Valec (odvodené z gréckeho jazyka, zo slov "klzisko", "valec") je geometrické teleso, ktoré je zvonku ohraničené povrchom nazývaným valcová plocha a dvoma rovinami. Tieto roviny pretínajú povrch obrazca a sú navzájom rovnobežné.

Valcová plocha je plocha, ktorá je získaná priamkou v priestore. Tieto pohyby sú také, že vybraný bod tejto priamky sa pohybuje pozdĺž krivky plochého typu. Takáto priamka sa nazýva tvoriaca čiara a zakrivená čiara sa nazýva vodiaca čiara.

Valec pozostáva z dvojice podstavcov a bočnej valcovej plochy. Valce sú niekoľkých typov:

1. Kruhový, rovný valec. Pre takýto valec sú základňa a vedenie kolmé na tvoriacu čiaru a tam je

2. Naklonený valec. Má uhol medzi tvoriacou čiarou a základňou nie je rovný.

3. Valec iného tvaru. Hyperbolické, eliptické, parabolické a iné.

Plocha valca, ako aj celková plocha akéhokoľvek valca, sa zistí sčítaním plôch základne tohto obrázku a plochy bočného povrchu.

Vzorec na výpočet celkovej plochy valca pre kruhový rovný valec je:

Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).

Plochu bočného povrchu je o niečo ťažšie nájsť ako plochu celého valca; vypočíta sa vynásobením dĺžky tvoriacej čiary obvodom úseku tvoreného rovinou, ktorá je kolmá na generatrix.

Údaje valca pre kruhový, rovný valec sú známe vývojom tohto objektu.

Rozvoj je obdĺžnik, ktorý má výšku h a dĺžku P, ktorá sa rovná obvodu základne.

Z toho vyplýva, že bočná plocha valca sa rovná ploche zákruty a možno ju vypočítať pomocou tohto vzorca:

Ak vezmeme kruhový rovný valec, potom:

P = 2p R a Sb = 2p Rh.

Ak je valec naklonený, potom sa plocha bočného povrchu musí rovnať súčinu dĺžky jeho tvoriacej čiary a obvodu prierezu, ktorý je kolmý na túto tvoriacu čiaru.

Bohužiaľ neexistuje jednoduchý vzorec na vyjadrenie plochy bočného povrchu šikmého valca z hľadiska jeho výšky a základných parametrov.

Ak chcete vypočítať valec, potrebujete vedieť niekoľko faktov. Ak rez svojou rovinou pretína základne, potom je takýto rez vždy obdĺžnik. Tieto obdĺžniky sa však budú líšiť v závislosti od polohy sekcie. Jedna zo strán osového rezu obrázku, ktorá je kolmá na základne, sa rovná výške a druhá sa rovná priemeru základne valca. A plocha takejto časti sa rovná súčinu jednej strany obdĺžnika na druhej strane, kolmej na prvú, alebo súčinu výšky tohto obrázku priemerom jeho základne.

Ak je sekcia kolmá na základne obrázku, ale neprechádza osou otáčania, potom sa plocha tejto sekcie bude rovnať súčinu výšky tohto valca a určitej tetivy. Ak chcete získať akord, musíte postaviť kruh na základni valca, nakresliť polomer a odložiť naň vzdialenosť, v ktorej sa nachádza sekcia. A z tohto bodu musíte nakresliť kolmice na polomer od priesečníka s kruhom. Priesečníky sú spojené so stredom. A základňa trojuholníka je požadovaná, ktorá sa hľadá takto: „Súčet štvorcov dvoch nôh sa rovná druhej mocnine prepony“:

C2 = A2 + B2.

Ak sekcia neovplyvňuje základňu valca a samotný valec je kruhový a rovný, potom sa oblasť tejto sekcie považuje za oblasť kruhu.

Plocha kruhu je:

S env. = 2p R2.

Ak chcete nájsť R, musíte vydeliť jeho dĺžku C 2p:

R = C \ 2n, kde n je pi, matematická konštanta vypočítaná na prácu s kruhovými údajmi a rovná sa 3,14.

Valec je postava pozostávajúca z valcovej plochy a dvoch paralelne usporiadaných kruhov. Výpočet plochy valca je problém v geometrickom odvetví matematiky, ktorý je vyriešený celkom jednoducho. Existuje niekoľko metód na jeho riešenie, ktoré vo výsledku vždy vychádzajú z jedného vzorca.

Ako nájsť plochu valca - pravidlá výpočtu

• Ak chcete zistiť plochu valca, musíte pridať dve základné oblasti s plochou bočného povrchu: S \u003d S strana. + 2 S hlavná. V podrobnejšej verzii tento vzorec vyzerá takto: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Bočný povrch daného geometrického telesa možno vypočítať, ak je známa jeho výška a polomer kruhu pod základňou. V tomto prípade môžete polomer vyjadriť z obvodu, ak je daný. Výšku možno nájsť, ak je v podmienke špecifikovaná hodnota generatrix. V tomto prípade sa tvoriaca čiara bude rovnať výške. Vzorec pre bočný povrch daného telesa vyzerá takto: S= 2 π rh.
• Plocha základne sa vypočíta podľa vzorca na nájdenie plochy kruhu: S osn= π r 2 . Pri niektorých problémoch nemusí byť daný polomer, ale je daný obvod. Pomocou tohto vzorca je polomer vyjadrený pomerne jednoducho. С=2π r, r= С/2π. Treba tiež pamätať na to, že polomer je polovica priemeru.
• Pri vykonávaní všetkých týchto výpočtov sa číslo π zvyčajne neprekladá na 3,14159 ... Stačí ho pridať vedľa číselnej hodnoty, ktorá bola získaná ako výsledok výpočtov.
• Ďalej je potrebné iba vynásobiť nájdenú plochu základne 2 a k výslednému číslu pridať vypočítanú plochu bočného povrchu obrázku.
• Ak problém naznačuje, že valec má axiálny prierez a toto je obdĺžnik, riešenie bude mierne odlišné. V tomto prípade bude šírka obdĺžnika priemer kruhu, ktorý leží na spodnej časti tela. Dĺžka obrázku sa bude rovnať tvoriacej čiare alebo výške valca. Je potrebné vypočítať požadované hodnoty a nahradiť ich v už známom vzorci. V tomto prípade musí byť šírka obdĺžnika rozdelená na dve, aby sa našla plocha základne. Na nájdenie bočného povrchu sa dĺžka vynásobí dvoma polomermi a číslom π.
• Môžete vypočítať plochu daného geometrického telesa prostredníctvom jeho objemu. K tomu je potrebné odvodiť chýbajúcu hodnotu zo vzorca V=π r 2 h.
• Pri výpočte plochy valca nie je nič ťažké. Stačí poznať vzorce a vedieť z nich odvodiť množstvá potrebné na výpočty.

Valec je geometrické teleso ohraničené dvoma rovnobežnými rovinami a valcovou plochou. V článku si povieme, ako nájsť plochu valca a pomocou vzorca vyriešime napríklad niekoľko problémov.

Valec má tri povrchy: horný, spodný a bočný povrch.

Horná a spodná časť valca sú kruhy a dajú sa ľahko definovať.

Je známe, že plocha kruhu sa rovná πr 2 . Preto vzorec pre oblasť dvoch kruhov (horná a spodná časť valca) bude vyzerať ako πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Tretí, bočný povrch valca, je zakrivená stena valca. Aby sme tento povrch lepšie reprezentovali, skúsme ho transformovať, aby získal rozpoznateľný tvar. Predstavte si, že valec je obyčajná plechová dóza, ktorá nemá vrchné veko a spodok. Urobme zvislý rez na bočnej stene od vrchu po spodok banky (krok 1 na obrázku) a pokúsme sa čo najviac otvoriť (narovnať) výslednú figúru (krok 2).

Po úplnom odhalení výslednej nádoby uvidíme známy obrázok (krok 3), toto je obdĺžnik. Plocha obdĺžnika sa dá ľahko vypočítať. Ešte predtým sa však na chvíľu vráťme k pôvodnému valcu. Vrchol pôvodného valca je kruh a vieme, že obvod kruhu sa vypočíta podľa vzorca: L = 2πr. Na obrázku je označený červenou farbou.

Keď je bočná stena valca úplne roztiahnutá, vidíme, že obvod sa stáva dĺžkou výsledného obdĺžnika. Stranami tohto obdĺžnika bude obvod (L = 2πr) a výška valca (h). Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu jeho strán - S = dĺžka x šírka = L x h = 2πr x h = 2πrh. V dôsledku toho sme získali vzorec na výpočet bočného povrchu valca.

Vzorec pre oblasť bočného povrchu valca
S strana = 2ph

Celá plocha valca

Nakoniec, ak spočítame plochu všetkých troch plôch, dostaneme vzorec pre celkovú plochu valca. Plocha povrchu valca sa rovná ploche hornej časti valca + plocha základne valca + plocha bočného povrchu valca alebo S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Niekedy je tento výraz napísaný identickým vzorcom 2πr (r + h).

Vzorec pre celkový povrch valca
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr (r + h)
r je polomer valca, h je výška valca

Príklady výpočtu povrchovej plochy valca

Aby sme pochopili vyššie uvedené vzorce, skúsme vypočítať povrch valca pomocou príkladov.

1. Polomer základne valca je 2, výška je 3. Určte plochu bočného povrchu valca.

Celková plocha sa vypočíta podľa vzorca: strana S. = 2ph

S strana = 2 * 3,14 * 2 * 3

S strana = 6,28 * 6

S strana = 37,68

Bočný povrch valca je 37,68.

2. Ako nájsť povrch valca, ak je výška 4 a polomer 6?

Celkový povrch sa vypočíta podľa vzorca: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

Ide o geometrické teleso ohraničené dvoma rovnobežnými rovinami a valcovou plochou.

Valec pozostáva z bočnej plochy a dvoch podstavcov. Vzorec pre povrchovú plochu valca zahŕňa samostatný výpočet plochy základne a bočného povrchu. Keďže základne vo valci sú rovnaké, jeho celková plocha sa vypočíta podľa vzorca:

Uvažujeme o príklade výpočtu plochy valca, keď poznáme všetky potrebné vzorce. Najprv potrebujeme vzorec pre oblasť základne valca. Pretože základom valca je kruh, musíme použiť:
Pamätáme si, že tieto výpočty používajú konštantné číslo Π = 3,1415926, ktoré sa vypočíta ako pomer obvodu kruhu k jeho priemeru. Toto číslo je matematická konštanta. O niečo neskôr zvážime aj príklad výpočtu plochy základne valca.

Povrchová plocha na strane valca

Vzorec pre plochu bočného povrchu valca je výsledkom dĺžky základne a jej výšky:

Teraz zvážte problém, v ktorom musíme vypočítať celkovú plochu valca. Na danom obrázku je výška h = 4 cm, r = 2 cm. Nájdite celkovú plochu valca.
Najprv vypočítame plochu základne:
Teraz zvážte príklad výpočtu plochy bočného povrchu valca. Po roztiahnutí je to obdĺžnik. Jeho plocha sa vypočíta podľa vyššie uvedeného vzorca. Nahraďte do nej všetky údaje:
Celková plocha kruhu je súčet dvojnásobku plochy základne a strany:

Pomocou vzorcov pre plochu základne a bočnú plochu figúry sme teda dokázali nájsť celkovú plochu valca.
Axiálny rez valca je obdĺžnik, ktorého strany sa rovnajú výške a priemeru valca.

Vzorec pre oblasť axiálneho úseku valca je odvodený z výpočtového vzorca:

Nájdite oblasť axiálneho rezu kolmého na základne valca. Jedna zo strán tohto obdĺžnika sa rovná výške valca, druhá sa rovná priemeru základnej kružnice. V súlade s tým bude plocha prierezu v tomto prípade rovná súčinu strán obdĺžnika. S=2R*h, kde S je plocha prierezu, R je polomer základnej kružnice daný podmienkami úlohy a h je výška valca, tiež daná podmienkami úlohy.

Ak je rez kolmý na základne, ale neprechádza osou otáčania, obdĺžnik sa nebude rovnať priemeru kruhu. Treba to vypočítať. Na to musí úloha povedať, v akej vzdialenosti od osi otáčania prechádza rovina rezu. Pre pohodlie výpočtov zostrojte kruh základne valca, nakreslite polomer a odložte naň vzdialenosť, v ktorej je časť umiestnená od stredu kruhu. Od tohto bodu ťahajte ku kolmici, kým sa nepretnú s kružnicou. Pripojte priesečníky do stredu. Musíte nájsť akordy. Nájdite veľkosť polovice akordu pomocou Pytagorovej vety. Bude sa rovnať druhej odmocnine rozdielu druhých mocnín polomeru kruhu od stredu k čiare rezu. a2=R2-b2. Celý akord sa bude rovnať 2a. Vypočítajte plochu prierezu, ktorá sa rovná súčinu strán obdĺžnika, teda S=2a*h.

Valec môže byť rozrezaný bez toho, aby prešiel rovinou základne. Ak je prierez kolmý na os otáčania, potom to bude kruh. Jeho plocha sa v tomto prípade rovná ploche základne, to znamená, že sa vypočíta podľa vzorca S \u003d πR2.

Užitočné rady

Pre presnejšiu predstavu rezu urobte nákres a ďalšie konštrukcie k nemu.

Zdroje:

• plocha prierezu valca

Priamka priesečníka plochy s rovinou patrí k ploche aj k sečnej rovine. Priamka priesečníka valcovej plochy so sečnou rovinou rovnobežnou s priamou tvoriacou čiarou je priamka. Ak je rovina rezu kolmá na os rotačnej plochy, rez bude mať kruh. Vo všeobecnosti je priesečník valcovej plochy s rovinou rezu zakrivená čiara.

Budete potrebovať

• Ceruzka, pravítko, trojuholník, vzory, kružidlo, merací prístroj.

Inštrukcia

Na rovine čelného priemetu P2 sa čiara rezu zhoduje s priemetom roviny sečnice Σ₂ v tvare priamky.
Označte priesečníky tvoriacich čiar valca s priemetom Σ₂ 1₂, 2₂ atď. k bodom 10₂ a 11₂.

V rovine P₁ je kruh. Body 1₂ , 2₂ vyznačené na rovine rezu Σ₂ atď. pomocou premietacej čiary sa spoje premietnu na obrys tejto kružnice. Označte ich vodorovné priemety symetricky okolo vodorovnej osi kruhu.

Takto sú definované priemety požadovaného rezu: na rovine P2 - priamka (body 12, 22 ... 102); na rovine P₁ - kruh (body 1₁, 2₁ ... 10₁).

Dvojkou zostrojte prirodzenú veľkosť prierezu daného valca čelnou premietacou rovinou Σ. Na tento účel použite metódu projekcií.

Nakreslite rovinu P₄ rovnobežnú s priemetom roviny Σ₂. Na tejto novej osi x₂4 označte bod 1₀. Vzdialenosť medzi bodmi 1₂ – 2₂, 2₂ – 4₂ atď. z čelného priemetu rezu, vyčleneného na os x24, nakreslite tenké čiary spojenia projekcie kolmo na os x24.

Pri tomto spôsobe je rovina P4 nahradená rovinou P1, preto z horizontálnej projekcie preneste rozmery z osi do bodov na os roviny P4.

Napríklad na P₁ pre body 2 a 3 to bude vzdialenosť od 21 a 31 k osi (bod A) atď.

Po odložení uvedených vzdialeností od horizontálnej projekcie získate body 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Potom sa pre väčšiu presnosť konštrukcie určia zvyšné, medziľahlé, body.

Spojením všetkých bodov zakrivenou krivkou získate požadovanú prirodzenú veľkosť prierezu valca pri čelnej premietacej rovine.

Zdroje:

• ako nahradiť lietadlo

Tip 3: Ako nájsť oblasť axiálneho rezu zrezaného kužeľa

Na vyriešenie tohto problému si musíte pamätať, čo je zrezaný kužeľ a aké vlastnosti má. Určite kreslite. To určí, ktorý geometrický útvar je rez. Je celkom možné, že po tomto už pre vás riešenie problému nebude ťažké.

Inštrukcia

Okrúhly kužeľ je teleso získané otáčaním trojuholníka okolo jednej z jeho nôh. Rovné čiary prichádzajúce zhora šišky a pretínajúce jeho základňu sa nazývajú generátory. Ak sú všetky generátory rovnaké, potom je kužeľ rovný. Na základni kola šišky leží kruh. Kolmica spustená k základni zhora je výška šišky. Na kruhovej rovinke šišky výška sa zhoduje s jeho osou. Os je priamka spájajúca sa so stredom základne. Ak je horizontálna rovina rezu kruhová šišky, potom je jeho horná základňa kruh.

Keďže v podmienke úlohy nie je špecifikované, že v tomto prípade je daný kužeľ, môžeme usúdiť, že ide o rovný zrezaný kužeľ, ktorého horizontálny rez je rovnobežný so základňou. Jeho osový rez, t.j. zvislej rovine, ktorá prechádza osou kružnice šišky, je rovnoramenný lichobežník. Všetko axiálne oddielov okrúhle rovné šišky sú si navzájom rovné. Preto nájsť námestie axiálne oddielov, je potrebné nájsť námestie lichobežník, ktorého základne sú priemery základov skrátených šišky, a strany sú jeho generátory. Skrátená výška šišky je tiež výška lichobežníka.

Plocha lichobežníka je určená vzorcom: S = ½(a+b) h, kde S je námestie lichobežník; a - hodnota spodnej základne lichobežníka; b - hodnota jeho hornej základne; h - výška lichobežníka.

Keďže podmienka nešpecifikuje, ktoré z nich sú dané, je možné, že priemery oboch pätiek skrátených šišky známe: AD = d1 je priemer spodnej základne zrezaného šišky;BC = d2 je priemer jeho hornej základne; EH = h1 - výška šišky.Touto cestou, námestie axiálne oddielov skrátený šišky definované: S1 = ½ (d1+d2) h1

Zdroje:

• oblasť zrezaného kužeľa

Valec je trojrozmerný obrazec a pozostáva z dvoch rovnakých podstav, ktorými sú kruhy, a bočnej plochy spájajúcej podstavy. Kalkulovať námestie valec, nájdite plochy všetkých jeho povrchov a spočítajte ich.