Nota 1

Una función booleana se puede escribir usando una expresión booleana y luego se puede mover a un circuito lógico. Es necesario simplificar las expresiones lógicas para obtener el circuito lógico más simple (y por tanto más barato) posible. De hecho, una función lógica, una expresión lógica y un circuito lógico son tres lenguajes diferentes que hablan de una entidad.

Para simplificar expresiones lógicas utilice leyes de la lógica del álgebra.

Algunas transformaciones son similares a las transformaciones de fórmulas del álgebra clásica (quitando el factor común de paréntesis, usando leyes conmutativas y combinatorias, etc.), mientras que otras transformaciones se basan en propiedades que las operaciones del álgebra clásica no tienen (usando el método distributivo). ley de conjunción, leyes de absorción, pegado, reglas de Morgan, etc.).

Las leyes del álgebra lógica están formuladas para operaciones lógicas básicas: “NO” – inversión (negación), “Y” – conjunción (multiplicación lógica) y “O” – disyunción (suma lógica).

La ley de la doble negación significa que la operación "NO" es reversible: si la aplicas dos veces, al final el valor lógico no cambiará.

La ley del tercero excluido establece que cualquier expresión lógica es verdadera o falsa (“no hay un tercero”). Por lo tanto, si $A=1$, entonces $\bar(A)=0$ (y viceversa), lo que significa que la conjunción de estas cantidades siempre es igual a cero, y la disyunción siempre es igual a uno.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Simplifiquemos esta fórmula:

Figura 3.

Se deduce que $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Respuesta: Los estudiantes $B$, $C$ y $D$ juegan al ajedrez, pero el estudiante $A$ no juega.

Al simplificar expresiones lógicas, puede realizar la siguiente secuencia de acciones:

1. Reemplazar todas las operaciones “no básicas” (equivalencia, implicación, OR exclusivo, etc.) por sus expresiones a través de las operaciones básicas de inversión, conjunción y disyunción.
2. Amplíe las inversiones de expresiones complejas según las reglas de De Morgan de tal manera que las operaciones de negación permanezcan solo para variables individuales.
3. Luego simplifique la expresión usando paréntesis de apertura, colocando factores comunes fuera de los paréntesis y otras leyes del álgebra lógica.

Ejemplo 2

Aquí se utilizan sucesivamente la regla de De Morgan, la ley distributiva, la ley del tercero excluido, la ley conmutativa, la ley de repetición, nuevamente la ley conmutativa y la ley de absorción.

Cada término y sumar los productos resultantes. Esta regla expresa la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma. Usando letras se escribe así:

(a + b)c = ca + antes de Cristo

Las expresiones (9 - 5) 3 y 9 3 - 5 3 tienen el mismo significado, ya que (9 - 5) 3 = 4 3 = 12 y 9 3 - 5 3 = 27 - 15 = 12.

Para multiplicar la diferencia por un número, puedes multiplicar el minuendo y el sustraendo por este número y restar el segundo del primer producto.

Esta regla se llama propiedad distributiva. multiplicación respecto a la resta.
Usando letras se escribe así:

(a - b)c = ac - ser.

La propiedad distributiva de la multiplicación te permite simplificar expresiones de la forma 3 + la o 26x - 12x.

Tenemos: Para + 7a = (3 + 7)a = 10a.

Suelen escribir inmediatamente:

Porque + 7a = 10a (tres a y siete a son diez a).

26x - 12x = (26- 12)x= 14x.

Suelen escribir inmediatamente:

26x - 12x = 14x (26 x menos 12 x es igual a 14 x).

a) 23a+37a; c) 48x+x; mi) 27r - 17r; g) 32l-l;
b) 4 años + 26 años; d) a los 4-56 años; e) 84b - 80b; h) 1000k-k.

564. Sea el precio de 1 kg de harina un r. y el precio de 1 kg de azúcar b r. ¿Qué significa la expresión?

a) 9a + 9b; b) 9(a+b); c) 10b-10a?

565. La distancia entre los dos pueblos es de 18 km. Dos ciclistas salieron de ellos en direcciones opuestas. Uno recorre t km por hora y el otro recorre p km. ¿Cuál será la distancia entre ellos después de 4 horas?

566. Encuentra el significado de la expresión:

a) 38a + 62a en a = 238; 489;

b) 375b - 175b en b = 48; 517.

567. Encuentra el significado de la expresión:

a) 32x + 32y, si x = 4, y = 26;
b) 11m - 11n, si m = 308, n = 208.

568. Resuelve la ecuación:

a) 4x + 4x = 424; c) 9z-z = 500; e) 4l + 5l + l = 1200
b) 15 años - 8 años = 714; d) 10k-k=702; e) 6t + 3t +t = 6400

569. Encuentra en qué valor de la letra:

a) la expresión 7x es mayor que 4x por 51;
b) la expresión 6p es menor que 23p? en 102;
c) la suma de 8a y 3a es 4466;
d) la diferencia entre 25c y 5c es 6060.

570. Escribe la oración como una igualdad y descubre para qué valores de letras es verdadera esta igualdad:

a) la suma de Zx y bx es igual a 96;
b) la diferencia entre 11y y 2y es 99;
c) Zz es mayor que z en 48;

d) 27m es 12 menos que 201;
e) 8n es la mitad de 208;
e) 380 es 19 veces más que 10 rublos.

571. Inventa una ecuación basada en la Figura 54 y resuélvela.

572. ¿Cuáles son los lados en la Figura 55 si su perímetro es 240 cm?

573. Simplifica la expresión:

a) Para + 17 + Para + 14;
b) k + 35 4- 4k + 26.

574. Resuelve la ecuación:

a) 3x 4- 7x + 18 = 178;
b) 6 años - 2 años + 25 = 65;
c) 7z + 62 - 13 = 130; "bx cm
d) 21t - 4t - 17 = 17.

575. Simplifica la expresión:

a) 6 3k; b) 8p 21; c)r 14 17

576. Resuelve la ecuación:

a) 4·25x = 800;
b) para 5 20 = 500;

c) 21 8p = 168;
d) metro 3 33 = 990.

577. Tengo un número en mente. Si lo aumentas por 15 y multiplicas el resultado por 8, obtienes 160. ¿Qué número tenía en mente?

578. El libro contiene un cuento y un relato, que en conjunto ocupan 70 páginas. El cuento ocupa 4 veces más páginas que el cuento. ¿Cuántas páginas tiene la historia y cuántas páginas tiene la historia?

Solución. Deje que la historia ocupe x páginas, luego la historia ocupa 4x páginas. Por condición tareas, la historia y el cuento juntos ocupan 70 páginas. Obtenemos la ecuación: 4x + x = 70. Por tanto, bx = 70, x = 70: 5, x = 14. Esto significa que la historia ocupa 14 páginas y la historia ocupa 56 páginas (14 4 = 56).

Comprobando la raíz de una ecuación: 14 + 56 = 70.

579. Durante la cosecha de patatas, recolectamos 1.650 kg por día. Después del almuerzo recolectamos 2 veces menos que antes del almuerzo. ¿Cuántas patatas cosechaste después del almuerzo?

580. Se compraron 220 mesas y sillas para la escuela, y había 9 veces más sillas que mesas. ¿Cuántas mesas y cuántas sillas compraste?

581. El área de la cocina es 3 veces menor que el área de la habitación, por lo que para reparar el piso de la cocina se necesitaron 24 m2 de linóleo menos que para la habitación. ¿Cuál es el área de la cocina?

582. El punto M divide el segmento AB en dos segmentos: AM y MB. Segmento de línea AM es 5 veces más largo que el segmento MB y el segmento MB es 24 mm más corto que el segmento AM. Encuentre la longitud del segmento AM, la longitud del segmento MB y la longitud del segmento AB.

583. Para preparar la bebida, tomar 2 partes de almíbar de cereza y 5 partes de agua. ¿Cuánto almíbar hay que tomar para obtener 700 g de bebida?

Solución. Sea la masa de una parte de la bebida x g. Entonces la masa del almíbar es 2x g y la masa de la bebida es (2x + bx) g. Según las condiciones del problema, la masa de la bebida. es 700 g Obtenemos la ecuación: 2x + bx = 700.

Por tanto, 7x = 700, x = 700: 7 y x = 100, es decir, la masa de una parte es 100 g. Por lo tanto, es necesario tomar 200 g de almíbar (100 2 = 200) y 500 g de agua (100. 5 = 500).

Comprueba: 200 + 500 = 700.

584. Al moler centeno se obtienen 6 partes de harina y 2 partes de salvado. ¿Cuánta harina obtendrás si mueles 1 tonelada de centeno?

585. Para preparar una composición para pulir productos de cobre, se toman 10 partes de agua, 5 partes de amoníaco y 2 partes de tiza (en peso). ¿Cuántos gramos de cada sustancia se deben tomar para preparar 340 g de la composición?

586. Para preparar vidrio de botella, se toman 25 partes de arena, 9 partes de refresco y 5 partes de cal (en peso). ¿Cuánta soda se necesitará para fabricar 390 kg de vidrio?

587. El helado contiene 7 partes de agua, 2 partes de grasa láctea y 2 partes de azúcar (en peso). ¿Cuánta azúcar se necesita para hacer 4400 kg de helado?

588. Hay el doble de casas de un lado de la calle que del otro. Cuando se construyeron 12 casas más en la calle, el total llegó a 99 casas. ¿Cuántas casas había a cada lado de la calle?

589. Usando la igualdad numérica 3-12 + 4- 12+ 15- 12 = 264, crea una ecuación que tenga la raíz 12 y contenga la letra x tres veces. Crea un problema usando esta ecuación.

590. Calcular verbalmente:

591. Encuentra el significado de la expresión de la forma más conveniente:

a) 125 23 8; b) 11 16 125; c) 19+78+845+81+155.

592. Encuentra la raíz de la ecuación:

a) 45 = 45 + y c) y - 45 = 45;
b) 45 - y = 45; d) 0 = 45 - x.

593. Adivina las raíces de la ecuación:

a) x- 197 = 2945 - 197;
b) y: 89 = 1068: 89;
c) 365a = 53.365.

594. Plantea un problema usando la ecuación:

a) Para + 2a = 75;
b) s + s + s = 46 + s;
c)m + 5m = 90.

595. Cuando se suman, ¿qué números pueden dar como resultado 0? Piensa en los casos en los que obtienes el número 0 al restar, al multiplicar, al dividir.

596. Suma de cinco números naturales es igual al producto de estos números. ¿Cuáles son estos números?

597. A Sasha le gusta resolver problemas difíciles. Dijo que en 4 días pudo resolver 23 problemas. Cada día siguiente resolvió más problemas que el día anterior, y el cuarto día resolvió cuatro veces más que el primero. ¿Cuántos problemas resolvió Sasha en cada uno de estos cuatro días?

598. El código para abrir la caja fuerte consta de cuatro dígitos. ¿Cuántas opciones de códigos diferentes existen para esta caja fuerte?

599. Realizar división con resto:

978: 13; 780: 24; 4295: 126.

600. Calcula el dividendo si el cociente incompleto es 25, divisor 8, resto 5.

601. Resuelve la ecuación:

a) x: 16 = 324 + 284;
b) 1344: y = 543 - 487;
c) z49 = 927 + 935;
d) (3724 + p): 54 = 69;
e) 992: (130-k) = 8;
e) (148-m) 31 = 1581.

602. Usando la Figura 56, crea una ecuación y encuentra la masa de cada barra. (La masa de las pesas se expresa en kilogramos).

603. Usando la Figura 57, encuentre la longitud del segmento BC si AD = 40 cm.

604. El perímetro del triángulo ABC es 64 cm, el lado AB es 7 cm menor que el lado AC, pero mayor que el lado BC en 12 cm. Calcula la longitud de cada lado del triángulo ABC.

605. En el concurso de tiro participaron 12 personas. ¿Cuántos cartuchos recibió cada participante si se requerían 8 cajas de 30 cartuchos cada una?

606. Tres recolectores recogieron 240 kg de hierbas medicinales. El primero recogió 87 kg, y el primero y el segundo juntos, 174 kg. ¿Cuántos kilogramos de hierbas medicinales recogió el segundo recolector y cuántos el tercero?

607. Resuelve el problema:

1) El ciclista viajó durante 2 horas a cierta velocidad. Después de recorrer otros 4 km, su distancia será de 30 km. ¿A qué velocidad viajaba el ciclista?

2) El motociclista condujo durante 3 horas a cierta velocidad. Si recorre otros 12 km, su distancia será de 132 km. ¿A qué velocidad iba el motociclista?

3) En una bolsa hay 20 kg de cereal. Después de llenar varias bolsas de 3 kg con cereal, quedaban 5 kg en la bolsa. ¿Cuántas bolsas se llenaron con cereal?

4) Hay 39 litros de leche en la lata. Después de llenar varias latas de dos litros con leche, quedaron 7 litros en la lata. ¿Cuántos frascos llenaste?

608. Encuentra el significado de la expresión:

1) 47 040: 14:7: 32; 3) 46 9520: 68: 7;
2) 101 376: 48: 24: 8; 4) 319 488: 96: 64 23.

609. Aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación:

a) 11 (60 + a); c) (x - 9) 24;
b) 21 (38-b); d) (y+4) 38.

610. Encuentra el valor de la expresión aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación:

a) (250 + 25) 4; c) 8 11 + 8 29;
b) 6 (150+16); d) 36.184 + 36.816.

611. Encuentra el significado de la expresión:

a) (30-2) 5; c) 85 137 - 75 137;
b) 7 (60-2); d) 78.214 – 78.204.

612. Simplifica la expresión:

a) 4a+90a; b) 86b - 77b; c) 209 m + m; d) 302n-n.

613. Encuentra el significado de la expresión:

a) 24a + 47a + 53a + 76a, si a = 47;
b) 128r - 72r - 28r, si p = 11.

614. Resuelve la ecuación:

a) 14x + 27x = 656; c) 49z-z = 384;
b) 81у - 38у = 645; d) 102k - 4k = 1960.

615. ¿A qué valor de z la suma de 5z y 15z es igual a 840?

616. La masa de un metro de carril es de 32 kg. ¿Cuántos vagones de ferrocarril con una capacidad de carga de 60 toneladas se necesitarán para transportar todos los raíles necesarios para construir un ferrocarril de vía única de 180 km de longitud?

617. En una lata hay 36 litros de leche. Cuando se vertieron 4 litros en otra lata, la leche en ambas latas se volvió igual. ¿Cuántos litros de leche había en la otra lata?

618. En dos bolsillos había 28 nueces, y en el bolsillo izquierdo había 3 veces más que en el derecho. ¿Cuántas nueces había en cada bolsillo?

619. El área de la sala de educación física es 6 veces mayor que el área del aula. Calcula el área del pasillo si es 250 m2 más grande que el área del salón de clases.

620. Sólo hay en stock 88 litros de jugo; Hay tantas latas de zumo de naranja de tres litros como de zumo de manzana de cinco litros. ¿Cuántos litros de jugo de naranja hay en stock?

621. Para hacer cola de caseína, se toman 11 partes de agua, 5 partes de amoníaco y 4 partes de caseína (en peso). ¿Cuánta cola de caseína se producirá si se utilizan 60 g menos de amoníaco que de agua?

622. Para preparar mermelada de cerezas, tomar 2 partes de cerezas y 3 partes de azúcar (en peso). ¿Cuántas cerezas y cuánto azúcar se usaron para la mermelada, si se usaron 7 kg 600 g más de azúcar que de cerezas?

623. Se recolectaron 67 kg de manzanas de dos manzanos y de un manzano se recolectaron 19 kg más que del otro. ¿Cuántos kilogramos de manzanas se recogieron de cada manzano?

624. De los 523 pollos criados en la incubadora, había 25 gallos menos que gallinas. ¿Cuántas gallinas y cuántos gallos nacieron en la incubadora?

Primer nivel

Conversión de expresiones. Teoría detallada (2019)

Convertir expresiones

A menudo escuchamos esta desagradable frase: "simplifica la expresión". Normalmente vemos algún tipo de monstruo como este:

"Es mucho más sencillo", decimos, pero esa respuesta normalmente no funciona.

Ahora te enseñaré a no tener miedo de tales tareas. Además, al final de la lección, usted mismo simplificará este ejemplo a (¡solo!) un número ordinario (sí, al diablo con estas letras).

Pero antes de comenzar esta lección, debes poder manejar fracciones y factorizar polinomios. Por lo tanto, primero, si no ha hecho esto antes, asegúrese de dominar los temas “” y “”.

¿Lo has leído? En caso afirmativo, ya está listo.

Operaciones básicas de simplificación.

Ahora veamos las técnicas básicas que se utilizan para simplificar expresiones.

El más simple es

1. Trayendo similares

¿Qué son similares? Lo tomaste en séptimo grado, cuando aparecieron por primera vez en matemáticas letras en lugar de números. Semejantes son términos (monomios) con la misma parte de letras. Por ejemplo, en la suma, términos similares son y.

¿Te acuerdas?

Traer similares significa sumar varios términos similares entre sí y obtener un término.

¿Cómo podemos juntar las letras? - usted pregunta.

Esto es muy fácil de entender si imaginas que las letras son una especie de objetos. Por ejemplo, una carta es una silla. Entonces ¿a qué es igual la expresión? Dos sillas más tres sillas ¿cuántas serán? Así es, sillas: .

Ahora prueba esta expresión: .

Para evitar confusiones, permita que letras diferentes representen objetos diferentes. Por ejemplo, - es (como siempre) una silla y - es una mesa. Entonces:

sillas mesas sillas mesas sillas sillas mesas

Los números por los que se multiplican las letras de dichos términos se llaman coeficientes. Por ejemplo, en un monomio el coeficiente es igual. Y en eso es igual.

Entonces, la regla para traer similares es:

Ejemplos:

Da otros similares:

Respuestas:

2. (y similares, ya que, por tanto, estos términos tienen la misma parte alfabética).

2. Factorización

Esta suele ser la parte más importante al simplificar expresiones. Después de haber dado expresiones similares, la mayoría de las veces es necesario factorizar la expresión resultante, es decir, presentarla como un producto. Esto es especialmente importante en fracciones: para poder reducir una fracción, el numerador y el denominador deben representarse como un producto.

Ya analizaste en detalle los métodos de factorización de expresiones en el tema “”, así que aquí solo tienes que recordar lo que aprendiste. Para hacer esto, decida algunos ejemplos(es necesario factorizar):

Soluciones:

3. Reducir una fracción.

Bueno, ¿qué podría ser más agradable que tachar parte del numerador y del denominador y sacarlos de tu vida?

Ésa es la belleza de la reducción de personal.

Es sencillo:

Si el numerador y el denominador contienen los mismos factores, se pueden reducir, es decir, eliminar de la fracción.

Esta regla se deriva de la propiedad básica de una fracción:

Es decir, la esencia de la operación de reducción es que Dividimos el numerador y denominador de la fracción por el mismo número (o por la misma expresión).

Para reducir una fracción necesitas:

1) numerador y denominador factorizar

2) si el numerador y el denominador contienen factores comunes, se pueden tachar.

¿El principio, creo, es claro?

Me gustaría llamar su atención sobre un error típico al abreviar. Aunque este tema es simple, muchas personas hacen todo mal, sin entender que reducir- esto significa dividir numerador y denominador son el mismo número.

No se permiten abreviaturas si el numerador o denominador es una suma.

Por ejemplo: necesitamos simplificar.

Algunas personas hacen esto: lo cual es absolutamente incorrecto.

Otro ejemplo: reducir.

Los “más inteligentes” harán esto: .

Dime ¿qué pasa aquí? Parecería: - este es un multiplicador, lo que significa que se puede reducir.

Pero no: - este es un factor de un solo término en el numerador, pero el numerador en sí no está factorizado en su conjunto.

He aquí otro ejemplo: .

Esta expresión está factorizada, lo que significa que puedes reducirla, es decir, dividir el numerador y el denominador por y luego por:

Puedes dividirlo inmediatamente en:

Para evitar este tipo de errores, recuerde una forma sencilla de determinar si una expresión está factorizada:

La operación aritmética que se realiza en último lugar al calcular el valor de una expresión es la operación “maestra”. Es decir, si sustituyes algunos (cualquier) número en lugar de letras e intentas calcular el valor de la expresión, entonces si la última acción es la multiplicación, entonces tenemos un producto (la expresión está factorizada). Si la última acción es suma o resta, esto significa que la expresión no está factorizada (y por lo tanto no se puede reducir).

Para consolidar, resuelve algunos tú mismo ejemplos:

Respuestas:

1. Espero que no te hayas apresurado a cortar inmediatamente y. Todavía no era suficiente “reducir” unidades como ésta:

El primer paso debe ser la factorización:

4. Sumar y restar fracciones. Reducir fracciones a un denominador común.

Sumar y restar fracciones ordinarias es una operación familiar: buscamos un denominador común, multiplicamos cada fracción por el factor que falta y sumamos/restamos los numeradores. Recordemos:

Respuestas:

1. Los denominadores y son primos relativos, es decir, no tienen factores comunes. Por tanto, el MCM de estos números es igual a su producto. Este será el denominador común:

2. Aquí el denominador común es:

3. Aquí, en primer lugar, convertimos fracciones mixtas en impropias, y luego según el esquema habitual:

Es completamente diferente si las fracciones contienen letras, por ejemplo:

Comencemos con algo simple:

a) Los denominadores no contienen letras.

Aquí todo es igual que con las fracciones numéricas ordinarias: encontramos el denominador común, multiplicamos cada fracción por el factor que falta y sumamos/restamos los numeradores:

Ahora en el numerador puedes poner otros similares, si los hay, y factorizarlos:

Inténtalo tú mismo:

b) Los denominadores contienen letras.

Recordemos el principio de encontrar un denominador común sin letras:

· en primer lugar, determinamos los factores comunes;

· luego escribimos todos los factores comunes uno por uno;

· y multiplicarlos por todos los demás factores no comunes.

Para determinar los factores comunes de los denominadores, primero los factorizamos en factores primos:

Destacamos los factores comunes:

Ahora escribamos los factores comunes uno a la vez y agreguemos todos los factores no comunes (no subrayados):

Este es el denominador común.

Volvamos a las letras. Los denominadores se dan exactamente de la misma manera:

· factorizar los denominadores;

· determinar factores comunes (idénticos);

· escriba todos los factores comunes una vez;

· multiplicarlos por todos los demás factores no comunes.

Entonces, en orden:

1) factorizar los denominadores:

2) determinar factores comunes (idénticos):

3) escriba todos los factores comunes una vez y multiplíquelos por todos los demás factores (sin enfatizar):

Entonces aquí hay un denominador común. La primera fracción debe multiplicarse por, la segunda por:

Por cierto, hay un truco:

Por ejemplo: .

Vemos los mismos factores en los denominadores, solo que todos con indicadores diferentes. El denominador común será:

en un grado

en un grado

en un grado

en un grado.

Compliquemos la tarea:

¿Cómo hacer que las fracciones tengan el mismo denominador?

Recordemos la propiedad básica de una fracción:

En ninguna parte dice que se pueda restar (o sumar) el mismo número al numerador y denominador de una fracción. ¡Porque no es verdad!

Compruébalo tú mismo: toma cualquier fracción, por ejemplo, y suma algún número al numerador y al denominador, por ejemplo, . ¿Qué aprendiste?

Entonces, otra regla inquebrantable:

Cuando reduzcas fracciones a un denominador común, ¡usa solo la operación de multiplicación!

¿Pero por qué necesitas multiplicar para obtener?

Entonces multiplica por. Y multiplica por:

Llamaremos "factores elementales" a las expresiones que no se pueden factorizar. Por ejemplo, este es un factor elemental. - Mismo. Pero no: se puede factorizar.

¿Qué pasa con la expresión? ¿Es elemental?

No, porque se puede factorizar:

(ya leíste sobre factorización en el tema “”).

Entonces, los factores elementales en los que se descompone una expresión con letras son análogos de los factores simples en los que se descomponen los números. Y los trataremos de la misma manera.

Vemos que ambos denominadores tienen un multiplicador. Irá al denominador común en el grado (¿recuerdas por qué?).

El factor es elemental, y no tienen factor común, lo que significa que simplemente habrá que multiplicar la primera fracción por él:

Otro ejemplo:

Solución:

Antes de multiplicar estos denominadores en pánico, ¿debes pensar en cómo factorizarlos? Ambos representan:

¡Excelente! Entonces:

Otro ejemplo:

Solución:

Como de costumbre, factoricemos los denominadores. En el primer denominador simplemente lo ponemos entre paréntesis; en el segundo - la diferencia de cuadrados:

Parecería que no hay factores comunes. Pero si te fijas bien, son similares... Y es cierto:

Entonces escribamos:

Es decir, resultó así: dentro del paréntesis intercambiamos los términos y al mismo tiempo el signo delante de la fracción cambió al opuesto. Toma nota, tendrás que hacer esto con frecuencia.

Ahora llevémoslo a un denominador común:

¿Entiendo? Comprobémoslo ahora.

Tareas para solución independiente:

Respuestas:

Aquí debemos recordar una cosa más: la diferencia entre cubos:

¡Tenga en cuenta que el denominador de la segunda fracción no contiene la fórmula "cuadrado de la suma"! El cuadrado de la suma quedaría así: .

A es el llamado cuadrado incompleto de la suma: el segundo término es el producto del primero y el último, y no su doble producto. El cuadrado parcial de la suma es uno de los factores en el desarrollo de la diferencia de cubos:

¿Qué hacer si ya hay tres fracciones?

¡Sí, lo mismo! En primer lugar, asegurémonos de que el número máximo de factores en los denominadores sea el mismo:

Tenga en cuenta: si cambia los signos dentro de un paréntesis, el signo delante de la fracción cambia al opuesto. Cuando cambiamos los signos en el segundo paréntesis, el signo delante de la fracción vuelve a cambiar al opuesto. Como resultado, (el signo delante de la fracción) no ha cambiado.

Escribimos todo el primer denominador en el denominador común y luego le sumamos todos los factores que aún no se han escrito, del segundo y luego del tercero (y así sucesivamente, si hay más fracciones). Es decir, resulta así:

Hmm... Está claro qué hacer con las fracciones. Pero ¿qué pasa con los dos?

Es simple: sabes sumar fracciones, ¿verdad? Entonces, ¡necesitamos hacer que dos se conviertan en una fracción! Recordemos: una fracción es una operación de división (el numerador se divide por el denominador, por si lo olvidaste). Y no hay nada más fácil que dividir un número por. En este caso, el número en sí no cambiará, sino que se convertirá en una fracción:

¡Exactamente lo que se necesita!

5. Multiplicación y división de fracciones.

Bueno, la parte más difícil ya pasó. Y delante de nosotros está el más sencillo, pero a la vez el más importante:

Procedimiento

¿Cuál es el procedimiento para calcular una expresión numérica? Recuerda calculando el significado de esta expresión:

¿Contaste?

Deberia de funcionar.

Entonces, déjame recordarte.

El primer paso es calcular el grado.

El segundo es la multiplicación y la división. Si hay varias multiplicaciones y divisiones al mismo tiempo, se pueden hacer en cualquier orden.

Y finalmente, realizamos sumas y restas. De nuevo, en cualquier orden.

Pero: ¡la expresión entre paréntesis se evalúa fuera de turno!

Si se multiplican o dividimos varios corchetes entre sí, primero calculamos la expresión en cada uno de los corchetes y luego los multiplicamos o dividimos.

¿Qué pasa si hay más corchetes dentro de los corchetes? Bueno, pensemos: alguna expresión está escrita entre paréntesis. Al calcular una expresión, ¿qué debes hacer primero? Así es, calcula los paréntesis. Bueno, lo descubrimos: primero calculamos los paréntesis internos, luego todo lo demás.

Entonces, el procedimiento para la expresión anterior es el siguiente (está resaltada en rojo la acción actual, es decir, la acción que estoy realizando ahora mismo):

Vale, es todo sencillo.

¿Pero esto no es lo mismo que una expresión con letras?

¡No, es lo mismo! Solo que en lugar de operaciones aritméticas es necesario realizar operaciones algebraicas, es decir, las acciones descritas en el apartado anterior: trayendo similares, sumando fracciones, reduciendo fracciones, etc. La única diferencia será la acción de factorizar polinomios (a menudo usamos esto cuando trabajamos con fracciones). La mayoría de las veces, para factorizar, es necesario usar I o simplemente poner el factor común entre paréntesis.

Normalmente nuestro objetivo es representar la expresión como un producto o cociente.

Por ejemplo:

Simplifiquemos la expresión.

1) Primero, simplificamos la expresión entre paréntesis. Ahí tenemos una diferencia de fracciones y nuestro objetivo es presentarla como un producto o cociente. Entonces, llevamos las fracciones a un denominador común y sumamos:

Es imposible simplificar más esta expresión; todos los factores aquí son elementales (¿aún recuerdas lo que esto significa?).

2) Obtenemos:

Multiplicar fracciones: qué podría ser más sencillo.

3) Ahora puedes acortar:

OK, todo ha terminado. Nada complicado, ¿verdad?

Otro ejemplo:

Simplifica la expresión.

Primero, intente resolverlo usted mismo y solo luego mire la solución.

En primer lugar, determinemos el orden de las acciones. Primero, sumemos las fracciones entre paréntesis, de modo que en lugar de dos fracciones obtengamos una. Luego haremos división de fracciones. Bueno, sumemos el resultado con la última fracción. Numeraré los pasos esquemáticamente:

Ahora te mostraré el proceso, teñiendo la acción actual en rojo:

Finalmente, te daré dos consejos útiles:

1. Si existen similares, deberán traerse inmediatamente. Siempre que surjan situaciones similares en nuestro país, es recomendable sacarlas a colación de inmediato.

2. Lo mismo se aplica a las fracciones reductoras: tan pronto como aparece la oportunidad de reducir, hay que aprovecharla. La excepción es para las fracciones que se suman o restan: si ahora tienen los mismos denominadores, entonces la reducción debe dejarse para más adelante.

A continuación te presentamos algunas tareas que puedes resolver por tu cuenta:

Y lo que se prometió desde el principio:

Soluciones (breves):

Si ha abordado al menos los tres primeros ejemplos, considere que domina el tema.

¡Ahora a aprender!

CONVERSIÓN DE EXPRESIONES. RESUMEN Y FÓRMULAS BÁSICAS

Operaciones básicas de simplificación:

• Trayendo similares: para sumar (reducir) términos similares, debe sumar sus coeficientes y asignarles la parte de letras.
• Factorización: poniendo el factor común entre paréntesis, aplicándolo, etc.
• Reducir una fracción: El numerador y el denominador de una fracción se pueden multiplicar o dividir por el mismo número distinto de cero, lo que no cambia el valor de la fracción.
  1) numerador y denominador factorizar
  2) si el numerador y el denominador tienen factores comunes, se pueden tachar.

  IMPORTANTE: ¡solo se pueden reducir los multiplicadores!

• Sumar y restar fracciones:
  ;
• Multiplicar y dividir fracciones:
  ;

Una expresión algebraica en la que, junto con las operaciones de suma, resta y multiplicación, también se utiliza la división en expresiones de letras, se denomina expresión algebraica fraccionaria. Éstas son, por ejemplo, las expresiones

Llamamos fracción algebraica a una expresión algebraica que tiene la forma de cociente de la división de dos expresiones algebraicas enteras (por ejemplo, monomios o polinomios). Éstas son, por ejemplo, las expresiones

La tercera de las expresiones).

Las transformaciones idénticas de expresiones algebraicas fraccionarias tienen como objetivo principal representarlas en forma de fracción algebraica. Para encontrar el denominador común, se utiliza la factorización de los denominadores de fracciones, términos para encontrar su mínimo común múltiplo. Al reducir fracciones algebraicas, se puede violar la identidad estricta de las expresiones: es necesario excluir valores de cantidades en las que el factor por el cual se realiza la reducción se vuelve cero.

Demos ejemplos de transformaciones idénticas de expresiones algebraicas fraccionarias.

Ejemplo 1: simplificar una expresión

Todos los términos se pueden reducir a un denominador común (es conveniente cambiar el signo en el denominador del último término y el signo delante de él):

Nuestra expresión es igual a uno para todos los valores excepto estos valores (no está definido y reducir la fracción es ilegal);

Ejemplo 2. Representar la expresión como una fracción algebraica.

Solución. La expresión se puede tomar como denominador común. Encontramos secuencialmente:

Ejercicios

1. Encuentre los valores de expresiones algebraicas para los valores de parámetros especificados:

2. Factorizar.

Entre las diversas expresiones que se consideran en álgebra, las sumas de monomios ocupan un lugar importante. A continuación se muestran ejemplos de tales expresiones:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

La suma de monomios se llama polinomio. Los términos de un polinomio se llaman términos del polinomio. Los monomios también se clasifican como polinomios, considerándose un monomio como un polinomio formado por un miembro.

Por ejemplo, un polinomio
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
se puede simplificar.

Representemos todos los términos en forma de monomios de la forma estándar:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Presentemos términos similares en el polinomio resultante:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
El resultado es un polinomio, cuyos términos son monomios de la forma estándar, y entre ellos no hay ninguno similar. Estos polinomios se llaman polinomios de forma estándar.

Detrás grado de polinomio de forma estándar asumen el más alto de los poderes de sus miembros. Así, el binomio \(12a^2b - 7b\) tiene el tercer grado, y el trinomio \(2b^2 -7b + 6\) tiene el segundo.

Normalmente, los términos de los polinomios en forma estándar que contienen una variable se organizan en orden descendente de exponentes. Por ejemplo:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

La suma de varios polinomios se puede transformar (simplificar) en un polinomio de forma estándar.

A veces es necesario dividir los términos de un polinomio en grupos, encerrando cada grupo entre paréntesis. Dado que encerrar paréntesis es la transformación inversa de abrir paréntesis, es fácil de formular reglas para abrir corchetes:

Si se coloca un signo “+” antes de los corchetes, entonces los términos entre paréntesis se escriben con los mismos signos.

Si se coloca un signo “-” antes de los corchetes, entonces los términos encerrados entre corchetes se escriben con signos opuestos.

Transformación (simplificación) del producto de un monomio y un polinomio

Usando la propiedad distributiva de la multiplicación, puedes transformar (simplificar) el producto de un monomio y un polinomio en un polinomio. Por ejemplo:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

El producto de un monomio y un polinomio es idénticamente igual a la suma de los productos de este monomio y de cada uno de los términos del polinomio.

Este resultado suele formularse como regla.

Para multiplicar un monomio por un polinomio, debes multiplicar ese monomio por cada uno de los términos del polinomio.

Ya hemos utilizado esta regla varias veces para multiplicar por una suma.

Producto de polinomios. Transformación (simplificación) del producto de dos polinomios

En general, el producto de dos polinomios es idénticamente igual a la suma del producto de cada término de un polinomio por cada término del otro.

Generalmente se utiliza la siguiente regla.

Para multiplicar un polinomio por un polinomio, debes multiplicar cada término de un polinomio por cada término del otro y sumar los productos resultantes.

Fórmulas de multiplicación abreviadas. Suma de cuadrados, diferencias y diferencia de cuadrados.

Tienes que lidiar con algunas expresiones en transformaciones algebraicas con más frecuencia que con otras. Quizás las expresiones más comunes sean \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) y \(a^2 - b^2 \), es decir, el cuadrado de la suma, el cuadrado de la diferencia y diferencia de cuadrados. Notaste que los nombres de estas expresiones parecen estar incompletos, por ejemplo, \((a + b)^2 \) es, por supuesto, no solo el cuadrado de la suma, sino el cuadrado de la suma de a y b. . Sin embargo, el cuadrado de la suma de a y b no suele aparecer con mucha frecuencia; en lugar de las letras a y b, contiene diversas expresiones, a veces bastante complejas.

Las expresiones \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) se pueden convertir (simplificar) fácilmente en polinomios de la forma estándar; de hecho, ya te has encontrado con esta tarea al multiplicar polinomios:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Es útil recordar las identidades resultantes y aplicarlas sin cálculos intermedios. Las formulaciones verbales breves ayudan a esto.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - el cuadrado de la suma es igual a la suma de los cuadrados y el doble producto.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - el cuadrado de la diferencia es igual a la suma de los cuadrados sin el producto duplicado.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - la diferencia de cuadrados es igual al producto de la diferencia por la suma.

Estas tres identidades permiten reemplazar sus partes izquierdas por las derechas en las transformaciones y viceversa: las partes derechas por las izquierdas. Lo más difícil es ver las expresiones correspondientes y entender cómo se reemplazan en ellas las variables a y b. Veamos varios ejemplos del uso de fórmulas de multiplicación abreviadas.