Da biste napravili matematički model, potrebno vam je:

1. pažljivo analizirati stvarni predmet ili proces;
2. istaći njegove najznačajnije karakteristike i svojstva;
3. definisati varijable, tj. parametri čije vrijednosti utječu na glavne karakteristike i svojstva objekta;
4. opisuju zavisnost osnovnih svojstava objekta, procesa ili sistema od vrijednosti varijabli koristeći logičke i matematičke odnose (jednačine, jednakosti, nejednakosti, logičke i matematičke konstrukcije);
5. istaći unutrašnje veze objekta, procesa ili sistema koristeći ograničenja, jednačine, jednakosti, nejednakosti, logičke i matematičke konstrukcije;
6. odrediti vanjske odnose i opisati ih korištenjem ograničenja, jednačina, jednakosti, nejednakosti, logičkih i matematičkih konstrukcija.

Matematičko modeliranje, osim proučavanja objekta, procesa ili sistema i sastavljanja njihovog matematičkog opisa, uključuje i:

1. konstrukcija algoritma koji modelira ponašanje objekta, procesa ili sistema;
2. provjera adekvatnosti modela i objekta, procesa ili sistema na osnovu računskog i prirodnog eksperimenta;
3. prilagođavanje modela;
4. koristeći model.

Matematički opis procesa i sistema koji se proučavaju zavisi od:

1. prirodu realnog procesa ili sistema i sastavlja se na osnovu zakona fizike, hemije, mehanike, termodinamike, hidrodinamike, elektrotehnike, teorije plastičnosti, teorije elastičnosti itd.
2. potrebnu pouzdanost i tačnost proučavanja i proučavanja realnih procesa i sistema.

Izgradnja matematičkog modela obično počinje izgradnjom i analizom najjednostavnijeg, najgrubljeg matematičkog modela predmeta, procesa ili sistema koji se razmatra. U budućnosti, ako je potrebno, model se dorađuje, njegova korespondencija s objektom postaje potpunija.

Uzmimo jednostavan primjer. Morate odrediti površinu stola. Obično se za to mjere njegova dužina i širina, a zatim se dobiveni brojevi množe. Takav elementarni postupak zapravo znači sljedeće: stvarni objekt (ploha stola) zamjenjuje se apstraktnim matematičkim modelom – pravokutnikom. Dimenzije dobivene kao rezultat mjerenja dužine i širine površine stola pripisuju se pravokutniku, a površina takvog pravokutnika se približno uzima kao željena površina stola. Međutim, model pravougaonika stola je najjednostavniji, najgrublji model. Uz ozbiljniji pristup problemu, prije korištenja modela pravokutnika za određivanje površine tablice, ovaj model treba provjeriti. Provjere se mogu izvršiti na sljedeći način: izmjerite dužine suprotnih strana stola, kao i dužine njegovih dijagonala i uporedite ih međusobno. Ako su, uz traženi stepen tačnosti, dužine suprotnih strana i dužine dijagonala u paru jednake, tada se površina stola zaista može smatrati pravougaonikom. U suprotnom, model pravougaonika će morati biti odbačen i zamijenjen općim modelom četverougla. Uz veći zahtjev za preciznošću, možda će biti potrebno dodatno precizirati model, na primjer, da se uzme u obzir zaokruživanje uglova stola.

Uz pomoć ovog jednostavnog primjera pokazano je da matematički model nije jednoznačno određen istraživanim objektom, procesom ili sistem.

ILI (bit će potvrđeno sutra)

Načini rješavanja mat. modeli:

1, Izgradnja m. na osnovu zakona prirode (analitička metoda)

2. Formalni način uz pomoć statističkih. Obrada i rezultati mjerenja (statistički pristup)

3. Konstrukcija brojila na osnovu modela elemenata (složeni sistemi)

1, Analitički - koristite uz dovoljno proučavanja. Opšta pravilnost poznata. modeli.

2. eksperiment. U nedostatku informacija

3. Imitacija m. - istražuje svojstva predmeta sst. Generalno.

Primjer izgradnje matematičkog modela.

Matematički model je matematički prikaz stvarnosti.

Matematičko modeliranje je proces konstruisanja i proučavanja matematičkih modela.

Sve prirodne i društvene nauke koje koriste matematički aparat u suštini se bave matematičkim modeliranjem: zamenjuju objekat njegovim matematičkim modelom, a zatim ga proučavaju. Povezivanje matematičkog modela sa stvarnošću vrši se uz pomoć lanca hipoteza, idealizacija i pojednostavljenja. Uz pomoć matematičkih metoda, u pravilu se opisuje idealan objekt, izgrađen u fazi smislenog modeliranja.

Zašto su potrebni modeli?

Vrlo često, prilikom proučavanja objekta, nastaju poteškoće. Sam original ponekad nije dostupan, ili njegova upotreba nije preporučljiva, ili je uključivanje originala skupo. Svi ovi problemi se mogu riješiti uz pomoć simulacije. Model u određenom smislu može zamijeniti predmet koji se proučava.

Najjednostavniji primjeri modela

§ Fotografija se može nazvati modelom osobe. Da biste prepoznali osobu, dovoljno je vidjeti njegovu fotografiju.

§ Arhitekta je kreirao tlocrt novog stambenog prostora. Pokretom ruke može premjestiti višespratnicu iz jednog dijela u drugi. U stvarnosti, to ne bi bilo moguće.

Tipovi modela

Modeli se mogu podijeliti na materijal" i idealan. gornji primjeri su materijalni modeli. Idealni modeli često imaju ikonski oblik. Istovremeno, stvarni pojmovi zamjenjuju se nekim znakovima, koji se lako mogu fiksirati na papiru, u memoriji računala itd.

Matematičko modeliranje

Matematičko modeliranje spada u klasu modeliranja znakova. U isto vrijeme, modeli se mogu kreirati iz bilo kojeg matematičkog objekta: brojeva, funkcija, jednadžbi itd.

Izgradnja matematičkog modela

§ Postoji nekoliko faza konstruisanja matematičkog modela:

1. Razumijevanje zadatka, isticanje najvažnijih kvaliteta, svojstava, vrijednosti i parametara za nas.

2. Uvođenje notacije.

3. Izrada sistema ograničenja koja moraju zadovoljiti unesene vrijednosti.

4. Formulisanje i evidentiranje uslova koje željeno optimalno rešenje mora da zadovolji.

Proces modeliranja se ne završava sastavljanjem modela, već njime samo počinje. Nakon što su sastavili model, biraju metodu za pronalaženje odgovora, rješavaju problem. nakon što se nađe odgovor, uporedite ga sa stvarnošću. I moguće je da odgovor ne zadovoljava, u tom slučaju se model modificira ili čak bira potpuno drugačiji model.

Primjer matematičkog modela

Zadatak

Proizvodno udruženje, koje obuhvata dve fabrike nameštaja, treba da unapredi svoj mašinski park. Štaviše, prva fabrika nameštaja treba da zameni tri mašine, a druga sedam. Narudžbe se mogu izvršiti u dvije fabrike alatnih mašina. Prva fabrika može proizvesti najviše 6 mašina, a druga fabrika će prihvatiti narudžbu ako ih ima najmanje tri. Potrebno je odrediti način narudžbe.

Koncept modela i simulacije.

Model u širem smislu- to je svaka slika, analog mentalne ili ustaljene slike, opis, dijagram, crtež, mapa, itd. bilo kojeg volumena, procesa ili fenomena, koji se koristi kao njegova zamjena ili predstavnik. Sam predmet, proces ili pojava naziva se original ovog modela.

Modeliranje - ovo je proučavanje bilo kojeg objekta ili sistema objekata izgradnjom i proučavanjem njihovih modela. Ovo je upotreba modela za određivanje ili preciziranje karakteristika i racionalizaciju načina izgradnje novoizgrađenih objekata.

Bilo koja metoda naučnog istraživanja zasnovana je na ideji modeliranja, pri čemu se u teorijskim metodama koriste različite vrste znakova, apstraktni modeli, a u eksperimentalnim se koriste predmetni modeli.

U studiji se složeni realni fenomen zamjenjuje nekom pojednostavljenom kopijom ili shemom, ponekad takva kopija služi samo za pamćenje i prepoznavanje željenog fenomena pri sljedećem susretu. Ponekad konstruirana shema odražava neke bitne karakteristike, omogućava vam razumijevanje mehanizma pojave, omogućava predviđanje njegove promjene. Različiti modeli mogu odgovarati istom fenomenu.

Zadatak istraživača je da predvidi prirodu pojave i tok procesa.

Ponekad se dešava da je predmet dostupan, ali su eksperimenti s njim skupi ili dovode do ozbiljnih ekoloških posljedica. Znanje o ovakvim procesima stiče se uz pomoć modela.

Važna stvar je da sama priroda nauke uključuje proučavanje ne jednog specifičnog fenomena, već široke klase srodnih fenomena. To implicira potrebu da se formulišu neke opšte kategoričke izjave, koje se nazivaju zakoni. Naravno, kod takve formulacije mnogi detalji se zanemaruju. Da bi jasnije identificirali obrazac, oni namjerno idu na ugružavanje, idealizaciju, shematizaciju, odnosno proučavaju ne sam fenomen, već manje ili više točnu kopiju ili model. Svi zakoni su zakoni o modelima i stoga nije iznenađujuće što se s vremenom neke naučne teorije pokažu kao neupotrebljive. To ne dovodi do kolapsa nauke, jer je jedan model zamijenjen drugim. modernije.

Posebnu ulogu u nauci imaju matematički modeli, građevinski materijal i alati ovih modela – matematički koncepti. Oni su se akumulirali i poboljšali hiljadama godina. Moderna matematika pruža izuzetno moćna i univerzalna sredstva istraživanja. Gotovo svaki pojam u matematici, svaki matematički objekt, počevši od pojma broja, je matematički model. Prilikom konstruisanja matematičkog modela predmeta ili fenomena koji se proučava, izdvajaju se one njegove karakteristike, karakteristike i detalji koji, s jedne strane, sadrže manje ili više potpune informacije o objektu, as druge strane, omogućavaju matematičke formalizacija. Matematička formalizacija znači da se karakteristike i detalji objekta mogu povezati sa odgovarajućim adekvatnim matematičkim konceptima: brojevima, funkcijama, matricama itd. Tada se pronađene i pretpostavljene veze i odnosi u predmetu koji se proučava između njegovih pojedinih dijelova i komponenti mogu zapisati pomoću matematičkih odnosa: jednakosti, nejednakosti, jednačina. Rezultat je matematički opis procesa ili fenomena koji se proučava, odnosno njegov matematički model.

Proučavanje matematičkog modela uvijek je povezano s nekim pravilima djelovanja na objekte koji se proučavaju. Ova pravila odražavaju odnose između uzroka i posljedica.

Izgradnja matematičkog modela je centralna faza u proučavanju ili dizajnu bilo kojeg sistema. Cijela kasnija analiza objekta ovisi o kvaliteti modela. Izgradnja modela nije formalna procedura. To jako ovisi o istraživaču, njegovom iskustvu i ukusu, uvijek se oslanja na određeni eksperimentalni materijal. Model treba da bude dovoljno precizan, adekvatan i prikladan za upotrebu.

Matematičko modeliranje.

Klasifikacija matematičkih modela.

Matematički modeli mogu bitiodlučan i stohastički .

Deterministički model i - to su modeli u kojima se uspostavlja korespondencija jedan-na-jedan između varijabli koje opisuju objekt ili pojavu.

Ovaj pristup se zasniva na poznavanju mehanizma funkcionisanja objekata. Objekt koji se modelira često je složen i dešifriranje njegovog mehanizma može biti vrlo naporno i dugotrajno. U ovom slučaju se postupa na sljedeći način: eksperimenti se izvode na originalu, rezultati se obrađuju i, ne upuštajući se u mehanizam i teoriju modeliranog objekta, koristeći metode matematičke statistike i teorije vjerojatnosti, uspostavljaju odnose između varijable koje opisuju objekt. U ovom slučaju uzmitestohastički model . AT stohastički model, odnos između varijabli je slučajan, ponekad se dešava fundamentalno. Utjecaj ogromnog broja faktora, njihova kombinacija dovodi do slučajnog skupa varijabli koje opisuju objekt ili pojavu. Po prirodi modusa, model jestatistički i dinamičan.

Statističkimodeluključuje opis odnosa između glavnih varijabli simuliranog objekta u stabilnom stanju bez uzimanja u obzir promjene parametara tokom vremena.

AT dinamičanmodeliopisuje odnos između glavnih varijabli simuliranog objekta u prijelazu iz jednog načina rada u drugi.

Modeli su diskretno i kontinuirano, kao i mješovito tip. AT kontinuirano varijable uzimaju vrijednosti iz određenog intervala, udiskretnovarijable uzimaju izolovane vrijednosti.

Linearni modeli- sve funkcije i relacije koje opisuju model su linearno zavisne od varijabli inije linearnoinače.

Matematičko modeliranje.

Zahtjevi , predstavljeno modelima.

1. Svestranost- karakteriše kompletnost prikaza modelom proučavanih svojstava realnog objekta.

1. Adekvatnost - sposobnost odražavanja željenih svojstava objekta s greškom koja nije veća od navedene.
2. Preciznost - procjenjuje se stepenom podudarnosti vrijednosti karakteristika stvarnog objekta i vrijednosti ovih karakteristika dobivenih korištenjem modela.
3. Ekonomija - određuje se troškovima računarskih memorijskih resursa i vremena za njegovu implementaciju i rad.

Matematičko modeliranje.

Glavne faze modeliranja.

1. Izjava o problemu.

Utvrđivanje svrhe analize i načina za njeno postizanje i razvijanje zajedničkog pristupa problemu koji se proučava. U ovoj fazi potrebno je duboko razumijevanje suštine zadatka. Ponekad nije manje teško ispravno postaviti zadatak nego ga riješiti. Inscenacija nije formalan proces, nema općih pravila.

2. Proučavanje teorijskih osnova i prikupljanje informacija o objektu originala.

U ovoj fazi odabire se ili razvija odgovarajuća teorija. Ako nije prisutan, uspostavljaju se uzročne veze između varijabli koje opisuju objekt. Određeni su ulazni i izlazni podaci, napravljene su pojednostavljujuće pretpostavke.

3. Formalizacija.

Sastoji se od odabira sistema simbola i njihovog korištenja za zapisivanje odnosa između komponenti objekta u obliku matematičkih izraza. Uspostavljena je klasa zadataka kojoj se može pripisati rezultirajući matematički model objekta. Vrijednosti nekih parametara u ovoj fazi možda još nisu specificirane.

4. Izbor metode rješenja.

U ovoj fazi se postavljaju konačni parametri modela, uzimajući u obzir uslove za rad objekta. Za dobijeni matematički problem bira se metoda rješenja ili se razvija posebna metoda. Prilikom odabira metode uzimaju se u obzir znanje korisnika, njegove preferencije, kao i preferencije programera.

5. Implementacija modela.

Nakon razvoja algoritma, piše se program koji se debagira, testira i dobiva rješenje za željeni problem.

6. Analiza primljenih informacija.

Usporedi se primljeno i očekivano rješenje, kontroliše se greška modeliranja.

7. Provjera adekvatnosti stvarnog objekta.

Upoređuju se rezultati dobijeni modelombilo s dostupnim informacijama o objektu, ili se provodi eksperiment i njegovi rezultati se upoređuju sa izračunatim.

Proces modeliranja je iterativan. U slučaju nezadovoljavajućih rezultata faza 6. ili 7. vrši se povratak u jednu od ranih faza, što bi moglo dovesti do razvoja neuspješnog modela. Ova i sve naredne faze se rafiniraju, a takvo usavršavanje modela se dešava dok se ne dobiju prihvatljivi rezultati.

Matematički model je približan opis bilo koje klase pojava ili objekata stvarnog svijeta na jeziku matematike. Glavna svrha modeliranja je istraživanje ovih objekata i predviđanje rezultata budućih promatranja. Međutim, modeliranje je i metoda spoznaje okolnog svijeta, koja omogućava njegovu kontrolu.

Matematičko modeliranje i povezani kompjuterski eksperimenti su neophodni u slučajevima kada je eksperiment u punoj veličini nemoguć ili težak iz ovog ili onog razloga. Na primjer, nemoguće je postaviti eksperiment punog opsega u historiji kako bi se provjerilo “šta bi se dogodilo ako...” Nemoguće je provjeriti ispravnost ove ili one kosmološke teorije. U principu, moguće je, ali teško razumno, eksperimentirati sa širenjem neke vrste bolesti, poput kuge, ili izvesti nuklearnu eksploziju kako bi se proučile njene posljedice. Međutim, sve se to može uraditi na računaru, nakon što su prethodno izgrađeni matematički modeli proučavanih pojava.

1.1.2 2. Glavne faze matematičkog modeliranja

1) Izgradnja modela. U ovoj fazi se precizira neki "nematematički" objekat - prirodni fenomen, konstrukcija, ekonomski plan, proizvodni proces itd. U ovom slučaju, po pravilu, jasan opis situacije je težak. Prvo se identifikuju glavne karakteristike fenomena i odnos između njih na kvalitativnom nivou. Zatim se pronađene kvalitativne zavisnosti formulišu jezikom matematike, odnosno gradi se matematički model. Ovo je najteži dio modeliranja.

2) Rješavanje matematičkog problema do kojeg vodi model. U ovoj fazi se velika pažnja poklanja razvoju algoritama i numeričkih metoda za rješavanje problema na računaru, uz pomoć kojih se rezultat može pronaći sa potrebnom tačnošću iu prihvatljivom vremenu.

3) Interpretacija dobijenih posledica iz matematičkog modela.Posljedice izvedene iz modela na jeziku matematike tumače se jezikom prihvaćenim u ovoj oblasti.

4) Provjera adekvatnosti modela.U ovoj fazi se utvrđuje da li se rezultati eksperimenta slažu sa teorijskim posljedicama iz modela sa određenom preciznošću.

5) Modifikacija modela.U ovoj fazi model ili postaje složeniji kako bi bio adekvatniji stvarnosti, ili se pojednostavljuje kako bi se postiglo praktično prihvatljivo rješenje.

1.1.3 3. Klasifikacija modela

Modeli se mogu klasifikovati prema različitim kriterijumima. Na primjer, prema prirodi problema koji se rješavaju, modeli se mogu podijeliti na funkcionalne i strukturalne. U prvom slučaju, kvantitativno se izražavaju sve veličine koje karakteriziraju pojavu ili predmet. Istovremeno, neke od njih se smatraju nezavisnim varijablama, dok se druge smatraju funkcijama ovih veličina. Matematički model je obično sistem jednačina različitih tipova (diferencijalni, algebarski, itd.) koji uspostavljaju kvantitativne odnose između veličina koje se razmatraju. U drugom slučaju, model karakterizira strukturu složenog objekta, koji se sastoji od zasebnih dijelova, između kojih postoje određene veze. Obično se ovi odnosi ne mogu kvantificirati. Za izgradnju takvih modela zgodno je koristiti teoriju grafova. Graf je matematički objekat, koji je skup tačaka (vrhova) na ravni ili u prostoru, od kojih su neke povezane linijama (ivicama).

Prema prirodi početnih podataka i rezultata predviđanja, modeli se mogu podijeliti na determinističke i vjerovatno-statističke. Modeli prvog tipa daju definitivna, nedvosmislena predviđanja. Modeli drugog tipa zasnivaju se na statističkim informacijama, a predviđanja dobijena uz pomoć njih su vjerovatnoće prirode.

MATEMATIČKO MODELIRANJE I OPĆA KOMPJUTERIZACIJA ILI SIMULACIJSKI MODELI

Sada, kada se u zemlji odvija gotovo univerzalna kompjuterizacija, mogu se čuti izjave stručnjaka raznih struka: „Uvedemo kompjuter u našoj zemlji, onda će svi zadaci biti odmah riješeni“. Ovo gledište je potpuno pogrešno, sami kompjuteri ne mogu ništa bez matematičkih modela određenih procesa, a o univerzalnoj kompjuterizaciji se može samo sanjati.

U prilog navedenom pokušat ćemo opravdati potrebu za modeliranjem, uključujući i matematičko modeliranje, otkriti njegove prednosti u poznavanju i transformaciji vanjskog svijeta od strane čovjeka, identificirati postojeće nedostatke i preći ... na simulacijsko modeliranje, tj. modeliranje pomoću kompjutera. Ali sve je u redu.

Prije svega, odgovorimo na pitanje: šta je model?

Model je materijalni ili mentalno predstavljeni predmet koji u procesu spoznaje (proučavanja) zamjenjuje original, zadržavajući neka tipična svojstva koja su bitna za ovo proučavanje.

Dobro izgrađen model je pristupačniji za istraživanje nego pravi objekat. Primjerice, eksperimenti s ekonomijom zemlje u obrazovne svrhe su neprihvatljivi, ovdje se ne može bez modela.

Sumirajući rečeno, možemo odgovoriti na pitanje: čemu služe modeli? To

• razumiju kako objekt funkcionira (njegovu strukturu, svojstva, zakonitosti razvoja, interakciju sa vanjskim svijetom).
• naučiti upravljati objektom (procesom) i odrediti najbolje strategije
• predvideti posledice uticaja na objekat.

Šta je pozitivno u bilo kojem modelu? Omogućava vam da steknete nova saznanja o objektu, ali, nažalost, nije potpuna u jednom ili drugom stepenu.

Modelformulisan na jeziku matematike korišćenjem matematičkih metoda naziva se matematički model.

Polazna tačka za njegovu izgradnju obično je neki zadatak, na primjer, ekonomski. Široko rasprostranjena, kako deskriptivna tako i matematička optimizacija, koja karakteriše razne ekonomskim procesima i događaji kao što su:

• alokacija resursa
• racionalno sečenje
• transport
• konsolidacija preduzeća
• planiranje mreže.

Kako se gradi matematički model?

• Prvo se formuliše svrha i predmet studije.
• Drugo, istaknute su najvažnije karakteristike koje odgovaraju ovom cilju.
• Treće, verbalno se opisuju odnosi između elemenata modela.
• Nadalje, odnos je formaliziran.
• A proračun se vrši prema matematičkom modelu i analizi dobijenog rješenja.

Koristeći ovaj algoritam, možete riješiti bilo koji problem optimizacije, uključujući i višekriterijumski, tj. onaj u kojem se ne teži jednom, već nekoliko ciljeva, uključujući i kontradiktorne.

Uzmimo primjer. Teorija čekanja - problem čekanja. Morate uravnotežiti dva faktora - troškove održavanja servisnih uređaja i troškove zadržavanja u redu. Nakon što je izgrađen formalni opis modela, proračuni se vrše analitičkim i računskim metodama. Ako je model dobar, onda su odgovori pronađeni uz njegovu pomoć adekvatni sistemu modeliranja; ako je loš, onda se mora poboljšati i zamijeniti. Kriterijum adekvatnosti je praksa.

Optimizacijski modeli, uključujući i višekriterijumske, imaju zajedničku osobinu – poznato je da je cilj (ili više ciljeva) za postizanje koji se često mora nositi sa složenim sistemima, gdje se ne radi toliko o rješavanju problema optimizacije, već o istraživanju i predviđanju stanja. ovisno o odabranim strategijama kontrole. I tu smo suočeni sa poteškoćama u realizaciji prethodnog plana. One su sljedeće:

• složen sistem sadrži mnogo veza između elemenata
• na stvarni sistem utiču slučajni faktori, nemoguće ih je analitički uzeti u obzir
• mogućnost poređenja originala sa modelom postoji samo na početku i nakon primene matematičkog aparata, jer srednji rezultati možda nemaju analoge u stvarnom sistemu.

U vezi sa navedenim poteškoćama koje se javljaju prilikom proučavanja složenih sistema, praksa je zahtijevala fleksibilniji metod, a pojavila se - simulacijsko modeliranje "Simujacijsko modeliranje".

Obično se pod simulacijskim modelom podrazumijeva skup kompjuterskih programa koji opisuje funkcionisanje pojedinih blokova sistema i pravila interakcije između njih. Upotreba slučajnih varijabli čini neophodnim višekratno sprovođenje eksperimenata sa simulacionim sistemom (na računaru) i naknadnu statističku analizu dobijenih rezultata. Vrlo čest primjer upotrebe simulacijskih modela je rješenje problema čekanja MONTE CARLO metodom.

Dakle, rad sa simulacionim sistemom je eksperiment koji se izvodi na računaru. Koje su prednosti?

– Veća blizina realnom sistemu od matematičkih modela;

– Princip bloka omogućava verifikaciju svakog bloka prije nego što se uključi u cjelokupni sistem;

– Upotreba zavisnosti složenije prirode, koja nije opisana jednostavnim matematičkim odnosima.

Navedene prednosti određuju nedostatke

– izgradnja simulacionog modela je duža, teža i skuplja;

– za rad sa simulacionim sistemom morate imati računar koji odgovara času;

– interakcija između korisnika i simulacionog modela (interfejsa) ne treba da bude previše komplikovana, pogodna i dobro poznata;

- konstrukcija simulacionog modela zahtijeva dublje proučavanje stvarnog procesa nego matematičko modeliranje.

Postavlja se pitanje: može li simulacijsko modeliranje zamijeniti metode optimizacije? Ne, ali ih zgodno nadopunjuje. Simulacijski model je program koji implementira neki algoritam, za optimizaciju kontrole kojim se prvo rješava problem optimizacije.

Dakle, ni kompjuter, ni matematički model, ni algoritam za zasebno proučavanje ne mogu riješiti prilično komplikovan problem. Ali zajedno predstavljaju snagu koja vam omogućava da upoznate svijet oko sebe, upravljate njime u interesu čovjeka.

1.2 Klasifikacija modela

1.2.1 Klasifikacija uzimajući u obzir faktor vremena i područje upotrebe (Makarova N.A.) Statički model - to je kao jednokratna informacija o objektu (rezultat jedne ankete) Dynamic model-dozvoljava vidjeti promjene na objektu tokom vremena (kartica u ambulanti) Modeli se mogu klasifikovati prema kojoj oblasti znanja pripadaju(biološki, istorijski, ekološki itd.) Vratite se na početak

1.2.2 Klasifikacija prema oblasti upotrebe (Makarova N.A.) Obuka- vizuelno pomagala, treneri , oh mlatiti programe Iskusni modeli-smanjeni kopije (auto u aerotunelu) Naučno-tehnički sinhrofazotron, stalak za ispitivanje elektronske opreme Igra- ekonomski, sportske, poslovne igre simulacija- ne jednostavno odražavaju stvarnost, ali je oponašaju (droge se testiraju na miševima, eksperimenti se izvode u školama itd. Ova metoda modeliranja se zove pokušaja i greške Vratite se na početak

1.2.3 Klasifikacija prema načinu prezentacije Makarova N.A.) Materijal modeli- inače može se nazvati subjektom. Oni opažaju geometrijska i fizička svojstva originala i uvijek imaju pravo utjelovljenje. Informativno modeli-nije dozvoljeno dodirnuti ili videti. Oni su zasnovani na informacijama. .Informacije model je skup informacija koji karakterišu svojstva i stanja objekta, procesa, pojave, kao i odnos sa vanjskim svijetom. Verbalni model - informacioni model u mentalnom ili razgovornom obliku. Ikona model-informativni model izražen znakovima , tj.. bilo kojim formalnim jezikom. Model kompjutera - m Model implementiran uz pomoć softverskog okruženja.

1.2.4 Klasifikacija modela data u knjizi "Zemlja informatike" (Gein A.G.)) „...evo naizgled jednostavnog zadatka: koliko će vremena trebati da se pređe pustinju Karakum? Odgovori, naravno zavisi od načina putovanja. Ako a putuj dalje kamile, onda će jedan termin biti potreban, drugi ako idete autom, treći ako letite avionom. I što je najvažnije, za planiranje putovanja potrebni su različiti modeli. Za prvi slučaj, traženi model se može naći u memoarima poznatih istraživača pustinje: uostalom, ne može se bez informacija o oazama i stazama kamila. U drugom slučaju, nezamjenjivi podaci sadržani u atlasu puteva. U trećem - možete koristiti red letenja. Ova tri modela se razlikuju – memoari, atlas i satnica i priroda prezentacije informacija. U prvom slučaju, model je predstavljen verbalnim opisom informacije (opisni model), u drugom - kao fotografija iz prirode (prirodni model), u trećem - tabela sa simbolima: vrijeme polaska i dolaska, dan u sedmici, cijena karte (tzv. model znaka) Međutim, ova podjela je vrlo uvjetna - karte i dijagrami (elementi modela u punoj mjeri) mogu se naći u memoarima, postoje simboli na kartama (elementi modela znaka), dekodiranje simbola (elementi deskriptivnog modela). ) dat je u rasporedu. Dakle, ova klasifikacija modela... po našem mišljenju je neproduktivna" Po mom mišljenju, ovaj fragment demonstrira deskriptivni (divan jezik i stil prezentacije) zajednički svim Geinovim knjigama i, takoreći, sokratovski stil poučavanja (Svi misle da je to tako. U potpunosti se slažem s tobom, ali ako dobro pogledaš, onda...). U ovakvim knjigama je prilično teško pronaći jasan sistem definicija (nije namjera autora). U udžbeniku koji je uredio N.A. Makarova pokazuje drugačiji pristup - definicije pojmova su jasno razdvojene i donekle statične.

1.2.5 Klasifikacija modela data u priručniku A.I. Bočkina Postoji mnogo načina za klasifikaciju .Predstavljamo samo neke od poznatijih fondacija i znaci: diskretnost i kontinuitet, matrica i skalarni modeli, statički i dinamički modeli, analitički i informacioni modeli, predmetni i figurativno-znakovi modeli, veliki i nerazmjerni... Svaki znak daje određenu znanje o svojstvima modela i modelirane stvarnosti. Znak može poslužiti kao nagoveštaj o načinu na koji je simulacija izvedena ili treba da se uradi. Diskretnost i kontinuitet diskretnost - karakteristična karakteristika kompjuterskih modela .Nakon svega kompjuter može biti u konačnom, iako veoma velikom broju stanja. Stoga, čak i ako je objekt neprekidan (vrijeme), u modelu će se mijenjati u skokovima. Moglo bi se razmotriti kontinuitet znak modela ne-kompjuterskog tipa. Slučajnost i determinizam . neizvjesnost, nezgoda u početku suprotstavljen kompjuterskom svijetu: algoritam koji se ponovo pokreće mora se ponoviti i dati iste rezultate. Ali za simulaciju slučajnih procesa koriste se senzori pseudoslučajnih brojeva. Uvođenje slučajnosti u determinističke probleme dovodi do moćnih i zanimljivih modela (Izračunavanje površine slučajnog bacanja). Matrix - skalar. Dostupnost parametara matrica model ukazuje na njegovu veću složenost i, eventualno, tačnost u odnosu na skalar. Na primjer, ako ne izdvojimo sve starosne grupe stanovništva zemlje, s obzirom na njenu promjenu u cjelini, dobijamo skalarni model (npr. Malthusov model), ako izdvojimo matricu (spol i starost) model. Upravo je matrični model omogućio da se objasne fluktuacije u natalitetu nakon rata. statički dinamizam. Ova svojstva modela obično su unaprijed određena svojstvima stvarnog objekta. Ovdje nema slobode izbora. Samo statički model može biti korak ka dinamičan, ili se neke od varijabli modela za sada mogu smatrati nepromijenjenim. Na primjer, satelit se kreće oko Zemlje, na njegovo kretanje utiče Mjesec. Ako smatramo da je Mjesec stacionaran tokom revolucije satelita, dobićemo jednostavniji model. Analitički modeli. Opis procesa analitički, formule i jednačine. Ali kada pokušavate da napravite graf, zgodnije je imati tabele vrednosti funkcija ​​​​i argumenata. simulacijski modeli. simulacija modeli koji su se pojavili davno u obliku velikih kopija brodova, mostova itd. su se pojavili davno, ali u vezi sa kompjuterima smatraju se nedavno. Znajući kako je povezan modelirati elemente analitički i logički, lakše je ne rješavati sistem određenih relacija i jednačina, već preslikati stvarni sistem u memoriju računala, uzimajući u obzir veze između memorijskih elemenata. Informacijski modeli. Informativno Uobičajeno je da se modeli suprotstavljaju matematičkim, tačnije algoritamskim. Ovdje je važan omjer podaci/algoritam. Ako ima više podataka ili su važniji, imamo informacioni model, inače - matematički. Predmetni modeli. Ovo je prvenstveno dječji model - igračka. Figurativno-znakovi modeli. To je prvenstveno model u ljudskom umu: figurativno, ako prevladavaju grafičke slike, i iconic, ako ima više od riječi i/ili brojeva. Modeli sa figurativnim znakovima su izgrađeni na računaru. modeli u veličini. To velikih razmera modeli su modeli subjekta ili figurativni modeli koji ponavljaju oblik objekta (karte).

Prema udžbeniku Sovetova i Jakovljeva: "model (lat. modulus - mjera) je objekt-zamjena originalnog objekta, koji omogućava proučavanje nekih svojstava originala." (str. 6) “Zamjena jednog objekta drugim kako bi se uz pomoć modela objekta dobile informacije o najvažnijim svojstvima originalnog objekta naziva se modeliranje.” (str. 6) „Pod matematičkim modeliranjem shvatićemo proces uspostavljanja korespondencije datom realnom objektu nekog matematičkog objekta, koji se naziva matematički model, i proučavanje ovog modela, koji omogućava dobijanje karakteristika stvarnog objekta koji se razmatra . Vrsta matematičkog modela zavisi kako od prirode stvarnog objekta tako i od zadataka proučavanja objekta i od potrebne pouzdanosti i tačnosti rešavanja ovog problema.

Konačno, najsažetija definicija matematičkog modela: „Jednačina koja izražava ideju».

Klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela

Formalna klasifikacija modela zasniva se na klasifikaciji korištenih matematičkih alata. Često izgrađen u obliku dihotomija. Na primjer, jedan od popularnih skupova dihotomija je:

i tako dalje. Svaki konstruisani model je linearan ili nelinearan, deterministički ili stohastički,... Naravno, mogući su i mešoviti tipovi: koncentrisani u jednom pogledu (u smislu parametara), distribuirani modeli u drugom itd.

Klasifikacija prema načinu na koji je objekat predstavljen

Uz formalnu klasifikaciju, modeli se razlikuju po načinu na koji predstavljaju objekt:

• Strukturni ili funkcionalni modeli

Strukturni modeli predstavljaju objekat kao sistem sa sopstvenim uređajem i mehanizmom funkcionisanja. funkcionalni modeli ne koriste takve reprezentacije i odražavaju samo spoljašnje percipirano ponašanje (funkcionisanje) objekta. U svom ekstremnom izrazu nazivaju ih i modelima "crne kutije". Mogući su i kombinovani tipovi modela, koji se ponekad nazivaju "modeli" siva kutija».

Sadržajni i formalni modeli

Gotovo svi autori koji opisuju proces matematičkog modeliranja ukazuju da se prvo gradi posebna idealna konstrukcija, tj. model sadržaja. Ovdje nema utvrđene terminologije, a drugi autori ovaj objekt nazivaju idealnim konceptualni model , spekulativni model ili premodel. U ovom slučaju se zove konačna matematička konstrukcija formalni model ili samo matematički model dobijen kao rezultat formalizacije ovog modela sadržaja (predmodela). Smisleni model se može izgraditi korištenjem skupa gotovih idealizacija, kao u mehanici, gdje idealne opruge, kruta tijela, idealna klatna, elastični mediji, itd. daju gotove strukturne elemente za smisleno modeliranje. Međutim, u oblastima znanja u kojima ne postoje potpuno završene formalizovane teorije (najveća oštrica fizike, biologije, ekonomije, sociologije, psihologije i većine drugih oblasti), stvaranje smislenih modela je dramatično složenije.

Smislena klasifikacija modela

Nijedna hipoteza u nauci ne može se dokazati jednom za svagda. Richard Feynman je to vrlo jasno rekao:

“Uvijek imamo mogućnost da opovrgnemo teoriju, ali imajte na umu da nikada ne možemo dokazati da je tačna. Pretpostavimo da ste postavili uspješnu hipotezu, izračunali kuda ona vodi i ustanovili da su sve njene posljedice eksperimentalno potvrđene. Da li to znači da je vaša teorija tačna? Ne, to jednostavno znači da to niste uspjeli opovrgnuti.

Ako se izgradi model prvog tipa, to znači da je on privremeno prepoznat kao istinit i da se može koncentrirati na druge probleme. Međutim, to ne može biti poenta istraživanja, već samo privremena pauza: status modela prvog tipa može biti samo privremen.

Tip 2: Fenomenološki model (ponašati se kao da…)

Fenomenološki model sadrži mehanizam za opisivanje fenomena. Međutim, ovaj mehanizam nije dovoljno uvjerljiv, ne može se dovoljno potvrditi dostupnim podacima ili se ne slaže dobro sa dostupnim teorijama i akumuliranim znanjem o objektu. Stoga fenomenološki modeli imaju status privremenih rješenja. Vjeruje se da je odgovor još uvijek nepoznat i da je potrebno nastaviti potragu za "istinskim mehanizmima". Peierls odnosi, na primjer, kalorijski model i kvarkov model elementarnih čestica na drugi tip.

Uloga modela u istraživanju može se vremenom mijenjati, može se dogoditi da novi podaci i teorije potvrde fenomenološke modele i da se promovišu u status hipoteze. Isto tako, nova znanja mogu postupno doći u sukob sa modelima-hipotezama prvog tipa, a mogu se prenijeti na drugi. Dakle, model kvarka postepeno prelazi u kategoriju hipoteza; atomizam u fizici je nastao kao privremeno rešenje, ali je tokom istorije prešao u prvi tip. Ali eterski modeli su prešli iz tipa 1 u tip 2, i sada su izvan nauke.

Ideja pojednostavljivanja je vrlo popularna pri izgradnji modela. Ali pojednostavljenje je drugačije. Peierls razlikuje tri vrste pojednostavljenja u modeliranju.

Tip 3: Aproksimacija (nešto se smatra veoma velikim ili veoma malim)

Ako je moguće konstruisati jednačine koje opisuju sistem koji se proučava, to ne znači da se one mogu rešiti čak i uz pomoć računara. Uobičajena tehnika u ovom slučaju je korištenje aproksimacija (modeli tipa 3). Među njima modeli linearnog odziva. Jednačine se zamjenjuju linearnim. Standardni primjer je Ohmov zakon.

A evo i tipa 8, koji se široko koristi u matematičkim modelima bioloških sistema.

Tip 8: Demonstracija mogućnosti (glavna stvar je pokazati unutrašnju konzistentnost mogućnosti)

Ovo su također misaoni eksperimenti. sa imaginarnim entitetima koji to pokazuju navodni fenomen u skladu sa osnovnim principima i interno konzistentan. To je glavna razlika u odnosu na modele tipa 7, koji otkrivaju skrivene kontradikcije.

Jedan od najpoznatijih ovih eksperimenata je geometrija Lobačevskog (Lobačevski ju je nazvao "imaginarna geometrija"). Drugi primjer je masovna proizvodnja formalno kinetičkih modela hemijskih i bioloških oscilacija, autotalasa, itd. Paradoks Einstein-Podolsky-Rosen je zamišljen kao model tipa 7 kako bi se demonstrirala nekonzistentnost kvantne mehanike. Na potpuno neplanski način, na kraju se pretvorio u model tipa 8 – demonstraciju mogućnosti kvantne teleportacije informacija.

Primjer

Razmotrimo mehanički sistem koji se sastoji od opruge pričvršćene na jednom kraju i tereta mase, pričvršćenog na slobodni kraj opruge. Pretpostavit ćemo da se opterećenje može kretati samo u smjeru ose opruge (na primjer, kretanje se događa duž šipke). Hajde da napravimo matematički model ovog sistema. Stanje sistema ćemo opisati rastojanjem od centra opterećenja do njegovog ravnotežnog položaja. Opišimo interakciju opruge i opterećenja pomoću Hookeov zakon() nakon čega koristimo drugi Newtonov zakon da ga izrazimo u obliku diferencijalne jednadžbe:

gdje znači drugi izvod od s obzirom na vrijeme: .

Rezultirajuća jednačina opisuje matematički model razmatranog fizičkog sistema. Ovaj obrazac se naziva "harmonički oscilator".

Prema formalnoj klasifikaciji, ovaj model je linearan, deterministički, dinamičan, koncentrisan, kontinuiran. U procesu njegove izgradnje napravili smo mnoge pretpostavke (o odsustvu vanjskih sila, odsustvu trenja, malenosti odstupanja, itd.), koje u stvarnosti možda neće biti ispunjene.

U odnosu na stvarnost, najčešće se radi o modelu tipa 4. pojednostavljenje(„izostavljamo neke detalje radi jasnoće“), budući da su neke bitne univerzalne karakteristike (na primjer, disipacija) izostavljene. U nekoj aproksimaciji (recimo, dok je odstupanje opterećenja od ravnoteže malo, sa malim trenjem, ne predugo i podložan određenim drugim uslovima), takav model prilično dobro opisuje stvarni mehanički sistem, budući da su odbačeni faktori imaju zanemariv uticaj na njegovo ponašanje. Međutim, model se može poboljšati uzimajući u obzir neke od ovih faktora. To će dovesti do novog modela, sa širim (iako opet ograničenim) opsegom.

Međutim, kada se model usavrši, složenost njegovog matematičkog proučavanja može se značajno povećati i učiniti model praktično beskorisnim. Često vam jednostavniji model omogućava bolje i dublje istraživanje stvarnog sistema nego složeniji (i, formalno, „ispravniji“) model.

Ako model harmonijskog oscilatora primenimo na objekte koji su daleko od fizike, njegov značajni status može biti drugačiji. Na primjer, kada se ovaj model primjenjuje na biološke populacije, najvjerovatnije ga treba pripisati tipu 6 analogija(„Uzmimo u obzir samo neke karakteristike“).

Tvrdi i mekani modeli

Harmonski oscilator je primjer takozvanog "tvrdog" modela. Dobija se kao rezultat snažne idealizacije realnog fizičkog sistema. Da bismo riješili pitanje njegove primjenjivosti, potrebno je razumjeti koliko su značajni faktori koje smo zanemarili. Drugim riječima, potrebno je istražiti "meki" model, koji se dobija malom perturbacijom "tvrdog". Može se dati, na primjer, sljedećom jednadžbom:

Ovdje - neka funkcija, koja može uzeti u obzir silu trenja ili ovisnost koeficijenta krutosti opruge o stupnju njenog istezanja - neki mali parametar. Eksplicitni oblik funkcije nas trenutno ne zanima. Ako dokažemo da se ponašanje mekog modela suštinski ne razlikuje od ponašanja tvrdog modela (bez obzira na eksplicitni oblik remetalnih faktora, ako su dovoljno mali), problem će se svesti na proučavanje tvrdog modela. Inače će primjena rezultata dobivenih u proučavanju krutog modela zahtijevati dodatna istraživanja. Na primjer, rješenje jednadžbe harmonijskog oscilatora su funkcije oblika , odnosno oscilacije sa konstantnom amplitudom. Da li iz ovoga slijedi da će pravi oscilator oscilirati neograničeno s konstantnom amplitudom? Ne, jer uzimajući u obzir sistem sa proizvoljno malim trenjem (uvek prisutno u realnom sistemu), dobijamo prigušene oscilacije. Ponašanje sistema se kvalitativno promijenilo.

Ako sistem zadrži svoje kvalitativno ponašanje pod malom perturbacijom, kaže se da je strukturno stabilan. Harmonski oscilator je primjer strukturno nestabilnog (nehrapavog) sistema. Međutim, ovaj model se može koristiti za proučavanje procesa u ograničenim vremenskim intervalima.

Univerzalnost modela

Najvažniji matematički modeli obično imaju važno svojstvo univerzalnost: fundamentalno različite stvarne pojave mogu se opisati istim matematičkim modelom. Na primjer, harmonijski oscilator opisuje ne samo ponašanje opterećenja na oprugu, već i druge oscilatorne procese, često potpuno drugačije prirode: male oscilacije klatna, fluktuacije nivoa tekućine u posudi u obliku oblika ili promjena jačine struje u oscilatornom kolu. Dakle, proučavajući jedan matematički model, proučavamo odjednom čitavu klasu fenomena opisanih njime. Upravo je ovaj izomorfizam zakona izraženih matematičkim modelima u različitim segmentima naučnog znanja doveo Ludwiga von Bertalanffyja da stvori "Opću teoriju sistema".

Direktni i inverzni problemi matematičkog modeliranja

Mnogo je problema povezanih s matematičkim modeliranjem. Prvo, potrebno je osmisliti osnovnu shemu objekta koji se modelira, reproducirati ga u okviru idealizacije ove nauke. Dakle, vagon se pretvara u sistem ploča i složenijih tijela napravljenih od različitih materijala, svaki materijal je specificiran kao njegova standardna mehanička idealizacija (gustina, moduli elastičnosti, standardne karakteristike čvrstoće), nakon čega se sastavljaju jednačine, a neki detalji se odbacuju. kao beznačajan na putu., vrše se proračuni, upoređuju se sa mjerenjima, model se dorađuje i tako dalje. Međutim, za razvoj tehnologija matematičkog modeliranja, korisno je rastaviti ovaj proces na njegove glavne sastavne elemente.

Tradicionalno, postoje dvije glavne klase problema povezanih s matematičkim modelima: direktni i inverzni.

Direktan problem: struktura modela i svi njegovi parametri se smatraju poznatim, glavni zadatak je proučavanje modela kako bi se izvuklo korisno znanje o objektu. Koje statičko opterećenje most može izdržati? Kako će reagovati na dinamičko opterećenje (na primjer, na marš čete vojnika, ili na prolazak voza različitim brzinama), kako će avion savladati zvučnu barijeru, hoće li se raspasti od lepršanja - ovo su tipični primjeri direktnog zadatka. Postavljanje ispravnog direktnog problema (postavljanje ispravnog pitanja) zahtijeva posebnu vještinu. Ako se ne postave prava pitanja, most se može srušiti, čak i ako je napravljen dobar model za njegovo ponašanje. Tako se 1879. u Velikoj Britaniji srušio metalni most preko rijeke Tey, čiji su projektanti izgradili model mosta, izračunali ga za 20-struku granicu sigurnosti za nosivost, ali su zaboravili na vjetrove koji stalno duvaju. ta mjesta. I nakon godinu i po dana je propao.

U najjednostavnijem slučaju (jedna oscilatorna jednadžba, na primjer), direktni problem je vrlo jednostavan i svodi se na eksplicitno rješenje ove jednačine.

Inverzni problem: poznato je mnogo mogućih modela, potrebno je odabrati određeni model na osnovu dodatnih podataka o objektu. Najčešće je struktura modela poznata i potrebno je odrediti neke nepoznate parametre. Dodatne informacije mogu se sastojati u dodatnim empirijskim podacima, ili u zahtjevima za objekt ( projektantski zadatak). Dodatni podaci mogu doći bez obzira na proces rješavanja inverznog problema ( pasivno posmatranje) ili biti rezultat eksperimenta posebno planiranog tokom rješenja ( aktivni nadzor).

Jedan od prvih primjera virtuoznog rješenja inverznog problema uz što potpunije korištenje dostupnih podataka bila je metoda koju je konstruirao I. Newton za rekonstrukciju sila trenja iz uočenih prigušenih oscilacija.

Drugi primjer je matematička statistika. Zadatak ove nauke je razvoj metoda za snimanje, opisivanje i analizu opservacionih i eksperimentalnih podataka u cilju izgradnje verovatnosnih modela masovnih nasumičnih pojava. One. skup mogućih modela je ograničen vjerojatnosnim modelima. U specifičnim problemima, skup modela je ograničeniji.

Sistemi kompjuterske simulacije

Za podršku matematičkom modeliranju razvijeni su kompjuterski matematički sistemi, na primjer, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, itd. Oni vam omogućavaju da kreirate formalne i blok modele jednostavnih i složenih procesa i uređaja i lako mijenjate parametre modela tokom simulacija. Block Models predstavljeni su blokovima (najčešće grafičkim), čiji su skup i veza specificirani dijagramom modela.

Dodatni primjeri

Malthusov model

Stopa rasta je proporcionalna trenutnoj veličini populacije. Opisuje se diferencijalnom jednadžbom

gdje je određeni parametar određen razlikom između nataliteta i stope smrtnosti. Rješenje ove jednadžbe je eksponencijalna funkcija. Ako stopa nataliteta premašuje stopu smrtnosti (), veličina populacije se povećava neograničeno i vrlo brzo. Jasno je da se to u stvarnosti ne može dogoditi zbog ograničenih resursa. Kada se dostigne određena kritična veličina populacije, model prestaje da bude adekvatan, jer ne uzima u obzir ograničene resurse. Preciznost Malthusovog modela može biti logistički model, koji je opisan Verhulstovom diferencijalnom jednadžbom

gdje je "ravnotežna" veličina populacije, pri kojoj je stopa nataliteta tačno kompenzirana stopom smrtnosti. Veličina populacije u takvom modelu teži ravnotežnoj vrijednosti i ovo ponašanje je strukturno stabilno.

sistem grabežljivac-plijen

Recimo da na određenom području žive dvije vrste životinja: zečevi (jedu biljke) i lisice (jedu zečeve). Neka je broj zečeva, broj lisica. Koristeći Malthusov model sa potrebnim korekcijama, uzimajući u obzir ishranu zečeva lisicama, dolazimo do sledećeg sistema koji nosi naziv modeli sa tacnama - Volterra:

Ovaj sistem ima ravnotežno stanje u kojem je broj zečeva i lisica konstantan. Odstupanje od ovog stanja dovodi do fluktuacija u broju zečeva i lisica, slično fluktuacijama u harmonijskom oscilatoru. Kao iu slučaju harmonijskog oscilatora, ovo ponašanje nije strukturno stabilno: mala promjena u modelu (na primjer, uzimajući u obzir ograničene resurse potrebne zečevima) može dovesti do kvalitativne promjene ponašanja. Na primjer, stanje ravnoteže može postati stabilno, a fluktuacije stanovništva će nestati. Moguća je i suprotna situacija, kada će svako malo odstupanje od ravnotežnog položaja dovesti do katastrofalnih posljedica, sve do potpunog izumiranja jedne od vrsta. Na pitanje koji se od ovih scenarija ostvaruje, Volterra-Lotka model ne daje odgovor: ovdje su potrebna dodatna istraživanja.

Bilješke

1. "Matematički prikaz stvarnosti" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., O filozofskim pitanjima kibernetičkog modeliranja. M., Znanje, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistema: Proc. za univerzitete - 3. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mihajlov A. P. Matematičko modeliranje. Ideje. Metode. Primjeri. - 2. izdanje, ispravljeno. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izd., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A.G. Modeliranje tehnoloških procesa: udžbenik / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostyanov. - M.: Laka i prehrambena industrija, 1984. - 344 str.
7. Vikirječnik: matematički modeli
8. CliffsNotes.com. Glosar nauke o Zemlji. 20. septembar 2010
9. Model redukcije i pristupi grubog zrnatosti za fenomene više razmjera, Springer, Complexity serija, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 str. ISBN 3-540-35885-4
10. “Teorija se smatra linearnom ili nelinearnom, u zavisnosti od toga koji – linearni ili nelinearni – matematički aparat, koje – linearne ili nelinearne – matematičke modele koristi. ... ne poričući ovo drugo. Moderni fizičar, kada bi slučajno redefinirao tako važan entitet kao što je nelinearnost, najvjerovatnije bi postupio drugačije, i, preferirajući nelinearnost kao važniju i uobičajeniju od dvije suprotnosti, definisao bi linearnost kao "ne-ne- linearnost". Danilov Yu. A., Predavanja o nelinearnoj dinamici. Elementarni uvod. Sinergetika: od prošlosti do serije budućnosti. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 str. ISBN 5-484-00183-8
11. „Dinamički sistemi modelovani konačnim brojem običnih diferencijalnih jednačina nazivaju se paušalnim ili tačkastim sistemima. Oni su opisani korištenjem konačno-dimenzionalnog faznog prostora i karakterizirani su konačnim brojem stupnjeva slobode. Jedan te isti sistem pod različitim uslovima može se smatrati ili koncentrisanim ili distribuiranim. Matematički modeli distribuiranih sistema su parcijalne diferencijalne jednačine, integralne jednačine ili obične jednačine kašnjenja. Broj stepeni slobode distribuiranog sistema je beskonačan, a za određivanje njegovog stanja potreban je beskonačan broj podataka. Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, br. 11, str. 77-84.
12. “U zavisnosti od prirode proučavanih procesa u sistemu S, sve vrste modeliranja mogu se podijeliti na determinističko i stohastičko, statičko i dinamičko, diskretno, kontinuirano i diskretno-kontinuirano. Determinističko modeliranje prikazuje determinističke procese, odnosno procese u kojima se pretpostavlja odsustvo bilo kakvih slučajnih uticaja; stohastičko modeliranje prikazuje probabilističke procese i događaje. … Statičko modeliranje se koristi za opisivanje ponašanja objekta u bilo kojem trenutku, dok dinamičko modeliranje odražava ponašanje objekta tokom vremena. Diskretno modeliranje služi za opisivanje procesa za koje se pretpostavlja da su diskretni, odnosno kontinuirano modeliranje vam omogućava da reflektujete kontinuirane procese u sistemima, a diskretno-kontinuirano modeliranje se koristi za slučajeve u kojima želite da istaknete prisustvo i diskretnih i kontinuiranih procesa. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
13. Obično matematički model odražava strukturu (uređenje) objekta koji se modelira, svojstva i međusobne veze komponenti ovog objekta koje su bitne za potrebe proučavanja; takav model se naziva strukturnim. Ako model odražava samo kako objekt funkcionira – na primjer, kako reagira na vanjske utjecaje – onda se naziva funkcionalnom ili, figurativno, crnom kutijom. Mogući su i kombinovani modeli. Myshkis A. D. ISBN 978-5-484-00953-4
14. „Očigledna, ali najvažnija početna faza izgradnje ili odabira matematičkog modela je da se što jasnije o objektu koji se modelira i da se na osnovu neformalnih diskusija usavrši njegov sadržajni model. U ovoj fazi ne treba štedjeti vrijeme i napore, od toga umnogome ovisi uspjeh cjelokupne studije. Više puta se dešavalo da se značajan rad utrošen na rješavanje matematičkog problema pokazao nedjelotvornim ili čak uzaludan zbog nedovoljne pažnje ovoj strani stvari. Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izd., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, str. 35.
15. « Opis konceptualnog modela sistema. U ovoj podfazi izgradnje modela sistema: a) konceptualni model M se opisuje apstraktnim terminima i konceptima; b) opis modela je dat koristeći tipične matematičke šeme; c) hipoteze i pretpostavke su konačno prihvaćene; d) izbor postupka za aproksimaciju stvarnih procesa prilikom izgradnje modela je utemeljen. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistema: Proc. za univerzitete - 3. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2, str. 93.
16. Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Primijenjena matematika: Predmet, logika, karakteristike pristupa. Sa primjerima iz mehanike: Udžbenik. - 3. izd., Rev. i dodatne - M.: URSS, 2006. - 376 str. ISBN 5-484-00163-3, Poglavlje 2.

Vrste matematičkih modela

U zavisnosti od toga kojim se sredstvima, pod kojim uslovima i u odnosu na koje objekte spoznaje ostvaruje sposobnost modela da odražavaju stvarnost, nastaje njihova velika raznolikost, a sa njom i klasifikacije. Uopštavanjem postojećih klasifikacija izdvajamo osnovne modele prema primenjenom matematičkom aparatu, na osnovu kojih se razvijaju posebni modeli (slika 8.1).

Slika 8.1 – Formalna klasifikacija modela

Matematički modeli prikazuju proučavane objekte (procese, sisteme) u obliku eksplicitnih funkcionalnih odnosa: algebarskih jednakosti i nejednakosti, integrala i diferencijala, konačne razlike i drugih matematičkih izraza (zakon raspodjele slučajne varijable, regresioni modeli itd.) , kao i matematička logika odnosa.

U zavisnosti od dve osnovne karakteristike izgradnje matematičkog modela – vrste opisa uzročno-posledičnih veza i njihovih promena tokom vremena – postoje deterministički i stohastički, statički i dinamički modeli (slika 8.2).

Svrha dijagrama prikazanog na slici je da prikaže sljedeće karakteristike:

1) matematički modeli mogu biti i deterministički i stohastički;

2) deterministički i stohastički modeli mogu biti i statični i dinamički.

Matematički model se zove deterministički (deterministički), ako su svi njegovi parametri i varijable jednoznačno određene vrijednosti, a ispunjen je i uvjet potpune sigurnosti informacija. Inače, u uslovima informacijske nesigurnosti, kada su parametri i varijable modela slučajne varijable, model se naziva stohastički (vjerovatni).

Slika 8.2 - Klase matematičkih modela

Model se zove dinamičan ako se barem jedna varijabla mijenja tokom vremenskih perioda, i statički ako se prihvati hipoteza da se varijable ne mijenjaju tokom vremena.

U najjednostavnijem slučaju balans modeli djeluju u obliku jednadžbe bilansa, gdje se zbir svih primitaka nalazi na lijevoj strani, a strana rashoda je također u obliku zbira na desnoj strani. Na primjer, u ovom obliku je predstavljen godišnji budžet organizacije.

Na osnovu statističkih podataka mogu se izgraditi ne samo balansni, već i korelaciono-regresijski modeli.

Ako funkcija Y zavisi ne samo od varijabli x 1 , x 2 , ... x n , već i od drugih faktora, odnos između Y i x 1 , x 2 , ... x n je netačan ili korelacioni, za razliku od tačan ili funkcionalni odnos. Korelacija, na primjer, u većini slučajeva su uočene veze između izlaznih parametara OPS-a i faktora njegovog unutrašnjeg i vanjskog okruženja (vidi temu 5).

Korelaciono-regresijski modeli dobijeno proučavanjem uticaja čitavog kompleksa faktora na vrednost određene karakteristike korišćenjem statističkog aparata. U ovom slučaju, zadatak nije samo da se uspostavi korelacioni odnos, već i da se taj odnos izrazi analitički, odnosno da se izaberu jednačine koje opisuju ovu korelaciju (regresiona jednačina).

Za pronalaženje numeričke vrijednosti parametara regresione jednadžbe koristi se metoda najmanjih kvadrata. Suština ove metode je odabrati takvu liniju u kojoj bi zbir kvadrata odstupanja ordinata Y pojedinih tačaka od nje bio najmanji.

Korelaciono-regresijski modeli se često koriste u proučavanju fenomena kada je potrebno uspostaviti odnos između odgovarajućih karakteristika u dve ili više serija. U ovom slučaju, parna i višestruka linearna regresija oblika

y \u003d a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n + b.

Kao rezultat primjene metode najmanjih kvadrata, postavljaju se vrijednosti parametara a ili a 1 , a 2 , …, a n i b, a zatim se vrše procjene točnosti aproksimacije i značaja rezultirajuće regresione jednadžbe.

U posebnoj grupi su grafsko-analitički modeli . Koriste različite grafike i stoga imaju dobru vidljivost.

Teorija grafova - jedna od teorija diskretne matematike, proučava grafove koji se shvataju kao skup tačaka i linija koje ih povezuju. Graf je nezavisan matematički objekat (prvi je uveo Koenig D.). Na osnovu teorije grafova najčešće se grade modeli u obliku stabla i mreže.

Model stabla (stablo) je neusmjereni povezani graf koji ne sadrži petlje i cikluse. Primjer takvog modela je stablo ciljeva.

Mrežni modeli se široko koriste u upravljanju poslom. Mrežni modeli (grafovi) odražavaju redoslijed rada i trajanje svakog posla (slika 8.3).

Slika 8.3 - Mrežni model radnog učinka

Svaka linija mrežnog dijagrama je neka vrsta posla. Broj pored njega označava trajanje njegovog izvršenja.

Mrežni modeli vam omogućavaju da pronađete takozvani kritični put i optimizirate vremenski raspored za proizvodnju posla pod ograničenjima drugih resursa.

Mrežni modeli mogu biti deterministički i stohastički. U potonjem slučaju, trajanje rada je dato zakonima raspodjele slučajnih varijabli.

Optimizacijski modeli služe za određivanje optimalne putanje da sistem postigne postavljeni cilj kada se nametnu određena ograničenja kontroli njegovog ponašanja i kretanja. U ovom slučaju, optimizacijski modeli opisuju različite vrste problema nalaženja ekstrema neke ciljne funkcije (kriterijum optimizacije).

Da bi se identifikovao najbolji način za postizanje cilja upravljanja u uslovima ograničenih resursa – tehničkih, materijalnih, radnih i finansijskih – koriste se metode istraživačkog poslovanja. Tu spadaju metode matematičkog programiranja (linearno i nelinearno, cjelobrojno, dinamičko i stohastičko programiranje), analitičke i vjerovatno-statističke metode, mrežne metode, metode teorije čekanja, teorija igara (teorija konfliktnih situacija) itd.

Optimizacijski modeli se koriste za volumetrijsko i planiranje, upravljanje zalihama, raspodjelu resursa i rada, zamjenu, parametrizaciju i standardizaciju opreme, distribuciju tokova nabavke robe na transportnoj mreži i druge zadatke upravljanja.

Jedno od glavnih dostignuća teorije operacijskog istraživanja je tipizacija upravljačkih modela i metoda rješavanja problema. Na primjer, za rješavanje transportnog problema, ovisno o njegovoj dimenziji, razvijene su tipične metode - Vogelova metoda, metoda potencijala, simpleks metoda. Takođe, pri rješavanju problema upravljanja zalihama, u zavisnosti od njegove formulacije, mogu se koristiti analitičke i vjerovatno-statističke metode, metode dinamičkog i stohastičkog programiranja.

U menadžmentu se poseban značaj pridaje mrežnim metodama planiranja. Ove metode su omogućile pronalaženje novog i vrlo pogodnog jezika za opisivanje, modeliranje i analizu složenih višestepenih radova i projekata. U operacionim istraživanjima značajno se mesto pridaje unapređenju upravljanja složenim sistemima korišćenjem metoda teorije redova čekanja (videti odeljak 8.3) i aparata Markovljevih procesa.

Modeli Markovljevih stohastičkih procesa- sistem diferencijalnih jednadžbi koje opisuju funkcionisanje sistema ili njegovih procesa kao skup uređenih stanja na određenoj putanji ponašanja sistema. Ova klasa modela se široko koristi u matematičkom modeliranju funkcionisanja složenih sistema.

Modeli teorije igara služe za odabir optimalne strategije u uslovima ograničenih slučajnih informacija ili potpune neizvesnosti.

Igra je matematički model stvarne konfliktne situacije čije se rješavanje odvija prema određenim pravilima, algoritmima koji opisuju određenu strategiju ponašanja osobe koja donosi odluku u uvjetima neizvjesnosti.

Postoje "igre sa prirodom" i "igre sa neprijateljem". Na osnovu situacije određuju se metode i kriterijumi za evaluaciju odlučivanja. Dakle, pri „igranju sa prirodom“ koriste se sljedeći kriteriji: Laplace, maximin (Waldov kriterij) i minimax, Hurwitz i Savage i niz drugih algoritamskih pravila. U „igrama sa neprijateljem“ za donošenje odluka koriste se matrice isplate, maksimin i minimaks kriterijumi, kao i posebne matematičke transformacije zbog činjenice da se donosiocu odluke suprotstavlja neprijateljski protivnik.

Razmatrani tipovi matematičkih modela ne pokrivaju svu njihovu moguću raznolikost, već karakterišu samo pojedine tipove u zavisnosti od prihvaćenog aspekta klasifikacije. V. A. Kardash je pokušao da stvori sistem za klasifikaciju modela prema četiri aspekta detaljiranja (slika 8.4).

A - modeli bez prostorne diferencijacije parametara;

B - modeli sa prostornom diferencijacijom parametara

Slika 8.4 – Klasifikacija modela prema četiri aspekta detaljiranja

Razvojem računarskih alata, jedna od najčešćih metoda donošenja odluka je poslovna igra, koja je numerički eksperiment uz aktivno učešće osobe. Postoje stotine poslovnih igara. Koriste se za proučavanje brojnih problema menadžmenta, ekonomije, teorije organizacije, psihologije, finansija i trgovine.

Računari su čvrsto ušli u naše živote i praktično ne postoji takva oblast ljudske aktivnosti u kojoj se računari ne bi koristili. Računari se danas široko koriste u procesu stvaranja i istraživanja novih mašina, novih tehnoloških procesa i traženja njihovih optimalnih opcija; pri rješavanju ekonomskih problema, pri rješavanju problema planiranja i upravljanja proizvodnjom na različitim nivoima. Stvaranje velikih objekata u raketnoj industriji, avionogradnji, brodogradnji, kao i projektovanje brana, mostova i sl., uglavnom je nemoguće bez upotrebe računara.

Za korištenje računara u rješavanju primijenjenih problema, prije svega, primijenjeni problem mora biti "preveden" na formalni matematički jezik, tj. za stvarni objekat, proces ili sistem, mora se izgraditi njegov matematički model.

Riječ "model" dolazi od latinskog modus (kopija, slika, obris). Modeliranje je zamjena nekog objekta A drugim objektom B. Zamijenjeni objekt A naziva se original ili objekt modeliranja, a zamjena B naziva se model. Drugim riječima, model je objekt-zamjena originalnog objekta, pružajući proučavanje nekih svojstava originala.

Svrha modeliranja je da se dobiju, obrađuju, prezentiraju i koriste informacije o objektima koji su u interakciji jedni s drugima i vanjskim okruženjem; a model ovdje djeluje kao sredstvo za poznavanje svojstava i obrazaca ponašanja objekta.

Matematičko modeliranje je način proučavanja stvarnog objekta, procesa ili sistema zamjenom istih matematičkim modelom koji je pogodniji za eksperimentalno istraživanje korištenjem kompjutera.

Matematičko modeliranje je proces konstruisanja i proučavanja matematičkih modela realnih procesa i pojava. Sve prirodne i društvene nauke koje koriste matematički aparat u suštini se bave matematičkim modeliranjem: zamenjuju stvarni objekat njegovim modelom, a zatim ga proučavaju. Kao iu slučaju svake simulacije, matematički model ne opisuje u potpunosti fenomen koji se proučava, a pitanja o primjenjivosti ovako dobivenih rezultata su vrlo značajna. Matematički model je pojednostavljeni opis stvarnosti koristeći matematičke koncepte.

Matematički model izražava bitne karakteristike objekta ili procesa jezikom jednačina i drugih matematičkih sredstava. Strogo govoreći, sama matematika svoje postojanje duguje onome što pokušava da odrazi, tj. da modeliraju, na svom specifičnom jeziku, obrasce okolnog svijeta.

At matematičko modeliranje proučavanje objekta se vrši pomoću modela formulisanog na jeziku matematike korišćenjem određenih matematičkih metoda.

Put matematičkog modeliranja u naše vrijeme mnogo je sveobuhvatniji od prirodnog modeliranja. Ogroman poticaj razvoju matematičkog modeliranja dala je pojava kompjutera, iako je sama metoda rođena istovremeno s matematikom prije više hiljada godina.

Matematičko modeliranje kao takvo ne zahtijeva uvijek kompjutersku podršku. Svaki specijalista koji se profesionalno bavi matematičkim modeliranjem čini sve što je moguće za analitičko proučavanje modela. Analitička rješenja (tj. predstavljena formulama koje izražavaju rezultate studije kroz početne podatke) obično su pogodnija i informativnija od numeričkih. Mogućnosti analitičkih metoda za rješavanje složenih matematičkih problema su, međutim, vrlo ograničene i po pravilu su mnogo složenije od numeričkih.

Matematički model je približna reprezentacija stvarnih objekata, procesa ili sistema, izražena matematičkim terminima i zadržavajući bitne karakteristike originala. Matematički modeli u kvantitativnom obliku, uz pomoć logičkih i matematičkih konstrukcija, opisuju glavna svojstva objekta, procesa ili sistema, njegove parametre, unutrašnje i vanjske veze

Svi modeli se mogu podijeliti u dvije klase:

1. pravi,
2. idealan.

Zauzvrat, pravi modeli se mogu podijeliti na:

1. prirodno,
2. fizički,
3. matematički.

Idealni modeli se mogu podijeliti na:

1. vizuelno,
2. ikona,
3. matematički.

Realni modeli pune skale su stvarni objekti, procesi i sistemi na kojima se izvode naučni, tehnički i industrijski eksperimenti.

Pravi fizički modeli su makete, modeli koji reproduciraju fizička svojstva originala (kinematički, dinamički, hidraulički, termički, električni, svjetlosni modeli).

Pravi matematički su analogni, strukturni, geometrijski, grafički, digitalni i kibernetički modeli.

Idealni vizuelni modeli su dijagrami, karte, crteži, grafovi, grafovi, analozi, strukturni i geometrijski modeli.

Idealni modeli znakova su simboli, abeceda, programski jezici, uređena notacija, topološka notacija, mrežna reprezentacija.

Idealni matematički modeli su analitički, funkcionalni, simulacijski, kombinovani modeli.

U gornjoj klasifikaciji, neki modeli imaju dvostruku interpretaciju (na primjer, analogni). Svi modeli, osim onih u punoj skali, mogu se kombinovati u jednu klasu mentalnih modela, jer oni su proizvod čovjekovog apstraktnog mišljenja.

Elementi teorije igara

U općenitom slučaju, rješavanje igre je prilično težak zadatak, a složenost problema i količina proračuna potrebnih za rješavanje naglo raste s povećanjem . Međutim, ove poteškoće nisu fundamentalne prirode i povezane su samo sa veoma velikim obimom proračuna, što se u određenom broju slučajeva može pokazati kao praktično neizvodljivo. Osnovna strana metode pronalaženja rješenja ostaje za bilo koga jedan i isti.

Ilustrirajmo to na primjeru igre. Hajde da mu damo geometrijsku interpretaciju - već prostornu. Naše tri strategije, prikazaćemo sa tri tačke na ravni ; prvi leži na početku (slika 1). drugi i treći - na osovinama Oh i OU na udaljenosti 1 od početka.

Osi I-I, II-II i III-III povučene su kroz tačke, okomite na ravan . Na I-I osi, isplate za strategiju su ucrtane na osovinama II-II i III-III - isplati za strategije. Svaka neprijateljska strategija će biti predstavljen ravninom koja seče na osovinama I-I, II-II i III-III, segmentima jednakim dobitcima

sa odgovarajućom strategijom i strategijom . Nakon što smo tako konstruisali sve strategije neprijatelja, dobićemo familiju aviona nad trouglom (slika 2).

Za ovu porodicu je također moguće konstruirati donju granicu isplate, kao što smo uradili u slučaju, i pronaći tačku N na ovoj granici sa maksimalnom visinom na ravni . Ova visina će biti cijena igre.

Učestalosti strategija u optimalnoj strategiji će biti određene koordinatama (x, y) tačke N, i to:

Međutim, ovakva geometrijska konstrukcija, čak ni za slučaj, nije laka za implementaciju i zahtijeva veliko ulaganje vremena i mašte. U opštem slučaju igre, međutim, ona se prenosi u -dimenzionalni prostor i gubi svaku jasnoću, iako upotreba geometrijske terminologije u nekim slučajevima može biti korisna. Prilikom rješavanja igrica u praksi, pogodnije je koristiti ne geometrijske analogije, već računske analitičke metode, pogotovo jer su ove metode jedine prikladne za rješavanje problema na računalima.

Sve ove metode se u suštini svode na rješavanje problema uzastopnim pokušajima, ali redoslijed pokušaja vam omogućava da izgradite algoritam koji vodi do rješenja na najekonomičniji način.

Ovdje se ukratko zadržavamo na jednoj računskoj metodi za rješavanje igara - na metodu takozvanog "linearnog programiranja".

Da bismo to učinili, prvo ćemo dati opću izjavu o problemu pronalaženja rješenja za igru. Neka igra bude data t strategije igrača ALI i n strategije igrača AT i data je matrica isplate

Potrebno je pronaći rješenje za igru, odnosno dvije optimalne mješovite strategije za igrače A i B

gdje (neki od brojeva i mogu biti jednaki nuli).

Naša optimalna strategija S*A treba da nam obezbedi isplatu ne manju od , za bilo koje ponašanje neprijatelja, i isplatu jednaku , za njegovo optimalno ponašanje (strategija S*B).Slično strategija S*B mora pružiti neprijatelju gubitak koji nije veći od , za bilo koje naše ponašanje i jednak za naše optimalno ponašanje (strategija S*A).

Vrijednost igre u ovom slučaju nam je nepoznata; pretpostavićemo da je jednak nekom pozitivnom broju. Pretpostavljajući ovo, mi ne kršimo uopštenost rezonovanja; da bi bio > 0, očigledno je dovoljno da svi elementi matrice budu nenegativni. To se uvijek može postići dodavanjem dovoljno velike pozitivne vrijednosti L elementima; u tom slučaju će se cijena igre povećati za L, a rješenje se neće promijeniti.

Hajde da izaberemo našu optimalnu strategiju S* A . Tada će naša prosječna isplata za protivničku strategiju biti jednaka:

Naša optimalna strategija S*A ima svojstvo da, za bilo koje ponašanje protivnika, daje dobitak ne manji od ; dakle, bilo koji od brojeva ne može biti manji od . Dobijamo niz uslova:

(1)

Podijelite nejednakosti (1) pozitivnom vrijednošću i označite:

Tada se uslov (1) može zapisati kao

(2)

gdje su nenegativni brojevi. Jer količine zadovoljavaju uslov

Želimo da naša zagarantovana pobeda bude što veća; Očigledno je da u ovom slučaju desna strana jednakosti (3) uzima minimalnu vrijednost.

Dakle, problem pronalaženja rješenja igre svodi se na sljedeći matematički problem: definiraju nenegativne veličine zadovoljavaju uslove (2), tako da njihov zbir

bio minimalan.

Obično se pri rješavanju problema vezanih za pronalaženje ekstremnih vrijednosti (maksimuma i minimuma) funkcija diferencira i derivacije se izjednačavaju sa nulom. Ali takva tehnika je u ovom slučaju beskorisna, jer funkcija F, koja potreba minimizirati, linearan je, a njegovi derivati ​​u odnosu na sve argumente jednaki su jedinici, tj. ne nestaju nigdje. Posljedično, maksimum funkcije se postiže negdje na granici područja promjene argumenata, što je određeno zahtjevom nenegativnosti argumenata i uslova (2). Metoda pronalaženja ekstremnih vrijednosti korištenjem diferencijacije također je neprikladna u onim slučajevima kada je određen maksimum donje (ili minimum gornje) granice isplate za rješenje igre, kao što smo to učinili. na primjer, to su radili pri rješavanju igrica.Zaista, donju granicu čine dijelovi pravih linija, a maksimum se postiže ne u tački gdje je izvod jednak nuli (takve tačke uopće nema), ali na granici intervala ili na mjestu presjeka pravih dionica.

Za rješavanje takvih problema, koji su prilično česti u praksi, razvijen je poseban aparat u matematici. linearno programiranje.

Problem linearnog programiranja se postavlja na sljedeći način.

Dat sistem linearnih jednačina:

(4)

Potrebno je pronaći nenegativne vrijednosti veličina koje zadovoljavaju uvjete (4) i istovremeno minimiziraju zadatu homogenu linearnu funkciju veličina (linearni oblik):

Lako je vidjeti da je problem teorije igara koji je postavljen iznad poseban slučaj problema linearnog programiranja za

Na prvi pogled može izgledati da uslovi (2) nisu ekvivalentni uslovima (4), jer umesto znakova jednakosti sadrže znake nejednakosti. Međutim, lako se riješiti znakova nejednakosti uvođenjem novih fiktivnih nenegativnih varijabli i uvjeta pisanja (2) u obliku:

(5)

Obrazac F, koji mora biti minimiziran, jednak je

Aparat za linearno programiranje omogućava, uz relativno mali broj uzastopnih uzoraka, odabir vrijednosti , zadovoljavanje zahtjeva. Radi veće jasnoće, ovdje ćemo demonstrirati korištenje ovog aparata direktno na materijalu rješavanja konkretnih igara.