Najmenej bežná viacnásobná kalkulačka. Prečo zavádzať pojmy „najväčší spoločný deliteľ (GCD)“ a „najmenší spoločný násobok (LCM)“ čísel v školskom kurze matematiky

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Vypíšeme faktory zahrnuté do rozšírenia prvého z týchto čísel a pripočítame k nim chýbajúci faktor 5 z rozšírenia druhého čísla. Dostaneme: 2*2*3*5*5=300. Nájdené NOC, t.j. táto suma = 300. Nezabudnite na rozmer a napíšte odpoveď:
Odpoveď: Mama dáva po 300 rubľov.

Definícia GCD: Najväčší spoločný deliteľ (GCD) prirodzené čísla a a v pomenujte najväčšie prirodzené číslo c, ktorému a a, a b rozdelené bezo zvyšku. Tie. c je najmenšie prirodzené číslo, pre ktoré a a a b sú násobky.

Pripomienka: Existujú dva prístupy k definícii prirodzených čísel

• čísla používané pri: vyčíslení (číslovaní) položiek (prvý, druhý, tretí, ...); - zvyčajne v školách.
• s uvedením počtu predmetov (žiadny pokémon - nula, jeden pokémon, dvaja pokémoni, ...).

Záporné a necelé (racionálne, reálne, ...) čísla nie sú prirodzené. Niektorí autori zaraďujú do množiny prirodzených čísel nulu, iní nie. Množina všetkých prirodzených čísel sa zvyčajne označuje symbolom N

Pripomienka: Deliteľ prirodzeného čísla a zavolajte na číslo b, ku ktorému a rozdelené bezo zvyšku. Násobok prirodzeného čísla b nazývané prirodzené číslo a, ktorý je rozdelený podľa b bez stopy. Ak číslo b- deliteľ čísla a, potom a násobok b. Príklad: 2 je deliteľ 4 a 4 je násobok 2. 3 je deliteľ 12 a 12 je násobok 3.
Pripomienka: Prirodzené čísla sa nazývajú prvočísla, ak sú deliteľné bezo zvyšku len sami sebou a číslom 1. Prvočísla sú čísla, ktoré majú iba jedného spoločného deliteľa rovného 1.

Definícia toho, ako nájsť GCD vo všeobecnom prípade: Ak chcete nájsť GCD (najväčší spoločný deliteľ) Je potrebných niekoľko prirodzených čísel:
1) Rozložte ich na hlavné faktory. (Tabuľka prvočísel môže byť veľmi užitočná.)
2) Napíšte faktory zahrnuté do rozšírenia jedného z nich.
3) Vymažte tie, ktoré nie sú zahrnuté v rozšírení zostávajúcich čísel.
4) Vynásobte faktory získané v odseku 3).

Úloha 2 na (NOK): Do nového roka Kolja Puzatov kúpil v meste 48 škrečkov a 36 kávových kanvíc. Fekla Dormidontová ako najčestnejšie dievča v triede dostala za úlohu rozdeliť túto nehnuteľnosť na čo najväčší počet darčekových setov pre učiteľov. Aký je počet súprav? Aké je zloženie setov?

Príklad 2.1. riešenie problému nájdenia GCD. Nájdenie GCD výberom.
rozhodnutie: Každé z čísel 48 a 36 musí byť deliteľné počtom darov.
1) Napíšte deliteľov 48: 48, 24, 16, 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) Napíšte deliteľov 36: 36, 18, 12 , 9, 6, 3, 2, 1 Vyberte najväčšieho spoločného deliteľa. Op-la-la! Nájdené, toto je počet sád 12 kusov.
3) Vydelíme 48 12, dostaneme 4, 36 vydelíme 12, dostaneme 3. Nezabudnite na rozmer a napíšte odpoveď:
Odpoveď: V každej sade dostanete 12 sád po 4 škrečky a 3 kanvice na kávu.

Najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok sú kľúčové aritmetické pojmy, ktoré vám umožňujú jednoducho pracovať s obyčajnými zlomkami. LCM a sa najčastejšie používajú na nájdenie spoločného menovateľa viacerých zlomkov.

Základné pojmy

Deliteľ celého čísla X je ďalšie celé číslo Y, ktorým je X deliteľné bezo zvyšku. Napríklad deliteľ 4 je 2 a 36 je 4, 6, 9. Násobkom celého čísla X je číslo Y, ktoré je deliteľné X bezo zvyšku. Napríklad 3 je násobok 15 a 6 je násobok 12.

Pre každú dvojicu čísel môžeme nájsť ich spoločných deliteľov a násobkov. Napríklad pre 6 a 9 je spoločný násobok 18 a spoločný deliteľ je 3. Je zrejmé, že páry môžu mať niekoľko deliteľov a násobkov, takže pri výpočtoch sa používa najväčší deliteľ GCD a najmenší násobok LCM. .

Najmenší deliteľ nedáva zmysel, pretože pre každé číslo je vždy jedna. Najväčší násobok je tiež nezmyselný, pretože postupnosť násobkov má tendenciu k nekonečnu.

Nájdenie GCD

Existuje mnoho metód na nájdenie najväčšieho spoločného deliteľa, z ktorých najznámejšie sú:

• postupné vyčíslenie deliteľov, výber spoločných pre pár a hľadanie najväčšieho z nich;
• rozklad čísel na nedeliteľné faktory;
• Euklidov algoritmus;
• binárny algoritmus.

Dnes sú vo vzdelávacích inštitúciách najobľúbenejšie metódy rozkladu na hlavné faktory a euklidovský algoritmus. Ten sa zase používa pri riešení diofantických rovníc: hľadanie GCD je potrebné na kontrolu rovnice, či je možné ju vyriešiť v celých číslach.

Nájdenie NOC

Najmenší spoločný násobok je tiež presne určený iteratívnym sčítaním alebo rozkladom na nedeliteľné faktory. Okrem toho je ľahké nájsť LCM, ak už bol určený najväčší deliteľ. Pre čísla X a Y sú LCM a GCD spojené nasledujúcim vzťahom:

LCM(X,Y) = X x Y/GCM(X,Y).

Napríklad, ak gcd(15,18) = 3, potom LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najzrejmejším použitím LCM je nájsť spoločného menovateľa, ktorý je najmenším spoločným násobkom dané zlomky.

Coprime čísla

Ak dvojica čísel nemá spoločných deliteľov, potom sa takáto dvojica nazýva koprimá. GCM pre takéto páry sa vždy rovná jednej a na základe spojenia deliteľov a násobkov sa GCM pre coprime rovná ich súčinu. Napríklad čísla 25 a 28 sú koprimé, pretože nemajú spoločných deliteľov, a LCM(25, 28) = 700, čo zodpovedá ich súčinu. Akékoľvek dve nedeliteľné čísla budú vždy rovnaké.

Spoločný deliteľ a viacnásobná kalkulačka

Pomocou našej kalkulačky môžete vypočítať GCD a LCM pre ľubovoľný počet čísel, z ktorých si môžete vybrať. Úlohy na výpočet spoločných deliteľov a násobkov sa nachádzajú v aritmetike ročníkov 5 a 6, avšak GCD a LCM sú kľúčové pojmy matematiky a používajú sa v teórii čísel, planimetrii a komunikačnej algebre.

Príklady zo života

Spoločný menovateľ zlomkov

Najmenší spoločný násobok sa používa pri hľadaní spoločného menovateľa viacerých zlomkov. Predpokladajme, že v aritmetickej úlohe je potrebné sčítať 5 zlomkov:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Ak chcete pridať zlomky, výraz sa musí zredukovať na spoločného menovateľa, čím sa zníži problém s nájdením LCM. Ak to chcete urobiť, vyberte 5 čísel v kalkulačke a zadajte hodnoty menovateľa do príslušných buniek. Program vypočíta LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Teraz musíte pre každý zlomok vypočítať ďalšie faktory, ktoré sú definované ako pomer LCM k menovateľovi. Dodatočné multiplikátory by teda vyzerali takto:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Potom vynásobíme všetky zlomky zodpovedajúcim dodatočným faktorom a dostaneme:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Takéto zlomky môžeme jednoducho sčítať a dostaneme výsledok v tvare 159/360. Zlomok znížime o 3 a uvidíme konečnú odpoveď - 53/120.

Riešenie lineárnych diofantických rovníc

Lineárne diofantické rovnice sú vyjadrením tvaru ax + by = d. Ak je pomer d / gcd(a, b) celé číslo, potom je rovnica riešiteľná v celých číslach. Pozrime sa na niekoľko rovníc na možnosť celočíselného riešenia. Najprv skontrolujte rovnicu 150x + 8y = 37. Pomocou kalkulačky zistíme gcd (150,8) = 2. Vydelte 37/2 = 18,5. Číslo nie je celé číslo, preto rovnica nemá celé korene.

Skontrolujeme rovnicu 1320x + 1760y = 10120. Pomocou kalkulačky nájdite gcd(1320, 1760) = 440. Vydeľte 10120/440 = 23. Výsledkom je celé číslo, preto je diofantínska rovnica riešiteľná v .

Záver

GCD a LCM zohrávajú dôležitú úlohu v teórii čísel a samotné pojmy sú široko používané v rôznych oblastiach matematiky. Použite našu kalkulačku na výpočet najväčších deliteľov a najmenších násobkov ľubovoľného počtu čísel.

Nižšie uvedený materiál je logickým pokračovaním teórie z článku pod názvom LCM - najmenší spoločný násobok, definícia, príklady, vzťah medzi LCM a GCD. Tu budeme hovoriť o nájdenie najmenšieho spoločného násobku (LCM), a venovať osobitnú pozornosť riešeniu príkladov. Najprv ukážme, ako sa vypočíta LCM dvoch čísel z hľadiska GCD týchto čísel. Ďalej zvážte nájdenie najmenšieho spoločného násobku rozkladom čísel na prvočísla. Potom sa zameriame na nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel a venujeme pozornosť aj výpočtu LCM záporných čísel.

Navigácia na stránke.

Výpočet najmenšieho spoločného násobku (LCM) prostredníctvom gcd

Jeden spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na vzťahu medzi LCM a GCD. Existujúci vzťah medzi LCM a GCD vám umožňuje vypočítať najmenší spoločný násobok dvoch kladných celých čísel prostredníctvom známeho najväčšieho spoločného deliteľa. Zodpovedajúci vzorec má tvar LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Zvážte príklady nájdenia LCM podľa vyššie uvedeného vzorca.

Príklad.

Nájdite najmenší spoločný násobok dvoch čísel 126 a 70 .

rozhodnutie.

V tomto príklade a=126, b=70. Využime vzťah medzi LCM a GCD vyjadrený vzorcom LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). To znamená, že najprv musíme nájsť najväčšieho spoločného deliteľa čísel 70 a 126, potom môžeme vypočítať LCM týchto čísel podľa napísaného vzorca.

Nájdite gcd(126, 70) pomocou Euklidovho algoritmu: 126=70 1+56, 70=56 1+14, 56=14 4, teda gcd(126, 70)=14.

Teraz nájdeme požadovaný najmenší spoločný násobok: LCM(126; 70)=126 70: GCM(126; 70)= 126 70:14=630.

odpoveď:

LCM(126,70)=630.

Príklad.

Čo je LCM(68, 34)?

rozhodnutie.

Ako 68 je rovnomerne deliteľné 34 , potom gcd(68, 34)=34 . Teraz vypočítame najmenší spoločný násobok: LCM(68; 34)=68 34: LCM(68; 34)= 68 34:34=68.

odpoveď:

LCM(68,34)=68.

Všimnite si, že predchádzajúci príklad vyhovuje nasledujúcemu pravidlu na nájdenie LCM pre kladné celé čísla aab: ak je číslo a deliteľné b, potom najmenší spoločný násobok týchto čísel je a .

Nájdenie LCM rozdelením čísel na hlavné faktory

Ďalší spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok, je založený na rozklade čísel na prvočísla. Ak vytvoríme súčin všetkých prvočiniteľov týchto čísel, potom z tohto súčinu vylúčime všetky spoločné prvočísla, ktoré sú prítomné v rozšíreniach týchto čísel, potom sa výsledný súčin bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku týchto čísel.

Vyhlásené pravidlo pre hľadanie LCM vyplýva z rovnosti LCM(a, b)=a b: GCD(a, b). V skutočnosti sa súčin čísel a a b rovná súčinu všetkých faktorov podieľajúcich sa na expanziách čísel a a b. Na druhej strane, gcd(a, b) sa rovná súčinu všetkých prvočísel, ktoré sú súčasne prítomné v expanziách čísel a a b (čo je popísané v časti o nájdení gcd pomocou rozkladu čísel na prvočísla ).

Vezmime si príklad. Nech vieme, že 75=3 5 5 a 210=2 3 5 7 . Zostavte súčin všetkých faktorov týchto expanzií: 2 3 3 5 5 5 7 . Teraz z tohto produktu vylúčime všetky faktory, ktoré sú prítomné tak v rozšírení čísla 75, ako aj v rozšírení čísla 210 (takými faktormi sú 3 a 5), ​​potom bude produkt mať tvar 2 3 5 5 7 . Hodnota tohto súčinu sa rovná najmenšiemu spoločnému násobku čísel 75 a 210, tj. LCM(75; 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Príklad.

Po rozklade čísel 441 a 700 na prvočísla nájdite najmenší spoločný násobok týchto čísel.

rozhodnutie.

Rozložme čísla 441 a 700 na prvočísla:

Dostaneme 441 = 3 3 7 7 a 700 = 2 2 5 5 7 .

Teraz urobme súčin všetkých faktorov podieľajúcich sa na expanziách týchto čísel: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Vylúčme z tohto produktu všetky faktory, ktoré sú súčasne prítomné v oboch expanziách (existuje len jeden taký faktor - toto je číslo 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Touto cestou, LCM(441; 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

odpoveď:

LCM(441,700)= 44100.

Pravidlo na nájdenie LCM pomocou rozkladu čísel na prvočísla možno formulovať trochu inak. Ak pripočítame chýbajúce faktory z rozšírenia čísla b k faktorom z rozšírenia čísla a, potom sa hodnota výsledného súčinu bude rovnať najmenšiemu spoločnému násobku čísel a a b.

Vezmime si napríklad všetky rovnaké čísla 75 a 210, ich expanzie na prvočísla sú nasledovné: 75=3 5 5 a 210=2 3 5 7 . K faktorom 3, 5 a 5 z rozkladu čísla 75 pripočítame chýbajúce faktory 2 a 7 z rozkladu čísla 210, dostaneme súčin 2 3 5 5 7, ktorého hodnota je LCM(75 , 210).

Príklad.

Nájdite najmenší spoločný násobok 84 a 648.

rozhodnutie.

Najprv získame rozklad čísel 84 a 648 na prvočísla. Vyzerajú ako 84=2 2 3 7 a 648=2 2 2 3 3 3 3 . K faktorom 2 , 2 , 3 a 7 z rozkladu čísla 84 pripočítame chýbajúce faktory 2 , 3 , 3 a 3 z rozkladu čísla 648 , dostaneme súčin 2 2 2 3 3 3 3 7 , čo sa rovná 4 536 . Požadovaný najmenší spoločný násobok čísel 84 a 648 je teda 4 536.

odpoveď:

LCM(84,648)=4536.

Nájdenie LCM troch alebo viacerých čísel

Najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel možno nájsť postupným nájdením LCM dvoch čísel. Pripomeňme si príslušnú vetu, ktorá umožňuje nájsť LCM troch alebo viacerých čísel.

Veta.

Nech sú dané kladné celé čísla a 1 , a 2 , …, a k, najmenší spoločný násobok m k týchto čísel nájdeme v sekvenčnom výpočte m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3) , ..., mk = LCM(mk-1, ak).

Zvážte aplikáciu tejto vety na príklade hľadania najmenšieho spoločného násobku štyroch čísel.

Príklad.

Nájdite LCM štyroch čísel 140, 9, 54 a 250.

rozhodnutie.

V tomto príklade a1=140, a2=9, a3=54, a4=250.

Najprv nájdeme m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Aby sme to urobili, pomocou euklidovského algoritmu určíme gcd(140, 9) , máme 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , teda gcd( 140, 9) = 1, odkiaľ LCM(140; 9)=140 9: LCM(140; 9)= 140 9:1=1260. To znamená, m2 = 1 260.

Teraz nájdeme m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Vypočítajme to pomocou gcd(1 260, 54) , ktorý je tiež určený Euklidovým algoritmom: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Potom gcd(1260,54)=18, odkiaľ LCM(1260,54)= 126054:gcd(1260,54)= 1260 54:18=3780. To znamená, m 3 \u003d 3 780.

Zostáva nájsť m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Aby sme to dosiahli, nájdeme GCD(3 780, 250) pomocou Euklidovho algoritmu: 3 780=250 15+30, 250=30 8+10, 30=10 3 . Preto gcd(3 780, 250)=10 , odkiaľ gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500. To znamená, m 4 \u003d 94 500.

Takže najmenší spoločný násobok pôvodných štyroch čísel je 94 500.

odpoveď:

LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.

V mnohých prípadoch sa najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel pohodlne nájde použitím prvočíselných rozkladov daných čísel. V tomto prípade je potrebné dodržiavať nasledujúce pravidlo. Najmenší spoločný násobok viacerých čísel sa rovná súčinu, ktorý sa skladá takto: chýbajúce činitele z rozšírenia druhého čísla sa pripočítajú ku všetkým súčiniteľom z rozšírenia prvého čísla, chýbajúce činitele z rozšírenia prvého čísla tretie číslo sa pripočíta k získaným faktorom atď.

Uvažujme o príklade hľadania najmenšieho spoločného násobku pomocou rozkladu čísel na prvočísla.

Príklad.

Nájdite najmenší spoločný násobok piatich čísel 84, 6, 48, 7, 143.

rozhodnutie.

Najprv získame expanzie týchto čísel na prvočísla: 84=2 2 3 7, 6=2 3, 48=2 2 2 2 3, 7 prvočiniteľov) a 143=11 13 .

Ak chcete nájsť LCM týchto čísel, k faktorom prvého čísla 84 (sú to 2 , 2 , 3 a 7 ) musíte pridať chýbajúce faktory z rozšírenia druhého čísla 6 . Rozšírenie čísla 6 neobsahuje chýbajúce faktory, keďže 2 aj 3 sú už prítomné v rozšírení prvého čísla 84 . K faktorom 2 , 2 , 3 a 7 pripočítame chýbajúce faktory 2 a 2 z rozšírenia tretieho čísla 48 , dostaneme množinu faktorov 2 , 2 , 2 , 2 , 3 a 7 . V ďalšom kroku nie je potrebné pridávať faktory do tejto sady, pretože 7 je v nej už obsiahnutých. Nakoniec k faktorom 2 , 2 , 2 , 2 , 3 a 7 pridáme chýbajúce faktory 11 a 13 z rozšírenia čísla 143 . Dostaneme súčin 2 2 2 2 3 7 11 13 , čo sa rovná 48 048 .

Najväčší spoločný deliteľ

Definícia 2

Ak je prirodzené číslo a deliteľné prirodzeným číslom $b$, potom $b$ sa nazýva deliteľ $a$ a číslo $a$ sa nazýva násobok $b$.

Nech $a$ a $b$ sú prirodzené čísla. Číslo $c$ sa nazýva spoločný deliteľ pre $a$ aj $b$.

Množina spoločných deliteľov čísel $a$ a $b$ je konečná, pretože žiadny z týchto deliteľov nemôže byť väčší ako $a$. To znamená, že medzi týmito deliteľmi je ten najväčší, ktorý sa nazýva najväčší spoločný deliteľ čísel $a$ a $b$ a na jeho označenie sa používa zápis:

$gcd \ (a;b) \ ​​​​alebo \ D \ (a;b)$

Ak chcete nájsť najväčšieho spoločného deliteľa dvoch čísel:

1. Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.

Príklad 1

Nájdite gcd čísel $ 121 $ a $ 132, $

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Vyberte čísla, ktoré sú zahrnuté v rozšírení týchto čísel

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.

$gcd=2\cdot 11=22$

Príklad 2

Nájdite GCD monomiálov 63 $ a 81 $.

Nájdeme podľa prezentovaného algoritmu. Pre to:

Rozložme čísla na prvočísla

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Vyberáme čísla, ktoré sú zahrnuté do rozšírenia týchto čísel

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najväčší spoločný deliteľ.

$gcd=3\cdot 3=9$

GCD dvoch čísel môžete nájsť iným spôsobom, pomocou množiny deliteľov čísel.

Príklad 3

Nájdite gcd čísel $ 48 $ a $ 60 $.

rozhodnutie:

Nájdite množinu deliteľov $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Teraz nájdime množinu deliteľov $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

Nájdeme priesečník týchto množín: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - táto množina určí množinu spoločných deliteľov čísel $48$ a $60 $. Najväčší prvok v tejto sade bude číslo $12$. Takže najväčší spoločný deliteľ 48 $ a 60 $ je 12 $.

Definícia NOC

Definícia 3

spoločný násobok prirodzených čísel$a$ a $b$ je prirodzené číslo, ktoré je násobkom $a$ aj $b$.

Spoločné násobky čísel sú čísla, ktoré sú bezo zvyšku deliteľné originálom. Napríklad pre čísla $25$ a $50$ budú spoločnými násobkami čísla $50,100,150,200 $ atď.

Najmenší spoločný násobok sa bude nazývať najmenší spoločný násobok a označí sa LCM$(a;b)$ alebo K$(a;b).$

Ak chcete nájsť LCM dvoch čísel, potrebujete:

1. Rozložte čísla na prvočísla
2. Vypíšte faktory, ktoré sú súčasťou prvého čísla, a pridajte k nim faktory, ktoré sú súčasťou druhého čísla a nepokračujte k prvému

Príklad 4

Nájdite LCM čísel 99 $ a 77 $.

Nájdeme podľa prezentovaného algoritmu. Pre to

Rozložte čísla na prvočísla

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Zapíšte si faktory zahrnuté v prvom

pridajte k nim faktory, ktoré sú súčasťou druhého a nejdú do prvého

Nájdite súčin čísel nájdených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný najmenší spoločný násobok

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Zostavovanie zoznamov deliteľov čísel je často časovo veľmi náročné. Existuje spôsob, ako nájsť GCD nazývaný Euklidov algoritmus.

Vyhlásenia, na ktorých je založený Euklidov algoritmus:

Ak $a$ a $b$ sú prirodzené čísla a $a\vbodky b$, potom $D(a;b)=b$

Ak $a$ a $b$ sú prirodzené čísla také, že $b

Pomocou $D(a;b)= D(a-b;b)$ môžeme postupne zmenšovať uvažované čísla, až kým nedosiahneme dvojicu čísel tak, že jedno z nich je deliteľné druhým. Potom menšie z týchto čísel bude požadovaným najväčším spoločným deliteľom pre čísla $a$ a $b$.

Vlastnosti GCD a LCM

1. Každý spoločný násobok $a$ a $b$ je deliteľný K$(a;b)$
2. Ak $a\vdots b$ , potom K$(a;b)=a$

Ak K$(a;b)=k$ a $m$-prirodzené číslo, potom K$(am;bm)=km$

Ak $d$ je spoločný deliteľ pre $a$ a $b$, potom K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Ak $a\vdots c$ a $b\vdots c$ , potom $\frac(ab)(c)$ je spoločný násobok $a$ a $b$

Pre všetky prirodzené čísla $a$ a $b$ je rovnosť

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

Akýkoľvek spoločný deliteľ $a$ a $b$ je deliteľ $D(a;b)$

GCD je najväčší spoločný deliteľ.

Ak chcete nájsť najväčšieho spoločného deliteľa niekoľkých čísel:

• určiť faktory spoločné pre obe čísla;
• nájsť súčin spoločných faktorov.

Príklad nájdenia GCD:

Nájdite GCD čísel 315 a 245.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Napíšte spoločné faktory pre obe čísla:

3. Nájdite súčin spoločných faktorov:

gcd(315; 245) = 5*7 = 35.

Odpoveď: GCD(315; 245) = 35.

Nájdenie NOC

LCM je najmenší spoločný násobok.

Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok niekoľkých čísel:

• rozložiť čísla na prvočísla;
• napíšte faktory zahrnuté v rozšírení jedného z čísel;
• pridajte k nim chýbajúce faktory z rozšírenia druhého čísla;
• nájsť súčin výsledných faktorov.

Príklad nájdenia NOC:

Nájdite LCM čísel 236 a 328:

1. Čísla rozložíme na prvočísla:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Zapíšte si faktory zahrnuté do rozšírenia jedného z čísel a pridajte k nim chýbajúce faktory z rozšírenia druhého čísla:

2; 2; 59; 2; 41.

3. Nájdite súčin výsledných faktorov:

LCM(236; 328) = 2*2*59*2*41 = 19352.

Odpoveď: LCM(236; 328) = 19352.

Ak chcete nájsť GCD (najväčší spoločný deliteľ) dvoch čísel, potrebujete:

2. Nájdite (podčiarknite) všetky spoločné prvočísla v získaných expanziách.

3. Nájdite súčin spoločných prvočiniteľov.

Ak chcete nájsť LCM (najmenší spoločný násobok) dvoch čísel, potrebujete:

1. Rozložte tieto čísla na prvočiniteľa.

2. Doplňte rozšírenie jedného z nich o tie faktory rozšírenia druhého čísla, ktoré nie sú v expanzii prvého.

3. Vypočítajte súčin získaných faktorov.