Největší společný násobek čísel. Online kalkulačka Hledání (výpočet) GCD a NOC

Níže uvedený materiál je logickým pokračováním teorie z článku pod hlavičkou LCM - nejmenší společný násobek, definice, příklady, vztah mezi LCM a GCD. Zde budeme mluvit o nalezení nejmenšího společného násobku (LCM), a věnovat zvláštní pozornost řešení příkladů. Nejprve si ukažme, jak se počítá LCM dvou čísel z hlediska GCD těchto čísel. Dále zvažte nalezení nejmenšího společného násobku rozdělením čísel na prvočinitele. Poté se zaměříme na nalezení LCM tří a více čísel a také se budeme věnovat výpočtu LCM záporných čísel.

Navigace na stránce.

Výpočet nejmenšího společného násobku (LCM) pomocí gcd

Jeden způsob, jak najít nejmenší společný násobek, je založen na vztahu mezi LCM a GCD. Stávající vztah mezi LCM a GCD vám umožňuje vypočítat nejmenší společný násobek dvou kladných celých čísel prostřednictvím známého největšího společného dělitele. Odpovídající vzorec má tvar LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Zvažte příklady nalezení LCM podle výše uvedeného vzorce.

Příklad.

Najděte nejmenší společný násobek dvou čísel 126 a 70 .

Řešení.

V tomto příkladu a=126, b=70. Použijme vztah mezi LCM a GCD vyjádřený vzorcem LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). To znamená, že nejprve musíme najít největšího společného dělitele čísel 70 a 126, poté můžeme vypočítat LCM těchto čísel podle napsaného vzorce.

Najděte gcd(126, 70) pomocí Euklidova algoritmu: 126=70 1+56 , 70=56 1+14, 56=14 4 , tedy gcd(126, 70)=14 .

Nyní najdeme požadovaný nejmenší společný násobek: LCM(126; 70)=126 70: GCM(126; 70)= 126 70:14=630.

Odpovědět:

LCM(126,70)=630.

Příklad.

Co je LCM(68, 34)?

Řešení.

Protože 68 je rovnoměrně dělitelné 34 , pak gcd(68, 34)=34 . Nyní vypočítáme nejmenší společný násobek: LCM(68; 34)=68 34: LCM(68; 34)= 68 34:34=68.

Odpovědět:

LCM(68,34)=68.

Všimněte si, že předchozí příklad odpovídá následujícímu pravidlu pro nalezení LCM pro kladná celá čísla aab: je-li číslo a dělitelné b, pak nejmenší společný násobek těchto čísel je a .

Nalezení LCM rozdělením čísel na prvočinitele

Dalším způsobem, jak najít nejmenší společný násobek, je rozklad čísel na prvočinitele. Pokud uděláme součin všech prvočinitelů těchto čísel, načež z tohoto součinu vyloučíme všechna společná prvočísla, která jsou přítomna v rozšířeních těchto čísel, pak se výsledný součin bude rovnat nejmenšímu společnému násobku těchto čísel.

Vyhlášené pravidlo pro nalezení LCM vyplývá z rovnosti LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). Ve skutečnosti se součin čísel a a b rovná součinu všech faktorů podílejících se na expanzi čísel a a b. Gcd(a, b) se zase rovná součinu všech prvočinitelů, které jsou současně přítomny v expanzích čísel a a b (což je popsáno v části o nalezení gcd pomocí rozkladu čísel na prvočinitele ).

Vezměme si příklad. Víme, že 75=3 5 5 a 210=2 3 5 7 . Sestavte součin všech faktorů těchto rozšíření: 2 3 3 5 5 5 7 . Nyní z tohoto součinu vyloučíme všechny faktory, které jsou přítomny jak v rozšíření čísla 75, tak v rozšíření čísla 210 (takovými faktory jsou 3 a 5), ​​pak bude součin ve tvaru 2 3 5 5 7 . Hodnota tohoto součinu se rovná nejmenšímu společnému násobku čísel 75 a 210, tj. LCM(75; 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Příklad.

Po rozkladu čísel 441 a 700 na prvočinitele najděte nejmenší společný násobek těchto čísel.

Řešení.

Pojďme si čísla 441 a 700 rozložit na prvočinitele:

Dostaneme 441=3 3 7 7 a 700=2 2 5 5 7 .

Nyní udělejme součin všech faktorů podílejících se na rozšířeních těchto čísel: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Vynechme z tohoto produktu všechny faktory, které jsou současně přítomny v obou expanzích (takový faktor je pouze jeden - je to číslo 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Takto, LCM(441; 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Odpovědět:

LCM(441, 700) = 44100.

Pravidlo pro nalezení LCM pomocí rozkladu čísel na prvočinitele lze formulovat trochu jinak. Přičteme-li chybějící činitele z rozšíření čísla b k činitelům z rozkladu čísla a, pak bude hodnota výsledného součinu rovna nejmenšímu společnému násobku čísel a a b.

Vezměme například všechna stejná čísla 75 a 210, jejich expanze na prvočinitele jsou následující: 75=3 5 5 a 210=2 3 5 7 . K faktorům 3, 5 a 5 z rozšíření čísla 75 přičteme chybějící faktory 2 a 7 z rozšíření čísla 210, dostaneme součin 2 3 5 5 7, jehož hodnota je LCM(75 , 210).

Příklad.

Najděte nejmenší společný násobek 84 a 648.

Řešení.

Nejprve získáme rozklad čísel 84 a 648 na prvočinitele. Vypadají jako 84=2 2 3 7 a 648=2 2 2 3 3 3 3 . K činitelům 2 , 2 , 3 a 7 z rozšíření čísla 84 přičteme chybějící činitele 2 , 3 , 3 a 3 z rozšíření čísla 648 , dostaneme součin 2 2 2 3 3 3 3 7 , což se rovná 4 536 . Požadovaný nejmenší společný násobek čísel 84 a 648 je tedy 4 536.

Odpovědět:

LCM(84,648)=4536.

Nalezení LCM tří nebo více čísel

Nejmenší společný násobek tří nebo více čísel lze najít postupným hledáním LCM dvou čísel. Vybavte si odpovídající větu, která umožňuje najít LCM tří nebo více čísel.

Teorém.

Nechť jsou dána kladná celá čísla a 1 , a 2 , …, a k, nejmenší společný násobek m k těchto čísel najdeme v sekvenčním výpočtu m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3) , …, mk=LCM(mk-1, ak) .

Zvažte aplikaci této věty na příkladu hledání nejmenšího společného násobku čtyř čísel.

Příklad.

Najděte LCM čtyř čísel 140, 9, 54 a 250.

Řešení.

V tomto příkladu a1=140, a2=9, a3=54, a4=250.

Nejprve najdeme m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Abychom to udělali, pomocí euklidovského algoritmu určíme gcd(140, 9) , máme 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , tedy gcd( 140, 9)=1, odkud LCM(140; 9)=140 9: LCM(140; 9)= 140 9:1=1260. To znamená, m2=1260.

Nyní najdeme m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Spočítejme to pomocí gcd(1 260, 54) , které je také určeno Euklidovým algoritmem: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Potom gcd(1 260, 54) = 18, odkud LCM(1 260, 54) = 1 260 54:gcd(1 260, 54) = 1 260 54:18 = 3 780. To znamená m 3 \u003d 3 780.

Zbývá najít m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). K tomu najdeme GCD(3 780, 250) pomocí Euklidova algoritmu: 3 780=250 15+30, 250=30 8+10, 30=10 3 . Proto gcd(3 780, 250)=10 , odkud gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500. To znamená, m 4 \u003d 94 500.

Nejmenší společný násobek původních čtyř čísel je tedy 94 500.

Odpovědět:

LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.

V mnoha případech lze nejmenší společný násobek tří nebo více čísel pohodlně nalézt pomocí prvočíselných rozkladů daných čísel. V tomto případě je třeba dodržet následující pravidlo. Nejmenší společný násobek několika čísel se rovná součinu, který se skládá takto: chybějící činitele z rozšíření druhého čísla se přičtou ke všem činitelům z rozšíření prvního čísla, chybějící činitele z rozšíření prvního čísla třetí číslo se přičte k získaným faktorům a tak dále.

Zvažte příklad nalezení nejmenšího společného násobku pomocí rozkladu čísel na prvočinitele.

Příklad.

Najděte nejmenší společný násobek pěti čísel 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Řešení.

Nejprve získáme rozšíření těchto čísel na prvočinitele: 84=2 2 3 7, 6=2 3, 48=2 2 2 2 3, 7 prvočinitelů) a 143=11 13 .

Chcete-li najít LCM těchto čísel, k faktorům prvního čísla 84 (jsou to 2 , 2 , 3 a 7 ) musíte přidat chybějící faktory z rozšíření druhého čísla 6 . Rozšíření čísla 6 neobsahuje chybějící faktory, protože jak 2, tak 3 jsou již přítomny v rozšíření prvního čísla 84 . Dále k faktorům 2 , 2 , 3 a 7 přidáme chybějící faktory 2 a 2 z rozšíření třetího čísla 48 , dostaneme množinu faktorů 2 , 2 , 2 , 2 , 3 a 7 . V dalším kroku není nutné do této sady přidávat faktory, protože 7 je v ní již obsaženo. Nakonec k faktorům 2 , 2 , 2 , 2 , 3 a 7 přidáme chybějící faktory 11 a 13 z rozšíření čísla 143 . Dostaneme součin 2 2 2 2 3 7 11 13 , který se rovná 48 048 .

Ale mnoho přirozených čísel je rovnoměrně dělitelných jinými přirozenými čísly.

Například:

Číslo 12 je dělitelné 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Číslo 36 je dělitelné 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Čísla, kterými je číslo dělitelné (pro 12 je to 1, 2, 3, 4, 6 a 12), se nazývají číselné dělitele. Dělitel přirozeného čísla A je přirozené číslo, které dělí dané číslo A beze stopy. Přirozené číslo, které má více než dva činitele, se nazývá kompozitní .

Všimněte si, že čísla 12 a 36 mají společné dělitele. Jsou to čísla: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Největší dělitel těchto čísel je 12. Společný dělitel těchto dvou čísel A a b je číslo, kterým jsou obě daná čísla dělitelná beze zbytku A a b.

společný násobek několik čísel se nazývá číslo, které je dělitelné každým z těchto čísel. Například, čísla 9, 18 a 45 mají společný násobek 180. Ale 90 a 360 jsou také jejich společné násobky. Mezi všemi jcommon násobky je vždy ten nejmenší, v tomto případě je to 90. Toto číslo se nazývá nejméněspolečný násobek (LCM).

LCM je vždy přirozené číslo, které musí být větší než největší z čísel, pro které je definováno.

Nejmenší společný násobek (LCM). Vlastnosti.

Komutativnost:

Asociativita:

Konkrétně, pokud a jsou prvočísla , pak:

Nejmenší společný násobek dvou celých čísel m a n je dělitelem všech ostatních společných násobků m a n. Navíc množina společných násobků m,n se shoduje se sadou násobků pro LCM( m,n).

Asymptotiku for lze vyjádřit pomocí některých číselně-teoretických funkcí.

Tak, Čebyševova funkce. Stejně jako:

Vyplývá to z definice a vlastností Landauovy funkce g(n).

Co vyplývá ze zákona rozdělení prvočísel.

Hledání nejmenšího společného násobku (LCM).

NOC( a, b) lze vypočítat několika způsoby:

1. Pokud je znám největší společný dělitel, můžete použít jeho vztah s LCM:

2. Nechť je znám kanonický rozklad obou čísel na prvočinitele:

kde p 1,...,p k jsou různá prvočísla a d 1,...,dk a e 1 ,...,ek jsou nezáporná celá čísla (mohou být nulové, pokud odpovídající prvočíslo není v rozkladu).

Poté LCM ( A,b) se vypočítá podle vzorce:

Jinými slovy, rozšíření LCM obsahuje všechny prvočísla, které jsou zahrnuty alespoň v jednom z rozšíření čísel a, b a vezme se největší ze dvou exponentů tohoto faktoru.

Příklad:

Výpočet nejmenšího společného násobku několika čísel lze zredukovat na několik po sobě jdoucích výpočtů LCM dvou čísel:

Pravidlo. Chcete-li najít LCM řady čísel, potřebujete:

- rozložit čísla na prvočinitele;

- přenést největší rozšíření na činitele požadovaného součinu (součin činitelů největšího počtu z daných), a poté přidat činitele z rozšíření dalších čísel, které se v prvním čísle nevyskytují nebo v něm jsou menší počet opakování;

- výsledným součinem prvočinitelů bude LCM daných čísel.

Libovolná dvě nebo více přirozených čísel mají svůj vlastní LCM. Pokud čísla nejsou navzájem násobky nebo nemají stejné faktory v rozšíření, pak se jejich LCM rovná součinu těchto čísel.

Prvočísla čísla 28 (2, 2, 7) byla doplněna faktorem 3 (číslo 21), výsledný součin (84) bude nejmenší číslo, které je dělitelné 21 a 28.

Prvočísla největšího čísla 30 byly doplněny faktorem 5 čísla 25, výsledný součin 150 je větší než největší číslo 30 a je dělitelný všemi danými čísly beze zbytku. Toto je nejmenší možný součin (150, 250, 300...), kterého jsou všechna zadaná čísla násobky.

Čísla 2,3,11,37 jsou prvočísla, takže jejich LCM se rovná součinu daných čísel.

pravidlo. Chcete-li vypočítat LCM prvočísel, musíte všechna tato čísla vynásobit dohromady.

Jinou možnost:

K nalezení nejmenšího společného násobku (LCM) několika čísel potřebujete:

1) reprezentovat každé číslo jako součin jeho prvočinitelů, například:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) zapište mocniny všech prvočinitelů:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) zapište všechny prvočíselné dělitele (násobiče) každého z těchto čísel;

4) zvolte největší stupeň každého z nich, nalezený ve všech rozšířeních těchto čísel;

5) vynásobte tyto síly.

Příklad. Najděte LCM čísel: 168, 180 a 3024.

Řešení. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Vypíšeme největší mocniny všech prvočíselných dělitelů a vynásobíme je:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Druhé číslo: b=

Oddělovač číslicŽádný oddělovač mezery „ “

Výsledek:

Největší společný dělitel gcd( A,b)=6

Nejmenší společný násobek LCM( A,b)=468

Říká se největší přirozené číslo, kterým jsou čísla a a b beze zbytku dělitelná největší společný dělitel(gcd) těchto čísel. Označuje se gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) nebo hcf(a,b).

Nejmenší společný násobek(LCM) dvou celých čísel aab je nejmenší přirozené číslo, které je dělitelné aab beze zbytku. Označuje se LCM(a,b) nebo lcm(a,b).

Volají se celá čísla a a b coprime pokud nemají žádné jiné společné dělitele než +1 a -1.

Největší společný dělitel

Nechť jsou dána dvě kladná čísla A 1 a A 21). Je požadováno najít společného dělitele těchto čísel, tzn. najít takové číslo λ , který rozděluje čísla A 1 a A 2 ve stejnou dobu. Pojďme si popsat algoritmus.

1) V tomto článku bude slovo číslo znamenat celé číslo.

Nechat A 1 ≥ A 2 a nechat

kde m 1 , A 3 jsou nějaká celá čísla, A 3 <A 2 (zbytek z divize A 1 na A 2 by mělo být méně A 2).

Pojďme to předstírat λ rozděluje A 1 a A 2, tedy λ rozděluje m 1 A 2 a λ rozděluje A 1 −m 1 A 2 =A 3 (2. tvrzení článku "Dělitelnost čísel. Znak dělitelnosti"). Z toho vyplývá, že každý společný dělitel A 1 a A 2 je společný dělitel A 2 a A 3. Opak je také pravdou, pokud λ společný dělitel A 2 a A 3, tedy m 1 A 2 a A 1 =m 1 A 2 +A 3 se také dělí na λ . Proto společný dělitel A 2 a A 3 je také společný dělitel A 1 a A 2. Protože A 3 <A 2 ≤A 1 , pak můžeme říci, že řešení problému hledání společného dělitele čísel A 1 a A 2 zredukován na jednodušší problém nalezení společného dělitele čísel A 2 a A 3 .

Pokud A 3 ≠0, pak můžeme dělit A 2 na A 3. Pak

,

kde m 1 a A 4 jsou nějaká celá čísla, ( A 4 zbytek divize A 2 na A 3 (A 4 <A 3)). Podobnou úvahou dojdeme k závěru, že společné dělitele čísel A 3 a A 4 je totéž jako společné dělitele čísel A 2 a A 3 a také se společnými děliteli A 1 a A 2. Protože A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , ... čísla, která se neustále snižují, a protože mezi nimi je konečný počet celých čísel A 2 a 0, pak v určitém kroku n, zbytek divize A n na A n+1 se bude rovnat nule ( A n+2=0).

.

Každý společný dělitel λ čísla A 1 a A 2 je také dělitel čísel A 2 a A 3 , A 3 a A 4 , .... A n a A n+1. Platí to i obráceně, společné dělitele čísel A n a A n+1 jsou také dělitelé čísel A n−1 a A n , .... , A 2 a A 3 , A 1 a A 2. Ale společný dělitel A n a A n+1 je číslo A n+1, protože A n a A n+1 jsou dělitelné A n+1 (připomeňme si to A n+2=0). tudíž A n+1 je také dělitel čísel A 1 a A 2 .

Všimněte si, že číslo A n+1 je největší dělitel čísel A n a A n+1 , protože největší dělitel A n+1 je samo sebou A n+1. Pokud A n + 1 lze reprezentovat jako součin celých čísel, pak jsou tato čísla také společnými děliteli čísel A 1 a A 2. Číslo A n+1 jsou volány největší společný dělitelčísla A 1 a A 2 .

Čísla A 1 a A 2 mohou být kladná i záporná čísla. Pokud je jedno z čísel rovno nule, pak se největší společný dělitel těchto čísel bude rovnat absolutní hodnotě druhého čísla. Největší společný dělitel nulových čísel není definován.

Výše uvedený algoritmus se nazývá Euklidův algoritmus najít největšího společného dělitele dvou celých čísel.

Příklad hledání největšího společného dělitele dvou čísel

Najděte největšího společného dělitele dvou čísel 630 a 434.

• Krok 1. Vydělte číslo 630 číslem 434. Zbytek je 196.
• Krok 2. Vydělte číslo 434 číslem 196. Zbytek je 42.
• Krok 3. Vydělte číslo 196 42. Zbytek je 28.
• Krok 4. Vydělte číslo 42 28. Zbytek je 14.
• Krok 5. Vydělte číslo 28 14. Zbytek je 0.

V kroku 5 je zbytek dělení 0. Proto je největší společný dělitel čísel 630 a 434 14. Všimněte si, že čísla 2 a 7 jsou také děliteli čísel 630 a 434.

Coprime čísla

Definice 1. Nechť největší společný dělitel čísel A 1 a A 2 se rovná jedné. Poté se volají tato čísla coprime čísla které nemají společného dělitele.

Teorém 1. Pokud A 1 a A 2 relativně prvočísla a λ nějaké číslo, pak libovolný společný dělitel čísel λa 1 a A 2 je také společný dělitel čísel λ a A 2 .

Důkaz. Zvažte Euklidův algoritmus pro nalezení největšího společného dělitele čísel A 1 a A 2 (viz výše).

.

Z podmínek věty vyplývá, že největší společný dělitel čísel A 1 a A 2, a proto A n a A n+1 je 1. Tj. A n+1=1.

Vynásobme všechny tyto rovnosti λ , pak

.

Nechť společný dělitel A 1 λ a A 2 je δ . Pak δ vstupuje jako faktor A 1 λ , m 1 A 2 λ a dovnitř A 1 λ -m 1 A 2 λ =A 3 λ (Viz "Dělitelnost čísel", Příkaz 2). Dále δ vstupuje jako faktor A 2 λ a m 2 A 3 λ , a proto vstupuje jako faktor A 2 λ -m 2 A 3 λ =A 4 λ .

Tím, že uvažujeme tímto způsobem, jsme o tom přesvědčeni δ vstupuje jako faktor A n−1 λ a m n−1 A n λ , a proto v A n−1 λ −m n−1 A n λ =A n+1 λ . Protože A n+1 = 1, tedy δ vstupuje jako faktor λ . Proto to číslo δ je společný dělitel čísel λ a A 2 .

Zvažte speciální případy věty 1.

Následek 1. Nechat A a C prvočísla jsou relativní b. Pak jejich produkt ac je prvočíslo vzhledem k b.

Opravdu. Z věty 1 ac a b mají stejné společné dělitele jako C a b. Ale ta čísla C a b coprime, tj. mít jediného společného dělitele 1. Potom ac a b mají také jediného společného dělitele 1. Proto ac a b vzájemně jednoduché.

Následek 2. Nechat A a b coprime čísla a nechat b rozděluje ak. Pak b rozděluje a k.

Opravdu. Z podmínky tvrzení ak a b mají společného dělitele b. Na základě věty 1, b musí být společný dělitel b a k. tudíž b rozděluje k.

Důsledek 1 lze zobecnit.

Následek 3. 1. Nechte čísla A 1 , A 2 , A 3 , ..., A m jsou prvočísla vzhledem k číslu b. Pak A 1 A 2 , A 1 A 2 · A 3 , ..., A 1 A 2 A 3 ··· A m , součin těchto čísel je prvočíslo vzhledem k číslu b.

2. Mějme dvě řady čísel

tak, že každé číslo v prvním řádku je prvočíslo vzhledem ke každému číslu v druhém řádku. Poté produkt

Je potřeba najít taková čísla, která jsou dělitelná každým z těchto čísel.

Pokud je číslo dělitelné A 1, pak to vypadá sa 1, kde s nějaké číslo. Pokud q je největší společný dělitel čísel A 1 a A 2, tedy

kde s 1 je nějaké celé číslo. Pak

je nejmenší společný násobek čísel A 1 a A 2 .

A 1 a A 2 coprime, pak nejmenší společný násobek čísel A 1 a A 2:

Najděte nejmenší společný násobek těchto čísel.

Z výše uvedeného vyplývá, že libovolný násobek čísel A 1 , A 2 , A 3 musí být násobkem čísel ε a A 3 a naopak. Nechť nejmenší společný násobek čísel ε a A 3 je ε jeden . Dále násobek čísel A 1 , A 2 , A 3 , A 4 musí být násobkem čísel ε 1 a Ačtyři . Nechť nejmenší společný násobek čísel ε 1 a A 4 je ε 2. Zjistili jsme tedy, že všechny násobky čísel A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m se shodují s násobky nějakého konkrétního čísla ε n , které se nazývá nejmenší společný násobek daných čísel.

V konkrétním případě, kdy čísla A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m coprime, pak nejmenší společný násobek čísel A 1 , A 2, jak je znázorněno výše, má tvar (3). Dále od A 3 prvočíslo vzhledem k číslům A 1 , A 2, tedy A 3 je prvočíslo relativní A jeden · A 2 (důsledek 1). Tedy nejmenší společný násobek čísel A 1 ,A 2 ,A 3 je číslo A jeden · A 2 · A 3. Argumentujeme-li podobným způsobem, dojdeme k následujícím tvrzením.

Tvrzení 1. Nejmenší společný násobek prvočísel A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m se rovná jejich součinu A jeden · A 2 · A 3 ··· A m .

Tvrzení 2. Jakékoli číslo, které je dělitelné každým z prvočísel A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m je také dělitelné jejich součinem A jeden · A 2 · A 3 ··· A m .

Zvažte tři způsoby, jak najít nejmenší společný násobek.

Zjištění faktoringem

Prvním způsobem je najít nejmenší společný násobek rozkladem daných čísel na prvočinitele.

Předpokládejme, že potřebujeme najít LCM čísel: 99, 30 a 28. Abychom to udělali, rozložíme každé z těchto čísel na prvočinitele:

Aby bylo požadované číslo dělitelné 99, 30 a 28, je nutné a postačující, aby zahrnovalo všechny prvočinitele těchto dělitelů. Abychom to udělali, musíme vzít všechny prvočinitele těchto čísel na nejvyšší vyskytující se mocninu a vynásobit je dohromady:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Takže LCM (99, 30, 28) = 13 860. Žádné jiné číslo menší než 13 860 není rovnoměrně dělitelné 99, 30 nebo 28.

Chcete-li najít nejmenší společný násobek daných čísel, musíte je rozložit na prvočinitele, pak vzít každý prvočinitel s největším exponentem, se kterým se vyskytuje, a tyto faktory vynásobit dohromady.

Protože prvočísla nemají žádné společné prvočinitele, jejich nejmenší společný násobek se rovná součinu těchto čísel. Například tři čísla: 20, 49 a 33 jsou koprimá. Proto

LCM (20, 49, 33) = 204933 = 32,340.

Totéž by mělo být provedeno při hledání nejmenšího společného násobku různých prvočísel. Například LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Hledání výběrem

Druhým způsobem je najít nejmenší společný násobek proložením.

Příklad 1. Když je největší z daných čísel rovnoměrně dělitelné jinými danými čísly, pak se LCM těchto čísel rovná většímu z nich. Například zadaná čtyři čísla: 60, 30, 10 a 6. Každé z nich je dělitelné 60, proto:

NOC(60; 30; 10; 6) = 60

V ostatních případech se k nalezení nejmenšího společného násobku používá následující postup:

1. Určete největší číslo z uvedených čísel.
2. Dále najdeme čísla, která jsou násobky největšího čísla, vynásobíme ho přirozenými čísly ve vzestupném pořadí a zkontrolujeme, zda jsou zbývající daná čísla dělitelná výsledným součinem.

Příklad 2. Jsou dána tři čísla 24, 3 a 18. Určete největší z nich - toto je číslo 24. Dále najděte čísla, která jsou násobky 24, a zkontrolujte, zda je každé z nich dělitelné 18 a 3:

24 1 = 24 je dělitelné 3, ale není dělitelné 18.

24 2 = 48 – dělitelné 3, ale nedělitelné 18.

24 3 \u003d 72 - dělitelné 3 a 18.

Takže LCM(24; 3; 18) = 72.

Hledání sekvenčním hledáním LCM

Třetím způsobem je nalezení nejmenšího společného násobku postupným hledáním LCM.

LCM dvou daných čísel se rovná součinu těchto čísel dělenému jejich největším společným dělitelem.

Příklad 1. Najděte LCM dvou daných čísel: 12 a 8. Určete jejich největšího společného dělitele: GCD (12, 8) = 4. Vynásobte tato čísla:

Produkt rozdělujeme na jejich GCD:

Takže LCM(12; 8) = 24.

Chcete-li najít LCM tří nebo více čísel, použijte následující postup:

1. Nejprve se najde LCM libovolných dvou z daných čísel.
2. Potom LCM nalezeného nejmenšího společného násobku a třetího daného čísla.
3. Potom LCM výsledného nejmenšího společného násobku a čtvrtého čísla a tak dále.
4. Hledání LCM tedy pokračuje, dokud existují čísla.

Příklad 2. Nalezneme LCM tří daných čísel: 12, 8 a 9. LCM čísel 12 a 8 jsme již našli v předchozím příkladu (toto je číslo 24). Zbývá najít nejmenší společný násobek 24 a třetí dané číslo - 9. Určete jejich největšího společného dělitele: gcd (24, 9) = 3. Vynásobte LCM číslem 9:

Produkt rozdělujeme na jejich GCD:

Takže LCM(12; 8; 9) = 72.

Pokračujme v diskusi o nejmenším společném násobku, kterou jsme zahájili v části LCM - Nejmenší společný násobek, definice, příklady. V tomto tématu se podíváme na způsoby, jak najít LCM pro tři nebo více čísel, rozebereme otázku, jak najít LCM záporného čísla.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Výpočet nejmenšího společného násobku (LCM) pomocí gcd

Vztah mezi nejmenším společným násobkem a největším společným dělitelem jsme již stanovili. Nyní se naučíme, jak definovat LCM prostřednictvím GCD. Nejprve zjistíme, jak to udělat pro kladná čísla.

Definice 1

Nejmenší společný násobek můžete najít pomocí největšího společného dělitele pomocí vzorce LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Příklad 1

Je nutné najít LCM čísel 126 a 70.

Řešení

Vezměme a = 126 , b = 70 . Dosaďte hodnoty ve vzorci pro výpočet nejmenšího společného násobku přes největšího společného dělitele LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Najde GCD čísel 70 a 126. K tomu potřebujeme Euklidovský algoritmus: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , tedy gcd (126 , 70) = 14 .

Pojďme vypočítat LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70 : 14 = 630.

Odpovědět: LCM (126, 70) = 630.

Příklad 2

Najděte nok čísel 68 a 34.

Řešení

GCD je v tomto případě snadné najít, protože 68 je dělitelné 34. Vypočítejte nejmenší společný násobek pomocí vzorce: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Odpovědět: LCM(68,34) = 68.

V tomto příkladu jsme použili pravidlo pro nalezení nejmenšího společného násobku kladných celých čísel a a b: pokud je první číslo dělitelné druhým, pak se LCM těchto čísel bude rovnat prvnímu číslu.

Nalezení LCM rozdělením čísel na prvočinitele

Nyní se podíváme na způsob, jak najít LCM, který je založen na rozkladu čísel na prvočinitele.

Definice 2

Abychom našli nejmenší společný násobek, musíme provést několik jednoduchých kroků:

• tvoříme součin všech prvočísel čísel, pro která potřebujeme najít LCM;
• z jejich získaných produktů vylučujeme všechny prvočinitele;
• součin získaný po odstranění společných prvočísel se bude rovnat LCM daných čísel.

Tento způsob hledání nejmenšího společného násobku je založen na rovnosti LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Když se podíváte na vzorec, je jasné: součin čísel a a b se rovná součinu všech faktorů, které se podílejí na rozšíření těchto dvou čísel. V tomto případě se GCD dvou čísel rovná součinu všech prvočísel, které jsou současně přítomny v rozkladech těchto dvou čísel.

Příklad 3

Máme dvě čísla 75 a 210 . Můžeme je rozdělit takto: 75 = 3 5 5 a 210 = 2 3 5 7. Pokud vytvoříte součin všech faktorů dvou původních čísel, dostanete: 2 3 3 5 5 5 7.

Pokud vyloučíme faktory společné pro čísla 3 a 5, dostaneme součin následujícího tvaru: 2 3 5 5 7 = 1050. Tento produkt bude naším LCM pro čísla 75 a 210.

Příklad 4

Najděte LCM čísel 441 a 700 , přičemž obě čísla rozložíme na prvočinitele.

Řešení

Pojďme najít všechny prvočinitele čísel uvedených v podmínce:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Dostaneme dva řetězce čísel: 441 = 3 3 7 7 a 700 = 2 2 5 5 7 .

Součin všech faktorů, které se podílely na rozšíření těchto čísel, bude vypadat takto: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Pojďme najít společné faktory. Toto číslo je 7. Vylučujeme jej z obecného produktu: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ukazuje se, že NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Odpovědět: LCM (441, 700) = 44100.

Uveďme ještě jednu formulaci metody pro nalezení LCM rozkladem čísel na prvočinitele.

Definice 3

Dříve jsme z celkového počtu vylučovali faktory společné oběma číslům. Nyní to uděláme jinak:

• Pojďme si obě čísla rozložit na prvočinitele:
• doplňte k součinu prvočinitelů prvního čísla chybějící činitele druhého čísla;
• dostaneme součin, který bude požadovaným LCM dvou čísel.

Příklad 5

Vraťme se k číslům 75 a 210 , pro které jsme již hledali LCM v jednom z předchozích příkladů. Rozdělme je na jednoduché faktory: 75 = 3 5 5 a 210 = 2 3 5 7. Na součin faktorů 3 , 5 a 5 číslo 75 doplňte chybějící faktory 2 a 7 čísla 210. Dostaneme: 2 3 5 5 7 . Toto je LCM čísel 75 a 210.

Příklad 6

Je nutné vypočítat LCM čísel 84 a 648.

Řešení

Rozložme čísla z podmínky na prvočinitele: 84 = 2 2 3 7 a 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Přidejte k součinu faktorů 2 , 2 , 3 a 7 čísla 84 chybějící faktory 2 , 3 , 3 a
3 čísla 648. Dostáváme produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Toto je nejmenší společný násobek 84 a 648.

Odpovědět: LCM (84, 648) = 4536.

Nalezení LCM tří nebo více čísel

Bez ohledu na to, kolik čísel máme co do činění, algoritmus našich akcí bude vždy stejný: postupně najdeme LCM dvou čísel. Pro tento případ existuje věta.

Věta 1

Předpokládejme, že máme celá čísla a 1, a 2, …, a k. NOC m k z těchto čísel se nachází v sekvenčním výpočtu m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), …, m k = LCM (m k − 1, ak) .

Nyní se podívejme, jak lze větu aplikovat na konkrétní problémy.

Příklad 7

Musíte vypočítat nejmenší společný násobek čtyř čísel 140 , 9 , 54 a 250 .

Řešení

Pojďme si představit zápis: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

Začněme výpočtem m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Použijme euklidovský algoritmus k výpočtu GCD čísel 140 a 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Získáme: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Proto m 2 = 1 260.

Nyní spočítejme podle stejného algoritmu m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Při výpočtech dostaneme m 3 = 3 780.

Zbývá nám vypočítat m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Postupujeme podle stejného algoritmu. Dostaneme m 4 \u003d 94 500.

LCM čtyř čísel z příkladu podmínky je 94500 .

Odpovědět: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Jak vidíte, výpočty jsou jednoduché, ale poměrně pracné. Chcete-li ušetřit čas, můžete jít jinou cestou.

Definice 4

Nabízíme vám následující algoritmus akcí:

• rozložit všechna čísla na prvočinitele;
• k součinu činitelů prvního čísla doplňte chybějící činitele součinu druhého čísla;
• přidat chybějící faktory třetího čísla k produktu získanému v předchozí fázi atd.;
• výsledný součin bude nejmenší společný násobek všech čísel z podmínky.

Příklad 8

Je nutné najít LCM pěti čísel 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Řešení

Rozložme všech pět čísel na prvočinitele: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Prvočísla, což je číslo 7, nelze započítat do prvočísel. Taková čísla se shodují s jejich rozkladem na prvočinitele.

Nyní vezmeme součin prvočinitelů 2, 2, 3 a 7 čísla 84 a přidáme k nim chybějící činitele druhého čísla. Rozložili jsme číslo 6 na 2 a 3. Tyto faktory jsou již v součinu prvního čísla. Proto je vynecháváme.

Pokračujeme v doplňování chybějících násobičů. Přejdeme k číslu 48, ze součinu prvočinitelů, z nichž vezmeme 2 a 2. Pak přidáme jednoduchý faktor 7 ze čtvrtého čísla a faktory 11 a 13 z pátého. Dostaneme: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Toto je nejmenší společný násobek z pěti původních čísel.

Odpovědět: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Hledání nejmenšího společného násobku záporných čísel

Abychom našli nejmenší společný násobek záporných čísel, musí být tato čísla nejprve nahrazena čísly s opačným znaménkem a poté by měly být výpočty provedeny podle výše uvedených algoritmů.

Příklad 9

LCM(54, -34) = LCM(54, 34) a LCM(-622, -46, -54, -888) = LCM(622, 46, 54, 888).

Takové akce jsou přípustné vzhledem k tomu, že pokud bude přijato, že A a − a- opačná čísla
pak množina násobků A se shoduje s množinou násobků čísla − a.

Příklad 10

Je nutné vypočítat LCM záporných čísel − 145 a − 45 .

Řešení

Změníme čísla − 145 a − 45 k jejich opačným číslům 145 a 45 . Nyní pomocí algoritmu vypočítáme LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305, když jsme předtím určili GCD pomocí Euklidova algoritmu.

Dostaneme, že LCM čísel − 145 a − 45 rovná se 1 305 .

Odpovědět: LCM (- 145, - 45) = 1 305 .

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter