Ako trebate podići određeni broj na stepen, možete koristiti . Sada ćemo detaljnije pogledati svojstva moći.

Eksponencijalni brojevi otvaraju velike mogućnosti, omogućavaju nam da množenje pretvorimo u sabiranje, a sabiranje je mnogo lakše od množenja.

Na primjer, trebamo pomnožiti 16 sa 64. Proizvod množenja ova dva broja je 1024. Ali 16 je 4x4, a 64 je 4x4x4. Dakle 16 puta 64=4x4x4x4x4 što je takođe 1024.

Broj 16 se takođe može predstaviti kao 2x2x2x2, a 64 kao 2x2x2x2x2x2, a ako pomnožimo, opet dobijamo 1024.

A sada upotrijebimo pravilo. 16=4 2 , ili 2 4 , 64=4 3 , ili 2 6 , dok je 1024=6 4 =4 5 , ili 2 10 .

Stoga se naš problem može napisati na drugi način: 4 2 x4 3 =4 5 ili 2 4 x2 6 =2 10, i svaki put dobijemo 1024.

Možemo riješiti niz sličnih primjera i vidjeti da se množenje brojeva s potencijama smanjuje na sabiranje eksponenata, ili eksponent, naravno, pod uslovom da su baze faktora jednake.

Dakle, možemo, bez množenja, odmah reći da je 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

Ovo pravilo važi i za deljenje brojeva sa stepenom, ali u ovom slučaju, npr eksponent djelitelja se oduzima od eksponenta dividende. Dakle, 2 5:2 3 =2 2 , što je u običnim brojevima jednako 32:8=4, odnosno 2 2 . Hajde da rezimiramo:

a m x a n = a m + n, a m: a n \u003d a m-n, gdje su m i n cijeli brojevi.

Na prvi pogled, moglo bi izgledati tako množenje i dijeljenje brojeva sa potencijama nije baš zgodno, jer prvo morate predstaviti broj u eksponencijalnom obliku. Nije teško predstaviti brojeve 8 i 16 u ovom obliku, odnosno 2 3 i 2 4, ali kako to učiniti sa brojevima 7 i 17? Ili šta učiniti u onim slučajevima kada se broj može predstaviti u eksponencijalnom obliku, ali su osnove eksponencijalnih izraza brojeva vrlo različite. Na primjer, 8×9 je 2 3 x 3 2 , u kom slučaju ne možemo sabrati eksponente. Ni 2 5 ni 3 5 nije odgovor, niti je odgovor između to dvoje.

Da li se onda uopšte vredi baviti ovom metodom? Definitivno se isplati. Pruža ogromne prednosti, posebno za složene i dugotrajne proračune.

Članci iz prirodnih i matematičkih nauka

Svojstva potencija sa istom osnovom

Postoje tri svojstva potencija sa istim bazama i prirodnim eksponentima. to

Posao suma

Privatno dva stepena sa istom bazom jednaka je izrazu gdje je baza ista, a eksponent razlika indikatori originalnih množitelja.

Povećanje stepena broja na stepen jednak je izrazu u kojem je baza isti broj, a eksponent rad dva stepena.

Budi pazljiv! Pravila u vezi sabiranje i oduzimanje moći sa istom bazom ne postoji.

Ova svojstva-pravila pišemo u obliku formula:

a m × a n = a m + n

a m ÷ a n = a m–n

(am) n = a mn

Sada ih razmotrite na konkretnim primjerima i pokušajte dokazati.

5 2 × 5 3 = 5 5 - ovdje smo primijenili pravilo; a sada zamislite kako bismo riješili ovaj primjer da ne znamo pravila:

5 2 × 5 3 \u003d 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 5 - pet na kvadrat je pet puta pet, a kocka je proizvod tri petice. Rezultat je proizvod pet petica, ali ovo je nešto drugo od pet na peti stepen: 5 5 .

3 9 ÷ 3 5 = 3 9–5 = 3 4 . Zapišimo dijeljenje kao razlomak:

Može se skratiti:

Kao rezultat, dobijamo:

Tako smo dokazali da se prilikom dijeljenja dva stepena s istim osnovama moraju oduzeti njihovi pokazatelji.

Međutim, prilikom dijeljenja, nemoguće je da djelitelj bude jednak nuli (pošto ne možete dijeliti nulom). Osim toga, pošto stupnjeve razmatramo samo sa prirodnim indikatorima, oduzimanjem indikatora ne možemo dobiti broj manji od 1. Zbog toga se nameću ograničenja na formulu a m ÷ a n = a m–n: a ≠ 0 i m > n.

Pređimo na treće svojstvo:
(2 2) 4 = 2 2×4 = 2 8

Napišimo u proširenom obliku:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8

Možete doći do ovog zaključka i logičkog zaključivanja. Trebate pomnožiti dva na kvadrat četiri puta. Ali postoje dvije dvojke u svakom kvadratu, tako da će ukupno biti osam dvojki.

scienceland.info

svojstva stepena

Podsjećamo vas da u ovoj lekciji razumijemo svojstva stepena sa prirodnim pokazateljima i nulom. Stepenima sa racionalnim pokazateljima i njihovim svojstvima će se govoriti u lekcijama za 8. razred.

Eksponent s prirodnim eksponentom ima nekoliko važnih svojstava koja vam omogućavaju da pojednostavite proračune u primjerima eksponenta.

Nekretnina #1
Proizvod moći

Prilikom množenja stepena sa istom osnovom, baza ostaje nepromijenjena, a eksponenti se sabiraju.

a m a n \u003d a m + n, gdje je "a" bilo koji broj, a "m", "n" su bilo koji prirodni brojevi.

Ovo svojstvo snaga također utječe na proizvod tri ili više potencija.

Pojednostavite izraz.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Prisutno kao diploma.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Prisutno kao diploma.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Napominjemo da se u navedenom svojstvu radilo samo o množenju snaga sa istim osnovama.. To se ne odnosi na njihovo dodavanje.

Ne možete zamijeniti zbir (3 3 + 3 2) sa 3 5 . Ovo je razumljivo ako
izračunaj (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 i 3 5 = 243

Nekretnina #2
Privatne diplome

Prilikom dijeljenja potencija sa istom osnovom, baza ostaje nepromijenjena, a eksponent djelitelja se oduzima od eksponenta dividende.

Zapišite količnik kao stepen
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Izračunati.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Primjer. Riješite jednačinu. Koristimo svojstvo parcijalnih stepeni.
3 8: t = 3 4

Odgovor: t = 3 4 = 81

Koristeći svojstva br. 1 i br. 2, lako možete pojednostaviti izraze i izvršiti proračune.

Primjer. Pojednostavite izraz.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Primjer. Pronađite vrijednost izraza koristeći svojstva stupnjeva.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Napominjemo da se imovina 2 bavila samo podjelom vlasti po istim osnovama.

Ne možete zamijeniti razliku (4 3 −4 2) sa 4 1 . To je razumljivo ako izračunate (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 i 4 1 = 4

Nekretnina #3
Eksponencijacija

Kada se stepen diže na stepen, baza stepena ostaje nepromijenjena, a eksponenti se množe.

(a n) m \u003d a n m, gdje je "a" bilo koji broj, a "m", "n" su bilo koji prirodni brojevi.

Imajte na umu da se svojstvo br. 4, kao i druga svojstva stupnjeva, također primjenjuje obrnutim redoslijedom.

(a n b n)= (a b) n

To jest, da biste pomnožili stepene sa istim eksponentima, možete pomnožiti baze i ostaviti eksponent nepromenjenim.

Primjer. Izračunati.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000

Primjer. Izračunati.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

U složenijim primjerima mogu postojati slučajevi kada se množenje i dijeljenje moraju izvršiti na potencijama s različitim bazama i različitim eksponentima. U tom slučaju savjetujemo vam da učinite sljedeće.

Na primjer, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Primjer stepenovanja decimalnog razlomka.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = četiri

Svojstva 5
Moć kvocijenta (razlomaka)

Da biste podigli količnik na stepen, možete podići dividendu i djelitelj odvojeno na ovaj stepen, a prvi rezultat podijeliti s drugim.

(a: b) n \u003d a n: b n, gdje su "a", "b" bilo koji racionalni brojevi, b ≠ 0, n je bilo koji prirodan broj.

Primjer. Izrazite izraz kao parcijalne stepene.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Podsjećamo vas da se količnik može predstaviti kao razlomak. Stoga ćemo se na sljedećoj stranici detaljnije zadržati na temi dizanja razlomka na stepen.

Množenje i dijeljenje brojeva sa potencijama

Ako trebate podići određeni broj na stepen, možete koristiti tablicu stepena prirodnih brojeva od 2 do 25 u algebri. Sada ćemo detaljnije pogledati svojstva moći.

Eksponencijalni brojevi otvaraju velike mogućnosti, omogućavaju nam da množenje pretvorimo u sabiranje, a sabiranje je mnogo lakše od množenja.

Na primjer, trebamo pomnožiti 16 sa 64. Proizvod množenja ova dva broja je 1024. Ali 16 je 4x4, a 64 je 4x4x4. Dakle 16 puta 64=4x4x4x4x4 što je takođe 1024.

Broj 16 se takođe može predstaviti kao 2x2x2x2, a 64 kao 2x2x2x2x2x2, a ako pomnožimo, opet dobijamo 1024.

A sada koristimo pravilo dizanja broja na stepen. 16=4 2 , ili 2 4 , 64=4 3 , ili 2 6 , dok je 1024=6 4 =4 5 , ili 2 10 .

Stoga se naš problem može napisati na drugi način: 4 2 x4 3 =4 5 ili 2 4 x2 6 =2 10, i svaki put dobijemo 1024.

Možemo riješiti niz sličnih primjera i vidjeti da se množenje brojeva s potencijama smanjuje na sabiranje eksponenata, ili eksponent, naravno, pod uslovom da su baze faktora jednake.

Dakle, možemo, bez množenja, odmah reći da je 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

Ovo pravilo važi i za deljenje brojeva sa stepenom, ali u ovom slučaju, npr eksponent djelitelja se oduzima od eksponenta dividende. Dakle, 2 5:2 3 =2 2 , što je u običnim brojevima jednako 32:8=4, odnosno 2 2 . Hajde da rezimiramo:

a m x a n = a m + n, a m: a n \u003d a m-n, gdje su m i n cijeli brojevi.

Na prvi pogled, moglo bi izgledati tako množenje i dijeljenje brojeva sa potencijama nije baš zgodno, jer prvo morate predstaviti broj u eksponencijalnom obliku. Nije teško predstaviti brojeve 8 i 16 u ovom obliku, odnosno 2 3 i 2 4, ali kako to učiniti sa brojevima 7 i 17? Ili šta učiniti u onim slučajevima kada se broj može predstaviti u eksponencijalnom obliku, ali su osnove eksponencijalnih izraza brojeva vrlo različite. Na primjer, 8×9 je 2 3 x 3 2 , u kom slučaju ne možemo sabrati eksponente. Ni 2 5 ni 3 5 nije odgovor, niti je odgovor između to dvoje.

Da li se onda uopšte vredi baviti ovom metodom? Definitivno se isplati. Pruža ogromne prednosti, posebno za složene i dugotrajne proračune.

Do sada smo pretpostavljali da je eksponent broj identičnih faktora. U ovom slučaju, minimalna vrijednost eksponenta je 2. Međutim, ako izvršimo operaciju dijeljenja brojeva, odnosno oduzimanja eksponenata, možemo dobiti i broj manji od 2, što znači da nam stara definicija više ne može odgovarati. Pročitajte više u sljedećem članku.

Zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje potencija

Sabiranje i oduzimanje potencija

Očigledno, brojevi sa potencijama se mogu sabirati kao i druge veličine , dodavanjem jednog po jednog sa njihovim znakovima.

Dakle, zbir a 3 i b 2 je a 3 + b 2 .
Zbir a 3 - b n i h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds iste moći istih varijabli može se dodati ili oduzeti.

Dakle, zbir 2a 2 i 3a 2 je 5a 2 .

Takođe je očigledno da ako uzmemo dva kvadrata a, ili tri kvadrata a, ili pet kvadrata a.

Ali stepeni razne varijable i raznih stepeni identične varijable, moraju se dodati dodavanjem njihovim znakovima.

Dakle, zbir 2 i 3 je zbir 2 + a 3 .

Očigledno je da kvadrat a i kocka od a nisu ni dva puta veći od a, već dvostruko veći od a.

Zbir a 3 b n i 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Oduzimanje ovlaštenja se vrši na isti način kao i sabiranje, samo što se predznaci oduzimanja moraju shodno tome promijeniti.

Ili:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Množenje snage

Brojevi sa stepenom mogu se množiti kao i druge veličine tako što ćete ih pisati jedan za drugim, sa ili bez znaka množenja između njih.

Dakle, rezultat množenja a 3 sa b 2 je a 3 b 2 ili aaabb.

Ili:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultat u posljednjem primjeru može se poredati dodavanjem istih varijabli.
Izraz će imati oblik: a 5 b 5 y 3 .

Uspoređujući nekoliko brojeva (varijabli) sa potencijama, možemo vidjeti da ako se bilo koja dva od njih pomnože, onda je rezultat broj (varijabla) sa stepenom jednakim suma stepeni pojmova.

Dakle, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Ovdje je 5 snaga rezultata množenja, jednaka 2 + 3, zbir potencija članova.

Dakle, a n .a m = a m+n .

Za a n, a se uzima kao faktor onoliko puta koliko je snaga n;

A m , uzima se kao faktor onoliko puta koliko je stepen m jednak;

Zbog toga, potencije sa istim bazama mogu se pomnožiti dodavanjem eksponenata.

Dakle, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ili:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnožite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnožite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ovo pravilo vrijedi i za brojeve čiji su eksponenti − negativan.

1. Dakle, a -2 .a -3 = a -5 . Ovo se može napisati kao (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ako se a + b pomnože sa a - b, rezultat će biti a 2 - b 2: tj

Rezultat množenja zbira ili razlike dva broja jednak je zbroju ili razlici njihovih kvadrata.

Ako se zbir i razlika dva broja podignu na kvadrat, rezultat će biti jednak zbroju ili razlici ovih brojeva u četvrto stepen.

Dakle, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Podjela vlasti

Brojevi stepena mogu se podijeliti kao i drugi brojevi oduzimanjem od djelitelja ili stavljanjem u oblik razlomaka.

Dakle, a 3 b 2 podijeljeno sa b 2 je 3 .

Pisanje 5 podijeljeno sa 3 izgleda kao $\frac $. Ali ovo je jednako 2. U nizu brojeva
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bilo koji broj se može podijeliti s drugim, a eksponent će biti jednak razlika indikatori djeljivih brojeva.

Prilikom dijeljenja potencija sa istom osnovom, njihovi eksponenti se oduzimaju..

Dakle, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . To jest, $\frac = y$.

I a n+1:a = a n+1-1 = a n . To jest, $\frac = a^n$.

Ili:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Pravilo važi i za brojeve sa negativan vrijednosti stepena.
Rezultat dijeljenja -5 sa -3 je -2.
Također, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ili $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Potrebno je vrlo dobro savladati množenje i dijeljenje potencija, budući da se takve operacije vrlo široko koriste u algebri.

Primjeri rješavanja primjera sa razlomcima koji sadrže brojeve sa stepenom

1. Smanjite eksponente u $\frac $ Odgovor: $\frac $.

2. Smanjite eksponente u $\frac$. Odgovor: $\frac $ ili 2x.

3. Smanjite eksponente a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i dovedite do zajedničkog nazivnika.
a 2 .a -4 je -2 prvi brojilac.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi brojilac.
a 3 .a -4 je -1, zajednički brojnik.
Nakon pojednostavljenja: a -2 /a -1 i 1/a -1 .

4. Smanjiti eksponente 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i dovesti do zajedničkog imenioca.
Odgovor: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 ili 2a 3 / 5a 2 i 5/5a 2.

5. Pomnožite (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.

6. Pomnožite (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnožite b 4 /a -2 sa h -3 /x i a n /y -3 .

8. Podijelite a 4 /y 3 sa 3 /y 2 . Odgovor: a/y.

Stepen i njegova svojstva. Prosječan nivo.

Želite li testirati svoju snagu i saznati rezultat koliko ste spremni za Jedinstveni državni ispit ili OGE?

Stepen naziva se izraz oblika: , gdje je:

Stepen sa cjelobrojnim eksponentom

stepen, čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

Stepen sa racionalnim eksponentom

stepen, čiji su indikator negativni i razlomci.

Stepen sa iracionalnim eksponentom

stepen čiji je eksponent beskonačan decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva diploma

Karakteristike stepena.

čak stepen, - broj pozitivno.

Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.

Pozitivan broj na bilo koji stepen je pozitivan broj.

Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.

Bilo koji broj na nulti stepen je jednak.

Koliki je stepen broja?

Eksponencijacija je ista matematička operacija kao sabiranje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje.

Sada ću sve objasniti ljudskim jezikom koristeći vrlo jednostavne primjere. Budi pazljiv. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo sa sabiranjem.

Ovdje se nema šta objašnjavati. Sve već znate: ima nas osam. Svaka ima dvije boce kole. Koliko kole? Tako je - 16 boca.

Sada množenje.

Isti primjer sa colom može se napisati na drugačiji način: . Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo primjećuju neke obrasce, a onda smišljaju način da ih brže "prebroje". U našem slučaju, primijetili su da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili tehniku ​​zvanu množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve možete raditi sporije, teže i sa greškama! Ali…

Evo tablice množenja. Ponovi.

I još jedna, ljepša:

I koje su još lukave trikove brojanja smislili lijeni matematičari? Ispravno - podizanje broja na stepen.

Podizanje broja na stepen.

Ako trebate pomnožiti broj sam po sebi pet puta, onda matematičari kažu da ovaj broj trebate podići na peti stepen. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva na peti stepen. I takve probleme rješavaju u mislima - brže, lakše i bez grešaka.

Da biste to učinili, trebate samo zapamtite šta je istaknuto bojom u tabeli stepena brojeva. Vjerujte mi, to će vam mnogo olakšati život.

Uzgred, zašto se zove drugi stepen kvadrat brojevi, a treći kocka? Šta to znači? Vrlo dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Primjer iz stvarnog života #1.

Počnimo s kvadratom ili drugim stepenom broja.

Zamislite kvadratni bazen dimenzija metar po metar. Bazen je u vašem dvorištu. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali ... bazen bez dna! Potrebno je obložiti dno bazena pločicama. Koliko pločica vam treba? Da biste to odredili, morate znati površinu dna bazena.

Možete jednostavno izbrojati bockanjem prsta da se dno bazena sastoji od kocki metar po metar. Ako su vaše pločice metar po metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje ste vidjeli takvu pločicu? Pločica će radije biti cm po cm, a onda će vas mučiti "brojanje prstom". Onda morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavljamo pločice (komade), a na drugu takođe pločice. Množenjem sa, dobijate pločice ().

Jeste li primijetili da smo isti broj pomnožili sam po sebi da bismo odredili površinu dna bazena? Šta to znači? Budući da se isti broj množi, možemo koristiti tehniku ​​eksponencijalnosti. (Naravno, kada imate samo dva broja, i dalje ih trebate pomnožiti ili podići na stepen. Ali ako ih imate puno, onda je podizanje na stepen puno lakše i također je manje grešaka u proračunima. Za ispit je ovo veoma važno).
Dakle, trideset do drugog stepena će biti (). Ili možete reći da će biti trideset na kvadrat. Drugim riječima, drugi stepen broja uvijek se može predstaviti kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK drugi stepen nekog broja. Kvadrat je slika drugog stepena broja.

Primjer iz stvarnog života #2.

Evo zadatka za vas, prebrojite koliko je polja na šahovskoj tabli koristeći kvadrat broja. Na jednoj strani ćelija i na drugoj također. Da biste prebrojali njihov broj, trebate pomnožiti osam sa osam, ili ... ako primijetite da je šahovska ploča kvadrat sa stranicom, onda možete kvadratirati osam. Uzmi ćelije. () Pa?

Primjer iz stvarnog života #3.

Sada kocka ili treći stepen broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko vode treba uliti u ovaj bazen. Morate izračunati zapreminu. (Zapremine i tečnosti se, inače, mjere u kubnim metrima. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno veličine jedan metar i duboko metar i pokušajte izračunati koliko kocki dimenzija metar sa metar će ući u vaš bazen.

Samo uperite prstom i brojite! Jedan, dva, tri, četiri… dvadeset dva, dvadeset tri… Koliko je ispalo? Niste se izgubili? Da li je teško brojati prstom? Tako da! Uzmite primjer od matematičara. Oni su lijeni, pa su primijetili da za izračunavanje volumena bazena morate pomnožiti njegovu dužinu, širinu i visinu jedno s drugim. U našem slučaju, zapremina bazena će biti jednaka kockama... Lakše, zar ne?

Zamislite sada koliko su matematičari lijeni i lukavi ako to čine previše lakim. Sveo sve na jednu akciju. Primetili su da su dužina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... A šta to znači? To znači da možete koristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom brojali prstom, oni rade u jednoj radnji: tri u kocki je jednako. Napisano je ovako:

Ostaje samo zapamtite tabelu stepeni. Osim ako, naravno, niste lijeni i lukavi kao matematičari. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti da brojite prstom.

Pa da vas konačno uvjerim da su diplome izmislili klošari i lukavi ljudi da rješavaju svoje životne probleme, a ne da vam prave probleme, evo još par primjera iz života.

Primjer iz stvarnog života #4.

Imate milion rubalja. Na početku svake godine zaradite još milion za svaki milion. Odnosno, svaki vaš milion na početku svake godine se udvostruči. Koliko ćeš novca imati za godine? Ako sada sjedite i "brojite prstom", onda ste vrlo vrijedna osoba i.. glupa. Ali najvjerovatnije ćete dati odgovor za par sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva puta dva ... druge godine - šta je bilo, još dvije, treće godine ... Stani! Primijetili ste da se broj jednom množi sam sa sobom. Dakle, dva na peti stepen je milion! Sad zamislite da imate konkurenciju i onaj ko brže računa dobiće ove milione... Da li je vredno pamtiti stepene brojeva, šta mislite?

Primjer iz života br. 5.

Imaš milion. Na početku svake godine zaradite dva više za svaki milion. Odlično je zar ne? Svaki milion je utrostručen. Koliko novca ćete imati za godinu dana? Hajde da brojimo. Prvu godinu - pomnoži sa, pa rezultat sa drugom... Već je dosadno, jer si već sve shvatio: tri se množi sam sa sobom puta. Dakle, četvrti stepen je milion. Samo trebate zapamtiti da je tri na četvrti stepen ili.

Sada znate da ćete podizanjem broja na stepen učiniti svoj život mnogo lakšim. Pogledajmo dalje šta možete učiniti sa diplomama i šta trebate znati o njima.

Termini i koncepti.

Dakle, prvo, hajde da definišemo koncepte. Šta ti misliš, šta je eksponent? Vrlo je jednostavno - ovo je broj koji je "na vrhu" snage broja. Nije naučno, ali jasno i lako pamtljivo...

Pa, u isto vreme, šta takvu osnovu stepena? Još jednostavniji je broj koji je na dnu, u osnovi.

Evo jedne slike da budete sigurni.

Pa, uopšteno govoreći, da bi se generalizovao i bolje zapamtio... Stepen sa osnovom "" i indikatorom "" čita se kao "do stepena" i piše se na sledeći način:

"Stepen broja sa prirodnim pokazateljem"

Verovatno ste već pogodili: jer je eksponent prirodan broj. Da, ali šta jeste prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni koji se koriste kod brojanja prilikom nabrajanja predmeta: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: „minus pet“, „minus šest“, „minus sedam“. Ne kažemo ni "jedna trećina" ni "nula zapeta pet desetina". Ovo nisu prirodni brojevi. Šta mislite koji su to brojevi?

Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" se odnose na cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (tj. uzeti sa predznakom minus) i broj. Nulu je lako razumjeti - ovo je kada nema ničega. A šta znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno za označavanje dugova: ako imate stanje na telefonu u rubljama, to znači da dugujete operateru rublje.

Svi razlomci su racionalni brojevi. Šta mislite kako su nastali? Veoma jednostavno. Prije nekoliko hiljada godina naši preci su otkrili da nemaju dovoljno prirodnih brojeva za mjerenje dužine, težine, površine itd. I oni su smislili racionalni brojevi… Zanimljivo, zar ne?

Postoje i iracionalni brojevi. Koji su to brojevi? Ukratko, beskonačan decimalni razlomak. Na primjer, ako podijelite obim kruga njegovim prečnikom, onda ćete dobiti iracionalan broj.

Prirodnim brojevima nazivaju se brojevi koji se koriste u brojanju, tj. itd.

Cijeli brojevi - svi prirodni brojevi, prirodni brojevi sa minusom i brojem 0.

Razlomci se smatraju racionalnim.

Iracionalni brojevi su beskonačne decimale

Stepen sa prirodnim indikatorom

Hajde da definišemo pojam stepena čiji je eksponent prirodan broj (tj. ceo broj i pozitivan).

1. Bilo koji broj na prvi stepen jednak je samom sebi:
2. Kvadratirati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom:
3. Kockati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom tri puta:

Definicija. Povećati broj na prirodni stepen znači pomnožiti broj sam sa sobom puta:

Lekcija na temu: "Pravila za množenje i dijeljenje potencija sa istim i različitim eksponentima. Primjeri"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, sugestije. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet prodavnici "Integral" za 7. razred
Priručnik za udžbenik Yu.N. Makarycheva Priručnik za udžbenik A.G. Mordkovich

Svrha lekcije: naučiti kako izvoditi operacije s potencijama broja.

Za početak, prisjetimo se koncepta "potencijal broja". Izraz poput $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ može se predstaviti kao $a^n$.

I obrnuto: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Ova jednakost se naziva "bilježenje stepena kao proizvoda". To će nam pomoći da odredimo kako da množimo i dijelimo moći.
Zapamtite:
a- osnova diplome.
n- eksponent.
Ako a n=1, što znači broj a uzeti jednom i redom: $a^n= 1$.
Ako a n=0, tada $a^0= 1$.

Zašto se to dešava, saznaćemo kada se upoznamo sa pravilima množenja i dijeljenja potencija.

pravila množenja

a) Ako se pomnože potenci sa istom osnovom.
Za $a^n * a^m$, zapisujemo stepene kao proizvod: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a )_ (m )$.
Slika pokazuje da je broj a su uzeli n+m puta, onda je $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Primjer.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Ovo svojstvo je zgodno koristiti za pojednostavljenje rada pri podizanju broja na veliki stepen.
Primjer.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Ako se stepeni množe s drugom osnovom, ali istim eksponentom.
Za $a^n * b^n$, zapisujemo stepene kao proizvod: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m )$.
Ako zamijenimo faktore i prebrojimo rezultirajuće parove, dobićemo: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Dakle, $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Primjer.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

pravila podjele

a) Osnova stepena je ista, eksponenti su različiti.
Razmislite o dijeljenju stepena sa većim eksponentom dijeljenjem stepena sa manjim eksponentom.

Dakle, neophodno je $\frac(a^n)(a^m)$, gdje n>m.

Zapisujemo stepene kao razlomak:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Radi praktičnosti, dijeljenje pišemo kao prosti razlomak.

Sada smanjimo razlomak.

Ispada: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
znači, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Ovo svojstvo će pomoći da se objasni situacija s podizanjem broja na stepen nule. Pretpostavimo to n=m, tada je $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Primjeri.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Osnove stepena su različite, indikatori su isti.
Recimo da vam treba $\frac(a^n)(b^n)$. Potencije brojeva zapisujemo kao razlomak:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Zamislimo radi praktičnosti.

Koristeći svojstvo razlomaka, dijelimo veliki razlomak na proizvod malih, dobivamo.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Prema tome: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Primjer.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Očigledno, brojevi sa potencijama se mogu sabirati kao i druge veličine , dodavanjem jednog po jednog sa njihovim znakovima.

Dakle, zbir a 3 i b 2 je a 3 + b 2 .
Zbir a 3 - b n i h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Odds iste moći istih varijabli može se dodati ili oduzeti.

Dakle, zbir 2a 2 i 3a 2 je 5a 2 .

Takođe je očigledno da ako uzmemo dva kvadrata a, ili tri kvadrata a, ili pet kvadrata a.

Ali stepeni razne varijable i raznih stepeni identične varijable, moraju se dodati dodavanjem njihovim znakovima.

Dakle, zbir 2 i 3 je zbir 2 + a 3 .

Očigledno je da kvadrat a i kocka od a nisu ni dva puta veći od a, već dvostruko veći od a.

Zbir a 3 b n i 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Oduzimanje ovlaštenja se vrši na isti način kao i sabiranje, samo što se predznaci oduzimanja moraju shodno tome promijeniti.

Ili:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Množenje snage

Brojevi sa stepenom mogu se množiti kao i druge veličine tako što ćete ih pisati jedan za drugim, sa ili bez znaka množenja između njih.

Dakle, rezultat množenja a 3 sa b 2 je a 3 b 2 ili aaabb.

Ili:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultat u posljednjem primjeru može se poredati dodavanjem istih varijabli.
Izraz će imati oblik: a 5 b 5 y 3 .

Uspoređujući nekoliko brojeva (varijabli) sa potencijama, možemo vidjeti da ako se bilo koja dva od njih pomnože, onda je rezultat broj (varijabla) sa stepenom jednakim suma stepeni pojmova.

Dakle, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Ovdje je 5 snaga rezultata množenja, jednaka 2 + 3, zbir potencija članova.

Dakle, a n .a m = a m+n .

Za a n, a se uzima kao faktor onoliko puta koliko je snaga n;

A m , uzima se kao faktor onoliko puta koliko je stepen m jednak;

Zbog toga, potencije sa istim bazama mogu se pomnožiti dodavanjem eksponenata.

Dakle, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ili:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnožite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnožite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ovo pravilo važi i za brojeve čiji su eksponenti - negativan.

1. Dakle, a -2 .a -3 = a -5 . Ovo se može napisati kao (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ako se a + b pomnože sa a - b, rezultat će biti a 2 - b 2: tj

Rezultat množenja zbira ili razlike dva broja jednak je zbroju ili razlici njihovih kvadrata.

Ako se zbir i razlika dva broja podignu na kvadrat, rezultat će biti jednak zbroju ili razlici ovih brojeva u četvrto stepen.

Dakle, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Podjela vlasti

Brojevi stepena mogu se podijeliti kao i drugi brojevi oduzimanjem od djelitelja ili stavljanjem u oblik razlomaka.

Dakle, a 3 b 2 podijeljeno sa b 2 je 3 .

Ili:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Pisanje 5 podijeljeno sa 3 izgleda kao $\frac(a^5)(a^3)$. Ali ovo je jednako 2. U nizu brojeva
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bilo koji broj se može podijeliti s drugim, a eksponent će biti jednak razlika indikatori djeljivih brojeva.

Prilikom dijeljenja potencija sa istom osnovom, njihovi eksponenti se oduzimaju..

Dakle, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . To jest, $\frac(yyy)(yy) = y$.

I a n+1:a = a n+1-1 = a n . To jest, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Ili:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Pravilo važi i za brojeve sa negativan vrijednosti stepena.
Rezultat dijeljenja -5 sa -3 je -2.
Također, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ili $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Potrebno je vrlo dobro savladati množenje i dijeljenje potencija, budući da se takve operacije vrlo široko koriste u algebri.

Primjeri rješavanja primjera sa razlomcima koji sadrže brojeve sa stepenom

1. Smanjite eksponente u $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odgovor: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Smanjite eksponente u $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odgovor: $\frac(2x)(1)$ ili 2x.

3. Smanjite eksponente a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i dovedite do zajedničkog nazivnika.
a 2 .a -4 je -2 prvi brojilac.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi brojilac.
a 3 .a -4 je -1, zajednički brojnik.
Nakon pojednostavljenja: a -2 /a -1 i 1/a -1 .

4. Smanjiti eksponente 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i dovesti do zajedničkog imenioca.
Odgovor: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 ili 2a 3 / 5a 2 i 5/5a 2.

5. Pomnožite (a 3 + b)/b 4 sa (a - b)/3.

6. Pomnožite (a 5 + 1)/x 2 sa (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnožite b 4 /a -2 sa h -3 /x i a n /y -3 .

8. Podijelite a 4 /y 3 sa 3 /y 2 . Odgovor: a/y.

9. Podijelite (h 3 - 1)/d 4 sa (d n + 1)/h.

Prvi nivo

Stepen i njegova svojstva. Sveobuhvatni vodič (2019.)

Zašto su potrebne diplome? Gdje ti trebaju? Zašto trebate trošiti vrijeme na njihovo proučavanje?

Kako biste saznali sve o diplomama, čemu služe, kako iskoristiti svoje znanje u svakodnevnom životu, pročitajte ovaj članak.

I, naravno, poznavanje diploma će vas približiti uspješnom polaganju OGE ili Jedinstvenog državnog ispita i upisu na univerzitet iz snova.

Idemo... (Idemo!)

Važna napomena! Ako umjesto formula vidite besmislice, obrišite keš memoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (na Windowsima) ili Cmd+R (na Macu).

PRVI NIVO

Eksponencijacija je ista matematička operacija kao sabiranje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje.

Sada ću sve objasniti ljudskim jezikom koristeći vrlo jednostavne primjere. Budi pazljiv. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo sa sabiranjem.

Ovdje se nema šta objašnjavati. Sve već znate: ima nas osam. Svaka ima dvije boce kole. Koliko kole? Tako je - 16 boca.

Sada množenje.

Isti primjer sa colom može se napisati na drugačiji način: . Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo primjećuju neke obrasce, a onda smišljaju način da ih brže "prebroje". U našem slučaju, primijetili su da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili tehniku ​​zvanu množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve možete raditi sporije, teže i sa greškama! Ali…

Evo tablice množenja. Ponovi.

I još jedna, ljepša:

I koje su još lukave trikove brojanja smislili lijeni matematičari? Ispravno - podizanje broja na stepen.

Podizanje broja na stepen

Ako trebate pomnožiti broj sam po sebi pet puta, onda matematičari kažu da ovaj broj trebate podići na peti stepen. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva na peti stepen. I takve probleme rješavaju u mislima - brže, lakše i bez grešaka.

Da biste to učinili, trebate samo zapamtite šta je istaknuto bojom u tabeli stepena brojeva. Vjerujte mi, to će vam mnogo olakšati život.

Uzgred, zašto se zove drugi stepen kvadrat brojevi, a treći kocka? Šta to znači? Vrlo dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Primjer iz stvarnog života #1

Počnimo s kvadratom ili drugim stepenom broja.

Zamislite kvadratni bazen dimenzija metar po metar. Bazen je u vašem dvorištu. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali ... bazen bez dna! Potrebno je obložiti dno bazena pločicama. Koliko pločica vam treba? Da biste to odredili, morate znati površinu dna bazena.

Možete jednostavno izbrojati bockanjem prsta da se dno bazena sastoji od kocki metar po metar. Ako su vaše pločice metar po metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje ste vidjeli takvu pločicu? Pločica će radije biti cm po cm, a onda će vas mučiti "brojanje prstom". Onda morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavljamo pločice (komade), a na drugu takođe pločice. Množenjem sa, dobijate pločice ().

Jeste li primijetili da smo isti broj pomnožili sam po sebi da bismo odredili površinu dna bazena? Šta to znači? Budući da se isti broj množi, možemo koristiti tehniku ​​eksponencijalnosti. (Naravno, kada imate samo dva broja, i dalje ih trebate pomnožiti ili podići na stepen. Ali ako ih imate puno, onda je podizanje na stepen puno lakše i također je manje grešaka u proračunima. Za ispit je ovo veoma važno).
Dakle, trideset do drugog stepena će biti (). Ili možete reći da će biti trideset na kvadrat. Drugim riječima, drugi stepen broja uvijek se može predstaviti kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK drugi stepen nekog broja. Kvadrat je slika drugog stepena broja.

Primjer iz stvarnog života #2

Evo vam zadatak, prebrojite koliko je polja na šahovskoj tabli koristeći kvadrat broja... Na jednoj strani ćelije i na drugoj također. Da biste prebrojali njihov broj, trebate pomnožiti osam sa osam, ili ... ako primijetite da je šahovska ploča kvadrat sa stranicom, onda možete kvadratirati osam. Uzmi ćelije. () Pa?

Primjer iz stvarnog života #3

Sada kocka ili treći stepen broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko vode treba uliti u ovaj bazen. Morate izračunati zapreminu. (Zapremine i tečnosti se, inače, mjere u kubnim metrima. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno veličine jedan metar i duboko metar i pokušajte izračunati koliko kocki dimenzija metar sa metar će ući u vaš bazen.

Samo uperite prstom i brojite! Jedan, dva, tri, četiri… dvadeset dva, dvadeset tri… Koliko je ispalo? Niste se izgubili? Da li je teško brojati prstom? Tako da! Uzmite primjer od matematičara. Oni su lijeni, pa su primijetili da za izračunavanje volumena bazena morate pomnožiti njegovu dužinu, širinu i visinu jedno s drugim. U našem slučaju, zapremina bazena će biti jednaka kockama... Lakše, zar ne?

Zamislite sada koliko su matematičari lijeni i lukavi ako to čine previše lakim. Sveo sve na jednu akciju. Primetili su da su dužina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... A šta to znači? To znači da možete koristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom brojali prstom, oni rade u jednoj radnji: tri u kocki je jednako. Napisano je ovako:

Ostaje samo zapamtite tabelu stepeni. Osim ako, naravno, niste lijeni i lukavi kao matematičari. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti da brojite prstom.

Pa da vas konačno uvjerim da su diplome izmislili klošari i lukavi ljudi da rješavaju svoje životne probleme, a ne da vam prave probleme, evo još par primjera iz života.

Primjer iz stvarnog života #4

Imate milion rubalja. Na početku svake godine zaradite još milion za svaki milion. Odnosno, svaki vaš milion na početku svake godine se udvostruči. Koliko ćeš novca imati za godine? Ako sada sjedite i "brojite prstom", onda ste vrlo vrijedna osoba i.. glupa. Ali najvjerovatnije ćete dati odgovor za par sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva puta dva ... druge godine - šta je bilo, još dvije, treće godine ... Stani! Primijetili ste da se broj jednom množi sam sa sobom. Dakle, dva na peti stepen je milion! Sad zamislite da imate konkurenciju i onaj ko brže računa dobiće ove milione... Da li je vredno pamtiti stepene brojeva, šta mislite?

Primjer iz stvarnog života #5

Imaš milion. Na početku svake godine zaradite dva više za svaki milion. Odlično je zar ne? Svaki milion je utrostručen. Koliko novca ćete imati za godinu dana? Hajde da brojimo. Prvu godinu - pomnoži sa, pa rezultat sa drugom... Već je dosadno, jer si već sve shvatio: tri se množi sam sa sobom puta. Dakle, četvrti stepen je milion. Samo trebate zapamtiti da je tri na četvrti stepen ili.

Sada znate da ćete podizanjem broja na stepen učiniti svoj život mnogo lakšim. Pogledajmo dalje šta možete učiniti sa diplomama i šta trebate znati o njima.

Termini i pojmovi ... da se ne zbunite

Dakle, prvo, hajde da definišemo koncepte. Šta ti misliš, šta je eksponent? Vrlo je jednostavno - ovo je broj koji je "na vrhu" snage broja. Nije naučno, ali jasno i lako pamtljivo...

Pa, u isto vreme, šta takvu osnovu stepena? Još jednostavniji je broj koji je na dnu, u osnovi.

Evo jedne slike da budete sigurni.

Pa, uopšteno govoreći, da bi se generalizovao i bolje zapamtio... Stepen sa osnovom "" i indikatorom "" čita se kao "do stepena" i piše se na sledeći način:

Potencija broja s prirodnim eksponentom

Verovatno ste već pogodili: jer je eksponent prirodan broj. Da, ali šta jeste prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni koji se koriste kod brojanja prilikom nabrajanja predmeta: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: „minus pet“, „minus šest“, „minus sedam“. Ne kažemo ni "jedna trećina" ni "nula zapeta pet desetina". Ovo nisu prirodni brojevi. Šta mislite koji su to brojevi?

Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" se odnose na cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (tj. uzeti sa predznakom minus) i broj. Nulu je lako razumjeti - ovo je kada nema ničega. A šta znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno za označavanje dugova: ako imate stanje na telefonu u rubljama, to znači da dugujete operateru rublje.

Svi razlomci su racionalni brojevi. Šta mislite kako su nastali? Veoma jednostavno. Prije nekoliko hiljada godina naši preci su otkrili da nemaju dovoljno prirodnih brojeva za mjerenje dužine, težine, površine itd. I oni su smislili racionalni brojevi… Zanimljivo, zar ne?

Postoje i iracionalni brojevi. Koji su to brojevi? Ukratko, beskonačan decimalni razlomak. Na primjer, ako podijelite obim kruga njegovim prečnikom, onda ćete dobiti iracionalan broj.

Sažetak:

Hajde da definišemo pojam stepena, čiji je eksponent prirodan broj (tj. ceo broj i pozitivan).

1. Bilo koji broj na prvi stepen jednak je samom sebi:
2. Kvadratirati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom:
3. Kockati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom tri puta:

Definicija. Povećati broj na prirodni stepen znači pomnožiti broj sam sa sobom puta:
.

Svojstva diploma

Odakle su ove nekretnine? Sada ću ti pokazati.

Hajde da vidimo šta je i ?

Po definiciji:

Koliko množitelja ima ukupno?

Vrlo je jednostavno: faktorima smo dodali faktore, a rezultat su faktori.

Ali po definiciji, ovo je stepen broja sa eksponentom, to jest: , koji je trebalo dokazati.

Primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje:

primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje: Važno je napomenuti da u našem pravilu obavezno mora da je isti razlog!
Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostajemo poseban faktor:

samo za proizvode moći!

Ni u kom slučaju to ne smijete pisati.

2. odnosno -ti stepen broja

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

Zapravo, ovo se može nazvati "zagradama indikatora". Ali ovo nikada ne možete učiniti ukupno:

Prisjetimo se formule za skraćeno množenje: koliko puta smo htjeli napisati?

Ali to zaista nije istina.

Snaga s negativnom bazom

Do sada smo samo raspravljali o tome kakav bi eksponent trebao biti.

Ali šta bi trebalo da bude osnova?

U stepenima od prirodni pokazatelj osnova može biti bilo koji broj. Zaista, možemo pomnožiti bilo koji broj jedan s drugim, bilo da je pozitivan, negativan ili paran.

Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? ALI? ? S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva međusobno pomnožimo, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus puta minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa, ispada.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Jeste li uspjeli?

Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.

Pa, osim kada je baza nula. Baza nije ista, zar ne? Očigledno ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan!

6 primjera iz prakse

Analiza rješenja 6 primjera

Ako ne obratimo pažnju na osmi stepen, šta vidimo ovde? Pogledajmo program za 7. razred. Pa, sećaš se? Ovo je skraćena formula za množenje, odnosno razlika kvadrata! Dobijamo:

Pažljivo gledamo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojila, ali šta nije u redu? Pogrešan redosled termina. Ako su obrnuti, pravilo bi se moglo primijeniti.

Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Termini su magično promijenili mjesta. Ovaj „fenomen“ se odnosi na bilo koji izraz u jednakoj meri: možemo slobodno menjati znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

cijeli imenujemo prirodne brojeve, njihove suprotnosti (tj. uzete sa znakom "") i broj.

pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, onda sve izgleda baš kao u prethodnom odeljku.

Pogledajmo sada nove slučajeve. Počnimo s indikatorom jednakim.

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan:

Kao i uvijek, pitamo se zašto je to tako?

Uzmite u obzir neku snagu sa bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj sa, i dobili smo isti kao što je bio -. Sa kojim se brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti i sa proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan.

Ali postoje izuzeci od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao osnova).

S jedne strane, ona mora biti jednaka bilo kojem stepenu - koliko god da pomnožite nulu sa sobom, i dalje ćete dobiti nulu, ovo je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nultom stepenu, on mora biti jednak. Pa šta je istina u ovome? Matematičari su odlučili da se ne miješaju i odbili su podići nulu na stepen nule. Odnosno, sada ne samo da možemo podijeliti sa nulom, već i podići na nultu potenciju.

Idemo dalje. Pored prirodnih brojeva i brojeva, cijeli brojevi uključuju negativne brojeve. Da shvatimo šta je negativan stepen, uradimo isto kao prošli put: pomnožimo neki normalan broj sa istim u negativnom stepenu:

Odavde je već lako izraziti željeno:

Sada proširujemo rezultirajuće pravilo na proizvoljan stepen:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj na negativan stepen je obrnut od istog broja u pozitivnom stepenu. Ali istovremeno baza ne može biti null:(jer je nemoguće podijeliti).

Hajde da rezimiramo:

I. Izraz nije definiran u padežima. Ako onda.

II. Bilo koji broj na nulti stepen jednak je jedan: .

III. Broj koji nije jednak nuli na negativan stepen je obrnut od istog broja pozitivnom stepenu: .

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za nezavisno rješenje:

Analiza zadataka za samostalno rješavanje:

Znam, znam, brojke su strašne, ali na ispitu moraš biti spreman na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihovo rješenje ako ga niste mogli riješiti i naučit ćete kako se lako nositi s njima na ispitu!

Nastavimo širiti raspon brojeva "prikladnih" kao eksponent.

Sada razmislite racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi, štoviše.

Da razumem šta je "razlomni stepen" Razmotrimo razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na stepen:

Sada zapamtite pravilo "stepen do stepena":

Koji broj se mora podići na stepen da se dobije?

Ova formulacija je definicija korena th stepena.

Da vas podsjetim: korijen th stepena broja () je broj koji je, kada se podigne na stepen, jednak.

To jest, korijen th stepena je inverzna operacija eksponencijacije: .

Ispostavilo se da. Očigledno, ovaj poseban slučaj se može proširiti: .

Sada dodajte brojilac: šta je to? Odgovor je lako dobiti s pravilom snage na snagu:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Na kraju krajeva, korijen se ne može izdvojiti iz svih brojeva.

Nijedan!

Zapamtite pravilo: svaki broj podignut na paran stepen je pozitivan broj. To jest, nemoguće je izdvojiti korijene parnog stepena iz negativnih brojeva!

A to znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak sa parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Šta je sa izražavanjem?

Ali ovdje nastaje problem.

Broj se može predstaviti kao drugi, smanjeni razlomci, na primjer, ili.

I ispostavilo se da postoji, ali ne postoji, a to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda možete to zapisati. Ali čim napišemo indikator na drugačiji način, opet imamo problem: (odnosno, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da biste izbjegli takve paradokse, razmislite samo pozitivan osnovni eksponent sa razlomanim eksponentom.

Sta ako:

• - prirodni broj;
• je cijeli broj;

primjeri:

Potencije s racionalnim eksponentom su vrlo korisne za transformaciju izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera iz prakse

Analiza 5 primjera za obuku

E, sad - najteže. Sada ćemo analizirati stepen sa iracionalnim eksponentom.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao za stupnjeve s racionalnim eksponentom, s izuzetkom

Zaista, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim indikatorom, svaki put smo pravili određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima.

Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;

...nulta snaga- ovo je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još se nije počeo množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - stoga je rezultat samo određeni "prazni broj" , odnosno broj;

...negativan cjelobrojni eksponent- kao da se desio određeni „obrnuti proces“, odnosno broj nije pomnožen sam po sebi, već podijeljen.

Inače, nauka često koristi stepen sa kompleksnim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte na institutu.

GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE ITI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

Na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo sa već uobičajenim pravilom za podizanje stepena na stepen:

Sada pogledajte rezultat. Podsjeća li vas na nešto? Podsjećamo na formulu za skraćeno množenje razlike kvadrata:

U ovom slučaju,

Ispada da:

odgovor: .

2. Razlomke u eksponentima dovodimo u isti oblik: oba decimalna ili oba obična. Dobijamo, na primjer:

Odgovor: 16

3. Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:

NAPREDNI NIVO

Definicija stepena

Stepen je izraz oblika: , gdje je:

• — osnova stepena;
• - eksponent.

Stepen sa prirodnim eksponentom (n = 1, 2, 3,...)

Podići broj na prirodni stepen n znači množenje broja sam po sebi puta:

Potencija sa cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:

erekcija na nultu snagu:

Izraz je neodređen, jer, s jedne strane, u bilo kojem stepenu je ovo, a s druge strane, bilo koji broj do th stepena je ovo.

Ako je eksponent cijeli broj negativan broj:

(jer je nemoguće podijeliti).

Još jednom o nullovima: izraz nije definiran u slučaju. Ako onda.

primjeri:

Stepen sa racionalnim eksponentom

• - prirodni broj;
• je cijeli broj;

primjeri:

Svojstva diploma

Da bismo olakšali rješavanje problema, pokušajmo razumjeti: odakle su ova svojstva došla? Dokažimo ih.

Da vidimo: šta je i?

Po definiciji:

Dakle, na desnoj strani ovog izraza dobija se sljedeći proizvod:

Ali po definiciji, ovo je stepen broja sa eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : Važno je napomenuti da u našem pravilu obavezno moraju imati istu osnovu. Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostajemo poseban faktor:

Još jedna važna napomena: ovo pravilo - samo za proizvode moći!

Ni u kom slučaju to ne smijem pisati.

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Hajde da to preuredimo ovako:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je --ti stepen broja:

Zapravo, ovo se može nazvati "zagradama indikatora". Ali ovo nikada ne možete učiniti u potpunosti!

Prisjetimo se formule za skraćeno množenje: koliko puta smo htjeli napisati? Ali to zaista nije istina.

Snaga s negativnom bazom.

Do sada smo razgovarali samo o onome što bi trebalo da bude index stepen. Ali šta bi trebalo da bude osnova? U stepenima od prirodno indikator osnova može biti bilo koji broj .

Zaista, možemo pomnožiti bilo koji broj jedan s drugim, bilo da je pozitivan, negativan ili paran. Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? ALI? ?

S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva međusobno pomnožimo, rezultat će biti pozitivan.

Ali oni negativni su malo zanimljiviji. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: „minus puta minus daje plus“. To je, ili. Ali ako pomnožimo sa (), dobićemo -.

I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Možete formulirati ova jednostavna pravila:

1. čak stepen, - broj pozitivno.
2. Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
3. Pozitivan broj na bilo koji stepen je pozitivan broj.
4. Nula na bilo koji stepen jednaka je nuli.

Odredite sami koji znak će imati sljedeći izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije ista, zar ne? Očigledno ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje trebate saznati šta je manje: ili? Ako se toga setite, postaje jasno, što znači da je baza manja od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stepena:

Sve je kao i obično - zapišemo definiciju stupnjeva i podijelimo ih jedan na drugi, podijelimo ih u parove i dobijemo:

Prije analize posljednjeg pravila, riješimo nekoliko primjera.

Izračunajte vrijednosti izraza:

Rješenja :

Ako ne obratimo pažnju na osmi stepen, šta vidimo ovde? Pogledajmo program za 7. razred. Pa, sećaš se? Ovo je skraćena formula za množenje, odnosno razlika kvadrata!

Dobijamo:

Pažljivo gledamo imenilac. Mnogo liči na jedan od faktora brojilaca, ali šta nije u redu? Pogrešan redosled termina. Ako bi se oni obrnuli, moglo bi se primijeniti pravilo 3. Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: tu nam pomaže paran stepen nazivnika.

Ako to pomnožite sa, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada to izgleda ovako:

Termini su magično promijenili mjesta. Ovaj „fenomen“ se odnosi na bilo koji izraz u jednakoj meri: možemo slobodno menjati znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme! Ne može se zamijeniti mijenjanjem samo jednog nama nepoželjnog minusa!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Dakle, sada poslednje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo pojam stepena i pojednostavimo:

Pa, otvorimo zagrade. Koliko će slova biti? puta po množiteljima - kako to izgleda? Ovo nije ništa drugo nego definicija operacije množenje: ukupno ispostavilo se da postoje množitelji. To jest, to je, po definiciji, stepen broja sa eksponentom:

primjer:

Stepen sa iracionalnim eksponentom

Pored informacija o stepenu za prosječni nivo, analiziraćemo stepen sa iracionalnim indikatorom. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao za stepen sa racionalnim eksponentom, s izuzetkom - na kraju krajeva, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. , iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celobrojnim i racionalnim indikatorom, svaki put smo pravili određenu „sliku“, „analogiju“ ili opis u poznatijim terminima. Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj na nulti stepen je takoreći broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još nije počeo da se množi, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle, rezultat je samo određena „priprema broja“, odnosno broj; stepen sa cjelobrojnim negativnim indikatorom - kao da se dogodio određeni "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Izuzetno je teško zamisliti stepen sa iracionalnim eksponentom (baš kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). Umjesto toga, to je čisto matematički objekt koji su matematičari stvorili kako bi proširili koncept stepena na cijeli prostor brojeva.

Inače, nauka često koristi stepen sa kompleksnim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte na institutu.

Pa šta da radimo ako vidimo iracionalni eksponent? Dajemo sve od sebe da ga se riješimo! :)

Na primjer:

Odlučite sami:

1)

2)

3)

odgovori:

1. Zapamtite formulu razlike kvadrata. Odgovor: .
2. Razlomke dovodimo u isti oblik: ili obje decimale, ili obje obične. Dobijamo, na primjer: .
3. Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:

SAŽETAK ODJELJAKA I OSNOVNA FORMULA

Stepen naziva se izraz oblika: , gdje je:

Stepen sa cjelobrojnim eksponentom

stepen, čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

Stepen sa racionalnim eksponentom

stepen, čiji su indikator negativni i razlomci.

Stepen sa iracionalnim eksponentom

eksponent čiji je eksponent beskonačan decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva diploma

Karakteristike stepena.

• Negativan broj podignut na čak stepen, - broj pozitivno.
• Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
• Pozitivan broj na bilo koji stepen je pozitivan broj.
• Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.
• Bilo koji broj na nulti stepen je jednak.

SADA IMATE RIJEČ...

Kako vam se sviđa članak? Javite mi u komentarima ispod da li vam se sviđa ili ne.

Recite nam o svom iskustvu s korištenjem svojstava stupnjeva.

Možda imate pitanja. Ili sugestije.

Napišite u komentarima.

I sretno na ispitima!