Všeobecné teorémy dynamiky, technická mechanika. Teoretická mechanika

(MECHANICKÉ SYSTÉMY) - IV možnosť

1. Základnú rovnicu dynamiky hmotného bodu, ako je známe, vyjadruje rovnica . Diferenciálne rovnice pohybu ľubovoľných bodov nevoľného mechanického systému podľa dvoch metód delenia síl možno zapísať v dvoch formách:

(1) , kde k=1, 2, 3, … , n je počet bodov materiálového systému.

(2)

kde je hmotnosť k-tého bodu; - polomerový vektor k-tého bodu, - daná (aktívna) sila pôsobiaca na k-tý bod alebo výslednica všetkých činných síl pôsobiacich na k-tý bod. - výslednica reakčných síl väzieb, pôsobiacich v k-tom bode; - výslednica vnútorných síl pôsobiacich na k-tý bod; - výslednica vonkajších síl pôsobiacich na k-tý bod.

Rovnice (1) a (2) možno použiť na riešenie prvého aj druhého problému dynamiky. Riešenie druhého problému dynamiky pre systém sa však stáva veľmi komplikovaným nielen z matematického hľadiska, ale aj preto, že narážame na zásadné ťažkosti. Spočívajú v tom, že pre systém (1) aj pre systém (2) je počet rovníc oveľa menší ako počet neznámych.

Takže, ak použijeme (1), potom známy pre druhý (inverzný) problém dynamiky bude a , a neznáme budú a . Vektorové rovnice budú " n“ a neznámy – „2n“.

Ak vychádzame zo sústavy rovníc (2), tak známe a časť vonkajších síl . Prečo časť? Faktom je, že počet vonkajších síl zahŕňa aj vonkajšie reakcie väzieb, ktoré sú neznáme. Okrem toho budú aj neznáme.

Systém (1) aj systém (2) sú teda OTVORENÉ. Musíme pridať rovnice, berúc do úvahy rovnice vzťahov, a možno ešte musíme zaviesť určité obmedzenia na samotné vzťahy. Čo robiť?

Ak vychádzame z (1), potom môžeme ísť cestou zostavovania Lagrangeových rovníc prvého druhu. Ale táto cesta nie je racionálna, pretože čím je úloha jednoduchšia (čím menej stupňov voľnosti), tým ťažšie je ju vyriešiť z hľadiska matematiky.

Potom venujme pozornosť systému (2), kde - sú vždy neznáme. Prvým krokom pri riešení systému je odstránenie týchto neznámych. Treba si uvedomiť, že pri pohybe sústavy nás spravidla nezaujímajú vnútorné sily, to znamená, že keď sa sústava pohybuje, nie je potrebné vedieť, ako sa pohybuje každý bod sústavy, ale stačí vedieť, ako sa systém ako celok pohybuje.

Ak sa teda zo systému (2) rôznymi spôsobmi vylúčia neznáme sily, získame nejaké vzťahy, t.j. objavia sa nejaké všeobecné charakteristiky pre systém, ktorých znalosť umožňuje posúdiť, ako sa systém vo všeobecnosti pohybuje. Tieto charakteristiky sa zavádzajú pomocou tzv všeobecné teorémy dynamiky. Existujú štyri takéto vety:

1. Veta o pohyb ťažiska mechanického systému;

2. Veta o zmena hybnosti mechanického systému;

3. Veta o zmena momentu hybnosti mechanického systému;

4. Veta o zmena kinetickej energie mechanického systému.

Pomerne často je možné izolovať dôležité vlastnosti pohybu mechanického systému bez toho, aby sme sa uchýlili k integrácii systému diferenciálnych pohybových rovníc. To sa dosiahne aplikáciou všeobecných teorémov dynamiky.

5.1. Základné pojmy a definície

Vonkajšie a vnútorné sily. Akákoľvek sila pôsobiaca na bod mechanického systému je nevyhnutne buď aktívnou silou alebo väzbovou reakciou. Celý súbor síl pôsobiacich na body systému možno rozdeliť do dvoch tried odlišne: na vonkajšie sily a vnútorné sily (indexy e a i - z latinských slov externus - vonkajší a internus - vnútorný). Vonkajšie sily sa nazývajú sily pôsobiace na body systému z bodov a telies, ktoré nie sú súčasťou posudzovaného systému. Sily interakcie medzi bodmi a telesami uvažovaného systému sa nazývajú vnútorné.

Toto rozdelenie závisí od toho, aké hmotné body a telesá výskumník zaradil do uvažovaného mechanického systému. Ak sa zloženie systému rozšíri tak, aby zahŕňalo ďalšie body a telesá, potom niektoré sily, ktoré boli vonkajšie pre predchádzajúci systém, sa môžu stať vnútornými pre expandovaný systém.

Vlastnosti vnútorných síl. Keďže tieto sily sú silami interakcie medzi časťami systému, sú zahrnuté v kompletnom systéme vnútorných síl v „dvoch“ organizovaných v súlade s axiómou akcia-reakcia. Každá taká „dvojka“ síl

hlavný vektor a hlavný moment okolo ľubovoľného stredu sa rovnajú nule. Keďže kompletný systém vnútorných síl pozostáva len z „dvojiek“, tak

1) hlavný vektor systému vnútorných síl sa rovná nule,

2) hlavný moment systému vnútorných síl vzhľadom na ľubovoľný bod je rovný nule.

Hmotnosť systému je aritmetický súčet hmotností mk všetkých bodov a telies, ktoré tvoria systém:

ťažisko(stred zotrvačnosti) mechanického systému je geometrický bod C, ktorého vektor polomeru a súradnice sú určené vzorcami

kde sú vektory polomerov a súradnice bodov, ktoré tvoria systém.

Pre tuhé teleso v rovnomernom gravitačnom poli sa polohy ťažiska a ťažiska zhodujú, v ostatných prípadoch ide o rôzne geometrické body.

Spolu s inerciálnou vzťažnou sústavou sa často súčasne uvažuje o neinerciálnej vzťažnej sústave pohybujúcej sa vpred. Jeho súradnicové osi (Koenigove osi) sú zvolené tak, aby sa referenčný bod C vždy zhodoval s ťažiskom mechanického systému. V súlade s definíciou je ťažisko fixované v Koenigových osiach a nachádza sa v počiatku súradníc.

Moment zotrvačnosti systému vzhľadom na os sa nazýva skalárna veličina rovnajúca sa súčtu súčinov hmotností mk všetkých bodov systému druhými mocninami ich vzdialeností od osi:

Ak je mechanický systém tuhé telo, na nájdenie 12 môžete použiť vzorec

kde je hustota, objem, ktorý zaberá teleso.

Všeobecné teorémy dynamiky sústavy telies. Vety o pohybe ťažiska, o zmene hybnosti, o zmene hlavného momentu hybnosti, o zmene kinetickej energie. d'Alembertove princípy a možné posuny. Všeobecná rovnica dynamiky. Lagrangeove rovnice.

Všeobecné teorémy dynamiky tuhých telies a sústav telies

Všeobecné teorémy dynamiky- je to veta o pohybe ťažiska mechanického systému, veta o zmene hybnosti, veta o zmene hlavného momentu hybnosti (kinetický moment) a veta o zmene hybnosti. kinetická energia mechanického systému.

Veta o pohybe ťažiska mechanického systému

Veta o pohybe ťažiska.
Súčin hmotnosti systému a zrýchlenia jeho ťažiska sa rovná vektorovému súčtu všetkých vonkajších síl pôsobiacich na systém:
.

Tu je M hmotnosť systému:
;
a C - zrýchlenie ťažiska systému:
;
v C - rýchlosť ťažiska systému:
;
r C - vektor polomeru (súradnice) ťažiska systému:
;
- súradnice (vzhľadom na pevný stred) a hmotnosti bodov, ktoré tvoria systém.

Veta o zmene hybnosti (hybnosti)

Množstvo pohybu (hybnosť) systému sa rovná súčinu hmotnosti celého systému a rýchlosti jeho ťažiska alebo súčtu hybnosti (súčet impulzov) jednotlivých bodov alebo častí, ktoré tvoria systém:
.

Veta o zmene hybnosti v diferenciálnom tvare.
Časová derivácia množstva pohybu (hybnosti) systému sa rovná vektorovému súčtu všetkých vonkajších síl pôsobiacich na systém:
.

Veta o zmene hybnosti v integrálnom tvare.
Zmena množstva pohybu (hybnosti) systému za určité časové obdobie sa rovná súčtu impulzov vonkajších síl za rovnaké časové obdobie:
.

Zákon zachovania hybnosti (hybnosti).
Ak je súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich na systém nulový, potom vektor hybnosti systému bude konštantný. To znamená, že všetky jeho projekcie na súradnicových osiach si zachovajú konštantné hodnoty.

Ak je súčet priemetov vonkajších síl na ktorúkoľvek os rovný nule, potom priemet hybnosti systému na túto os bude konštantný.

Veta o zmene hlavného momentu hybnosti (teorém momentov)

Hlavný moment množstva pohybu systému vzhľadom na daný stred O je hodnota rovnajúca sa vektorovému súčtu momentov veličín pohybu všetkých bodov systému vzhľadom k tomuto stredu:
.
Hranaté zátvorky tu označujú vektorový súčin.

Pevné systémy

Nasledujúca veta sa týka prípadu, keď má mechanický systém pevný bod alebo os, ktorá je pevná vzhľadom na inerciálnu vzťažnú sústavu. Napríklad teleso upevnené guľovým ložiskom. Alebo systém telies pohybujúcich sa okolo pevného stredu. Môže to byť aj pevná os, okolo ktorej sa otáča teleso alebo sústava telies. V tomto prípade by sa momenty mali chápať ako momenty impulzu a sily vzhľadom na pevnú os.

Veta o zmene hlavného momentu hybnosti (teorém momentov)
Časová derivácia hlavného momentu hybnosti sústavy vzhľadom na nejaký pevný stred O sa rovná súčtu momentov všetkých vonkajších síl sústavy vzhľadom na ten istý stred.

Zákon zachovania hlavného momentu hybnosti (momentu hybnosti).
Ak je súčet momentov všetkých vonkajších síl pôsobiacich na systém vzhľadom na daný pevný stred O rovný nule, potom bude hlavný moment hybnosti systému vzhľadom na tento stred konštantný. To znamená, že všetky jeho projekcie na súradnicových osiach si zachovajú konštantné hodnoty.

Ak je súčet momentov vonkajších síl okolo nejakej pevnej osi rovný nule, tak moment hybnosti systému okolo tejto osi bude konštantný.

Svojvoľné systémy

Nasledujúca veta má univerzálny charakter. Je použiteľný pre pevné aj voľne pohyblivé systémy. V prípade pevných systémov je potrebné brať do úvahy reakcie väzieb v pevných bodoch. Od predchádzajúcej vety sa líši tým, že namiesto pevného bodu O treba brať ťažisko C systému.

Veta o momentoch o ťažisku
Časová derivácia hlavného momentu hybnosti sústavy okolo ťažiska C sa rovná súčtu momentov všetkých vonkajších síl sústavy okolo toho istého stredu.

Zákon zachovania momentu hybnosti.
Ak je súčet momentov všetkých vonkajších síl pôsobiacich na systém okolo ťažiska C rovný nule, potom hlavný moment hybnosti systému okolo tohto stredu bude konštantný. To znamená, že všetky jeho projekcie na súradnicových osiach si zachovajú konštantné hodnoty.

moment zotrvačnosti tela

Ak sa teleso otáča okolo osi z s uhlovou rýchlosťou ω z , potom jeho moment hybnosti (kinetický moment) vzhľadom na os z je určený vzorcom:
L z = J z ω z ,
kde J z je moment zotrvačnosti telesa okolo osi z.

Moment zotrvačnosti telesa okolo osi z sa určuje podľa vzorca:
,
kde h k je vzdialenosť od hmotného bodu m k k osi z.
Pre tenký krúžok s hmotnosťou M a polomerom R alebo valec, ktorého hmotnosť je rozložená pozdĺž jeho okraja,
Jz = M R 2 .
Pre pevný homogénny krúžok alebo valec,
.

Steiner-Huygensova veta.
Nech Cz je os prechádzajúca ťažiskom telesa, Oz je os rovnobežná s ním. Potom sú momenty zotrvačnosti telesa okolo týchto osí spojené vzťahom:
J Oz = J Cz + M a 2 ,
kde M je telesná hmotnosť; a - vzdialenosť medzi nápravami.

Viac všeobecne:
,
kde je tenzor zotrvačnosti tela.
Tu je vektor nakreslený z ťažiska telesa do bodu s hmotnosťou m k .

Veta o zmene kinetickej energie

Nech teleso s hmotnosťou M vykoná translačný a rotačný pohyb s uhlovou rýchlosťou ω okolo nejakej osi z. Potom je kinetická energia telesa určená vzorcom:
,
kde v C je rýchlosť pohybu ťažiska telesa;
J Cz - moment zotrvačnosti telesa okolo osi prechádzajúcej ťažiskom telesa rovnobežnej s osou otáčania. Smer osi otáčania sa môže časom meniť. Tento vzorec udáva okamžitú hodnotu kinetickej energie.

Veta o zmene kinetickej energie systému v diferenciálnom tvare.
Rozdiel (prírastok) kinetickej energie systému počas niektorých jeho posunov sa rovná súčtu diferenciálov práce na tomto posune všetkých vonkajších a vnútorných síl pôsobiacich na systém:
.

Veta o zmene kinetickej energie systému v integrálnom tvare.
Zmena kinetickej energie systému počas jeho určitého posunu sa rovná súčtu práce na tomto posune všetkých vonkajších a vnútorných síl pôsobiacich na systém:
.

Práca vykonaná silou, sa rovná skalárnemu súčinu vektorov sily a nekonečne malému posunutiu bodu jeho pôsobenia:
,
teda súčin modulov vektorov F a ds a kosínus uhla medzi nimi.

Práca vykonaná momentom sily, sa rovná skalárnemu súčinu vektorov momentu a nekonečne malého uhla natočenia:
.

d'Alembertov princíp

Podstatou d'Alembertovho princípu je zredukovať problémy dynamiky na problémy statiky. Na to sa predpokladá (alebo je to vopred známe), že telesá systému majú určité (uhlové) zrýchlenia. Ďalej sa zavedú zotrvačné sily a (alebo) momenty zotrvačných síl, ktoré sú svojou veľkosťou rovnaké a recipročné v smere silám a momentom síl, ktoré by podľa zákonov mechaniky vytvárali dané zrýchlenia alebo uhlové zrýchlenia.

Zvážte príklad. Teleso vykonáva translačný pohyb a pôsobia naň vonkajšie sily. Ďalej predpokladáme, že tieto sily vytvárajú zrýchlenie ťažiska systému. Podľa vety o pohybe ťažiska by ťažisko telesa malo rovnaké zrýchlenie, ak by na teleso pôsobila sila. Ďalej predstavíme zotrvačnú silu:
.
Potom je úlohou dynamiky:
.
;
.

Pri rotačnom pohybe postupujte podobne. Nech sa teleso otáča okolo osi z a pôsobia naň vonkajšie momenty síl M e zk. Predpokladáme, že tieto momenty vytvárajú uhlové zrýchlenie ε z . Ďalej zavedieme moment zotrvačných síl M И = - J z ε z . Potom je úlohou dynamiky:
.
Zmení sa na statickú úlohu:
;
.

Princíp možných pohybov

Princíp možných posunov sa využíva pri riešení problémov statiky. V niektorých úlohách dáva kratšie riešenie ako písanie rovnováh rovnováhy. Platí to najmä pre sústavy so spojeniami (napríklad sústavy telies spojených závitmi a blokmi), ktoré pozostávajú z mnohých telies

Princíp možných pohybov.
Pre rovnováhu mechanickej sústavy s ideálnymi väzbami je potrebné a postačujúce, aby súčet elementárnych prác všetkých aktívnych síl pôsobiacich na ňu pri akomkoľvek možnom posunutí sústavy bol rovný nule.

Možné premiestnenie systému- ide o malé posunutie, pri ktorom nie sú prerušené spojenia uložené v systéme.

Perfektné spojenia- sú to väzby, ktoré nefungujú pri pohybe systému. Presnejšie povedané, súčet práce vykonanej samotnými odkazmi pri pohybe systému je nulový.

Všeobecná rovnica dynamiky (d'Alembert - Lagrangeov princíp)

D'Alembert-Lagrangeov princíp je kombináciou d'Alembertovho princípu s princípom možných posunov. To znamená, že pri riešení úlohy dynamiky zavedieme zotrvačné sily a problém zredukujeme na problém statiky, ktorý riešime na princípe možných posunov.

d'Alembert-Lagrangeov princíp.
Keď sa mechanický systém pohybuje s ideálnymi obmedzeniami v každom časovom okamihu, súčet základných prác všetkých aplikovaných aktívnych síl a všetkých zotrvačných síl na akékoľvek možné posunutie systému je rovný nule:
.
Táto rovnica sa nazýva všeobecná rovnica dynamiky.

Lagrangeove rovnice

Zovšeobecnené súradnice q 1, q2, ..., qn je množina n hodnôt, ktoré jednoznačne určujú polohu systému.

Počet zovšeobecnených súradníc n sa zhoduje s počtom stupňov voľnosti systému.

Všeobecné rýchlosti sú deriváty zovšeobecnených súradníc vzhľadom na čas t.

Zovšeobecnené sily Q 1, Q2, ..., Qn .
Zvážte možné posunutie systému, v ktorom súradnica q k dostane posunutie δq k . Ostatné súradnice zostávajú nezmenené. Nech δA k je práca vykonaná vonkajšími silami pri takomto posunutí. Potom
δA k = Q k δq k, alebo
.

Ak sa pri možnom posunutí systému zmenia všetky súradnice, potom práca vykonaná vonkajšími silami pri takomto posunutí má tvar:
5A = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Potom sú zovšeobecnené sily čiastočnými deriváciami práce posunutia:
.

Pre potenciálne sily s potenciálom Π,
.

Lagrangeove rovnice sú pohybové rovnice mechanického systému vo všeobecných súradniciach:

Tu je T kinetická energia. Je funkciou zovšeobecnených súradníc, rýchlostí a prípadne času. Preto je jeho parciálna derivácia tiež funkciou zovšeobecnených súradníc, rýchlostí a času. Ďalej musíte vziať do úvahy, že súradnice a rýchlosti sú funkciami času. Preto, aby ste našli deriváciu celkového času, musíte použiť pravidlo diferenciácie komplexnej funkcie:
.

Referencie:
S. M. Targ, Krátky kurz teoretickej mechaniky, Vysoká škola, 2010.

Uvažujme pohyb určitého systému hmotných objemov vzhľadom na pevný súradnicový systém. Keď systém nie je voľný, potom ho môžeme považovať za voľný, ak zrušíme obmedzenia kladené na systém a nahradíme ich pôsobenie zodpovedajúcimi reakciami.

Rozdeľme všetky sily pôsobiace na systém na vonkajšie a vnútorné; obe môžu zahŕňať reakcie vyradeného

spojenia. Označte a hlavný vektor a hlavný moment vonkajších síl vzhľadom na bod A.

1. Veta o zmene hybnosti. Ak je hybnosť systému, potom (pozri )

t.j. platí veta: časová derivácia hybnosti sústavy sa rovná hlavnému vektoru všetkých vonkajších síl.

Nahradením vektora jeho vyjadrením kde je hmotnosť systému, je rýchlosť ťažiska, rovnica (4.1) môže mať iný tvar:

Táto rovnosť znamená, že ťažisko sústavy sa pohybuje ako hmotný bod, ktorého hmotnosť sa rovná hmotnosti sústavy a na ktorú pôsobí sila, ktorá sa geometricky rovná hlavnému vektoru všetkých vonkajších síl sústavy. Posledné tvrdenie sa nazýva teoréma o pohybe ťažiska (stredu zotrvačnosti) sústavy.

Ak potom z (4.1) vyplýva, že vektor hybnosti je konštantný vo veľkosti a smere. Premietnutím na súradnicovú os získame tri skalárne prvé integrály diferenciálnych rovníc dvojitého reťazca systému:

Tieto integrály sa nazývajú hybné integrály. Keď je rýchlosť ťažiska konštantná, t.j. pohybuje sa rovnomerne a priamočiaro.

Ak sa priemet hlavného vektora vonkajších síl na ktorúkoľvek os, napríklad na os, rovná nule, potom máme jeden prvý integrál, alebo ak sa dva priemety hlavného vektora rovnajú nule, potom dva integrály hybnosti.

2. Veta o zmene kinetického momentu. Nech A je nejaký ľubovoľný bod v priestore (pohybujúci sa alebo stacionárny), ktorý sa nemusí nevyhnutne zhodovať s nejakým konkrétnym hmotným bodom systému počas celej doby pohybu. Jeho rýchlosť v pevnej sústave súradníc označujeme ako Veta o zmene momentu hybnosti hmotnej sústavy voči bodu A má tvar

Ak je bod A pevný, potom má rovnosť (4.3) jednoduchšiu formu:

Táto rovnosť vyjadruje teorém o zmene momentu hybnosti sústavy voči pevnému bodu: časová derivácia momentu hybnosti sústavy, vypočítaná vzhľadom na nejaký pevný bod, sa rovná hlavnému momentu všetkých vonkajších síl relatívnej do tohto bodu.

Ak je potom podľa (4.4) vektor momentu hybnosti konštantný čo do veľkosti a smeru. Premietnutím na súradnicovú os získame skalárne prvé integrály diferenciálnych rovníc pohybu systému:

Tieto integrály sa nazývajú integrály momentu hybnosti alebo integrály plôch.

Ak sa bod A zhoduje s ťažiskom sústavy, potom prvý člen na pravej strane rovnosti (4.3) zanikne a veta o zmene momentu hybnosti má rovnaký tvar (4.4) ako v prípade pevný bod A. Všimnite si (pozri 4 § 3), že v posudzovanom prípade môže byť absolútny moment hybnosti systému na ľavej strane rovnosti (4.4) nahradený rovnakým momentom hybnosti systému pri jeho pohybe vzhľadom na ťažisko.

Nech je nejaká konštantná os alebo os konštantného smeru prechádzajúca ťažiskom systému a nech je moment hybnosti systému vzhľadom na túto os. Z (4.4) vyplýva, že

kde je moment vonkajších síl okolo osi. Ak počas celej doby pohybu máme prvý integrál

V prácach S. A. Chaplygina sa získalo niekoľko zovšeobecnení vety o zmene momentu hybnosti, ktoré sa potom uplatnili pri riešení množstva problémov o odvaľovaní guľôčok. Ďalšie zovšeobecnenia vety o zmene kpnetologického momentu a ich aplikácie v problémoch dynamiky tuhého telesa sú obsiahnuté v prácach. Hlavné výsledky týchto prác súvisia s teorémom o zmene momentu hybnosti vzhľadom na pohybujúci sa moment, ktorý neustále prechádza cez nejaký pohyblivý bod A. Nech je jednotkový vektor smerovaný pozdĺž tejto osi. Skalárnym vynásobením oboma stranami rovnosti (4.3) a pridaním člena k obom jej častiam dostaneme

Keď je splnená kinematická podmienka

rovnica (4.5) vyplýva z (4.7). A ak je podmienka (4.8) splnená počas celej doby pohybu, tak prvý integrál (4.6) existuje.

Ak sú spojenia sústavy ideálne a umožňujú rotáciu sústavy ako tuhého telesa okolo osi a v počte virtuálnych posunov, potom hlavný moment reakcií okolo osi a je rovný nule a potom hodnota na pravá strana rovnice (4.5) je hlavným momentom všetkých vonkajších aktívnych síl okolo osi a . Rovnosť tohto momentu k nule a splniteľnosť vzťahu (4.8) budú v posudzovanom prípade postačujúce podmienky pre existenciu integrálu (4.6).

Ak je smer osi a nezmenený, potom podmienku (4.8) možno zapísať ako

Táto rovnosť znamená, že priemet rýchlosti ťažiska a rýchlosti bodu A na os a na rovinu na ňu kolmú sú rovnobežné. V práci S. A. Chaplygina sa namiesto (4.9) vyžaduje menej všeobecná podmienka, kde X je ľubovoľná konštanta.

Všimnite si, že podmienka (4.8) nezávisí od výberu bodu na . Nech P je ľubovoľný bod na osi. Potom

a preto

Na záver si všimneme geometrickú interpretáciu Resalových rovníc (4.1) a (4.4): vektory absolútnych rýchlostí koncov vektorov a sú rovné hlavnému vektoru a hlavnému momentu všetkých vonkajších síl vo vzťahu k bod A.

MINISTERSTVO POĽNOHOSPODÁRSTVA A STRAVOVANIA BIELORUSKEJ REPUBLIKY

Vzdelávacia inštitúcia „BIELORUSKÝ ŠTÁTNY AGRAR

TECHNICKÁ UNIVERZITA"

Katedra teoretickej mechaniky a teórie mechanizmov a strojov

TEORETICKÁ MECHANIKA

metodický komplex pre študentov skupiny odborov

74 06 Poľnohospodárska technika

V 2 častiach 1. časť

UDC 531,3(07) LBC 22,213ya7 T 33

Skomplikovaný:

Kandidát fyzikálnych a matematických vied, docent Yu. S. Biza, kandidát technických vied, docent N. L. Raková, odborná asistentkaI. A. Tarasevič

Recenzenti:

Katedra teoretickej mechaniky vzdelávacieho zariadenia „Bieloruská národná technická univerzita“ (ved.

Katedra teoretickej mechaniky BNTU doktor fyzikálnych a matematických vied, profesor A. V. Chigarev);

Vedúci výskumný pracovník Laboratória „Vibroochrana mechanických systémov“ Štátny vedecký ústav „Spoločný strojársky ústav

Národná akadémia vied Bieloruska“, kandidát technických vied, docent A. M. Goman

Teoretická mechanika. Sekcia "Dynamika": vzdelávacia

Metóda T33. komplexné. V 2 častiach 1. časť / zostava: Yu. S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevich. - Minsk: BGATU, 2013. - 120 s.

ISBN 978-985-519-616-8.

Vzdelávací a metodický komplex predstavuje materiály pre štúdium sekcie „Dynamika“, 1. časť, ktorá je súčasťou disciplíny „Teoretická mechanika“. Zahŕňa kurz prednášok, základné materiály o realizácii praktických hodín, zadania a vzory zadaní pre samostatnú prácu a kontrolu výchovno-vzdelávacej činnosti študentov dennej a externej formy štúdia.

MDT 531,3(07) LBC 22,213ya7

ÚVOD

Teoretická mechanika je veda o všeobecných zákonoch mechanického pohybu, rovnováhy a interakcie hmotných telies.

Ide o jednu zo základných všeobecných vedeckých fyzikálnych a matematických disciplín. Je to teoretický základ moderných technológií.

Štúdium teoretickej mechaniky spolu s ďalšími fyzikálnymi a matematickými disciplínami prispieva k rozširovaniu vedeckých obzorov, formuje schopnosť konkrétneho a abstraktného myslenia a prispieva k zlepšovaniu všeobecnej technickej kultúry budúceho odborníka.

Teoretická mechanika ako vedecký základ všetkých technických disciplín prispieva k rozvoju zručností pre racionálne riešenie inžinierskych problémov spojených s prevádzkou, opravou a projektovaním poľnohospodárskych a rekultivačných strojov a zariadení.

Podľa charakteru uvažovaných úloh sa mechanika delí na statiku, kinematiku a dynamiku. Dynamika je časť teoretickej mechaniky, ktorá študuje pohyb hmotných telies pri pôsobení aplikovaných síl.

AT vzdelávacie a metodické komplexu (TMC) prezentuje materiály o štúdiu sekcie „Dynamika“, ktorá obsahuje kurz prednášok, základné materiály pre praktickú prácu, zadania a ukážky výkonov pre samostatnú prácu a sledovanie výchovno-vzdelávacej činnosti študentov externej formy štúdia. .

AT V dôsledku štúdia sekcie "Dynamika" sa študent musí naučiť teoretické základy dynamiky a zvládnuť základné metódy riešenia problémov dynamiky:

Poznať metódy riešenia úloh dynamiky, všeobecné teorémy dynamiky, princípy mechaniky;

Vedieť určiť zákony pohybu telesa v závislosti od síl, ktoré naň pôsobia; aplikovať zákony a vety mechaniky na riešenie problémov; určiť statické a dynamické reakcie väzieb, ktoré obmedzujú pohyb telies.

Učebné osnovy odboru „Teoretická mechanika“ počítajú s celkovým počtom vyučovacích hodín – 136, z toho 36 hodín na štúdium odboru „Dynamika“.

1. VEDECKÝ A TEORETICKÝ OBSAH VZDELÁVACIEHO A METODICKÉHO KOMPLEXU

1.1. Slovník pojmov

Statika je časť mechaniky, ktorá stanovuje všeobecnú doktrínu síl, študuje redukciu zložitých systémov síl na najjednoduchšiu formu a stanovuje podmienky pre rovnováhu rôznych systémov síl.

Kinematika je odvetvie teoretickej mechaniky, v ktorom sa študuje pohyb hmotných objektov bez ohľadu na príčiny, ktoré tento pohyb spôsobujú, t.j. bez ohľadu na sily pôsobiace na tieto objekty.

Dynamika je časť teoretickej mechaniky, ktorá študuje pohyb hmotných telies (bodov) pri pôsobení pôsobiacich síl.

Materiálny bod- hmotné teleso, ktorého rozdiel v pohybe bodov je nepatrný.

Hmotnosť telesa je skalárna kladná hodnota, ktorá závisí od množstva hmoty obsiahnutej v danom telese a určuje jeho mieru zotrvačnosti počas translačného pohybu.

Referenčný systém - súradnicový systém spojený s telesom, vo vzťahu ku ktorému sa skúma pohyb iného telesa.

inerciálny systém- systém, v ktorom sa napĺňa prvý a druhý zákon dynamiky.

Hybnosť sily je vektorová miera pôsobenia sily za určitý čas.

Množstvo pohybu hmotného bodu je vektorová miera jeho pohybu, ktorá sa rovná súčinu hmotnosti bodu a vektora jeho rýchlosti.

Kinetická energia je skalárna miera mechanického pohybu.

Elementárna silová práca je infinitezimálna skalárna veličina rovnajúca sa skalárnemu súčinu vektora sily a vektoru nekonečne malého posunutia bodu pôsobenia sily.

Kinetická energia je skalárna miera mechanického pohybu.

Kinetická energia hmotného bodu je skalárna

kladná hodnota rovnajúca sa polovici súčinu hmotnosti bodu a druhej mocniny jeho rýchlosti.

Kinetická energia mechanického systému je aritmetický

kinetický súčet kinetických energií všetkých hmotných bodov tohto systému.

Sila je mierou mechanickej interakcie telies, ktorá charakterizuje jej intenzitu a smer.

1.2. Témy prednášok a ich obsah

Časť 1. Úvod do dynamiky. Základné pojmy

klasickej mechaniky

Téma 1. Dynamika hmotného bodu

Zákony dynamiky hmotného bodu (zákony Galileo - Newton). Diferenciálne rovnice pohybu hmotného bodu. Dve hlavné úlohy dynamiky pre hmotný bod. Riešenie druhého problému dynamiky; integračné konštanty a ich určenie z počiatočných podmienok.

Literatúra:, str. 180-196, , str. 12-26.

Téma 2. Dynamika relatívneho pohybu materiálu

Relatívny pohyb hmotného bodu. Diferenciálne rovnice relatívneho pohybu bodu; prenosné a Coriolisove sily zotrvačnosti. Princíp relativity v klasickej mechanike. Prípad relatívneho odpočinku.

Literatúra: , s. 180-196, , s. 127-155.

Téma 3. Geometria hmôt. Ťažisko mechanického systému

Hmotnosť systému. Ťažisko systému a jeho súradnice.

Literatúra:, s. 86-93, s. 264-265

Téma 4. Momenty zotrvačnosti tuhého telesa

Momenty zotrvačnosti tuhého telesa okolo osi a pólu. Polomer zotrvačnosti. Veta o momentoch zotrvačnosti okolo rovnobežných osí. Axiálne momenty zotrvačnosti niektorých telies.

Odstredivé momenty zotrvačnosti ako charakteristika asymetrie tela.

Literatúra: , str. 265-271, , str. 155-173.

Sekcia 2. Všeobecné vety o dynamike hmotného bodu

a mechanický systém

Téma 5. Veta o pohybe ťažiska sústavy

Veta o pohybe ťažiska sústavy. Dôsledky z vety o pohybe ťažiska sústavy.

Literatúra: , s. 274-277, , s. 175-192.

Téma 6. Veľkosť pohybu hmotného bodu

a mechanický systém

Množstvo pohybu hmotného bodu a mechanického systému. Elementárny impulz a impulz sily na určitú dobu. Veta o zmene hybnosti bodu a systému v diferenciálnych a integrálnych formách. Zákon zachovania hybnosti.

Literatúra: , S. 280-284, , S. 192-207.

Téma 7. Moment hybnosti hmotného bodu

a mechanický systém vzhľadom na stred a os

Moment hybnosti bodu okolo stredu a osi. Veta o zmene momentu hybnosti bodu. Kinetický moment mechanického systému okolo stredu a osi.

Moment hybnosti rotujúceho tuhého telesa okolo osi rotácie. Veta o zmene kinetického momentu sústavy. Zákon zachovania hybnosti.

Literatúra: , str. 292-298, , str. 207-258.

Téma 8. Práca a sila síl

Elementárna silová práca, jej analytické vyjadrenie. Práca sily na poslednej ceste. Práca gravitácie, elastická sila. Rovnosť k nule súčtu práce vnútorných síl pôsobiacich v telese. Práca síl pôsobiacich na tuhé teleso rotujúce okolo pevnej osi. Moc. Efektívnosť.

Literatúra: , s. 208-213, , s. 280-290.

Téma 9. Kinetická energia hmotného bodu

a mechanický systém

Kinetická energia hmotného bodu a mechanického systému. Výpočet kinetickej energie tuhého telesa v rôznych prípadoch jeho pohybu. Koenigova veta. Veta o zmene kinetickej energie bodu v diferenciálnych a integrálnych formách. Veta o zmene kinetickej energie mechanického systému v diferenciálnych a integrálnych formách.

Literatúra: , s. 301-310, , s. 290-344.

Téma 10. Potenciálne silové pole a potenciál

Koncept silového poľa. Potenciálne silové pole a silová funkcia. Práca sily na konečnom posunutí bodu v potenciálnom silovom poli. Potenciálna energia.

Literatúra: , str. 317-320, , str. 344-347.

Téma 11. Dynamika tuhého telesa

Diferenciálne rovnice translačného pohybu tuhého telesa. Diferenciálna rovnica rotačného pohybu tuhého telesa okolo pevnej osi. fyzické kyvadlo. Diferenciálne rovnice rovinného pohybu tuhého telesa.

Literatúra: , s. 323-334, , s. 157-173.

Časť 1. Úvod do dynamiky. Základné pojmy

klasickej mechaniky

Dynamika je časť teoretickej mechaniky, ktorá študuje pohyb hmotných telies (bodov) pri pôsobení pôsobiacich síl.

hmotné telo- teleso, ktoré má hmotu.

Materiálny bod- hmotné teleso, ktorého rozdiel v pohybe bodov je nepatrný. Môže to byť buď teleso, ktorého rozmery môžu byť pri pohybe zanedbané, alebo teleso konečných rozmerov, ak sa pohybuje dopredu.

Častice sa nazývajú aj hmotné body, na ktoré sa pevné teleso mentálne rozdeľuje pri určovaní niektorých jeho dynamických charakteristík. Príklady hmotných bodov (obr. 1): a - pohyb Zeme okolo Slnka. Zem je hmotný bod; b je translačný pohyb tuhého telesa. Pevné telo je matka -

al bod, pretože V B \u003d V A; aB = aA; c - rotácia tela okolo osi.

Častica tela je hmotný bod.

Zotrvačnosť je vlastnosť hmotných telies meniť rýchlosť svojho pohybu rýchlejšie alebo pomalšie pôsobením pôsobiacich síl.

Hmotnosť telesa je skalárna kladná hodnota, ktorá závisí od množstva hmoty obsiahnutej v danom telese a určuje jeho mieru zotrvačnosti počas translačného pohybu. V klasickej mechanike je hmotnosť konštanta.

Sila je kvantitatívna miera mechanickej interakcie medzi telesami alebo medzi telesom (bodom) a poľom (elektrickým, magnetickým atď.).

Sila je vektorová veličina charakterizovaná veľkosťou, bodom pôsobenia a smerom (pôsobením) (obr. 2: A - bod pôsobenia; AB - priamka pôsobenia sily).

Ryža. 2

V dynamike spolu s konštantnými silami existujú aj premenlivé sily, ktoré môžu závisieť od času t, rýchlosti ϑ, vzdialenosti r, alebo od kombinácie týchto veličín, t.j.

F = konštanta;

F = F(t);

F = F(ϑ ) ;

F = F(r);

F = F(t, r, ϑ ) .

elektrická lokomotíva; c − F = F (r) je sila odpudzovania od stredu O alebo príťažlivosti k nemu.

Referenčný systém - súradnicový systém spojený s telesom, vo vzťahu ku ktorému sa skúma pohyb iného telesa.

Inerciálny systém je systém, v ktorom je splnený prvý a druhý zákon dynamiky. Ide o pevný súradnicový systém alebo systém pohybujúci sa rovnomerne a priamočiaro.

Pohyb v mechanike je zmena polohy telesa v priestore a čase vo vzťahu k iným telesám.

Priestor v klasickej mechanike je trojrozmerný a riadi sa euklidovskou geometriou.

Čas je skalárna veličina, ktorá plynie rovnakým spôsobom v ľubovoľných referenčných systémoch.

Sústava jednotiek je súbor jednotiek na meranie fyzikálnych veličín. Na meranie všetkých mechanických veličín stačia tri základné jednotky: jednotky dĺžky, času, hmotnosti alebo sily.

Všetky ostatné jednotky merania mechanických veličín sú odvodené od nich. Používajú sa dva typy sústav jednotiek: medzinárodná sústava jednotiek SI (alebo menších - CGS) a technická sústava jednotiek - ICSC.

Téma1. Dynamika hmotného bodu

1.1. Zákony dynamiky hmotného bodu (zákony Galileo - Newton)

Prvý zákon (zotrvačnosti).

Hmotný bod izolovaný od vonkajších vplyvov si zachováva svoj pokojový stav alebo sa pohybuje rovnomerne a priamočiaro, kým ho aplikované sily neprinútia tento stav zmeniť.

Pohyb vykonávaný bodom v neprítomnosti síl alebo pri pôsobení vyváženého systému síl sa nazýva zotrvačný pohyb.

Napríklad pohyb telesa po hladkom (trecia sila je nulová) chod-

vodorovný povrch (obr. 4: G - telesná hmotnosť; N - normálna reakcia roviny).

Pretože G = − N , potom G + N = 0.

Keď ϑ 0 ≠ 0 teleso sa pohybuje rovnakou rýchlosťou; pri ϑ 0 = 0 je teleso v pokoji (ϑ 0 je počiatočná rýchlosť).

Druhý zákon (základný zákon dynamiky).

Súčin hmotnosti bodu a zrýchlenia, ktoré dostane pri pôsobení danej sily, sa v absolútnej hodnote rovná tejto sile a jej smer sa zhoduje so smerom zrýchlenia.

a b

Matematicky je tento zákon vyjadrený vektorovou rovnosťou

Pri F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const - bod sa pohybuje rovnomerne a priamočiaro, alebo pri ϑ 0 = 0 - je v pokoji (zákon zotrvačnosti). Po druhé

zákon umožňuje stanoviť vzťah medzi hmotnosťou m telesa nachádzajúceho sa blízko zemského povrchu a jeho hmotnosťou G .G = mg, kde g -

gravitačné zrýchlenie.

Tretí zákon (zákon o rovnosti akcie a reakcie). Dva hmotné body na seba pôsobia silami rovnakej veľkosti a smerujúcimi pozdĺž spájajúcej priamky

tieto body v opačných smeroch.

Keďže sily F 1 = - F 2 pôsobia na rôzne body, potom systém síl (F 1, F 2 ) nie je vyvážený, t.j. (F 1, F 2 ) ≈ 0 (obr. 6).

hmotnosti interagujúcich bodov sú nepriamo úmerné ich zrýchleniam.

Štvrtý zákon (zákon o nezávislosti pôsobenia síl). Zrýchlenie prijaté bodom pri pôsobení simultánky

ale niekoľko síl, sa rovná geometrickému súčtu tých zrýchlení, ktoré by bod dostal pri pôsobení každej sily zvlášť naň.

Vysvetlenie (obr. 7).

t a n

a 1 a kF n

Výsledné R sily (F 1 ,...F k ,...F n ) .

Keďže ma = R , F 1 = ma 1 , ..., F k = ma k , ..., F n = ma n , potom

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k , t.j. štvrtý zákon je ekvivalentný

k = 1

pravidlo sčítania síl.

1.2. Diferenciálne rovnice pohybu hmotného bodu

Na hmotný bod nech pôsobí niekoľko síl súčasne, medzi ktorými sú konštanty aj premenné.

Druhý zákon dynamiky píšeme vo forme

bod, potom (1.2) obsahuje derivácie r a je to diferenciálna pohybová rovnica hmotného bodu vo vektorovom tvare alebo základná rovnica dynamiky hmotného bodu.

Projekcie vektorovej rovnosti (1.2): - na os kartézskych súradníc (obr. 8, ale)

Na prirodzenej osi (obr. 8, b)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

Rovnice (1.3) a (1.4) sú diferenciálne rovnice pohybu hmotného bodu v karteziánskych súradnicových osiach a prirodzených osiach, t.j. prirodzené diferenciálne rovnice, ktoré sa zvyčajne používajú na krivočiary pohyb bodu, ak trajektória bodu a jeho polomer zakrivenia je známy.

1.3. Dva hlavné problémy dynamiky pre hmotný bod a ich riešenie

Prvá (priama) úloha.

Keď poznáte pohybový zákon a hmotnosť bodu, určte silu pôsobiacu na bod.

Na vyriešenie tohto problému potrebujete poznať zrýchlenie bodu. V problémoch tohto typu môže byť špecifikovaný priamo, alebo je špecifikovaný zákon pohybu bodu, v súlade s ktorým môže byť určený.

1. Ak je teda pohyb bodu daný v karteziánskych súradniciach

x \u003d f 1 (t), y \u003d f 2 (t) az \u003d f 3 (t), potom sa určia projekcie zrýchlenia