Zbir logaritama sa različitim bazama. Šta je logaritam? Kako riješiti logaritme

Jesi li tu: Zanimljivo

Logaritam od b (b > 0) do baze a (a > 0, a ≠ 1) je eksponent na koji trebate podići broj a da dobijete b.

Logaritam od 10 od b može se zapisati kao dnevnik(b), i logaritam na osnovu e (prirodni logaritam) - ln(b).

Često se koristi pri rješavanju problema s logaritmima:

Svojstva logaritama

Postoje četiri glavna svojstva logaritama.

Neka je a > 0, a ≠ 1, x > 0 i y > 0.

Svojstvo 1. Logaritam proizvoda

Logaritam proizvoda jednak je zbiru logaritama:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Svojstvo 2. Logaritam količnika

Logaritam količnika jednaka je razlici logaritama:

log a (x / y) = log a x – log a y

Svojstvo 3. Logaritam stepena

Logaritam stepena jednak je proizvodu stepena i logaritma:

Ako je osnova logaritma u eksponentu, tada se primjenjuje druga formula:

Svojstvo 4. Logaritam korijena

Ovo svojstvo se može dobiti iz svojstva logaritma stepena, pošto je koren n-tog stepena jednak stepenu 1/n:

Formula za prelazak sa logaritma u jednoj bazi na logaritam u drugoj bazi

Ova formula se također često koristi pri rješavanju različitih zadataka za logaritme:

poseban slučaj:

Poređenje logaritama (nejednakosti)

Pretpostavimo da imamo 2 funkcije f(x) i g(x) pod logaritmima sa istim bazama i između njih postoji znak nejednakosti:

Da biste ih uporedili, prvo morate pogledati bazu logaritama a:

Ako je a > 0, onda je f(x) > g(x) > 0
Ako je 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Kako riješiti probleme s logaritmima: primjeri

Zadaci sa logaritmima uključeni u EGS iz matematike za 11. razred u zadatku 5 i zadatku 7, zadatke sa rješenjima možete pronaći na našoj web stranici u odgovarajućim odjeljcima. Takođe, zadaci sa logaritmima se nalaze u banci zadataka iz matematike. Sve primjere možete pronaći pretraživanjem stranice.

Šta je logaritam

Logaritmi su oduvijek smatrani teškom temom u školskom kursu matematike. Postoji mnogo različitih definicija logaritma, ali iz nekog razloga većina udžbenika koristi najsloženiju i najnesretniju od njih.

Logaritam ćemo definirati jednostavno i jasno. Kreirajmo tabelu za ovo:

Dakle, imamo moći dvojke.

Logaritmi - svojstva, formule, kako riješiti

Ako uzmete broj iz donje linije, onda možete lako pronaći stepen na koji morate podići dvojku da biste dobili ovaj broj. Na primjer, da biste dobili 16, trebate podići dva na četvrti stepen. A da biste dobili 64, trebate podići dva na šesti stepen. To se vidi iz tabele.

A sada - u stvari, definicija logaritma:

baza a argumenta x je stepen na koji se broj a mora podići da bi se dobio broj x.

Notacija: log a x = b, gdje je a baza, x je argument, b je zapravo ono čemu je jednak logaritam.

Na primjer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (osnovni 2 logaritam od 8 je tri jer je 2 3 = 8). Može i logirati 2 64 = 6, jer je 2 6 = 64.

Operacija pronalaženja logaritma broja prema datoj bazi se zove. Dakle, dodajmo novi red u našu tabelu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Nažalost, svi logaritmi se ne razmatraju tako lako. Na primjer, pokušajte pronaći log 2 5. Broj 5 nije u tabeli, ali logika nalaže da će logaritam ležati negdje na segmentu. Jer 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takvi brojevi se nazivaju iracionalni: brojevi iza decimalnog zareza mogu se pisati neograničeno i nikada se ne ponavljaju. Ako se ispostavi da je logaritam iracionalan, bolje je ostaviti ga ovako: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Važno je shvatiti da je logaritam izraz sa dvije varijable (bazom i argumentom). U početku, mnogi ljudi brkaju gdje je osnova i gdje je argument. Da biste izbjegli dosadne nesporazume, samo pogledajte sliku:

Pred nama nije ništa drugo do definicija logaritma. Zapamtite: logaritam je snaga, na koju morate podići bazu da biste dobili argument. To je baza koja je podignuta na stepen - na slici je istaknuta crvenom bojom. Ispostavilo se da je baza uvijek na dnu! Ovo divno pravilo govorim svojim učenicima već na prvom času - i nema zabune.

Kako brojati logaritme

Shvatili smo definiciju - ostaje da naučimo kako računati logaritme, tj. oslobodite se znaka "log". Za početak, napominjemo da iz definicije proizlaze dvije važne činjenice:

Argument i baza uvijek moraju biti veći od nule. Ovo proizilazi iz definicije stepena pomoću racionalnog eksponenta, na koji se svodi definicija logaritma.
Baza mora biti različita od jedinice, budući da je jedinica za bilo koju snagu i dalje jedinica. Zbog toga je besmisleno pitanje „na koju snagu se mora podići da bi se dobilo dva“. Ne postoji takva diploma!

Takva ograničenja se nazivaju važeći raspon(ODZ). Ispada da ODZ logaritma izgleda ovako: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Imajte na umu da nema ograničenja na broj b (vrijednost logaritma) nije nametnuta. Na primjer, logaritam može biti negativan: log 2 0,5 = −1, jer 0,5 = 2 −1 .

Međutim, sada razmatramo samo numeričke izraze, gdje nije potrebno znati ODZ logaritma. Sastavljači problema su već uzeli u obzir sva ograničenja. Ali kada logaritamske jednačine i nejednakosti uđu u igru, DHS zahtjevi će postati obavezni. Zaista, u osnovi i argumentu mogu postojati vrlo jake konstrukcije koje nužno ne odgovaraju gornjim ograničenjima.

Sada razmotrite opću šemu za izračunavanje logaritama. Sastoji se od tri koraka:

Izrazite bazu a i argument x kao stepen sa najmanjom mogućom bazom većom od jedan. Usput, bolje je riješiti se decimalnih razlomaka;
Riješite jednačinu za varijablu b: x = a b ;
Rezultirajući broj b će biti odgovor.

To je sve! Ako se pokaže da je logaritam iracionalan, to će se vidjeti već na prvom koraku. Zahtjev da baza bude veća od jedan je vrlo relevantan: to smanjuje vjerovatnoću greške i uvelike pojednostavljuje proračune. Slično i s decimalnim razlomcima: ako ih odmah pretvorite u obične, bit će višestruko manje grešaka.

Pogledajmo kako ova shema funkcionira na konkretnim primjerima:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 5 25

Predstavimo bazu i argument kao stepen petice: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Napravimo i riješimo jednačinu:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Dobio odgovor: 2.

Zadatak. Izračunaj logaritam:

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 4 64

Predstavimo bazu i argument kao stepen dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Napravimo i riješimo jednačinu:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Dobio odgovor: 3.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 16 1

Predstavimo bazu i argument kao stepen dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Napravimo i riješimo jednačinu:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Dobio odgovor: 0.

Zadatak. Izračunajte logaritam: log 7 14

Predstavimo bazu i argument kao stepen od sedam: 7 = 7 1 ; 14 nije predstavljeno kao stepen sedam, jer 7 1< 14 < 7 2 ;
Iz prethodnog stava proizilazi da se logaritam ne uzima u obzir;
Odgovor je bez promjene: dnevnik 7 14.

Mala napomena o posljednjem primjeru. Kako se uvjeriti da broj nije tačan stepen drugog broja? Vrlo jednostavno - samo ga razložite na osnovne faktore. Ako postoje najmanje dva različita faktora u ekspanziji, broj nije točna snaga.

Zadatak. Saznajte da li su tačne potencije broja: 8; 48; 81; 35; četrnaest.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - tačan stepen, jer postoji samo jedan množitelj;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nije tačan stepen jer postoje dva faktora: 3 i 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - tačan stepen;
35 = 7 5 - opet nije tačan stepen;
14 \u003d 7 2 - opet nije tačan stepen;

Imajte na umu da su sami prosti brojevi uvijek tačni potenci sami za sebe.

Decimalni logaritam

Neki logaritmi su toliko česti da imaju poseban naziv i oznaku.

argumenta x je logaritam osnove 10, tj. snaga na koju se 10 mora podići da bi se dobio x. Oznaka: lgx.

Na primjer, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Od sada, kada se u udžbeniku pojavi fraza poput „Pronađi lg 0,01“, znajte da ovo nije greška u kucanju. Ovo je decimalni logaritam. Međutim, ako niste navikli na takvu oznaku, uvijek je možete prepisati:
log x = log 10 x

Sve što vrijedi za obične logaritme vrijedi i za decimale.

prirodni logaritam

Postoji još jedan logaritam koji ima svoju notaciju. U određenom smislu, to je čak i važnije od decimalnog. Ovo je prirodni logaritam.

argumenta x je logaritam bazi e, tj. stepen na koji se broj e mora podići da bi se dobio broj x. Oznaka: lnx.

Mnogi će se zapitati: koji je broj e? Ovo je iracionalan broj, njegova tačna vrijednost se ne može pronaći i zapisati. Evo samo prvih brojeva:
e = 2,718281828459…

Nećemo se upuštati u to šta je ovaj broj i zašto je potreban. Samo zapamtite da je e baza prirodnog logaritma:
ln x = log e x

Tako je ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - itd. S druge strane, ln 2 je iracionalan broj. Općenito, prirodni logaritam bilo kojeg racionalnog broja je iracionalan. Osim, naravno, jedinice: ln 1 = 0.

Za prirodne logaritme vrijede sva pravila koja vrijede za obične logaritme.

Vidi također:

Logaritam. Svojstva logaritma (snaga logaritma).

Kako predstaviti broj kao logaritam?

Koristimo definiciju logaritma.

Logaritam je pokazatelj snage na koju se baza mora podići da bi se dobio broj pod znakom logaritma.

Dakle, da bi se određeni broj c predstavio kao logaritam bazi a, potrebno je pod znak logaritma staviti stepen sa istom osnovom kao i osnova logaritma, a ovaj broj c upisati u eksponent :

U obliku logaritma možete predstaviti apsolutno bilo koji broj - pozitivan, negativan, cijeli, razlomak, racionalan, iracionalan:

Kako ne biste pobrkali a i c u stresnim uvjetima testa ili ispita, možete zapamtiti sljedeće pravilo:

ono što je dole ide dole, ono što je gore ide gore.

Na primjer, želite da broj 2 predstavite kao logaritam bazi 3.

Imamo dva broja - 2 i 3. Ovi brojevi su baza i eksponent, koje ćemo zapisati pod znakom logaritma. Ostaje da odredimo koji od ovih brojeva treba zapisati, u bazi stepena, a koji - gore, u eksponentu.

Osnova 3 u zapisu logaritma je na dnu, što znači da kada predstavljamo dvojku kao logaritam na osnovu 3, takođe ćemo zapisati 3 na osnovu.

2 je veće od 3. A u zapisu stepena pišemo dva iznad tri, odnosno u eksponentu:

Logaritmi. Prvi nivo.

Logaritmi

logaritam pozitivan broj b razumom a, gdje a > 0, a ≠ 1, je eksponent na koji se broj mora podići. a, Za dobijanje b.

Definicija logaritma može se ukratko napisati ovako:

Ova jednakost važi za b > 0, a > 0, a ≠ 1. Obično ga zovu logaritamski identitet.
Akcija pronalaženja logaritma broja se zove logaritam.

Svojstva logaritama:

Logaritam proizvoda:

Logaritam količnika iz dijeljenja:

Zamjena baze logaritma:

Logaritam stepena:

korijenski logaritam:

Logaritam sa bazom stepena:

Decimalni i prirodni logaritmi.

Decimalni logaritam brojevi pozivaju logaritam sa bazom 10 tog broja i pišu lg b
prirodni logaritam brojevi pozivaju logaritam ovog broja u bazu e, gdje e je iracionalan broj, približno jednak 2,7. Istovremeno, pišu ln b.

Ostale napomene o algebri i geometriji

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi, kao i svaki broj, mogu se sabirati, oduzimati i pretvarati na sve moguće načine. Ali pošto logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju osnovna svojstva.

Ova pravila moraju biti poznata – nijedan ozbiljan logaritamski problem ne može se riješiti bez njih. Osim toga, vrlo ih je malo - sve se može naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istom osnovom: log a x i log a y. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x - log a y = log a (x: y).

Dakle, zbir logaritama je jednak logaritmu proizvoda, a razlika je logaritam količnika. Imajte na umu: ključna stvar ovdje je - iste osnove. Ako su osnove različite, ova pravila ne funkcionišu!

Ove formule će pomoći u izračunavanju logaritamskog izraza čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju "Šta je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

log 6 4 + log 6 9.

Pošto su baze logaritama iste, koristimo formulu sume:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od "loših" logaritama, koji se ne razmatraju zasebno. Ali nakon transformacija ispadaju sasvim normalni brojevi. Mnogi testovi su zasnovani na ovoj činjenici. Da, kontrola - slični izrazi u punoj ozbiljnosti (ponekad - bez izmjena) se nude na ispitu.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Sada da malo zakomplikujemo zadatak. Šta ako postoji stepen u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu proračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primjenjivati sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto, tj. možete unijeti brojeve ispred znaka logaritma u sam logaritam.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 7 49 6 .

Oslobodimo se stepena u argumentu prema prvoj formuli:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je imenilac logaritam čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem. Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili su u obliku stepeni i izvadili indikatore - dobili su razlomak od tri sprata.

Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac imaju isti broj: log 2 7. Pošto je log 2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prelazak na novu osnovu

Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su baze različite? Šta ako nisu tačne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu bazu dolaze u pomoć. Formuliramo ih u obliku teoreme:

Neka je dat logaritam log a x. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobijamo:

Iz druge formule proizilazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam je u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.

Međutim, postoje zadaci koji se nikako ne mogu riješiti osim prelaskom na novu osnovu. Razmotrimo nekoliko od ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma tačni eksponenti. Izvadimo indikatore: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Hajde da to zapišemo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno prikazati broj kao logaritam na datu bazu.

U ovom slučaju, formule će nam pomoći:

U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Zaista, šta će se dogoditi ako se broj b podigne na takav stepen da broj b u ovom stepenu daje broj a? Tako je: ovo je isti broj a. Pažljivo pročitajte ovaj odlomak još jednom - mnogi ljudi ga "zakače".

Kao i nove formule osnovne konverzije, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log 25 64 = log 5 8 - upravo je izbačen kvadrat iz baze i argument logaritma. S obzirom na pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:

Ako neko nije upoznat, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja je teško nazvati svojstvima – radije, to su posljedice iz definicije logaritma. Stalno se nalaze u problemima i, iznenađujuće, stvaraju probleme čak i "naprednim" učenicima.

log a a = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a iz same te baze jednak je jedan.
log a 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Zato što je 0 = 1 direktna posljedica definicije.

To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.

osnovna svojstva.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

iste osnove

log6 4 + log6 9.

Sada da malo zakomplikujemo zadatak.

Primjeri rješavanja logaritama

Šta ako postoji stepen u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritam: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Prelazak na novu osnovu

Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Vidi također:

Osnovna svojstva logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Tolstoja.

Osnovna svojstva logaritama

Znajući ovo pravilo, znat ćete i tačnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

Primjeri za logaritme

Uzmite logaritam izraza

Primjer 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Po svojstvima 3,5 računamo

4. gdje .

Primjer 2 Pronađite x ako

Primjer 3. Neka je data vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Osnovna svojstva logaritama

Ova pravila moraju biti poznata – nijedan ozbiljan logaritamski problem ne može se riješiti bez njih. Osim toga, vrlo ih je malo - sve se može naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istom osnovom: logax i logay. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Pošto su baze logaritama iste, koristimo formulu sume:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu proračuna.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Oslobodimo se stepena u argumentu prema prvoj formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je imenilac logaritam čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer treba pojasniti. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem.

Formule logaritama. Logaritmi su primjeri rješenja.

Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili su u obliku stepeni i izvadili indikatore - dobili su razlomak od tri sprata.

Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac imaju isti broj: log2 7. Pošto je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prelazak na novu osnovu

Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su baze različite? Šta ako nisu tačne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu bazu dolaze u pomoć. Formuliramo ih u obliku teoreme:

Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobijamo:

Iz druge formule proizilazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam je u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.

Međutim, postoje zadaci koji se nikako ne mogu riješiti osim prelaskom na novu osnovu. Razmotrimo nekoliko od ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma tačni eksponenti. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Hajde da to zapišemo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno prikazati broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju, formule će nam pomoći:

U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Kao i nove formule osnovne konverzije, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - upravo je izvadio kvadrat iz baze i argument logaritma. S obzirom na pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:

Ako neko nije upoznat, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

logaa = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a iz same te baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Zato što je a0 = 1 direktna posljedica definicije.

To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.

Vidi također:

Logaritam broja b prema bazi a označava izraz. Izračunati logaritam znači pronaći takav stepen x () pri kojem je jednakost tačna

Osnovna svojstva logaritma

Navedena svojstva moraju biti poznata, jer se na njihovoj osnovi gotovo svi problemi i primjeri rješavaju na osnovu logaritama. Preostala egzotična svojstva mogu se izvesti matematičkim manipulacijama ovim formulama

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Prilikom izračunavanja formule za zbir i razliku logaritama (3.4) se često susreću. Ostali su donekle složeni, ali su u nizu zadataka neophodni za pojednostavljenje složenih izraza i izračunavanje njihovih vrijednosti.

Uobičajeni slučajevi logaritama

Neki od uobičajenih logaritama su oni u kojima je baza čak deset, eksponencijalna ili dvojka.
Logaritam baznih deset se obično naziva logaritam baznih deset i jednostavno se označava lg(x).

Iz zapisnika se vidi da osnove nisu upisane u zapisnik. Na primjer

Prirodni logaritam je logaritam čija je osnova eksponent (označen ln(x)).

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je 2,7 i dva puta je godina rođenja Lava Tolstoja. Znajući ovo pravilo, znat ćete i tačnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

I još jedan važan logaritam osnove dva je

Derivat logaritma funkcije jednak je jedinici podijeljenom promjenljivom

Integralni ili antiderivativni logaritam je određen zavisnošću

Navedeni materijal vam je dovoljan za rješavanje široke klase zadataka vezanih za logaritme i logaritme. Da bih asimilirao gradivo, navest ću samo nekoliko uobičajenih primjera iz školskog nastavnog plana i programa i sa fakulteta.

Primjeri za logaritme

Uzmite logaritam izraza

Primjer 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Po svojstvima 3,5 računamo

2.
Po svojstvu razlike logaritama imamo

3.
Koristeći svojstva 3.5 nalazimo

4. gdje .

Naizgled složen izraz koji koristi niz pravila je pojednostavljen u formu

Pronalaženje vrijednosti logaritma

Primjer 2 Pronađite x ako

Rješenje. Za proračun primjenjujemo svojstva 5 i 13 do posljednjeg člana

Zamijenite u zapisniku i žalite

Pošto su baze jednake, izjednačavamo izraze

Logaritmi. Prvi nivo.

Neka je data vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Rješenje: Uzmite logaritam varijable da napišete logaritam kroz zbir članova

Ovo je tek početak upoznavanja sa logaritmima i njihovim svojstvima. Vježbajte proračune, obogatite svoje praktične vještine - uskoro će vam trebati stečeno znanje za rješavanje logaritamskih jednačina. Nakon što smo proučili osnovne metode za rješavanje takvih jednadžbi, proširit ćemo vaše znanje za još jednu jednako važnu temu - logaritamske nejednačine ...

Osnovna svojstva logaritama

Ova pravila moraju biti poznata – nijedan ozbiljan logaritamski problem ne može se riješiti bez njih. Osim toga, vrlo ih je malo - sve se može naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istom osnovom: logax i logay. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log6 4 + log6 9.

Pošto su baze logaritama iste, koristimo formulu sume:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet, baze su iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Uklanjanje eksponenta iz logaritma

Sada da malo zakomplikujemo zadatak. Šta ako postoji stepen u bazi ili argumentu logaritma? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi njihova prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu proračuna.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Oslobodimo se stepena u argumentu prema prvoj formuli:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je imenilac logaritam čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac imaju isti broj: log2 7. Pošto je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je odgovor: 2.

Prelazak na novu osnovu

Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su baze različite? Šta ako nisu tačne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu bazu dolaze u pomoć. Formuliramo ih u obliku teoreme:

Neka je dat logaritam logax. Tada je za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 tačna jednakost:

Konkretno, ako stavimo c = x, dobijamo:

Iz druge formule proizilazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam je u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.

Međutim, postoje zadaci koji se nikako ne mogu riješiti osim prelaskom na novu osnovu. Razmotrimo nekoliko od ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da su argumenti oba logaritma tačni eksponenti. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada okrenimo drugi logaritam:

Budući da se proizvod ne mijenja permutacijom faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim izračunali logaritme.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Hajde da to zapišemo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno prikazati broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju, formule će nam pomoći:

U prvom slučaju, broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo koji, jer je to samo vrijednost logaritma.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. Zove se ovako:

Kao i nove formule osnovne konverzije, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - upravo je izvadio kvadrat iz baze i argument logaritma. S obzirom na pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:

Ako neko nije upoznat, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita 🙂

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

logaa = 1 je. Zapamtite jednom za svagda: logaritam bilo koje baze a iz same te baze jednak je jedan.
loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo koja, ali ako je argument jedan, logaritam je nula! Zato što je a0 = 1 direktna posljedica definicije.

To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.

(od grčkog λόγος - "reč", "odnos" i ἀριθμός - "broj") brojevi b razumom a(log α b) se zove takav broj c, i b= a c, odnosno log α b=c i b=ac su ekvivalentni. Logaritam ima smisla ako je a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Drugim riječima logaritam brojevi b razumom a formulisan kao eksponent na koji se broj mora podići a da dobijem broj b(logaritam postoji samo za pozitivne brojeve).

Iz ove formulacije slijedi da je proračun x= log α b, je ekvivalentno rješavanju jednačine a x =b.

Na primjer:

log 2 8 = 3 jer je 8=2 3 .

Napominjemo da navedena formulacija logaritma omogućava da se odmah odredi vrijednost logaritma kada je broj pod znakom logaritma određena snaga baze. Zaista, formulacija logaritma omogućava da se opravda ako b=a c, zatim logaritam broja b razumom a jednaki With. Takođe je jasno da je tema logaritma usko povezana sa temom stepen broja.

Pominje se izračunavanje logaritma logaritam. Logaritam je matematička operacija uzimanja logaritma. Kada se uzme logaritam, proizvodi faktora se pretvaraju u zbir članova.

Potenciranje je matematička operacija inverzna logaritmu. Prilikom potenciranja data baza se podiže na stepen izraza na kojem se vrši potenciranje. U ovom slučaju, sumi termina se pretvaraju u proizvod faktora.

Često se koriste realni logaritmi sa bazama 2 (binarni), e Eulerovim brojem e ≈ 2,718 (prirodni logaritam) i 10 (decimalni).

U ovoj fazi vrijedi razmotriti uzorci logaritama dnevnik 7 2 , ln √ 5, lg0.0001.

A unosi lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 nemaju smisla, jer se u prvom od njih pod znakom logaritma stavlja negativan broj, u drugom - negativan broj u bazu, a u trećem - i negativan broj pod znakom logaritma i jedinice u bazi.

Uslovi za određivanje logaritma.

Vrijedi posebno razmotriti uslove a > 0, a ≠ 1, b > 0. definicija logaritma. Razmotrimo zašto se uzimaju ova ograničenja. Ovo će nam pomoći sa jednakošću oblika x = log α b, nazvan osnovnim logaritamskim identitetom, što direktno proizilazi iz definicije logaritma date gore.

Uzmite uslov a≠1. Pošto je jedan jednako jedan na bilo koji stepen, onda je jednakost x=log α b može postojati samo kada b=1, ali log 1 1 će biti bilo koji realan broj. Da bismo otklonili ovu dvosmislenost, uzimamo a≠1.

Hajde da dokažemo neophodnost uslova a>0. At a=0 prema formulaciji logaritma, može postojati samo kada b=0. I onda shodno tome log 0 0 može biti bilo koji realni broj različit od nule, pošto je nula na bilo koji stepen različit od nule nula. Da bi se otklonila ova dvosmislenost, uslov a≠0. I kada a<0 morali bismo odbaciti analizu racionalnih i iracionalnih vrijednosti logaritma, jer je eksponent sa racionalnim i iracionalnim eksponentom definiran samo za nenegativne baze. Iz tog razloga je stanje a>0.

I poslednji uslov b>0 proizlazi iz nejednakosti a>0, jer je x=log α b, i vrijednost stepena sa pozitivnom bazom a uvek pozitivno.

Osobine logaritama.

Logaritmi karakteriše karakteristično karakteristike, što je dovelo do njihove široke upotrebe kako bi se uvelike olakšala mukotrpna izračunavanja. U prijelazu "u svijet logaritama" množenje se pretvara u mnogo lakše sabiranje, dijeljenje u oduzimanje, a podizanje na stepen i uzimanje korijena pretvaraju se u množenje, odnosno dijeljenje eksponentom.

Formulaciju logaritama i tablicu njihovih vrijednosti (za trigonometrijske funkcije) prvi je objavio 1614. škotski matematičar John Napier. Logaritamske tabele, uvećane i detaljnije od strane drugih naučnika, bile su široko korišćene u naučnim i inženjerskim proračunima i ostale su relevantne sve dok se nisu počeli koristiti elektronski kalkulatori i računari.

Nastavljamo da proučavamo logaritme. U ovom članku ćemo govoriti o izračunavanje logaritama, ovaj proces se zove logaritam. Prvo ćemo se pozabaviti izračunavanjem logaritama po definiciji. Zatim razmotrite kako se vrijednosti logaritama pronalaze pomoću njihovih svojstava. Nakon toga ćemo se zadržati na izračunavanju logaritama kroz početno date vrijednosti drugih logaritama. Na kraju, naučimo kako koristiti tablice logaritama. Cijela teorija je opskrbljena primjerima sa detaljnim rješenjima.

Navigacija po stranici.

Računanje logaritama po definiciji

U najjednostavnijim slučajevima moguće je brzo i lako izvesti nalaženje logaritma po definiciji. Pogledajmo bliže kako se ovaj proces odvija.

Njegova suština je da se broj b predstavi u obliku a c , odakle je, prema definiciji logaritma, broj c vrijednost logaritma. To jest, pronalaženje logaritma po definiciji odgovara sljedećem lancu jednakosti: log a b=log a a c =c .

Dakle, izračunavanje logaritma, po definiciji, svodi se na pronalaženje takvog broja c da je a c \u003d b, a sam broj c je željena vrijednost logaritma.

S obzirom na informacije iz prethodnih paragrafa, kada je broj pod znakom logaritma dat nekim stepenom baze logaritma, tada možete odmah naznačiti čemu je logaritam jednak - jednak je eksponentu. Hajde da pokažemo primere.

Primjer.

Pronađite log 2 2 −3 , i izračunajte prirodni logaritam od e 5.3 .

Rješenje.

Definicija logaritma nam omogućava da odmah kažemo da je log 2 2 −3 = −3 . Zaista, broj pod znakom logaritma jednak je osnovici 2 na stepen −3.

Slično, nalazimo drugi logaritam: lne 5.3 =5.3.

odgovor:

log 2 2 −3 = −3 i lne 5,3 =5,3 .

Ako broj b pod znakom logaritma nije dat kao stepen osnove logaritma, onda morate pažljivo razmisliti da li je moguće doći do prikaza broja b u obliku a c. Često je ovaj prikaz prilično očigledan, posebno kada je broj pod znakom logaritma jednak bazi na stepen od 1, ili 2, ili 3, ...

Primjer.

Izračunajte logaritme log 5 25 , i .

Rješenje.

Lako je vidjeti da je 25=5 2 , ovo vam omogućava da izračunate prvi logaritam: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

Nastavljamo s izračunavanjem drugog logaritma. Broj se može predstaviti kao stepen od 7: (pogledajte ako je potrebno). shodno tome, .

Prepišimo treći logaritam u sljedećem obliku. Sada to možete vidjeti , odakle to zaključujemo . Dakle, po definiciji logaritma .

Ukratko, rješenje bi se moglo napisati na sljedeći način:

odgovor:

log 5 25=2 , i .

Kada je dovoljno veliki prirodan broj pod znakom logaritma, onda ne škodi razložiti ga na proste faktore. Često pomaže da se takav broj predstavi kao neki stepen baze logaritma, i da se stoga izračuna ovaj logaritam po definiciji.

Primjer.

Pronađite vrijednost logaritma.

Rješenje.

Neka svojstva logaritama vam omogućavaju da odmah odredite vrijednost logaritama. Ova svojstva uključuju svojstvo logaritma jedinice i svojstvo logaritma broja jednakog bazi: log 1 1=log a a 0 =0 i log a a=log a a 1 =1 . Odnosno, kada je broj 1 ili broj a pod znakom logaritma, jednak osnovici logaritma, tada su u ovim slučajevima logaritmi 0 i 1, respektivno.

Primjer.

Koji su logaritmi i lg10?

Rješenje.

Budući da , to slijedi iz definicije logaritma .

U drugom primjeru, broj 10 pod znakom logaritma poklapa se sa njegovom bazom, pa je decimalni logaritam od deset jednak jedan, odnosno lg10=lg10 1 =1 .

odgovor:

I lg10=1 .

Imajte na umu da izračunavanje logaritama po definiciji (o čemu smo raspravljali u prethodnom paragrafu) podrazumijeva korištenje jednakosti log a a p =p , što je jedno od svojstava logaritama.

U praksi, kada se broj pod znakom logaritma i baza logaritma lako mogu predstaviti kao stepen nekog broja, vrlo je zgodno koristiti formulu , što odgovara jednom od svojstava logaritma. Razmotrimo primjer pronalaženja logaritma, koji ilustruje upotrebu ove formule.

Primjer.

Izračunajte logaritam od .

Rješenje.

odgovor:

Svojstva logaritama koja nisu spomenuta također se koriste u proračunu, ali ćemo o tome govoriti u sljedećim paragrafima.

Pronalaženje logaritama u terminima drugih poznatih logaritama

Informacije u ovom odlomku nastavljaju na temu korištenja svojstava logaritama u njihovom proračunu. Ali ovdje je glavna razlika u tome što se svojstva logaritma koriste za izražavanje originalnog logaritma u terminima drugog logaritma čija je vrijednost poznata. Uzmimo primjer za pojašnjenje. Recimo da znamo da je log 2 3≈1,584963 , onda možemo pronaći, na primjer, log 2 6 tako što ćemo napraviti malu transformaciju koristeći svojstva logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

U gornjem primjeru bilo nam je dovoljno koristiti svojstvo logaritma proizvoda. Međutim, mnogo češće morate koristiti širi arsenal svojstava logaritama da biste izračunali originalni logaritam u smislu datih.

Primjer.

Izračunajte logaritam od 27 do baze 60 ako je poznato da je log 60 2=a i log 60 5=b .

Rješenje.

Dakle, moramo pronaći log 60 27 . Lako je vidjeti da je 27=3 3 , a originalni logaritam, zbog svojstva logaritma stepena, može se prepisati kao 3·log 60 3 .

Sada da vidimo kako se log 60 3 može izraziti u terminima poznatih logaritma. Svojstvo logaritma broja jednakog bazi omogućava vam da zapišete dnevnik jednakosti 60 60=1 . S druge strane, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Na ovaj način, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. shodno tome, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.

Konačno, izračunavamo originalni logaritam: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

odgovor:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

Odvojeno, vrijedi spomenuti značenje formule za prijelaz na novu bazu logaritma oblika . Omogućuje vam prelazak s logaritma s bilo kojom bazom na logaritme s određenom bazom, čije su vrijednosti poznate ili ih je moguće pronaći. Obično se iz originalnog logaritma, prema formuli prijelaza, prelaze na logaritme u jednoj od baza 2, e ili 10, jer za ove baze postoje tablice logaritama koje omogućavaju izračunavanje njihovih vrijednosti tačnosti. U sljedećem odjeljku ćemo pokazati kako se to radi.

Tablice logaritama, njihova upotreba

Za približno izračunavanje vrijednosti logaritama, može se koristiti logaritamske tablice. Najčešće se koriste tablica logaritama baze 2, tablica prirodnog logaritma i tablica decimalnog logaritma. Kada radite u decimalnom brojevnom sistemu, zgodno je koristiti tablicu logaritama na osnovu deset. Uz njegovu pomoć naučit ćemo pronaći vrijednosti logaritama.

Prikazana tabela omogućava, sa tačnošću od jedne desetohiljadinke, da se pronađu vrednosti decimalnih logaritama brojeva od 1.000 do 9.999 (sa tri decimale). Analizirat ćemo princip pronalaženja vrijednosti logaritma pomoću tablice decimalnih logaritama na konkretnom primjeru - jasnije je. Nađimo lg1,256 .

U lijevom stupcu tablice decimalnih logaritama nalazimo prve dvije cifre broja 1.256, odnosno nalazimo 1.2 (ovaj broj je zaokružen plavom bojom radi jasnoće). Treća znamenka broja 1.256 (broj 5) nalazi se u prvom ili posljednjem redu lijevo od dvostrukog reda (ovaj broj je zaokružen crvenom bojom). Četvrta znamenka originalnog broja 1.256 (broj 6) nalazi se u prvom ili posljednjem redu desno od dvostrukog reda (ovaj broj je zaokružen zelenom bojom). Sada nalazimo brojeve u ćelijama tabele logaritama na preseku označenog reda i označenih kolona (ovi brojevi su istaknuti narandžastom bojom). Zbir označenih brojeva daje željenu vrijednost decimalnog logaritma do četvrte decimale, tj. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

Da li je moguće, koristeći gornju tabelu, pronaći vrijednosti decimalnih logaritama brojeva koji imaju više od tri znamenke iza decimalne točke, a također prelaze granice od 1 do 9.999? Da, možeš. Pokažimo kako se to radi na primjeru.

Izračunajmo lg102.76332 . Prvo treba da napišete broj u standardnom obliku: 102.76332=1.0276332 10 2 . Nakon toga, mantisu treba zaokružiti na treću decimalu, imamo 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, dok je originalni decimalni logaritam približno jednak logaritmu rezultirajućeg broja, odnosno uzimamo lg102.76332≈lg1.028·10 2 . Sada primijenite svojstva logaritma: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Konačno, nalazimo vrijednost logaritma lg1.028 prema tabeli decimalnih logaritama lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. Kao rezultat, cijeli proces izračunavanja logaritma izgleda ovako: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

U zaključku, vrijedno je napomenuti da pomoću tablice decimalnih logaritama možete izračunati približnu vrijednost bilo kojeg logaritma. Da biste to učinili, dovoljno je koristiti formulu prijelaza za prelazak na decimalne logaritme, pronaći njihove vrijednosti u tablici i izvršiti preostale proračune.

Na primjer, izračunajmo log 2 3 . Prema formuli za prijelaz na novu bazu logaritma, imamo . Iz tabele decimalnih logaritama nalazimo lg3≈0,4771 i lg2≈0,3010. Na ovaj način, .

Bibliografija.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10-11 razred opšteobrazovnih ustanova.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za kandidate za tehničke škole).

I logaritam je usko povezan. I u stvari, to je matematička notacija definicije logaritam. Hajde da detaljno analiziramo šta je logaritam, odakle dolazi.

Razmotrimo algebarsku akciju - izračunavanje eksponenta X prema datim specifičnim vrijednostima stepen b i temelj a. Ovaj zadatak je u osnovi rješavanje jednačine sjekira = b, gdje a i b su neke date vrijednosti, x - nepoznata vrijednost. Imajte na umu da ovaj problem nema uvijek rješenja.

Kada je, na primjer, u jednadžbi sjekira = b broja pozitivan i broj b negativan, tada ova jednadžba nema korijena. Ali ako samo a i b su pozitivni i a ≠ 1, onda sigurno ima samo jednu jedinstvenu root. Prilično je poznata činjenica da graf eksponencijalne funkcije y = a x svakako se ukršta sa ravno y = b i to samo u jednom trenutku. Apscisa presječne tačke i volje korijen jednačine.

Da odredi korijen jednačine sjekira = b uobičajeno je koristiti log a b (kažemo: logaritam broja b bazi a).

Logaritam brojevi b razumom a ovo je eksponent, na koji želite povećati broj a da dobijem broj b i a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Na osnovu definicije, dobijamo osnovni logaritamski identitet :

Primjeri:

Posljedica osnovni logaritamski identitet je sljedeće pravilo.

Iz jednakosti dva realni logaritmi dobijamo jednakost logaritamski izrazi.

Zaista, kada je log a b = log a c, onda , gdje, b = c.

Razmislite zašto za logaritamski identitet poduzimaju se ograničenja a > 0, a ≠ 1, b > 0 .

Prvi uslov a ≠ 1.

Dobro je poznato da jedinica u bilo kojoj stepenće biti jedinica, a jednakost x = log a b može postojati samo za b = 1, ali istovremeno dnevnik 1 1će biti bilo koji pravi broj. Da bi se izbjegla ova dvosmislenost, to je prihvaćeno a ≠ 1.

Opravdajte neophodnost uslova a > 0.

At a = 0 on definicija logaritma može postojati samo kada b = 0. I stoga onda log 0 0 može biti bilo šta drugo osim nule pravi broj, budući da je nula na bilo koji stepen osim nule nula. Da bi se spriječila ova dvosmislenost, uvjet a ≠ 0. I kada a< 0 morali bismo napustiti raščlanjivanje racionalno i iracionalno logaritamske vrijednosti, pošto stepen sa racionalnim i iracionalni indikator definisan samo iz pozitivnih razloga. Iz tog razloga je stanje a > 0.