Vzorec na sčítanie čísel s rôznymi znamienkami. Sčítanie čísel s rôznymi znakmi: pravidlo, príklady

V tejto lekcii sa naučíme, čo je záporné číslo a aké čísla sa nazývajú protiklady. Naučíme sa tiež sčítať záporné a kladné čísla (čísla s rôznymi znamienkami) a rozoberieme niekoľko príkladov sčítania čísel s rôznymi znamienkami.

Pozrite sa na tento prevod (pozri obr. 1).

Ryža. 1. Hodinový prevod

Toto nie je šípka, ktorá priamo ukazuje čas a nie číselník (pozri obr. 2). Ale bez tohto detailu hodiny nefungujú.

Ryža. 2. Prevod vo vnútri hodiniek

Čo znamená písmeno Y? Nič iné ako zvuk Y. Ale bez toho veľa slov „nebude fungovať“. Napríklad slovo "myš". Rovnako aj záporné čísla: neukazujú žiadnu sumu, ale bez nich by bol mechanizmus výpočtu oveľa zložitejší.

Vieme, že sčítanie a odčítanie sú rovnaké operácie a možno ich vykonávať v ľubovoľnom poradí. V priamom poradí môžeme vypočítať: , ale s odčítaním sa začať nedá, keďže sme sa ešte nedohodli, ale čo je .

Je zrejmé, že zvýšenie počtu a následné zníženie znamená zníženie o tri. Prečo tento objekt neoznačiť a nespočítať takto: pridať znamená odčítať. Potom .

Číslo môže znamenať napríklad jablká. Nové číslo nepredstavuje žiadne skutočné množstvo. Samo o sebe to nič neznamená, ako písmeno Y. Je to len nový nástroj na zjednodušenie výpočtov.

Vymenujme nové čísla negatívne. Teraz môžeme odčítať väčšie číslo od menšieho čísla. Technicky stále musíte odčítať menšie číslo od väčšieho čísla, ale do odpovede vložte znamienko mínus: .

Pozrime sa na ďalší príklad: . Môžete vykonať všetky akcie v rade:.

Je však jednoduchšie odpočítať tretie číslo od prvého čísla a potom pridať druhé číslo:

Záporné čísla možno definovať aj iným spôsobom.

Pre každé prirodzené číslo, napríklad , zaveďme nové číslo, ktoré označíme , a určme, že má nasledujúcu vlastnosť: súčet čísla a je rovný : .

Číslo sa bude nazývať záporné a čísla a - opačne. Takto sme dostali nekonečný počet nových čísel, napríklad:

Opak čísla;

Opak ;

Opak ;

Opak ;

Odčítajte väčšie číslo od menšieho čísla: K tomuto výrazu pridajme: . Dostali sme nulu. Avšak podľa vlastnosti: číslo, ktoré je súčtom päť, dáva nulu, sa označuje mínus päť:. Preto možno výraz označiť ako .

Každé kladné číslo má dvojčíslo, ktoré sa líši iba tým, že pred ním je znamienko mínus. Takéto čísla sa nazývajú opak(Pozri obr. 3).

Ryža. 3. Príklady opačných čísel

Vlastnosti opačných čísel

1. Súčet opačných čísel sa rovná nule:.

2. Ak od nuly odpočítate kladné číslo, výsledkom bude opačné záporné číslo: .

1. Obidve čísla môžu byť kladné a už vieme, ako ich sčítať: .

2. Obidve čísla môžu byť záporné.

Sčítaniu takýchto čísel sme sa už venovali v predchádzajúcej lekcii, ale uistíme sa, že rozumieme tomu, čo s nimi robiť. Napríklad: .

Ak chcete nájsť tento súčet, pridajte opačné kladné čísla a vložte znamienko mínus.

3. Jedno číslo môže byť kladné a druhé záporné.

Sčítanie záporného čísla môžeme nahradiť, ak sa nám to hodí, odčítaním kladného:.

Ešte jeden príklad: . Opäť napíšte súčet ako rozdiel. Väčšie číslo môžete odpočítať od menšieho čísla tak, že od väčšieho odčítate menšie číslo, ale dáte znamienko mínus.

Pojmy je možné zamieňať: .

Ďalší podobný príklad: .

Vo všetkých prípadoch je výsledkom odčítanie.

Aby sme tieto pravidlá stručne sformulovali, pripomeňme si ešte jeden pojem. Opačné čísla sa, samozrejme, navzájom nerovnajú. Bolo by však zvláštne nevšimnúť si, že majú niečo spoločné. Toto spoločné sme volali modul počtu. Modul opačných čísel je rovnaký: pre kladné číslo sa rovná samotnému číslu a pre záporné je opačný, kladný. Napríklad: , .

Ak chcete pridať dve záporné čísla, pridajte ich modul a vložte znamienko mínus:

Ak chcete pridať záporné a kladné číslo, musíte odpočítať menší modul od väčšieho modulu a pridať znamienko čísla k väčšiemu modulu:

Obe čísla sú záporné, preto pridajte ich moduly a vložte znamienko mínus:

Dve čísla s rôznymi znamienkami preto od modulu čísla (väčší modul) odpočítame modul čísla a dáme znamienko mínus (znamienko čísla s väčším modulom):

Dve čísla s rôznymi znamienkami teda od modulu čísla (väčší modul) odčítame modul čísla a dáme znamienko mínus (znamienko čísla s veľkým modulom): .

Dve čísla s rôznymi znamienkami preto odčítajte modul čísla od modulu čísla (väčší modul) a vložte znamienko plus (znamienko čísla s veľkým modulom): .

Kladné a záporné čísla majú historicky odlišnú úlohu.

Najprv sme zaviedli prirodzené čísla na počítanie objektov:

Potom sme zaviedli ďalšie kladné čísla - zlomky, na počítanie neceločíselných veličín, častí: .

Záporné čísla sa objavili ako nástroj na zjednodušenie výpočtov. Neexistovalo nič také, že by v živote existovali nejaké veličiny, ktoré sme nevedeli spočítať, a vymysleli sme záporné čísla.

To znamená, že záporné čísla nepochádzajú z reálneho sveta. Ukázalo sa, že sú také pohodlné, že na niektorých miestach boli použité v živote. Napríklad často počúvame o mínusových teplotách. V tomto prípade sa nikdy nestretávame so záporným počtom jabĺk. V čom je rozdiel?

Rozdiel je v tom, že v reálnom živote sa záporné hodnoty používajú iba na porovnanie, nie na množstvo. Ak bol v hoteli vybavený suterén a bol tam spustený výťah, potom, aby sa ponechalo obvyklé číslovanie bežných poschodí, môže sa objaviť mínus prvé poschodie. Toto mínus jedna znamená iba jedno poschodie pod úrovňou terénu (pozri obr. 1).

Ryža. 4. Mínus prvé a mínus druhé poschodie

Záporná teplota je negatívna iba v porovnaní s nulou, ktorú zvolil autor stupnice Anders Celsius. Sú tam iné váhy a tá istá teplota tam už nemusí byť negatívna.

Zároveň chápeme, že nie je možné zmeniť východiskový bod tak, aby nebolo päť, ale šesť jabĺk. V živote sa teda kladné čísla používajú na určenie množstva (jablká, koláč).

Používame ich aj namiesto mien. Každý telefón môže dostať svoje vlastné meno, ale počet mien je obmedzený a neexistujú žiadne čísla. Preto používame telefónne čísla. Aj na objednávku (storočie nasleduje storočie).

Záporné čísla v živote sa používajú v poslednom zmysle (mínus prvé poschodie pod nulou a prvé poschodie)

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika 6. M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. ročník. "Gymnázium", 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stránkami učebnice matematiky. Moskva: Vzdelávanie, 1989.
4. Rurukin A.N., Čajkovskij I.V. Úlohy pre kurz matematiky 5.-6. M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovskij K.G. Matematika 5-6. Sprievodca pre študentov 6. ročníka korešpondenčnej školy MEPhI. M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Učebnica-príhovor pre 5-6 ročníkov SŠ. M .: Vzdelávanie, Knižnica pre učiteľov matematiky, 1989.

1. Math-prosto.ru ().
2. YouTube().
3. School-assistant.ru ().
4. Allforchildren.ru ().

Domáca úloha

Sčítanie záporných čísel.

Súčet záporných čísel je záporné číslo. Modul súčtu sa rovná súčtu modulov pojmov.

Pozrime sa, prečo súčet záporných čísel bude tiež záporné číslo. Pomôže nám k tomu súradnicová čiara, na ktorej vykonáme sčítanie čísel -3 a -5. Označme si na súradnicovej čiare bod zodpovedajúci číslu -3.

K číslu -3 musíme pridať číslo -5. Kam pôjdeme z bodu zodpovedajúceho číslu -3? To je vpravo, vľavo! Pre 5 jednotlivých segmentov. Označíme bod a napíšeme k nemu zodpovedajúce číslo. Toto číslo je -8.

Takže pri sčítaní záporných čísel pomocou súradnicovej čiary sme vždy vľavo od referenčného bodu, preto je jasné, že výsledkom sčítania záporných čísel je aj záporné číslo.

Poznámka. Pridali sme čísla -3 a -5, t.j. našiel hodnotu výrazu -3+(-5). Zvyčajne pri sčítaní racionálnych čísel jednoducho zapíšu tieto čísla so svojimi znamienkami, ako keby vypisovali všetky čísla, ktoré je potrebné sčítať. Takýto zápis sa nazýva algebraický súčet. Použiť (v našom príklade) záznam: -3-5=-8.

Príklad. Nájdite súčet záporných čísel: -23-42-54. (Súhlasíte s tým, že tento záznam je kratší a pohodlnejší takto: -23+(-42)+(-54))?

My rozhodujeme podľa pravidla sčítania záporných čísel: sčítame moduly výrazov: 23+42+54=119. Výsledok bude so znamienkom mínus.

Zvyčajne to zapisujú takto: -23-42-54 \u003d -119.

Sčítanie čísel s rôznymi znakmi.

Súčet dvoch čísel s rôznymi znamienkami má znamienko sčítanky s veľkým modulom. Ak chcete nájsť modul súčtu, musíte odpočítať menší modul od väčšieho modulu.

Vykonajte sčítanie čísel s rôznymi znamienkami pomocou súradnicovej čiary.

1) -4+6. K číslu 6 je potrebné pridať číslo -4. Číslo -4 označíme bodkou na súradnicovej čiare. Číslo 6 je kladné, čo znamená, že od bodu so súradnicou -4 musíme ísť doprava o 6 segmentov jednotky. Skončili sme napravo od začiatku (od nuly) o 2 jednotkové segmenty.

Výsledkom súčtu čísel -4 a 6 je kladné číslo 2:

— 4+6=2. Ako ste mohli získať číslo 2? Odpočítajte 4 od 6, t.j. odpočítať menšie od väčšieho. Výsledok má rovnaké znamienko ako výraz s veľkým modulom.

2) Vypočítajme: -7+3 pomocou súradnicovej čiary. Označíme bod zodpovedajúci číslu -7. Ideme doprava o 3 segmenty jednotiek a získame bod so súradnicou -4. Boli sme a zostali sme naľavo od pôvodu: odpoveď je záporné číslo.

— 7+3=-4. Tento výsledok by sme mohli dostať nasledovne: od väčšieho modulu sme odčítali menší, t.j. 7-3 = 4. V dôsledku toho bolo znamienko výrazu s väčším modulom nastavené: |-7|>|3|.

Príklady. Vypočítať: a) -4+5-9+2-6-3; b) -10-20+15-25.

formovanie vedomostí o pravidle na sčítanie čísel s rôznymi znakmi, schopnosť ich aplikovať v najjednoduchších prípadoch;

rozvoj schopností porovnávať, identifikovať vzory, zovšeobecňovať;

výchova k zodpovednému postoju k výchovnej práci.

Vybavenie: multimediálny projektor, plátno.

Typ lekcie: lekcia učenia sa nového materiálu.

POČAS VYUČOVANIA

1. Organizačný moment.

Postavte sa rovno

Ticho si sadli.

Teraz zazvonil zvonček

Začnime našu lekciu.

Chlapci! Dnes máme na našej lekcii hostí. Otočme sa k nim a usmejme sa na seba. Takže začíname našu lekciu.

snímka 2- Epigraf lekcie: „Kto si nič nevšimne, nič neštuduje.

Kto nič neštuduje, vždy fňuká a nudí sa.

Roman Sef (spisovateľ pre deti)

Sladké 3 - Odporúčam vám hrať opačnú hru. Pravidlá hry: treba rozdeliť slová do dvoch skupín: zisk, lož, teplo, dal, pravda, dobro, strata, vzal, zlo, chlad, pozitívny, negatívny.

V živote je veľa rozporov. S ich pomocou definujeme okolitú realitu. Pre našu lekciu potrebujem to druhé: pozitívne - negatívne.

O čom hovoríme v matematike, keď používame tieto slová? (O číslach.)

Veľký Pytagoras povedal: "Čísla vládnu svetu." Navrhujem hovoriť o najzáhadnejších číslach vo vede - číslach s rôznymi znakmi. - Záporné čísla sa vo vede objavili ako opak pozitívnych. Ich cesta k vede bola náročná, pretože ani mnohí vedci nepodporovali myšlienku ich existencie.

Aké pojmy a veličiny ľudia merajú kladnými a zápornými číslami? (náboje elementárnych častíc, teplota, straty, výška a hĺbka atď.)

snímka 4- Slová opačné vo význame - antonymá (tabuľka).

2. Stanovenie témy lekcie.

Snímka 5 (práca so stolom) Aké čísla ste sa naučili v predchádzajúcich lekciách?
– Aké úlohy súvisiace s kladnými a zápornými číslami môžete vykonávať?
- Pozornosť na obrazovku. (Snímka 5)
Aké čísla sú v tabuľke?
- Pomenujte moduly čísel písaných vodorovne.
– Zadajte najväčšie číslo, zadajte číslo s najväčším modulom.
- Odpovedzte na rovnaké otázky pre čísla písané vertikálne.
– Zhoduje sa vždy najväčšie číslo a číslo s najväčším modulom?
Nájdite súčet kladných čísel, súčet záporných čísel.
- Formulujte pravidlo pre sčítanie kladných čísel a pravidlo pre sčítanie záporných čísel.
Aké čísla ešte treba doplniť?
- Môžete ich dať dokopy?
Poznáte pravidlo na sčítanie čísel s rôznymi znamienkami?
- Formulujte tému hodiny.
- Aký je tvoj cieľ? .Premýšľajte, čo budeme dnes robiť? (Odpovede detí). Dnes pokračujeme v oboznamovaní sa s kladnými a zápornými číslami. Témou našej lekcie je „Sčítanie čísel s rôznymi znamienkami“. A náš cieľ: učiť sa bez chýb, sčítať čísla s rôznymi znamienkami. Zapíšte si dátum a tému lekcie do zošita..

3. Spracujte tému vyučovacej hodiny.

snímka 6.– Pomocou týchto konceptov nájdite na obrazovke výsledky sčítania čísel s rôznymi znakmi.
Aké čísla sú výsledkom sčítania kladných a záporných čísel?
Aké čísla sú výsledkom sčítania čísel s rôznymi znamienkami?
Čo určuje znamienko súčtu čísel s rôznymi znamienkami? (Snímka 5)
– Z termínu s najväčším modulom.
„Je to ako ťahať povraz. Najsilnejší vyhráva.

Snímka 7- Poďme hrať. Predstavte si, že ťaháte povraz. . učiteľ. Súperi sa väčšinou stretávajú na súťažiach. A dnes s vami navštívime niekoľko turnajov. Ako prvé nás čaká finále súťaže v preťahovaní lanom. Na čísle -7 je Ivan Minusov a na čísle +5 Petr Plusov. Kto podľa vás vyhrá? prečo? Ivan Minusov teda vyhral, ​​naozaj sa ukázal byť silnejší ako jeho súper a dokázal ho stiahnuť na svoju negatívnu stranu presne na dva kroky.

Snímka 8.- . A teraz navštívime ďalšie súťaže. Je tu finále streleckej súťaže. Najlepší v tejto forme boli Mínus Troikin s tromi balónmi a Plus Chetverikov, ktorý mal v zásobe štyri balóny. A chlapci, čo myslíte, kto bude víťaz?

Snímka 9- Súťaže ukázali, že najsilnejší vyhráva. Takže pri sčítaní čísel s rôznymi znamienkami: -7 + 5 = -2 a -3 + 4 = +1. Chlapci, ako sa sčítavajú čísla s rôznymi znamienkami? Študenti ponúkajú svoje vlastné možnosti.

Učiteľ sformuluje pravidlo, uvedie príklady.

10 + 12 = +(12 – 10) = +2

4 + 3,6 = -(4 – 3,6) = -0,4

Študenti počas ukážky môžu komentovať riešenie, ktoré sa objaví na snímke.

Snímka 10- Učiteľ, zahráme si ešte jednu hru „Námorná bitka“. Nepriateľská loď sa blíži k nášmu pobrežiu, treba ju vyradiť a potopiť. Na to máme zbraň. Aby ste však zasiahli cieľ, musíte urobiť presné výpočty. Čo teraz uvidíte. pripravený? Potom pokračujte! Nenechajte sa rozptyľovať, príklady sa menia presne po 3 sekundách. Sú všetci pripravení?

Študenti sa striedajú pri prechode k tabuli a pri počítaní príkladov, ktoré sú na snímke. - Uveďte kroky na dokončenie úlohy.

snímka 11- Učebnicová práca: str.180 str.33, prečítajte si pravidlo na sčítanie čísel s rôznymi znamienkami. Komentáre k pravidlu.
- Aký je rozdiel medzi pravidlom navrhnutým v učebnici a algoritmom, ktorý ste zostavili? Zvážte príklady v učebnici s komentárom.

snímka 12- Učiteľ-Teraz, chlapci, dáme si experimentovať. Ale nie chemická, ale matematická! Vezmite čísla 6 a 8, znamienka plus a mínus a všetko dobre premiešajte. Zoberme si štyri príklady-skúsenosti. Urobte si ich vo svojom notebooku. (o krídlach tabule rozhodujú dvaja žiaci, potom sa skontrolujú odpovede). Aké závery možno vyvodiť z tohto experimentu?(Úloha znakov). Urobme ešte 2 pokusy. , ale s vašimi číslami (jedna osoba ide von k tabuli). Poďme si navzájom vymyslieť čísla a skontrolujme výsledky experimentu (vzájomné overenie).

snímka 13 .- Pravidlo sa zobrazí na obrazovke vo forme veršov. .

4. Upevnenie témy lekcie.

Snímka 14 - Učiteľ - "Sú potrebné všetky druhy znamení, dôležité sú všetky druhy!" Teraz sa, chlapci, rozdelíme s vami do dvoch tímov. Chlapci budú v tíme Santa Clausa a dievčatá budú v tíme Slnka. Vašou úlohou bez počítania príkladov je určiť, ktoré z nich budú záporné a ktoré kladné, a zapísať písmená týchto príkladov do zošita. Chlapci sú negatívni a dievčatá sú pozitívne (karty sa vydávajú z aplikácie). Prebieha samokontrola.

Výborne! Máš výborný cit pre znamenia. To vám pomôže dokončiť nasledujúcu úlohu

Snímka 15 - Fizkulminutka. -10, 0,15,18, -5,14,0, -8, -5 atď. (záporné čísla - drep, kladné čísla - vytiahnutie, vyskočenie)

snímka 16-Sami vyriešte 9 príkladov (úloha na kartičkách v aplikácii). 1 osoba v rade. Urobte si autotest. Odpovede sa zobrazujú na obrazovke, žiaci opravujú chyby v zošitoch. Zdvihnite ruky, kto má pravdu. (Značky sa udeľujú len za dobré a vynikajúce výsledky)

Snímka 17- Pravidlá nám pomáhajú správne riešiť príklady. Zopakujme si ich Na obrazovke je algoritmus na sčítanie čísel s rôznymi znamienkami.

5. Organizácia samostatnej práce.

Snímka 18-FRontal práca prostredníctvom hry „Hádaj slovo“(úloha na kartách v aplikácii).

Snímka 19 - Mali by ste dostať skóre za hru - "päť"

Šmykľavka 20-A teraz pozor. Domáca úloha. Domáce úlohy by pre vás nemali byť ťažké.

Snímka 21 - Zákony sčítania vo fyzikálnych javoch. Vymyslite si príklady sčítania čísel s rôznymi znamienkami a spýtajte sa ich navzájom. Čo nové ste sa naučili? Dosiahli sme svoj cieľ?

Snímka 22 - Takže lekcia skončila, poďme si to teraz zhrnúť. Reflexia. Učiteľ hodinu komentuje a hodnotí.

Snímka 23 -Ďakujem za tvoju pozornosť!

Prajem vám, aby ste mali v živote viac pozitívneho a menej negatívneho, chcem vám povedať chlapci, ďakujem za vašu aktívnu prácu. Myslím si, že to, čo ste sa naučili, môžete ľahko použiť v nasledujúcich lekciách. Lekcia sa skončila. Všetkým vám veľmi pekne ďakujem. Zbohom!

V tomto článku sa budeme zaoberať sčítanie čísel s rôznymi znakmi. Tu uvádzame pravidlo na sčítanie kladného a záporného čísla a zvažujeme príklady použitia tohto pravidla pri sčítaní čísel s rôznymi znamienkami.

Navigácia na stránke.

Pravidlo pre sčítanie čísel s rôznymi znamienkami

Príklady sčítania čísel s rôznymi znakmi

Zvážte príklady sčítania čísel s rôznymi znamienkami podľa pravidla uvedeného v predchádzajúcom odseku. Začnime jednoduchým príkladom.

Príklad.

Pridajte čísla −5 a 2 .

rozhodnutie.

Musíme pridať čísla s rôznymi znamienkami. Dodržujme všetky kroky predpísané pravidlom sčítania kladných a záporných čísel.

Najprv nájdeme moduly termínov, ktoré sa rovnajú 5 a 2.

Modul čísla −5 je väčší ako modul čísla 2, preto si zapamätajte znamienko mínus.

Zostáva vložiť zapamätané znamienko mínus pred výsledné číslo, dostaneme −3. Tým sa dokončí sčítanie čísel s rôznymi znakmi.

odpoveď:

(−5)+2=−3 .

Ak chcete pridať racionálne čísla s rôznymi znakmi, ktoré nie sú celými číslami, mali by byť reprezentované ako obyčajné zlomky (ak je to vhodné, môžete pracovať s desatinnými zlomkami). Pozrime sa na tento bod v nasledujúcom príklade.

Príklad.

Pridajte kladné a záporné číslo −1,25.

rozhodnutie.

Predstavme si čísla vo forme obyčajných zlomkov, preto vykonáme prechod zo zmiešaného čísla na nesprávny zlomok: a preložíme desatinný zlomok na obyčajný: .

Teraz môžete použiť pravidlo na sčítanie čísel s rôznymi znamienkami.

Moduly pridaných čísel sú 17/8 a 5/4. Pre pohodlie pri vykonávaní ďalších akcií zmenšujeme zlomky na spoločného menovateľa, v dôsledku čoho máme 17/8 a 10/8.

Teraz musíme porovnať bežné zlomky 17/8 a 10/8. Od 17>10 , teda . Teda výraz so znamienkom plus má väčší modul, preto si zapamätajte znamienko plus.

Teraz odčítame menší od väčšieho modulu, to znamená, že odčítame zlomky s rovnakými menovateľmi: .

Zostáva vložiť zapamätané znamienko plus pred výsledné číslo, dostaneme, ale - toto je číslo 7/8.

V tejto lekcii sa naučíme, čo je záporné číslo a aké čísla sa nazývajú protiklady. Naučíme sa tiež sčítať záporné a kladné čísla (čísla s rôznymi znamienkami) a rozoberieme niekoľko príkladov sčítania čísel s rôznymi znamienkami.

Pozrite sa na tento prevod (pozri obr. 1).

Ryža. 1. Hodinový prevod

Toto nie je šípka, ktorá priamo ukazuje čas a nie číselník (pozri obr. 2). Ale bez tohto detailu hodiny nefungujú.

Ryža. 2. Prevod vo vnútri hodiniek

Čo znamená písmeno Y? Nič iné ako zvuk Y. Ale bez toho veľa slov „nebude fungovať“. Napríklad slovo "myš". Rovnako aj záporné čísla: neukazujú žiadnu sumu, ale bez nich by bol mechanizmus výpočtu oveľa zložitejší.

Vieme, že sčítanie a odčítanie sú rovnaké operácie a možno ich vykonávať v ľubovoľnom poradí. V priamom poradí môžeme vypočítať: , ale s odčítaním sa začať nedá, keďže sme sa ešte nedohodli, ale čo je .

Je zrejmé, že zvýšenie počtu a následné zníženie znamená zníženie o tri. Prečo tento objekt neoznačiť a nespočítať takto: pridať znamená odčítať. Potom .

Číslo môže znamenať napríklad jablká. Nové číslo nepredstavuje žiadne skutočné množstvo. Samo o sebe to nič neznamená, ako písmeno Y. Je to len nový nástroj na zjednodušenie výpočtov.

Vymenujme nové čísla negatívne. Teraz môžeme odčítať väčšie číslo od menšieho čísla. Technicky stále musíte odčítať menšie číslo od väčšieho čísla, ale do odpovede vložte znamienko mínus: .

Pozrime sa na ďalší príklad: . Môžete vykonať všetky akcie v rade:.

Je však jednoduchšie odpočítať tretie číslo od prvého čísla a potom pridať druhé číslo:

Záporné čísla možno definovať aj iným spôsobom.

Pre každé prirodzené číslo, napríklad , zaveďme nové číslo, ktoré označíme , a určme, že má nasledujúcu vlastnosť: súčet čísla a je rovný : .

Číslo sa bude nazývať záporné a čísla a - opačne. Takto sme dostali nekonečný počet nových čísel, napríklad:

Opak čísla;

Opak ;

Opak ;

Opak ;

Odčítajte väčšie číslo od menšieho čísla: K tomuto výrazu pridajme: . Dostali sme nulu. Avšak podľa vlastnosti: číslo, ktoré je súčtom päť, dáva nulu, sa označuje mínus päť:. Preto možno výraz označiť ako .

Každé kladné číslo má dvojčíslo, ktoré sa líši iba tým, že pred ním je znamienko mínus. Takéto čísla sa nazývajú opak(Pozri obr. 3).

Ryža. 3. Príklady opačných čísel

Vlastnosti opačných čísel

1. Súčet opačných čísel sa rovná nule:.

2. Ak od nuly odpočítate kladné číslo, výsledkom bude opačné záporné číslo: .

1. Obidve čísla môžu byť kladné a už vieme, ako ich sčítať: .

2. Obidve čísla môžu byť záporné.

Sčítaniu takýchto čísel sme sa už venovali v predchádzajúcej lekcii, ale uistíme sa, že rozumieme tomu, čo s nimi robiť. Napríklad: .

Ak chcete nájsť tento súčet, pridajte opačné kladné čísla a vložte znamienko mínus.

3. Jedno číslo môže byť kladné a druhé záporné.

Sčítanie záporného čísla môžeme nahradiť, ak sa nám to hodí, odčítaním kladného:.

Ešte jeden príklad: . Opäť napíšte súčet ako rozdiel. Väčšie číslo môžete odpočítať od menšieho čísla tak, že od väčšieho odčítate menšie číslo, ale dáte znamienko mínus.

Pojmy je možné zamieňať: .

Ďalší podobný príklad: .

Vo všetkých prípadoch je výsledkom odčítanie.

Aby sme tieto pravidlá stručne sformulovali, pripomeňme si ešte jeden pojem. Opačné čísla sa, samozrejme, navzájom nerovnajú. Bolo by však zvláštne nevšimnúť si, že majú niečo spoločné. Toto spoločné sme volali modul počtu. Modul opačných čísel je rovnaký: pre kladné číslo sa rovná samotnému číslu a pre záporné je opačný, kladný. Napríklad: , .

Ak chcete pridať dve záporné čísla, pridajte ich modul a vložte znamienko mínus:

Ak chcete pridať záporné a kladné číslo, musíte odpočítať menší modul od väčšieho modulu a pridať znamienko čísla k väčšiemu modulu:

Obe čísla sú záporné, preto pridajte ich moduly a vložte znamienko mínus:

Dve čísla s rôznymi znamienkami preto od modulu čísla (väčší modul) odpočítame modul čísla a dáme znamienko mínus (znamienko čísla s väčším modulom):

Dve čísla s rôznymi znamienkami teda od modulu čísla (väčší modul) odčítame modul čísla a dáme znamienko mínus (znamienko čísla s veľkým modulom): .

Dve čísla s rôznymi znamienkami preto odčítajte modul čísla od modulu čísla (väčší modul) a vložte znamienko plus (znamienko čísla s veľkým modulom): .

Kladné a záporné čísla majú historicky odlišnú úlohu.

Najprv sme zaviedli prirodzené čísla na počítanie objektov:

Potom sme zaviedli ďalšie kladné čísla - zlomky, na počítanie neceločíselných veličín, častí: .

Záporné čísla sa objavili ako nástroj na zjednodušenie výpočtov. Neexistovalo nič také, že by v živote existovali nejaké veličiny, ktoré sme nevedeli spočítať, a vymysleli sme záporné čísla.

To znamená, že záporné čísla nepochádzajú z reálneho sveta. Ukázalo sa, že sú také pohodlné, že na niektorých miestach boli použité v živote. Napríklad často počúvame o mínusových teplotách. V tomto prípade sa nikdy nestretávame so záporným počtom jabĺk. V čom je rozdiel?

Rozdiel je v tom, že v reálnom živote sa záporné hodnoty používajú iba na porovnanie, nie na množstvo. Ak bol v hoteli vybavený suterén a bol tam spustený výťah, potom, aby sa ponechalo obvyklé číslovanie bežných poschodí, môže sa objaviť mínus prvé poschodie. Toto mínus jedna znamená iba jedno poschodie pod úrovňou terénu (pozri obr. 1).

Ryža. 4. Mínus prvé a mínus druhé poschodie

Záporná teplota je negatívna iba v porovnaní s nulou, ktorú zvolil autor stupnice Anders Celsius. Sú tam iné váhy a tá istá teplota tam už nemusí byť negatívna.

Zároveň chápeme, že nie je možné zmeniť východiskový bod tak, aby nebolo päť, ale šesť jabĺk. V živote sa teda kladné čísla používajú na určenie množstva (jablká, koláč).

Používame ich aj namiesto mien. Každý telefón môže dostať svoje vlastné meno, ale počet mien je obmedzený a neexistujú žiadne čísla. Preto používame telefónne čísla. Aj na objednávku (storočie nasleduje storočie).

Záporné čísla v živote sa používajú v poslednom zmysle (mínus prvé poschodie pod nulou a prvé poschodie)

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Matematika 6. M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. ročník. "Gymnázium", 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stránkami učebnice matematiky. Moskva: Vzdelávanie, 1989.
4. Rurukin A.N., Čajkovskij I.V. Úlohy pre kurz matematiky 5.-6. M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovskij K.G. Matematika 5-6. Sprievodca pre študentov 6. ročníka korešpondenčnej školy MEPhI. M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Učebnica-príhovor pre 5-6 ročníkov SŠ. M .: Vzdelávanie, Knižnica pre učiteľov matematiky, 1989.

1. Math-prosto.ru ().
2. YouTube().
3. School-assistant.ru ().
4. Allforchildren.ru ().

Domáca úloha