Aplicación práctica de la dependencia proporcional directa e inversa. Elaboración de un sistema de ecuaciones.

La proporcionalidad es una relación entre dos cantidades, en la que un cambio en una de ellas implica un cambio en la otra en la misma cantidad.

La proporcionalidad puede ser directa o inversa. En esta lección veremos cada uno de ellos.

Contenido de la lección

Proporcionalidad directa

Supongamos que el coche se mueve a una velocidad de 50 km/h. Recordemos que la velocidad es la distancia recorrida por unidad de tiempo (1 hora, 1 minuto o 1 segundo). En nuestro ejemplo, el coche circula a una velocidad de 50 km/h, es decir, en una hora recorrerá una distancia de cincuenta kilómetros.

Representemos en la figura la distancia recorrida por el automóvil en 1 hora.

Deje que el coche circule durante una hora más a la misma velocidad de cincuenta kilómetros por hora. Entonces resulta que el coche recorrerá 100 km.

Como puede verse en el ejemplo, duplicar el tiempo provocó un aumento de la distancia recorrida en la misma cantidad, es decir, el doble.

Magnitudes como el tiempo y la distancia se llaman directamente proporcionales. Y la relación entre tales cantidades se llama proporcionalidad directa.

La proporcionalidad directa es la relación entre dos cantidades en la que un aumento de una de ellas conlleva un aumento de la otra en la misma cantidad.

y viceversa, si una cantidad disminuye un cierto número de veces, la otra disminuye la misma cantidad de veces.

Supongamos que el plan original era conducir un coche 100 km en 2 horas, pero después de recorrer 50 km, el conductor decidió descansar. Entonces resulta que al reducir la distancia a la mitad, el tiempo disminuirá en la misma cantidad. En otras palabras, reducir la distancia recorrida conducirá a una disminución del tiempo en la misma cantidad.

Una característica interesante de las cantidades directamente proporcionales es que su relación es siempre constante. Es decir, cuando cambian los valores de cantidades directamente proporcionales, su relación permanece sin cambios.

En el ejemplo considerado, la distancia era inicialmente de 50 km y el tiempo de una hora. La relación entre la distancia y el tiempo es el número 50.

Pero aumentamos el tiempo de viaje 2 veces, haciéndolo igual a dos horas. Como resultado, la distancia recorrida aumentó en la misma cantidad, es decir, llegó a ser igual a 100 km. La relación entre cien kilómetros y dos horas vuelve a ser 50

El numero 50 se llama coeficiente de proporcionalidad directa. Muestra cuánta distancia hay por hora de movimiento. En este caso, el coeficiente desempeña el papel de la velocidad de movimiento, ya que la velocidad es la relación entre la distancia recorrida y el tiempo.

Se pueden hacer proporciones a partir de cantidades directamente proporcionales. Por ejemplo, las razones forman la proporción:

Cincuenta kilómetros equivalen a una hora, como cien kilómetros equivalen a dos horas.

Ejemplo 2. El costo y la cantidad de bienes comprados son directamente proporcionales. Si 1 kg de dulces cuesta 30 rublos, entonces 2 kg de los mismos dulces costarán 60 rublos, 3 kg 90 rublos. A medida que aumenta el costo de un producto comprado, su cantidad aumenta en la misma cantidad.

Dado que el costo de un producto y su cantidad son cantidades directamente proporcionales, su relación es siempre constante.

Anotemos cuál es la proporción de treinta rublos por kilogramo.

Ahora anotemos cuál es la proporción de sesenta rublos por dos kilogramos. Esta relación volverá a ser igual a treinta:

Aquí el coeficiente de proporcionalidad directa es el número 30. Este coeficiente muestra cuántos rublos hay por kilogramo de dulces. En este ejemplo, el coeficiente desempeña el papel del precio de un kilogramo de bienes, ya que el precio es la relación entre el costo de los bienes y su cantidad.

Proporcionalidad inversa

Considere el siguiente ejemplo. La distancia entre las dos ciudades es de 80 km. El motociclista salió de la primera ciudad y, a una velocidad de 20 km/h, llegó a la segunda ciudad en 4 horas.

Si la velocidad de un motociclista era de 20 km/h, esto significa que cada hora recorría una distancia de veinte kilómetros. Representemos en la figura la distancia recorrida por el motociclista y el tiempo de su movimiento:

En el camino de regreso, la velocidad del motociclista fue de 40 km/h y tardó 2 horas en el mismo trayecto.

Es fácil notar que cuando cambia la velocidad, el tiempo de movimiento cambia en la misma cantidad. Además, cambió en la dirección opuesta, es decir, la velocidad aumentó, pero el tiempo, por el contrario, disminuyó.

Magnitudes como la velocidad y el tiempo se llaman inversamente proporcionales. Y la relación entre tales cantidades se llama proporcionalidad inversa.

La proporcionalidad inversa es la relación entre dos cantidades en la que un aumento de una de ellas conlleva una disminución de la otra en la misma cantidad.

y viceversa, si una cantidad disminuye un cierto número de veces, la otra aumenta la misma cantidad de veces.

Por ejemplo, si en el camino de regreso la velocidad del motociclista fuera de 10 km/h, entonces recorrería los mismos 80 km en 8 horas:

Como puede verse en el ejemplo, una disminución de la velocidad condujo a un aumento del tiempo de movimiento en la misma cantidad.

La peculiaridad de las cantidades inversamente proporcionales es que su producto es siempre constante. Es decir, cuando cambian los valores de cantidades inversamente proporcionales, su producto permanece sin cambios.

En el ejemplo considerado, la distancia entre ciudades era de 80 km. Cuando la velocidad y el tiempo de movimiento del motociclista cambiaron, esta distancia siempre se mantuvo sin cambios.

Un motociclista podría recorrer esta distancia a una velocidad de 20 km/h en 4 horas, a una velocidad de 40 km/h en 2 horas y a una velocidad de 10 km/h en 8 horas. En todos los casos, el producto de la velocidad por el tiempo fue igual a 80 km.

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Podemos hablar infinitamente sobre las ventajas de aprender mediante lecciones en vídeo. En primer lugar, presentan sus pensamientos de forma clara y comprensible, coherente y estructurada. En segundo lugar, requieren un tiempo determinado y no suelen ser prolongados ni tediosos. En tercer lugar, son más interesantes para los estudiantes que las lecciones regulares a las que están acostumbrados. Puedes verlos en un ambiente tranquilo.

En muchos problemas del curso de matemáticas, los estudiantes de sexto grado se enfrentarán a relaciones proporcionales directas e inversas. Antes de empezar a estudiar este tema, conviene recordar qué son las proporciones y qué propiedades básicas tienen.

La videolección anterior está dedicada al tema "Proporciones". Ésta es una continuación lógica. Vale la pena señalar que el tema es bastante importante y se encuentra con frecuencia. Vale la pena entenderlo adecuadamente de una vez por todas.

Para mostrar la importancia del tema, la lección en video comienza con una tarea. La condición aparece en la pantalla y es anunciada por el locutor. La grabación de datos se proporciona en forma de una especie de diagrama para que el estudiante que mira la grabación de video pueda comprenderla lo mejor posible. Sería mejor si al principio se apegara a esta forma de grabación.

La incógnita, como es habitual en la mayoría de los casos, se denota con la letra latina x. Para encontrarlo, primero debes multiplicar los valores en forma transversal. Así, se obtendrá la igualdad de las dos proporciones. Esto sugiere que tiene que ver con proporciones y conviene recordar su propiedad principal. Tenga en cuenta que todos los valores se indican en la misma unidad de medida. De lo contrario, era necesario reducirlos a una dimensión.

Después de ver el método de solución en el vídeo, no debería tener ninguna dificultad con este tipo de problemas. El locutor comenta cada movimiento, explica todas las acciones y recuerda el material estudiado que se utiliza.

Inmediatamente después de ver la primera parte de la lección en video “Dependencias proporcionales directas e inversas”, puede pedirle al alumno que resuelva el mismo problema sin la ayuda de pistas. Después, puedes ofrecer una tarea alternativa.

Dependiendo de las capacidades mentales del alumno, la dificultad de las tareas posteriores se puede aumentar gradualmente.

Después del primer problema considerado, se da la definición de cantidades directamente proporcionales. La definición es leída por el locutor. El concepto principal está resaltado en rojo.

A continuación se demuestra otro problema, a partir del cual se explica la relación proporcional inversa. Lo mejor es que el alumno anote estos conceptos en un cuaderno. Si es necesario, antes de las pruebas, el estudiante puede encontrar fácilmente todas las reglas y definiciones y volver a leerlas.

Después de ver este vídeo, un alumno de sexto grado entenderá cómo utilizar proporciones en determinadas tareas. Este es un tema bastante importante que no se debe perder bajo ninguna circunstancia. Si un estudiante no puede percibir el material presentado por el maestro durante la lección entre otros estudiantes, ¡estos recursos educativos serán una gran salvación!

I. Cantidades directamente proporcionales.

deja que el valor y depende del tamaño X. Si al aumentar X varias veces el tamaño en aumenta en la misma cantidad, entonces tales valores X Y en se llaman directamente proporcionales.

Ejemplos.

1 . La cantidad de bienes adquiridos y el precio de compra (con un precio fijo por unidad de bienes: 1 pieza o 1 kg, etc.) Cuantas veces más bienes se compraron, más veces más pagaron.

2 . La distancia recorrida y el tiempo empleado en ella (a velocidad constante). ¿Cuántas veces más largo es el camino, cuántas veces más tiempo llevará completarlo?

3 . El volumen de un cuerpo y su masa. ( Si una sandía es 2 veces más grande que otra, entonces su masa será 2 veces mayor.)

II. Propiedad de proporcionalidad directa de cantidades.

Si dos cantidades son directamente proporcionales, entonces la razón de dos valores tomados arbitrariamente de la primera cantidad es igual a la razón de dos valores correspondientes de la segunda cantidad.

Tarea 1. Para mermelada de frambuesa tomamos 12 kilos frambuesas y 8 kilogramos Sáhara. ¿Cuánta azúcar necesitarás si la tomaras? 9 kilogramos frambuesas?

Solución.

Razonamos así: que sea necesario. x kilos azúcar para 9 kilogramos frambuesas La masa de frambuesas y la masa de azúcar son cantidades directamente proporcionales: cuantas veces menos frambuesas hay, tantas veces menos azúcar se necesita. Por lo tanto, la proporción de frambuesas tomadas (en peso) ( 12:9 ) será igual a la proporción de azúcar tomada ( 8:x). Obtenemos la proporción:

12: 9=8: X;

x=9 · 8: 12;

x=6. Respuesta: en 9 kilogramos es necesario tomar frambuesas 6 kilos Sáhara.

La solución del problema Se podría hacer así:

Dejar en 9 kilogramos es necesario tomar frambuesas x kilos Sáhara.

(Las flechas en la figura están dirigidas en una dirección y no importa hacia arriba o hacia abajo. Significado: ¿cuántas veces el número 12 mas numero 9 , el mismo número de veces 8 mas numero X, es decir, aquí hay una relación directa).

Respuesta: en 9 kilogramos necesito tomar algunas frambuesas 6 kilos Sáhara.

Tarea 2. Coche para 3 horas viajó la distancia 264 kilometros. ¿Cuánto tiempo le llevará viajar? 440 kilometros, si conduce a la misma velocidad?

Solución.

dejar por x horas el coche cubrirá la distancia 440 kilometros.

Respuesta: el auto pasará 440 kilómetros en 5 horas.

El concepto de proporcionalidad directa.

Imagina que estás planeando comprar tus dulces favoritos (o cualquier cosa que realmente te guste). Los dulces de la tienda tienen su propio precio. Digamos 300 rublos por kilogramo. Cuantos más caramelos compres, más dinero pagarás. Es decir, si quieres 2 kilogramos, paga 600 rublos, y si quieres 3 kilogramos, paga 900 rublos. Esto parece estar todo claro, ¿verdad?

En caso afirmativo, ahora tiene claro qué es la proporcionalidad directa: este es un concepto que describe la relación de dos cantidades que dependen entre sí. Y la proporción de estas cantidades permanece inalterada y constante: en cuántas partes una de ellas aumenta o disminuye, en el mismo número de partes la segunda aumenta o disminuye proporcionalmente.

La proporcionalidad directa se puede describir con la siguiente fórmula: f(x) = a*x, y a en esta fórmula es un valor constante (a = const). En nuestro ejemplo de dulces, el precio es un valor constante, una constante. No aumenta ni disminuye, no importa cuántos dulces decidas comprar. La variable independiente (argumento)x es cuántos kilogramos de dulces vas a comprar. Y la variable dependiente f(x) (función) es cuánto dinero terminas pagando por tu compra. Entonces podemos sustituir los números en la fórmula y obtener: 600 rublos. = 300 frotar. * 2 kilogramos.

La conclusión intermedia es esta: si el argumento aumenta, la función también aumenta, si el argumento disminuye, la función también disminuye

Función y sus propiedades.

Función proporcional directa es un caso especial de función lineal. Si la función lineal es y = k*x + b, entonces para la proporcionalidad directa se ve así: y = k*x, donde k se llama coeficiente de proporcionalidad y siempre es un número distinto de cero. Es fácil calcular k: se obtiene como el cociente de una función y un argumento: k = y/x.

Para que quede más claro, tomemos otro ejemplo. Imaginemos que un coche se desplaza del punto A al punto B. Su velocidad es de 60 km/h. Si asumimos que la velocidad del movimiento permanece constante, entonces podemos tomarla como constante. Y luego escribimos las condiciones en la forma: S = 60*t, y esta fórmula es similar a la función de proporcionalidad directa y = k *x. Trazamos un paralelo más: si k = y/x, entonces la velocidad del coche se puede calcular conociendo la distancia entre A y B y el tiempo transcurrido en la carretera: V = S /t.

Y ahora, desde la aplicación aplicada del conocimiento sobre proporcionalidad directa, volvamos a su función. Cuyas propiedades incluyen:

su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales (así como sus subconjuntos);

la función es impar;

el cambio en las variables es directamente proporcional a lo largo de toda la recta numérica.

Proporcionalidad directa y su gráfica.

La gráfica de una función de proporcionalidad directa es una línea recta que corta al origen. Para construirlo basta con marcar sólo un punto más. Y conéctelo y el origen de coordenadas con una línea recta.

En el caso de una gráfica, k es la pendiente. Si la pendiente es menor que cero (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), la gráfica y el eje x forman un ángulo agudo y la función es creciente.

Y una propiedad más de la gráfica de la función de proporcionalidad directa está directamente relacionada con la pendiente k. Supongamos que tenemos dos funciones no idénticas y, en consecuencia, dos gráficas. Entonces, si los coeficientes k de estas funciones son iguales, sus gráficas se ubican paralelas al eje de coordenadas. Y si los coeficientes k no son iguales entre sí, las gráficas se cruzan.

Problemas de muestra

Ahora resolvamos un par problemas de proporcionalidad directa

Comencemos con algo simple.

Problema 1: Imagina que 5 gallinas ponen 5 huevos en 5 días. Y si hay 20 gallinas ¿cuantos huevos pondran en 20 dias?

Solución: Denotemos la incógnita por kx. Y razonaremos de la siguiente manera: ¿cuántas veces más pollos se han vuelto? Divide 20 entre 5 y descubre que es 4 veces. ¿Cuántas veces más huevos pondrán 20 gallinas en los mismos 5 días? También 4 veces más. Entonces, encontramos el nuestro así: 5*4*4 = 20 gallinas pondrán 80 huevos en 20 días.

Ahora el ejemplo es un poco más complicado, parafraseemos el problema de la “Aritmética General” de Newton. Problema 2: Un escritor puede redactar 14 páginas de un libro nuevo en 8 días. Si tuviera asistentes, ¿cuántas personas se necesitarían para escribir 420 páginas en 12 días?

Solución: Razonamos que el número de personas (escritor + asistentes) aumenta con el volumen de trabajo si tuviera que realizarse en la misma cantidad de tiempo. ¿Pero cuantas veces? Dividiendo 420 entre 14, encontramos que aumenta 30 veces. Pero como, según las condiciones de la tarea, se dedica más tiempo al trabajo, el número de asistentes no aumenta 30 veces, sino de esta manera: x = 1 (escritor) * 30 (veces): 12/8 ( días). Transformemos y descubramos que x = 20 personas escribirán 420 páginas en 12 días.

Resolvamos otro problema similar a los de nuestros ejemplos.

Problema 3: Dos coches emprenden el mismo viaje. Uno se movía a una velocidad de 70 km/h y recorrió la misma distancia en 2 horas que el otro tardó 7 horas. Encuentra la velocidad del segundo auto.

Solución: Como recordarás, el camino se determina mediante la velocidad y el tiempo: S = V *t. Como ambos autos recorrieron la misma distancia, podemos igualar las dos expresiones: 70*2 = V*7. ¿Cómo encontramos que la velocidad del segundo auto es V = 70*2/7 = 20 km/h?

Y un par de ejemplos más de tareas con funciones de proporcionalidad directa. A veces los problemas requieren encontrar el coeficiente k.

Tarea 4: Dadas las funciones y = - x/16 e y = 5x/2, determina sus coeficientes de proporcionalidad.

Solución: Como recordarás, k = y/x. Esto significa que para la primera función el coeficiente es igual a -1/16 y para la segunda k = 5/2.

También puedes encontrarte con una tarea como la Tarea 5: escribir la proporcionalidad directa con una fórmula. Su gráfica y la gráfica de la función y = -5x + 3 están ubicadas en paralelo.

Solución: La función que nos da la condición es lineal. Sabemos que la proporcionalidad directa es un caso especial de función lineal. Y también sabemos que si los coeficientes de k funciones son iguales, sus gráficas son paralelas. Esto significa que todo lo que se necesita es calcular el coeficiente de una función conocida y establecer la proporcionalidad directa utilizando la fórmula que conocemos: y = k *x. Coeficiente k = -5, proporcionalidad directa: y = -5*x.

Conclusión

Ahora has aprendido (o recordado, si ya has cubierto este tema antes) lo que se llama proporcionalidad directa, y lo miré ejemplos. También hablamos sobre la función de proporcionalidad directa y su gráfica, y resolvimos varios problemas de ejemplo.

Si este artículo fue útil y te ayudó a comprender el tema, cuéntanoslo en los comentarios. Para que sepamos si podemos beneficiarte.

blog.site, al copiar material total o parcialmente, se requiere un enlace a la fuente original.

Completado por: Chepkasov Rodion

estudiante de sexto grado

MBOU "Escuela secundaria nº 53"

Barnaúl

Jefe: Bulykina O.G.

profesor de matematicas

MBOU "Escuela secundaria nº 53"

Barnaúl

Introducción. 1

Relaciones y proporciones. 3

Relaciones proporcionales directas e inversas. 4

Aplicación de proporcional directa e inversa 6

dependencias a la hora de resolver diversos problemas.

Conclusión. once

Literatura. 12

Introducción.

La palabra proporción proviene del vocablo latino proporción, que generalmente significa proporcionalidad, alineación de partes (una cierta proporción de partes entre sí). En la antigüedad, los pitagóricos tenían en gran estima la doctrina de las proporciones. Con las proporciones asociaban pensamientos sobre el orden y la belleza de la naturaleza, sobre las consonantes en la música y la armonía en el universo. A algunos tipos de proporciones los llamaron musicales o armónicos.

Incluso en la antigüedad, el hombre descubrió que todos los fenómenos de la naturaleza están relacionados entre sí, que todo está en continuo movimiento, cambio y, cuando se expresa en números, revela patrones sorprendentes.

Los pitagóricos y sus seguidores buscaron una expresión numérica para todo lo que existe en el mundo. Ellos descubrieron; que las proporciones matemáticas subyacen a la música (la relación entre la longitud de la cuerda y el tono, la relación entre intervalos, la relación de sonidos en los acordes que dan un sonido armónico). Los pitagóricos intentaron fundamentar matemáticamente la idea de la unidad del mundo y argumentaron que la base del universo eran las formas geométricas simétricas. Los pitagóricos buscaron una base matemática para la belleza.

Siguiendo a los pitagóricos, el científico medieval Agustín llamó a la belleza “igualdad numérica”. El filósofo escolástico Buenaventura escribió: "No hay belleza ni placer sin proporcionalidad, y la proporcionalidad existe principalmente en los números. Es necesario que todo sea contable". Leonardo da Vinci escribió sobre el uso de la proporción en el arte en su tratado de pintura: "El pintor encarna en forma de proporción los mismos patrones ocultos en la naturaleza que el científico conoce en forma de ley numérica".

Las proporciones se utilizaron para resolver diversos problemas tanto en la antigüedad como en la Edad Media. Ciertos tipos de problemas ahora se resuelven fácil y rápidamente usando proporciones. Las proporciones y la proporcionalidad se utilizaron y se utilizan no sólo en matemáticas, sino también en arquitectura y arte. Proporción en arquitectura y arte significa mantener ciertas relaciones entre los tamaños de diferentes partes de un edificio, figura, escultura u otra obra de arte. La proporcionalidad en tales casos es una condición para una construcción y representación correctas y hermosas.

En mi trabajo traté de considerar el uso de relaciones proporcionales directas e inversas en diversas áreas de la vida, para rastrear la conexión con las materias académicas a través de tareas.

Relaciones y proporciones.

El cociente de dos números se llama. actitud estos números.

Muestra de actitud, cuántas veces el primer número es mayor que el segundo o qué parte es el primer número del segundo.

Tarea.

Se llevaron al almacén 2,4 toneladas de peras y 3,6 toneladas de manzanas. ¿Qué proporción de las frutas que se traen son peras?

Solución . Hallemos cuánta fruta trajeron: 2,4+3,6=6(t). Para saber qué parte de las frutas traídas son peras, hacemos la proporción 2,4:6=. La respuesta también se puede escribir como fracción decimal o como porcentaje: = 0,4 = 40%.

Mutuamente inverso llamado números, cuyos productos son iguales a 1. Por lo tanto la relación se llama inversa de la relación.

Considere dos proporciones iguales: 4,5:3 y 6:4. Pongamos un signo igual entre ellos y obtengamos la proporción: 4,5:3=6:4.

Proporción es la igualdad de dos relaciones: a : b =c :d o = , donde a y d son términos extremos de proporción, c y b – miembros promedio(todos los términos de la proporción son distintos de cero).

Propiedad básica de proporción:

en la proporción correcta, el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios.

Aplicando la propiedad conmutativa de la multiplicación, encontramos que en la proporción correcta se pueden intercambiar los términos extremos o los términos medios. Las proporciones resultantes también serán correctas.

Usando la propiedad básica de la proporción, puedes encontrar su término desconocido si se conocen todos los demás términos.

Para encontrar el término extremo desconocido de la proporción, debes multiplicar los términos promedio y dividir por el término extremo conocido. x : b = c : d , x =

Para encontrar el término medio desconocido de una proporción, debes multiplicar los términos extremos y dividir por el término medio conocido. a : b = x : d , x = .

Relaciones proporcionales directas e inversas.

Los valores de dos cantidades diferentes pueden depender mutuamente entre sí. Entonces, el área de un cuadrado depende de la longitud de su lado, y viceversa: la longitud del lado de un cuadrado depende de su área.

Se dice que dos cantidades son proporcionales si, al aumentar

(disminuye) uno de ellos varias veces, el otro aumenta (disminuye) el mismo número de veces.

Si dos cantidades son directamente proporcionales, entonces las razones de los valores correspondientes de estas cantidades son iguales.

Ejemplo dependencia proporcional directa .

en una gasolinera 2 litros de gasolina pesan 1,6 kg. cuanto pesaran¿5 litros de gasolina?

Solución:

El peso del queroseno es proporcional a su volumen.

2 litros - 1,6 kilogramos

5 litros - x kg

2:5=1,6:x,

x=5*1,6x=4

Respuesta: 4 kg.

Aquí la relación peso-volumen permanece sin cambios.

Dos cantidades se llaman inversamente proporcionales si, cuando una de ellas aumenta (disminuye) varias veces, la otra disminuye (aumenta) en la misma cantidad.

Si las cantidades son inversamente proporcionales, entonces la razón de los valores de una cantidad es igual a la razón inversa de los valores correspondientes de otra cantidad.

PAG ejemplorelación inversamente proporcional.

Dos rectángulos tienen la misma área. La longitud del primer rectángulo es de 3,6 m y el ancho es de 2,4 m. La longitud del segundo rectángulo es de 4,8 m. Calcula el ancho del segundo rectángulo.

Solución:

1 rectángulo 3,6 m 2,4 m

2 rectángulos de 4,8 m x m

3,6 m x m

4,8 metros 2,4 metros

x = 3,6*2,4 = 1,8m

Respuesta: 1,8 m.

Como puedes ver, los problemas que involucran cantidades proporcionales se pueden resolver usando proporciones.

No cada dos cantidades son directamente proporcionales o inversamente proporcionales. Por ejemplo, la altura de un niño aumenta a medida que aumenta su edad, pero estos valores no son proporcionales, ya que cuando la edad se duplica, la altura del niño no se duplica.

Aplicación práctica de la dependencia proporcional directa e inversa.

Tarea número 1

La biblioteca de la escuela cuenta con 210 libros de texto de matemáticas, lo que representa el 15% de toda la colección de la biblioteca. ¿Cuántos libros hay en la colección de la biblioteca?

Solución:

Total de libros de texto - ? - 100%

Matemáticos - 210 -15%

15% 210 académico.

X = 100* 210 = 1400 libros de texto

100% x cuenta. 15

Respuesta: 1400 libros de texto.

Problema número 2

Un ciclista recorre 75 km en 3 horas. ¿Cuánto tiempo tardará un ciclista en recorrer 125 km con la misma velocidad?

Solución:

3h – 75km

H – 125 kilometros

El tiempo y la distancia son cantidades directamente proporcionales, por lo tanto

3: x = 75: 125,

x=
,

x=5.

Respuesta: en 5 horas.

Problema número 3

8 tuberías idénticas llenan una piscina en 25 minutos. ¿Cuántos minutos se necesitarán para llenar una piscina con 10 tuberías de este tipo?

Solución:

8 tubos – 25 minutos

10 tubos - ? minutos

El número de tubos es inversamente proporcional al tiempo, por lo que

8:10 = x:25,

x =

x = 20

Respuesta: en 20 minutos.

Problema número 4

Un equipo de 8 trabajadores completa la tarea en 15 días. ¿Cuántos trabajadores pueden completar la tarea en 10 días trabajando con la misma productividad?

Solución:

8 días laborables – 15 días

Trabajadores - 10 días

El número de trabajadores es inversamente proporcional al número de días, por lo que

x: 8 = 15: 10,

x=
,

x=12.

Respuesta: 12 trabajadores.

Problema número 5

De 5,6 kg de tomates se obtienen 2 litros de salsa. ¿Cuántos litros de salsa se pueden obtener con 54 kg de tomates?

Solución:

5,6 kg – 2 litros

54 kilos - ? yo

La cantidad de kilogramos de tomates es directamente proporcional a la cantidad de salsa obtenida, por lo tanto

5,6:54 = 2:x,

x =
,

x = 19.

Respuesta: 19 litros.

Problema número 6

Para calentar el edificio de la escuela, se almacenó carbón durante 180 días al ritmo de consumo

0,6 toneladas de carbón por día. ¿Cuántos días durará este suministro si se gastan 0,5 toneladas diarias?

Solución:

Número de días

Tasa de consumo

El número de días es inversamente proporcional a la tasa de consumo de carbón, por lo tanto

180: x = 0,5: 0,6,

x = 180*0,6:0,5,

x = 216.

Respuesta: 216 días.

Problema número 7

En el mineral de hierro, por cada 7 partes de hierro hay 3 partes de impurezas. ¿Cuántas toneladas de impurezas hay en el mineral que contiene 73,5 toneladas de hierro?

Solución:

Número de piezas

Peso

Hierro

73,5

Impurezas

El número de partes es directamente proporcional a la masa, por lo tanto

7:73,5 = 3:x.

x = 73,5 * 3:7,

x = 31,5.

Respuesta: 31,5 toneladas

Problema número 8

El coche recorrió 500 km consumiendo 35 litros de gasolina. ¿Cuántos litros de gasolina se necesitarán para recorrer 420 km?

Solución:

Distancia, kilómetros

gasolina, l

La distancia es directamente proporcional al consumo de gasolina, por lo que

500:35 = 420:x,

x = 35*420:500,

x = 29,4.

Respuesta: 29,4 litros

Problema número 9

En 2 horas capturamos 12 carpas crucianas. ¿Cuántas carpas crucianas se capturarán en 3 horas?

Solución:

La cantidad de carpas crucianas no depende del tiempo. Estas cantidades no son directamente proporcionales ni inversamente proporcionales.

Respuesta: No hay respuesta.

Problema número 10

Una empresa minera necesita comprar 5 máquinas nuevas por una determinada cantidad de dinero a un precio de 12 mil rublos cada una. ¿Cuántas de estas máquinas puede comprar una empresa si el precio de una máquina asciende a 15 mil rublos?

Solución:

Número de coches, uds.

Precio, miles de rublos.

El número de automóviles es inversamente proporcional al costo, por lo que

5: x = 15: 12,

x=5*12:15,

x=4.

Respuesta: 4 autos.

Problema número 11

En la ciudad N en el cuadrado P hay una tienda cuyo dueño es tan estricto que por retraso deduce 70 rublos del salario por 1 retraso por día. En el mismo departamento trabajan dos niñas, Yulia y Natasha. Sus salarios dependen del número de días laborables. Yulia recibió 4100 rublos en 20 días y Natasha debería haber recibido más en 21 días, pero llegó tarde 3 días seguidos. ¿Cuántos rublos recibirá Natasha?

Solución:

Días laborables

Salario, frotar.

Julia

4100

natasha

El salario es directamente proporcional al número de días laborables, por lo tanto

20:21 = 4100:x,

x=4305.

4305 rublos. Natasha debería haberlo recibido.

4305 – 3 * 70 = 4095 (frotar)

Respuesta: Natasha recibirá 4095 rublos.

Problema número 12

La distancia entre dos ciudades en el mapa es de 6 cm. Calcula la distancia entre estas ciudades en el terreno si la escala del mapa es 1: 250000.

Solución:

Denotamos la distancia entre ciudades en el terreno por x (en centímetros) y encontramos la relación entre la longitud del segmento en el mapa y la distancia en el terreno, que será igual a la escala del mapa: 6: x = 1 : 250000,

x = 6*250000,

x = 1500000.

1500000 cm = 15 kilómetros

Respuesta: 15 kilómetros.

Problema número 13

4000 g de solución contienen 80 g de sal. ¿Cuál es la concentración de sal en esta solución?

Solución:

Peso (gramos

Concentración, %

Solución

4000

Sal

4000: 80 = 100: x,

x =
,

x = 2.

Respuesta: La concentración de sal es del 2%.

Problema número 14

El banco concede un préstamo al 10% anual. Recibiste un préstamo de 50.000 rublos. ¿Cuánto deberías devolver al banco en un año?

Solución:

50.000 rublos.

100%

x frotar.

50000: x = 100: 10,

x= 50000*10:100,

x=5000.

5000 rublos. es del 10%.

50.000 + 5.000=55.000 (frotar)

Respuesta: en un año el banco recuperará 55.000 rublos.

Conclusión.

Como podemos ver en los ejemplos dados, las relaciones proporcionales directas e inversas son aplicables en diversas áreas de la vida:

Ciencias económicas,

Comercio,

En la producción y la industria,

Vida escolar,

Cocinando,

Construcción y arquitectura.

Deportes,

La cría de animales,

topografías,

físicos,

Química, etc.

En el idioma ruso también existen refranes y refranes que establecen relaciones directas e inversas:

A medida que regrese, también responderá.

Cuanto más alto es el muñón, más alta es la sombra.

Cuanta más gente, menos oxígeno.

Y está listo, pero estúpido.

Las matemáticas son una de las ciencias más antiguas; surgió sobre la base de las necesidades y deseos de la humanidad. Habiendo recorrido la historia de su formación desde la Antigua Grecia, sigue siendo relevante y necesario en la vida cotidiana de cualquier persona. El concepto de proporcionalidad directa e inversa se conoce desde la antigüedad, ya que eran las leyes de la proporción las que motivaban a los arquitectos durante cualquier construcción o creación de cualquier escultura.

El conocimiento de las proporciones se utiliza ampliamente en todas las esferas de la vida y la actividad humana: no se puede prescindir de él al pintar (paisajes, naturalezas muertas, retratos, etc.), también está muy extendido entre arquitectos e ingenieros; en general, es difícil Imagínese crear algo sin utilizar conocimientos sobre proporciones y sus relaciones.

Literatura.

Matemáticas-6, N.Ya. Vilenkin et al.

Álgebra -7, G.V. Dorofeev y otros.

Matemáticas-9, GIA-9, editado por F.F. Lysenko, S.Yu. kulabujova

Matemáticas-6, materiales didácticos, P.V. Chulkov, A.B. Uedinov

Problemas de matemáticas para los grados 4-5, I. V. Baranova et al., M. "Prosveshchenie" 1988

Colección de problemas y ejemplos en matemáticas 5-6 grados, N.A. tereshin,

TENNESSE. Tereshina, M. “Acuario” 1997