rovný sklonu priamky y \u003d -2x + 1. Pretože f΄(a)=-2 pre túto priamku, potom k=-2 pre požadovanú dotyčnicu. Nájdeme deriváciu funkcie (x 3 + 3x 2 -2x-2) ΄ \u003d 3x 2 + 6x-2. Keď vieme, že f΄(a)=-2, nájdeme súradnice bodu 3а 2 +6а-2=-2. Vyriešením rovnice dostaneme 1 \u003d 0 a 2 \u003d -2. Pomocou nájdených súradníc môžete nájsť rovnicu dotyčnice pomocou dobre známeho algoritmu. Hodnotu funkcie nájdeme v bodoch f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Hodnota derivácie v bode f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Nahradením nájdených hodnôt do dotyčnicovej rovnice získame pre prvý bod a 1 \u003d 0 y \u003d -2x-2 a pre druhý bod a 2 \u003d -2 dotyčnicovú rovnicu y \u003d -2x- 22.

Príklad 3 popisuje formuláciu tangentovej rovnice pre jej vykreslenie v bode (0;3) ku grafu funkcie y=√x. Rozhodnutie sa robí podľa známeho algoritmu. Dotykový bod má súradnice x=a, kde a>0. Hodnota funkcie v bode f(a)=√x. Derivácia funkcie f΄(х)=1/2√х teda v danom bode f΄(а)=1/2√а. Nahradením všetkých získaných hodnôt do tangentovej rovnice dostaneme y \u003d √a + (x-a) / 2√a. Transformáciou rovnice dostaneme y=x/2√a+√a/2. Keď vieme, že dotyčnica prechádza bodom (0; 3), zistíme hodnotu a. Nájdite a z 3=√a/2. Preto √a=6, a=36. Nájdeme rovnicu dotyčnice y \u003d x / 12 + 3. Na obrázku je znázornený graf uvažovanej funkcie a zostrojená požadovaná dotyčnica.

Žiakom pripomenieme približné rovnosti Δy=≈f΄(x)Δxa f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Ak vezmeme x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, dostaneme f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), teda f(x)≈f(a)+ f΄( a) (x-a).

V príklade 4 je potrebné nájsť približnú hodnotu výrazu 2,003 6 . Pretože je potrebné nájsť hodnotu funkcie f (x) \u003d x 6 v bode x \u003d 2,003, môžeme použiť známy vzorec, pričom f (x) \u003d x 6, a \u003d 2 , f (a) \u003d f (2) \u003d 64, f ΄(x)=6х5. Derivát v bode f΄(2)=192. Preto 2,003 6 ≈65-192 0,003. Po výpočte výrazu dostaneme 2,003 6 ≈64,576.

Video lekcia „Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie“ sa odporúča použiť na tradičnej hodine matematiky v škole. Učiteľovi diaľkového vzdelávania pomôže video materiál jasnejšie vysvetliť tému. Video môže byť študentom odporúčané na vlastné uváženie, ak je to potrebné na prehĺbenie pochopenia predmetu.

INTERPRETÁCIA TEXTU:

Vieme, že ak bod M (a; f (a)) (em so súradnicami a a eff z a) patrí do grafu funkcie y \u003d f (x) a ak v tomto bode možno nakresliť dotyčnicu k graf funkcie, nie je kolmý na os x, potom je sklon dotyčnice f"(a) (ef ťah od a).

Nech je daná funkcia y = f(x) a bod M (a; f(a)) a je tiež známe, že f´(a) existuje. Zostavme rovnicu dotyčnice ku grafu danej funkcie v danom bode. Táto rovnica, rovnako ako rovnica akejkoľvek priamky, ktorá nie je rovnobežná s osou y, má tvar y = kx + m (y sa rovná ka x plus em), takže úlohou je nájsť hodnoty koeficientov k a m. (ka a em)

Sklon k \u003d f "(a). Na výpočet hodnoty m využívame skutočnosť, že požadovaná priamka prechádza bodom M (a; f (a)). To znamená, že ak dosadíme súradnice bod M v rovnici priamky dostaneme správnu rovnosť : f(a) = ka+m, odkiaľ zistíme, že m = f(a) - ka.

Zostáva nahradiť nájdené hodnoty koeficientov ki a m do rovnice priamky:

y = kx+(f(a)-ka);

y = f(a)+k(x-a);

r= f(a)+ f"(a) (X- a). ( Y sa rovná eff z plus ef zdvih od násobku x mínus a).

Získali sme rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y = f(x) v bode x=a.

Ak povedzme y \u003d x 2 a x \u003d -2 (t.j. a \u003d -2), potom f (a) \u003d f (-2) \u003d (-2) 2 \u003d 4; f´(x) \u003d 2x, takže f "(a) \u003d f´(-2) \u003d 2 (-2) \u003d -4. (potom eff od a sa rovná štyrom, eff prvočíslo od x je rovná sa dvom x, čo znamená ef zdvih od a rovná sa mínus štyri)

Nahradením nájdených hodnôt v rovnici a \u003d -2, f (a) \u003d 4, f "(a) \u003d -4 dostaneme: y \u003d 4 + (-4) (x + 2) , t.j. y \u003d -4x -štyri.

(y sa rovná mínus štyri x mínus štyri)

Zostavme rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y \u003d tgx (y sa rovná dotyčnici x) v počiatku. Máme: a = 0, f(0) = tg0=0;

f"(x)=, takže f"(0) = l. Dosadením nájdených hodnôt a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 do rovnice dostaneme: y=x.

Zovšeobecníme naše kroky na nájdenie rovnice dotyčnice ku grafu funkcie v bode x pomocou algoritmu.

ALGORITHM NA ZLOŽENIE ROVNICE FUNKCIE dotyčnice ku GRAFu y \u003d f (x):

1) Označte úsečku styčného bodu písmenom a.

2) Vypočítajte f(a).

3) Nájdite f´(x) a vypočítajte f´(a).

4) Dosaďte do vzorca nájdené čísla a, f(a), f´(a). r= f(a)+ f"(a) (X- a).

Príklad 1. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y \u003d - v

bod x = 1.

rozhodnutie. Použime algoritmus, berúc do úvahy, že v tomto príklade

2) f(a)=f(1)=-=-1

3) f'(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Nahraďte tri nájdené čísla: a \u003d 1, f (a) \u003d -1, f "(a) \u003d 1 do vzorca. Dostaneme: y \u003d -1 + (x-1), y \u003d x-2.

Odpoveď: y = x-2.

Príklad 2. Daná funkcia y = x 3 + 3 x 2 -2 x - 2. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y \u003d f (x), rovnobežne s priamkou y \u003d -2x +1.

Použitím algoritmu na zostavenie tangentovej rovnice berieme do úvahy, že v tomto príklade f(x) = x 3 + 3 x 2 -2 x - 2, ale úsečka bodu dotyku tu nie je špecifikovaná.

Začnime sa rozprávať takto. Požadovaná dotyčnica musí byť rovnobežná s priamkou y \u003d -2x + 1. A rovnobežné čiary majú rovnaké sklony. Sklon dotyčnice sa teda rovná sklonu danej priamky: k cas. = -2. Hok cas. = f "(a). Hodnotu a teda môžeme nájsť z rovnice f ´ (a) \u003d -2.

Poďme nájsť deriváciu funkcie y=f(X):

f"(X) \u003d (x 3 + 3x 2 -2x-2)' \u003d 3x 2 + 6x-2;f"(a) \u003d 3a 2 + 6a-2.

Z rovnice f "(a) \u003d -2, t.j. 3а 2 + 6а-2\u003d -2 nájdeme 1 \u003d 0, a 2 \u003d -2. To znamená, že existujú dve dotyčnice, ktoré spĺňajú podmienky úlohy: jedna v bode s osou 0, druhá v bode s osou -2.

Teraz môžete konať podľa algoritmu.

1) a 1 \u003d 0 a 2 \u003d -2.

2) f(a1) = 0 3 + 3 0 2 -2∙0-2=-2; f(a2)= (-2)3+3 (-2)2-2 (-2)-2=6;

3) f "(a 1) = f" (a 2) = -2.

4) Nahradením hodnôt a 1 = 0, f (a 1) = -2, f "(a 1) = -2 do vzorca dostaneme:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Nahradením hodnôt a 2 \u003d -2, f (a 2) \u003d 6, f "(a 2) \u003d -2 do vzorca dostaneme:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Odpoveď: y=-2x-2, y=-2x+2.

Príklad 3. Z bodu (0; 3) nakreslite dotyčnicu ku grafu funkcie y \u003d. rozhodnutie. Použime algoritmus na zostavenie tangentovej rovnice, keďže v tomto príklade f(x) = . Všimnite si, že tu, ako v príklade 2, nie je úsečka bodu dotyku explicitne uvedená. Napriek tomu konáme podľa algoritmu.

1) Nech x = a je úsečka bodu dotyku; je jasné, že a > 0.

3) f´(x)=()´=; f'(a) =.

4) Dosadenie hodnôt a, f(a) = , f "(a) = do vzorca

y \u003d f (a) + f "(a) (x-a), dostaneme:

Podľa podmienky dotyčnica prechádza bodom (0; 3). Nahradením hodnôt x = 0, y = 3 do rovnice dostaneme: 3 = a potom =6, a =36.

Ako vidíte, v tomto príklade sa nám až vo štvrtom kroku algoritmu podarilo nájsť úsečku bodu dotyku. Dosadením hodnoty a =36 do rovnice dostaneme: y=+3

Na obr. Obrázok 1 predstavuje geometrickú ilustráciu uvažovaného príkladu: vykreslí sa graf funkcie y \u003d, nakreslí sa priamka y \u003d +3.

Odpoveď: y = +3.

Vieme, že pre funkciu y = f(x), ktorá má deriváciu v bode x, platí približná rovnosť: Δyf´(x)Δx

alebo podrobnejšie f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (ef od x plus delta x mínus ef od x sa približne rovná ef prvočíslo od x po delta x).

Pre uľahčenie ďalšieho uvažovania meníme zápis:

namiesto x budeme písať a,

namiesto x + Δx budeme písať x

namiesto Δx budeme písať x-a.

Potom bude mať vyššie napísaná približná rovnosť podobu:

f(x)-f(a)f'(a)(x-a)

f(x)f(a)+f'(a)(x-a). (ef z x sa približne rovná eff z plus ef zdvih z a, vynásobený rozdielom medzi x a a).

Príklad 4. Nájdite približnú hodnotu číselného výrazu 2,003 6 .

rozhodnutie. Hovoríme o nájdení hodnoty funkcie y \u003d x 6 v bode x \u003d 2,003. Použime vzorec f(x)f(a)+f´(a)(x-a), berúc do úvahy, že v tomto príklade f(x)=x 6 , a = 2, f(a) = f(2) = 2 6 = 64; x \u003d 2,003, f "(x) \u003d 6x 5 a teda f" (a) \u003d f "(2) \u003d 6 2 5 \u003d 192.

V dôsledku toho dostaneme:

2,003 6 64+192 0,003, t.j. 2,0036 = 64,576.

Ak použijeme kalkulačku, dostaneme:

2,003 6 = 64,5781643...

Ako vidíte, presnosť aproximácie je celkom prijateľná.