Números fraccionarios racionales. Números

Definición de números racionales:

Un número racional es un número que se puede representar como una fracción. El numerador de dicha fracción pertenece al conjunto de los números enteros y el denominador pertenece al conjunto de los números naturales.

¿Por qué los números se llaman racionales?

En latín ratio significa ratio. Numeros racionales se puede representar como una relación, es decir en otras palabras, como una fracción.

Ejemplo de número racional

El número 2/3 es un número racional. ¿Por qué? Este número se representa como una fracción, cuyo numerador pertenece al conjunto de los números enteros y el denominador al conjunto de los números naturales.

Para obtener más ejemplos de números racionales, consulte el artículo.

Números racionales iguales

Fracciones diversas puede representar un número racional.

Considere el número racional 3/5. Este número racional es igual a

Reducir el numerador y denominador por un factor común de 2:

Obtenemos la fracción 3/5, lo que significa que

Numeros racionales

Cuarteles

1. Orden. a Y b existe una regla que permite identificar de forma única una y sólo una de tres relaciones entre ellos: “< », « >" o " = ". Esta regla se llama regla de pedido y se formula de la siguiente manera: dos números no negativos y están relacionados por la misma relación que dos números enteros y ; dos números no positivos a Y b están relacionados por la misma relación que dos números no negativos y ; si de repente a no negativo, pero b- negativo, entonces a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   Sumar fracciones

2. Operación de suma. Para cualquier número racional a Y b hay un llamado regla de suma C. Al mismo tiempo, el número mismo. C llamado cantidad números a Y b y se denota por , y el proceso de encontrar dicho número se llama suma. La regla de suma tiene la siguiente forma: .
3. Operación de multiplicación. Para cualquier número racional a Y b hay un llamado regla de multiplicación, que les asigna algún número racional C. Al mismo tiempo, el número mismo. C llamado trabajar números a Y b y se denota por , y el proceso de encontrar dicho número también se llama multiplicación. La regla de multiplicación se ve así: .
4. Transitividad de la relación de orden. Para cualquier triple de números racionales a , b Y C Si a menos b Y b menos C, Eso a menos C, y si a es igual b Y b es igual C, Eso a es igual C. 6435">Conmutatividad de la suma. Cambiar los lugares de los términos racionales no cambia la suma.
5. Asociatividad de la suma. El orden en que se suman tres números racionales no afecta el resultado.
6. Presencia de cero. Hay un número racional 0 que conserva todos los demás números racionales cuando se suma.
7. La presencia de números opuestos. Todo número racional tiene un número racional opuesto, que al sumarlo da 0.
8. Conmutatividad de la multiplicación. Cambiar el lugar de los factores racionales no cambia el producto.
9. Asociatividad de la multiplicación. El orden en que se multiplican tres números racionales no afecta el resultado.
10. Disponibilidad de unidad. Hay un número racional 1 que conserva todos los demás números racionales cuando se multiplica.
11. Presencia de números recíprocos. Todo número racional tiene un número racional inverso, que multiplicado por da 1.
12. Distributividad de la multiplicación respecto de la suma. La operación de multiplicación se coordina con la operación de suma mediante la ley de distribución:
13. Conexión de la relación de orden con la operación de suma. Se puede sumar el mismo número racional a los lados izquierdo y derecho de una desigualdad racional. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Axioma de Arquímedes. Cualquiera que sea el número racional a, puedes tomar tantas unidades que su suma exceda a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Propiedades adicionales

Todas las demás propiedades inherentes a los números racionales no se distinguen como básicas porque, en general, ya no se basan directamente en las propiedades de los números enteros, sino que pueden demostrarse basándose en las propiedades básicas dadas o directamente mediante la definición de algún objeto matemático. . Hay muchas propiedades adicionales de este tipo. Tiene sentido enumerar aquí sólo algunos de ellos.

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Contabilidad de un conjunto

Numeración de números racionales

Para estimar el número de números racionales, es necesario encontrar la cardinalidad de su conjunto. Es fácil demostrar que el conjunto de los números racionales es contable. Para ello, basta con dar un algoritmo que enumere los números racionales, es decir, establezca una biyección entre los conjuntos de números racionales y naturales.

El más simple de estos algoritmos se ve así. Se compila una tabla interminable de fracciones ordinarias, en cada una i-ésima línea en cada j la columna en la que se encuentra la fracción. Para mayor precisión, se supone que las filas y columnas de esta tabla están numeradas comenzando desde uno. Las celdas de la tabla se indican con , donde i- el número de la fila de la tabla en la que se encuentra la celda, y j- número de columna.

La tabla resultante se recorre utilizando una “serpiente” según el siguiente algoritmo formal.

Estas reglas se buscan de arriba a abajo y se selecciona la siguiente posición en función de la primera coincidencia.

En el proceso de tal recorrido, cada nuevo número racional se asocia con otro número natural. Es decir, la fracción 1/1 se asigna al número 1, la fracción 2/1 al número 2, etc. Cabe señalar que solo se numeran las fracciones irreducibles. Un signo formal de irreductibilidad es que el máximo común divisor del numerador y denominador de la fracción es igual a uno.

Siguiendo este algoritmo, podemos enumerar todos los números racionales positivos. Esto significa que el conjunto de los números racionales positivos es contable. Es fácil establecer una biyección entre los conjuntos de números racionales positivos y negativos simplemente asignando a cada número racional su opuesto. Eso. el conjunto de los números racionales negativos también es contable. Su unión también es contable mediante la propiedad de conjuntos contables. El conjunto de los números racionales también es contable como la unión de un conjunto contable con uno finito.

La afirmación sobre la contabilización del conjunto de los números racionales puede causar cierta confusión, ya que a primera vista parece que es mucho más extenso que el conjunto de los números naturales. De hecho, esto no es así y hay suficientes números naturales para enumerar todos los racionales.

Falta de números racionales

La hipotenusa de tal triángulo no se puede expresar mediante ningún número racional.

Números racionales de la forma 1 / norte en general norte Se pueden medir cantidades arbitrariamente pequeñas. Este hecho crea la impresión engañosa de que los números racionales se pueden utilizar para medir cualquier distancia geométrica. Es fácil demostrar que esto no es cierto.

Notas

Literatura

• I. Kushnir. Manual de matemáticas para escolares. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 p.
• P. S. Alexandrov. Introducción a la teoría de conjuntos y topología general. - M.: capítulo. ed. fisica y matematicas iluminado. ed. "Ciencia", 1977
• I. L. Khmelnitsky. Introducción a la teoría de los sistemas algebraicos.

Enlaces

Fundación Wikimedia. 2010.

El tema de los números racionales es bastante extenso. Puedes hablar de ello sin cesar y escribir trabajos completos, sorprendiéndote cada vez con nuevas funciones.

Para evitar errores en el futuro, Esta lección Profundizaremos un poco más en el tema de los números racionales y sacaremos provecho de él. Información necesaria y sigamos adelante.

¿Qué es un número racional?

Un número racional es un número que se puede representar como una fracción, donde a- este es el numerador de la fracción, b es el denominador de la fracción. Además b no debe ser cero porque no se permite la división por cero.

Los números racionales incluyen las siguientes categorías de números:

• números enteros (por ejemplo −2, −1, 0 1, 2, etc.)

• fracciones decimales (por ejemplo 0,2, etc.)

• fracciones periódicas infinitas (por ejemplo 0, (3), etc.)

Cada número de esta categoría se puede representar como una fracción.

Ejemplo 1. El número entero 2 se puede representar como una fracción. Esto significa que el número 2 se aplica no sólo a los números enteros, sino también a los racionales.

Ejemplo 2. Un número mixto se puede representar como una fracción. Esta fracción se obtiene convirtiendo el número mixto a fracción impropia

Medio numero mixto Se refiere a números racionales.

Ejemplo 3. El decimal 0,2 se puede representar como una fracción. Esta fracción se obtuvo traduciendo decimal 0,2 voltios fracción común. Si tiene dificultades en este punto, repita el tema.

Dado que la fracción decimal 0,2 se puede representar como una fracción, significa que también pertenece a los números racionales.

Ejemplo 4. La fracción periódica infinita 0, (3) se puede representar como una fracción. Esta fracción se obtiene convirtiendo una fracción periódica pura en una fracción ordinaria. Si tiene dificultades en este punto, repita el tema.

Dado que la fracción periódica infinita 0, (3) se puede representar como una fracción, significa que también pertenece a los números racionales.

En el futuro, llamaremos cada vez más a todos los números que se pueden representar como fracción con una frase: numeros racionales.

Números racionales en la línea de coordenadas.

Observamos la línea de coordenadas cuando estudiamos números negativos. Recuerde que ésta es una línea recta en la que se encuentran muchos puntos. Como sigue:

Esta figura muestra un pequeño fragmento de la línea de coordenadas de −5 a 5.

Marcar números enteros de la forma 2, 0, −3 en la línea de coordenadas no es difícil.

Las cosas son mucho más interesantes con otros números: con fracciones ordinarias, números mixtos, decimales, etc. Estos números se encuentran entre los números enteros y hay infinitos de estos números.

Por ejemplo, marquemos un número racional en la línea de coordenadas. Este número se encuentra exactamente entre cero y uno

Intentemos entender por qué la fracción se encuentra repentinamente entre cero y uno.

Como se mencionó anteriormente, entre los números enteros se encuentran otros números: fracciones ordinarias, decimales, números mixtos, etc. Por ejemplo, si aumenta una sección de la línea de coordenadas de 0 a 1, puede ver la siguiente imagen

Se puede ver que entre los números enteros 0 y 1 hay otros números racionales, que son fracciones decimales familiares. Aquí puedes ver nuestra fracción, que se encuentra en el mismo lugar que la fracción decimal 0,5. Un examen cuidadoso de esta figura proporciona una respuesta a la pregunta de por qué la fracción se encuentra exactamente allí.

Una fracción significa dividir 1 entre 2. Y si dividimos 1 entre 2, obtenemos 0,5

La fracción decimal 0,5 se puede disfrazar como otras fracciones. Por la propiedad básica de una fracción, sabemos que si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican o dividen por el mismo número, entonces el valor de la fracción no cambia.

Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican por cualquier número, por ejemplo por el número 4, obtenemos una nueva fracción, y esta fracción también es igual a 0,5.

Esto significa que en la línea de coordenadas la fracción se puede colocar en el mismo lugar donde estaba ubicada la fracción.

Ejemplo 2. Intentemos marcar un número racional en la coordenada. Este número se encuentra exactamente entre los números 1 y 2.

El valor de la fracción es 1,5.

Si aumentamos la sección de la línea de coordenadas de 1 a 2, veremos la siguiente imagen:

Se puede ver que entre los números enteros 1 y 2 hay otros números racionales, que son fracciones decimales familiares. Aquí puedes ver nuestra fracción, que se encuentra en el mismo lugar que la fracción decimal 1,5.

Ampliamos ciertos segmentos en la línea de coordenadas para ver los números restantes que se encuentran en este segmento. Como resultado, descubrimos fracciones decimales que tenían un dígito después del punto decimal.

Pero no lo eran números singulares, acostado sobre estos segmentos. Hay infinitos números en la línea de coordenadas.

No es difícil adivinar que entre fracciones decimales que tienen un dígito después del punto decimal, hay otras fracciones decimales que tienen dos dígitos después del punto decimal. En otras palabras, centésimas de segmento.

Por ejemplo, intentemos ver los números que se encuentran entre las fracciones decimales 0,1 y 0,2.

Otro ejemplo. Las fracciones decimales que tienen dos dígitos después del punto decimal y se encuentran entre cero y el número racional 0,1 se ven así:

Ejemplo 3. Marquemos un número racional en la recta de coordenadas. Este número racional estará muy cerca de cero.

El valor de la fracción es 0,02.

Si aumentamos el segmento de 0 a 0,1, veremos exactamente dónde se encuentra el número racional

Se puede observar que nuestro número racional se ubica en el mismo lugar que la fracción decimal 0,02.

Ejemplo 4. Marquemos el número racional 0 en la recta de coordenadas, (3)

El número racional 0, (3) es una fracción periódica infinita. Su parte fraccionaria nunca termina, es infinita.

Y como el número 0,(3) tiene una parte fraccionaria infinita, esto significa que no podremos encontrar el lugar exacto en la línea de coordenadas donde se encuentra este número. Sólo podemos indicar este lugar de forma aproximada.

El número racional 0,33333... se ubicará muy cerca de la fracción decimal común 0,3

Esta figura no muestra la ubicación exacta del número 0,(3). Esta es solo una ilustración para mostrar qué tan cerca puede estar la fracción periódica 0.(3) de la fracción decimal regular 0.3.

Ejemplo 5. Marquemos un número racional en la recta de coordenadas. Este número racional estará ubicado en el medio entre los números 2 y 3.

Esto es 2 (dos números enteros) y (un segundo). Una fracción también se llama "mitad". Por lo tanto, marcamos dos segmentos enteros y otro medio segmento en la línea de coordenadas.

Si convertimos un número mixto a fracción impropia obtenemos una fracción ordinaria. Esta fracción en la línea de coordenadas se ubicará en el mismo lugar que la fracción.

El valor de la fracción es 2,5.

Si aumentamos la sección de la línea de coordenadas de 2 a 3, veremos la siguiente imagen:

Se puede observar que nuestro número racional se ubica en el mismo lugar que la fracción decimal 2.5

Menos antes de un número racional

En la lección anterior, que se llamó, aprendimos cómo dividir números enteros. Tanto los números positivos como los negativos podrían actuar como dividendo y divisor.

Consideremos la expresión más simple.

(−6) : 2 = −3

En esta expresión, el dividendo (−6) es un número negativo.

Consideremos ahora la segunda expresión.

6: (−2) = −3

Aquí el divisor (−2) ya es un número negativo. Pero en ambos casos obtenemos la misma respuesta -3.

Considerando que cualquier división se puede escribir como fracción, también podemos escribir los ejemplos comentados anteriormente como fracción:

Y como en ambos casos el valor de la fracción es el mismo, el menos en el numerador o en el denominador se puede hacer común colocándolo delante de la fracción.

Por lo tanto, puedes poner un signo igual entre las expresiones y y porque tienen el mismo significado.

En el futuro, cuando trabajemos con fracciones, si encontramos un menos en el numerador o denominador, haremos que este menos sea común colocándolo delante de la fracción.

Números racionales opuestos

Al igual que un número entero, un número racional tiene su número opuesto.

Por ejemplo, para un número racional numero opuesto es . Está ubicado en la línea de coordenadas simétricamente a la ubicación relativa al origen de las coordenadas. En otras palabras, ambos números están equidistantes del origen.

Convertir números mixtos a fracciones impropias

Sabemos que para convertir un número mixto en una fracción impropia necesitamos multiplicar la parte entera por el denominador de la parte fraccionaria y sumarlo al numerador de la parte fraccionaria. El número resultante será el numerador de la nueva fracción, pero el denominador sigue siendo el mismo.

Por ejemplo, convertimos un número mixto en una fracción impropia.

Multiplica la parte entera por el denominador de la parte fraccionaria y suma el numerador de la parte fraccionaria:

Calculemos esta expresión:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

El número resultante 5 será el numerador de la nueva fracción, pero el denominador seguirá siendo el mismo:

Este procedimiento está escrito en su totalidad de la siguiente manera:

Para devolver el número mixto original, basta con seleccionar la parte entera en la fracción.

Pero este método de convertir un número mixto en una fracción impropia sólo es aplicable si el número mixto es positivo. Para un número negativo este método no funcionará.

Consideremos la fracción. Seleccionemos la parte entera de esta fracción. Obtenemos

Para devolver la fracción original, debes convertir el número mixto en una fracción impropia. Pero si usamos la antigua regla, es decir, multiplicamos la parte entera por el denominador de la parte fraccionaria y sumamos el numerador de la parte fraccionaria al número resultante, obtenemos la siguiente contradicción:

Recibimos una fracción, pero deberíamos haber recibido una fracción.

Concluimos que el número mixto se convirtió incorrectamente en una fracción impropia:

Para convertir correctamente un número mixto negativo en una fracción impropia, debes multiplicar la parte entera por el denominador de la parte fraccionaria y del número resultante. sustraer numerador de la parte fraccionaria. En este caso, todo encajará para nosotros.

Un número mixto negativo es lo opuesto a un número mixto. Si un número mixto positivo se encuentra en el lado derecho y se ve así

Definición de números racionales

Los números racionales incluyen:

• Números naturales que se pueden representar como fracción. Por ejemplo, $7=\frac(7)(1)$.
• Números enteros, incluido el cero, que se pueden representar como una fracción positiva o negativa, o como cero. Por ejemplo, $19=\frac(19)(1)$, $-23=-\frac(23)(1)$.
• Fracciones comunes (positivas o negativas).
• Números mixtos que se pueden representar como fracción impropia. Por ejemplo, $3 \frac(11)(13)=\frac(33)(13)$ y $-2 \frac(4)(5)=-\frac(14)(5)$.
• Un decimal finito y una fracción periódica infinita que se puede representar como una fracción. Por ejemplo, $-7.73=-\frac(773)(100)$, $7,(3)=-7 \frac(1)(3)=-\frac(22)(3)$.

Nota 1

Tenga en cuenta que una fracción decimal infinita no periódica no pertenece a números racionales, porque no se puede representar como una fracción ordinaria.

Ejemplo 1

Los números naturales $7, 670, 21\456$ son racionales.

Los números enteros $76, –76, 0, –555\666$ son racionales.

Fracciones comunes $\frac(7)(11)$, $\frac(555)(4)$, $-\frac(7)(11)$, $-\frac(100)(234)$ – números racionales .

Así, los números racionales se dividen en positivos y negativos. El número cero es racional, pero no es un número racional positivo ni negativo.

Formulemos más definición corta numeros racionales.

Definición 3

Racional son números que se pueden representar como una fracción decimal periódica finita o infinita.

Se pueden sacar las siguientes conclusiones:

• números enteros positivos y negativos y números fraccionarios pertenecen al conjunto de los números racionales;
• los números racionales se pueden representar como una fracción que tiene un numerador entero y un denominador natural y es un número racional;
• Los números racionales se pueden representar como cualquier fracción decimal periódica que sea un número racional.

Cómo determinar si un número es racional

1. El número se da en la forma expresión numérica, que consta únicamente de números racionales y operaciones aritméticas con signos. En este caso, el valor de la expresión será un número racional.
2. raíz cuadrada de número natural– un número racional sólo si la raíz contiene un número que es el cuadrado perfecto de algún número natural. Por ejemplo, $\sqrt(9)$ y $\sqrt(121)$ son números racionales, ya que $9=3^2$ y $121=11^2$.
3. La $n$ésima raíz de un número entero es un número racional solo si el número bajo el signo de la raíz es la $n$ésima potencia de algún número entero. Por ejemplo, $\sqrt(8)$ es un número racional, porque $8=2^3$.

En el eje numérico, los números racionales están densamente distribuidos: entre cada dos números racionales que no son iguales entre sí, se puede ubicar al menos un número racional (por lo tanto, un conjunto infinito de números racionales). Al mismo tiempo, un conjunto de números racionales se caracteriza por una cardinalidad contable (es decir, todos los elementos del conjunto se pueden numerar). Los antiguos griegos demostraron que hay números que no se pueden escribir como fracción. Demostraron que no existe ningún número racional cuyo cuadrado sea igual a $2$. Entonces los números racionales resultaron insuficientes para expresar todas las cantidades, lo que posteriormente llevó a la aparición numeros reales. El conjunto de los números racionales, a diferencia de los números reales, tiene dimensión cero.

Como ya hemos visto, el conjunto de los números naturales

es cerrado bajo suma y multiplicación, y el conjunto de números enteros

cerrado bajo suma, multiplicación y resta. Sin embargo, ninguno de estos conjuntos es cerrado bajo división, ya que la división de números enteros puede dar como resultado fracciones, como en los casos de 4/3, 7/6, -2/5, etc. El conjunto de todas esas fracciones forma el conjunto de los números racionales. Por tanto, un número racional (fracción racional) es un número que se puede representar en la forma , donde a y d son números enteros y d no es igual a cero. Hagamos algunos comentarios sobre esta definición.

1) Requerimos que d sea distinto de cero. Este requisito (escrito matemáticamente como desigualdad) es necesario porque aquí d es un divisor. Considere los siguientes ejemplos:

Caso 1. .

Caso 2. .

En el caso 1, d es un divisor en el sentido del capítulo anterior, es decir, 7 es un divisor exacto de 21. En el caso 2, d sigue siendo un divisor, pero en un sentido diferente, ya que 7 no es un divisor exacto de 25. .

Si 25 se llama dividendo y 7 divisor, entonces obtenemos el cociente de 3 y el resto de 4. Entonces, la palabra divisor se usa aquí en más en un sentido general y aplicable a más casos que en el cap. I. Sin embargo, en casos como el Caso 1, el concepto de divisor introducido en el Cap. I; por tanto es necesario, como en el cap. I, excluyo la posibilidad de d = 0.

2) Tenga en cuenta que si bien las expresiones número racional y fracción racional son sinónimas, la palabra fracción en sí se usa para denotar cualquier expresión algebraica que consta de un numerador y un denominador, como

3) La definición de número racional incluye la expresión “un número que se puede representar en la forma , donde a y d son números enteros y . ¿Por qué no se puede reemplazar por la expresión “un número de la forma , donde a y d son números enteros y? La razón de esto es el hecho de que hay infinitas formas de expresar la misma fracción (por ejemplo, 2/3 puede también escribirse como 4/6, 6/9, o 213/33, o, etc.), y es deseable para nosotros que nuestra definición de número racional no dependa de la forma particular de expresarlo.

Una fracción se define de tal manera que su valor no cambia cuando el numerador y el denominador se multiplican por el mismo número. Sin embargo, no siempre es posible saber con sólo mirar una fracción dada si es racional o no. Consideremos, por ejemplo, los números

Ninguno de ellos en la entrada que hemos elegido tiene la forma , donde a y d son números enteros.

Sin embargo, podemos realizar una serie de transformaciones aritméticas en la primera fracción y obtener

Así, llegamos a una fracción igual a la fracción original, para la cual . Por lo tanto, el número es racional, pero no sería racional si la definición de número racional requiriera que el número tuviera la forma a/b, donde a y b son números enteros. En caso de conversión de fracciones

conducir a un número. En capítulos siguientes aprenderemos que un número no se puede representar como una razón de dos números enteros y, por tanto, no es racional o se dice que es irracional.

4) Tenga en cuenta que todo número entero es racional. Como acabamos de ver, esto es cierto en el caso del número 2. En el caso general de los números enteros arbitrarios, se puede asignar de manera similar un denominador de 1 a cada uno de ellos y obtener su representación como fracciones racionales.