Vykonajte kompletnú štúdiu funkcií kalkulačky. Funkčný výskum online

Inštrukcia

Nájdite rozsah funkcie. Napríklad funkcia sin(x) je definovaná na celom intervale od -∞ do +∞ a funkcia 1/x je definovaná od -∞ do +∞, okrem bodu x = 0.

Definujte oblasti kontinuity a body zlomu. Funkcia je zvyčajne spojitá v tej istej doméne, kde je definovaná. Ak chcete zistiť diskontinuity, musíte vypočítať, kedy sa argument približuje k izolovaným bodom v doméne definície. Napríklad funkcia 1/x má tendenciu k nekonečnu, keď x→0+, a k mínus nekonečnu, keď x→0-. To znamená, že v bode x = 0 má diskontinuitu druhého druhu.
Ak sú limity v bode diskontinuity konečné, ale nie rovnaké, potom ide o diskontinuitu prvého druhu. Ak sú rovnaké, potom sa funkcia považuje za spojitú, hoci nie je definovaná v izolovanom bode.

Nájdite vertikálne asymptoty, ak nejaké existujú. Tu vám pomôžu výpočty z predchádzajúceho kroku, pretože vertikálna asymptota je takmer vždy v bode diskontinuity druhého druhu. Niekedy však z oblasti definície nie sú vylúčené jednotlivé body, ale celé intervaly bodov, a potom môžu byť vertikálne asymptoty umiestnené na okrajoch týchto intervalov.

Skontrolujte, či má funkcia špeciálne vlastnosti: párne, nepárne a periodické.
Funkcia bude párna, ak pre ľubovoľné x v obore f(x) = f(-x). Napríklad cos(x) a x^2 sú párne funkcie.

Periodicita je vlastnosť, ktorá hovorí, že existuje určité číslo T nazývané perióda, ktoré pre ľubovoľné x f(x) = f(x + T). Napríklad všetky základné goniometrické funkcie (sínus, kosínus, tangens) sú periodické.

Nájdite body. Ak to chcete urobiť, vypočítajte deriváciu danej funkcie a nájdite hodnoty x, kde zmizne. Napríklad funkcia f(x) = x^3 + 9x^2 -15 má deriváciu g(x) = 3x^2 + 18x, ktorá zaniká pri x = 0 a x = -6.

Ak chcete určiť, ktoré extrémne body sú maximá a ktoré sú minimá, sledujte zmenu v znamienkach derivácie v nájdených nulách. g(x) zmení znamienko z plus pri x = -6 a späť z mínus na plus pri x = 0. Preto funkcia f(x) má minimum v prvom bode a minimum v druhom.

Našli ste teda aj oblasti monotónnosti: f(x) monotónne rastie na intervale -∞;-6, monotónne klesá na -6;0 a opäť rastie na 0;+∞.

Nájdite druhú deriváciu. Jeho korene ukážu, kde bude graf danej funkcie konvexný a kde konkávny. Napríklad druhá derivácia funkcie f(x) bude h(x) = 6x + 18. Zanikne pri x = -3 a zmení svoje znamienko z mínus na plus. Preto bude graf f (x) pred týmto bodom konvexný, za ním - konkávny a tento bod sám bude inflexným bodom.

Funkcia môže mať iné asymptoty, s výnimkou vertikálnych, ale iba ak jej definičný obor zahŕňa . Ak ich chcete nájsť, vypočítajte limit f(x), keď x→∞ alebo x→-∞. Ak je konečný, potom ste našli horizontálnu asymptotu.

Šikmá asymptota je priamka tvaru kx + b. Ak chcete nájsť k, vypočítajte limitu f(x)/x ako x→∞. Nájsť b - limitu (f(x) – kx) s rovnakým x→∞.

Nakreslite funkciu na vypočítané údaje. Označte asymptoty, ak nejaké existujú. Označte extrémne body a v nich funkčné hodnoty. Pre väčšiu presnosť grafu vypočítajte funkčné hodnoty v niekoľkých ďalších medziľahlých bodoch. Výskum ukončený.

Jednou z najdôležitejších úloh diferenciálneho počtu je vývoj všeobecných príkladov štúdia správania funkcií.

Ak je funkcia y \u003d f (x) v intervale spojitá a jej derivácia je kladná alebo rovná 0 v intervale (a, b), potom sa y \u003d f (x) zvýši o (f "(x) 0). Ak je funkcia y \u003d f (x) spojitá na segmente a jej derivácia je záporná alebo rovná 0 na intervale (a,b), potom y=f(x) klesá o (f"( x)0)

Intervaly, v ktorých funkcia neklesá alebo nerastie, sa nazývajú intervaly monotónnosti funkcie. Povaha monotónnosti funkcie sa môže meniť len v tých bodoch jej definičného oboru, v ktorých sa mení znamienko prvej derivácie. Body, v ktorých prvá derivácia funkcie zmizne alebo sa zlomí, sa nazývajú kritické body.

Veta 1 (1. postačujúca podmienka existencie extrému).

Nech je funkcia y=f(x) definovaná v bode x 0 a nech existuje okolie δ>0 také, že funkcia je spojitá na segmente , diferencovateľná na intervale (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) a jeho derivácia si zachováva konštantné znamienko na každom z týchto intervalov. Potom ak na x 0 -δ, x 0) a (x 0, x 0 + δ) sú znamienka derivácie rôzne, potom x 0 je extrémny bod, a ak sa zhodujú, potom x 0 nie je extrémny bod . Navyše, ak pri prechode bodom x0 derivácia zmení znamienko z plus na mínus (naľavo od x 0 sa vykoná f "(x)> 0, potom x 0 je maximálny bod; ak derivácia zmení znamienko od mínus do plus (napravo od x 0 sa vykoná f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Maximálne a minimálne body sa nazývajú extrémne body funkcie a maximá a minimá funkcie sa nazývajú jej extrémne hodnoty.

Veta 2 (nevyhnutné kritérium pre lokálny extrém).

Ak má funkcia y=f(x) extrém v aktuálnom x=x 0, potom buď f'(x 0)=0 alebo f'(x 0) neexistuje.
V extrémnych bodoch diferencovateľnej funkcie je dotyčnica k jej grafu rovnobežná s osou Ox.

Algoritmus na štúdium funkcie pre extrém:

1) Nájdite deriváciu funkcie.
2) Nájdite kritické body, t.j. body, kde je funkcia spojitá a derivácia je nulová alebo neexistuje.
3) Zvážte okolie každého z bodov a preskúmajte znamienko derivácie naľavo a napravo od tohto bodu.
4) Určte súradnice krajných bodov, túto hodnotu kritických bodov dosaďte do tejto funkcie. Pomocou dostatočných extrémnych podmienok vyvodzujte príslušné závery.

Príklad 18. Preskúmajte funkciu y=x 3 -9x 2 +24x

rozhodnutie.
1) y"=3x2-18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Ak priradíme deriváciu k nule, zistíme, že x 1 = 2, x 2 = 4. V tomto prípade je derivát definovaný všade; teda okrem dvoch nájdených bodov neexistujú žiadne iné kritické body.
3) Znamienko derivácie y "=3(x-2)(x-4) sa mení v závislosti od intervalu, ako je znázornené na obrázku 1. Pri prechode bodom x=2 derivácia mení znamienko z plus na mínus, a pri prechode bodom x=4 - z mínusu do plusu.
4) V bode x=2 má funkcia maximum y max =20 a v bode x=4 - minimum y min =16.

Veta 3. (2. postačujúca podmienka existencie extrému).

Nech f "(x 0) a f "" (x 0) existujú v bode x 0. Potom ak f "" (x 0)> 0, potom x 0 je minimálny bod a ak f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Na segmente môže funkcia y \u003d f (x) dosiahnuť najmenšiu (aspoň) alebo najväčšiu (najviac) hodnotu buď v kritických bodoch funkcie ležiacich v intervale (a; b), alebo na koncoch segmentu.

Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt spojitej funkcie y=f(x) na segmente:

1) Nájdite f "(x).
2) Nájdite body, v ktorých f "(x) = 0 alebo f" (x) - neexistuje, a vyberte z nich tie, ktoré ležia vo vnútri segmentu.
3) Vypočítajte hodnotu funkcie y \u003d f (x) v bodoch získaných v odseku 2, ako aj na koncoch segmentu a vyberte najväčší a najmenší z nich: sú najväčšie ( pre najväčšie) a najmenšie (pre najmenšie) funkčné hodnoty v segmente .

Príklad 19. Nájdite najväčšiu hodnotu spojitej funkcie y=x 3 -3x 2 -45+225 na segmente .

1) Na segmente máme y = 3x 2 -6x-45
2) Derivácia y" existuje pre všetky x. Nájdime body, kde y"=0; dostaneme:
3x2 -6x-45=0
x 2-2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2 = 5
3) Vypočítajte hodnotu funkcie v bodoch x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Do segmentu patrí iba bod x=5. Najväčšia z nájdených hodnôt funkcie je 225 a najmenšia je číslo 50. Takže pri max = 225 pri max = 50.

Vyšetrovanie funkcie na konvexnosti

Na obrázku sú znázornené grafy dvoch funkcií. Prvý z nich je otočený s vydutím nahor, druhý - s vydutím nadol.

Funkcia y=f(x) je na úsečke spojitá a diferencovateľná v intervale (a;b), na tejto úsečke sa nazýva konvexná nahor (nadol), ak pre axb jej graf neleží vyššie (nie nižšie) ako dotyčnica nakreslený v ľubovoľnom bode M 0 (x 0 ;f(x 0)), kde axb.

Veta 4. Nech má funkcia y=f(x) druhú deriváciu v ľubovoľnom vnútornom bode x úsečky a na koncoch úsečky je spojitá. Potom, ak je nerovnosť f""(x)0 splnená na intervale (a;b), potom je funkcia na segmente klesajúca konvexná; ak je splnená nerovnosť f""(x)0 na intervale (а;b), potom je funkcia konvexná smerom nahor na .

Veta 5. Ak má funkcia y=f(x) druhú deriváciu na intervale (a;b) a ak mení znamienko pri prechode bodom x 0 , potom M(x 0 ;f(x 0)) je inflexný bod.

Pravidlo na nájdenie inflexných bodov:

1) Nájdite body, kde f""(x) neexistuje alebo zmizne.
2) Preskúmajte znamienko f""(x) vľavo a vpravo od každého bodu nájdeného v prvom kroku.
3) Na základe vety 4 urobte záver.

Príklad 20. Nájdite extrémne body a inflexné body grafu funkcií y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Máme f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Je zrejmé, že f"(x)=0 pre x 1 = 0, x 2 = 1. Derivácia pri prechode bodom x=0 mení znamienko z mínusu na plus a pri prechode cez bod x=1 znamienko nemení. To znamená, že x=0 je minimálny bod (y min =12) a v bode x=1 nie je žiadny extrém. Ďalej nájdeme . Druhá derivácia zaniká v bodoch x 1 = 1, x 2 = 1/3. Znamienka druhej derivácie sa menia takto: Na lúči (-∞;) máme f""(x)>0, na intervale (;1) máme f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Preto x= je inflexný bod funkčného grafu (prechod z konvexnosti nadol ku konvexnosti nahor) a x=1 je tiež inflexný bod (prechod z konvexnosti nahor ku konvexnosti nadol). Ak x=, potom y= ; ak, potom x = 1, y = 13.

Algoritmus na nájdenie asymptoty grafu

I. Ak y=f(x) ako x → a , potom x=a je vertikálna asymptota.
II. Ak y=f(x) ako x → ∞ alebo x → -∞, potom y=A je horizontálna asymptota.
III. Na nájdenie šikmej asymptoty používame nasledujúci algoritmus:
1) Vypočítajte. Ak limita existuje a je rovná b, potom y=b je horizontálna asymptota; ak , prejdite na druhý krok.
2) Vypočítajte. Ak táto limita neexistuje, potom neexistuje žiadna asymptota; ak existuje a rovná sa k, prejdite na tretí krok.
3) Vypočítajte. Ak táto limita neexistuje, potom neexistuje žiadna asymptota; ak existuje a rovná sa b, prejdite na štvrtý krok.
4) Napíšte rovnicu šikmej asymptoty y=kx+b.

Príklad 21: Nájdite asymptotu funkcie

1)
2)
3)
4) Šikmá asymptotová rovnica má tvar

Schéma štúdia funkcie a zostrojenie jej grafu

I. Nájdite doménu funkcie.
II. Nájdite priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami.
III. Nájdite asymptoty.
IV. Nájdite body možného extrému.
V. Nájdite kritické body.
VI. Pomocou pomocnej kresby preskúmajte znamienko prvej a druhej derivácie. Určte oblasti nárastu a poklesu funkcie, nájdite smer konvexity grafu, extrémne body a inflexné body.
VII. Vytvorte graf so zreteľom na štúdiu vykonanú v odsekoch 1-6.

Príklad 22: Nakreslite funkčný graf podľa vyššie uvedenej schémy

rozhodnutie.
I. Definičný obor funkcie je množina všetkých reálnych čísel okrem x=1.
II. Keďže rovnica x 2 +1=0 nemá reálne korene, tak graf funkcie nemá priesečníky s osou Ox, ale pretína os Oy v bode (0; -1).
III. Ujasnime si otázku existencie asymptot. Skúmame správanie funkcie v blízkosti bodu nespojitosti x=1. Pretože y → ∞ pre x → -∞, y → +∞ pre x → 1+, potom priamka x=1 je zvislou asymptotou grafu funkcie.
Ak x → +∞(x → -∞), potom y → +∞(y → -∞); preto graf nemá vodorovnú asymptotu. Ďalej z existencie limitov

Vyriešením rovnice x 2 -2x-1=0 dostaneme dva body možného extrému:
x1=1-√2 a x2=1+√2

V. Aby sme našli kritické body, vypočítame druhú deriváciu:

Keďže f""(x) nezmizne, neexistujú žiadne kritické body.
VI. Skúmame znamienko prvej a druhej derivácie. Možné extrémne body, ktoré je potrebné zvážiť: x 1 =1-√2 a x 2 =1+√2, rozdeľte oblasť existencie funkcie na intervaly (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) a (1+√2;+∞).

V každom z týchto intervalov si derivát zachováva svoje znamienko: v prvom - plus, v druhom - mínus, v treťom - plus. Postupnosť znamienok prvej derivácie bude napísaná takto: +, -, +.
Dostaneme, že funkcia na (-∞;1-√2) rastie, na (1-√2;1+√2) klesá a na (1+√2;+∞) opäť rastie. Extrémne body: maximum pri x=1-√2, navyše f(1-√2)=2-2√2 minimum pri x=1+√2, navyše f(1+√2)=2+2√2. Na (-∞;1) je graf konvexný nahor a na (1;+∞) - nadol.
VII Zo získaných hodnôt urobme tabuľku

VIII Na základe získaných údajov zostavíme náčrt grafu funkcie

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.