Inštrukcia

Spôsob pridávania.
Musíte napísať dva prísne pod seba:

549+45y+4y=-7, 45r+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Do ľubovoľne zvolenej (zo sústavy) rovnice vložte namiesto už nájdenej „hry“ číslo 11 a vypočítajte druhú neznámu:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Odpoveď tohto systému rovníc: x=116, y=11.

Grafický spôsob.
Spočíva v praktickom nájdení súradníc bodu, v ktorom sú priamky matematicky zapísané v sústave rovníc. Mali by ste nakresliť grafy oboch čiar oddelene v rovnakom súradnicovom systéme. Celkový pohľad: - y \u003d kx + b. Na zostrojenie priamky stačí nájsť súradnice dvoch bodov a x je zvolené ľubovoľne.
Nech je daný systém: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
Rovná čiara je zostavená podľa prvej, pre pohodlie je potrebné zapísať: y \u003d 2x-4. Vymyslite (jednoduchšie) hodnoty pre x, dosaďte ho do rovnice, vyriešte, nájdite y. Získajú sa dva body, pozdĺž ktorých je postavená priamka. (pozri obrázok.)
x 0 1

y-4-2
Rovná čiara je vytvorená podľa druhej rovnice: y \u003d -3x + 1.
Tiež postaviť linku. (pozri obrázok.)

1-5
Nájdite súradnice priesečníka dvoch zostrojených priamok na grafe (ak sa priamky nepretínajú, tak sústava rovníc nemá - teda).

Podobné videá

Užitočné rady

Ak je rovnaký systém rovníc vyriešený tromi rôznymi spôsobmi, odpoveď bude rovnaká (ak je riešenie správne).

Zdroje:

• Algebra ročník 8
• vyriešiť rovnicu s dvoma neznámymi online
• Príklady riešenia sústav lineárnych rovníc s dvojkou

Systém rovnice je zbierka matematických záznamov, z ktorých každý obsahuje určitý počet premenných. Existuje niekoľko spôsobov, ako ich vyriešiť.

Budete potrebovať

• -Pravítko a ceruzka;
• - kalkulačka.

Inštrukcia

Uvažujme postupnosť riešenia sústavy, ktorá pozostáva z lineárnych rovníc v tvare: a1x + b1y = c1 a a2x + b2y = c2. Kde x a y sú neznáme premenné a b,c sú voľné členy. Pri aplikácii tejto metódy je každý systém súradnicami bodov zodpovedajúcich každej rovnici. Najprv v každom prípade vyjadrite jednu premennú z hľadiska druhej. Potom nastavte premennú x na ľubovoľný počet hodnôt. Stačia dve. Zapojte do rovnice a nájdite y. Zostavte súradnicový systém, označte na ňom získané body a nakreslite cez ne priamku. Podobné výpočty sa musia vykonať pre ostatné časti systému.

Systém má unikátne riešenie, ak sa zostrojené čiary pretínajú a majú jeden spoločný bod. Je nekonzistentné, ak sú navzájom rovnobežné. A má nekonečne veľa riešení, keď línie navzájom splývajú.

Táto metóda sa považuje za veľmi jasnú. Hlavnou nevýhodou je, že vypočítané neznáme majú približné hodnoty. Presnejší výsledok poskytujú takzvané algebraické metódy.

Každé riešenie systému rovníc stojí za kontrolu. Za týmto účelom nahraďte získané hodnoty namiesto premenných. Aj jeho riešenie môžete nájsť niekoľkými spôsobmi. Ak je riešenie systému správne, tak by mali všetci dopadnúť rovnako.

Často existujú rovnice, v ktorých je jeden z členov neznámy. Ak chcete vyriešiť rovnicu, musíte si zapamätať a vykonať určitý súbor akcií s týmito číslami.

Budete potrebovať

• - papier;
• - Pero alebo ceruzka.

Inštrukcia

Predstavte si, že máte pred sebou 8 králikov a máte len 5 mrkiev. Myslite na to, že musíte kúpiť viac mrkvy, aby každý králik dostal mrkvu.

Predstavme si tento problém vo forme rovnice: 5 + x = 8. Dosaďte za x číslo 3. Skutočne, 5 + 3 = 8.

Keď ste nahradili číslom x, robili ste rovnakú operáciu ako odčítanie 5 od 8. neznámyčlen, odčítaj známy člen od súčtu.

Povedzme, že máte 20 králikov a iba 5 mrkiev. Poďme skladať. Rovnica je rovnosť, ktorá platí iba pre určité hodnoty písmen, ktoré sú v nej zahrnuté. Písmená, ktorých hodnoty chcete nájsť, sa nazývajú. Napíšte rovnicu s jednou neznámou, nazvite ju x. Pri riešení našej úlohy o králikoch získame nasledujúcu rovnicu: 5 + x = 20.

Nájdime rozdiel medzi 20 a 5. Pri odčítaní sa zníži číslo, od ktorého sa odpočítava. Číslo, ktoré sa odpočíta, sa nazýva a konečný výsledok sa nazýva rozdiel. Takže x = 20 - 5; x = 15. Potrebujete kúpiť 15 mrkvy pre králiky.

Skontrolujte: 5 + 15 = 20. Rovnica je správna. Samozrejme, ak ide o také jednoduché, kontrola nie je potrebná. Pokiaľ však ide o rovnice s trojciferným, štvorciferným a tak ďalej, je nevyhnutné skontrolovať, aby ste si boli absolútne istí výsledkom svojej práce.

Podobné videá

Užitočné rady

Ak chcete nájsť neznámy minuend, musíte k rozdielu pridať subtrahend.

Na nájdenie neznámeho subtrahendu je potrebné odpočítať rozdiel od minuendu.

Tip 4: Ako vyriešiť sústavu troch rovníc s tromi neznámymi

Systém troch rovníc s tromi neznámymi nemusí mať riešenia, napriek dostatočnému počtu rovníc. Môžete to skúsiť vyriešiť pomocou substitučnej metódy alebo pomocou Cramerovej metódy. Cramerova metóda okrem riešenia systému umožňuje pred nájdením hodnôt neznámych vyhodnotiť, či je systém riešiteľný.

Inštrukcia

Substitučná metóda spočíva v postupnom postupe od jednej neznámej cez dve ďalšie a v dosadení získaného výsledku do rovníc sústavy. Nech je daný systém troch rovníc vo všeobecnom tvare:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Vyjadrite x z prvej rovnice: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - a dosaďte do druhej a tretej rovnice, potom vyjadrite y z druhej rovnice a dosaďte do tretej. Prostredníctvom koeficientov rovníc systému získate lineárny výraz pre z. Teraz sa vráťte "späť": vložte z do druhej rovnice a nájdite y, potom vložte z a y do prvej rovnice a nájdite x. Proces je všeobecne znázornený na obrázku, kým sa nenájde z. Ďalej bude záznam vo všeobecnej forme príliš ťažkopádny, v praxi pri nahradení celkom ľahko nájdete všetky tri neznáme.

Cramerova metóda spočíva v zostavení matice systému a výpočte determinantu tejto matice, ako aj troch ďalších pomocných matíc. Matica systému je zložená z koeficientov na neznámych členoch rovníc. Stĺpec obsahujúci čísla na pravej strane rovníc, stĺpec na pravej strane. V systéme sa nepoužíva, ale používa sa pri riešení systému.

Podobné videá

Poznámka

Všetky rovnice v systéme musia poskytovať dodatočné informácie nezávislé od ostatných rovníc. V opačnom prípade bude systém podurčený a nebude možné nájsť jednoznačné riešenie.

Užitočné rady

Po vyriešení sústavy rovníc dosaďte nájdené hodnoty do pôvodnej sústavy a skontrolujte, či vyhovujú všetkým rovniciam.

Sám od seba rovnica s tromi neznámy má veľa riešení, preto sa najčastejšie dopĺňa o dve ďalšie rovnice alebo podmienky. Od toho, aké sú prvotné údaje, bude do značnej miery závisieť priebeh rozhodovania.

Budete potrebovať

• - sústava troch rovníc s tromi neznámymi.

Inštrukcia

Ak majú dva z troch systémov iba dve z troch neznámych, skúste niektoré premenné vyjadriť pomocou ostatných a zapojte ich do rovnica s tromi neznámy. Vaším cieľom je zmeniť to na normálne rovnica s neznámym. Ak je toto , ďalšie riešenie je celkom jednoduché - dosaďte nájdenú hodnotu do iných rovníc a nájdite všetky ostatné neznáme.

Niektoré sústavy rovníc možno od jednej rovnice odčítať druhou. Pozrite sa, či je možné vynásobiť jednu z alebo premennú tak, aby sa naraz zredukovali dve neznáme. Ak existuje takáto príležitosť, využite ju, s najväčšou pravdepodobnosťou nebude následné rozhodnutie ťažké. Nezabudnite, že pri násobení číslom musíte vynásobiť ľavú aj pravú stranu. Podobne pri odčítaní rovníc nezabúdajte, že treba odčítať aj pravú stranu.

Ak predchádzajúce metódy nepomohli, použite všeobecnú metódu na riešenie akýchkoľvek rovníc s tromi neznámy. Za týmto účelom prepíšte rovnice v tvare a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Teraz vytvorte maticu koeficientov v x (A), maticu neznámych (X) a maticu voľných (B). Venujte pozornosť, vynásobením matice koeficientov maticou neznámych získate maticu, maticu voľných členov, to znamená A * X \u003d B.

Nájdite maticu A na mocninu (-1) po nájdení, všimnite si, že by sa nemala rovnať nule. Potom vynásobte výslednú maticu maticou B, ako výsledok dostanete požadovanú maticu X, ktorá označuje všetky hodnoty.

Riešenie systému troch rovníc môžete nájsť aj pomocou Cramerovej metódy. Na tento účel nájdite determinant tretieho rádu ∆ zodpovedajúci matici systému. Potom postupne nájdite tri ďalšie determinanty ∆1, ∆2 a ∆3, pričom nahraďte hodnoty voľných členov namiesto hodnôt zodpovedajúcich stĺpcov. Teraz nájdite x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Zdroje:

• riešenia rovníc s tromi neznámymi

Začnite riešiť sústavu rovníc a zistite, aké sú tieto rovnice. Metódy riešenia lineárnych rovníc sú dobre preštudované. Nelineárne rovnice sa najčastejšie neriešia. Existuje len jeden špeciálny prípad, z ktorých každý je prakticky individuálny. Preto by sa štúdium metód riešenia malo začať lineárnymi rovnicami. Takéto rovnice je možné riešiť aj čisto algoritmicky.

menovatele nájdených neznámych sú úplne rovnaké. Áno, a v čitateľoch sú viditeľné niektoré vzory ich konštrukcie. Ak by bol rozmer sústavy rovníc väčší ako dva, potom by eliminačná metóda viedla k veľmi ťažkopádnym výpočtom. Aby sa im zabránilo, boli vyvinuté čisto algoritmické riešenia. Najjednoduchší z nich je Cramerov algoritmus (Cramerove vzorce). Mal by sa naučiť všeobecný systém rovníc n rovníc.

Sústava n lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi má tvar (pozri obr. 1a). V ňom aij sú koeficienty systému,
хj – neznáme, bi – voľné členy (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Takýto systém možno kompaktne zapísať v maticovom tvare AX=B. Tu je A matica koeficientov systému, X je stĺpcová matica neznámych, B je stĺpcová matica voľných členov (pozri obr. 1b). Podľa Cramerovej metódy každá neznáma xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Determinant ∆ matice koeficientov sa nazýva hlavný determinant a ∆i sa nazýva pomocný. Pre každú neznámu sa nájde pomocný determinant nahradením i-tého stĺpca hlavného determinantu stĺpcom voľných členov. Cramerova metóda pre prípad systémov druhého a tretieho rádu je podrobne znázornená na obr. 2.

Systém je spojenie dvoch alebo viacerých rovností, z ktorých každá má dve alebo viac neznámych. Existujú dva hlavné spôsoby riešenia sústav lineárnych rovníc, ktoré sa používajú v školských osnovách. Jedna z nich sa nazýva metóda, druhá je metóda sčítania.

Štandardný tvar sústavy dvoch rovníc

V štandardnej forme je prvá rovnica a1*x+b1*y=c1, druhá rovnica je a2*x+b2*y=c2 atď. Napríklad v prípade dvoch častí systému v oboch sú uvedené a1, a2, b1, b2, c1, c2 niektoré číselné koeficienty uvedené v špecifických rovniciach. Na druhej strane, x a y sú neznáme, ktorých hodnoty je potrebné určiť. Požadované hodnoty premenia obe rovnice súčasne na skutočné rovnosti.

Riešenie sústavy adičnou metódou

Ak chcete vyriešiť systém, teda nájsť tie hodnoty x a y, ktoré ich premenia na skutočné rovnosti, musíte urobiť niekoľko jednoduchých krokov. Prvým z nich je transformácia ktorejkoľvek z rovníc takým spôsobom, aby sa číselné koeficienty pre premennú x alebo y v oboch rovniciach zhodovali v absolútnej hodnote, ale líšili sa v znamienku.

Napríklad nech je daný systém pozostávajúci z dvoch rovníc. Prvý z nich má tvar 2x+4y=8, druhý má tvar 6x+2y=6. Jednou z možností dokončenia úlohy je vynásobenie druhej rovnice koeficientom -2, čím sa dostane do tvaru -12x-4y=-12. Správna voľba koeficientu je jednou z kľúčových úloh v procese riešenia sústavy sčítacou metódou, keďže určuje celý ďalší priebeh postupu pri hľadaní neznámych.

Teraz je potrebné pridať dve rovnice systému. Je zrejmé, že vzájomná deštrukcia premenných s rovnakou hodnotou, ale opačným znamienkovým koeficientom to povedie k tvaru -10x=-4. Potom je potrebné vyriešiť túto jednoduchú rovnicu, z ktorej jednoznačne vyplýva, že x=0,4.

Posledným krokom v procese riešenia je substitúcia nájdenej hodnoty jednej z premenných do niektorej z počiatočných rovníc dostupných v systéme. Napríklad dosadením x=0,4 do prvej rovnice získate výraz 2*0,4+4y=8, z čoho y=1,8. Takže x = 0,4 a y = 1,8 sú korene systému znázorneného v príklade.

Aby ste sa uistili, že korene boli nájdené správne, je užitočné skontrolovať dosadením nájdených hodnôt do druhej rovnice systému. Napríklad v tomto prípade sa získa rovnosť tvaru 0,4 * 6 + 1,8 * 2 = 6, čo je správne.

Podobné videá

Najprv si pripomeňme definíciu riešenia sústavy rovníc v dvoch premenných.

Definícia 1

Dvojica čísel sa nazýva riešenie sústavy rovníc s dvoma premennými, ak sa pri ich dosadení do rovnice získa správna rovnosť.

Ďalej budeme uvažovať o sústavách dvoch rovníc s dvoma premennými.

Existovať štyri základné spôsoby riešenia sústav rovníc: substitučná metóda, metóda sčítania, grafická metóda, nová metóda riadenia premenných. Pozrime sa na tieto metódy s konkrétnymi príkladmi. Aby sme opísali princíp použitia prvých troch metód, budeme uvažovať o systéme dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi:

Substitučná metóda

Substitučná metóda je nasledovná: vezme sa ktorákoľvek z týchto rovníc a $y$ sa vyjadrí ako $x$, potom sa $y$ dosadí do rovnice systému, odkiaľ sa nájde premenná $x.$. Potom môžeme jednoducho vypočítať premennú $y.$

Príklad 1

Vyjadrime z druhej rovnice $y$ v podmienkach $x$:

Dosaďte v prvej rovnici a nájdite $x$:

\ \ \

Nájsť $y$:

odpoveď: $(-2,\ 3)$

Spôsob pridávania.

Zvážte túto metódu s príkladom:

Príklad 2

\[\vľavo\( \začiatok(pole)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \koniec(pole) \vpravo.\]

Vynásobte druhú rovnicu 3, dostaneme:

\[\left\( \začiatok(pole)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \koniec(pole) \vpravo.\]

Teraz spočítajme obe rovnice:

\ \ \

Nájdite $y$ z druhej rovnice:

\[-6-y=-9\] \

odpoveď: $(-2,\ 3)$

Poznámka 1

Všimnite si, že pri tejto metóde je potrebné vynásobiť jednu alebo obe rovnice takými číslami, že pri sčítaní jedna z premenných „zmizne“.

Grafický spôsob

Grafická metóda je nasledovná: obe rovnice sústavy sa zobrazia na súradnicovej rovine a nájde sa ich priesečník.

Príklad 3

\[\vľavo\( \začiatok(pole)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \koniec(pole) \vpravo.\]

Vyjadrime $y$ z oboch rovníc pomocou $x$:

\[\left\( \begin(pole)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(pole) \right.\]

Nakreslíme oba grafy v rovnakej rovine:

Obrázok 1.

odpoveď: $(-2,\ 3)$

Ako zaviesť nové premenné

Túto metódu zvážime v nasledujúcom príklade:

Príklad 4

\[\left\( \begin(pole)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(pole) \right .\]

rozhodnutie.

Tento systém je ekvivalentný systému

\[\left\( \begin(pole)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(pole) \ správny.\]

Nech $2^x=u\ (u>0)$ a $3^y=v\ (v>0)$, dostaneme:

\[\vľavo\( \začiatok(pole)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(pole) \vpravo.\]

Výslednú sústavu riešime sčítacou metódou. Pridajme rovnice:

\ \

Potom to dostaneme z druhej rovnice

Keď sa vrátime k nahradeniu, získame nový systém exponenciálnych rovníc:

\[\left\( \begin(pole)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(pole) \right.\]

Dostaneme:

\[\left\( \začiatok(pole)(c) (x=0) \\ (y=1) \koniec(pole) \vpravo.\]

Riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc (SLAE) je nepochybne najdôležitejšou témou kurzu lineárnej algebry. Obrovské množstvo problémov zo všetkých odvetví matematiky sa redukuje na riešenie sústav lineárnych rovníc. Tieto faktory vysvetľujú dôvod vytvorenia tohto článku. Materiál článku je vybraný a štruktúrovaný tak, aby ste s jeho pomocou mohli

• zvoliť optimálnu metódu riešenia vášho systému lineárnych algebraických rovníc,
• študovať teóriu zvolenej metódy,
• vyriešte svoj systém lineárnych rovníc po podrobnom zvážení riešení typických príkladov a problémov.

Stručný popis materiálu článku.

Najprv uvedieme všetky potrebné definície, pojmy a zavedieme nejaký zápis.

Ďalej uvažujeme o metódach riešenia systémov lineárnych algebraických rovníc, v ktorých sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a ktoré majú jedinečné riešenie. Najprv sa zameriame na Cramerovu metódu, po druhé si ukážeme maticovú metódu riešenia takýchto sústav rovníc a po tretie rozoberieme Gaussovu metódu (metóda postupnej eliminácie neznámych premenných). Pre upevnenie teórie určite vyriešime niekoľko SLAE rôznymi spôsobmi.

Potom sa obraciame na riešenie systémov lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru, v ktorých sa počet rovníc nezhoduje s počtom neznámych premenných alebo je hlavná matica systému degenerovaná. Formulujeme Kroneckerovu-Capelliho vetu, ktorá nám umožňuje stanoviť kompatibilitu SLAE. Analyzujme riešenie systémov (v prípade ich kompatibility) pomocou konceptu minoritnej bázy matice. Zvážime aj Gaussovu metódu a podrobne popíšeme riešenia príkladov.

Nezabudnite sa pozastaviť nad štruktúrou všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych systémov lineárnych algebraických rovníc. Uveďme koncept základného systému riešení a ukážme, ako sa všeobecné riešenie SLAE zapisuje pomocou vektorov základného systému riešení. Pre lepšie pochopenie sa pozrime na niekoľko príkladov.

Na záver uvažujeme o sústavách rovníc, ktoré sú redukované na lineárne, ako aj o rôznych problémoch, pri riešení ktorých vznikajú SLAE.

Navigácia na stránke.

Definície, pojmy, označenia.

Budeme uvažovať sústavy p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými (p sa môže rovnať n ) tvaru

Neznáme premenné, - koeficienty (niektoré reálne alebo komplexné čísla), - voľné členy (aj reálne alebo komplexné čísla).

Táto forma SLAE sa nazýva koordinovať.

AT matricový formulár tento systém rovníc má tvar,
kde - hlavná matica systému, - matica-stĺpec neznámych premenných, - matica-stĺpec voľných členov.

Ak do matice A pridáme ako (n + 1)-tý stĺpec maticu-stĺpec voľných členov, tak dostaneme tzv. rozšírená matrica sústavy lineárnych rovníc. Rozšírená matica je zvyčajne označená písmenom T a stĺpec voľných členov je oddelený zvislou čiarou od ostatných stĺpcov, tj.

Riešením sústavy lineárnych algebraických rovníc nazývaný súbor hodnôt neznámych premenných, ktorý mení všetky rovnice systému na identity. Maticová rovnica pre dané hodnoty neznámych premenných sa tiež zmení na identitu.

Ak má sústava rovníc aspoň jedno riešenie, potom sa nazýva kĺb.

Ak systém rovníc nemá riešenia, potom sa nazýva nezlučiteľné.

Ak má SLAE jedinečné riešenie, potom sa nazýva istý; ak existuje viac ako jedno riešenie, potom - neistý.

Ak sa voľné členy všetkých rovníc sústavy rovnajú nule , potom sa systém zavolá homogénne, inak - heterogénne.

Riešenie elementárnych sústav lineárnych algebraických rovníc.

Ak sa počet rovníc systému rovná počtu neznámych premenných a determinant jeho hlavnej matice sa nerovná nule, potom budeme takéto SLAE nazývať elementárne. Takéto sústavy rovníc majú jedinečné riešenie a v prípade homogénneho systému sú všetky neznáme premenné rovné nule.

Takéto SLAE sme začali študovať na strednej škole. Pri ich riešení sme zobrali jednu rovnicu, jednu neznámu premennú sme vyjadrili inými a dosadili ju do zvyšných rovníc, potom sme zobrali ďalšiu rovnicu, vyjadrili ďalšiu neznámu premennú a dosadili ju do iných rovníc atď. Alebo použili metódu sčítania, to znamená, že pridali dve alebo viac rovníc na odstránenie niektorých neznámych premenných. Nebudeme sa týmito metódami podrobne zaoberať, keďže ide v podstate o modifikácie Gaussovej metódy.

Hlavnými metódami riešenia elementárnych sústav lineárnych rovníc sú Cramerova metóda, maticová metóda a Gaussova metóda. Poďme si ich roztriediť.

Riešenie sústav lineárnych rovníc Cramerovou metódou.

Potrebujeme vyriešiť systém lineárnych algebraických rovníc

v ktorej sa počet rovníc rovná počtu neznámych premenných a determinant hlavnej matice systému je odlišný od nuly, teda .

Nech je determinant hlavnej matice systému a sú determinanty matíc, ktoré sa získajú z A nahradením 1., 2., …, n-tý stĺpec respektíve stĺpec voľných členov:

Pri takomto zápise sa neznáme premenné vypočítajú pomocou vzorcov Cramerovej metódy as . Takto sa nájde riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc Cramerovou metódou.

Príklad.

Cramerova metóda .

rozhodnutie.

Hlavná matica systému má tvar . Vypočítajte jej determinant (ak je to potrebné, pozrite si článok):

Keďže determinant hlavnej matice systému je nenulový, systém má jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť Cramerovou metódou.

Zostavte a vypočítajte potrebné determinanty (determinant sa získa nahradením prvého stĺpca v matici A stĺpcom voľných členov, determinant - nahradením druhého stĺpca stĺpcom voľných členov, - nahradením tretieho stĺpca matice A stĺpcom voľných členov ):

Hľadanie neznámych premenných pomocou vzorcov :

odpoveď:

Hlavnou nevýhodou Cramerovej metódy (ak ju možno nazvať nevýhodou) je zložitosť výpočtu determinantov pri počte rovníc systému viac ako tri.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou (pomocou inverznej matice).

Nech je sústava lineárnych algebraických rovníc uvedená v maticovom tvare , kde matica A má rozmer n x n a jej determinant je nenulový.

Keďže , potom je matica A invertibilná, to znamená, že existuje inverzná matica . Ak obe časti rovnosti vynásobíme vľavo, dostaneme vzorec na nájdenie stĺpcovej matice neznámych premenných. Tak sme dostali riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou.

Príklad.

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc maticová metóda.

rozhodnutie.

Prepíšme sústavu rovníc do maticového tvaru:

Ako

potom možno SLAE vyriešiť maticovou metódou. Pomocou inverznej matice možno nájsť riešenie tohto systému ako .

Zostavme inverznú maticu pomocou matice algebraických doplnkov prvkov matice A (ak je to potrebné, pozri článok):

Zostáva vypočítať - maticu neznámych premenných vynásobením inverznej matice na maticovom stĺpci voľných členov (v prípade potreby pozri článok):

odpoveď:

alebo v inom zápise x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Hlavným problémom pri hľadaní riešení sústav lineárnych algebraických rovníc maticovou metódou je zložitosť nájdenia inverznej matice, najmä pre štvorcové matice vyššieho ako tretieho rádu.

Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou.

Predpokladajme, že potrebujeme nájsť riešenie systému n lineárnych rovníc s n neznámymi premennými
ktorého determinant hlavnej matice je odlišný od nuly.

Podstata Gaussovej metódy spočíva v postupnom vylúčení neznámych premenných: najprv sa x 1 vylúči zo všetkých rovníc systému počnúc druhou, potom sa x 2 vylúči zo všetkých rovníc počnúc treťou atď., až kým nebude známa iba neznáma premenná x n zostáva v poslednej rovnici. Takýto proces transformácie rovníc systému na postupnú elimináciu neznámych premenných sa nazýva priama Gaussova metóda. Po dokončení dopredného chodu Gaussovej metódy sa z poslednej rovnice zistí x n, pomocou tejto hodnoty sa z predposlednej rovnice vypočíta x n-1 atď., Z prvej rovnice sa zistí x 1. Proces výpočtu neznámych premenných pri prechode od poslednej rovnice systému k prvej sa nazýva reverzná Gaussova metóda.

Stručne popíšme algoritmus na elimináciu neznámych premenných.

Budeme predpokladať, že , pretože to môžeme vždy dosiahnuť preskupením rovníc systému. Neznámu premennú x 1 vylúčime zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou. Ak to chcete urobiť, pridajte prvú rovnicu vynásobenú k druhej rovnici systému, pridajte prvú vynásobenú k tretej rovnici a tak ďalej, pridajte prvú vynásobenú k n-tej rovnici. Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde .

K rovnakému výsledku by sme dospeli, ak by sme x 1 vyjadrili pomocou iných neznámych premenných v prvej rovnici systému a výsledný výraz dosadili do všetkých ostatných rovníc. Premenná x 1 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc druhou.

Ďalej postupujeme podobne, ale len s časťou výsledného systému, ktorý je vyznačený na obrázku

Ak to chcete urobiť, pridajte druhý vynásobený k tretej rovnici systému, pridajte druhý vynásobený k štvrtej rovnici a tak ďalej, pridajte druhý vynásobený k n-tej rovnici. Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde . Premenná x 2 je teda vylúčená zo všetkých rovníc, počnúc treťou.

Ďalej pristúpime k eliminácii neznámeho x 3, pričom postupujeme podobne ako časť systému označená na obr.

Pokračujeme teda v priamom kurze Gaussovej metódy, kým systém nezíska formu

Od tohto momentu začíname opačný priebeh Gaussovej metódy: x n vypočítame z poslednej rovnice ako , pomocou získanej hodnoty x n zistíme x n-1 z predposlednej rovnice atď., Zistíme x 1 z prvej rovnica.

Príklad.

Vyriešte sústavu lineárnych rovníc Gaussova metóda.

rozhodnutie.

Vylúčme neznámu premennú x 1 z druhej a tretej rovnice sústavy. Aby sme to dosiahli, k obom častiam druhej a tretej rovnice pridáme zodpovedajúce časti prvej rovnice, vynásobené a takto:

Teraz vylúčime x 2 z tretej rovnice tak, že k jej ľavej a pravej časti pridáme ľavú a pravú časť druhej rovnice, vynásobené:

Týmto je dopredný kurz Gaussovej metódy dokončený, začíname opačný kurz.

Z poslednej rovnice výslednej sústavy rovníc zistíme x 3:

Z druhej rovnice dostaneme .

Z prvej rovnice nájdeme zostávajúcu neznámu premennú a tým sa dokončí opačný priebeh Gaussovej metódy.

odpoveď:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Vo všeobecnom prípade sa počet rovníc systému p nezhoduje s počtom neznámych premenných n:

Takéto SLAE nemusia mať žiadne riešenia, môžu mať jediné riešenie alebo mať nekonečne veľa riešení. Toto tvrdenie platí aj pre sústavy rovníc, ktorých hlavná matica je štvorcová a degenerovaná.

Kronecker-Capelliho veta.

Pred nájdením riešenia systému lineárnych rovníc je potrebné zistiť jeho kompatibilitu. Odpoveď na otázku, kedy je SLAE kompatibilný a kedy nekompatibilný, dáva Kroneckerova-Capelliho veta:
na konzistentnosť sústavy p rovníc s n neznámymi (p sa môže rovnať n ) je potrebné a postačujúce, aby sa hodnosť hlavnej matice systému rovnala hodnosti rozšírenej matice, teda Rank( A) = Poradie (T) .

Uvažujme ako príklad aplikáciu Kronecker-Cappelliho vety na určenie kompatibility sústavy lineárnych rovníc.

Príklad.

Zistite, či má sústava lineárnych rovníc riešenia.

rozhodnutie.

. Využime metódu ohraničenia maloletých. Minor druhého rádu odlišný od nuly. Poďme na neplnoletých tretieho rádu, ktorí to obklopujú:

Keďže všetky hraničiace maloleté osoby tretieho rádu sa rovnajú nule, poradie hlavnej matice je dve.

Na druhej strane, hodnosť rozšírenej matice sa rovná trom, keďže moll tretieho rádu

odlišný od nuly.

Touto cestou, Rang(A) , teda podľa Kronecker-Capelliho vety môžeme konštatovať, že pôvodný systém lineárnych rovníc je nekonzistentný.

odpoveď:

Neexistuje systém riešenia.

Takže sme sa naučili určiť nekonzistentnosť systému pomocou Kronecker-Capelliho vety.

Ako však nájsť riešenie SLAE, ak je preukázaná jeho kompatibilita?

Na to potrebujeme koncept minoritnej bázy matice a vetu o hodnosti matice.

Volá sa vedľajší najvyšší rád matice A okrem nuly základné.

Z definície základu minor vyplýva, že jeho poradie sa rovná hodnosti matice. Pre nenulovú maticu A môže byť niekoľko základných minorov, vždy je jeden základný minor.

Zoberme si napríklad maticu .

Všetky minority tretieho rádu tejto matice sú rovné nule, pretože prvky tretieho riadku tejto matice sú súčtom zodpovedajúcich prvkov prvého a druhého riadku.

Nasledujúce neplnoleté osoby druhého rádu sú základné, pretože sú nenulové

maloletí nie sú základné, pretože sa rovnajú nule.

Veta o poradí matice.

Ak je poradie matice rádu p x n r, potom všetky prvky riadkov (a stĺpcov) matice, ktoré netvoria zvolenú základňu minor, sú lineárne vyjadrené pomocou zodpovedajúcich prvkov riadkov (a stĺpcov). ), ktoré tvoria základ minor.

Čo nám dáva veta o poradí matice?

Ak sme Kroneckerovou-Capelliho vetou stanovili kompatibilitu systému, potom zvolíme ľubovoľnú základnú vedľajšiu hlavnú maticu systému (jej poradie sa rovná r) a vylúčime zo systému všetky rovnice, ktoré tvoria zvolenú základnú moll. Takto získaný SLAE bude ekvivalentný pôvodnému, keďže vyradené rovnice sú stále nadbytočné (podľa vety o poradí matice sú lineárnou kombináciou zostávajúcich rovníc).

Výsledkom je, že po vyradení nadmerných rovníc systému sú možné dva prípady.

Ak sa počet rovníc r vo výslednej sústave rovná počtu neznámych premenných, potom bude určitý a jediné riešenie možno nájsť Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.

Príklad.

.

rozhodnutie.

Hodnosť hlavnej matice systému sa rovná dvom, keďže moll druhého rádu odlišný od nuly. Rozšírená matica hodnosť sa tiež rovná dvom, pretože jediná vedľajšia skupina tretieho rádu sa rovná nule

a minor druhého rádu uvažovaného vyššie je iný ako nula. Na základe Kronecker-Capelliho vety je možné tvrdiť kompatibilitu pôvodného systému lineárnych rovníc, keďže Rank(A)=Rank(T)=2 .

Ako základ minor berieme . Tvoria ju koeficienty prvej a druhej rovnice:


Tretia rovnica systému sa nezúčastňuje na tvorbe základnej moll, preto ju vylúčime zo systému na základe vety o poradí matice:


Takto sme získali elementárny systém lineárnych algebraických rovníc. Vyriešime to Cramerovou metódou:


odpoveď:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Ak je počet rovníc r vo výslednom SLAE menší ako počet neznámych premenných n , potom v ľavých častiach rovníc ponecháme členy, ktoré tvoria základnú moll, a zvyšné členy prenesieme do pravých častí rovníc. systému s opačným znamienkom.

Neznáme premenné (je ich r), ktoré zostávajú na ľavej strane rovníc, sa nazývajú hlavný.

Volajú sa neznáme premenné (je ich n - r), ktoré skončili na pravej strane zadarmo.

Teraz predpokladáme, že voľné neznáme premenné môžu nadobudnúť ľubovoľné hodnoty, zatiaľ čo r hlavných neznámych premenných bude vyjadrené v termínoch voľných neznámych premenných jedinečným spôsobom. Ich vyjadrenie možno nájsť riešením výsledného SLAE Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.

Vezmime si príklad.

Príklad.

Riešenie systému lineárnych algebraických rovníc .

rozhodnutie.

Nájdite poradie hlavnej matice systému metódou hraničiacich maloletých. Zoberme si a 1 1 = 1 ako nenulovú vedľajšiu hodnotu prvého poriadku. Začnime hľadať nenulového neplnoletého druhoradého okolo tohto maloletého:


Našli sme teda nenulovú moll druhého rádu. Začnime hľadať nenulový hraničný moll tretieho rádu:


Hodnosť hlavnej matice je teda tri. Poradie rozšírenej matice sa tiež rovná trom, to znamená, že systém je konzistentný.

Ako základný sa bude brať nájdený nenulový moll tretieho rádu.

Pre prehľadnosť uvádzame prvky, ktoré tvoria základ moll:


Pojmy, ktoré sa podieľajú na základnej moll, ponecháme na ľavej strane rovníc systému a zvyšok prenesieme s opačnými znamienkami na pravú stranu:


Voľným neznámym premenným x 2 a x 5 dávame ľubovoľné hodnoty, teda berieme , kde sú ľubovoľné čísla. V tomto prípade má SLAE formu


Získanú elementárnu sústavu lineárnych algebraických rovníc riešime Cramerovou metódou:


V dôsledku toho, .

V odpovedi nezabudnite uviesť voľné neznáme premenné.

odpoveď:

Kde sú ľubovoľné čísla.

Zhrnúť.

Na riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru najprv zistíme jej kompatibilitu pomocou Kroneckerovej-Capelliho vety. Ak sa poradie hlavnej matice nerovná hodnote rozšírenej matice, potom dospejeme k záveru, že systém je nekonzistentný.

Ak sa hodnosť hlavnej matice rovná hodnosti rozšírenej matice, vyberieme základnú vedľajšiu a zahodíme rovnice systému, ktoré sa nezúčastňujú na tvorbe vybranej základnej vedľajšej.

Ak sa poradie základnej minor rovná počtu neznámych premenných, potom má SLAE jedinečné riešenie, ktoré možno nájsť akoukoľvek nám známou metódou.

Ak je poradie vedľajšej bázy menšie ako počet neznámych premenných, potom členy s hlavnými neznámymi premennými necháme na ľavej strane rovníc systému, zvyšné členy prenesieme na pravú stranu a priradíme ľubovoľné hodnoty ​na voľné neznáme premenné. Z výslednej sústavy lineárnych rovníc nájdeme hlavné neznáme premenné Cramerovou metódou, maticovou metódou alebo Gaussovou metódou.

Gaussova metóda na riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Pomocou Gaussovej metódy je možné riešiť sústavy lineárnych algebraických rovníc akéhokoľvek druhu bez ich predbežného skúmania kompatibility. Proces postupnej eliminácie neznámych premenných umožňuje vyvodiť záver o kompatibilite aj nekonzistencii SLAE a ak existuje riešenie, umožňuje ho nájsť.

Z hľadiska výpočtovej práce je výhodnejšia Gaussova metóda.

Jej podrobný popis a analyzované príklady nájdete v článku Gaussova metóda riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc všeobecného tvaru.

Zaznamenávanie všeobecného riešenia homogénnych a nehomogénnych lineárnych algebraických systémov pomocou vektorov základnej sústavy riešení.

V tejto časti sa zameriame na spojené homogénne a nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc, ktoré majú nekonečný počet riešení.

Poďme sa najskôr zaoberať homogénnymi systémami.

Základný rozhodovací systém Homogénna sústava p lineárnych algebraických rovníc s n neznámymi premennými je množinou (n – r) lineárne nezávislých riešení tejto sústavy, kde r je rád minoritnej bázy hlavnej matice sústavy.

Ak označíme lineárne nezávislé riešenia homogénneho SLAE ako X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sú stĺpce matíc rozmeru n o 1 ), potom je všeobecné riešenie tohto homogénneho systému reprezentované ako lineárna kombinácia vektorov základného systému riešení s ľubovoľnými konštantnými koeficientmi С 1 , С 2 , …, С (n-r), teda .

Čo znamená všeobecné riešenie homogénneho systému lineárnych algebraických rovníc (oroslau)?

Význam je jednoduchý: vzorec špecifikuje všetky možné riešenia pôvodného SLAE, inými slovami, berie ľubovoľnú množinu hodnôt ľubovoľných konštánt C 1 , C 2 , ..., C (n-r) , podľa vzorca my získa jedno z riešení pôvodného homogénneho SLAE.

Ak teda nájdeme fundamentálny systém riešení, môžeme všetky riešenia tohto homogénneho SLAE nastaviť ako .

Ukážme si proces konštrukcie základného systému riešení pre homogénny SLAE.

Z pôvodného systému lineárnych rovníc zvolíme základnú moll, vylúčime zo systému všetky ostatné rovnice a na pravú stranu rovníc systému prenesieme s opačnými znamienkami všetky členy obsahujúce voľné neznáme premenné. Dajme voľným neznámym premenným hodnoty 1,0,0,…,0 a vypočítajme hlavné neznáme riešením výslednej elementárnej sústavy lineárnych rovníc akýmkoľvek spôsobom, napríklad Cramerovou metódou. Tak dostaneme X (1) - prvé riešenie fundamentálnej sústavy. Ak dáme voľným neznámym hodnoty 0,1,0,0,…,0 a vypočítame hlavné neznáme, dostaneme X (2) . A tak ďalej. Ak dáme voľným neznámym premenným hodnoty 0,0,…,0,1 a vypočítame hlavné neznáme, dostaneme X (n-r) . Takto bude skonštruovaný základný systém riešení homogénneho SLAE a jeho všeobecné riešenie je možné zapísať do tvaru .

Pre nehomogénne systémy lineárnych algebraických rovníc je všeobecné riešenie reprezentované ako

Pozrime sa na príklady.

Príklad.

Nájdite základnú sústavu riešení a všeobecné riešenie homogénnej sústavy lineárnych algebraických rovníc .

rozhodnutie.

Hodnosť hlavnej matice homogénnych sústav lineárnych rovníc sa vždy rovná hodnosti rozšírenej matice. Nájdime hodnosť hlavnej matice metódou fringing minors. Ako nenulovú minoritu prvého rádu berieme prvok a 1 1 = 9 hlavnej matice systému. Nájdite hraničnú nenulovú moll druhého rádu:

Nájde sa minor druhého rádu, odlišný od nuly. Poďme cez neplnoletých tretieho rádu, ktorí s ním hraničia, pri hľadaní nenulovej jednotky:

Všetky hraničiace neplnoleté osoby tretieho rádu sa rovnajú nule, preto je poradie hlavnej a rozšírenej matice dve. Vezmime si základnú mollovú. Kvôli prehľadnosti si všimneme prvky systému, ktoré ho tvoria:

Tretia rovnica pôvodného SLAE sa nezúčastňuje na tvorbe základnej moll, preto ju možno vylúčiť:

Ponecháme členy obsahujúce hlavné neznáme na pravej strane rovníc a prenesieme členy s voľnými neznámymi na pravú stranu:

Zostavme základnú sústavu riešení pôvodnej homogénnej sústavy lineárnych rovníc. Základný systém riešení tohto SLAE sa skladá z dvoch riešení, keďže pôvodný SLAE obsahuje štyri neznáme premenné a poradie jeho základnej minor sú dve. Aby sme našli X (1), dáme voľným neznámym premenným hodnoty x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, potom nájdeme hlavné neznáme zo systému rovníc
.

Obsah lekcie

Lineárne rovnice s dvoma premennými

Študent má 200 rubľov na obed v škole. Koláč stojí 25 rubľov a šálka kávy 10 rubľov. Koľko koláčov a šálok kávy si môžete kúpiť za 200 rubľov?

Označte počet prejdených koláčov X a počet prepitých šálok kávy r. Potom budú náklady na koláče označené výrazom 25 X a náklady na šálky kávy za 10 r .

25X- cena X koláče
10y- cena ršálky kávy

Celková suma by mala byť 200 rubľov. Potom dostaneme rovnicu s dvoma premennými X a r

25X+ 10r= 200

Koľko koreňov má táto rovnica?

Všetko závisí od chuti študenta. Ak si kúpi 6 koláčov a 5 šálok kávy, koreňmi rovnice budú čísla 6 a 5.

Dvojica hodnôt 6 a 5 sa považuje za korene rovnice 25 X+ 10r= 200. Zapísané ako (6; 5) , pričom prvé číslo je hodnota premennej X a druhá - hodnota premennej r .

6 a 5 nie sú jediné korene, ktoré obracajú rovnicu 25 X+ 10r= 200 k identite. Ak je to potrebné, za rovnakých 200 rubľov si študent môže kúpiť 4 koláče a 10 šálok kávy:

V tomto prípade korene rovnice 25 X+ 10r= 200 je pár hodnôt (4; 10) .

Okrem toho si študent nemôže kúpiť kávu, ale kúpiť koláče za všetkých 200 rubľov. Potom korene rovnice 25 X+ 10r= 200 budú hodnoty 8 a 0

Alebo naopak, nekupujte koláče, ale kúpte kávu za všetkých 200 rubľov. Potom korene rovnice 25 X+ 10r= 200 budú hodnoty 0 a 20

Skúsme uviesť všetky možné korene rovnice 25 X+ 10r= 200. Zhodnime sa, že hodnoty X a r patria do množiny celých čísel. A nech sú tieto hodnoty väčšie alebo rovné nule:

X∈Z, r∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Takže to bude výhodné pre samotného študenta. Torty je výhodnejšie kúpiť celé, ako napríklad niekoľko celých tort a pol torty. Kávu je tiež pohodlnejšie brať v celých šálkach ako napríklad niekoľko celých šálok a pol šálky.

Všimnite si, že za nepárny X je nemožné dosiahnuť rovnosť za žiadnych r. Potom hodnoty X budú nasledujúce čísla 0, 2, 4, 6, 8. A vedieť X možno ľahko určiť r

Takto sme dostali nasledujúce páry hodnôt (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Tieto dvojice sú riešeniami alebo koreňmi rovnice 25 X+ 10r= 200. Zmenia túto rovnicu na identitu.

Zadajte rovnicu ax + by = c volal lineárna rovnica s dvoma premennými. Riešením alebo koreňmi tejto rovnice je dvojica hodnôt ( X; r), čím sa zmení na identitu.

Všimnite si tiež, že ak sa lineárna rovnica s dvoma premennými zapíše ako ax + b y = c , potom hovoria, že je to napísané v kanonický(normálna) forma.

Niektoré lineárne rovnice v dvoch premenných možno redukovať na kanonickú formu.

Napríklad rovnica 2(16X+ 3y- 4) = 2(12 + 8X − r) možno spomenúť ax + by = c. Otvorme zátvorky v oboch častiach tejto rovnice, dostaneme 32X + 6r − 8 = 24 + 16X − 2r . Pojmy obsahujúce neznáme sú zoskupené na ľavej strane rovnice a pojmy bez neznámych sú zoskupené na pravej strane. Potom dostaneme 32X - 16X+ 6r+ 2r = 24 + 8 . V oboch častiach prinášame podobné pojmy, dostaneme rovnicu 16 X+ 8r= 32. Táto rovnica je zredukovaná do tvaru ax + by = c a je kanonický.

Rovnica 25 uvažovaná skôr X+ 10r= 200 je tiež lineárna rovnica s dvoma premennými v kanonickom tvare. V tejto rovnici parametre a , b a c sa rovnajú hodnotám 25, 10 a 200.

Vlastne rovnica ax + by = c má nekonečné množstvo riešení. Riešenie rovnice 25X+ 10r= 200, jeho korene sme hľadali len na množine celých čísel. V dôsledku toho sme získali niekoľko párov hodnôt, ktoré zmenili túto rovnicu na identitu. Ale na množine racionálnych čísel rovnica 25 X+ 10r= 200 bude mať nekonečný počet riešení.

Ak chcete získať nové páry hodnôt, musíte použiť ľubovoľnú hodnotu X, potom vyjadrite r. Vezmime si napríklad premennú X hodnota 7. Potom dostaneme rovnicu s jednou premennou 25×7 + 10r= 200 v ktorom sa vyjadrovať r

Nechaj X= 15. Potom rovnica 25X+ 10r= 200 sa zmení na 25 × 15 + 10r= 200. Odtiaľ to nájdeme r = −17,5

Nechaj X= -3. Potom rovnica 25X+ 10r= 200 sa zmení na 25 × (-3) + 10r= 200. Odtiaľ to nájdeme r = −27,5

Sústava dvoch lineárnych rovníc s dvoma premennými

Pre rovnicu ax + by = c môžete použiť ľubovoľný počet ľubovoľných hodnôt X a nájsť hodnoty pre r. Ak sa to vezme samostatne, takáto rovnica bude mať nekonečný počet riešení.

Ale tiež sa stáva, že premenné X a r spojené nie jednou, ale dvoma rovnicami. V tomto prípade tvoria tzv sústava lineárnych rovníc s dvoma premennými. Takýto systém rovníc môže mať jeden pár hodnôt (alebo inými slovami: „jedno riešenie“).

Môže sa tiež stať, že systém nemá žiadne riešenia. Systém lineárnych rovníc môže mať v ojedinelých a výnimočných prípadoch nekonečný počet riešení.

Dve lineárne rovnice tvoria systém, keď hodnoty X a r sú zahrnuté v každej z týchto rovníc.

Vráťme sa k úplne prvej rovnici 25 X+ 10r= 200. Jedným z párov hodnôt pre túto rovnicu bol pár (6; 5) . To je prípad, keď si za 200 rubľov môžete kúpiť 6 koláčov a 5 šálok kávy.

Úlohu poskladáme tak, aby sa dvojica (6; 5) stala jediným riešením rovnice 25 X+ 10r= 200. Aby sme to urobili, zostavíme ďalšiu rovnicu, ktorá by spájala to isté X koláče a ršálky kávy.

Uveďme text úlohy takto:

„Školák kúpil niekoľko koláčov a niekoľko šálok kávy za 200 rubľov. Koláč stojí 25 rubľov a šálka kávy 10 rubľov. Koľko koláčov a šálok kávy si študent kúpil, ak je známe, že počet koláčikov je o jednu väčší ako počet šálok kávy?

Prvú rovnicu už máme. Toto je rovnica 25 X+ 10r= 200. Teraz napíšme rovnicu pre podmienku "počet koláčov je o jednotku viac ako počet šálok kávy" .

Počet koláčikov je X, a počet šálok kávy je r. Túto frázu môžete napísať pomocou rovnice x − y= 1. Táto rovnica by znamenala, že rozdiel medzi koláčmi a kávou je 1.

x=y+ 1. Táto rovnica znamená, že počet koláčikov je o jeden väčší ako počet šálok kávy. Preto, aby sa dosiahla rovnosť, k počtu šálok kávy sa pridá jedna. Dá sa to ľahko pochopiť, ak použijeme váhový model, ktorý sme zvažovali pri štúdiu najjednoduchších problémov:

Mám dve rovnice: 25 X+ 10r= 200 a x=y+ 1. Keďže hodnoty X a r, konkrétne 6 a 5 sú zahrnuté v každej z týchto rovníc, potom spolu tvoria systém. Napíšme si tento systém. Ak rovnice tvoria systém, potom sú orámované znakom systému. Systémovým znakom je zložená zátvorka:

Poďme vyriešiť tento systém. To nám umožní vidieť, ako sa dostaneme k hodnotám 6 a 5. Existuje mnoho metód na riešenie takýchto systémov. Zvážte najobľúbenejšie z nich.

Substitučná metóda

Názov tejto metódy hovorí sám za seba. Jeho podstatou je dosadenie jednej rovnice do inej, ktorá predtým vyjadrila jednu z premenných.

V našom systéme nie je potrebné nič vyjadrovať. V druhej rovnici X = r+ 1 premenná X už vyjadrené. Táto premenná sa rovná výrazu r+ 1. Potom môžete nahradiť tento výraz v prvej rovnici namiesto premennej X

Po nahradení výrazu r+ 1 do prvej rovnice X, dostaneme rovnicu 25(r+ 1) + 10r= 200 . Toto je lineárna rovnica s jednou premennou. Táto rovnica sa dá pomerne ľahko vyriešiť:

Zistili sme hodnotu premennej r. Teraz dosadíme túto hodnotu do jednej z rovníc a nájdeme hodnotu X. Na tento účel je vhodné použiť druhú rovnicu X = r+ 1. Dajme tomu hodnotu r

Dvojica (6; 5) je teda riešením sústavy rovníc, ako sme zamýšľali. Skontrolujeme a ubezpečíme sa, že pár (6; 5) vyhovuje systému:

Príklad 2

Dosaďte prvú rovnicu X= 2 + r do druhej rovnice 3 X - 2r= 9. V prvej rovnici premenná X sa rovná výrazu 2 + r. Tento výraz dosadíme do druhej rovnice namiesto X

Teraz poďme nájsť hodnotu X. Ak to chcete urobiť, nahraďte hodnotu r do prvej rovnice X= 2 + r

Riešením systému je teda párová hodnota (5; 3)

Príklad 3. Vyriešte nasledujúcu sústavu rovníc pomocou substitučnej metódy:

Na rozdiel od predchádzajúcich príkladov tu nie je explicitne vyjadrená jedna z premenných.

Ak chcete nahradiť jednu rovnicu inou, musíte najskôr .

Je žiaduce vyjadriť premennú, ktorá má koeficient jedna. Koeficientová jednotka má premennú X, ktorý je obsiahnutý v prvej rovnici X+ 2r= 11. Vyjadrime túto premennú.

Po premenlivom výraze X, náš systém bude vyzerať takto:

Teraz dosadíme prvú rovnicu do druhej a nájdeme hodnotu r

Náhradník r X

Takže riešením systému je dvojica hodnôt (3; 4)

Samozrejme, môžete vyjadriť aj premennú r. Korene sa nezmenia. Ale ak sa vyjadríš y, výsledkom je nie veľmi jednoduchá rovnica, ktorej riešenie zaberie viac času. Bude to vyzerať takto:

Vidíme to na tomto príklade vyjadriť X oveľa pohodlnejšie ako vyjadrovanie r .

Príklad 4. Vyriešte nasledujúcu sústavu rovníc pomocou substitučnej metódy:

Vyjadrite v prvej rovnici X. Potom bude mať systém tvar:

r

Náhradník r do prvej rovnice a nájdite X. Môžete použiť pôvodnú rovnicu 7 X+ 9r= 8 , alebo použite rovnicu, v ktorej je premenná vyjadrená X. Použijeme túto rovnicu, pretože je vhodná:

Takže riešením systému je dvojica hodnôt (5; −3)

Spôsob pridávania

Metódou sčítania je pridávanie po členoch rovníc zahrnutých v systéme. Toto pridanie vedie k novej rovnici s jednou premennou. A vyriešiť túto rovnicu je celkom jednoduché.

Poďme vyriešiť nasledujúcu sústavu rovníc:

Pridajte ľavú stranu prvej rovnice k ľavej strane druhej rovnice. A pravá strana prvej rovnice s pravou stranou druhej rovnice. Dostaneme nasledujúcu rovnosť:

Tu sú podobné výrazy:

V dôsledku toho sme dostali najjednoduchšiu rovnicu 3 X= 27, ktorého koreň je 9. Poznanie hodnoty X môžete nájsť hodnotu r. Nahraďte hodnotu X do druhej rovnice x − y= 3. Dostaneme 9 - r= 3. Odtiaľ r= 6 .

Takže riešením systému je dvojica hodnôt (9; 6)

Príklad 2

Pridajte ľavú stranu prvej rovnice k ľavej strane druhej rovnice. A pravá strana prvej rovnice s pravou stranou druhej rovnice. Vo výslednej rovnosti uvádzame podobné pojmy:

V dôsledku toho sme dostali najjednoduchšiu rovnicu 5 X= 20, ktorého koreň je 4. Poznanie hodnoty X môžete nájsť hodnotu r. Nahraďte hodnotu X do prvej rovnice 2 x+y= 11. Dajme 8+ r= 11. Odtiaľ r= 3 .

Takže riešením systému je dvojica hodnôt (4;3)

Proces pridávania nie je podrobne opísaný. Musí sa to robiť v mysli. Pri sčítaní treba obe rovnice zredukovať na kanonickú formu. Teda do mysle ac+by=c .

Z uvažovaných príkladov je vidieť, že hlavným cieľom sčítania rovníc je zbaviť sa jednej z premenných. Ale nie vždy je možné okamžite vyriešiť sústavu rovníc metódou sčítania. Najčastejšie je systém predbežne uvedený do formy, v ktorej je možné pridať rovnice obsiahnuté v tomto systéme.

Napríklad systém možno riešiť priamo adičnou metódou. Pri sčítaní oboch rovníc sú členy r a −y zmiznú, pretože ich súčet je nula. V dôsledku toho sa vytvorí najjednoduchšia rovnica 11 X= 22 , ktorého koreň je 2. Potom bude možné určiť r rovný 5.

A systém rovníc metódu sčítania nemožno vyriešiť okamžite, pretože to nepovedie k vymiznutiu jednej z premenných. Výsledkom sčítania bude rovnica 8 X+ r= 28 , ktorý má nekonečný počet riešení.

Ak sa obe časti rovnice vynásobia alebo vydelia rovnakým číslom, ktoré sa nerovná nule, získa sa rovnica ekvivalentná danej jednotke. Toto pravidlo platí aj pre sústavu lineárnych rovníc s dvoma premennými. Jedna z rovníc (alebo obe rovnice) môže byť vynásobená nejakým číslom. Výsledkom je ekvivalentný systém, ktorého korene sa budú zhodovať s predchádzajúcim.

Vráťme sa k úplne prvému systému, ktorý popisoval, koľko koláčikov a šálok kávy si študent kúpil. Riešením tohto systému bola dvojica hodnôt (6; 5) .

Obe rovnice zahrnuté v tomto systéme vynásobíme niekoľkými číslami. Povedzme, že vynásobíme prvú rovnicu 2 a druhú 3

Výsledkom je systém
Riešením tohto systému je stále dvojica hodnôt (6; 5)

To znamená, že rovnice zahrnuté v systéme môžu byť zredukované na formu vhodnú na aplikáciu metódy sčítania.

Späť do systému , ktoré sa nám nepodarilo vyriešiť sčítacou metódou.

Vynásobte prvú rovnicu 6 a druhú −2

Potom dostaneme nasledujúci systém:

Pridáme rovnice zahrnuté v tomto systéme. Pridanie komponentov 12 X a -12 X výsledkom bude 0, sčítanie 18 r a 4 r dá 22 r a sčítaním 108 a −20 dostaneme 88. Potom dostaneme rovnicu 22 r= 88, teda r = 4 .

Ak je na začiatku ťažké pridať rovnice vo vašej mysli, môžete si zapísať, ako sa ľavá strana prvej rovnice pridá k ľavej strane druhej rovnice a pravá strana prvej rovnice k pravej strane druhá rovnica:

S vedomím, že hodnota premennej r je 4, hodnotu nájdete X. Náhradník r do jednej z rovníc, napríklad do prvej rovnice 2 X+ 3r= 18. Potom dostaneme rovnicu s jednou premennou 2 X+ 12 = 18. Prenesieme 12 na pravú stranu a zmeníme znamienko, dostaneme 2 X= 6, teda X = 3 .

Príklad 4. Vyriešte nasledujúci systém rovníc pomocou metódy sčítania:

Vynásobte druhú rovnicu −1. Potom bude mať systém nasledujúcu formu:

Pridajme obe rovnice. Pridávanie komponentov X a −x výsledkom bude 0, sčítanie 5 r a 3 r dá 8 r a sčítaním 7 a 1 dostaneme 8. Výsledkom je rovnica 8 r= 8 , ktorého koreň je 1. S vedomím, že hodnota r je 1, môžete nájsť hodnotu X .

Náhradník r do prvej rovnice dostaneme X+ 5 = 7, teda X= 2

Príklad 5. Vyriešte nasledujúci systém rovníc pomocou metódy sčítania:

Je žiaduce, aby výrazy obsahujúce rovnaké premenné boli umiestnené pod sebou. Preto v druhej rovnici sú výrazy 5 r a -2 X zmeniť miesta. V dôsledku toho bude mať systém podobu:

Vynásobte druhú rovnicu 3. Potom bude systém mať tvar:

Teraz pridajme obe rovnice. Výsledkom sčítania dostaneme rovnicu 8 r= 16, ktorého koreň je 2.

Náhradník r do prvej rovnice dostaneme 6 X− 14 = 40 . Prenesieme výraz −14 na pravú stranu a zmeníme znamienko, dostaneme 6 X= 54. Odtiaľ X= 9.

Príklad 6. Vyriešte nasledujúci systém rovníc pomocou metódy sčítania:

Zbavme sa zlomkov. Vynásobte prvú rovnicu 36 a druhú 12

Vo výslednom systéme prvú rovnicu možno vynásobiť -5 a druhú 8

Pridajme rovnice vo výslednej sústave. Potom dostaneme najjednoduchšiu rovnicu −13 r= -156 . Odtiaľ r= 12. Náhradník r do prvej rovnice a nájdite X

Príklad 7. Vyriešte nasledujúci systém rovníc pomocou metódy sčítania:

Obe rovnice uvedieme do normálneho tvaru. Tu je vhodné použiť pravidlo proporcie v oboch rovniciach. Ak je v prvej rovnici pravá strana reprezentovaná ako a pravá strana druhej rovnice ako , potom bude mať systém tvar:

Máme pomer. Množíme jeho extrémne a stredné pojmy. Potom bude mať systém tvar:

Prvú rovnicu vynásobíme −3 a v druhej otvoríme zátvorky:

Teraz pridajme obe rovnice. V dôsledku sčítania týchto rovníc dostaneme rovnosť, v ktorej oboch častiach bude nula:

Ukazuje sa, že systém má nekonečné množstvo riešení.

Nemôžeme však jednoducho zobrať ľubovoľné hodnoty z neba X a r. Môžeme určiť jednu z hodnôt a druhá bude určená v závislosti od hodnoty, ktorú určíme. Napríklad nech X= 2. Nahraďte túto hodnotu do systému:

Výsledkom riešenia jednej z rovníc je hodnota pre r, ktorý bude spĺňať obe rovnice:

Výsledná dvojica hodnôt (2; −2) uspokojí systém:

Poďme nájsť ďalší pár hodnôt. Nechaj X= 4. Nahraďte túto hodnotu do systému:

Dá sa to zistiť okom r rovná sa nule. Potom dostaneme dvojicu hodnôt (4; 0), ktorá vyhovuje nášmu systému:

Príklad 8. Vyriešte nasledujúci systém rovníc pomocou metódy sčítania:

Vynásobte prvú rovnicu 6 a druhú 12

Prepíšme, čo zostalo:

Vynásobte prvú rovnicu −1. Potom bude mať systém tvar:

Teraz pridajme obe rovnice. V dôsledku sčítania sa vytvorí rovnica 6 b= 48 , ktorého koreň je 8. Nahrad b do prvej rovnice a nájdite a

Systém lineárnych rovníc s tromi premennými

Lineárna rovnica s tromi premennými obsahuje tri premenné s koeficientmi, ako aj priesečník. V kánonickej forme sa dá napísať takto:

ax + by + cz = d

Táto rovnica má nekonečný počet riešení. Zadaním rôznych hodnôt dvom premenným je možné nájsť tretiu hodnotu. Riešením je v tomto prípade trojnásobok hodnôt ( X; y; z), čo mení rovnicu na identitu.

Ak premenné x, y, z sú vzájomne prepojené tromi rovnicami, potom vzniká sústava troch lineárnych rovníc s tromi premennými. Na vyriešenie takéhoto systému môžete použiť rovnaké metódy, ktoré platia pre lineárne rovnice s dvoma premennými: substitučnú metódu a metódu sčítania.

Príklad 1. Vyriešte nasledujúcu sústavu rovníc pomocou substitučnej metódy:

Vyjadríme v tretej rovnici X. Potom bude mať systém tvar:

Teraz urobme náhradu. Variabilné X sa rovná výrazu 3 − 2r − 2z . Dosaďte tento výraz do prvej a druhej rovnice:

Otvorme zátvorky v oboch rovniciach a dajme podobné výrazy:

Dospeli sme k systému lineárnych rovníc s dvoma premennými. V tomto prípade je vhodné použiť metódu pridávania. V dôsledku toho premenná r zmizne a môžeme nájsť hodnotu premennej z

Teraz poďme nájsť hodnotu r. Na tento účel je vhodné použiť rovnicu − r+ z= 4. Nahraďte hodnotu z

Teraz poďme nájsť hodnotu X. Na tento účel je vhodné použiť rovnicu X= 3 − 2r − 2z . Nahraďte do nej hodnoty r a z

Trojica hodnôt (3; −2; 2) je teda riešením pre náš systém. Kontrolou sa ubezpečíme, že tieto hodnoty vyhovujú systému:

Príklad 2. Vyriešte sústavu sčítacou metódou

Sčítajme prvú rovnicu s druhou vynásobenou −2.

Ak sa druhá rovnica vynásobí -2, bude mať tvar −6X+ 6y- 4z = −4 . Teraz to pridajte do prvej rovnice:

Vidíme, že v dôsledku elementárnych transformácií bola určená hodnota premennej X. Rovná sa jednej.

Vráťme sa k hlavnému systému. Sčítajme druhú rovnicu s treťou vynásobenou −1. Ak sa tretia rovnica vynásobí −1, bude mať tvar −4X + 5r − 2z = −1 . Teraz to pridajte do druhej rovnice:

Mám rovnicu X - 2r= -1. Dosaďte do nej hodnotu X ktoré sme našli skôr. Potom môžeme určiť hodnotu r

Teraz už poznáme hodnoty X a r. To vám umožní určiť hodnotu z. Používame jednu z rovníc zahrnutých v systéme:

Trojica hodnôt (1; 1; 1) je teda riešením pre náš systém. Kontrolou sa ubezpečíme, že tieto hodnoty vyhovujú systému:

Úlohy na zostavovanie sústav lineárnych rovníc

Úloha zostavenia sústav rovníc sa rieši zavedením niekoľkých premenných. Ďalej sa zostavujú rovnice na základe podmienok úlohy. Zo zostavených rovníc vytvoria sústavu a vyriešia ju. Po vyriešení systému je potrebné skontrolovať, či jeho riešenie spĺňa podmienky problému.

Úloha 1. Auto Volga odišlo z mesta do kolektívnej farmy. Späť sa vrátila po inej ceste, ktorá bola o 5 km kratšia ako prvá. Celkovo auto najazdilo 35 km obojsmerne. Koľko kilometrov má každá cesta?

rozhodnutie

Nechaj X- dĺžka prvej cesty, r- dĺžka druhého. Ak auto prešlo 35 km oboma smermi, potom prvú rovnicu možno napísať ako X+ r= 35. Táto rovnica popisuje súčet dĺžok oboch ciest.

Vraj sa auto vracalo späť po ceste, ktorá bola kratšia ako prvá o 5 km. Potom môže byť druhá rovnica napísaná ako X− r= 5. Táto rovnica ukazuje, že rozdiel medzi dĺžkami ciest je 5 km.

Alebo druhá rovnica môže byť napísaná ako X= r+ 5. Použijeme túto rovnicu.

Keďže premenné X a r v oboch rovniciach označujú rovnaké číslo, potom z nich môžeme zostaviť systém:

Vyriešme tento systém pomocou jednej z predtým študovaných metód. V tomto prípade je vhodné použiť substitučnú metódu, keďže v druhej rovnici premenná X už vyjadrené.

Dosaďte druhú rovnicu do prvej a nájdite r

Nahraďte zistenú hodnotu r do druhej rovnice X= r+ 5 a nájdite X

Dĺžka prvej cesty bola označená premennou X. Teraz sme našli jeho význam. Variabilné X je 20. Čiže dĺžka prvej cesty je 20 km.

A dĺžka druhej cesty bola označená r. Hodnota tejto premennej je 15. Čiže dĺžka druhej cesty je 15 km.

Urobme kontrolu. Najprv sa uistite, že systém je správne vyriešený:

Teraz skontrolujme, či riešenie (20; 15) spĺňa podmienky úlohy.

Hovorilo sa, že celkovo auto prešlo 35 km v oboch smeroch. Spočítame dĺžky oboch ciest a presvedčíme sa, že riešenie (20; 15) spĺňa túto podmienku: 20 km + 15 km = 35 km

Ďalšia podmienka: auto sa vrátilo späť po inej ceste, ktorá bola o 5 km kratšia ako prvá . Vidíme, že riešenie (20; 15) tiež spĺňa túto podmienku, pretože 15 km je kratších ako 20 km o 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Pri zostavovaní systému je dôležité, aby premenné označovali rovnaké čísla vo všetkých rovniciach zahrnutých v tomto systéme.

Náš systém teda obsahuje dve rovnice. Tieto rovnice zase obsahujú premenné X a r, ktoré v oboch rovniciach označujú rovnaké čísla, a to dĺžky ciest rovné 20 km a 15 km.

Úloha 2. Na plošinu boli naložené dubové a borovicové podvaly, spolu 300 podvalov. Je známe, že všetky dubové podvaly vážili o 1 tonu menej ako všetky borovicové podvaly. Určte, koľko dubových a borovicových podvalov bolo oddelene, ak každý dubový podval vážil 46 kg a každý borovicový podval 28 kg.

rozhodnutie

Nechaj X dub a r na plošinu boli naložené borovicové podvaly. Ak by bolo celkovo 300 podvalov, tak prvú rovnicu možno napísať ako x+y = 300 .

Všetky dubové podvaly vážili 46 X kg a borovica vážila 28 r kg. Keďže dubové podvaly vážili o 1 tonu menej ako borovicové podvaly, druhú rovnicu možno zapísať ako 28y- 46X= 1000 . Táto rovnica ukazuje, že hmotnostný rozdiel medzi dubovými a borovicovými podvalmi je 1000 kg.

Tony boli prevedené na kilogramy, pretože hmotnosť dubových a borovicových podvalov sa meria v kilogramoch.

V dôsledku toho získame dve rovnice, ktoré tvoria systém

Poďme vyriešiť tento systém. Vyjadrite v prvej rovnici X. Potom bude mať systém tvar:

Nahraďte prvú rovnicu druhou a nájdite r

Náhradník r do rovnice X= 300 − r a zistiť čo X

To znamená, že na plošinu bolo naložených 100 dubových a 200 borovicových podvalov.

Skontrolujme, či riešenie (100; 200) spĺňa podmienky úlohy. Najprv sa uistite, že systém je správne vyriešený:

Celkovo bolo vraj 300 spáčov. Spočítame počet dubových a borovicových podvalov a uistíme sa, že riešenie (100; 200) spĺňa túto podmienku: 100 + 200 = 300.

Ďalšia podmienka: všetky dubové podvaly vážili o 1 tonu menej ako všetky borovicové . Vidíme, že riešenie (100; 200) tiež spĺňa túto podmienku, keďže 46 × 100 kg dubových podvalov je ľahších ako 28 × 200 kg borovicových podvalov: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Úloha 3. Vzali sme tri kusy zliatiny medi a niklu v hmotnostných pomeroch 2: 1, 3: 1 a 5: 1. Z toho kus s hmotnosťou 12 kg bol tavený s pomerom obsahu medi a niklu 4: 1. Nájdite hmotnosť každého pôvodného kusu, ak je hmotnosť prvého z nich dvojnásobkom hmotnosti druhého.

Materiál tohto článku je určený na prvé zoznámenie sa so sústavami rovníc. Tu uvádzame definíciu sústavy rovníc a jej riešenia a tiež uvažujeme o najbežnejších typoch sústav rovníc. Ako obvykle uvedieme vysvetľujúce príklady.

Navigácia na stránke.

Čo je to sústava rovníc?

Postupne sa priblížime k definícii sústavy rovníc. Po prvé, povedzme, že je vhodné ho uviesť, pričom poukážeme na dva body: po prvé, typ záznamu a po druhé, význam vložený do tohto záznamu. Zastavme sa pri nich postupne a potom zovšeobecníme úvahy na definíciu sústav rovníc.

Nech máme niektoré z nich pred sebou. Zoberme si napríklad dve rovnice 2 x+y=−3 a x=5 . Napíšeme ich jednu pod druhú a spojíme zloženou zátvorkou vľavo:

Záznamy tohto druhu, ktorými je niekoľko rovníc usporiadaných do stĺpca a spojených vľavo zloženými zátvorkami, sú záznamy sústav rovníc.

Čo znamenajú takéto záznamy? Definujú množinu všetkých takých riešení rovníc sústavy, ktoré sú riešením každej rovnice.

Nezaškodí to opísať inými slovami. Predpokladajme, že niektoré riešenia prvej rovnice sú riešeniami všetkých ostatných rovníc systému. Záznam systému ich teda len označuje.

Teraz sme pripravení primerane prijať definíciu sústavy rovníc.

Definícia.

Sústavy rovníc záznamy hovorov, ktoré sú rovnicami umiestnenými pod sebou, spojenými vľavo zloženou zátvorkou, ktoré označujú množinu všetkých riešení rovníc, ktoré sú súčasne riešením každej rovnice systému.

Podobná definícia je uvedená v učebnici, ale tam nie je uvedená pre všeobecný prípad, ale pre dve racionálne rovnice s dvoma premennými.

Hlavné typy

Je jasné, že existuje nekonečne veľa rôznych rovníc. Prirodzene, existuje tiež nekonečne veľa systémov rovníc zostavených pomocou nich. Preto pre pohodlie pri štúdiu a práci so systémami rovníc má zmysel rozdeliť ich do skupín podľa podobných charakteristík a potom pristúpiť k zvažovaniu systémov rovníc jednotlivých typov.

Prvé delenie sa naznačuje počtom rovníc zahrnutých v systéme. Ak existujú dve rovnice, potom môžeme povedať, že máme systém dvoch rovníc, ak sú tri, potom systém troch rovníc atď. Je jasné, že nemá zmysel hovoriť o systéme jednej rovnice, pretože v tomto prípade máme do činenia so samotnou rovnicou, a nie so systémom.

Ďalšie delenie je založené na počte premenných podieľajúcich sa na písaní rovníc systému. Ak je jedna premenná, tak máme do činenia so sústavou rovníc s jednou premennou (hovoria aj s jednou neznámou), ak sú dve, tak so sústavou rovníc s dvoma premennými (s dvoma neznámymi) atď. Napríklad, je sústava rovníc s dvoma premennými x a y .

To sa týka počtu všetkých rôznych premenných zahrnutých v zázname. Nemusia byť všetky naraz zahrnuté v zázname každej rovnice, stačí ich mať aspoň v jednej rovnici. Napríklad, je sústava rovníc s tromi premennými x, y a z. V prvej rovnici je premenná x prítomná explicitne, zatiaľ čo y a z sú implicitné (môžeme predpokladať, že tieto premenné majú nulu), a v druhej rovnici sú x a z prítomné a premenná y nie je explicitne znázornená. Inými slovami, prvú rovnicu možno považovať za a druhý ako x+0 y−3 z=0.

Tretím bodom, v ktorom sa systémy rovníc líšia, je forma samotných rovníc.

V škole sa začína štúdium sústav rovníc sústavy dvoch lineárnych rovníc v dvoch premenných. To znamená, že takéto systémy tvoria dve lineárne rovnice. Tu je pár príkladov: a . Na nich sa učia základy práce so sústavami rovníc.

Pri riešení zložitejších úloh sa možno stretnúť aj so sústavami troch lineárnych rovníc s tromi neznámymi.

Ďalej v 9. ročníku sa k sústavám dvoch rovníc s dvoma premennými pridávajú nelineárne rovnice, väčšinou celé rovnice druhého stupňa, menej často vyšších stupňov. Tieto sústavy sa nazývajú sústavy nelineárnych rovníc, v prípade potreby sa uvádza počet rovníc a neznámych. Ukážme príklady takýchto systémov nelineárnych rovníc: a .

A potom v systémoch sú aj napr. Zvyčajne sa nazývajú jednoducho sústavy rovníc bez toho, aby sa špecifikovalo, ktoré rovnice. Tu stojí za zmienku, že najčastejšie jednoducho hovoria „systém rovníc“ o systéme rovníc a spresnenia sa pridávajú iba v prípade potreby.

Na strednej škole, keď sa materiál študuje, iracionálne, trigonometrické, logaritmické a exponenciálne rovnice prenikajú do systémov: , , .

Ak sa pozriete ešte ďalej do programu prvých kurzov univerzít, tak hlavný dôraz je kladený na štúdium a riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc (SLAE), teda rovníc, v ľavej časti ktorých sú polynómy tzv. prvý stupeň a vpravo - nejaké čísla. Ale tam, na rozdiel od školy, sa už neberú dve lineárne rovnice s dvoma premennými, ale ľubovoľný počet rovníc s ľubovoľným počtom premenných, ktoré sa často nezhodujú s počtom rovníc.

Aké je riešenie sústavy rovníc?

Pojem „riešenie sústavy rovníc“ priamo odkazuje na sústavy rovníc. Škola dáva definíciu riešenia sústavy rovníc s dvoma premennými :

Definícia.

Riešenie sústavy rovníc s dvoma premennými nazýva sa dvojica hodnôt týchto premenných, ktorá mení každú rovnicu systému na správnu, inými slovami, ktorá je riešením každej rovnice systému.

Napríklad dvojica premenných hodnôt x=5, y=2 (môže byť napísaná ako (5, 2) ) je podľa definície riešením systému rovníc, pretože rovnice systému, keď x= 5 sa do nich dosadí y=2, premenia sa na skutočné číselné rovnosti 5+2=7 a 5−2=3. Dvojica hodnôt x=3, y=0 však nie je riešením tohto systému, pretože pri dosadení týchto hodnôt do rovníc sa prvá z nich zmení na nesprávnu rovnosť 3+0=7.

Podobné definície možno formulovať pre systémy s jednou premennou, ako aj pre systémy s tromi, štyrmi atď. premenných.

Definícia.

Riešenie sústavy rovníc s jednou premennou bude existovať premenná hodnota, ktorá je koreňom všetkých rovníc systému, to znamená, že zmení všetky rovnice na skutočné číselné rovnosti.

Vezmime si príklad. Uvažujme sústavu rovníc s jednou premennou t tvaru . Číslo −2 je jeho riešením, keďže obe (−2) 2 =4 a 5·(−2+2)=0 sú skutočné číselné rovnosti. A t=1 nie je riešením systému, pretože nahradenie tejto hodnoty poskytne dve nesprávne rovnosti 1 2 =4 a 5·(1+2)=0 .

Definícia.

Riešenie systému s tromi, štyrmi atď. premenných nazývaný trojitý, štvornásobný atď. hodnoty premenných, ktoré premieňajú všetky rovnice systému na skutočné rovnosti.

Takže, podľa definície, trojica hodnôt premenných x=1, y=2, z=0 je riešením systému , keďže 2 1=2 , 5 2=10 a 1+2+0=3 sú správne číselné rovnosti. A (1, 0, 5) nie je riešením tohto systému, pretože keď sa tieto hodnoty premenných dosadia do rovníc systému, druhá z nich sa zmení na nesprávnu rovnosť 5 0 = 10 a tretia jedna je tiež 1+0+5=3 .

Všimnite si, že sústavy rovníc nemusia mať riešenia, môžu mať konečný počet riešení, napríklad jedno, dve, ..., alebo môžu mať nekonečne veľa riešení. Uvidíte to, keď sa hlbšie ponoríte do témy.

Ak vezmeme do úvahy definície sústavy rovníc a ich riešenia, môžeme konštatovať, že riešenie sústavy rovníc je priesečníkom množín riešení všetkých jej rovníc.

Na záver uvádzame niekoľko súvisiacich definícií:

Definícia.

nezlučiteľné ak nemá žiadne riešenia, inak sa systém volá kĺb.

Definícia.

Sústava rovníc je tzv neistý ak má nekonečne veľa riešení a istý, ak má konečný počet riešení, alebo nemá žiadne.

Tieto pojmy sú zavedené napríklad v učebnici, ale v škole sa používajú zriedka, častejšie ich možno počuť na vysokých školách.

Bibliografia.

1. Algebra: učebnica pre 7 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 240 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Algebra: 9. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovič A.G. Algebra. 7. trieda. O 14:00 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 17. vyd., dod. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 s.: chor. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Mordkovič A.G. Algebra. 9. ročník O 14.00 h Časť 1. Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. vydanie, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: chor. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Mordkovič A.G. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 11. ročník O 14.00 h Časť 1. Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: chor. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. vyd.- M.: Osveta, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
7. A. G. Kurosh. Kurz vyššej algebry.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analytická geometria: Učebnica: Pre vysoké školy. – 5. vyd. – M.: Veda. Fizmatlit, 1999. - 224 s. – (Kurz vyššej matematiky a matematickej fyziky). – ISBN 5-02-015234 – X (vydanie 3)