Největší a nejmenší hodnoty funkce dvou proměnných v uzavřené oblasti. Nejmenší a největší hodnoty funkce na segmentu

Co je to extrém funkce a jaká je nutná podmínka pro extrém?

Extrémem funkce je maximum a minimum funkce.

Nutná podmínka maxima a minima (extréma) funkce je následující: má-li funkce f(x) extrém v bodě x = a, pak je v tomto bodě derivace buď nulová, nebo nekonečná, nebo ano. neexistuje.

Tato podmínka je nutná, nikoli však postačující. Derivace v bodě x = a může zmizet, přejít do nekonečna nebo nemusí existovat, aniž by funkce měla v tomto bodě extrém.

Jaká je dostatečná podmínka pro extrém funkce (maximum nebo minimum)?

První podmínka:

Je-li v dostatečné blízkosti bodu x = a derivace f?(x) kladná nalevo od a a záporná napravo od a, pak v samotném bodě x = a má funkce f(x) maximum

Jestliže v dostatečné blízkosti bodu x = a je derivace f?(x) záporná vlevo od a a kladná vpravo od a, pak v samotném bodě x = a má funkce f(x) minimální za předpokladu, že funkce f(x) je zde spojitá.

Místo toho můžete použít druhou postačující podmínku pro extrém funkce:

Nechť v bodě x = a první derivace f? (x) zmizí; je-li druhá derivace f??(а) záporná, pak má funkce f(x) maximum v bodě x = a, je-li kladná, pak minimum.

Jaký je kritický bod funkce a jak jej najít?

Toto je hodnota argumentu funkce, při které má funkce extrém (tj. maximum nebo minimum). Chcete-li to najít, potřebujete najít derivát funkce f?(x) a přirovnáme-li ji k nule, řešit rovnici f?(x) = 0. Kořeny této rovnice, stejně jako ty body, ve kterých derivace této funkce neexistuje, jsou kritické body, tj. hodnoty argumentu, ve kterých může být extrém . Lze je snadno identifikovat pohledem derivační graf: zajímají nás ty hodnoty argumentu, při kterých graf funkce protíná osu úsečky (osa Ox) a hodnoty, při kterých se graf zlomí.

Například pojďme najít extrém paraboly.

Funkce y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivace funkce: y?(x) = 6x + 2

Řešíme rovnici: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

V tomto případě je kritický bod x0=-1/3. Právě pro tuto hodnotu argumentu má funkce extrém. Dostat to nalézt, místo "x" dosadíme nalezené číslo ve výrazu za funkci:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Jak určit maximum a minimum funkce, tzn. jeho největší a nejmenší hodnoty?

Pokud se znaménko derivace při průchodu kritickým bodem x0 změní z „plus“ na „mínus“, pak x0 je maximální bod; jestliže se znaménko derivace změní z mínus na plus, pak x0 je minimální bod; pokud se znaménko nezmění, pak v bodě x0 není ani maximum, ani minimum.

Pro uvažovaný příklad:

Vezmeme libovolnou hodnotu argumentu nalevo od kritického bodu: x = -1

Když x = -1, hodnota derivace bude y? ​​(-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tj. znaménko mínus).

Nyní vezmeme libovolnou hodnotu argumentu napravo od kritického bodu: x = 1

Pro x = 1 bude hodnota derivace y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tj. znaménko plus).

Jak vidíte, při průchodu kritickým bodem derivace změnila znaménko z mínus na plus. To znamená, že při kritické hodnotě x0 máme minimální bod.

Největší a nejmenší hodnota funkce na intervalu(na segmentu) se nalézají stejným postupem, jen s přihlédnutím k tomu, že možná ne všechny kritické body budou ležet ve stanoveném intervalu. Kritické body, které jsou mimo interval, musí být vyloučeny z úvahy. Pokud je uvnitř intervalu pouze jeden kritický bod, bude mít buď maximum, nebo minimum. V tomto případě, abychom určili největší a nejmenší hodnoty funkce, bereme v úvahu také hodnoty funkce na koncích intervalu.

Najdeme například největší a nejmenší hodnoty funkce

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

v intervalech:

Takže derivace funkce je

ya(x) = 3cos(x) - 0,5

Řešíme rovnici 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Kritické body najdeme na intervalu [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (není zahrnuto v intervalu)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (není zahrnuto v intervalu)

Hodnoty funkce najdeme na kritických hodnotách argumentu:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Je vidět, že na intervalu [-9; 9] funkce má největší hodnotu při x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

a nejmenší - při x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervalu [-6; -3] máme pouze jeden kritický bod: x = -4,88. Hodnota funkce v x = -4,88 je y = 5,398.

Najdeme hodnotu funkce na koncích intervalu:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na intervalu [-6; -3] máme největší hodnotu funkce

y = 5,398 při x = -4,88

nejmenší hodnota je

y = 1,077 při x = -3

Jak najít inflexní body grafu funkce a určit strany konvexnosti a konkávnosti?

Chcete-li najít všechny inflexní body přímky y \u003d f (x), musíte najít druhou derivaci, přirovnat ji k nule (vyřešit rovnici) a otestovat všechny ty hodnoty x, pro které je druhá derivace nula , nekonečný nebo neexistuje. Pokud při průchodu jednou z těchto hodnot druhá derivace změní znaménko, pak má graf funkce v tomto bodě inflexi. Pokud se nezmění, pak nedochází k ohýbání.

Kořeny rovnice f ? (x) = 0, stejně jako možné body nespojitosti funkce a druhé derivace rozdělují definiční obor funkce na řadu intervalů. Konvexnost na každém z jejich intervalů je určena znaménkem druhé derivace. Je-li druhá derivace v bodě na zkoumaném intervalu kladná, pak je zde přímka y = f(x) konkávní směrem nahoru, a je-li záporná, pak směrem dolů.

Jak najít extrémy funkce dvou proměnných?

Chcete-li najít extrémy funkce f(x, y), diferencovatelné v oblasti jejího přiřazení, potřebujete:

1) najděte kritické body a za tímto účelem vyřešte soustavu rovnic

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) pro každý kritický bod P0(a;b) prozkoumejte, zda znaménko rozdílu zůstává nezměněno

pro všechny body (x; y) dostatečně blízko k P0. Pokud si rozdíl zachová kladné znaménko, pak v bodě P0 máme minimum, pokud záporné, tak maximum. Pokud si rozdíl nezachová své znaménko, pak v bodě Р0 není extrém.

Obdobně jsou extrémy funkce určeny pro větší počet argumentů.

O čem je Shrek Forever After?
Cartoon: Shrek Forever After Rok vydání: 2010 Premiéra (Rusko): 20. května 2010 Země: USA Režie: Michael Pitchell Scénář: Josh Klausner, Darren Lemke Žánr: rodinná komedie, fantasy, dobrodružný Oficiální stránky: www.shrekforeverafter.com děj mezek

Mohu darovat krev během menstruace?
Lékaři nedoporučují darovat krev během menstruace, protože. ztráta krve, i když ne ve významném množství, je plná poklesu hladiny hemoglobinu a zhoršení blahobytu ženy. Během darování krve se může situace s pohodou zhoršit až do objevení krvácení. Ženy by se proto měly zdržet darování krve během menstruace. A to již 5. den poté, co skončili

Kolik kcal / hodinu se spotřebuje při mytí podlah
Druhy fyzické aktivity Spotřeba energie, kcal/h Vaření 80 Oblékání 30 Řízení auta 50 Utírání prachu 80 Jídlo 30 Zahradnictví 135 Žehlení prádla 45 Stlání postelí 130 Nakupování 80 Sedavé práce 75 Sekání dřeva 300 Mytí podlah 130 Sex 100-150 Tanec

Co znamená slovo "zloděj"?
Podvodník je zloděj zabývající se drobnými krádežemi nebo nepoctivý člověk náchylný k podvodným trikům. Potvrzení této definice je obsaženo v Krylovově etymologickém slovníku, podle kterého je slovo „podvodník“ utvořeno ze slova „podvodník“ (zloděj, podvodník), obdoba slovesa &la

Jak se jmenuje poslední publikovaný příběh bratří Strugackých
Povídka Arkadije a Borise Strugackých „O problematice cyklotace“ byla poprvé publikována v dubnu 2008 ve sci-fi antologii „Polední. XXI století“ (příloha časopisu „Vokrug sveta“, vydávaného pod vedením Borise Strugackého) . Publikace byla věnována 75. výročí Borise Strugackého.

Kde si mohu přečíst příběhy účastníků programu Work And Travel USA
Work and Travel USA (work and travel in the USA) je oblíbený studentský výměnný program, kde můžete strávit léto v Americe, legálně pracovat v sektoru služeb a cestovat. Program History of Work & Travel je součástí programu mezivládních výměn Cultural Exchange Pro

Ucho. Kulinářský a historický odkaz Po více než dvě a půl století se slovo „ukha“ používá k označení polévek nebo odvaru z čerstvých ryb. Ale byla doba, kdy se toto slovo vykládalo šířeji. Označovaly polévku – nejen rybí, ale i maso, hrášek a dokonce i sladkou. Takže v historickém dokumentu -"

Informační a náborové portály Superjob.ru - náborový portál Superjob.ru působí na ruském online náborovém trhu od roku 2000 a je lídrem mezi zdroji nabízejícími hledání práce a personálu. Do databáze stránek denně přibývá více než 80 000 životopisů specialistů a více než 10 000 volných pracovních míst.

Co je motivace
Definice motivace Motivace (z lat. moveo - hýbu se) - impuls k akci; dynamický proces fyziologického a psychologického plánu, který řídí lidské chování, určuje jeho směr, organizaci, aktivitu a stabilitu; schopnost člověka uspokojovat své potřeby prací. Motivac

Kdo je Bob Dylan
Bob Dylan (eng. Bob Dylan, vlastním jménem - Robert Allen Zimmerman eng. Robert Allen Zimmerman; narozen 24. května 1941) je americký skladatel, který je podle průzkumu časopisu Rolling Stone druhý (

Jak přepravovat pokojové rostliny
Po nákupu pokojových rostlin stojí zahradník před úkolem, jak doručit zakoupené exotické květiny nepoškozené. Znalost základních pravidel pro balení a přepravu pokojových rostlin pomůže tento problém vyřešit. Rostliny musí být pro přepravu nebo přepravu zabaleny. Bez ohledu na to, na jak krátkou vzdálenost jsou rostliny přenášeny, mohou se poškodit, mohou vyschnout a v zimě &m

Proces hledání nejmenší a největší hodnoty funkce na segmentu připomíná fascinující let kolem objektu (graf funkce) na vrtulníku se střelbou z dálkového děla v určitých bodech a výběrem z tyto body jsou velmi speciální body pro kontrolní střely. Body jsou vybírány určitým způsobem a podle určitých pravidel. Podle jakých pravidel? Budeme o tom mluvit dále.

Pokud je funkce y = F(X) spojitě na intervalu [ A, b], pak dosáhne na tento segment nejméně a nejvyšší hodnoty . To se může stát buď v extrémní body nebo na koncích segmentu. Proto najít nejméně a největší hodnoty funkce , spojité na segmentu [ A, b], musíte vypočítat jeho hodnoty ve všech kritické body a na koncích segmentu a poté vyberte nejmenší a největší z nich.

Nechť je například potřeba určit maximální hodnotu funkce F(X) na segmentu [ A, b]. Chcete-li to provést, najděte všechny jeho kritické body ležící na [ A, b] .

kritický bod se nazývá bod, ve kterém funkce definována a ji derivát je buď nula, nebo neexistuje. Poté byste měli vypočítat hodnoty funkce v kritických bodech. A nakonec je třeba porovnat hodnoty funkce v kritických bodech a na koncích segmentu ( F(A) a F(b)). Největší z těchto čísel bude největší hodnota funkce na intervalu [A, b] .

Problém najít nejmenší hodnoty funkce .

Společně hledáme nejmenší a největší hodnoty funkce

Příklad 1. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce na segmentu [-1, 2] .

Řešení. Najdeme derivaci této funkce. Přirovnejte derivaci k nule () a získejte dva kritické body: a . K nalezení nejmenší a největší hodnoty funkce na daném segmentu stačí vypočítat její hodnoty na koncích segmentu a v bodě , protože bod nepatří do segmentu [-1, 2]. Tyto funkční hodnoty jsou následující: , , . Z toho vyplývá, že nejmenší funkční hodnota(označeno červeně na grafu níže), rovné -7, je dosaženo na pravém konci segmentu - v bodě , a největší(na grafu také červená), je v kritickém bodě rovna 9,-.

Je-li funkce spojitá v určitém intervalu a tento interval není segmentem (ale je např. intervalem; rozdíl mezi intervalem a segmentem: hraniční body intervalu se do intervalu nezahrnují, ale hraniční body segmentu jsou zahrnuty v segmentu), pak mezi hodnotami funkce nemusí být nejmenší a největší. Takže například funkce znázorněná na obrázku níže je spojitá na ]-∞, +∞[ a nemá největší hodnotu.

Pro jakýkoli interval (uzavřený, otevřený nebo nekonečný) však platí následující vlastnost spojitých funkcí.

Příklad 4. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce na segmentu [-1, 3] .

Řešení. Najdeme derivaci této funkce jako derivaci kvocientu:

.

Derivaci srovnáme s nulou, což nám dává jeden kritický bod: . Patří do intervalu [-1, 3] . Abychom našli nejmenší a největší hodnoty funkce na daném segmentu, najdeme její hodnoty na koncích segmentu a v nalezeném kritickém bodě:

Porovnejme tyto hodnoty. Závěr: rovná se -5/13, v bodě a největší hodnotu v bodě rovna 1.

Pokračujeme ve společném hledání nejmenší a největší hodnoty funkce

Jsou učitelé, kteří na téma hledání nejmenší a největší hodnoty funkce nedávají studentům příklady složitější, než jsou právě uvažované, tedy takové, ve kterých je funkcí polynom nebo zlomek, čitatel a jejichž jmenovatelem jsou polynomy. Ale nebudeme se omezovat na takové příklady, protože mezi učiteli jsou milovníci toho, aby studenti přemýšleli v plném rozsahu (tabulka derivátů). Proto bude použit logaritmus a goniometrická funkce.

Příklad 6. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce na segmentu .

Řešení. Najdeme derivaci této funkce jako derivát produktu :

Derivaci srovnáme s nulou, což dává jeden kritický bod: . Patří do segmentu. Abychom našli nejmenší a největší hodnoty funkce na daném segmentu, najdeme její hodnoty na koncích segmentu a v nalezeném kritickém bodě:

Výsledek všech akcí: funkce dosáhne své minimální hodnoty, rovno 0, v bodě a v bodě a největší hodnotu rovná E² , v bodě .

Příklad 7. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce na segmentu .

Řešení. Najdeme derivaci této funkce:

Přirovnejte derivaci k nule:

Jediný kritický bod patří segmentu. Abychom našli nejmenší a největší hodnoty funkce na daném segmentu, najdeme její hodnoty na koncích segmentu a v nalezeném kritickém bodě:

Závěr: funkce dosáhne své minimální hodnoty, rovno , v bodě a největší hodnotu, rovno , v bodě .

V aplikovaných extrémních úlohách je hledání nejmenších (největších) funkčních hodnot zpravidla redukováno na hledání minima (maxima). Větší praktický zájem však nemají samotná minima nebo maxima, ale hodnoty argumentu, při kterých se jich dosahuje. Při řešení aplikovaných problémů vzniká další obtíž - sestavení funkcí, které popisují uvažovaný jev nebo proces.

Příklad 8 Nádrž o objemu 4, která má tvar kvádru se čtvercovou základnou a je nahoře otevřená, musí být pocínována. Jaké by měly být rozměry nádrže, aby byla pokryta co nejmenším množstvím materiálu?

Řešení. Nechat X- základní strana h- výška nádrže, S- jeho povrch bez krytu, PROTI- jeho objem. Plocha nádrže je vyjádřena vzorcem, tj. je funkcí dvou proměnných. Vyjádřit S jako funkce jedné proměnné používáme skutečnost, že , odkud . Dosazení nalezeného výrazu h do vzorce pro S:

Prozkoumejme tuto funkci pro extrém. Je definován a diferencovatelný všude v ]0, +∞[ , a

.

Srovnáme derivaci s nulou () a najdeme kritický bod. Navíc, když derivace neexistuje, ale tato hodnota není zahrnuta v oblasti definice, a proto nemůže být extrémním bodem. Takže, - jediný kritický bod. Zkontrolujme to na přítomnost extrému pomocí druhého dostatečného znaku. Pojďme najít druhou derivaci. Když je druhá derivace větší než nula (). To znamená, že když funkce dosáhne minima . Protože tohle minimum - jediný extrém této funkce, je to její nejmenší hodnota. Takže strana základny nádrže by měla být rovna 2 m a její výška.

Příklad 9 Z odstavce A, nacházející se na železniční trati, do bodu Z, ve vzdálenosti od něj l, je nutné zboží přepravit. Náklady na přepravu jednotky hmotnosti na jednotku vzdálenosti po železnici se rovnají , po dálnici se rovnají . Do jakého bodu Mželezniční trať by měla být vedena dálnicí pro přepravu nákladu ALE v Z byl nejekonomičtější AB předpokládá se, že železnice je přímá)?

Co je to extrém funkce a jaká je nutná podmínka pro extrém?

Extrémem funkce je maximum a minimum funkce.

Nutná podmínka maxima a minima (extréma) funkce je následující: má-li funkce f(x) extrém v bodě x = a, pak je v tomto bodě derivace buď nulová, nebo nekonečná, nebo ano. neexistuje.

Tato podmínka je nutná, nikoli však postačující. Derivace v bodě x = a může zmizet, přejít do nekonečna nebo nemusí existovat, aniž by funkce měla v tomto bodě extrém.

Jaká je dostatečná podmínka pro extrém funkce (maximum nebo minimum)?

První podmínka:

Je-li v dostatečné blízkosti bodu x = a derivace f?(x) kladná nalevo od a a záporná napravo od a, pak v samotném bodě x = a má funkce f(x) maximum

Jestliže v dostatečné blízkosti bodu x = a je derivace f?(x) záporná vlevo od a a kladná vpravo od a, pak v samotném bodě x = a má funkce f(x) minimální za předpokladu, že funkce f(x) je zde spojitá.

Místo toho můžete použít druhou postačující podmínku pro extrém funkce:

Nechť v bodě x = a první derivace f? (x) zmizí; je-li druhá derivace f??(а) záporná, pak má funkce f(x) maximum v bodě x = a, je-li kladná, pak minimum.

Jaký je kritický bod funkce a jak jej najít?

Toto je hodnota argumentu funkce, při které má funkce extrém (tj. maximum nebo minimum). Chcete-li to najít, potřebujete najít derivát funkce f?(x) a přirovnáme-li ji k nule, řešit rovnici f?(x) = 0. Kořeny této rovnice, stejně jako ty body, ve kterých derivace této funkce neexistuje, jsou kritické body, tj. hodnoty argumentu, ve kterých může být extrém . Lze je snadno identifikovat pohledem derivační graf: zajímají nás ty hodnoty argumentu, při kterých graf funkce protíná osu úsečky (osa Ox) a hodnoty, při kterých se graf zlomí.

Například pojďme najít extrém paraboly.

Funkce y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivace funkce: y?(x) = 6x + 2

Řešíme rovnici: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

V tomto případě je kritický bod x0=-1/3. Právě pro tuto hodnotu argumentu má funkce extrém. Dostat to nalézt, místo "x" dosadíme nalezené číslo ve výrazu za funkci:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Jak určit maximum a minimum funkce, tzn. jeho největší a nejmenší hodnoty?

Pokud se znaménko derivace při průchodu kritickým bodem x0 změní z „plus“ na „mínus“, pak x0 je maximální bod; jestliže se znaménko derivace změní z mínus na plus, pak x0 je minimální bod; pokud se znaménko nezmění, pak v bodě x0 není ani maximum, ani minimum.

Pro uvažovaný příklad:

Vezmeme libovolnou hodnotu argumentu nalevo od kritického bodu: x = -1

Když x = -1, hodnota derivace bude y? ​​(-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tj. znaménko mínus).

Nyní vezmeme libovolnou hodnotu argumentu napravo od kritického bodu: x = 1

Pro x = 1 bude hodnota derivace y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tj. znaménko plus).

Jak vidíte, při průchodu kritickým bodem derivace změnila znaménko z mínus na plus. To znamená, že při kritické hodnotě x0 máme minimální bod.

Největší a nejmenší hodnota funkce na intervalu(na segmentu) se nalézají stejným postupem, jen s přihlédnutím k tomu, že možná ne všechny kritické body budou ležet ve stanoveném intervalu. Kritické body, které jsou mimo interval, musí být vyloučeny z úvahy. Pokud je uvnitř intervalu pouze jeden kritický bod, bude mít buď maximum, nebo minimum. V tomto případě, abychom určili největší a nejmenší hodnoty funkce, bereme v úvahu také hodnoty funkce na koncích intervalu.

Najdeme například největší a nejmenší hodnoty funkce

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

v intervalech:

Takže derivace funkce je

ya(x) = 3cos(x) - 0,5

Řešíme rovnici 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Kritické body najdeme na intervalu [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (není zahrnuto v intervalu)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (není zahrnuto v intervalu)

Hodnoty funkce najdeme na kritických hodnotách argumentu:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Je vidět, že na intervalu [-9; 9] funkce má největší hodnotu při x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

a nejmenší - při x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na intervalu [-6; -3] máme pouze jeden kritický bod: x = -4,88. Hodnota funkce v x = -4,88 je y = 5,398.

Najdeme hodnotu funkce na koncích intervalu:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na intervalu [-6; -3] máme největší hodnotu funkce

y = 5,398 při x = -4,88

nejmenší hodnota je

y = 1,077 při x = -3

Jak najít inflexní body grafu funkce a určit strany konvexnosti a konkávnosti?

Chcete-li najít všechny inflexní body přímky y \u003d f (x), musíte najít druhou derivaci, přirovnat ji k nule (vyřešit rovnici) a otestovat všechny ty hodnoty x, pro které je druhá derivace nula , nekonečný nebo neexistuje. Pokud při průchodu jednou z těchto hodnot druhá derivace změní znaménko, pak má graf funkce v tomto bodě inflexi. Pokud se nezmění, pak nedochází k ohýbání.

Kořeny rovnice f ? (x) = 0, stejně jako možné body nespojitosti funkce a druhé derivace rozdělují definiční obor funkce na řadu intervalů. Konvexnost na každém z jejich intervalů je určena znaménkem druhé derivace. Je-li druhá derivace v bodě na zkoumaném intervalu kladná, pak je zde přímka y = f(x) konkávní směrem nahoru, a je-li záporná, pak směrem dolů.

Jak najít extrémy funkce dvou proměnných?

Chcete-li najít extrémy funkce f(x, y), diferencovatelné v oblasti jejího přiřazení, potřebujete:

1) najděte kritické body a za tímto účelem vyřešte soustavu rovnic

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) pro každý kritický bod P0(a;b) prozkoumejte, zda znaménko rozdílu zůstává nezměněno

pro všechny body (x; y) dostatečně blízko k P0. Pokud si rozdíl zachová kladné znaménko, pak v bodě P0 máme minimum, pokud záporné, tak maximum. Pokud si rozdíl nezachová své znaménko, pak v bodě Р0 není extrém.

Obdobně jsou extrémy funkce určeny pro větší počet argumentů.

Které nealkoholické sycené nápoje čistí povrchy
Existuje názor, že nealkoholický sycený nápoj Coca-Cola je schopen rozpustit maso. Bohužel pro to neexistují žádné přímé důkazy. Naopak existují potvrzující fakta potvrzující, že maso ponechané v nápoji Coca-Cola dva dny mění spotřebitelské vlastnosti a nikde nezmizí.

Rozvržení typických bytů, popisy a fotografie domů lze nalézt na webových stránkách: - www.kvadroom.ru/planirovki - www.prime-realty.ru/tip/tip.htm - goodgoods.ru/pages/1093353787.html - www.cnko.net/art

Jak léčit neurózu
Neuróza (novolat. neuróza, pochází z jiné řečtiny. νε?ρον - nerv; synonyma - psychoneuróza, neurotická porucha) - v klinice: souhrnný název pro skupinu funkčních psychogenních reverzibilních poruch, které mají sklon k

Co je aphelion
Apocentrum je bod na oběžné dráze, ve kterém těleso na eliptické dráze kolem jiného tělesa dosáhne své maximální vzdálenosti od druhého tělesa. Ve stejném okamžiku se podle druhého Keplerova zákona rychlost orbitálního pohybu stává minimální. Apocentrum se nachází v bodě diametrálně opačném k periapsi. Ve zvláštních případech je obvyklé používat speciální termíny:

Co je mamon
Mamon (m. R.), mamon (f. R.) - slovo odvozené z řec. mammonas a význam bohatství, pozemské poklady, požehnání. Pro některé starověké pohanské národy byl bohem bohatství a zisku. V Písmu svatém se zmiňují evangelisté Matouš a Lukáš: „Nikdo nemůže sloužit dvěma pánům, protože buď bude jednoho nenávidět, a druhého

Kdy jsou pravoslavné Velikonoce v roce 2049
V roce 2015 budou pravoslavné Velikonoce 12. dubna a katolické 5. dubna. V církevních kalendářích jsou data pravoslavných Velikonoc uvedena podle juliánského kalendáře (starý styl), zatímco katolické Velikonoce se posuzují podle moderního gregoriánského kalendáře (nový styl), takže shoda dat vyžaduje určité duševní úsilí.

Co je to rubl
Rubl je název moderních měn Ruska, Běloruska (běloruský rubl), Podněstří (podněstrovský rubl). Ruský rubl také obíhá v Jižní Osetii a Abcházii. V minulosti - měnová jednotka ruských republik a knížectví, moskevského velkovévodství, ruského království, litevského velkovévodství, ruské říše a různých

Jak dlouho byl Ariel Sharon v kómatu
Ariel Arik Sharon (Sheinerman) - izraelský vojenský, politický a státník, předseda vlády Izraele v letech 2001 - 2006. Datum narození: 26. února 1928 Místo narození: osada Kfar Malal poblíž Kfar Saba, Izrael Datum úmrtí: 11. ledna 2014 Místo úmrtí: Ramat Gan, Gush Dan, Iz

Kdo byli neandrtálci
Neandrtálský člověk, neandrtálský člověk (lat. Homo neanderthalensis nebo Homo sapiens neanderthalensis) je fosilní druh lidí, kteří žili před 300–24 tisíci lety. Původ názvu Předpokládá se, že lebka neandrtálce byla poprvé nalezena v roce 1856.

Jak starý je Geoffrey Rush
Geoffrey Rush je australský filmový a divadelní herec. Držitel Oscara (1997), BAFTA (1996, 1999), Zlatého glóbu (1997, 2005). Nejslavnější filmy s jeho účastí - "Shine"

Jak určit intervaly konvexnosti a konkávnosti funkčního grafu
Co je to extrém funkce a jaká je nutná podmínka pro extrém? Extrémem funkce je maximum a minimum funkce. Nutná podmínka maxima a minima (extréma) funkce je následující: má-li funkce f(x) extrém v bodě x = a, pak je v tomto bodě derivace buď nulová, nebo nekonečná, nebo ano. neexistuje. Tato podmínka je nutná, nikoli však postačující. Derivát v t

Miniaturní a poměrně jednoduchý úkol, který slouží jako záchranné lano pro vznášejícího se studenta. V přírodě, ospalé říši poloviny července, a tak je čas usadit se s notebookem na pláži. Brzy ráno rozehrál sluneční paprsek teorie, aby se brzy zaměřil na praxi, která i přes deklarovanou lehkost obsahuje v písku skleněné úlomky. V tomto ohledu doporučuji svědomitě zvážit několik příkladů této stránky. K řešení praktických úkolů je třeba umět najít deriváty a porozumět obsahu článku Intervaly monotonie a extrémy funkce.

Nejprve krátce k tomu hlavnímu. V lekci o kontinuita funkce Uvedl jsem definici spojitosti v bodě a spojitosti na intervalu. Podobným způsobem je formulováno příkladné chování funkce na segmentu. Funkce je spojitá na segmentu, pokud:

1) je spojitý na intervalu;
2) spojitý v bodě napravo a na místě vlevo, odjet.

Druhý odstavec se zabývá tzv jednostranná kontinuita funguje v určitém bodě. Existuje několik přístupů k jeho definici, ale já se budu držet linie započaté dříve:

Funkce je spojitá v bodě napravo, pokud je definována v daném bodě a její pravá limita se shoduje s hodnotou funkce v daném bodě: . V bodě je spojitý vlevo, odjet, je-li definován v daném bodě a jeho levý limit se rovná hodnotě v tomto bodě:

Představte si, že zelené tečky jsou nehty, na kterých je připevněna kouzelná gumička:

V duchu vezměte červenou čáru do svých rukou. Je zřejmé, že bez ohledu na to, jak daleko natáhneme graf nahoru a dolů (podél osy), funkce stále zůstane omezený- nahoře živý plot, dole živý plot a náš produkt se pase ve výběhu. Takto, funkce spojitá na segmentu je na něm omezena. V průběhu matematické analýzy je tento zdánlivě jednoduchý fakt konstatován a důsledně dokázán První Weierstrassova věta.… Mnohým lidem vadí, že se v matematice únavně dokládají elementární tvrzení, ale má to důležitý význam. Předpokládejme, že jistý obyvatel terryho středověku vytáhl graf na oblohu za hranice viditelnosti, toto bylo vloženo. Před vynálezem dalekohledu nebyla omezená funkce ve vesmíru vůbec zřejmá! Jak vlastně víte, co nás čeká za horizontem? Vždyť kdysi byla Země považována za plochou, takže dnes i obyčejná teleportace vyžaduje důkaz =)

Podle druhá Weierstrassova věta, kontinuální na segmentufunkce dosáhne svého přesný horní okraj a jeho přesný spodní okraj .

Číslo se také volá maximální hodnota funkce na segmentu a označeno , a číslem - minimální hodnota funkce na intervalu s upozorněním.

V našem případě:

Poznámka : teoreticky jsou záznamy běžné .

Zhruba řečeno, největší hodnota se nachází tam, kde je nejvyšší bod grafu, a nejmenší - tam, kde je nejnižší bod.

Důležité! Jak již bylo zmíněno v článku o extrém funkce, největší hodnotu funkce a nejmenší funkční hodnota – NEJSOU STEJNÉ, co funkční maximum a funkční minimum. Takže v tomto příkladu je číslo minimum funkce, ale ne minimální hodnota.

Mimochodem, co se děje mimo segment? Ano, i povodeň, v kontextu zvažovaného problému nás toto vůbec nezajímá. Úkol spočívá pouze v nalezení dvou čísel a to je vše!

Navíc je řešení čistě analytické, proto není třeba kreslit!

Algoritmus leží na povrchu a vyplývá z výše uvedeného obrázku:

1) Najděte hodnoty funkcí v kritické body, které patří do tohoto segmentu.

Chyťte ještě jednu vychytávku: není třeba kontrolovat dostatečný stav pro extrém, protože, jak bylo právě ukázáno, přítomnost minima nebo maxima ještě není zaručeno jaká je minimální nebo maximální hodnota. Demonstrační funkce dosahuje svého maxima a vůlí osudu je stejné číslo největší hodnotou funkce na intervalu . Ale taková náhoda se samozřejmě ne vždy odehraje.

V prvním kroku je tedy rychlejší a snazší vypočítat hodnoty funkce v kritických bodech patřících do segmentu, aniž byste se museli obtěžovat, zda mají extrémy nebo ne.

2) Vypočítáme hodnoty funkce na koncích segmentu.

3) Mezi hodnotami funkce nalezenými v 1. a 2. odstavci vyberte nejmenší a největší číslo, zapište odpověď.

Sedíme na břehu modrého moře a narážíme na paty v mělké vodě:

Příklad 1

Najděte největší a nejmenší hodnoty funkce v segmentu

Řešení:
1) Vypočítejte hodnoty funkce v kritických bodech patřících do tohoto segmentu:

Vypočítejme hodnotu funkce v druhém kritickém bodě:

2) Vypočítejte hodnoty funkce na koncích segmentu:

3) „Tučné“ výsledky byly získány s exponenciálami a logaritmy, což významně komplikuje jejich srovnání. Z tohoto důvodu se vyzbrojíme kalkulačkou nebo Excelem a vypočítáme přibližné hodnoty, přičemž nezapomeneme, že:

Nyní je vše jasné.

Odpovědět:

Zlomkově-racionální instance pro nezávislé řešení:

Příklad 6

Najděte maximální a minimální hodnoty funkce v segmentu