Kako riješiti jednostavne trigonometrijske nejednakosti. Rješavanje trigonometrijskih nejednačina

1.5 Trigonometrijske nejednačine i metode za njihovo rješavanje

1.5.1 Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih nejednačina

Većina autora modernih udžbenika iz matematike predlaže da naše razmatranje ove teme započnemo rješavanjem najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti. Princip rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih nejednačina zasniva se na znanju i sposobnosti da se na trigonometrijskom krugu odrede vrijednosti ne samo glavnih trigonometrijskih uglova, već i drugih vrijednosti.

U međuvremenu, rješenje nejednačina oblika , , , može se provesti na sljedeći način: prvo pronađemo neki interval () na kojem je ta nejednakost istinita, a zatim zapišemo konačni odgovor dodavanjem krajeva pronađenog interval višekratnik perioda sinusa ili kosinusa: ( ). U ovom slučaju, vrijednost se lako pronalazi, jer ili . Potraga za vrijednošću se oslanja na intuiciju učenika, njihovu sposobnost da uoče jednakost lukova ili segmenata, koristeći simetriju pojedinih dijelova sinusnog ili kosinusnog grafa. A to je ponekad izvan moći prilično velikog broja učenika. U cilju prevazilaženja uočenih poteškoća u udžbenicima se posljednjih godina koristi drugačiji pristup rješavanju najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti, ali to nije poboljšalo ishode učenja.

Već niz godina prilično uspješno koristimo formule korijena odgovarajućih jednadžbi za pronalaženje rješenja trigonometrijskih nejednačina.

Ovu temu proučavamo na sljedeći način:

1. Gradimo grafove i y = a, pod pretpostavkom da je .

Zatim zapisujemo jednačinu i njeno rješenje. Davanje n 0; jedan; 2, nalazimo tri korijena sastavljene jednadžbe: . Vrijednosti su apscise tri uzastopne točke presjeka grafova i y = a. očito je da nejednakost uvijek vrijedi na intervalu (), a na intervalu () - nejednakost .

Dodajući na krajeve ovih intervala broj koji je višekratnik perioda sinusa, u prvom slučaju dobijamo rješenje nejednakosti u obliku: ; a u drugom slučaju rješenje nejednačine u obliku:

Samo za razliku od sinusa iz formule, koji je rješenje jednadžbe, za n = 0 dobijamo dva korijena, a treći korijen za n = 1 u obliku . I opet su tri uzastopne apscise sjecišta grafova i . U intervalu () nejednakost je ispunjena, u intervalu () nejednakost

Sada je lako zapisati rješenja nejednačina i . U prvom slučaju dobijamo: ;

a u drugom: .

Sažmite. Za rješavanje nejednakosti ili , potrebno je sastaviti odgovarajuću jednačinu i riješiti je. Iz dobivene formule pronađite korijene i , i napišite odgovor nejednakosti u obliku: .

Prilikom rješavanja nejednačina , iz formule korijena odgovarajuće jednadžbe nalazimo korijene i , a odgovor nejednačine zapisujemo u obliku: .

Ova tehnika vam omogućava da naučite sve učenike kako da riješe trigonometrijske nejednakosti. ova tehnika se u potpunosti oslanja na vještine koje su učenici čvrsto ovladali. To su sposobnost rješavanja najjednostavnijeg i pronalaženja vrijednosti varijable pomoću formule. Osim toga, postaje potpuno fakultativno pažljivo rješavanje velikog broja vježbi pod vodstvom nastavnika kako bi se demonstrirali sve vrste tehnika zaključivanja ovisno o predznaku nejednakosti, vrijednosti modula broja a i njegovog predznaka. I sam proces rješavanja nejednakosti postaje kratak i, što je vrlo važno, ujednačen.

Još jedna prednost ove metode je što olakšava rješavanje nejednakosti čak i kada desna strana nije tablična vrijednost sinusa ili kosinusa.

Pokažimo to na konkretnom primjeru. Neka je potrebno za rješavanje nejednakosti . Napišimo odgovarajuću jednačinu i riješimo je:

Nađimo vrijednosti i .

Za n = 1

Za n = 2

Zapisujemo konačni odgovor na ovu nejednakost:

U razmatranom primjeru rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti može postojati samo jedan nedostatak - prisustvo određene količine formalizma. Ali ako se sve procjenjuje samo s ovih pozicija, tada će se za formalizam moći optužiti i formule korijena kvadratne jednadžbe, i sve formule za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi i još mnogo toga.

Predložena metoda, iako zauzima dostojno mjesto u formiranju vještina i sposobnosti za rješavanje trigonometrijskih nejednačina, ne može se potcijeniti značaj i karakteristike drugih metoda za rješavanje trigonometrijskih nejednačina. Ovo uključuje metodu intervala.

Hajde da razmotrimo njegovu suštinu.

Set uredio A.G. Mordkovich, iako ne treba zanemariti ni druge udžbenike. § 3. Metode izučavanja teme "Trigonometrijske funkcije" u okviru algebre i početak analize U proučavanju trigonometrijskih funkcija u školi mogu se izdvojiti dvije glavne etape: ü Početno upoznavanje sa trigonometrijskim funkcijama...

Tokom istraživanja riješeni su sljedeći zadaci: 1) Analizirani su aktuelni udžbenici algebre i početak matematičke analize kako bi se identifikovale metode za rješavanje iracionalnih jednačina i nejednačina koje su u njima prikazane. Provedena analiza nam omogućava da izvučemo sljedeće zaključke: U srednjoj školi se ne posvećuje dovoljna pažnja metodama za rješavanje različitih iracionalnih jednačina, uglavnom...

Algebarski projekat "Rješenje trigonometrijskih nejednačina" Izvršila učenica 10. razreda "B" Julija Kazačkova Rukovodilac: nastavnica matematike Kochakova N.N.

Svrha Objediniti gradivo na temu "Rješavanje trigonometrijskih nejednačina" i izraditi dopis za učenike za pripremu za predstojeći ispit.

Ciljevi Sažeti materijal na temu. Organizujte primljene informacije. Razmotrite ovu temu na ispitu.

Relevantnost Relevantnost teme koju sam odabrao je u tome što su zadaci na temu "Rješenje trigonometrijskih nejednačina" uključeni u ispitne zadatke.

Trigonometrijske nejednakosti Nejednakost je relacija koja povezuje dva broja ili izraza kroz jedan od znakova: (veći od); ≥ (veće ili jednako). Trigonometrijska nejednakost je nejednakost koja sadrži trigonometrijske funkcije.

Trigonometrijske nejednačine Rješenje nejednačina koje sadrže trigonometrijske funkcije svodi se po pravilu na rješenje najjednostavnijih nejednačina oblika: sin x>a, sin x a, cos x a,tgx a, ctg x

Algoritam za rješavanje trigonometrijskih nejednačina Na osi koja odgovara datoj trigonometrijskoj funkciji označiti datu brojčanu vrijednost te funkcije. Nacrtajte liniju kroz označenu tačku koja seče jedinični krug. Odaberite točke presjeka prave i kružnice, uzimajući u obzir strogi ili nestrogi znak nejednakosti. Odaberite luk kruga na kojem se nalaze rješenja nejednačine. Odredite vrijednosti uglova na početnoj i krajnjoj tački kružnog luka. Zapišite rješenje nejednačine, uzimajući u obzir periodičnost date trigonometrijske funkcije.

Formule za rješavanje trigonometrijskih nejednačina sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). sinx a; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxa; x (arctg a + πn ; + πn). tgx a; x (πn ; arctg + πn). ctgx

Grafičko rješenje glavnih trigonometrijskih nejednačina sinx >a

Grafičko rješenje glavnih trigonometrijskih nejednačina sinx

Grafičko rješenje glavnih trigonometrijskih nejednačina cosx >a

Grafičko rješenje glavnih trigonometrijskih nejednačina cosx

Grafičko rješenje glavnih trigonometrijskih nejednačina tgx >a

Grafičko rješenje glavnih trigonometrijskih nejednačina tgx

Grafičko rješenje glavnih trigonometrijskih nejednačina ctgx >a

Grafičko rješenje glavnih trigonometrijskih nejednačina ctgx

Načini rješavanja trigonometrijskih nejednačina Rješavanje trigonometrijskih nejednačina pomoću brojevnog kruga; Rješavanje trigonometrijskih nejednačina korištenjem grafa funkcije. :

Rješavanje trigonometrijskih nejednačina korištenjem brojevnog kruga Primjer 1: : Odgovor:

Rješavanje trigonometrijskih nejednačina pomoću brojevnog kruga Primjer 1: Odgovor:

Rješavanje trigonometrijskih nejednačina korištenjem grafa funkcija Primjer: Odgovor:

Rezultatom rada sam učvrstio svoja znanja na temu "Rješenje trigonometrijskih nejednačina". Sistematizovane informacije dobijene o ovoj temi radi pogodnosti njihove percepcije: izveden algoritam za rešavanje trigonometrijskih nejednakosti; navela dva načina rješavanja; pokazao primjere rješenja. :

Rezultat rada Takođe, kao gotov proizvod, uz moj projekat je priložen i „Podsjetnik za studente koji se pripremaju za ispit iz algebre“. Microsoft Office Word dokument (2). docx:

Korištena literatura Udžbenik algebre za 10. razred "Algebra i početak analize" urednik A.N. Kolmogorov http://festival.1september.ru/articles/514580/ http://www.mathematics-repetition.com http:// www. calc.ru http://www.pomochnik-vsem.ru:

Algoritam za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednačina i prepoznavanje načina rješavanja trigonometrijskih nejednačina.

Nastavnici najviše kvalifikacione kategorije:

Širko F.M. Progres selo, MOBU-SOSH №6

Sankina L.S. Armavir, PEI srednja škola "Novi put"

Ne postoje univerzalne metode nastave prirodno-matematičkih disciplina. Svaki nastavnik smatra da su njegovi načini podučavanja prihvatljivi samo njemu.

Naše dugogodišnje nastavno iskustvo pokazuje da učenici lakše uče gradivo koje zahtijeva koncentraciju pažnje i pohranjivanje velike količine informacija u memoriju ako ih nauče da koriste algoritme u svojim aktivnostima u početnoj fazi učenja složene teme. Takva tema je, po našem mišljenju, tema rješavanja trigonometrijskih nejednačina.

Dakle, prije nego što počnemo sa učenicima da identifikuju tehnike i metode za rješavanje trigonometrijskih nejednačina, razrađujemo i fiksiramo algoritam za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednačina.

Algoritam za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednačina

Označavamo tačke na odgovarajućoj osi ( za grijeh x- y osa, zacos x- OX osovina)

Vraćamo okomicu na osu, koja će presijecati kružnicu u dvije točke.

Prvo na krugu potpisujemo tačku koja po definiciji pripada intervalu raspona vrijednosti funkcije luka.

Počevši od označene tačke, zasjenimo luk kruga koji odgovara zasjenjenom dijelu ose.

Posebnu pažnju obraćamo na smjer obilaznice. Ako je pomicanje u smjeru kazaljke na satu (tj. postoji prijelaz kroz 0), tada će druga točka na kružnici biti negativna, ako je suprotno od kazaljke na satu - pozitivna.

Odgovor pišemo kao interval, uzimajući u obzir periodičnost funkcije.

Razmotrimo rad algoritma na primjerima.

1) grijeh ≥ 1/2;

Rješenje:

Nacrtajte jedinični krug.;

Označavamo tačku ½ na y-osi.

Vratite okomicu na osu,

koji siječe kružnicu u dvije tačke.

Po definiciji arcsinusa, prvo označavamo

tačka π/6.

Osjenčamo dio ose koji odgovara

date nejednakosti, iznad tačke ½.

Osjenčamo luk kruga koji odgovara zasjenjenom dijelu ose.

Zaobilaznica je napravljena u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, dobili smo tačku 5π/6.

Odgovor pišemo kao interval, uzimajući u obzir periodičnost funkcije;

odgovor:x;[π/6 + 2π n, 5π/6 + 2π n], n Z.

Najjednostavnija nejednakost rješava se istim algoritmom ako u zapisu odgovora nema tabelarne vrijednosti.

Učenici na prvim časovima, rješavajući nejednačine na tabli, svaki korak algoritma izgovaraju naglas.

2) 5 cos x – 1 ≥ 0;

R Rješenje:at

5 cos x – 1 ≥ 0;

cos x ≥ 1/5;

Nacrtajte jedinični krug.

Na osi OX označavamo tačku sa koordinatom 1/5.

Vraćamo okomicu na osu, koja

siječe kružnicu u dvije tačke.

Prvo na krugu potpisujemo tačku koja pripada intervalu raspona vrijednosti arkosinusa po definiciji (0; π).

Osjenčamo dio ose koji odgovara ovoj nejednakosti.

Počevši od potpisane tačke arccos 1/5, zasjeniti luk kruga koji odgovara zasjenjenom dijelu ose.

Zaobilaznica se vrši u smjeru kazaljke na satu (tj. postoji prijelaz kroz 0), što znači da će druga tačka na krugu biti negativna - arccos 1/5.

Odgovor pišemo kao interval, uzimajući u obzir periodičnost funkcije, od manje vrijednosti do veće.

odgovor: x  [-arccos 1/5 + 2π n, arccos 1/5 + 2π n], n Z.

Unapređenje sposobnosti rješavanja trigonometrijskih nejednačina olakšavaju pitanja: „Kako ćemo riješiti grupu nejednačina?“; “Kako se jedna nejednakost razlikuje od druge?”; “Po čemu je jedna nejednakost slična drugoj?”; Kako bi se odgovor promijenio ako bi se dala stroga nejednakost? Kako bi se promijenio odgovor da je umjesto znaka ""

Zadatak analize liste nejednakosti sa stanovišta načina njihovog rješavanja omogućava vam da razradite njihovo prepoznavanje.

Učenicima se daju nejednačine koje treba riješiti na času.

Pitanje: Istaknite nejednakosti koje zahtijevaju korištenje ekvivalentnih transformacija prilikom svođenja trigonometrijske nejednakosti na najjednostavnije?

Odgovori 1, 3, 5.

Pitanje: Koje su nejednakosti u kojima je potrebno smatrati složeni argument jednostavnim?

odgovor: 1, 2, 3, 5, 6.

Pitanje: Koje su nejednakosti u kojima se mogu primijeniti trigonometrijske formule?

odgovor: 2, 3, 6.

Pitanje: Koje su nejednakosti u kojima možete primijeniti metodu uvođenja nove varijable?

odgovor: 6.

Zadatak analize liste nejednakosti sa stanovišta načina njihovog rješavanja omogućava vam da razradite njihovo prepoznavanje. Prilikom razvijanja vještina važno je izdvojiti faze njegove implementacije i formulirati ih u općem obliku, koji je predstavljen u algoritmu za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti.

Većina učenika ne voli trigonometrijske nejednakosti. Ali uzalud. Kako je jedan lik govorio,

“Jednostavno ne znaš kako da ih skuvaš”

Dakle, kako "kuhati" i s čime podnijeti nejednakost sa sinusom, shvatit ćemo u ovom članku. Riješit ćemo na najjednostavniji način - koristeći jedinični krug.

Dakle, prvo nam je potreban sljedeći algoritam.

Algoritam za rješavanje nejednačina sa sinusom:

1. stavite broj $a$ na osu sinusa i povucite pravu liniju paralelnu sa kosinusnom osom dok se ne siječe sa kružnicom;
2. tačke preseka ove prave sa kružnicom će biti popunjene ako nejednakost nije stroga, a neće se popuniti ako je nejednakost stroga;
3. površina rješenja nejednakosti će biti iznad prave i do kruga ako nejednakost sadrži znak “$>$”, a ispod linije i do kruga ako nejednakost sadrži znak “$<$”;
4. da bismo pronašli tačke preseka, rešavamo trigonometrijsku jednačinu $\sin(x)=a$, dobijamo $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. postavljanjem $n=0$, nalazimo prvu tačku preseka (nalazi se ili u prvom ili u četvrtom kvadrantu);
6. da bismo pronašli drugu tačku, gledamo u kom smjeru idemo preko područja do druge točke presjeka: ako je u pozitivnom smjeru, onda treba uzeti $n=1$, a ako u negativnom smjeru, onda $n=- 1$;
7. kao odgovor, ispisuje se interval od manje tačke preseka $+ 2\pi n$ do veće $+ 2\pi n$.

Ograničenje algoritma

Važno: d ovaj algoritam ne radi za nejednakosti oblika $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Posebni slučajevi pri rješavanju nejednakosti sa sinusom

Također je važno napomenuti sljedeće slučajeve, koje je mnogo zgodnije riješiti logički bez korištenja gornjeg algoritma.

Poseban slučaj 1. Riješite nejednačinu:

$\sin(x) \leq 1.$

Pošto je domena trigonometrijske funkcije $y=\sin(x)$ najviše $1$, lijeva strana nejednakosti za bilo koji$x$ iz domene (a domen sinusa su svi realni brojevi) nije veći od $1$. I, stoga, kao odgovor pišemo: $x \in R$.

Posljedica:

$\sin(x) \geq -1.$

Poseban slučaj 2. Riješite nejednačinu:

$\sin(x)< 1.$

Primjenom argumenata sličnih posebnom slučaju 1, dobivamo da je lijeva strana nejednakosti manja od $1$ za sve $x \u R$, osim za tačke koje su rješenje jednadžbe $\sin(x) = 1$. Rješavajući ovu jednačinu imat ćemo:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

I, stoga, kao odgovor pišemo: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

Posljedica: nejednakost se rješava slično

$\sin(x) > -1.$

Primjeri rješavanja nejednačina korištenjem algoritma.

Primjer 1: Riješite nejednačinu:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. Zabilježite koordinate $\frac(1)(2)$ na osi sinusa.
2. Nacrtajte liniju paralelnu sa kosinusnom osom i koja prolazi kroz ovu tačku.
3. Obratite pažnju na tačke preseka. Oni će biti zasjenjeni jer nejednakost nije stroga.
4. Znak nejednakosti je $\geq$, što znači da bojimo površinu iznad linije, tj. manji polukrug.
5. Pronađite prvu tačku preseka. Da biste to učinili, pretvorite nejednakost u jednakost i riješite je: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Dalje postavljamo $n=0$ i nalazimo prvu tačku preseka: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. Pronalazimo drugu tačku. Naše područje ide u pozitivnom smjeru od prve tačke, tako da postavljamo $n$ jednako $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \ cdot 1 = \ pi - \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Dakle, rješenje će poprimiti oblik:

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\desno], \ n \in Z.$

Primjer 2: Riješite nejednačinu:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Koordinatu $- \frac(1)(2)$ označavamo na osi sinusa i povlačimo pravu liniju paralelnu sa kosinusnom osi i koja prolazi kroz ovu tačku. Obratite pažnju na tačke preseka. Neće biti zasjenjene, jer je nejednakost stroga. Znak nejednakosti $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Postavljajući dalje $n=0$, nalazimo prvu tačku preseka: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Naše područje ide u negativnom smjeru od prve tačke, tako da postavljamo $n$ jednako $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)(6 ) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Dakle, rješenje ove nejednakosti će biti interval:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right), \ n \in Z.$

Primjer 3: Riješite nejednačinu:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$

Ovaj primjer se ne može odmah riješiti pomoću algoritma. Prvo ga trebate pretvoriti. Radimo tačno onako kako bismo uradili sa jednadžbom, ali ne zaboravite na znak. Dijeljenje ili množenje sa negativnim brojem to preokreće!

Dakle, pomjerimo sve što ne sadrži trigonometrijsku funkciju na desnu stranu. Dobijamo:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

Podijelite lijevu i desnu stranu sa $-2$ (ne zaboravite na znak!). imat će:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

Opet smo dobili nejednakost koju ne možemo riješiti algoritmom. Ali ovdje je dovoljno napraviti promjenu varijable:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Dobijamo trigonometrijsku nejednačinu, koja se može riješiti pomoću algoritma:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Ova nejednakost je riješena u primjeru 1, pa ćemo odatle posuditi odgovor:

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Međutim, odluka još nije gotova. Moramo se vratiti na originalnu varijablu.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Hajde da predstavimo jaz kao sistem:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n.\end(niz) \right.$

Na lijevoj strani sistema nalazi se izraz ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), koji pripada intervalu. Lijeva granica intervala je odgovorna za prvu nejednakost, a desna za drugu. Štoviše, zagrade igraju važnu ulogu: ako je zagrada kvadratna, onda će nejednakost biti nestroga, a ako je okrugla, onda stroga. naš zadatak je da dobijemo $x$ na lijevoj strani u obe nejednakosti.

Pomjerimo $\frac(\pi)(6)$ s lijeve strane na desnu, dobićemo:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(array) \right.$

Pojednostavljujući, imaćemo:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n.\end(niz) \right.$

Množenjem lijeve i desne strane sa 4$, dobijamo:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $

Sastavljajući sistem u interval, dobijamo odgovor:

$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\desno], \ n \in Z.$

Nejednakosti su relacije oblika a › b, gdje su a i b izrazi koji sadrže barem jednu varijablu. Nejednakosti mogu biti stroge - ‹, › i nestroge - ≥, ≤.

Trigonometrijske nejednakosti su izrazi oblika: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, u kojima je F(x) predstavljen jednom ili više trigonometrijskih funkcija .

Primjer najjednostavnije trigonometrijske nejednakosti je: sin x ‹ 1/2. Uobičajeno je da se takvi problemi rješavaju grafički, za to su razvijene dvije metode.

Metoda 1 - Rješavanje nejednakosti crtanjem funkcije

Da biste pronašli interval koji zadovoljava uslove nejednakosti sin x ‹ 1/2, morate učiniti sljedeće:

1. Na koordinatnoj osi konstruisati sinusoidu y = sin x.
2. Na istoj osi nacrtajte grafik numeričkog argumenta nejednakosti, tj. pravu liniju koja prolazi kroz tačku ½ ordinate OY.
3. Označite tačke preseka dva grafikona.
4. Zasjeniti segment koji je rješenje primjera.

Kada u izrazu postoje jaki znaci, tačke preseka nisu rešenja. Budući da je najmanji pozitivni period sinusoida 2π, odgovor pišemo na sljedeći način:

Ako predznaci izraza nisu strogi, tada se interval rješenja mora staviti u uglaste zagrade - . Odgovor na problem se također može napisati kao još jedna nejednakost:

Metoda 2 - Rješavanje trigonometrijskih nejednačina korištenjem jediničnog kruga

Slični problemi se lako rješavaju uz pomoć trigonometrijskog kruga. Algoritam pretraživanja je vrlo jednostavan:

1. Prvo nacrtajte jedinični krug.
2. Zatim morate zabilježiti vrijednost funkcije luka argumenta desne strane nejednakosti na luku kružnice.
3. Potrebno je povući pravu liniju koja prolazi kroz vrijednost lučne funkcije paralelno sa x-osi (OX).
4. Nakon toga, ostaje samo odabrati luk kružnice, koji je skup rješenja trigonometrijske nejednakosti.
5. Odgovor napišite u traženom obliku.

Analizirajmo korake rješenja koristeći nejednakost sin x › 1/2 kao primjer. Na kružnici su označene tačke α i β – vrijednosti

Tačke luka koje se nalaze iznad α i β su interval za rješavanje date nejednakosti.

Ako trebate riješiti primjer za cos, tada će luk odgovora biti lociran simetrično na os OX, a ne na OY. Možete razmotriti razliku između intervala rješenja za sin i cos na dijagramima ispod u tekstu.

Grafička rješenja za tangentne i kotangensne nejednakosti će se razlikovati i od sinusa i od kosinusa. To je zbog svojstava funkcija.

Arktangent i arkotangens su tangente na trigonometrijski krug, a minimalni pozitivni period za obje funkcije je π. Da biste brzo i ispravno koristili drugu metodu, morate zapamtiti na kojoj su osi iscrtane vrijednosti sin, cos, tg i ctg.

Tangentna tangenta ide paralelno sa OY osom. Ako vrijednost arctg a unesemo na jediničnu kružnicu, tada će se druga tražena tačka nalaziti u dijagonalnoj četvrtini. uglovi

One su prijelomne točke za funkciju, jer graf teži ka njima, ali nikada do njih.

U slučaju kotangensa, tangenta ide paralelno sa OX osom, a funkcija je prekinuta u tačkama π i 2π.

Kompleksne trigonometrijske nejednakosti

Ako je argument funkcije nejednakosti predstavljen ne samo promjenljivom, već cijelim izrazom koji sadrži nepoznanicu, onda govorimo o složenoj nejednakosti. Tijek i redoslijed njegovog rješavanja donekle se razlikuju od gore opisanih metoda. Pretpostavimo da trebamo pronaći rješenje za sljedeću nejednakost:

Grafičko rješenje predviđa konstrukciju obične sinusoide y = sin x za proizvoljno odabrane vrijednosti x. Izračunajmo tabelu sa koordinatama za referentne tačke grafikona:

Rezultat bi trebao biti lijepa kriva.

Radi lakšeg pronalaženja rješenja, zamjenjujemo argument kompleksne funkcije