Axiomas de números reales. Axiomática de los números reales Definición axiomática del sistema de números enteros.

Para los números reales, denotados por (el llamado R picado), se introduce la operación de suma (“+”), es decir, para cada par de elementos ( X,y) del conjunto de números reales se asigna el elemento X + y del mismo conjunto, llamado suma X Y y .

Axiomas de multiplicación

Se introduce la operación de multiplicación (“·”), es decir, para cada par de elementos ( X,y) del conjunto de números reales, se asigna un elemento (o, en definitiva, Xy) del mismo conjunto, llamado producto X Y y .

Relación entre suma y multiplicación

Axiomas de orden

En una relación dada de orden "" (menor o igual a), es decir, para cualquier par x,y de al menos una de las condiciones o .

Relación entre orden y suma

Relación entre orden y multiplicación

Axioma de continuidad

Un comentario

Este axioma significa que si X Y Y- dos conjuntos no vacíos de números reales tales que cualquier elemento de X no excede ningún elemento de Y, entonces se puede insertar un número real entre estos conjuntos. Para los números racionales este axioma no se cumple; ejemplo clásico: considere números racionales positivos y asígnelos al conjunto X aquellos números cuyo cuadrado es menor que 2, y los demás - para Y. Entonces entre X Y Y No puedes insertar un número racional (no es un número racional).

Este axioma clave proporciona densidad y, por lo tanto, hace posible la construcción del análisis matemático. Para ilustrar su importancia, señalemos dos consecuencias fundamentales de ello.

Corolarios de los axiomas

Algunas propiedades importantes de los números reales se derivan directamente de los axiomas, por ejemplo,

• la unicidad del cero,
• la unicidad de los elementos opuestos e inversos.

Literatura

• Zorich V. A. Análisis matemático. Tomo I. M.: Phasis, 1997, capítulo 2.

ver también

Enlaces

Fundación Wikimedia. 2010.

Vea qué es "Axiomática de números reales" en otros diccionarios:

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Un axioma que se encuentra en varios sistemas axiomáticos. Axiomática de números reales Axiomática de la geometría euclidiana de Hilbert Axiomática de la teoría de la probabilidad de Kolmogorov ... Wikipedia

Método axiomático en matemáticas.

Conceptos y relaciones básicos de la teoría axiomática de las series naturales. Definición de un número natural.

Suma de números naturales.

Multiplicación de números naturales.

Propiedades del conjunto de números naturales.

Resta y división de números naturales.

Método axiomático en matemáticas.

En la construcción axiomática de cualquier teoría matemática se observan las siguientes reglas: algunas reglas:

1. Algunos conceptos de la teoría se eligen como principal y se aceptan sin definición.

2. estan formulados axiomas, que en esta teoría se aceptan sin pruebas, revelan las propiedades de los conceptos básicos.

3. Se da cada concepto de la teoría que no está contenido en la lista de conceptos básicos. definición, explica su significado con la ayuda de los conceptos principales y anteriores.

4. Toda proposición de una teoría que no esté contenida en la lista de axiomas debe ser demostrada. Este tipo de propuestas se denominan teoremas y demostrarlos sobre la base de axiomas y teoremas anteriores al considerado.

El sistema de axiomas debería ser:

a) consistente: debemos estar seguros de que, sacando todas las conclusiones posibles de un sistema dado de axiomas, nunca llegaremos a una contradicción;

b) independiente: ningún axioma debería ser consecuencia de otros axiomas de este sistema.

V) lleno, si dentro de su marco siempre es posible probar una afirmación determinada o su negación.

La primera experiencia de construcción de la teoría axiomática puede considerarse la presentación de la geometría por parte de Euclides en sus “Elementos” (siglo III a.C.). N.I. Lobachevsky y E. Galois. A finales del siglo XIX. El matemático italiano Peano desarrolló un sistema de axiomas para la aritmética.

Conceptos y relaciones básicos de la teoría axiomática de los números naturales. Definición de un número natural.

Como concepto básico (indefinido) en un conjunto determinado norte es seleccionado actitud , y también utiliza conceptos de teoría de conjuntos, así como las reglas de la lógica.

El elemento que sigue inmediatamente al elemento. A, denotar A".

La relación de "seguimiento directo" satisface los siguientes axiomas:

axiomas de peano:

Axioma 1. En abundancia norte hay un elemento directamente no el siguiente no para ningún elemento de este conjunto. llamémoslo unidad y denotado por el símbolo 1 .

Axioma 2. Para cada elemento A de norte solo hay un elemento A" , siguiendo inmediatamente A .

Axioma 3. Para cada elemento A de norte hay como máximo un elemento que es seguido inmediatamente por A .

Axioma 4. Cualquier subconjunto METRO conjuntos norte coincide con norte , si tiene las siguientes propiedades: 1) 1 contenida en METRO ; 2) del hecho de que A contenida en METRO , resulta que A" contenida en METRO.

Definición 1. Un montón de norte , para cuyos elementos se establece la relación "seguir directamente", que satisface los axiomas 1-4, se llama conjunto de números naturales, y sus elementos son números naturales.

Esta definición no dice nada sobre la naturaleza de los elementos del conjunto. norte . Entonces puede ser cualquier cosa. Elegir como conjunto norte algún conjunto específico en el que se da una relación específica "siguiente directa", que satisface los axiomas 1-4, obtenemos modelo de este sistema axioma.

El modelo estándar del sistema de axiomas de Peano es una serie de números que surgieron en el proceso de desarrollo histórico de la sociedad: 1,2,3,4,... La serie natural comienza con el número 1 (axioma 1); a todo número natural le sigue inmediatamente un único número natural (axioma 2); todo número natural sigue inmediatamente como máximo a un número natural (axioma 3); comenzando desde el número 1 y avanzando en orden hacia los números naturales inmediatamente seguidos, obtenemos el conjunto completo de estos números (axioma 4).

Entonces, comenzamos la construcción axiomática de un sistema de números naturales eligiendo el básico relación de "seguimiento directo" y axiomas que describen sus propiedades. Una mayor construcción de la teoría implica la consideración de las propiedades conocidas de los números naturales y las operaciones con ellos. Deben revelarse en definiciones y teoremas, es decir. se derivan de forma puramente lógica de la relación "seguir directamente", y los axiomas 1-4.

El primer concepto que introduciremos después de definir un número natural es actitud "precede inmediatamente" , que se utiliza a menudo al considerar las propiedades de la serie natural.

Definición 2. si es un numero natural b sigue directamente número natural A, Ese número A llamado inmediatamente precedente(o anterior) numero b .

La relación “precede” tiene una serie de propiedades.

Teorema 1. La unidad no tiene ningún número natural precedente.

Teorema 2. Todo número natural A, distinto de 1, tiene un solo número anterior b, tal que b"= A.

La construcción axiomática de la teoría de los números naturales no se considera ni en la escuela primaria ni en la secundaria. Sin embargo, aquellas propiedades de la relación que “se siguen directamente”, que se reflejan en los axiomas de Peano, son objeto de estudio en el curso inicial de matemáticas. Ya en primer grado, al considerar los números de los primeros diez, queda claro cómo se puede obtener cada número. Se utilizan los conceptos “sigue” y “precede”. Cada nuevo número actúa como una continuación del segmento estudiado de la serie natural de números. Los estudiantes están convencidos de que a cada número le sigue el siguiente y, además, de una sola cosa: que la serie natural de números es infinita.

Suma de números naturales

De acuerdo con las reglas para construir una teoría axiomática, la definición de suma de números naturales debe introducirse utilizando únicamente la relación "seguir directamente" y conceptos "número natural" Y "número anterior".

Empecemos la definición de suma con las siguientes consideraciones. Si a cualquier numero natural A sumamos 1 obtenemos el numero A", siguiendo inmediatamente A, es decir. A+ 1= un" y, por lo tanto, obtenemos la regla para sumar 1 a cualquier número natural. Pero como sumar a un numero A número natural b, diferente de 1? Usemos el siguiente hecho: si sabemos que 2 + 3 = 5, entonces la suma es 2 + 4 = 6, que sigue inmediatamente al número 5. Esto sucede porque en la suma 2 + 4 el segundo término es el número inmediatamente siguiente el número 3. Por lo tanto, 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". En general tenemos , .

Estos hechos forman la base para la definición de suma de números naturales en la teoría axiomática.

Definición 3. Sumar números naturales es una operación algebraica que tiene las siguientes propiedades:

Número a+b llamado suma de numeros A Y b , y los números mismos A Y b - términos.

sistema entero

Recordemos que las series naturales aparecían para enumerar objetos. Pero si queremos realizar algunas acciones con objetos, necesitaremos operaciones aritméticas con números. Es decir, si queremos apilar manzanas o dividir un pastel, necesitamos traducir estas acciones al lenguaje de los números.

Tenga en cuenta que para introducir las operaciones + y * en el lenguaje de los números naturales, es necesario agregar axiomas que definan las propiedades de estas operaciones. Pero entonces el conjunto de los números naturales también es en expansión.

Veamos cómo se expande el conjunto de los números naturales. La operación más sencilla, que fue una de las primeras en ser requerida, es la suma. Si queremos definir la operación de suma, debemos definir su inversa: la resta. De hecho, si sabemos cuál será el resultado de la suma, por ejemplo, 5 y 2, entonces deberíamos poder resolver problemas como: ¿qué se debe sumar a 4 para obtener 11? Es decir, los problemas relacionados con la suma definitivamente Requiere capacidad para realizar la acción inversa: resta. Pero si sumar números naturales da nuevamente un número natural, entonces restar números naturales da un resultado que no encaja en N. Se requirieron algunos otros números. Por analogía con la resta comprensible de un número menor de un número mayor, se introdujo la regla de restar un número mayor de un número menor; así es como aparecieron los números enteros negativos.

Complementando la serie natural con las operaciones + y -, llegamos al conjunto de los números enteros.

Z=N+operaciones(+-)

El sistema de números racionales como lenguaje de aritmética.

Consideremos ahora la siguiente acción más compleja: la multiplicación. En esencia, se trata de una suma repetida. Y el producto de números enteros sigue siendo un número entero.

Pero la operación inversa a la multiplicación es la división. Pero no siempre da los mejores resultados. Y nuevamente nos enfrentamos a un dilema: dar por sentado que el resultado de la división puede "no existir" o proponer números de algún tipo nuevo. Así aparecieron los números racionales.

Tomemos un sistema de números enteros y complementémoslo con axiomas que definen las operaciones de multiplicación y división. Obtenemos un sistema de números racionales.

Q=Z+operaciones(*/)

Entonces, el lenguaje de los números racionales nos permite producir todas las operaciones aritméticas sobre los números. El lenguaje de los números naturales no bastaba para ello.

Demos una definición axiomática del sistema de números racionales.

Definición. Un conjunto Q se llama conjunto de números racionales, y sus elementos se llaman números racionales, si se cumple el siguiente conjunto de condiciones, llamado axiomática de los números racionales:

Axiomas de la operación de la suma. Por cada par ordenado x, y elementos de q algún elemento está definido x+yОQ, llamado suma X Y en. En este caso, se cumplen las siguientes condiciones:

1. (Existencia del cero) Existe un elemento 0 (cero) tal que para cualquier X IQ

X+0=0+X=X.

2. Para cualquier elemento XО Q hay un elemento - XО Q (opuesto X) tal que

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Conmutatividad) Para cualquier x, yО Q

4. (Asociatividad) Para cualquier x,y,zО Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Axiomas de la operación de multiplicación.

Por cada par ordenado x,y elementos de Q algún elemento está definido xyО Q, llamado el producto X Y Ud. En este caso, se cumplen las siguientes condiciones:

5. (Existencia de un elemento unitario) Existe un elemento 1 О Q tal que para cualquier XО Q

X . 1 = 1. x = x

6. Para cualquier elemento XО Q , ( X≠ 0) hay un elemento inverso X-1 ≠0 tal que

X. x -1 = x -1. x = 1

7. (Asociatividad) Para cualquier x, y, zО Q

X . (y . z) = (x . y) . z

8. (Conmutatividad) Para cualquier x,yО Q

Axioma de la conexión entre suma y multiplicación.

9. (Distributividad) Para cualquier x, y, zО Q

(x+y) . z=x . z+y . z

Axiomas de orden.

Cualquier dos elementos x, y,О Q entrar en una relación de comparación ≤. En este caso, se cumplen las siguientes condiciones:

10. (X≤en)L ( en≤X) ó x=y

11. (X≤y) l ( y≤ z) => X≤z

12. Para cualquiera x,yО Q o x< у, либо у < x .

Actitud< называется строгим неравенством,

La relación = se llama igualdad de elementos de Q.

Axioma de la conexión entre suma y orden.

13. Para cualquier x, y, z ОQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

Axioma de la conexión entre multiplicación y orden.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

El axioma de continuidad de Arquímedes.

15. Para cualquier a > b > 0, existen m О N y n О Q tales que m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Por tanto, el sistema de números racionales es el lenguaje de la aritmética.

Sin embargo, este lenguaje no es suficiente para resolver problemas informáticos prácticos.

Al construir axiomáticamente cualquier teoría matemática, ciertos normas:

· algunos conceptos de la teoría se eligen como básicos y se aceptan sin definición;

· cada concepto de la teoría que no esté incluido en la lista de conceptos básicos recibe una definición;

· se formulan axiomas: proposiciones que en una teoría determinada se aceptan sin prueba; revelan las propiedades de conceptos básicos;

· toda proposición de la teoría que no esté contenida en la lista de axiomas debe ser demostrada; Estas proposiciones se denominan teoremas y se prueban sobre la base de axiomas y teoremas.

En la construcción axiomática de una teoría, todos los enunciados se derivan de axiomas mediante prueba.

Por tanto, se aplican requisitos especiales al sistema de axiomas. requisitos:

· consistencia (un sistema de axiomas se llama consistente si de él no se pueden deducir lógicamente dos proposiciones mutuamente excluyentes);

· independencia (un sistema de axiomas se llama independiente si ninguno de los axiomas de este sistema es consecuencia de otros axiomas).

Un conjunto con una relación especificada en él se llama modelo de un sistema de axiomas dado si todos los axiomas del sistema dado se satisfacen en él.

Hay muchas formas de construir un sistema de axiomas para un conjunto de números naturales. Por ejemplo, se puede tomar como concepto básico una suma de números o una relación de orden. En cualquier caso, es necesario definir un sistema de axiomas que describan las propiedades de los conceptos básicos.

Demos un sistema de axiomas, aceptando el concepto básico de la operación de suma.

Conjunto no vacío norte lo llamamos un conjunto de números naturales si la operación está definida en él (a; b) → a + b, llamado suma y que tiene las siguientes propiedades:

1. la suma es conmutativa, es decir a + b = b + a.

2. la suma es asociativa, es decir (a + b) + c = a + (b + c).

4. en cualquier conjunto A, que es un subconjunto del conjunto norte, Dónde A hay un numero y tal que todo Ja, son iguales a+b, Dónde bN.

Los axiomas 1 a 4 son suficientes para construir toda la aritmética de los números naturales. Pero con tal construcción ya no es posible confiar en las propiedades de los conjuntos finitos que no se reflejan en estos axiomas.

Tomemos como concepto básico la relación “seguir directamente...”, definida sobre un conjunto no vacío norte. Entonces la serie natural de números será el conjunto N, en el que se define la relación “inmediatamente siguiente”, y todos los elementos de N se llamarán números naturales, y se cumple lo siguiente: axiomas de peano:

AXIOMA 1.

En abundancianortehay un elemento que no sigue inmediatamente a ningún elemento de este conjunto. Lo llamaremos unidad y lo denotaremos con el símbolo 1.

AXIOMA 2.

Para cada elemento a denortehay un solo elemento a inmediatamente después de a.

AXIOMA 3.

Para cada elemento a denorteHay como máximo un elemento seguido inmediatamente de a.

AXOIMA 4.

Cualquier subconjunto M del conjuntonortecoincide connorte, si tiene las siguientes propiedades: 1) 1 está contenido en M; 2) del hecho de que a está contenido en M, se sigue que a también está contenido en M.

Un montón de NORTE, para los elementos de los cuales se establece la relación “seguir directamente...”, que satisface los axiomas 1 - 4, se llama conjunto de números naturales , y sus elementos son números naturales.

Si como un conjunto norte Si elegimos algún conjunto específico en el que se da una relación específica que "sigue directamente...", que satisface los axiomas 1 - 4, obtenemos diferentes interpretaciones (modelos) dado sistemas de axiomas.

El modelo estándar del sistema de axiomas de Peano es una serie de números que surgieron en el proceso de desarrollo histórico de la sociedad: 1, 2, 3, 4, 5, ...

El modelo de los axiomas de Peano puede ser cualquier conjunto contable.

Por ejemplo, I, II, III, IIII,...

Oh oh oh oh oh...

uno dos tres CUATRO, …

Consideremos una secuencia de conjuntos en la que el conjunto (oo) es el elemento inicial, y cada conjunto posterior se obtiene del anterior añadiendo otro círculo (Fig. 15).

Entonces norte hay un conjunto que consta de conjuntos de la forma descrita y es un modelo del sistema de axiomas de Peano.

De hecho, en muchos norte hay un elemento (oo) que no sigue inmediatamente a ningún elemento del conjunto dado, es decir Se cumple el axioma 1. Para cada conjunto A de la población considerada hay un único conjunto que se obtiene de A añadiendo un círculo, es decir Se cumple el axioma 2. Para cada conjunto A hay como máximo un conjunto a partir del cual se forma un conjunto A añadiendo un círculo, es decir Se cumple el axioma 3. Si METROnorte y se sabe que muchos A contenida en METRO, se deduce que un conjunto en el que hay un círculo más que en el conjunto A, también contenido en METRO, Eso m =norte, y por lo tanto se cumple el axioma 4.

En la definición de número natural, no se puede omitir ninguno de los axiomas.

Establezcamos cuál de los conjuntos mostrados en la Fig. 16 son un modelo de los axiomas de Peano.

1 a b d a GRAMO) Fig.16

Solución. La Figura 16 a) muestra un conjunto en el que se satisfacen los axiomas 2 y 3. De hecho, para cada elemento hay uno único que le sigue inmediatamente y hay un elemento único que le sigue. Pero en este conjunto, el axioma 1 no se cumple (el axioma 4 no tiene sentido, ya que no hay ningún elemento en el conjunto que no siga inmediatamente a otro). Por tanto, este conjunto no es un modelo de los axiomas de Peano.

La Figura 16 b) muestra un conjunto en el que se satisfacen los axiomas 1, 3 y 4, pero detrás del elemento A Inmediatamente siguen dos elementos, y no uno, como se requiere en el axioma 2. Por lo tanto, este conjunto no es un modelo de los axiomas de Peano.

En la Fig. 16 c) muestra un conjunto en el que se satisfacen los axiomas 1, 2, 4, pero el elemento Con Inmediatamente sigue dos elementos inmediatamente. Por tanto, este conjunto no es un modelo de los axiomas de Peano.

En la Fig. 16 d) muestra un conjunto que satisface los axiomas 2, 3, y si tomamos el número 5 como elemento inicial, entonces este conjunto satisfará los axiomas 1 y 4. Es decir, en este conjunto para cada elemento hay uno único inmediatamente lo sigue, y hay un solo elemento que lo sigue. También hay un elemento que no sigue inmediatamente a ningún elemento de este conjunto, este es 5 , aquellos. Se satisface el axioma 1. En consecuencia, también se cumplirá el axioma 4. Por lo tanto, este conjunto es un modelo de los axiomas de Peano.

Usando los axiomas de Peano podemos probar una serie de afirmaciones. Por ejemplo, demostraremos que para todos los números naturales la desigualdad x x.

Prueba. Denotemos por A conjunto de números naturales para los cuales un a. Número 1 pertenece A, ya que no sigue ningún número de norte, lo que significa que no se sigue por sí solo: 1 1. Dejar Automóvil club británico, Entonces un a. denotemos A a través de b. En virtud del axioma 3, Ab, aquellos. b b Y licenciado en Letras.

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA ESTATAL DE OMSK
SUCURSAL DE LA Universidad Pedagógica Estatal de Omsk en TAR
BBK Publicado por decisión de la editorial y editorial.
Sector 22ya73 de la sucursal de la Universidad Pedagógica Estatal de Omsk en Tara
cap67

Las recomendaciones están destinadas a estudiantes de universidades pedagógicas que estudian la disciplina "Álgebra y teoría de números". En el marco de esta disciplina, de acuerdo con la norma estatal, en el 6º semestre se estudia la sección “Sistemas numéricos”. Estas recomendaciones presentan material sobre la construcción axiomática de sistemas de números naturales (el sistema de axiomas de Peano), sistemas de números enteros y racionales. Esta axiomática nos permite comprender mejor qué es un número, que es uno de los conceptos básicos de un curso de matemáticas escolar. Para una mejor asimilación del material, se dan problemas sobre temas relevantes. Al final de las recomendaciones hay respuestas, instrucciones y soluciones a los problemas.

Revisor: Doctor en Ciencias Pedagógicas, Prof. Dalinger V.A.

(c) Mozhan N.N.

Firmado para publicación - 22/10/98

papel de periódico
Tirada 100 ejemplares.
El método de impresión está operativo.
Universidad Pedagógica Estatal de Omsk, 644099, Omsk, emb. Tujachevski, 14 años
sucursal, 644500, Tara, st. Shkólnaya, 69 años.

1. NÚMEROS NATURALES.

En la construcción axiomática de un sistema de números naturales, asumiremos que se conocen el concepto de conjunto, relaciones, funciones y otros conceptos de la teoría de conjuntos.

1.1 El sistema de axiomas de Peano y sus consecuencias más simples.

Los conceptos iniciales en la teoría axiomática de Peano son el conjunto N (que llamaremos el conjunto de los números naturales), el número especial cero (0) de él, y la relación binaria "sigue" a N, denotada S(a) (o a()).
AXIOMAS:
1. ((a(N) a"(0 (Hay un número natural 0 que no sigue a ningún número).
2. a=b (a"=b" (A cada número natural a le sigue un número natural a", y solo uno).
3. a"=b" (a=b (Cada número natural sigue como máximo a un número).
4. (axioma de inducción) Si el conjunto M(N y M satisface dos condiciones:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M ® a"(M, entonces M=N.
En terminología funcional, esto significa que el mapeo S:N®N es inyectivo. Del axioma 1 se deduce que la aplicación S:N®N no es sobreyectiva. El axioma 4 es la base para demostrar enunciados “mediante el método de inducción matemática”.
Observemos algunas propiedades de los números naturales que se derivan directamente de los axiomas.
Propiedad 1. Todo número natural a(0 sigue a un y sólo un número.
Prueba. Sea M el conjunto de números naturales que contienen el cero y todos esos números naturales, cada uno de los cuales sigue a algún número. Basta demostrar que M=N, la unicidad se deriva del axioma 3. Apliquemos el axioma de inducción 4:
A) 0(M - por construcción del conjunto M;
B) si a(M, entonces a"(M, porque a" sigue a a.
Esto significa, según el axioma 4, M=N.
Propiedad 2. Si a(b, entonces a"(b".
La propiedad se prueba por contradicción usando el axioma 3. La siguiente propiedad 3 se prueba de manera similar usando el axioma 2.
Propiedad 3. Si a"(b", entonces a(b.
Propiedad 4. ((a(N)a(a". (Ningún número natural se sigue a sí mismo).
Prueba. Sea M=(x (x(N, x(x")). Basta demostrar que M=N. Dado que según el axioma 1 ((x(N)x"(0, entonces en particular 0"(0 , y por lo tanto, se cumple la condición A) del axioma 4 0(M -. Si x(M, es decir, x(x", entonces por la propiedad 2 x"((x")", lo que significa que la condición B) x ( M ® x"(M. Pero entonces, según el axioma 4, M=N.
Sea ( alguna propiedad de los números naturales. El hecho de que un número a tenga la propiedad (, lo escribiremos ((a).
Tarea 1.1.1. Demuestre que el Axioma 4 de la definición del conjunto de los números naturales es equivalente al siguiente enunciado: para cualquier propiedad (, si ((0) y, entonces.
Tarea 1.1.2. En un conjunto de tres elementos A=(a,b,c), la operación unaria ( se define de la siguiente manera: a(=c, b(=c, c(=a. ¿Cuáles de los axiomas de Peano son verdaderos en el conjunto? A con la operación (?
Tarea 1.1.3. Sea A=(a) un conjunto singleton, a(=a. ¿Cuáles de los axiomas de Peano son verdaderos en el conjunto A con la operación (?
Tarea 1.1.4. En el conjunto N definimos una operación unaria, asumiendo cualquiera. Descubra si los enunciados de los axiomas de Peano formulados en términos de la operación serán verdaderos en N.
Problema 1.1.5. Permitir. Demuestre que A está cerrado bajo la operación (. Verifique la verdad de los axiomas de Peano en el conjunto A con la operación (.
Problema 1.1.6. Permitir, . Definamos una operación unaria en A, configuración. ¿Cuáles de los axiomas de Peano son verdaderos en el conjunto A con la operación?

1.2. Consistencia y categoricidad del sistema de axiomas de Peano.

Un sistema de axiomas se llama consistente si a partir de sus axiomas es imposible probar el teorema T y su negación (T. Está claro que los sistemas de axiomas contradictorios no tienen significado en matemáticas, porque en tal teoría se puede probar cualquier cosa y tal La teoría no refleja las leyes del mundo real. Por lo tanto, la coherencia del sistema de axiomas es un requisito absolutamente necesario.
Si el teorema T y sus negaciones (T) no se encuentran en una teoría axiomática, esto no significa que el sistema de axiomas sea consistente; tales teorías pueden aparecer en el futuro, por lo que se debe demostrar la consistencia del sistema de axiomas. La forma más común de demostrar la coherencia es el método de interpretación, basado en el hecho de que si hay una interpretación del sistema de axiomas en una teoría S obviamente consistente, entonces el sistema de axiomas en sí es consistente. De hecho, si el sistema de axiomas fuera inconsistente, entonces los teoremas T y (T serían demostrables en él, pero entonces estos teoremas serían válidos en su interpretación, y esto contradice la consistencia de la teoría S. El método de interpretación permite probar solo la consistencia relativa de la teoría.
Se pueden construir muchas interpretaciones diferentes para el sistema de axiomas de Peano. La teoría de conjuntos es especialmente rica en interpretaciones. Señalemos una de estas interpretaciones. Consideraremos los conjuntos (, ((), ((()), (((())),... como números naturales; consideraremos el cero como un número especial (. La relación “sigue” será interpretarse de la siguiente manera: al conjunto M le sigue el conjunto (M), cuyo único elemento es el propio M. Así, ("=((), (()"=((()), etc. La viabilidad de Los axiomas 1 a 4 pueden verificarse fácilmente. Sin embargo, la efectividad de tal interpretación es pequeña: muestra que el sistema de axiomas de Peano es consistente si la teoría de conjuntos es consistente. Pero demostrar la consistencia del sistema de axiomas de la teoría de conjuntos es una tarea aún más difícil. tarea La interpretación más convincente del sistema de axiomas de Peano es la aritmética intuitiva, cuya consistencia está confirmada por siglos de experiencia en su desarrollo.
Un sistema consistente de axiomas se llama independiente si cada axioma de este sistema no puede demostrarse como un teorema sobre la base de otros axiomas. Demostrar que el axioma (no depende de otros axiomas del sistema
(1, (2, ..., (n, ((1)
basta con demostrar que el sistema de axiomas es consistente
(1, (2, ..., (n, (((2)
De hecho, si (se demostrara sobre la base de los axiomas restantes del sistema (1), entonces el sistema (2) sería contradictorio, ya que en él el teorema (y el axioma ((.
Entonces, para demostrar la independencia del axioma (de los demás axiomas del sistema (1), basta con construir una interpretación del sistema de axiomas (2).
La independencia del sistema de axiomas es un requisito opcional. A veces, para evitar demostrar teoremas “difíciles”, se construye un sistema de axiomas deliberadamente redundante (dependiente). Sin embargo, los axiomas "extra" dificultan el estudio del papel de los axiomas en la teoría, así como las conexiones lógicas internas entre diferentes secciones de la teoría. Además, construir interpretaciones para sistemas dependientes de axiomas es mucho más difícil que para sistemas independientes; Después de todo, tenemos que comprobar la validez de los axiomas “extra”. Por estas razones, a la cuestión de la dependencia entre axiomas se le ha dado suma importancia desde la antigüedad. En un momento, los intentos de demostrar que el postulado 5 de los axiomas de Euclides “Hay como máximo una recta que pasa por el punto A paralela a la recta (“” es un teorema (es decir, depende de los axiomas restantes) y llevó al descubrimiento de Lobachevsky. geometría.
Un sistema consistente se llama deductivamente completo si cualquier proposición A de una teoría dada puede ser probada o refutada, es decir, A o (A es un teorema de esta teoría. Si hay una proposición que no puede ser probada ni refutada, entonces el sistema de axiomas se llama deductivamente incompleto. La completitud deductiva tampoco es un requisito obligatorio. Por ejemplo, el sistema de axiomas de la teoría de grupos, la teoría de anillos y la teoría de campos son incompletos, ya que existen grupos, anillos y campos tanto finitos como infinitos. , entonces en estas teorías es imposible probar o refutar la proposición: "Un grupo (anillo, campo) contiene un número finito de elementos".
Cabe señalar que en muchas teorías axiomáticas (es decir, en las no formalizadas), el conjunto de proposiciones no puede considerarse definido con precisión y, por lo tanto, es imposible probar la integridad deductiva del sistema de axiomas de dicha teoría. Otro sentido de plenitud se llama categórico. Un sistema de axiomas se llama categórico si dos de sus interpretaciones son isomórficas, es decir, existe una correspondencia biunívoca entre los conjuntos de objetos iniciales de una y otra interpretación que se conserva en todas las relaciones iniciales. La categorización también es una condición opcional. Por ejemplo, el sistema de axiomas de la teoría de grupos no es categórico. Esto se desprende del hecho de que un grupo finito no puede ser isomorfo a un grupo infinito. Sin embargo, a la hora de axiomatizar la teoría de cualquier sistema numérico, la categorización es obligatoria; por ejemplo, el carácter categórico del sistema de axiomas que definen los números naturales significa que, hasta el isomorfismo, sólo existe una serie natural.
Demostremos la naturaleza categórica del sistema de axiomas de Peano. Sean (N1, s1, 01) y (N2, s2, 02) dos interpretaciones cualesquiera del sistema de axiomas de Peano. Se requiere indicar un mapeo biyectivo (uno a uno) f:N1®N2 para el cual se satisfacen las siguientes condiciones:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) para cualquier x de N1;
b)f(01)=02
Si ambas operaciones unarias s1 y s2 se denotan por el mismo número primo, entonces la condición a) se reescribirá en la forma
a) f(x()=f(x)(.
Definamos una relación binaria f en el conjunto N1(N2) mediante las siguientes condiciones:
1) 01f02;
2) si xfy, entonces x(fy(.
Asegurémonos de que esta relación sea un mapeo de N1 a N2, es decir, para cada x de N1
(((y(N2) xfy (1)
Sea M1 el conjunto de todos los elementos x de N1 para los cuales se cumple la condición (1). Entonces
A) 01(M1 debido a 1);
B) x(M1 ® x((M1 en virtud de 2) y propiedades 1 del párrafo 1.
De aquí, según el axioma 4, concluimos que M1=N1, y esto significa que la relación f es una aplicación de N1 en N2. Además, de 1) se deduce que f(01)=02. La condición 2) se escribe en la forma: si f(x)=y, entonces f(x()=y(. De ello se deduce que f(x()=f(x()). Por lo tanto, para mostrar la condición f a ) y b) se cumplen, queda por demostrar que la aplicación f es biyectiva.
Denotemos por M2 el conjunto de aquellos elementos de N2, cada uno de los cuales es la imagen de uno y sólo un elemento de N1 bajo el mapeo f.
Como f(01)=02, entonces 02 es una imagen. Además, si x(N2 y x(01), entonces, según la propiedad 1 del elemento 1, x sigue algún elemento c de N1 y luego f(x)=f(c()=f(c)((02. Esto significa 02 es imagen del único elemento 01, es decir, 02(M2.
Sean además y(M2 e y=f(x), donde x es la única imagen inversa del elemento y. Entonces, por la condición a) y(=f(x)(=f(x()), es decir, y(es la imagen del elemento x (. Sea c cualquier imagen inversa del elemento y(, es decir, f(c)=y(. Dado que y((02, entonces c(01 y para c es el anterior elemento, que denotamos por d. Entonces y(=f( c)=f(d()=f(d)(), de donde por el Axioma 3 y=f(d). Pero como y(M2, entonces d= x, de donde c=d(=x(. Hemos demostrado que si y es la imagen de un elemento único, entonces y(es la imagen de un elemento único, es decir, y(M2 ® y((M2. Ambos Se cumplen las condiciones del axioma 4 y, por tanto, M2=N2, lo que completa la prueba de categoricidad.
Todas las matemáticas pregriegas eran de naturaleza empírica. Algunos elementos de la teoría quedaron ahogados en la masa de métodos empíricos para resolver problemas prácticos. Los griegos sometieron este material empírico a un procesamiento lógico y trataron de encontrar conexiones entre diversa información empírica. En este sentido, Pitágoras y su escuela (siglo V a. C.) desempeñaron un papel importante en la geometría. Las ideas del método axiomático se escucharon claramente en las obras de Aristóteles (siglo IV a. C.). Sin embargo, la implementación práctica de estas ideas la llevó a cabo Euclides en sus Elementos (siglo III a. C.).
Actualmente, se pueden distinguir tres formas de teorías axiomáticas.
1). Una axiomática significativa, que fue la única hasta mediados del siglo pasado.
2). Axiomática semiformal que surgió en el último cuarto del siglo pasado.
3). Axiomática formal (o formalizada), cuya fecha de nacimiento puede considerarse 1904, cuando D. Hilbert publicó su famoso programa sobre los principios básicos de las matemáticas formalizadas.
Cada nueva forma no niega la anterior, sino que es su desarrollo y clarificación, de modo que el nivel de rigor de cada nueva forma sea superior al de la anterior.
La axiomática intensiva se caracteriza por el hecho de que los conceptos iniciales tienen un significado intuitivamente claro incluso antes de que se formulen los axiomas. Así, en los Elementos de Euclides, un punto significa exactamente lo que intuitivamente entendemos por este concepto. En este caso se utiliza el lenguaje ordinario y la lógica intuitiva ordinaria, que se remonta a Aristóteles.
Las teorías axiomáticas semiformales también utilizan lenguaje ordinario y lógica intuitiva. Sin embargo, a diferencia de la axiomática significativa, los conceptos originales no reciben ningún significado intuitivo; se caracterizan únicamente por axiomas. Esto aumenta el rigor, ya que la intuición interfiere hasta cierto punto con el rigor. Además, se adquiere generalidad porque cada teorema probado en dicha teoría será válido en cualquier interpretación. Un ejemplo de teoría axiomática semiformal es la teoría de Hilbert, expuesta en su libro "Fundamentos de la geometría" (1899). Ejemplos de teorías semiformales son también la teoría de los anillos y varias otras teorías presentadas en un curso de álgebra.
Un ejemplo de teoría formalizada es el cálculo proposicional, estudiado en un curso de lógica matemática. A diferencia de la axiomática sustantiva y semiformal, la teoría formalizada utiliza un lenguaje simbólico especial. Es decir, se da el alfabeto de la teoría, es decir, un determinado conjunto de símbolos que desempeñan el mismo papel que las letras en el lenguaje ordinario. Cualquier secuencia finita de caracteres se llama expresión o palabra. Entre las expresiones se distingue una clase de fórmulas y se indica un criterio exacto que permite a cada expresión saber si se trata de una fórmula. Las fórmulas desempeñan el mismo papel que las oraciones en el lenguaje ordinario. Algunas de las fórmulas son axiomas declarados. Además, se especifican reglas de inferencia lógica; Cada una de estas reglas significa que una determinada fórmula se deriva directamente de un determinado conjunto de fórmulas. La prueba del teorema en sí es una cadena finita de fórmulas, en la que la última fórmula es el teorema mismo y cada fórmula es un axioma o un teorema previamente probado, o se deriva directamente de las fórmulas anteriores de la cadena según una de las reglas de inferencia. Por lo tanto, no hay absolutamente ninguna duda sobre el rigor de la evidencia: o una cadena dada es evidencia o no lo es; no hay evidencia dudosa. En este sentido, la axiomática formalizada se utiliza en cuestiones particularmente sutiles de fundamentación de teorías matemáticas, cuando la lógica intuitiva ordinaria puede llevar a conclusiones erróneas, que surgen principalmente debido a las inexactitudes y ambigüedades de nuestro lenguaje habitual.
Dado que en una teoría formalizada se puede decir acerca de cada expresión si es una fórmula, entonces el conjunto de oraciones de una teoría formalizada puede considerarse definido. A este respecto, en principio se puede plantear la cuestión de demostrar la completitud deductiva, así como la coherencia, sin recurrir a la interpretación. Esto se puede lograr en varios casos sencillos. Por ejemplo, la coherencia del cálculo proposicional se demuestra sin interpretación.
En las teorías no formalizadas, muchas proposiciones no están claramente definidas, por lo que no tiene sentido plantear la cuestión de demostrar la coherencia sin recurrir a interpretaciones. Lo mismo se aplica a la cuestión de demostrar la completitud deductiva. Sin embargo, si se encuentra una propuesta de una teoría no formalizada que no puede ser probada ni refutada, entonces la teoría es obviamente deductivamente incompleta.
El método axiomático se utiliza desde hace mucho tiempo no sólo en matemáticas, sino también en física. Los primeros intentos en esta dirección fueron hechos por Aristóteles, pero el método axiomático recibió su aplicación real en física sólo en los trabajos de Newton sobre mecánica.
En relación con el rápido proceso de matematización de las ciencias, también existe un proceso de axiomatización. Actualmente, el método axiomático se utiliza incluso en algunas áreas de la biología, por ejemplo, en la genética.
Sin embargo, las posibilidades del método axiomático no son ilimitadas.
En primer lugar, observamos que incluso en las teorías formalizadas no es posible evitar por completo la intuición. La teoría formalizada en sí misma sin interpretaciones no tiene significado. Por tanto, surgen una serie de preguntas sobre la relación entre una teoría formalizada y su interpretación. Además, como en las teorías formalizadas, surgen dudas sobre la coherencia, independencia y completitud del sistema de axiomas. La totalidad de todas estas cuestiones constituye el contenido de otra teoría, que se llama metateoría de una teoría formalizada. A diferencia de una teoría formalizada, el lenguaje de la metateoría es el lenguaje cotidiano y el razonamiento lógico se lleva a cabo según las reglas de la lógica intuitiva ordinaria. Así, la intuición, completamente expulsada de la teoría formalizada, reaparece en su metateoría.
Pero ésta no es la principal debilidad del método axiomático. Ya hemos mencionado el programa de D. Hilbert, que sentó las bases del método axiomático formalizado. La idea principal de Hilbert era expresar las matemáticas clásicas como una teoría axiomática formalizada y luego demostrar su coherencia. Sin embargo, este programa resultó utópico en sus puntos principales. En 1931, el matemático austriaco K. Gödel demostró sus famosos teoremas, de los que se deducía que los dos problemas principales planteados por Hilbert eran imposibles. Utilizando su método de codificación, logró expresar algunos supuestos verdaderos de la metateoría utilizando fórmulas de aritmética formal y demostrar que estas fórmulas no son deducibles en aritmética formal. Por tanto, la aritmética formalizada resultó ser deductivamente incompleta. De los resultados de Gödel se deduce que si esta fórmula indemostrable se incluye en el número de axiomas, entonces habrá otra fórmula indemostrable que exprese alguna proposición verdadera. Todo esto significó que no sólo todas las matemáticas, sino incluso la aritmética, su parte más simple, no podían formalizarse por completo. En particular, Gödel construyó una fórmula correspondiente a la frase “La aritmética formalizada es consistente” y demostró que esta fórmula tampoco es derivable. Este hecho significa que la coherencia de la aritmética formalizada no puede demostrarse dentro de la aritmética misma. Por supuesto, es posible construir una teoría formalizada más sólida y utilizar sus medios para demostrar la consistencia de la aritmética formalizada, pero entonces surge una pregunta más difícil sobre la consistencia de esta nueva teoría.
Los resultados de Gödel indican las limitaciones del método axiomático. Y, sin embargo, en la teoría del conocimiento no hay absolutamente ninguna base para conclusiones pesimistas de que existen verdades incognoscibles. El hecho de que haya verdades aritméticas que no puedan demostrarse en aritmética formal no significa que haya verdades incognoscibles y no significa que el pensamiento humano sea limitado. Sólo significa que las posibilidades de nuestro pensamiento no se limitan a procedimientos completamente formalizados y que la humanidad aún tiene que descubrir e inventar nuevos principios de prueba.

1.3.Suma de números naturales

Las operaciones de suma y multiplicación de números naturales no están postuladas por el sistema de axiomas de Peano; definiremos estas operaciones.
Definición. La suma de números naturales es una operación algebraica binaria + en el conjunto N, que tiene las siguientes propiedades:
1 chelín. ((a(N)a+0=a;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
Surge la pregunta: ¿existe tal operación y, de ser así, es la única?
Teorema. Sólo hay una suma de números naturales.
Prueba. Una operación algebraica binaria sobre el conjunto N es el mapeo (:N(N®N). Se requiere demostrar que existe un mapeo único (:N(N®N) con propiedades: 1) ((x(N) ( (x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y()). Si para cada número natural x demostramos la existencia de una aplicación fx:N®N con propiedades 1() fx(0 )=x; 2() fx(y()=fx(y()), entonces la función ((x,y), definida por la igualdad ((x ,y) (fx(y), satisfará las condiciones 1) y 2 ).
En el conjunto N, definimos la relación binaria fx mediante las condiciones:
a) 0fxx;
b) si yfxz, entonces y(fxz(.
Asegurémonos de que esta relación sea una aplicación de N a N, es decir, para cada y de N
(((z(N) yfxz (1)
Sea M el conjunto de números naturales y para los cuales se cumple la condición (1). Entonces de la condición a) se sigue que 0(M, y de la condición b) y la propiedad 1 del inciso 1 se sigue que si y(M, entonces y((M. Por lo tanto, basándonos en el axioma 4, concluimos que M = N , y esto significa que la relación fx es un mapeo de N a N. Para este mapeo se cumplen las siguientes condiciones:
1() fx(0)=x - debido a a);
2() fx((y)=fx(y() - en virtud de b).
Por tanto, se prueba la existencia de la suma.
Demostremos la unicidad. Sean + y ( dos operaciones algebraicas binarias cualesquiera en el conjunto N con propiedades 1c y 2c. Necesitamos demostrar que
((x,y(N) x+y=x(y
Fijemos un número arbitrario x y denotemos por S el conjunto de aquellos números naturales y para los cuales la igualdad
x+y=x(y (2)
realizado. Dado que según 1c x+0=x y x(0=x, entonces
A) 0(S)
Sea ahora y(S, es decir, se satisface la igualdad (2). Dado que x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)(y x+y=x(y), entonces por el axioma 2 x+y(=x(y(, es decir, se cumple la condición
B) y(S ® y((S.
Por tanto, según el axioma 4, S=N, lo que completa la demostración del teorema.
Probemos algunas propiedades de la suma.
1. El número 0 es un elemento neutro de la suma, es decir, a+0=0+a=a para todo número natural a.
Prueba. La igualdad a+0=a se deriva de la condición 1c. Demostremos la igualdad 0+a=a.
Denotemos por M el conjunto de todos los números para los que se cumple. Obviamente, 0+0=0 y por lo tanto 0(M. Sea a(M, es decir, 0+a=a. Entonces 0+a(=(0+a)(=a(y, por lo tanto, a((M Esto significa M=N, que es lo que había que demostrar.
A continuación necesitamos un lema.
Lema. a(+b=(a+b)(.
Prueba. Sea M el conjunto de todos los números naturales b para los cuales la igualdad a(+b=(a+b) es cierta para cualquier valor de a. Entonces:
A) 0(M, ya que a(+0=(a+0)(;
B) b(M ® b((M. De hecho, del hecho de que b(M y 2c, tenemos
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b())(,
es decir, b((M. Esto significa M=N, que es lo que había que demostrar.
2. La suma de números naturales es conmutativa.
Prueba. Sea M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a). Basta demostrar que M=N. Tenemos:
A) 0(M - debido a la propiedad 1.
B) a(M ® a((M. Efectivamente, aplicando el lema y el hecho de que a(M, obtenemos:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
Esto significa a((M, y por el axioma 4 M=N.
3. La suma es asociativa.
Prueba. Dejar
METRO=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c))
Se requiere demostrar que M=N. Dado que (a+b)+0=a+b y a+(b+0)=a+b, entonces 0(M. Sea c(M, es decir (a+b)+c=a+(b+c ) . Entonces
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
Esto significa c((M y por el axioma 4 M=N.
4. a+1=a(, donde 1=0(.
Prueba. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Si b(0, entonces ((a(N)a+b(a.
Prueba. Sea M=(a(a(N(a+b(a). Dado que 0+b=b(0, entonces 0(M. Además, si a(M, es decir, a+b(a), entonces por propiedad 2 elemento 1 (a+b)((a(o a(+b(a(. Entonces a((M y M=N.
6. Si b(0, entonces ((a(N)a+b(0.
Prueba. Si a=0, entonces 0+b=b(0, pero si a(0 y a=c(, entonces a+b=c(+b=(c+b)(0. Entonces, en cualquier caso a + b(0.
7. (Ley de la tricotomía de la suma). Para cualquier número natural a y b, una y sólo una de tres relaciones es verdadera:
1) a=b;
2) b=a+u, donde u(0;
3) a=b+v, donde v(0.
Prueba. Fijemos un número arbitrario a y denotemos por M el conjunto de todos los números naturales b para los cuales se cumple al menos una de las relaciones 1), 2), 3). Se requiere demostrar que M=N. Sea b=0. Entonces si a=0, entonces la relación 1 es verdadera), y si a(0, entonces la relación 3 es verdadera), ya que a=0+a. Entonces 0(M.
Supongamos ahora que b(M, es decir, para la a elegida, se cumple una de las relaciones 1), 2), 3). Si a=b, entonces b(=a(=a+1, es decir, para b(la relación 2 se cumple). Si b=a+u, entonces b(=a+u(, es decir, para b( la relación 2). Si a=b+v, entonces son posibles dos casos: v=1 y v(1. Si v=1, entonces a=b+v=b", es decir, para b" las relaciones 1 son satisfecho). Si lo mismo v(1, entonces v=c", donde c(0 y luego a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, donde c(0, eso es para b" la relación 3 se cumple). Entonces, hemos demostrado que b(M®b"(M, y por lo tanto M=N, es decir, para cualquier a y b al menos una de las relaciones 1), 2), 3 se cumple). Asegurémonos de que no se puedan cumplir dos de ellas simultáneamente. En efecto: si se cumplieran las relaciones 1) y 2), entonces tendrían b=b+u, donde u(0, y esto contradice la propiedad 5. La imposibilidad de satisfacibilidad de 1) y 3). Finalmente, si se cumplieran las relaciones 2) y 3), entonces tendríamos a=(a+u)+v = a+ +(u+v), y esto es imposible debido a las propiedades 5 y 6. La propiedad 7 está completamente probada.
Tarea 1.3.1. Sea 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9). Demuestre que 3+5=8, 2+4=6.

1.4. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES.

Definición 1. La multiplicación de números naturales es una operación binaria (en el conjunto N, para la cual se cumplen las siguientes condiciones:
1u. ((x(N)x(0=0;
2u. ((x,y(N) x(y"=x(y+x.
Vuelve a surgir la pregunta: ¿existe tal operación y, si existe, es la única?
Teorema. Sólo existe una operación para multiplicar números naturales.
La prueba se realiza casi de la misma manera que para la suma. Se requiere encontrar un mapeo (:N(N®N) que satisfaga las condiciones
1) ((x(N) ((x,0)=0;
2) ((x,y(N) ((x,y")= ((x,y)+x.
Fijemos el número x arbitrariamente. Si demostramos para cada x(N la existencia de una aplicación fx: N®N con las propiedades
1") fx(0)=0;
2") ((y(N)fx(y")=fx(y)+x,
entonces la función ((x,y), definida por la igualdad ((x,y)=fx(y) y satisfará las condiciones 1) y 2).
Entonces, la demostración del teorema se reduce a demostrar la existencia y unicidad para cada x de la función fx(y) con propiedades 1") y 2"). Establezcamos correspondencia en el conjunto N según la siguiente regla:
a) el número cero es comparable al número 0,
b) si el número y está asociado con el número c, entonces el número y (asocia el número c+x.
Asegurémonos de que con tal comparación, cada número y tenga una imagen única: esto significará que la correspondencia es una aplicación de N en N. Denotemos por M el conjunto de todos los números naturales y que tienen una imagen única. De la condición a) y el axioma 1 se deduce que 0(M. Sea y(M. Luego de la condición b) y el axioma 2 se deduce que y((M. Esto significa M=N, es decir, nuestra correspondencia es una aplicación de N en N ; denotémoslo por fx. Entonces fx(0)=0 debido a la condición a) y fx(y()=fx(y)+x - debido a la condición b).
Así, queda demostrada la existencia de la operación de multiplicación. Ahora sean (y ( dos operaciones binarias cualesquiera en el conjunto N con propiedades 1у y 2у. Queda por demostrar que ((x,y(N) x(y=x(y. Fijemos un número arbitrario x y dejemos que
S=(y?y(N (x(y=x(y)
Dado que en virtud de 1y x(0=0 y x(0=0, entonces 0(S. Sea y(S, es decir, x(y=x(y. Entonces
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
y, por lo tanto, y((S. Esto significa S=N, lo que completa la demostración del teorema.
Notemos algunas propiedades de la multiplicación.
1. El elemento neutro con respecto a la multiplicación es el número 1=0(, es decir ((a(N) a(1=1(a=a.
Prueba. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a. Por lo tanto, se prueba la igualdad a(1=a. Queda por probar la igualdad 1(a=a. Sea M=(a ?a(N (1(a=a). Dado que 1(0=0, entonces 0(M. Sea a(M, es decir, 1(a=a. Entonces 1(a(=1(a+1= a+1= a(, y, por tanto, a((M. Esto significa, por el Axioma 4, M=N, que es lo que había que demostrar.
2. Para la multiplicación, la ley distributiva correcta es válida, es decir
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc.
Prueba. Sea M=(c (c(N (((a,b(N) (a+b)c=ac+bc). Dado que (a+b)0=0 y a(0+b(0=0, entonces 0(M. Si c(M, es decir (a+b)c=ac+bc, entonces (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc + a+b=(ac+a)+(bc+b)=ac(+bc(. Entonces, c((M y M=N.
3. La multiplicación de números naturales es conmutativa, es decir ((a,b(N) ab=ba.
Prueba. Primero demostremos para cualquier b(N la igualdad 0(b=b(0=0. La igualdad b(0=0 se sigue de la condición 1y. Sea M=(b (b(N (0(b=0). Dado que 0( 0=0, entonces 0(M. Si b(M, es decir, 0(b=0, entonces 0(b(=0(b+0=0 y, por lo tanto, b((M. Entonces M =N, es decir, la igualdad 0(b=b(0 ha sido probada para todo b(N. Sea además S=(a (a(N (ab=ba). Dado que 0(b=b(0, entonces 0(S. Sea a (S, es decir, ab=ba. Entonces a(b=(a+1)b=ab+b=ba+b=ba(, es decir, a((S. Esto significa S =N, que es lo que había que demostrar.
4. La multiplicación es distributiva con respecto a la suma. Esta propiedad se deriva de las propiedades 3 y 4.
5. La multiplicación es asociativa, es decir ((a,b,c(N) (ab)c=a(bc).
La prueba se realiza, como en el caso de la suma, por inducción en c.
6. Si a(b=0, entonces a=0 o b=0, es decir, N no tiene divisores de cero.
Prueba. Sean b(0 y b=c(. Si ab=0, entonces ac(=ac+a=0, lo que significa, en virtud de la propiedad 6 de la cláusula 3, que a=0.
Tarea 1.4.1. Sea 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9). Demuestre que 2(4=8, 3(3=9.
Sean n, a1, a2,...,an números naturales. La suma de los números a1, a2,...,an es un número que se denota y está determinado por las condiciones; para cualquier número natural k
El producto de los números a1, a2,...,an es un número natural, que se denota y está determinado por las condiciones: ; para cualquier número natural k
Si, entonces el número se indica con una.
Tarea 1.4.2. Pruebalo
A) ;
b) ;
V);
G);
d) ;
mi);
y) ;
h);
Y) .

1.5. ORDEN DEL SISTEMA DE NUMEROS NATURALES.

La relación “sigue” es antirreflexiva y antisimétrica, pero no transitiva y por tanto no es una relación de orden. Definiremos una relación de orden basada en la suma de números naturales.
Definición 1. un
Definición 2. a(b (((x(N) b=a+x.
Asegurémonos de que la relación. Observemos algunas propiedades de los números naturales asociadas con las relaciones de igualdad y desigualdad.
1.
1.1 a=b (a+c=b+c.
1.2 a=b (ac=bc.
1.3a
1.4a
1.5 a+c=b+c (a=b.
1.6 ac=bc (c(0 (a=b.
1.7a+c
1,8 CA
1.9a
1.10a
Prueba. Las propiedades 1.1 y 1.2 se derivan de la unicidad de las operaciones de suma y multiplicación. si un
2. ((a(N)a
Prueba. Dado que a(=a+1, entonces a
3. El elemento más pequeño de N es 0 y el elemento más pequeño de N\(0) es el número 1.
Prueba. Dado que ((a(N) a=0+a, entonces 0(a, y, por lo tanto, 0 es el elemento más pequeño en N. Además, si x(N\(0), entonces x=y(, y(N , o x=y+1. Se deduce que ((x(N\(0)) 1(x, es decir, 1 es el elemento más pequeño en N\(0).
4. Relación ((a,b(N)((n(N)b(0 (nb > a.
Prueba. Obviamente, para cualquier número natural a existe un número natural n tal que
a Tal número es, por ejemplo, n=a(. Además, si b(N\(0), entonces según la propiedad 3
1(b(2)
De (1) y (2), con base en las propiedades 1.10 y 1.4, obtenemos aa.

1.6. ORDEN COMPLETO DEL SISTEMA DE NÚMEROS NATURALES.

Definición 1. Si cada subconjunto no vacío de un conjunto ordenado (M; asegurémonos de que el orden total sea lineal. Sean a y b dos elementos cualesquiera de un conjunto completamente ordenado (M; Lema . 1) un
Prueba.
1) a((b (b=a(+k, k(N (b=a+k(, k((N\(0) (a
2) a(b (b=a+k, k(N (b(=a+k(, k((N\(0) (a
Teorema 1. El orden natural del conjunto de los números naturales es el orden total.
Prueba. Sea M cualquier conjunto no vacío de números naturales, y S sea el conjunto de sus límites inferiores en N, es decir, S=(x (x(N (((m(M) x(m). De la propiedad 3 de la cláusula 5 se sigue que 0(S. Si la segunda condición del axioma 4 n(S (n((S) también se cumpliera, entonces tendríamos S=N. De hecho, S(N; es decir, si a( M, entonces a((S debido a la desigualdad a
Teorema 2. Cualquier conjunto no vacío de números naturales acotados arriba tiene un elemento mayor.
Prueba. Sea M cualquier conjunto no vacío de números naturales acotado arriba, y S el conjunto de sus límites superiores, es decir, S=(x(x(N (((m(M) m(x). Sea x0 el elemento más pequeño en S. Entonces la desigualdad m(x0 es válida para todos los números m de M, y la desigualdad estricta m
Tarea 1.6.1. Pruebalo
A) ;
b) ;
V).
Problema 1.6.2. Sea ( alguna propiedad de los números naturales y k un número natural arbitrario. Demuestre que
a) cualquier número natural tiene la propiedad (, tan pronto como 0 tiene esta propiedad por cada n (0
b) cualquier número natural mayor o igual a k tiene la propiedad (, tan pronto como k tiene esta propiedad y para cada n (k(n) del supuesto de que n tiene la propiedad (, se sigue que el número n+1 también tiene esta propiedad;
c) cualquier número natural mayor o igual a k tiene la propiedad (, en cuanto k tiene esta propiedad y para cada n (n>k) bajo el supuesto de que todos los números t definidos por la condición k(t

1.7. PRINCIPIO DE INDUCCIÓN.

Utilizando el orden completo del sistema de números naturales, se puede demostrar el siguiente teorema, en el que se basa uno de los métodos de demostración, llamado método de inducción matemática.
Teorema (principio de inducción). Todas las afirmaciones de la secuencia A1, A2, ..., An, ... son verdaderas si se cumplen las siguientes condiciones:
1) la afirmación A1 es verdadera;
2) si las afirmaciones Ak son verdaderas para k
Prueba. Supongamos lo contrario: se cumplen las condiciones 1) y 2), pero el teorema no es verdadero, es decir, el conjunto M=(m(m(N\(0), Am es falso) no está vacío). Según el teorema 1 del inciso 6, hay un elemento más pequeño, que denotamos por n. Dado que según la condición 1) A1 es verdadero y An es falso, entonces 1(n, y por lo tanto 1
En la prueba por inducción se pueden distinguir dos etapas. En la primera etapa, denominada base de inducción, se comprueba la viabilidad de la condición 1). En la segunda etapa, denominada paso de inducción, se demuestra la viabilidad de la condición 2). En este caso, la mayoría de las veces hay casos en los que para probar la verdad de las afirmaciones An no es necesario utilizar la verdad de las afirmaciones Ak para k
Ejemplo. Demuestre la desigualdad Put =Sk. Se requiere demostrar la verdad de los enunciados Ak=(Sk La secuencia de enunciados a que se refiere el Teorema 1 se puede obtener a partir del predicado A(n) definido sobre el conjunto N o sobre su subconjunto Nk=(x (x(N , x(k), donde k es cualquier número natural fijo.
En particular, si k=1, entonces N1=N\(0), y la numeración de enunciados se puede realizar utilizando las igualdades A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A (n), ... Si k(1, entonces la secuencia de enunciados se puede obtener usando las igualdades A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n -1), .. De acuerdo con dicha notación, el Teorema 1 se puede formular de otra forma.
Teorema 2. El predicado A(m) es idénticamente verdadero en el conjunto Nk si se satisfacen las siguientes condiciones:
1) la afirmación A(k) es verdadera;
2) si las afirmaciones A(m) son verdaderas para m
Tarea 1.7.1. Demuestre que las siguientes ecuaciones no tienen soluciones en el dominio de los números naturales:
a)x+y=1;
b) 3x=2;
c)x2=2;
d) 3x+2=4;
e) x2+y2=6;
f) 2x+1=2y.
Tarea 1.7.2. Demuestre usando el principio de inducción matemática:
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
b) ;
V);
G);
d) ;
mi).

1.8. RESTA Y DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES.

Definición 1. La diferencia de los números naturales a y b es un número natural x tal que b+x=a. La diferencia entre los números naturales a y b se denota por a-b, y la operación de encontrar la diferencia se llama resta. La resta no es una operación algebraica. Esto se desprende del siguiente teorema.
Teorema 1. La diferencia a-b existe si y solo si b(a. Si la diferencia existe, entonces solo hay una.
Prueba. Si b(a, entonces por definición de la relación (existe un número natural x tal que b+x=a. Pero esto también significa que x=a-b. Por el contrario, si la diferencia a-b existe, entonces por definición 1 hay un número natural x, que b+x=a. Pero esto también significa que b(a.
Demostremos la unicidad de la diferencia a-b. Sean a-b=x y a-b=y. Entonces, de acuerdo con la Definición 1 b+x=a, b+y=a. Por lo tanto b+x=b+y y, por lo tanto, x=y.
Definición 2. El cociente de dos números naturales a y b(0) es un número natural c tal que a=bc. La operación para encontrar un cociente se llama división. La cuestión de la existencia de un cociente se resuelve en la teoría de divisibilidad.
Teorema 2. Si existe un cociente, entonces solo hay uno.
Prueba. Sean =x y =y. Entonces, según la Definición 2 a=bx y a=by. Por lo tanto bx=by y por lo tanto x=y.
Tenga en cuenta que las operaciones de resta y división se definen casi palabra por palabra de la misma manera que en los libros de texto escolares. Esto significa que en los párrafos 1 a 7, sobre la base de los axiomas de Peano, se establece una base teórica sólida para la aritmética de los números naturales y su presentación adicional se lleva a cabo de manera consistente en el curso de matemáticas de la escuela y en el curso universitario "Álgebra y teoría de números". .
Tarea 1.8.1. Demuestre la validez de las siguientes afirmaciones, suponiendo que existen todas las diferencias que aparecen en sus formulaciones:
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b)(c=a(c-b(c;
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
j) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
l) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
n) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
Problema 1.8.2. Demuestre la validez de las siguientes afirmaciones, suponiendo que existen todos los cocientes que aparecen en sus formulaciones.
A) ; b) ; V); G); d) ; mi); y) ; h); Y) ; A) ; l); metro); norte); O); PAG) ; R).
Problema 1.8.3. Demuestre que las siguientes ecuaciones no pueden tener dos soluciones naturales diferentes: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x=ax2 + b(a,b(N).
Problema 1.8.4. Resuelve las siguientes ecuaciones en números naturales:
a) x2+(x+1)2=(x+2)2; b) x+y=x(y; c); d) x2+2y2=12; e) x2-y2=3; e) x+y+z=x(y(z.
Problema 1.8.5. Demuestre que las siguientes ecuaciones no tienen soluciones en el campo de los números naturales: a) x2-y2=14; b) x-y=xy; V); G); mi) x2=2x+1; e)x2=2y2.
Problema 1.8.6. Resuelve las siguientes desigualdades en números naturales: a) ; b) ; V); d) x+y2 Problema 1.8.7. Demuestre que en el campo de los números naturales son válidas las siguientes relaciones: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2+c2 1.9 .SIGNIFICADO CUANTITATIVO DE LOS NÚMEROS NATURALES.
En la práctica, los números naturales se utilizan principalmente para contar elementos, y para ello es necesario establecer el significado cuantitativo de los números naturales en la teoría de Peano.
Definición 1. El conjunto (x (x(N, 1(x(n))) se llama segmento de la serie natural y se denota por (1;n(.
Definición 2. Un conjunto finito es cualquier conjunto que sea igual a un determinado segmento de la serie natural, así como un conjunto vacío. Un conjunto que no es finito se llama infinito.
Teorema 1. Un conjunto finito A no es equivalente a ninguno de sus propios subconjuntos (es decir, un subconjunto diferente de A).
Prueba. Si A=(, entonces el teorema es verdadero, ya que el conjunto vacío no tiene subconjuntos propios. Sean A((y A igualmente poderosos (1,n((A((1,n()). Probaremos el teorema por inducción en n. Si n= 1, es decir, A((1,1(, entonces el único subconjunto propio del conjunto A es el conjunto vacío. Está claro que A(y, por lo tanto, para n=1 el El teorema es verdadero. Supongamos que el teorema es verdadero para n=m, es decir, todos los conjuntos finitos equivalentes al segmento (1,m() no tienen subconjuntos propios equivalentes. Sea A cualquier conjunto igual al segmento (1,m). +1(y (:(1,m+1(®A - algún mapa biyectivo del segmento (1,m+1(en A. Si ((k) se denota por ak, k=1,2,.. .,m+1, entonces el conjunto A se puede escribir como A=(a1, a2, ... , am, am+1). Nuestra tarea es demostrar que A no tiene subconjuntos propios equivalentes. Supongamos lo contrario; sea ​​B(A, B(A, B(A y f: A®B un mapa biyectivo. Podemos elegir mapas biyectivos como este (y f tales que am+1(B y f(am+1)=am+ 1.
Considere los conjuntos A1=A\(am+1) y B1=B\(am+1). Dado que f(am+1)=am+1, la función f realizará un mapeo biyectivo del conjunto A1 sobre el conjunto B1. Así, el conjunto A1 será igual a su propio subconjunto B1. Pero dado que A1((1,m(, esto contradice el supuesto de inducción.
Corolario 1. El conjunto de los números naturales es infinito.
Prueba. De los axiomas de Peano se deduce que la aplicación S:N®N\(0), S(x)=x( es biyectiva. Esto significa que N es igual a su propio subconjunto N\(0) y, en virtud del teorema 1, no es finito.
Corolario 2. Todo conjunto finito A no vacío equivale a uno y sólo un segmento de la serie natural.
Prueba. Sean A((1,m(y A((1,n(. Entonces (1,m(((1,n(, de lo cual, por el Teorema 1, se deduce que m=n. De hecho, si asumimos que metro
El corolario 2 nos permite introducir una definición.
Definición 3. Si A((1,n(, entonces el número natural n se denomina número de elementos del conjunto A, y el proceso de establecer una correspondencia uno a uno entre los conjuntos A y (1,n( Se llama recuento de los elementos del conjunto A. Es natural considerar el número de elementos del conjunto vacío como cero.
No hace falta hablar de la enorme importancia que tiene contar en la vida práctica.
Tenga en cuenta que, conociendo el significado cuantitativo de un número natural, sería posible definir la operación de multiplicación mediante la suma, a saber:
.
Deliberadamente no tomamos este camino para mostrar que la aritmética en sí misma no necesita un sentido cuantitativo: el sentido cuantitativo de un número natural sólo se necesita en aplicaciones de la aritmética.

1.10. SISTEMA DE NÚMEROS NATURALES COMO CONJUNTO DISCRITO COMPLETAMENTE ORDENADO.

Hemos demostrado que el conjunto de números naturales está completamente ordenado con respecto al orden natural. Además, ((a(N) a
1. para cualquier número a(N hay uno vecino que lo sigue en la relación 2. para cualquier número a(N\(0) hay uno vecino que lo precede en la relación Un conjunto completamente ordenado (A;() con las propiedades 1 y 2 lo llamaremos conjunto discreto completamente ordenado. Resulta que el ordenamiento completo con las propiedades 1 y 2 es una propiedad característica del sistema de números naturales. En efecto, sea A=(A;() cualquier conjunto completamente ordenado con las propiedades 1 y 2. Definamos en el conjunto A la relación "sigue" de la siguiente manera: a(=b, si b es un elemento vecino que sigue a a en la relación (. Está claro que el elemento más pequeño del conjunto A no sigue ningún elemento y, por tanto, se cumple el axioma 1 de Peano.
Dado que la relación (es un orden lineal, entonces para cualquier elemento a hay un elemento único que lo sigue y como máximo un elemento vecino que lo precede. Esto implica la validez de los axiomas 2 y 3. Ahora sea M cualquier subconjunto del conjunto A para que se cumplen las siguientes condiciones:
1) a0(M, donde a0 es el elemento más pequeño de A;
2) a(M (a((M.
Demostremos que M=N. Supongamos lo contrario, es decir, A\M((. Denotemos por b el elemento más pequeño en A\M. Dado que a0(M, entonces b(a0 y, por lo tanto, existe un elemento c tal que c( = b. Desde c
Entonces, hemos demostrado la posibilidad de otra definición del sistema de números naturales.
Definición. Un sistema de números naturales es cualquier conjunto bien ordenado que cumple las siguientes condiciones:
1. para cualquier elemento hay un elemento adyacente que lo sigue;
2. para cualquier elemento que no sea el más pequeño, hay un elemento adyacente que lo precede.
Existen otros enfoques para definir el sistema de números naturales, en los que no nos detendremos aquí.

2. ENTEROS Y NÚMEROS RACIONALES.

2.1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DEL SISTEMA DE ENTEROS.
Se sabe que el conjunto de los números enteros en su comprensión intuitiva es un anillo con respecto a la suma y la multiplicación, y este anillo contiene todos los números naturales. También está claro que no existe un subanillo adecuado en el anillo de los números enteros que contenga todos los números naturales. Resulta que estas propiedades pueden usarse como base para una definición estricta del sistema de números enteros. En los puntos 2.2 y 2.3 se demostrará la exactitud de esta definición.
Definiciones 1. Un sistema de números enteros es un sistema algebraico para el cual se cumplen las siguientes condiciones:
1. El sistema algebraico es un anillo;
2. El conjunto de números naturales está contenido en, y la suma y multiplicación en un anillo en un subconjunto coinciden con la suma y multiplicación de números naturales, es decir
3. (condición de mínima). Z es un conjunto mínimo de inclusión con las propiedades 1 y 2. En otras palabras, si un subanillo de un anillo contiene todos los números naturales, entonces Z0=Z.
A la definición 1 se le puede dar un carácter axiomático ampliado. Los conceptos iniciales en esta teoría axiomática serán:
1) El conjunto Z, cuyos elementos se denominan números enteros.
2) Un número entero especial llamado cero y denotado por 0.
3) Relaciones ternarias + y (.
Como es habitual, N denota el conjunto de números naturales con suma (y multiplicación (). De acuerdo con la Definición 1, un sistema de números enteros es un sistema algebraico (Z; +, (, N) para el cual se cumplen los siguientes axiomas:
1. (Axiomas del anillo).
1.1.
Este axioma significa que + es una operación algebraica binaria en el conjunto Z.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c).
1.3. ((a,b(Z) a+b=b+a.
1.4. ((a(Z) a+0=a, es decir, el número 0 es un elemento neutro con respecto a la suma.
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0, es decir, para cada número entero hay un número opuesto a(.
1.6. ((a,b(Z)((! d(Z) a(b=d.
Este axioma significa que la multiplicación es una operación algebraica binaria en el conjunto Z.
1.7. ((a,b,c(Z) (a(b)(c=a((b(c).
1.8. ((a,b,c(Z) (a+b)(c=a(c+b(c, c((a+b)=c(a+c(b.
2. (Axiomas que relacionan el anillo Z con el sistema de números naturales.)
2.1. NUEVA ZELANDA.
2.2. ((a,b(N) a+b=a(b.
2.3. ((a,b(N) a(b=a(b.
3. (Axioma de minimalidad).
Si Z0 es un subanillo del anillo Z y N(Z0, entonces Z0=Z.
Observemos algunas propiedades del sistema de números enteros.
1. Cada número entero se puede representar como la diferencia de dos números naturales. Esta representación es ambigua, con z=a-b y z=c-d, donde a,b,c,d(N, si y sólo si a+d=b+c.
Prueba. Denotemos por Z0 el conjunto de todos los números enteros, cada uno de los cuales puede representarse como la diferencia de dos números naturales. Obviamente, ((a(N) a=a-0, y por tanto N(Z0.
A continuación, sea x,y(Z0, es decir, x=a-b, y=c-d, donde a,b,c,d(N. Entonces x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--( b +c)=(a(d)-(b(c), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d)- ( a(d(b(c). De aquí queda claro que x-y, x(y(Z0 y, por lo tanto, Z0 es un subanillo del anillo Z que contiene el conjunto N. Pero entonces, según el axioma 3, Z0=Z y así se demuestra la primera parte de la propiedad 1. El segundo enunciado de esta propiedad es obvio.
2. El anillo de los números enteros es un anillo conmutativo con unidad, y el cero de este anillo es el número natural 0, y la unidad de este anillo es el número natural 1.
Prueba. Sea x,y(Z. Según la propiedad 1 x=a-b, y=c-d, donde a,b,c,d(N. Entonces x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)-( ad +bc)=(a(c(b(d)-(a(d(b(c), y(x=(c-d)(a-b)=(ca+db)-(da+cb)=(c ( a(d(b)-(d(a(c(b). Por lo tanto, debido a la conmutatividad de la multiplicación de números naturales, concluimos que xy=yx. La conmutatividad de la multiplicación en el anillo Z ha sido probada. La Los enunciados restantes de la Propiedad 2 se derivan de las siguientes igualdades obvias, en las que 0 y 1 denotan los números naturales cero y uno: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+0=(a+0) +(-b)=(a(0)+ (-b)=a-b=x. x(1=(a-b)(1=a(1-b(1=a(1-b(1=a-b=x .

2.2. EXISTENCIA DE UN SISTEMA DE NÚMEROS ENTEROS.

El sistema de números enteros se define en 2.1 como el anillo de inclusión mínimo que contiene todos los números naturales. Surge la pregunta: ¿existe tal anillo? En otras palabras, ¿es consistente el sistema de axiomas de 2.1? Para demostrar la coherencia de este sistema de axiomas, es necesario construir su interpretación en una teoría obviamente consistente. Esta teoría puede considerarse la aritmética de los números naturales.
Entonces, comencemos a construir una interpretación del sistema de axiomas 2.1. Consideraremos que el conjunto es el inicial. En este conjunto definimos dos operaciones binarias y una relación binaria. Dado que la suma y multiplicación de pares se reduce a la suma y multiplicación de números naturales, entonces, como ocurre con los números naturales, la suma y multiplicación de pares son conmutativas, asociativas y la multiplicación es distributiva con respecto a la suma. Comprobemos, por ejemplo, la conmutatividad de la suma de pares: +===+.
Consideremos las propiedades de la relación ~. Dado que a+b=b+a, entonces ~, es decir, la relación ~ es reflexiva. Si ~, es decir, a+b1=b+a1, entonces a1+b=b1+a, es decir, ~. Esto significa que la relación es simétrica. Dejemos más ~ y ~. Entonces las igualdades a+b1=b+a1 y a1+b2=b1+a2 son verdaderas. Sumando estas igualdades, obtenemos a+b2=b+a2, es decir ~. Esto significa que la relación ~ también es transitiva y, por tanto, una equivalencia. La clase de equivalencia que contiene un par se indicará por. Así, una clase de equivalencia puede denotarse por cualquiera de sus pares y al mismo tiempo
(1)
Denotamos el conjunto de todas las clases de equivalencia por. Nuestra tarea es mostrar que este conjunto, con la definición adecuada de las operaciones de suma y multiplicación, será una interpretación del sistema de axiomas de 2.1. Definimos operaciones sobre un conjunto por las igualdades:
(2)
(3)
Si y, es decir, en el conjunto N las igualdades a+b(=b+a(, c+d(=a+c() son verdaderas, entonces la igualdad (a+c)+(b(+d( )=(b +d)+(a(+c()), de donde, en virtud de (1), obtenemos que. Esto significa que la igualdad (2) define una operación de suma única en un conjunto, independiente de la La elección de los pares que denotan las clases que se están sumando se verifica de manera similar y la unicidad de la multiplicación de clases. Así, las igualdades (2) y (3) definen operaciones algebraicas binarias en el conjunto.
Dado que la suma y multiplicación de clases se reduce a la suma y multiplicación de pares, estas operaciones son conmutativas, asociativas y la multiplicación de clases es distributiva con respecto a la suma. De las igualdades concluimos que la clase es un elemento neutral respecto de la suma y para cada clase existe una clase opuesta a ella. Esto significa que el conjunto es un anillo, es decir, se satisfacen los axiomas del grupo 1 del 2.1.
Considere un subconjunto de un anillo. Si a(b, entonces por (1) , y si a
En el conjunto definimos la relación binaria (sigue (; es decir, una clase es seguida por una clase, donde x(es un número natural que sigue a x. La clase que sigue naturalmente se denota por (. Está claro que una clase no sigue a a cualquier clase y a cada clase le sigue una clase y, además, sólo una. Esto último significa que la relación (sigue (es una operación algebraica unaria sobre el conjunto N.
Consideremos el mapeo. Obviamente, este mapeo es biyectivo y las condiciones f(0)= , f(x()==(=f(x()). Esto significa que el mapeo f es un isomorfismo del álgebra (N;0,() sobre el álgebra (;, (). En otras palabras, el álgebra (;,() es una interpretación del sistema de axiomas de Peano. Al identificar estas álgebras isomórficas, es decir, al asumir que el conjunto N en sí es un subconjunto del anillo. Esta misma identificación en igualdades obvias conduce a las igualdades a(c =a+c, a(c=ac, lo que significa que la suma y multiplicación en un anillo en un subconjunto N coinciden con la suma y multiplicación de números naturales. Así, Se ha establecido la satisfacibilidad de los axiomas del grupo 2. Queda por comprobar la satisfacibilidad del axioma de minimalidad.
Sea Z0 cualquier subanillo del anillo que contiene el conjunto N y. Tenga en cuenta que y, por lo tanto, . Pero como Z0 es un anillo, la diferencia de estas clases también pertenece al anillo Z0. De las igualdades -= (= concluimos que (Z0 y, por tanto, Z0=. Se ha demostrado la coherencia del sistema de axiomas del inciso 2.1.

2.3. UNICIDAD DEL SISTEMA DE NÚMEROS ENTEROS.

Sólo existe un sistema de números enteros tal como se entienden intuitivamente. Esto significa que el sistema de axiomas que define los números enteros debe ser categórico, es decir, dos interpretaciones cualesquiera de este sistema de axiomas deben ser isomorfas. Categórico significa que, hasta el isomorfismo, sólo existe un sistema de números enteros. Asegurémonos de que este sea realmente el caso.
Sean (Z1;+,(,N) y (Z2;(,(,N)) dos interpretaciones cualesquiera del sistema de axiomas de la cláusula 2.1. Es suficiente probar la existencia de dicha aplicación biyectiva f:Z1®Z2 para los cuales los números naturales permanecen fijos y excepto. Además, para cualquier elemento xey del anillo Z1 se cumplen las siguientes igualdades:
(1)
. (2)
Tenga en cuenta que dado que N(Z1 y N(Z2), entonces
, a(b=a(b. (3)
Sean x(Z1 y x=a-b, donde a,b(N. Asociemos a este elemento x=a-b el elemento u=a(b, donde (resta en el anillo Z2. Si a-b=c-d, entonces a+d =b+c, ​​de donde, en virtud de (3), a(d=b(c y, por tanto, a(b=c(d. Esto significa que nuestra correspondencia no depende del representante del elemento x en el forma de la diferencia de dos números naturales y así se determina la aplicación f: Z1®Z2, f(a-b)=a(b. Está claro que si v(Z2 y v=c(d, entonces v=f(c-d ) Esto significa que cada elemento de Z2 es una imagen bajo el mapeo f y, por lo tanto, el mapeo f es sobreyectivo.
Si x=a-b, y=c-d, donde a,b,c,d(N y f(x)=f(y), entonces a(b=c(d. Pero entonces a(d=b(d, en fuerza (3) a+d=b+c, ​​es decir, a-b=c-d Hemos demostrado que la igualdad f(x)=f(y) implica la igualdad x=y, es decir, el mapeo f es inyectivo .
Si a(N, entonces a=a-0 y f(a)=f(a-0)=a(0=a. Esto significa que los números naturales están fijos bajo el mapeo f. Además, si x=a-b, y=c-d, donde a,b,c,d(N, entonces x+y=(a+c)- y f(x+y) = (a+c)((b+d)=(a(c )((b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y). La validez de la igualdad (1) está probada. Comprobemos la igualdad (2). Dado que f( xy)=(ac+bd )((ad+bc)=(a(c(b(d)(a(d(b(c), y por otro lado f(x)(f(y)=( a(b)((c (d)=(a(c(b(d)((a(d(b(c). Esto significa f(xy)=f(x)(f(y), que completa la prueba de la categoricalidad del sistema de axiomas p.2.1.

2.4. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DEL SISTEMA DE NÚMEROS RACIONALES.

El conjunto Q de números racionales en su comprensión intuitiva es un campo para el cual el conjunto Z de números enteros es un subanillo. Es obvio que si Q0 es un subcampo del campo Q que contiene todos los números enteros, entonces Q0=Q. Usaremos estas propiedades como base para una definición estricta del sistema de números racionales.
Definición 1. Un sistema de números racionales es un sistema algebraico (Q;+,(;Z) para el cual se satisfacen las siguientes condiciones:
1. sistema algebraico (Q;+,() es un campo;
2. el anillo Z de números enteros es un subanillo del campo Q;
3. (condición de mínima) si un subcampo Q0 de un campo Q contiene un subanillo Z, entonces Q0=Q.
En resumen, el sistema de números racionales es un campo de inclusión mínimo que contiene un subanillo de números enteros. Es posible dar una definición axiomática más detallada del sistema de números racionales.
Teorema. Todo número racional x se puede representar como el cociente de dos números enteros, es decir
, donde a,b(Z, b(0. (1)
Esta representación es ambigua y donde a,b,c,d(Z, b(0, d(0.
Prueba. Denotemos por Q0 el conjunto de todos los números racionales representables en la forma (1). Basta con asegurarse de que Q0=Q. Sea, donde a,b,c,d(Z, b(0, d(0. Entonces por las propiedades del campo tenemos: , y para c(0. Esto significa que Q0 está cerrado bajo resta y división por números no igual a cero y, por lo tanto, es un subcampo del campo Q. Dado que cualquier número entero a es representable en la forma, entonces Z(Q0. De aquí, debido a la condición de minimalidad, se deduce que Q0=Q. La prueba de La segunda parte del teorema es obvia.

2.5. EXISTENCIA DE UN SISTEMA DE NÚMEROS RACIONALES.

El sistema de números racionales se define como un campo mínimo que contiene un subanillo de números enteros. Naturalmente surge la pregunta: ¿existe tal campo, es decir, es consistente el sistema de axiomas que define los números racionales? Para demostrar coherencia, es necesario construir una interpretación de este sistema de axiomas. En este caso, se puede confiar en la existencia de un sistema de números enteros. Al construir una interpretación, consideraremos el conjunto Z(Z\(0) como punto de partida. Sobre este conjunto definimos dos operaciones algebraicas binarias
, (1)
(2)
y relación binaria
(3)
La conveniencia de precisamente esta definición de operaciones y relaciones se deriva del hecho de que en la interpretación que estamos construyendo, el par expresará lo particular.
Es fácil comprobar que las operaciones (1) y (2) son conmutativas, asociativas y que la multiplicación es distributiva con respecto a la suma. Todas estas propiedades se comparan con las propiedades correspondientes de la suma y multiplicación de números enteros. Comprobemos, por ejemplo, la asociatividad de pares multiplicadores: .
De manera similar, se verifica que la relación ~ es una equivalencia y, por lo tanto, el conjunto Z(Z\(0) se divide en clases de equivalencia. Denotamos el conjunto de todas las clases por, y la clase que contiene un par por. Así , una clase puede denotarse por cualquiera de sus pares y en virtud de la condición (3), obtenemos:
. (4)
Nuestra tarea es definir la operación de suma y multiplicación en un conjunto para que sea un campo. Definimos estas operaciones por igualdades:
, (5)
(6)
Si, es decir, ab1=ba1 y, es decir, cd1=dc1, entonces multiplicando estas igualdades, obtenemos (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), lo que significa que Esto nos convence de que la igualdad (6 ) efectivamente define una operación única en un conjunto de clases, independientemente de la elección de representantes en cada clase. Del mismo modo se comprueba la unicidad de la operación (5).
Dado que la suma y multiplicación de clases se reduce a la suma y multiplicación de pares, las operaciones (5) y (6) son conmutativas, asociativas y la multiplicación es distributiva con respecto a la suma.
De las igualdades concluimos que la clase son elementos neutrales con respecto a la suma y para cada clase hay un elemento opuesto a ella. De manera similar, de las igualdades se deduce que una clase es un elemento neutro respecto de la multiplicación y para cada clase existe una clase inversa. Esto significa que es un campo con respecto a las operaciones (5) y (6); se cumple la primera condición de la definición de la cláusula 2.4.
Consideremos ahora el conjunto. Obviamente, . El conjunto es cerrado en resta y multiplicación y, por tanto, es un subanillo del campo. En realidad, . Consideremos a continuación el mapeo. La sobrejetividad de este mapeo es obvia. Si f(x)=f(y), es decir, entonces x(1=y(1 o x=y. Por lo tanto, el mapeo f también es inyectivo. Además,. Por lo tanto, el mapeo f es un isomorfismo de un anillo en un anillo. Al identificar que son anillos isomórficos, podemos suponer que el anillo Z es un subanillo del campo, es decir, se cumple la condición 2 en la definición del inciso 2.4. Queda por demostrar la minimidad del campo. Sea cualquier subcampo del campo y, y let. Desde, a, entonces. Pero desde - campo, entonces el cociente de estos elementos también pertenece al campo. Por lo tanto, se demuestra que si , entonces, eso es. La existencia de un sistema de los números racionales está demostrada.

2.6. SINGULARIDAD DEL SISTEMA DE NÚMEROS RACIONALES.

Dado que en su comprensión intuitiva sólo existe un sistema de números racionales, la teoría axiomática de los números racionales que se presenta aquí debe ser categórica. Categórico significa que, hasta el isomorfismo, sólo existe un sistema de números racionales. Demostremos que este es efectivamente el caso.
Sean (Q1;+, (; Z) y (Q2; (, (; Z)) dos sistemas cualesquiera de números racionales. Es suficiente demostrar la existencia de una aplicación biyectiva bajo la cual todos los números enteros permanecen fijos y, además , se cumplen las condiciones
(1)
(2)
para cualquier elemento x e y del campo Q1.
El cociente de los elementos a y b en el campo Q1 se denotará por, y en el campo Q2 por a:b. Dado que Z es un subanillo de cada uno de los campos Q1 y Q2, entonces para cualquier número entero a y b las igualdades son verdaderas
, . (3)
Dejar y, donde, . Asociemos a este elemento x el elemento y=a:b del campo Q2. Si la igualdad es verdadera en el campo Q1, donde, entonces por el teorema 2.4 en el anillo Z se cumple la igualdad ab1=ba1, o en virtud de (3) se cumple la igualdad, y luego por el mismo teorema se cumple la igualdad a:b= a1:b1 se mantiene en el campo Q2 . Esto significa que al asociar el elemento y=a:b del campo Q2 con un elemento del campo Q1, definimos un mapeo, .
Cualquier elemento del campo Q2 se puede representar como a:b, donde y, por tanto, es la imagen de un elemento del campo Q1. Esto significa que el mapeo f es sobreyectivo.
Si, entonces en el campo Q1 y luego. Por tanto, la aplicación f es biyectiva y todos los números enteros permanecen fijos. Queda por demostrar la validez de las igualdades (1) y (2). Sea y, donde a,b,c,d(Z, b(0, d(0. Entonces y, de donde, en virtud de (3) f(x+y)=f(x)(f(y). Del mismo modo y dónde.
Se ha demostrado el isomorfismo de las interpretaciones (Q1;+, (; Z) y (Q2; (, (; Z)).

RESPUESTAS, INSTRUCCIONES, SOLUCIONES.

1.1.1. Solución. Sea verdadera la condición del axioma 4 (una propiedad de los números naturales tal que ((0) y. Sea. Entonces M satisface la premisa del axioma 4, ya que ((0)(0(M y. Por lo tanto, M=N, es decir, cualquier número natural tiene la propiedad (. A la inversa. Supongamos que para cualquier propiedad (del hecho de que ((0) y, se sigue. Sea M un subconjunto de N tal que 0(M y. Demostremos que M = N. Introduzcamos la propiedad (, suponiendo. Entonces ((0), desde, y. Por lo tanto, M=N.
1.1.2. Respuesta: Las afirmaciones del primer y cuarto axioma de Peano son verdaderas. La afirmación del segundo axioma es falsa.
1.1.3. Respuesta: los enunciados 2,3,4 de los axiomas de Peano son verdaderos. El enunciado del primer axioma es falso.
1.1.4. Los enunciados 1, 2, 3 de los axiomas de Peano son verdaderos. La afirmación del cuarto axioma es falsa. Dirección: demostrar que el conjunto satisface la premisa del axioma 4, formulado en términos de la operación pero.
1.1.5. Sugerencia: para probar la verdad del enunciado del Axioma 4, considere un subconjunto M de A que satisface las condiciones: a) 1((M, b) , y el conjunto. Demuéstrelo. Entonces M=A.
1.1.6. Las afirmaciones de los axiomas de Peano primero, segundo y tercero son verdaderas. La afirmación del cuarto axioma de Peano es falsa.
1.6.1. a) Solución: Primero demuestre que si es la 1 de la madrugada. Atrás. vamos
1.6.2. a) Solución: Supongamos lo contrario. Sea M el conjunto de todos los números que no tienen la propiedad (. Por supuesto, M((. Por el teorema 1, M tiene el elemento más pequeño n(0. Cualquier número x
1.8.1. f) Utilice los ítems e) y c): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, por lo tanto, (a-b)-(c-b)=a-c.
h) Utilizar el inmueble.
k) Utilizar el inciso b).
l) Utilice los puntos b) y h).
1.8.2. c) Tenemos, por tanto, . Entonces, .
d) Tenemos. Por eso, .
y) .
1.8.3. a) Si (y (son soluciones diferentes de la ecuación ax2+bx=c, entonces a(2+b(=a(2+b(). Por otro lado, si, por ejemplo, (b) Sea (y ( ser diferentes soluciones de la ecuación. Si ((. Sin embargo (2=a(+b>a(, por lo tanto, (>a. Tenemos una contradicción.
c) Sean (y ( diferentes raíces de la ecuación y (>(. Entonces 2((-()=(a(2+b)-(a(2+b)=a((-())(( (+( ) Entonces a((+()=2, pero (+(>2, por lo tanto a((+()>2, lo cual es imposible.
1.8.4. a)x=3; b)x=y=2. Pista: desde y, tenemos x=y; c) x=y(y+2), y - cualquier número natural; d)x=y=2; mi) x=2, y=1; f) Hasta permutaciones x=1, y=2, z=3. Solución: Sea, por ejemplo, x(y(z. Entonces xyz=x+y+z(3z, es decir, xy(3. Si xy=1, entonces x=y=1 y z=2+z, lo cual es imposible. Si xy=2, entonces x=1, y=2. En este caso, 2z=3+z, es decir, z=3. Si xy=3, entonces x=1, y=3. Entonces 3z= 4+z, es decir, z=2, lo que contradice el supuesto y(z.
1.8.5. b) Si x=a, y=b es una solución de la ecuación, entonces ab+b=a, es decir a>ab, lo cual es imposible. d) Si x=a, y=b es una solución de la ecuación, entonces b
1.8.6. a) x=ky, donde k,y son números naturales arbitrarios y y(1. b) x es un número natural arbitrario, y=1. c) x es un número natural arbitrario, y=1. d) No hay solución. mi) x1=1; x2=2; x3=3. e)x>5.
1.8.7. a) Si a=b, entonces 2ab=a2+b2. Sea, por ejemplo, un

LITERATURA

1. Redkov M.I. Sistemas numéricos. /Recomendaciones metodológicas para el estudio de la asignatura "Sistemas numéricos". Parte 1.- Omsk: Instituto Pedagógico Estatal de Omsk, 1984.- 46 p.
2. Ershova T.I. Sistemas numéricos. /Desarrollo metodológico para clases prácticas.- Sverdlovsk: SGPI, 1981. - 68 p.