Šta znači pronaći korijen jednačine. Šta je korijen jednačine

Kvadratne jednačine se izučavaju u 8. razredu, tako da ovdje nema ništa komplikovano. Sposobnost njihovog rješavanja je neophodna.

Kvadratna jednačina je jednačina oblika ax 2 + bx + c = 0, gdje su koeficijenti a, b i c proizvoljni brojevi, a a ≠ 0.

Prije proučavanja specifičnih metoda rješenja, napominjemo da se sve kvadratne jednadžbe mogu podijeliti u tri klase:

1. Nemaju korijene;
2. Imaju tačno jedan koren;
3. Imaju dva različita korijena.

Ovo je važna razlika između kvadratne i linearne jednadžbe, gdje korijen uvijek postoji i jedinstven je. Kako odrediti koliko korijena ima jednačina? Postoji divna stvar za ovo - diskriminatorno.

Diskriminantno

Neka je data kvadratna jednačina ax 2 + bx + c = 0. Tada je diskriminanta jednostavno broj D = b 2 − 4ac .

Ova formula se mora znati napamet. Odakle dolazi sada nije važno. Još jedna stvar je važna: po znaku diskriminanta možete odrediti koliko korijena ima kvadratna jednadžba. naime:

1. Ako je D< 0, корней нет;
2. Ako je D = 0, postoji tačno jedan korijen;
3. Ako je D > 0, postojaće dva korena.

Imajte na umu: diskriminant označava broj korijena, a ne njihove znakove, kako iz nekog razloga mnogi misle. Pogledajte primjere i sve ćete sami razumjeti:

Zadatak. Koliko korijena imaju kvadratne jednadžbe:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapisujemo koeficijente za prvu jednačinu i nalazimo diskriminanta:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Dakle, diskriminant je pozitivan, tako da jednačina ima dva različita korijena. Na isti način analiziramo i drugu jednačinu:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant je negativan, nema korijena. Ostaje posljednja jednačina:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je jednak nuli - korijen će biti jedan.

Imajte na umu da su za svaku jednačinu ispisani koeficijenti. Da, dugo je, da, zamorno je - ali nećete mešati šanse i nećete praviti glupe greške. Odaberite za sebe: brzinu ili kvalitet.

Usput, ako "napunite ruku", nakon nekog vremena više nećete morati ispisivati ​​sve koeficijente. Takve operacije ćete izvoditi u svojoj glavi. Većina ljudi to počne raditi negdje nakon 50-70 riješenih jednačina - općenito, ne toliko.

Korijeni kvadratne jednadžbe

Sada idemo na rješenje. Ako je diskriminanta D > 0, korijeni se mogu pronaći pomoću formula:

Osnovna formula za korijene kvadratne jednadžbe

Kada je D = 0, možete koristiti bilo koju od ovih formula - dobijate isti broj, što će biti odgovor. Konačno, ako D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Prva jednadžba:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ jednadžba ima dva korijena. Hajde da ih pronađemo:

Druga jednadžba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ jednadžba opet ima dva korijena. Hajde da ih nađemo

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(poravnati)\]

Konačno, treća jednačina:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ jednačina ima jedan korijen. Može se koristiti bilo koja formula. Na primjer, prvi:

Kao što možete vidjeti iz primjera, sve je vrlo jednostavno. Ako znate formule i znate računati, neće biti problema. Najčešće se greške javljaju kada se negativni koeficijenti zamijene u formulu. Ovdje će opet pomoći gore opisana tehnika: doslovno pogledajte formulu, obojite svaki korak - i riješite se grešaka vrlo brzo.

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Dešava se da je kvadratna jednačina nešto drugačija od onoga što je dato u definiciji. Na primjer:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Lako je vidjeti da jedan od članova nedostaje u ovim jednačinama. Takve kvadratne jednadžbe još je lakše riješiti od standardnih: ne moraju čak ni izračunati diskriminanta. Pa hajde da predstavimo novi koncept:

Jednačina ax 2 + bx + c = 0 naziva se nepotpuna kvadratna jednačina ako je b = 0 ili c = 0, tj. koeficijent varijable x ili slobodnog elementa jednak je nuli.

Naravno, moguć je vrlo težak slučaj kada su oba ova koeficijenta jednaka nuli: b = c = 0. U ovom slučaju, jednadžba poprima oblik ax 2 = 0. Očigledno, takva jednadžba ima jednu korijen: x \u003d 0.

Hajde da razmotrimo druge slučajeve. Neka je b \u003d 0, tada ćemo dobiti nepotpunu kvadratnu jednadžbu oblika ax 2 + c = 0. Lagano je transformirajmo:

Budući da aritmetički kvadratni korijen postoji samo od nenegativnog broja, posljednja jednakost ima smisla samo kada je (−c / a ) ≥ 0. Zaključak:

1. Ako nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 + c = 0 zadovoljava nejednakost (−c / a ) ≥ 0, postojaće dva korijena. Formula je data gore;
2. Ako (−c / a )< 0, корней нет.

Kao što vidite, diskriminanta nije bila potrebna - u nepotpunim kvadratnim jednačinama uopće nema složenih proračuna. Zapravo, nije ni potrebno zapamtiti nejednakost (−c / a ) ≥ 0. Dovoljno je izraziti vrijednost x 2 i vidjeti šta se nalazi na drugoj strani znaka jednakosti. Ako postoji pozitivan broj, bit će dva korijena. Ako je negativan, korijena uopće neće biti.

Sada se pozabavimo jednadžbama oblika ax 2 + bx = 0, u kojima je slobodni element jednak nuli. Ovdje je sve jednostavno: uvijek će postojati dva korijena. Dovoljno je faktorizirati polinom:

Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrade

Proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli. Odatle potiču korijeni. U zaključku ćemo analizirati nekoliko od ovih jednačina:

Zadatak. Riješite kvadratne jednadžbe:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nema korijena, jer kvadrat ne može biti jednak negativnom broju.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Ako postoje dvije veličine, a između njih postoji znak jednakosti, onda je ovo primjer koji se zove jednačina. Računajući nepoznanicu, nalazimo korijen. Da biste deklasificirali ovu nepoznanicu, morat ćete poraditi na proračunu.

Biće jasnije ako uzmemo u rad konkretnu jednadžbu: x + 10 = 16-2x. Odnosi se na linearni, njegove slobodne članove i nepoznato x. Ove komponente širimo u različitim smjerovima od znaka jednakosti. Sada je jednadžba poprimila ovaj oblik: 2x + x = 16 - 10 ili 3x = 6; x = 2. Rezultat: x = 2. Potrebno je malo više znanja da bi se izračunao korijen u primjeru gdje je željeno kvadrirano. Ova jednadžba je kvadratna i njena razlika od linearne je u tome što može biti 1 ili 2 rezultata ili će se naći da su korijeni 0. Da bismo bolje razumjeli, rješavamo jednačinu: X na kvadrat, pomnožen sa 3 + 3X = 90 Napravimo tako da se na desnoj strani formira 0: X2 x 3 + 3X -90 = 0. Brojevi ispred X su koeficijenti 1, 3, 3. Potrebna je definicija diskriminanta: kvadriramo 3 - drugi koeficijent i oduzmimo proizvod 1 i 3. Kao rezultat dobijamo 6 - što znači da završimo proračun, nalazimo da ova jednadžba ima 2 korijena.Ako bi se diskriminanta izrazila kao negativan broj, onda bi to bilo iracionalno da se istakneš u izračunavanju korijena - oni jednostavno ne postoje. U slučaju D=0, korijen je samo 1. Sada još uvijek radimo proračun kako bismo odredili ova 2 korijena. Da biste izračunali 1 korijen drugom koeficijentu sa predznakom - dodajte korijen od D i podijelite ovo sa dva puta prvim koeficijentom: -3 + kvadratni korijen od 16, podijelite sa 2. Dobit će se 1/2. Izračun drugog je sličan, samo je korijen od D oduzet. Kao rezultat, imamo 3 cijela broja i 1/2.

Komplikovanija od kvadratne jednadžbe je kubna. To izgleda ovako: x3-3x2-4x+20=0. Odaberemo broj kojim se slobodni član može podijeliti tako da se na lijevoj strani pojavi 0. Delitelji za 20 su ±1, ±2, ±4, ±5, ± 10, ± 20. Ispada da je ovo djelitelj 5, on je također jedan od željenih korijena. Ostaje da se reši kvadratna jednačina i svi koreni su poznati.

To je sva mudrost. Nema ništa komplicirano, ali da bude vrlo jednostavno, možete koristiti online kalkulator.

Načini pronalaženja korijena jednadžbe - pravila proračuna.

Jednačina je matematički izraz koji sadrži jednu ili više nepoznanica. Riješiti jednadžbu znači pronaći takve vrijednosti argumenata za koje se postiže jednakost lijevog i desnog dijela izraza (date funkcije). Pronađene vrijednosti nazivaju se korijenima jednadžbe.

U matematici se razlikuju linearne, kvadratne i kubične jednadžbe. Da bi se pronašao korijen jednadžbe određenog tipa, koriste se različite metode.

Linearna jednačina

Izraz poput a*x=b naziva se linearna jednačina. U njemu je a koeficijent varijable, b je slobodni pojam. Postoje tri moguća slučaja u kojima:

• i 0. Korijen se u ovom slučaju izračunava po formuli: x=b/a. Na primjer, data jednačina x+3=9-2*x. Izrazi sa "X" prenose se u jednom smjeru, a slobodni članovi u drugom: x + 2 * x = 9-3, ili 3 * x = 6. Tada je x=6/3, x=2.
• a=0, b=0. Jednačina će imati oblik 0*x=0. Ova jednakost će vrijediti za bilo koju vrijednost "X". Dakle, korijen jednačine je bilo koji realan broj.
• a \u003d 0, b 0. Dobit će se izraz 0 * x = b, za koji nema korijena.

Kvadratna jednadžba

Jednačina oblika naziva se kvadratna (a 0). "A" i "B" se nazivaju koeficijenti, a "C" je slobodan član. Broj korijena ovisi o vrijednosti diskriminanta, koji se izračunava po formuli. U slučaju da:

• D<0 – для уравнения не существует корней.
• D=0 - postoji jedan koren koji se nalazi po formuli: x=-b/(2*a).
• D>0 - postoje dva korijena definirana na sljedeći način: Na primjer, data je jednačina 3*x2-2*x-5=0. Diskriminant D=4-4*3*(-5)=64. Biće dva korena.

kubna jednačina

Izraz oblika naziva se kubna jednačina. Može imati nekoliko korijena, za čije izračunavanje vam je potrebno:

• Pronađite jedan od korijena koji je djelitelj konstantnog pojma "d" zamjenom svih mogućih djelitelja dok lijeva strana izraza ne postane nula.
• Podijelite izvornu jednačinu pronađenim korijenom, zbog čega će se izraz svesti na kvadratni oblik.
• Pronađite korijene rezultirajuće jednadžbe. Na primjer, data jednačina. Delitelji slobodnog člana 12 - ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Lijeva strana uzima vrijednost jednaku 0 na x=2. Dakle, 2 je prvi korijen. Zatim morate podijeliti originalni izraz sa (x-2). Dobijte kvadratnu jednačinu. Njegovi korijeni su brojevi..

druge metode

Osim algebarskog izračuna traženih vrijednosti, možete koristiti:

• Besplatni online kalkulator (allcalc.ru).
• Grafički, kada se nacrta graf funkcije, čije presečne tačke sa osom "X" će biti koreni jednadžbe.

Danas ćemo trenirati vještinu rješavanja zadatka 5 USE - pronaći korijen jednačine. Potražimo korijen jednačine. Razmotrite primjere rješavanja takvih zadataka. Ali prvo, sjetimo se – šta to znači – pronaći korijen jednačine?

To znači pronalaženje broja šifriranog pod x, kojim ćemo zamijeniti x i naša jednačina će biti prava jednakost.

Na primjer, 3x=9 je jednadžba i 3 . 3=9 je već prava jednakost. Odnosno, u ovom slučaju zamenili smo broj 3 umesto x - dobili smo tačan izraz ili jednakost, što znači da smo rešili jednačinu, odnosno pronašli zadati broj x=3, koji jednačinu pretvara u istinska jednakost.

To je ono što ćemo učiniti - naći ćemo korijen jednačine.

Zadatak 1 - pronađite korijen jednačine 2 1-4x =32

Ovo je eksponencijalna jednačina. Rješava se na sljedeći način - potrebno je da i lijevo i desno od znaka "jednako" postoji stepen sa istom osnovom.

Na lijevoj strani imamo bazu stepena 2, a na desnoj nema nikakvog stepena. Ali znamo da je 32 2 na peti stepen. To jest, 32=2 5

Dakle, naša će jednadžba izgledati ovako: 2 1-4x = 2 5

S lijeve i desne strane naše baze stepena su iste, što znači da da bismo imali jednakost, eksponenti također moraju biti jednaki:

Dobijamo običnu jednačinu. Rješavamo na uobičajen način - ostavljamo sve nepoznate na lijevoj strani, a poznate prenosimo na desno, dobijamo:

Provjera: 2 1-4(-1) =32

Pronašli smo korijen jednačine. Odgovor: x=-1.

Sami pronađite korijen jednadžbe u sljedećim zadacima:

b) 2 1-3x \u003d 128

Zadatak 2 - pronaći korijen jednačine

Jednačinu rješavamo na sličan način - dovođenjem lijeve i desne strane jednačine na istu osnovu stepena. U našem slučaju na osnovu stepena 2.

Koristimo sljedeće svojstvo stepena:

Ovim svojstvom dobijamo za desnu stranu naše jednadžbe:

Ako su baze eksponenta jednake, onda su eksponenti jednaki:

Odgovor: x=9.

Napravimo provjeru - zamijenimo pronađenu vrijednost x u originalnoj jednadžbi - ako dobijemo tačnu jednakost, onda smo jednako riješili ispravno.

Tačno smo pronašli korijen jednačine.

Zadatak 3 - pronaći korijen jednačine

Imajte na umu da imamo 1/8 na desnoj strani, a 1/8 je

Tada će naša jednačina biti napisana kao:

Ako su baze stepena jednake, onda su eksponenti jednaki, dobijamo jednostavnu jednačinu:

Odgovor: x=5. Uradite provjeru sami.

Zadatak 4 - pronađite korijen jednadžbe log 3 (15's) = log 3 2

Ova jednačina se rješava na isti način kao i eksponencijalna. Želimo da osnove logaritma lijevo i desno od znaka jednakosti budu iste. Sada su isti, pa izjednačavamo one izraze koji su pod znakom logaritama:

Odgovor: x=13

Zadatak 5 - pronaći korijen jednačine log 3 (3-x)=3

Broj 3 je log 3 27. Da bi bilo jasno u nastavku, indeks ispod predznaka logaritma je broj koji je podignut na stepen, u našem slučaju 3, znak logaritma je broj koji se ispostavi kada se podigne na stepen je 27, a sam logaritam je eksponent na koji trebate podići 3 da biste dobili 27.

Pogledaj sliku:

Dakle, bilo koji broj se može napisati kao logaritam. U ovom slučaju je vrlo zgodno zapisati broj 3 kao logaritam sa bazom 3. Dobijamo:

log 3 (3-x)=log 3 27

Osnove logaritma su jednake, što znači da su jednaki i brojevi pod znakom logaritma:

hajde da proverimo:

log 3 (3-(-24))=log 3 27

log 3 (3+24)= log 3 27

log 3 27=log 3 27

Odgovor: x=-24.

Pronađite korijen jednačine. Zadatak 6.

log 2 (x+3)=log 2 (3x-15)

Provjera: log 2 (9+3)=log 2 (27-15)

log 2 12=log 2 12

Odgovor: x=9.

Pronađite korijen jednačine. Zadatak 7.

log 2 (14-2x)=2log 2 3

log 2 (14-2x)=log 2 3 2

Provjera: log 2 (14-5)=2log 2 3

log29=2log23

log 2 3 2 =2log 2 3

2log 2 3=2log 2 3

Odgovor: x=2,5

Pripremite se za ispit i za OGE - pogledajte prethodne teme i.

U algebri postoji koncept dvije vrste jednakosti - identiteta i jednačina. Identiteti su takve jednakosti koje su izvodljive za sve vrijednosti slova uključenih u njih. Jednačine su također jednakosti, ali su izvodljive samo za određene vrijednosti slova uključenih u njih.

Slova prema stanju zadatka obično su nejednaka. To znači da neki od njih mogu poprimiti bilo koje dozvoljene vrijednosti, nazvane koeficijenti (ili parametri), dok drugi - oni se zovu nepoznanice - preuzimaju vrijednosti koje treba pronaći u procesu rješavanja. Po pravilu, nepoznate veličine se u jednačinama označavaju slovima, poslednje u (x.y.z itd.), ili istim slovima, ali sa indeksom (x 1, x 2, itd.), a poznati koeficijenti - sa prva slova iste abecede.

Prema broju nepoznanica razlikuju se jednadžbe s jednom, dvije i više nepoznatih. Dakle, sve vrijednosti nepoznanica za koje se jednadžba rješava u identičnost nazivaju se rješenjima jednadžbi. Jednačina se može smatrati riješenom ako se pronađu sva njena rješenja ili se dokaže da nema nijedno. Zadatak “riješi jednačinu” je uobičajen u praksi i znači da je potrebno pronaći korijen jednačine.

Definicija: korijeni jednadžbe su one vrijednosti nepoznanica iz oblasti ​​dozvoljenog, pri kojima se jednačina koja se rješava pretvara u identičnost.

Algoritam za rješavanje apsolutno svih jednačina je isti, a njegovo značenje je da se ovaj izraz dovede u jednostavniji oblik uz pomoć matematičkih transformacija.
Jednačine koje imaju iste korijene nazivaju se u algebri ekvivalentne jednačine.

Najjednostavniji primjer: 7x-49=0, korijen jednadžbe je x=7;
x-7=0, shodno tome, korijen x=7, dakle, jednačine su ekvivalentne. (U posebnim slučajevima, ekvivalentne jednadžbe možda uopće nemaju korijen).

Ako je korijen jednadžbe ujedno i korijen druge, jednostavnije jednačine dobivene iz originalne transformacijama, onda se ova potonja naziva posledica prethodne jednačine.

Ako je jedna od dvije jednačine posljedica druge, onda se one smatraju ekvivalentnim. Nazivaju se i ekvivalentnim. Gornji primjer to ilustruje.

Rješavanje čak i najjednostavnijih jednadžbi u praksi često uzrokuje poteškoće. Kao rezultat rješenja, možete dobiti jedan korijen jednadžbe, dva ili više, čak i beskonačan broj - ovisi o vrsti jednadžbi. Ima i onih koji nemaju korijene, zovu se neodlučivi.

primjeri:
1) 15x -20=10; x=2. Ovo je jedini korijen jednačine.
2) 7x - y=0. Jednačina ima beskonačan broj korijena, jer svaka varijabla može imati beskonačan broj vrijednosti.
3) x 2 \u003d - 16. Broj podignut na drugi stepen uvijek daje pozitivan rezultat, tako da je nemoguće pronaći korijen jednadžbe. Ovo je jedna od gore navedenih nerješivih jednačina.

Ispravnost rješenja se provjerava zamjenom pronađenih korijena umjesto slova i rješavanjem rezultirajućeg primjera. Ako identitet vrijedi, onda je rješenje ispravno.